Sistemas Electrónicos de Control Curso 2013/2014
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Sistemas Electrónicos de Control
Curso 2013/2014-1
Tema 2. Análisis de Servosistemas
Profesora: Rosa Mª Fernández-Cantí
Tema 2. Análisis de Servosistemas
Contenido
1. Retroacción ............................................................................................................................................... 4 1.1 Lazo retroactivo básico. Notación ................................................................................................... 4 1.2 Ventajas de usar retroacción (con ganancia de lazo elevada) .......................................................... 5 1.2.1 Desensibilización/robustez frente a variaciones de la planta .................................................... 5 1.2.2 Rechazo/atenuación de las perturbaciones ............................................................................... 6 1.2.3 Cambio de la dinámica (estabilización y aumento del ancho de banda) ................................... 6 1.2.4 Mejora de la linealidad (reducción de la distorsión no lineal) .................................................. 6 1.3 Inconvenientes de la retroacción....................................................................................................... 7 1.3.1 Debido a la ganancia elevada del lazo ...................................................................................... 7 1.3.2 Debido a la inclusión del sensor ............................................................................................... 7 1.4 Limitaciones de la retroacción .......................................................................................................... 8 1.5 Otras configuraciones de control ...................................................................................................... 8 2. Relación entre el lazo abierto y el lazo cerrado (I) .............................................................................. 11 2.1 Respuesta frecuencial en coordenadas polares. Ábacos de Hall ................................................... 11 2.2 Respuesta frecuencial en escala logarítmica. Ábaco de Nichols/Black ......................................... 14 2.3 Ejercicio resuelto ............................................................................................................................ 17 3. Relación entre el lazo abierto y el lazo cerrado (II) ............................................................................ 21 3.1 Polos y ceros. Lugar geométrico de las raíces (LGR) de Evans .................................................... 21 3.2 Pasos para el trazado del LGR de Evans ........................................................................................ 22 3.3 Ejercicios resueltos ......................................................................................................................... 30 4. Análisis de estabilidad ........................................................................................................................... 37 4.1 Criterio de Routh-Hurwitz............................................................................................................... 37 4.2 Criterio de Nyquist .......................................................................................................................... 42 4.3 Márgenes de estabilidad ................................................................................................................. 47 4.3.1 Margen de ganancia (MG) y margen de fase (MF) ................................................................ 47 4.3.2 Margen de módulo (M) y margen de retardo ()................................................................ 48 4.4 Ejercicios resueltos ......................................................................................................................... 49 5. Análisis del comportamiento ................................................................................................................. 57 5.1 Precisión (estática).......................................................................................................................... 57 5.1.1 Constantes de error estáticas (régimen permanente)............................................................... 57 5.1.2 Tipo de sistema ....................................................................................................................... 57 5.1.3 Determinación de las constantes de error a partir del lazo y del servo ................................... 58 5.1.4 Principio del modelo interno .................................................................................................. 60 5.2 Integrales de error (dinámico) ........................................................................................................ 60 5.2.1 Tabla de integrales cuadráticas ............................................................................................... 61 5.3 Ejercicios resueltos ......................................................................................................................... 63 6. Análisis de sensibilidad y robustez ....................................................................................................... 71 6.1 Funciones de sensibilidad ............................................................................................................... 71 6.1.1 Definiciones............................................................................................................................ 71 6.1.2 Aspectos de cálculo ................................................................................................................ 72 6.1.3 Aplicación de S(j) al cálculo de errores de regulación (perturbaciones).............................. 72 6.1.4 Aplicación de S(j) al cálculo de errores en el seguimiento (señales de mando) .................. 72 6.1.5 Sensibilidad. Relación entre S y L-1....................................................................................... 73 6.1.6 Ejercicios resueltos ................................................................................................................. 74 6.2 Incertidumbre y robustez ................................................................................................................. 83 6.2.1 Cómo modelar la incertidumbre de la planta. Familia de plantas .......................................... 83 6.2.2 Análisis de robustez ................................................................................................................ 88 6.2.3 Estabilidad .............................................................................................................................. 89 ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
2
Tema 2. Análisis de Servosistemas
6.2.4 7. Comportamiento ..................................................................................................................... 92 Extensión del análisis clásico ................................................................................................................. 95 7.1 Efecto de las no linealidades (saturación) ...................................................................................... 95 7.2 Efecto de la discretización (Ts)........................................................................................................ 95 7.3 Efecto del ruido ............................................................................................................................... 96 ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
3
Tema 2. Análisis de Servosistemas
1.
