EJERCICIOS CALCULO VECTORIAL 2011

EJERCICIOS DE CÁLCULO VECTORIAL
7 ABRIL 2011
1.- Un astronauta viaja a lo largo de una curva dada por
G(t) = (8t2 –1, t, t) y otro astronauta a lo largo de F(t) = (cos л t, sen л t, t)
Cuando t = 1 , el primer astronauta apaga sus motores y sigue a lo largo
de la recta tangente. Cuando t = 2 el segundo astronauta hace lo propio.
¿Cuál es la mínima distancia a la cual pueden llegar los astronautas?
2.- Considere un proyectil que es disparado desde el origen de un sistema de
coordenadas hacia el primer cuadrante, en el instante de tiempo t = 0, con
una velocidad inicial r´(0) = v0 = //v0// (cosф, senф )
donde ф es el ángulo que forma v0 con la horizontal.
Si despreciamos los efectos que produce la rotación de la tierra, la fuerza
de roce que crea el aire y los cambios de la fuerza de atracción
gravitacional que experimental el proyectil durante su vuelo. El proyectil se
comporta como una masa puntual moviéndose en un plano de coordenadas
vertical y la única fuerza que actúa sobre el proyectil, durante su vuelo, es
la fuerza de gravitación constante : ( 0 , g ) , la cual siempre apunta hacia
abajo.
Recuerde que por la segunda Ley de Newton: r´´ (t) = (0, - g )
(a) Calcular la trayectoria r = r(t) del proyectil.
(b) ¿En qué instante de tiempo el proyectil alcanza su máxima altura ?
(c) ¿Cual es la máxima altura del proyectil?
3.-
Calcule las siguientes integrales y encuentre, si existe, la función
potencial para cada uno de los campos vectoriales involucrados:
i)
ii)
iii)
ydx − xdy
1, −2 )
x2
(3, 4 )
∫(
(1,3 ) 3 x 2
∫(
0, 2 )
y
dx −
x3
dy
y2
ydx − ( x − 1)dy
2
+ y2
∫ (x − 1)
sobre la recta
y = 3x + 5
sobre la parábola y = 2 + x 2
sobre el paralelogramo
x + 2y = 3
4.- Calcule
2
z
dx
+
x
dy + ydz
∫
C
donde C es la curva :
(a) El segmento de recta desde (0, 0, 0) hasta (1, 1, 1)
(b) El arco de curva : x = t, y = t2 , z = t3 desde (0, 0, 0) hasta (1, 1, 1)
(c) La hélice y = sent , x = cost, z = t, 0 ≤ t ≤
→
π
2
.
→
5.- Sea Γ una curva suave dada. Sean a y b los vectores tangente y normal
unitarios, respectivamente, a la curva Γ dada: r = r (t ) con t ∈ [c, d ] .
Calcule
→
∫a
→
y
Γ
∫b
F ( x, y, z ) = ( z 2 + 1, 2 z , 2 xz + 2 y ) .
6.- Dado el campo
a)
¡¡¡ Interprete los resultados obtenidos.!!!
Γ
Calcule el trabajo efectuado por el campo F a lo largo de la curva Γ :
→
→
r = r (t ) = (sen 2 t , 1 − cos 3 t , tg 2t ) con t ∈ [0, π2 ] que une los puntos (0, 0, 0) y
b)
(1, 1, 1).
Determine, si existe, el potencial del campo F.
7.- Calcule
∫(3x y − x)dx + (x
2
3
− 2y)dy
C
donde C : x = sen3t , y = t - cos2t , 0 ≤ t ≤
π
2
.
8.- Considere la curva en R3 dada por r(t) = (et sent, 2, et cost)
(a) Determine los vectores tangente y normal en el punto P = (0, 2, 1).
(b) ¿Para qué valores del número natural n , admite un potencial el campo
vectorial :
→
→ →
F(r ) =
→
r
→
|| r ||
→
, 0 ≠ r ∈ ℜ3 .
?
n
9.-Determine una función potencial para el siguiente campo ( si existe )

r
x
F ( x, y , z ) = 
 2
2
 x +y
r r
Además, evalúe ∫ F ⋅ dl , cuando:
(
) (x
3
y
,
2
2
+ y2
)
3
2

