Lectura única: Solución del ejercicio Vamos a demostrar el teorema por contradicción. Supongamos que α es una fórmula compuesta que no satisface el enunciado del teorema. ! Tenemos que considerar dos casos. Caso I: Existen fórmulas β1 , β2 y γ2 tales que: ! α = (¬β1 ) ! α = (β2 $ γ2 ), donde $ ∈ {∧, ∨, →, ↔} Entonces tenemos que (¬β1 ) = (β2 $ γ2 ), por lo que el primer sı́mbolo de β2 es ¬ ! IIC1253 – Obtenemos una contradicción: Ninguna fórmula comienza con el sı́mbolo ¬ Lógica Proposicional 22 / 64 Lectura única: Solución del ejercicio Caso II: Existen fórmulas β1 , β2 , γ1 y γ2 tales que: ! α = (β1 $1 γ1 ), donde $1 ∈ {∧, ∨, →, ↔} ! α = (β2 $2 γ2 ), donde $2 ∈ {∧, ∨, →, ↔} ! β1 &= β2 Dado que (β1 $1 γ1 ) = (β2 $2 γ2 ) y β1 &= β2 , concluimos que β1 es un prefijo propio de β2 o β2 es un prefijo propio de β1 . ! Suponemos que β1 es un prefijo propio de β2 . En este caso obtenemos una contradicción usando el siguiente lema: Lema Si ϕ es una fórmula y ψ es un prefijo propio de ϕ, entonces ψ no es una fórmula IIC1253 – Lógica Proposicional 23 / 64 Demostración del lema Supongamos que ϕ es una fórmula y ψ es un prefijo propio de ϕ. Si ψ no contiene sı́mbolos, entonces no es una fórmula y el lema queda demostrado. ! Supongamos entonces que ψ contiene al menos un sı́mbolo Vamos a demostrar que el número de paréntesis izquierdos en ψ es mayor que el número de paréntesis derechos en ψ. ! IIC1253 – Concluimos que ψ no es una fórmula, ¿por qué? Lógica Proposicional 24 / 64 Demostración del lema Como ϕ es una fórmula, a cada paréntesis izquierdo le corresponde un paréntesis derecho. ! Asignamos un color distinto a cada par, y ponemos los pares coloreados en un conjunto A ! ¿Qué significa colorear en términos matemáticos? Ejemplo Para la fórmula ((p ∧ q) → (q ∨ (¬r ))) usamos la coloración: ((p ∧ q) → (q ∨ (¬r ))) y creamos el conjunto: A = {(, ), (, ), (, ), (, )} Usando A obtenemos los números de paréntesis izquierdos y derechos de ϕ. ! ¿Cómo? IIC1253 – Lógica Proposicional 25 / 64 Demostración del lema Usando A también podemos obtener los números de paréntesis izquierdos y derechos de ψ. ! Primero eliminamos de A los paréntesis eliminados desde ϕ al construir ψ, y luego contamos Como ψ es un prefijo de ϕ, por cada par (, ) en A del mismo color, dejamos ( o eliminamos ambos paréntesis. ! No es posible dejar sólo a ) Además, sabemos que el último sı́mbolo de ϕ es un paréntesis ) ! Ya que ϕ es una fórmula con al menos dos elementos (¿por qué?) De lo anterior concluimos que el número de paréntesis izquierdos en ψ es mayor que el número de paréntesis derechos en ψ. IIC1253 – Lógica Proposicional 26 / 64 Lectura única: Eliminación de paréntesis Si eliminamos algunos paréntesis de una fórmula entonces no necesariamente