1.1
Retroacción
Lazo retroactivo básico. Notación
La Fig. 1 muestra un lazo retroactivo con un grado de libertad (un único controlador).
r +
e
_
C(s)
u+
+
d
controlador
y
G(s)
planta
+
+
v
Fig. 1. Lazo retroactivo básico de un grado de libertad
Señales:
r:
e:
u:
d:
y:
v:
señal de referencia, consigna o set-point
señal de error
señal de control o esfuerzo de control
señal de perturbación o ruido (disturbance)
señal de salida o respuesta del servo
ruido de medida
Funciones de transferencia:
Función de lazo: L( s ) C ( s )G ( s )
Función diferencia de retorno: F ( s ) 1 L( s )
Función de sensibilidad (función de transferencia en lazo cerrado desde r a e):
S ( s)
E ( s)
1
R ( s ) 1 L( s )
Función de sensibilidad complementaria (función de transferencia en lazo cerrado de r a y):
T ( s)
Y ( s)
L( s )
R ( s ) 1 L( s )
Función de esfuerzo de control (función de transferencia en lazo cerrado desde r a u):
Tu ( s )
U ( s)
C ( s)
C ( s)S ( s)
R ( s ) 1 L( s )
Cuando hablamos del lazo o del lazo abierto nos referimos a L(s); cuando decimos el servo o el
lazo cerrado nos estamos refiriendo a T(s).
Puesto que el sistema es lineal, la salida del servo es la superposición del efecto de todas las señales
de entrada:
y
L
G
L
r
d
v
1 L
1 L
1 L
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
y Tr GSd Tv
4
Tema 2. Análisis de Servosistemas
Las especificaciones básicas que debe cumplir el servo son las siguientes:
1) Estabilidad. En el sentido BIBO (bounded input bounded output)
2) Seguimiento de las señales de consigna (tracking): Para tener y r, interesa que T1. Ello
es equivalente a tener L>>.
3) Rechazo de las perturbaciones: Para tener y r a pesar de la presencia de d, interesa que
S<<. Ello es equivalente a tener L>>.
4) Insensibilidad al ruido de medida: Para que el ruido de medida v no se refleje en la salida,
interesa que T<<, para ello el lazo debe ser pequeño L<<.
La especificación 4) entra en contradicción con las especificaciones 2) y 3). Este dilema se
resuelve mediante la conformación del lazo L (loopshaping) a diferentes frecuencias:
A bajas frecuencias (BF) se fuerza a que el lazo sea grande L>> a fin de asegurar el
tracking y el rechazo de perturbaciones. En los servosistemas la banda de interés suele ser
las bajas frecuencias.
A frecuencias intermedias, alrededor del crossover (frecuencia a la cual L=1, es decir,
L=0dB), se fuerza a que la pendiente de L sea suave (-20dB/dec) a fin de evitar problemas
de estabilidad.
A altas frecuencias (AF) se fuerza a que el lazo sea pequeño L<< a fin de evitar la
influencia del ruido de medida y otros efectos parásitos (incertidumbre del modelo de la
planta).
1.2
Ventajas de usar retroacción (con ganancia de lazo elevada)
Los efectos deseables del uso de la retroacción son los siguientes:
1)
2)
3)
4)
Desensibilización frente a la incertidumbre en el modelo de la planta.
Desensibilización frente a perturbaciones aditivas.
Modificación de la dinámica.
Mejora de la linealidad.
Estos efectos se consiguen en mayor grado si se aumenta la ganancia del lazo. Sin embargo, un
aumento excesivo de ésta puede provocar problemas de inestabilidad y saturación de los
actuadores. Veamos los efectos con más detalle:
1.2.1
Desensibilización/robustez frente a variaciones de la planta
Considerar el sistema retroactivo de la Fig. 2. La
función de transferencia en lazo cerrado viene dada
por
T ( s)
Y ( s)
G( s)
.
R( s ) 1 G ( s ) H ( s )
Los siguientes dos casos muestran cómo la
retroacción desensibiliza las características de la
transmisión:
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
E(s)
R(s) +
-
G(s)
Y(s)
H(s)
Fig. 2. Robustez
5
Tema 2. Análisis de Servosistemas
Diseño inverso y robusto. Si la ganancia de lazo L( s ) G ( s ) H ( s ) es tal que L( j ) ,
entonces T ( j ) H 1 ( j ) . La conclusión es que (si el sistema es estable) el servo se comporta
como H 1 ( s ) independientemente de los valores que tome G(s). Como H(s) puede implementarse
fácilmente con alta precisión, se consigue realizar una T(s) exacta a pesar de la incertidumbre en el
modelo de G(s) o de sus propiedades desfavorables (no lineales y/o variantes con el tiempo). El
diseño T ( s ) H 1 ( s ) recibe el nombre de diseño robusto con relación a la incertidumbre en el
modelo de la planta.
1
R ( s) . Si
1 G(s)
G ( j ) entonces E (s ) y, por tanto, Y ( s ) R( s ) , lo que es lo mismo, T ( s ) 1 .
Seguimiento robusto. En el caso de retroacción unitaria, H = 1, se tiene E ( s )
Nota: Es importante notar que estos dos resultados sólo se cumplen en el caso de sistemas estables
y en la gama de frecuencias en que G ( j ) .
1.2.2
Rechazo/atenuación de las perturbaciones
En general, las perturbaciones se describen mediante
una señal w, determinista o aleatoria, que afecta de
manera aditiva a la salida del servo (ver figura).