,2 z 


C
i)
ii)
4 x 2 + 9 y 2 = 36
C:
z = 0
 x(t ) = e t cos t

0 ≤ t ≤ 2π
C :  y (t ) = e t sen t

t
 z (t ) = e
10.- Calcule el trabajo efectuado por la fuerza
→
 2x 1 − x 2 
F ( x, y ) =  , 2 
y 
 y
a lo largo del camino Γ que une los puntos
(1, -2) con (2, -1) del plano (x, y), donde Γ es la curva
x = 1 + (sen3t)(cos22t) , y = -sent - 2cost , con 0 ≤ t ≤π/2.
11.- Considere la familia de campos vectoriales


y
a−x
f a ( x, y, z ) = 
,
,0 , a ∈ R, ( x, y, z ) ∈ Ω a ⊂ R 3
2
2
2
2
 ( x − a) + y ( x − a) + y

Sea A = f1/2 + f3/2 .
(i) Determine el dominio, más grande, de D ⊂ R 3 de A .
(ii) ¿Es A irrotacional en D?
(iii) Sea Γ la curva en el plano , definida por la ecuación
x
4
+ y
4
= 1 0 . Calcule
∫ A ⋅ dr
Γ
12- Calcular




x3
y3
∫  x 4 + y 4 − 1 dx +  x 4 + y 4 − 1 dy
Γ
donde Γ es la circunferencia
(x + 2)2 + (y-2)2 =27
13.- Calcular el trabajo neto realizado por el campo de fuerzas
y3
−xy2
F(x, y) = ( 2 2 2 , 2 2 2 )
(4x + y ) (4x + y )
a lo largo de la curva cerrada C = C1 + C2 + C3 donde :
C1: x2 + y2 = 9, -3 < x < 3;
C2: 16x2 + 9y2 = 144, -3 < x < 0 ,
C3: 4x - 3y = 12, 0 < x < 3.
14.- Considere el campo de fuerzas :
→
→
( x3 + xy2 ) i + ( y3 + x2 y) j
F( x, y) =
( x2 + y2 )
(a) calcular el trabajo neto realizado por el campo de fuerzas F a lo largo
de la curva cerrada intersección de las superficies
3x2 + 3y2 = 1 ;
z = 1 - x2 - y2 , z ≥ 0.
(b) Calcule la integral de linea de la fuerza F a lo largo de la curva
que une el punto (2,3) con el origen.
15.- Sea la curva Γ definida por la intersección de las superficies:
x - y + z = 1 ; x2 + 4y2 = 4.
Si Γ es un alambre de densidad δ ( x , y , z ) = 1 + xy + 3 y 2 ,
¿El centro de masas se encuentra en el plano de ecuación y = 0?
16.-Dibuje cada una de las siguientes superficies, obtenga una parametrización
y determine el vector normal unitario exterior a ellas:
x 2 + y 2 ≤ 1
, en la región 
z≥0