vamos a tener lectura única. ! Vamos a eliminar paréntesis para simplificar la notación, pero teniendo cuidado de no producir ambigüedades Ejemplo Tenemos dos maneras de leer la expresión α = (p ∧ q ∧ r ): ! α = (β1 ∧ γ1 ), donde β1 = p y γ1 = q ∧ r ! α = (β2 ∧ γ2 ), donde β2 = p ∧ q y γ2 = r Notación Vamos a omitir los paréntesis exteriores de una fórmula: Usamos p ∧ q en lugar de (p ∧ q). IIC1253 – Lógica Proposicional 27 / 64 Semántica de la lógica proposicional ¿Cómo podemos determinar si una fórmula es verdadera o falsa? Este valor de verdad depende de los valores de verdad asignados a las variables proposicionales y de los conectivos utilizados. Valuación (asignación): σ : P → {0, 1}. Ejemplo σ(socrates es hombre) = 1 y σ(socrates es mortal ) = 0. IIC1253 – Lógica Proposicional 28 / 64 Semántica: Definición Dado σ : P → {0, 1}, queremos extender σ: σ̂ : L(P) → {0, 1}. Definición Dado ϕ ∈ L(P), - Si ϕ = p, entonces σ̂(ϕ) := σ(p). - Si ϕ = (¬α), entonces σ̂(ϕ) = - Si ϕ = (α ∨ β), entonces ! σ̂(ϕ) = IIC1253 – Lógica Proposicional 1 0 ! 1 si σ̂(α) = 0 0 si σ̂(α) = 1 si σ̂(α) = 1 o σ̂(β) = 1 si σ̂(α) = 0 y σ̂(β) = 0 29 / 64 Semántica: Definición (continuación) - Si ϕ = (α ∧ β), entonces ! 1 0 si σ̂(α) = 1 y σ̂(β) = 1 si σ̂(α) = 0 o σ̂(β) = 0 - Si ϕ = (α → β), entonces ! 1 σ̂(ϕ) = 0 si σ̂(α) = 0 o σ̂(β) = 1 si σ̂(α) = 1 y σ̂(β) = 0 σ̂(ϕ) = - Si ϕ = (α ↔ β), entonces σ̂(ϕ) = ! 1 si σ̂(α) = σ̂(β) 0 si σ̂(α) &= σ̂(β) Por simplicidad vamos a usar σ en lugar de σ̂. IIC1253 – Lógica Proposicional 30 / 64 Semántica: Ejemplos Supongamos que σ(socrates es hombre) = 1 y σ(socrates es mortal ) = 0. Entonces: σ((socrates es hombre → socrates es mortal )) = 0 σ((((socrates es hombre → socrates es mortal ) ∧ socrates es hombre) → socrates es mortal )) = 1 IIC1253 – Lógica Proposicional 31 / 64 Tablas de verdad Cada fórmula se puede representar y analizar en una tabla de verdad. p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 ¬p 1 1 0 0 p∨q 0 1 1 1 p∧q 0 0 0 1 p→q 1 1 0 1 p↔q 1 0 0 1 Ejercicio Suponga que P contiene n variables. ¿Cuántas tablas de verdad distintas existen para L(P)? IIC1253 – Lógica Proposicional 32 / 64 Tablas de verdad: Comparación de fórmulas Podemos comparar fórmulas usando tablas de verdad: p q r (p ∧ q) ∧ r p ∧ (q ∧ r ) 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 Concluimos que ∧ es asociativo (vamos a enunciar esto de manera formal más adelante) Notación Vamos a omitir paréntesis para las fórmulas que sólo contienen ∧: Usamos p ∧ q ∧ r en lugar de (p ∧ q) ∧ r y p ∧ (q ∧ r ). IIC1253 – Lógica Proposicional 33 / 64 Tablas de verdad: Comparación de fórmulas Otra comparación de fórmulas: p q r (p ∨ q) ∨ r p ∨ (q ∨ r ) 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 