Su efecto sobre la salida y viene dado por
Y ( s)
1
D ( s ) S ( s ) D( s ) , siendo S(s) la
1 G( s)
función de sensibilidad de Bode.
E(s)
R(s) +
-
G(s)
D(s)
+
+
Y(s)
Fig. 3. Rechazo de perturbaciones
Si G ( j ) , el efecto de la perturbación d(t) se ve fuertemente reducido a la salida.
1.2.3
Cambio de la dinámica (estabilización y aumento del ancho de banda)
Es otra consecuencia de L( j ) . Para hacerlo más intuitivo supongamos que H = constante.
En este caso T constante dentro de la gama de frecuencias en que L( j ) . Diseñar L(s) es lo
que se conoce como conformación del lazo (loopshaping).
Notar que la retroacción ni añade ni quita polos con respecto al número de polos que teníamos en
lazo abierto. Al cerrar el lazo y ajustar su ganancia lo que hacemos es mover los polos del lazo
abierto a otras posiciones. En el caso de mover los polos en lazo abierto que estaban en el
semiplano derecho del plano complejo al semiplano izquierdo, lo que se consigue es estabilizar al
sistema. En el caso de alejar los polos del lazo del eje imaginario lo que conseguimos es aumentar
el ancho de banda (velocidad de respuesta) del sistema.
1.2.4
Mejora de la linealidad (reducción de la distorsión no lineal)
Con la retroacción, además de la robustez, se pueden obtener otros efectos beneficiosos, entre ellos
el de la mejora de la linealidad.
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
6
Tema 2. Análisis de Servosistemas
Como hemos visto, si L( j ) , T H 1 y, por tanto, si H(s) es lineal (fácilmente realizable),
el servo lo es a pesar de las alinealidades de la planta.
1.3
Inconvenientes de la retroacción
Hasta aquí se ha evidenciado que la retroacción permite obtener resultados muy útiles. No obstante
también presenta algunos inconvenientes:
1.3.1
Debido a la ganancia elevada del lazo
Desestabilización: Los sistemas retroactivos con ganancia de lazo elevada presentan una serie de
propiedades tales como mejora de su linealidad, aumento de su banda pasante, rechazo de las
perturbaciones y robustez frente a la incertidumbre en el modelo de la planta. La condición
supuesta en todas ellas es que el sistema es estable. Por desgracia los servos, incluso los que son
estables para cierta ganancia, pueden tornarse inestables si ésta es aumentada (y, a veces, reducida).
La inestabilidad se produce debido a que la señal retroalimentada es excesiva o su fase (timing) es
inadecuada.
El tema de la inestabilidad será motivo de estudio detallado próximamente, pero conviene adelantar
algunas ideas de cómo superar el dilema:
a) En general, se trata de relacionar la ganancia del lazo con la estabilidad del servo y
b) Obtener consecuencias para diseñar servos de manera que el lazo sea lo más elevado
posible a la vez que preserve la estabilidad.
El estudio de la estabilidad se realizará con los siguientes instrumentos:
a) En sistemas lineales invariantes con el tiempo (SLI). Búsqueda de condiciones suficientes
y necesarias (Routh, Nyquist,...)
b) En sistemas no lineales (SNL). Teorema de la ganancia pequeña. Es muy general, pero
sólo presenta condiciones suficientes y sólo es aplicable a servos con ganancias pequeñas
(las deseamos elevadas) conduciendo a diseños excesivamente conservadores.
Saturación: A veces una ganancia de lazo elevada aunque no produzca inestabilidad sí genera
señales elevadas (sobre todo a la entrada de la planta) dando lugar a fenómenos no lineales, en
particular la saturación que, al reducir la ganancia efectiva, degrada la calidad de las prestaciones
del servo.
1.3.2
Debido a la inclusión del sensor
Efecto del error de medida: Al requerir un sensor,
se añade un coste adicional al diseño (a veces muy
importante) y además, se introduce error en la
información sobre la salida, lo que implica pérdida
de precisión en el servo,
YN ( s )
G( s)
V ( s) .
1 G( s)
E(s)
R(s) +
-
Y(s)
G(s)
V(s)
+
+
Fig. 4. Ruido de medida
Comentario: La expresión anterior indica que V tiene el mismo efecto que R, dentro de su banda
pasante, por lo que resulta difícil atenuar su efecto sin sacrificar las ventajas. La única solución es
reducir V usando un sensor de calidad.
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
7
Tema 2. Análisis de Servosistemas
1.4
Limitaciones de la retroacción
1) Las especificaciones del servo han de ser realistas, es decir, han de tener en cuenta las
limitaciones físicas de los componentes, en particular el ancho de banda y la máxima amplitud
de la señal de control u(t).
2) La ganancia y la fase no son independientes (están relacionadas por los Teoremas de Bode) y,
por tanto, las especificaciones de la ganancia del lazo repercuten en la fase aumentando el
riesgo de inestabilidad.
