Integración en Espacios Funcionales.

t a
moa a
por
A. Colino
JUNTA DE ENERGÍA NUCLEAR
MADRID, 1972
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jo debe dirigirse al Servicio de Documentación Biblioteca
y Publicaciones, Junta de Energía Nuclear, Ciudad Universitaria, Madrid-3, ESPAÑA.
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líticos que aparecen en esta publicación.
Este trabajo se ha recibido para su impresión en
Noviembre de 1972.
Deposito legal n° M-2104-1973
I.S.B.N. 84-500-5582-
1.
INTEGRACIÓN EN ESPACIOS FUNCIONALES
N. Wienery A.M. Taglom y MarcKac han publicado diversos cálcu,
los sobre integraciones en espacios funcionales. Estos cálculos, por
ser ejemplos de aplicación de métodos generales o por otros motivos,
resultan complicados y laboriosos.
En estas notas vamos a exponer los mismos ejemplos, pero realizando los cálculos de un modo más directo y simple*
2.
NOIACIONBS
Si tenemos una función x(t) la euantifiearsmos ©n intervalos
(iguales por comodidad)
t = h y emplearemos la notación
x (n h) * 2^
Llamaremos funcional 3? de la función x(t) a la cantidad
*» F (xa... xn... x b ) ,
es decir, el valor del funcional ? [x(t)j depende a la vez de todos
los valores de x(t) en el intervalo a^. t ^ b.
Los cálculos de las integraciones en los espacios funcionales
están relacionados con la probabilidad de cada distribución, es decir,
b
b
W (xa...xn...xb)fj d x n = ¥ x(t)JJ d x n3
a
a
siendo W £ J el funcional que suministra l a probabilidad de la función
x(t).
-2-
Partiendo de estas definiciones) puede hallarse el valor medio
o esperanza del funcional P |x(t)/ t
E {Pfx(t)j} - J p[x(t)J . Wfx(t)] J J d xn
N
o su función características
E^exp (i B P)} » J exp (i 9 P fx(t)] ) W [x(t)] J J d
N
3.
LA DISÜfElBUCIOíT W [ x] DE WIEBER
El estudio del movimiento browniano condujo a Wiener a definir
las medidas en los espacios funcionales.
Una de las propiedades características del movimiento de las
partículas es que el salto
x
n
= x
n•
en el intervalo del tiempo h es independiente de toda la historia anterior y su probabilidad puede formularse de acuerdo con la ecuación
de difusión
A2
-3-
For razones de comodidad en la escritura algebraica haremos
D = 1 y llamaremos £± x = y , con lo cual el funcional de Wiener
nos quedará en la forma
N
17
4.
V271 h }
\
2 h
PfilMER EJEMPLO DE WIENEB
En su libro "Nonlinear Problems in Eandom Theory", pág. 52,
realiza el cálculo de la función de autocorrelacián en la modulación
de frecuencia por un proceso browniano.
El cálculo de Wiener es muy laborioso, empleando su teoría
de funciones ortogonales.
EL problema es el siguiente? un generador browniano modula
en frecuencia una señal y se trata de hallar su función de autocorrelación.
Tenemos?
Señal de salidas
P [x(t)J - exp [i
Señal moduladora:
+ s) d x (s)
-4-
Punción de autocorrelación»
N
S (T) - f P [x(t)] P [x(t *T )] W [y]]] d y±
N
- Jexp ( i a ^ í t +T) - i a f (t)) W [ y]J[ d
Cuantificando el tiempo
y agrupando los términos en y
N
la integración es inmediata
2
R
(T)
= exp
t+T +n
efectuando el cuadrado y pasando al límite
B ( ) * exp
/f
h—*0, queda
(t +r ) $> (t) d t - 1
si <p (t) está normalizada, es decir,
J <$2 (t) d t » 1,
que es l a fórmula de Wiener (pág. 5 4 ) .
-5-
5.
SEGUNDA FORMULA DE WIEHES
Más bien que segunda fórmula debiéramos llamarla segundo cal.
culo, ya que en realidad, después de cálculos muy complicados, llega
sólo a una aproximación.
Se trata de calcular la función de autocorrelación del funcional
P [x(t)] - exp i bí í <£ (t + s) d x (s)j j = exp [i b
página 57.
El cálculo de la función de autocorrelación, siguiendo los
mismos pasos, será
N
2
2
R (T) . | exp[i b-y, (t +x) - i b ^ ( t ) ] wfyjj j d yn.
Ahora bien, nosotros creemos que es admisible el siguiente
artificio de cálculo:
-y 2 (t + r )
- y-2{\)
= ( 7¿- (t + r) + yj^x)
( ^ (t t-x:) ->t<t)) = u v
u =
Las variables u y v son funciones gausianas; como suma de
funciones gausianas en y y sus desviaciones cuadráticas son
<r2
^)2 ¡
-o-
y su autocorrelación
(Tuv = E fu v} = E f -^ 2 (t + r ) - <^2 (t) }
De acuerdo con esto, podemos simplificar extraordinariamente
la integral funcional
v2
exp - 9- 2
u
E ( r ) = i exp ( i b u v) •—•—•—
J
CT \ / 2TL.
exp
Y
.
—d u d v
CT \/ 2TI
l a cual se puede efectuar inmediatamentes
HCc) . [ 1 + 4 b
2
( 1- r
2
(-c))]"1/2,
que e s l a forma exacta de l a fórmula de a u t o c o r r e l a c i ó n .
En l a página 65 Wiener sólo obtiene trabajosamente e l primer
término d e l d e s a r r o l l o en r("c).
6.
FOHMDLA DE CAUEBOlí
Se trata de calcular la siguiente integración en el espacio
funcional de Wiener:
t
I (t) = | exp/ | p(x) x2¿ (r) d r l w(x]TTd x ± .