Concluimos que ∨ también es asociativo (también vamos a enunciar esto de manera formal más adelante) Notación Vamos a omitir paréntesis para las fórmulas que sólo contienen ∨: Usamos p ∨ q ∨ r en lugar de (p ∨ q) ∨ r y p ∨ (q ∨ r ). IIC1253 – Lógica Proposicional 34 / 64 Conectivos ternarios Queremos definir el conectivo lógico: si p entonces q si no r . p 0 0 0 0 1 1 1 1 q 0 0 1 1 0 0 1 1 r 0 1 0 1 0 1 0 1 si p entonces q si no r 0 1 0 1 0 0 1 1 ¿Cómo se puede representar este conectivo usando ¬, ∧ y →? IIC1253 – Lógica Proposicional 35 / 64 Conectivos ternarios (continuación) Solución: (p → q) ∧ ((¬p) → r ). p 0 0 0 0 1 1 1 1 q 0 0 1 1 0 0 1 1 r 0 1 0 1 0 1 0 1 si p entonces q si no r 0 1 0 1 0 0 1 1 (p → q) ∧ ((¬p) → r ) 0 1 0 1 0 0 1 1 ¿Por qué el conectivo es equivalente a la fórmula? ! IIC1253 – Porque tienen la misma tabla de verdad Lógica Proposicional 36 / 64 Conectivos n-arios Usando tablas de verdad podemos definir conectivos n-arios: C (p1 , . . . , pn ). p1 0 0 .. . p2 0 0 .. . 1 1 ··· ··· ··· ··· ··· pn−1 0 0 .. . pn 0 1 .. . C (p1 , p2 , . . . , pn−1 , pn ) b1 b2 .. . 1 1 b2n ¿Es posible representar C (p1 , . . . , pn ) usando ¬, ∨, ∧, → y ↔? IIC1253 – Lógica Proposicional 37 / 64 Conectivos n-arios Veamos un ejemplo: C1 (p, q, r , s). p 0 0 0 0 0 0 0 0 q 0 0 0 0 1 1 1 1 r 0 0 1 1 0 0 1 1 s 0 1 0 1 0 1 0 1 C1 (p, q, r , s) 0 1 0 0 0 0 1 0 p 1 1 1 1 1 1 1 1 q 0 0 0 0 1 1 1 1 r 0 0 1 1 0 0 1 1 s 0 1 0 1 0 1 0 1 C1 (p, q, r , s) 1 0 0 0 0 0 1 0 ¿Cómo definimos C1 (p, q, r , s) usando ¬, ∨, ∧, → y ↔? IIC1253 – Lógica Proposicional 38 / 64 Conectivos n-arios Solución: C1 (p, q, r , s) es equivalente a la siguiente fórmula ((¬p) ∧ (¬q) ∧ (¬r ) ∧ s) ∨ ((¬p) ∧ q ∧ r ∧ (¬s)) ∨ (p ∧ (¬q) ∧ (¬r ) ∧ (¬s)) ∨ (p ∧ q ∧ r ∧ (¬s)) Notación Desde ahora en adelante ¬ tiene mayor precedencia que los conectivos binarios. Ası́ por ejemplo, (¬p) → q es lo mismo que ¬p → q y la fórmula anterior es lo mismo que: (¬p ∧ ¬q ∧ ¬r ∧ s) ∨ (¬p ∧ q ∧ r ∧ ¬s) ∨ (p ∧ ¬q ∧ ¬r ∧ ¬s) ∨ (p ∧ q ∧ r ∧ ¬s) IIC1253 – Lógica Proposicional 39 / 64 Conectivos n-arios Solución a nuestro problema original: Suponiendo que σi es la valuación correspondiente a la fila i de la tabla de verdad de C (p1 , . . . , pn ), este conectivo es equivalente a: %% % # " ## $ $ pj ∧ ¬pk . i : bi =1 j : σi (pj )=1 k : σi (pk )=0 Conclusión Basta con los conectivos lógicos ¬, ∨, ∧ para representar cualquier tabla de verdad. IIC1253 – Lógica Proposicional 40 / 64 Satisfacción de una fórmula Definición Una fórmula ϕ es satisfacible si existe una valuación σ tal que σ(ϕ) = 1. Ejemplo Las siguientes fórmulas son satisfacibles: (p ∨ q) → r p → ¬p Las siguientes fórmulas no son satisfacibles: p ∧ ¬p (p ∨ q) ↔ ¬(p ∨ q) IIC1253 – Lógica Proposicional 41 / 64