3) En los sistemas de control con un grado de libertad (1 DOF, 1 degree of freedom), la S(s)
(función de sensibilidad) y la T(s) (transmitancia del servo, también llamada función de
sensibilidad complementaria) no son independientes sino que se cumple que S(s) + T(s) = 1, por
lo que no se pueden especificar independientemente.
Para poder especificar
independientemente S y T hay que recurrir a las estructuras con 2 DOF.
En este tema se presentan los instrumentos de análisis de los sistemas retroactivos de un grado de
libertad. Todos estos instrumentos se aplican sobre el lazo abierto L y su aplicación nos da
información sobre el lazo cerrado T.
1.5
Otras configuraciones de control
La retroacción es la configuración de control básica. Por ejemplo, la Fig. 5 corresponde al sistema
de control automático para la orientación de una antena que debe apuntar a un determinado satélite
geoestacionario. La función de transferencia de la planta incluye la dinámica dominante de la
antena junto con el amplificador de potencia y el motor que constituyen los actuadores. El sensor se
considera ideal.
R
E
+
U
Gc(s)
5
s( s 1)(s 5)
a
Fig. 5. Lazo retroactivo básico
Sin embargo, a fin de aumentar las prestaciones del sistema de control, en la práctica se admiten
algunas variaciones y la retroacción se puede combinar con otras configuraciones.
Por ejemplo, es posible añadir lazos auxiliares tal y como se muestra en las siguientes figuras. La
Fig. 6 muestra el caso de lazo auxiliar tacométrico. La inclusión del tacómetro sirve para mejorar la
respuesta transitoria del servo.
R
+
E
+
U
5
s( s 1)(s 5)
a
kTs
Fig. 6. Compensación tacométrica
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
8
Tema 2. Análisis de Servosistemas
En la Fig. 7, el control en cascada dispone de un controlador para cada lazo. La variable principal
(ángulo) se controla mediante el lazo exterior (principal o primario). Su salida es la referencia para
el lazo de velocidad. Y la salida del regulador de velocidad hace de referencia al lazo de corriente.
El lazo externo es el más lento. La sintonización de cada lazo es muy simple, y se ajusta de dentro
afuera. Este tipo de configuración de control es el más usado en accionamientos industriales.
D1
R +
k1
-
+
k2
-
+
0.1
s5
1
s5
k3
-
+
+
D2
I
50
s 1
1
s5
+
+
D3
1
s
+
+
1
s5
Fig. 7. Compensación en cascada
También es posible hacer retroacción de las variables de estado. Siguiendo con el ejemplo,
podemos mejorar aún más el control si añadimos un nuevo lazo correspondiente a la tercera variable
de estado (de fase en este caso), es decir, la aceleración. El sensado de la aceleración se hace de
manera indirecta sensando la corriente del motor (que, a través del par, determina y es proporcional
a la aceleración).
R +
U
- - -
0.1
s5
1
s
5
k3
I
10
Tm1
5
Tm2
1
s 1
1
s5
1
s
a
1
s5
k2
k1
Fig. 8. Retroacción de las variables de estado
En muchas ocasiones la retroacción (feedback) se combina con el control anticipativo
(feedforward). En la Fig. 9, con objeto de compensar el efecto de las perturbaciones (si son
medibles) se añade un corrector GF(s) de manera que la transmitancia
Tm
1 . Para facilitar la
Tw
implementación, el corrector debe ser realizable, es decir no debe tener más ceros que polos, así por
ejemplo podemos tomar GF ( s )
( s 5) 50
.
5 ( s 50)
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
9
a
Tema 2. Análisis de Servosistemas
Fig. 9. Feedforward de las perturbaciones
En la Fig. 10 con objeto de acelerar el efecto de la señal de mando se establece un nuevo paso de R
a a mediante un nuevo corrector GF2 de manera que este nuevo paso presente una ganancia 1.
Aquí vuelve a aparecer el problema de la realización, hay que tomar una GF2 realizable.
GF2(s)
R
+
+
E
+
kc = 1
U
5
s ( s 1)( s 5)
a
Fig. 10. Feedforward de la señal de mando
Finalmente, para tener libertad de fijar las especificaciones se adopta la configuración de la figura,
añadiendo un prefiltro al lazo principal. Se puede interpretar de varias maneras: 1) Libertad para
fijar independientemente T y S; y 2) Fijación de polos y ceros.
R
GPF (s)
+
E
U
Gc(s)
5
s( s 1)(s 5)
a
Fig. 11. Control de dos grados de libertad
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
10
Tema 2. Análisis de Servosistemas
2.
Relación entre el lazo abierto y el lazo cerrado (I)
Objetivo: Inferir el efecto que tienen las modificaciones en L(j) o L(s) (lazo abierto) sobre T(j)
o T(s) (lazo cerrado) sin tener que calcular este último de forma explícita. El motivo
radica en que, en general, los compensadores/controladores a calcular se sitúan en serie
(cascada) con el resto de componentes del lazo y, por tanto, su efecto sobre L(j) o L(s)
es directo.