a)
x + z =1
b)
x2 y2 z 2
+
+
=1
a 2 b2 c2
2
2
, en que a ≥ b ≥ c > 0
17.-Calcular el área de la superficie de un toro generado por rotación del
disco {( x,0, z ) / x 2 + ( z − 3) 2 ≤ 1} alrededor del eje ox
18.- Determine el Flujo Neto por la superficie de la esfera de radio a del
campo
r
F ( x, y , z ) =
(x
( x, y , z )
2
+ y2 + z2
)
3
2
19.- a) Calcule la integral de línea del campo
(
r
1
FA ( x , y , z ) = y 2 + z 2 , x 2 + z 2 , x 2 + y 2
2
a lo largo de la curva x + y = 1 en el plano XY
)
b) Determine el Flujo Neto por la superficie del octaedro x + y + z = 1
en la región z ≥ 0 , del campo
r
FB ( x, y, z ) = ( y − z ,− x + z , x − y ) .
r r
c) Calcule ∇ × FA
20.- Verifique que
r
r (u , v ) =
1
(cos u, sen u, senh v )
cosh v
−π < u < π
−∞ < v < ∞
parametriza la esfera unitaria sin sus polos Norte y Sur.
Determine los vectores tangentes y su vector normal unitario exterior.
21.-Un movimiento de un fluido en el espacio tiene el vector
velocidad
r
r
r
r
v = ( x 2 + y 2 )i + ( y 2 + z 2 ) j + (1 − 2 xz − 2 yz ) k
Evalúe la integral de flujo de v a través de las superficies:
i)
x 2 + y 2 ≤ 1, z = 0
ii)
x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1, z ≥ 0
22.-Evalúe mediante el teorema de Stokes
∫ 2 xy dx + 2 x
2
C
en que
2
yzdy + ( x 2 y 2 − 2 z )dz
 x(t ) = cos t

C :  y (t ) = sen t
 z (t ) = sen t

0 ≤ t ≤ 2π
23.- Calcule ∫∫SF ⋅ n dS , donde F = 4 xi − 2 y 2 j + z 2 k y S es la superficie del
conjunto V = {( x, y, z ) z ≤ 1 − x 2 − y 2 , z ≥ −1 + x 2 + y 2 }
24.- (a) Dado F(x, y, z) = (yz2, xz2 - 1, 2xzy - 2). Determine, si
existe, una función potencial para F.
(b) Calcular el flujo del campo F(x, y, z) = (x 2, -2xy, z)
x2+ y2 = z 2 , 0 ≤ z ≤ 2 ,
a través de la superficie
25.- Calcular el trabajo realizado por la fuerza F(x,y,z) = (z, x 2, y )
a lo largo de la curva intersección de las superficies
S1 : x2 + y2 + z = 1, z > 0 ,
S2 : 3x2 + 2y2 - 1 = 0.
26.- Calcular
∫∫ ( y
2
− x 2 )dxdz + 3dzdy − 2 zydydx
S
donde S es la porción de superficie x2 + y2 = 1 - z , z > 0
que está dentro del cilindro
2x2 + 2y2 = 1 .
27.- Evalúe
∫ (x
2
)
(
)
( )
− y2 dx + x2 + y2 dy + z 2 dz
Si la curva de integración es la intersección del plano x + y + z = 3 2 con el
cubo formado entre los planos x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0, z = 1
28.- Un flujo de fluido tiene como vector densidad de flujo
F = (x, -(2x+y), z). Sea S, la superficie x2 + y2 + z 2 = 1,
z > 0 . Calcular la masa de fluido que atraviesa S por
unidad de tiempo en la dirección de la normal exterior a S.
29.- Sea h(x, y, z) =
→
→
x
y
2 i +
2
2 j . Calcule
x +y
x +y
2
∫∫
h
S
Donde S es la superficie del cubo -2 < x, y, z < 2
30.- Sea F(x, y, z) = (2zy, (2 - 3y -x), z + y2) . Calcular
∫∫ ∇ × F
donde S es la superficie correspondiente a aquella parte de la
S
intersección, en el primer octante, de las superficies x2 + y2 = 4, x2 + z2 = 4.
31.--Calcular
∫ (y
2
− z 2 )dx + ( z 2 − x 2 ) dy + ( x 2 − y 2 )dz