O
-7-
Escribámosla en forma sumatoria y más explícitamente:
N
h'¡
n J exp
x
irc
H
Si N fuera un número muy pequeño, lo más cómodo y directo
sería arrancar de x « 0 y seguir integrando x.., ...» x ? J ..., JL. y
que son integrales inmediatas. Las integrales obtenidas, si integrase,
mos por ejemplo hasta x .., serían siempre de la forma
H-1
1-1
legamos ahora la última integral; tendremos
(f
IN m
exp (h p N x J exp \
esta integral en XJJ
y-i
hV-
h
es inmediata y conduce a
2
-i
1-bí.N-1 J
e identificando con
-8-
tenemos
"
h
%-1fN_i
y pasando al límite, nos queda para las ecuaciones diferenciales de
d f
2
dg
=p + f ;
d t
" s - g fi
d t
la ecuación en f es del tipo de Eiccati y sustituyendo su valor de la
segunda, se obtiene
a.2
+ p g =0
Quizás podamos considerar como un augurio favorable que la función g sea espontáneamente la transformada adecuada para la función de f de Riccati.
7. UN PROBLEMA BE MAEC KAC
En su libro "Probability and related topics in Physical Sciences"
estudia un problema que por diversas razones es interesante (pág. 25).
-9-
ün punto arranca del origen y se mueve en el plano con salto
de longitud 1. La dirección del k salto es escogida de tal modo que
hace el ángulo O( con el previo salto y con la probabilidad P (°C ).
La dirección inicial es el eje de las x.
Por lo tanto, el recorrido después del n salto será
eos C( ^ •»• eos (oC^ + ¿Y2) + . . . + eos ( c < 1 +«ac2 + . . . + o( n )
sen <X ^ -f sen (c< 1 + <* g ) + . . . + sen
El problema es muy i n t e r e s a n t e porque tanto x
como y
son l a
suma de variables a l e a t o r i a s no independientes.
El problema de Marc Eac es tratar de obtener las distribuciones de x
e y . El nuestro, mucho menos ambicioso, tratará de obtener tan sólo su desviación cuadrática.
Formemos el vector
N
y su conjugado
N
r
n
con lo que
r r = x + Jy
n n
n
n
-10-
tendremos
V,
La funcién de probabilidad P (<x) la haremos directiva, no unifojr
me, con lo que los sumandos no son independientes:
4
*
2%
tt
1
271
2
y entonces podemos calcular
Cada r
se puede descomponer en sus sumandos, por lo que nos
quedan
N
1 -~K a 1
-11-
siendo necesariamente Tí a i "^ 1 (¿por qué*?)} cuando n-* oo nos quedará
E '
i
n+ f "
E
C
- 1
1 r« rnl
X a
+
L n n)
^ _
1 +TT a 1
1
j
2
2
1 -TTa1
es decir,
1 -"
•n
1
que es l a fórmula de Marc Kac (pág. 33), aunque curiosamente no l a
haya e s c r i t o explícitamente.
J.E.N. 254
Junta de Energía Nuclear, Dirección di. Física, Madrid
"Integración enEspacios Funcionales"
COLINO, A. (1973) 11 pp.
Se presentan en forma más sencilla y más directa varios cálculos en espacios
funcionales realizadas por Dliencr, Yaglom y Marc Kac.
J.E.N. 254
Junta de Enérgica Nuclear, Dirección de Física, Madrid.
"Integración en Espacios Funcionales"
COLINO, A. (1973) 11 pp.
Se presentan en forma más sencilla y más directa varios cálculos en espacios
•funcionales realizados por Wiener, Yaglom y Marc Kac.
J.E.N. 254
Junta de Energía Nuclear, Dirección de física, Madrid.
"Integración en Espacios Funcionales"
COLINO, A. (1973) 11 pp.
Se presentan en forma más sencilla y más directa varios cálculos en espacios
funcionales realizados por Wiener, Yaglom y Marc Kac.
J.E.N. 254
Junta de Energía Nuclear, Dirección de Física, Madrid.
"Integración en Espacios Funcionales"
COLINO, A. (1973) 11 p p .
Se presentan en forma más sencilla y más directa varios cálculos en espacios
funcionales realizados por Wiener, Yaglom y Marc Kac.
J . E . N . 254
Junta do Fnergía Nuclear, Dirección de Física, Madrid .
''Integration in Functional Spaces"
COLINO, A. (1972) 11 p p .
Severa! cakulations i n íinctional spaces pertoraed by Wiener, Yaglom and
Marc Kac are here carriod out i n a simplcr and more straigh-forvrdrd manner.
J.E.N. 254
Junta de Energía Nuclear, Dirección de Física, Madrid.
"Integration in Functional Spaces"
COLINO, A. (1973) 11 pp.
Several calculations ir. functional spaces performed by Wiener, Yagkm and
Marc Kac are here carried out i n a simplcr and'more straigh-forward manner.
J . E . N . 254
Junta dfi t.nnrqía Nuclear, Dirrcción de Física, Madrid.
"Integraiion in Functicaiai Spaces"
COLINO, A. 11972) 11 p p .
Severa! cakul&licns i n 'funclional spaces perfortncd by Wiener, Yag'om and
Harc Kac are here carried out i n a siinpler and more straigh-forviard manner.
J.E.N. 254
Junta de Energía Nuclear, Dirección de Física, Madrid.
"Integration in Functional Spaces"
COLINO, A. (1973) 11 p p .
Several calculations i n functional spaces performed by Wiener, Yaglom and
Marc Kac are hore carried out i n a siinpler and more s t r a i g h - f o r o r d manner.