2.1
Respuesta frecuencial en coordenadas polares. Ábacos de Hall
El ábaco de Hall es un ábaco que se sitúa sobre la representación en coordenadas polares (diagrama
de Nyquist) de la respuesta frecuencial del lazo (abierto) L(j). Para cada frecuencia i, la
intersección del diagrama polar de L(ji) y el ábaco de Hall nos dice cuánto vale el módulo del lazo
cerrado |T(ji)| y la fase en lazo cerrado T ( ji ) .
Hay dos ábacos: el directo que se sitúa sobre la representación de L(j), y el inverso que se sitúa
sobre la representación de L-1(j).
A continuación se indican las fórmulas para el trazado del ábaco. Éste consiste en una serie de
círculos M de módulo del lazo cerrado constante y una serie de círculos N de fase de lazo cerrado
constante.
1) Polar directo: T ( j )
2) Polar inverso: T ( j )
L( j )
M ( )N ( )
1 L( j )
1
(los círculos de M = cte se construyen representando
L ( j ) 1
1
los lugares donde L1 ( j ) 1 cte )
-1
1+L-1(j1)
1
1+L(j1)
1
L(j 1)
-1
L-1(j1)
Directo
Inverso
Fig. 12. Construcción ábacos de Hall
3) Cálculo de los lugares geométricos de M (módulo) y N (fase) constantes del servo.
Los lugares de M constante son círculos de radio
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
M
y centrados en
M 2 1
M2
2
, 0 :
M 1
11
Tema 2. Análisis de Servosistemas
2
M2
M2
2
M constante: Re( L( j )) 2
si M 1,
Im(
(
))
L
j
( M 2 1) 2
M 1
1
, si M = 1.
2
Re( L( j ))
2
1 1
y centrados en
4 2N
Los lugares de N constante son círculos de radio
2
2
1
1
1 1
N constante: Re( L( j )) Im( L( j ))
2
2N
4 2N
1 1
,
:
2 2N
2
4) Ábacos resultantes:
1.5 j
|M| = 0.707
|M| = 1
|M| = 1.2
j
= -300
|M| = 0.6
0.5 j
-270
0
-180
-120
-0.5 j
-90
-70
-60
-j
-50
-40
-1.5 j
-30
-20
-2 j
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Fig. 13. Ábaco de Hall (polar directo).
2j
1.5 j
j
= -90º
|T| = 0.5
= -60º
|T| = 0.6
= -150º
= -30º
|T| = 0.7
|T| = 1.0
0.5 j
|T| = 2.0
0 = -180º
-0.5 j
-1 j
-1.5 j
-2 j
-3
-2
-1
0
1
2
Fig. 14. Ábaco de Hall (polar inverso).
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
12
Tema 2. Análisis de Servosistemas
Ejemplo 1. Interpretación del ábaco de Hall. La siguiente figura muestra en rojo el diagrama
polar de la función de lazo L( s )
1000
y en gris los círculos de módulo M del
( s 10)( s 2 6s 100)
ábaco de Hall directo.
Im [ L (j )]
1.5
M= 1.4
1
0.5
0
M = 1.2
M= 1.0 M = 0.8
M= 1.6
M= 0.6
M= 2.0
M= 3.0
M= 5.0
b = 16.33
= 13.57
Mr = 3.02 r = 11.65
=0
M= 0.35
= 10.75
-0.5
= 10.09
= 9.61
= 9.00
-1
-1.5
M= 0.5
M= 0.4
-1
-0.5
= 5.56
= 7.96
0
0.5
1
1.5
Re [ L (j )]
La superposición del diagrama polar de L(j)=G(j)H con los círculos de módulo constante, nos da
información sobre el módulo de la respuesta frecuencial del lazo cerrado T ( j )
G ( j )
,
1 G ( j ) H
con H 1.
La siguiente figura muestra en coordenadas cartesianas el módulo del servo.
| T (j ) |
3.5
Mr = 3.02
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0.35
0
0
5
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
10 r = 11.6515 b = 16.3320
[rad/s]
13
Tema 2. Análisis de Servosistemas
Notar que el ancho de banda b es la frecuencia a la cuál el módulo vale 0.7 veces la ganancia en
continua (es decir, la frecuencia a la cual la potencia a caído a la mitad). Puesto que en continua
(=0) el módulo del servo vale M=0.5, el ancho de banda será la frecuencia a la cual el lazo
intersecta el círculo de valor M=0.70.5=0.35. Esta es b=16.33rad/s.
Notar que la frecuencia de resonancia r es la frecuencia a la cual el diagrama de Nyquist del lazo
intersecta con el círculo M de mayor magnitud (y el valor de la resonancia es precisamente dicho
valor de M).
2.2
Respuesta frecuencial en escala logarítmica. Ábaco de Nichols/Black
Objetivo: El objetivo es el mismo del caso anterior pero ahora a partir de los diagramas de Bode de
L(j), más fáciles de estimar que los polares. Para ello se usan las coordenadas
(logarítmicas) de fase y ganancia. A partir de ahí, y con ayuda de los nuevos ábacos de
M y N constantes (modificados según la correspondiente transformación de
coordenadas), se puede estimar la respuesta en lazo cerrado T(j).