donde C es la curva intersección entre las superficies :
C1 : x + y + z = 3
C2 : 0 < x < 2 , 0 < y < 2 , 0 < z < 2
32.- Un flujo de fluido tiene como vector densidad de flujo
F = (x, -(2x+y), z). Sea S , la superficie x2 + y2 + z 2= 1,
z > 0 . Calcular la masa de fluido que atraviesa S por
unidad de tiempo en la dirección de la normal exterior a S .
33.- Sea F(x, y, z) = (2zy, (2 - 3y -x), z + y2 ) . Calcular
∫∫ ∇ × F
S
donde S es la superficie correspondiente a aquella parte de la
interseción, en el primer octante, de las superficies
x2 + y2 = 4 , x2 + z2 = 4.
34.-Un flujo de fluido tiene como vector densidad de flujo
F = (x, -(2x+y), z). Sea S , la superficie x2 + y2 + z 2= 1,
z > 0 . Calcular la masa de fluido que atraviesa S en por
unidad de tiempo en la dirección de la normal exterior a S .
35.-Verifique el teorema de la divergencia (o de Gauss)
∫∫ F ⋅ dS = ∫∫∫ (∇ ⋅ F )dVol
r
S = ∂V
r
r r
V
para el campo
F ( x, y , z ) = (x 2 + 1, y 2 − 1, z 2 )
en la superficie del cubo V = {( x, y, z ) ∈ R 3 0 < x < 1,0 < y < 1,0 < z < 1}
r
r
r
r
r
36.- Sea F ( x, y, z ) = (2 yz )i − ( x + 3 y − 2) j + ( y 2 + z )k . Calcule
r
r
∫ F ⋅ ds
∂
, donde S
S
es la porción de la superficie de la semiesfera x 2 + y 2 + z 2 = 9 , z ≥ 0 ,
exterior al cilindro x 2 + y 2 ≤ 4 .
37.- a)
Sea S la superficie del conjunto D = {( x, y, z ) x 2 + y 2 ≤ 4,0 ≤ z < 5}
Calcular
∫∫
S
b)
y 2 dydz + x 2 dxdz + zdxdy
Determine la superficie del hiperboloide parabólico z = x 2 − y 2 ,
interior al cilindro x 2 + y 2 = 4
38.- Determine el Flujo Neto del campo
r
F ( x, y , z ) =
(x
por la superficie de :
{
= {( x, y, z ) ∈ R
( x, y , z )
2
+ y2 + z2
a)
V1 = ( x, y, z ) ∈ R 3 x 2 + y 2 + z 2 ≤ a 2 , z ≥ a
b)
V2
)
3
2
} ; a>0
} ; a>0
2
2
2
2
2
x + y + z ≤ a ,z ≤ a
2
3
39.- Un movimiento de un fluido en el espacio tiene el vector
velocidad
r
r
r
r
v = ( x 2 + y 2 )i + ( y 2 + z 2 ) j + (1 − 2 xz − 2 yz ) k
Evalúe la integral de flujo de v a través de las superficies :
i)
x 2 + y 2 ≤ 1, z = 0
ii)
x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1, z ≥ 0
40.- Evalúe
∫ 2 xy dx + 2 x
2
2
yzdy + ( x 2 y 2 − 2 z )dz
C
en que
 x(t ) = cos t

C :  y (t ) = sen t
 z (t ) = sen t

0 ≤ t ≤ 2π
41.- Calcule ∫∫SF ⋅ n dS , donde F = 4 xi − 2 y 2 j + z 2 k y S es la superficie del
conjunto V = {( x, y, z ) z ≤ 1 − x 2 − y 2 , z ≥ −1 + x 2 + y 2 }
42.- a)
Sea S la superficie del conjunto D = {( x, y, z ) x 2 + y 2 ≤ 4,0 ≤ z < 5}
Calcular
∫∫
S
b)
y 2 dydz + x 2 dxdz + zdxdy
Determine la superficie del hiperboloide parabólico z = x 2 − y 2 ,
interior al cilindro x 2 + y 2 = 4
43.- Determine la masa del cuerpo acotado por las superficies , en el
primer octante, x = 0, z = 0, x + y = 2, 2y + x = 6 , z2 + y2 = 4.
Si la densidad es proporcional a la distancia al plano xy .
44.- Calcular el trabajo realizado por la fuerza F(x,y,z) = (z, x 2, y ) a lo largo
de la curva intersección de las superficies
S1 : x2 + y2 + z = 1, z > 0 ,
S2 : 3x2 + 2y2 - 1 = 0.