Comentarios:
Las ecuaciones de los lugares geométricos (M, N) no tienen la elegancia sencilla del ábaco de
Hall. Mediante la transformación de coordenadas,
T ( j )
a jb
L( j )
M ( ) ( ) ;
u jv ; L( j ) L e j
1 L( j )
1 a jb
2
2
1
2a 1
2
Lugar geométrico de (u, v) con a = constante: u
v
,
2(1 a)
2(1 a)
2
1 1
Lugar geométrico de (u, v) con b = constante: u 1 v
2b 2b
2
2
resultan ser:
2
2
cos sin
Ecuación curvas de M = constante: M 1
L L
sin
Ecuación curvas de N = constante: N tg
L cos
1
El efecto de un compensador en serie se ve muy claramente en Bode (y bastante bien en estos
nuevos ejes) facilitando así la determinación del controlador por loopshaping.
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
14
Tema 2. Análisis de Servosistemas
0.25 db
32
-2
0.5 db
28
0 db
24
-5
1 db
20
-0.5 db
-10
2 db
16
-1 db
3 db
12
-2 db
-20
4 db
6 db
8
-3 db
-30
-4 db
12 db
4
-5 db
-6 db
0
-9 db
-4
-12 db
-8
-12
-16
-20
-90
-180
-18 db
-24 db
-24
0
-20
-40
-60
-80
-100
-120
-140
-160
-180
-200
-220
-240
-260
-280
-300
-28
Fig. 15. Ábaco de Nichols
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
15
Tema 2. Análisis de Servosistemas
Ejemplo 2. Interpretación del ábaco de Nichols. Las siguientes figuras muestran la
interpretación del ábaco de Nichols para el mismo lazo del ejemplo anterior.
Diagrama fase-ganancia de L( s )
20
1000
y ábaco de Nichols
( s 10)( s 2 6s 100)
1dB
0dB
2dB
Módulo de L(j) [dB]
10
6dB
10dB
0
Mr = 9.54
= 9.0
= 10.7
r = 11.6
= 7.1
= 0.1
-6dB
-9dB
= 13.6
-10
-3dB
b = 16.3
= 22.5
-20
-300º
-30
-250º
-200º
-230º
-280º
-40
-50
-300
-20dB
-150º
-120º
-100º
-70º
-50º
-20º
= 35.1
-40dB
= 46.8
= 67.3
-250
-200
-150
-100
-50
0
Fase de L(j) [grados]
Diagrama de Bode de T ( j )
L( j )
1 L( j )
20
Mr = 9.54
Módulo [dB]
0
-9dB
-20
-40
-60
-80
-100
-120
0
10
r = 11.6
10
b = 16.3
1
10
2
10
3
[rad/s]
Fase [grados]
0
-50
-100
-150
-200
-250
-300
10
0
101
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
10 2
10
3
[rad/s]
16
Tema 2. Análisis de Servosistemas
2.3
Ejercicio resuelto
Ejercicio 1. Dada la respuesta del lazo de un servo con H=1,
0
30
0dB
Magnitud de G(j) [dB]
20
2dB
4dB
6dB
8dB
10dB
10
0
-10
-1dB
= 0.70
= 0.95
= 1.13
-3dB
= 1.43
= 1.66
= 2.2
-300
-20
-30
-300
= 2.88
-250
-280
-230
-200 -150
-120
-10dB
-70
-50
-20dB
-100
= 4.41
-250
-200
-150
-100
-50
Fase de G(j) [grados]
se pide:
1) Representar punto a punto y a escala el diagrama de Bode de la magnitud del lazo cerrado |T(j)|
indicando el valor de Mr, r, b y T(0).
2) Si se excita T(s) con una señal r(t)=2sen(1.13t) determinar la frecuencia y la amplitud de la salida y(t) una
vez extinguido el transitorio. Ídem con r(t)=2sen(4.41t).
Solución:
1) El ábaco de Nichols sobre la representación fase-ganancia del lazo abierto nos da la siguiente información
del lazo cerrado:
|T(j)|dB
0.7
2
0.95
4
1.13
6
1.43
10
1.66
6
2.2
-3
2.88
-10
4.41
-20
Resonancia: Se busca el círculo M de mayor magnitud que toca el lazo. En nuestro caso es el círculo 10dB y
el lazo lo toca a frecuencia 1.43rad/s. Así pues, en el lazo cerrado, la resonancia viene definida por Mr=10dB
y r=1.43rad/s.
Ganancia en continua T(0): A frecuencia 0 el lazo tiene un módulo infinito, una fase de -90° y, en
consecuencia, toca el círculo de 0dB (ello indica que el lazo tiene un integrador), así pues, en lazo cerrado la
ganancia en continua es T(0)=0dB.
Ancho de banda a -3dB: Puesto que la ganancia en continua es 0dB el ancho de banda hay que buscarlo en el
círculo de -3dB (0dB-3dB=-3dB). En nuestro caso el ancho de banda del servo es 2.2rad/s.
Diagrama de Bode de magnitud del servo:
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
17
Tema 2. Análisis de Servosistemas
dB
Mr=10dB
10
5
T(0)=0dB
0
0.1
0.2
-5
0.4
1
2
4
r=1.43rad/s
10
b=2.2rad/s
-10
-15
-20
2)
r(t)=2sin(1.13t) y(t)=4sin(1.13t-1) puesto que T ( j1.13) 6dB1 y 6dB en lineal es 2
r(t)=2sin(4.41t) y(t)=0.2sin(4.41t-2) puesto que T ( j 4.41) 20dB2 y -20dB en lineal es 0.1
Ejercicio 4. Ábaco de Nichols.
1)
Considerar un servo con retroacción unitaria cuya ganancia de lazo es L( j ) L e j L . Así,
L( j )
. Se pide demostrar que la ecuación que cumplen los lugares
1 L( j )
M de ganancia del servo constante M T ( j ) cte es la siguiente:
el servo es T ( j )
2
L
2)
2M 2
M2
L
cos
0
L
M 2 1
M 2 1
Considerar un servo con ganancia de lazo L( s )
1600
. Se pide:
s ( s 4)( s 40)
(a) Representar su respuesta frecuencial en un diagrama fase-ganancia (Nota: para ello puede ser
útil bosquejar antes el diagrama de Bode).
(b) En la representación anterior, usar el ábaco de Nichols para determinar las siguientes
características del servo: ganancia en continua, resonancia y ancho de banda (a -3dB).
(c) A partir del ábaco de Nichols, y a partir de unos cuantos puntos, bosquejar los diagramas de
Bode del servo.
Solución: La ganancia de lazo puede descomponerse en parte real e imaginaria:
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
18
Tema 2. Análisis de Servosistemas
L( j ) L e j L L cos L j L sin L
Así, el módulo del servo queda como
2
T ( j ) M
2
L cos 2 L L sin 2 L
1 L cos
2
L
2
L sin 2 L
M
L
2
2
1 2 L cos L L cos 2 L L sin 2 L
L
2
2
2
1 2 L cos L L
2
2
2
M 2 2 L cos L M 2 L M 2 L 0
2
M 2 2 L cos L M 2 ( M 2 1) L 0
M2
2M 2
2
L cos L L 0
2
2
M 1 M 1
c.q.d.
2) En primer lugar se traza el diagrama de Bode del lazo y se toman algunos puntos (frecuencia,
ganancia en dB y fase en grados) que nos servirán para trazar el diagrama fase-ganancia del lazo.
(rad/s)
0.2
0.4
1
2
4
6
10
20
30
|L(j)|dB
34
28
20
13
5
0
-9
-20
-30
(j)
-94º
-96º
-105º
-120º
-135º
-150º
-175º
-200º
-210º
Con los puntos de la tabla anterior se traza el diagrama fase-ganancia del lazo. A partir de la
superposición del ábaco de Nichols con el diagrama fase-ganancia del lazo podemos sacar las
siguientes conclusiones:
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
19
Tema 2. Análisis de Servosistemas
(a) La ganancia en continua del servo
es |M(0)|=0dB (como ya era de esperar
puesto que el lazo presenta un
integrador).
(b) El círculo M de magnitud más
grande que toca el lazo es el círculo
rotulado 6dB y ello ocurre a la
frecuencia 6rad/s. Por tanto, el valor
de la resonancia del servo será
Mr=6dB y la frecuencia de resonancia
del servo será r=6rad/s (notar que es
muy cercana a la frecuencia de
crossover del lazo, es decir, a la
frecuencia a la cual el lazo vale 0dB).
(c)
Para buscar el valor de la
frecuencia correspondiente al ancho de
banda a -3dB hay que buscar el círculo
M de valor (ganancia en continua del
servo) - 3dB. En nuestro caso, puesto
que la ganancia en continua es 0dB,
basta con buscar a qué frecuencia
intersectan el lazo y el círculo M de
valor -3dB. Esta frecuencia está un
poco antes de 10rad/s. Por tanto,
concluimos que el ancho de banda del
servo es b=9.5rad/s.
Finalmente, nos fijamos en el resto de círculos M (de módulo) y N (de fase) del ábaco a cada una de
las frecuencias que hemos rotulado y, de ahí, sacamos los puntos necesarios para bosquejar los
diagramas de Bode del servo.
(rad/s)
0.2
0.4
1
2
4
6
10
20
30
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
|M(j)|dB
0
0.1
0.2
0.7
3
6
-6
-20
-28
(j)
0º
-2.5º
-5.5º
-12º
-35º
-85º
-165º
-195º
-210º
20
Tema 2. Análisis de Servosistemas
3.
Relación entre el lazo abierto y el lazo cerrado (II)
3.1
Polos y ceros. Lugar geométrico de las raíces (LGR) de Evans
Objetivo: Ver gráficamente cómo evolucionan los polos del servo (lazo cerrado) al variar un
parámetro del lazo (abierto). En general, este parámetro es la amplificación k, aunque
también puede ser un polo (p) o un cero (z).
El trazado rápido (aproximado) del LGR es de una gran ayuda para estudiar los polos
dominantes, residuos y estabilidad, y para diseñar controladores sencillos.
Trazado del LGR:
Preliminares. En primer lugar hay que expresar el denominador del servo (ecuación característica)
en la forma estándar:
1 k
N ( s)
0 , con k>0.
D( s )
El lugar geométrico de las raíces (LGR) es la solución gráfica de la ecuación anterior. Muestra
todos los valores “s” (lugares) que la satisfacen.
Resolver la ecuación característica es equivalente a resolver las siguientes dos ecuaciones que
reciben el nombre de condición modular y condición argumental respectivamente:
N ( s)
k
1
condición modular
N ( s)
N ( s)
D
(
s
)
1 k
0 k
1
D( s )
D( s )
k N ( s ) 180 condición argumental
D( s)
Comentarios:
(a) El número de ramas del LGR es igual al número de polos del lazo (raíces de D(s)). Notar que
la retroacción no añade ni quita polos. El lazo cerrado tiene el mismo número de polos que el lazo
abierto, sólo que cambiados de sitio.
(b) Cada rama del LGR empieza en un polo del lazo abierto (raíces de D(s)) y termina en un cero
del lazo abierto (raíces de N(s)):
N ( s)
0 D( s ) kN ( s ) 0 k 0 D ( s ) 0
D( s )
N ( s)
D( s)
Final (k=): 1 k
0
N ( s) 0
N ( s) 0
D( s)
k
k
Origen (k=0): 1 k
(c) Si k es la ganancia del lazo, kN(s)/D(s) coincide con el lazo L(s). Pero si el parámetro para el
cual vamos a dibujar el LGR es otro, por ejemplo un polo p, el numerador y el denominador
que quedan N’(s) y D’(s) no tienen nada que ver con L(s):
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
21
Tema 2. Análisis de Servosistemas
1 p
N ' ( s)
, con p>0.
D' ( s )
Las ramas irán de las raíces de D’(s) (polos) a las raíces de N’(s) (ceros).
(d) Analogía electrostática: Para ayudar en el trazado de las trayectorias es útil imaginar que los
polos y ceros son cargas de distinto signo: Las cargas de igual signo se repelen y las de signo
distinto se atraen. Así, los polos se repelen y los ceros atraen a los polos.
(e) El LGR también sirve para hallar las raíces de polinomios.
3.2
Pasos para el trazado del LGR de Evans
Los pasos para el trazado son:
Paso 1) Tramo sobre el eje real: Hay LGR si a la derecha hay un número impar de polos y ceros.
Paso 2) Asíntotas: Cuando en la función de transferencia N(s)/D(s) hay más polos que ceros
finitos ello significa que los ceros que faltan están en el infinito. Los polos correspondientes a
estos ceros tendrán que viajar al infinito. Las ramas al infinito siguen unas rectas asintóticas que se
definen indicando su origen (centroide) y su pendiente (fase):
Centroide: A
V V
p
z
NP NZ
180
, ( n = 1, 3, 5…)
Fase: n
NP NZ
donde Vp y Vz son el valor de los polos y los ceros, y NP y NZ son el número de polos y de ceros
finitos.
Paso 3) Punto de emergencia (o de incidencia) del (al) eje real: Cuando la k() es máxima
(mínima). A veces es aconsejable determinarlo de manera numérico-gráfica aproximada. Además,
las ramas (si son dos) emergen perpendicularmente al eje real.
Paso 4) Punto de cruce del eje imaginario: Se determina aplicando el criterio de Routh o
resolviendo la ecuación característica para s=j.
Paso 5) Ajustes
(a) Ángulo de salida (llegada) desde (hacia) los polos (ceros) complejos:
condición angular a un punto cercano a dicho polo (cero).
Se aplica la
(b) Parametrización: Se asigna la k a un punto del LGR, mediante la aplicación (gráfica) de la
condición modular.
(c) Ajuste local del trazado: Se aplica la condición argumental (la fase total debe ser -180)
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
22
Tema 2. Análisis de Servosistemas
Ejemplo 3. Lugar geométrico de las raíces de Evans. Considerar el servo de la figura,
+
4
s( s 1)( s 2)
k
Se desea conocer cuáles serán los polos del servo para cada uno de los valores de k entre 0 e
infinito. El LGR nos da esta información de manera gráfica en el plano complejo.
Paso 0) En primer lugar hay que expresar el denominador del servo como
1 k
4
0.
s( s 1)( s 2)
A continuación, hay que situar los polos y ceros de la función que multiplica a k en el plano
complejo. En nuestro caso solo hay tres polos: 0, -1 y -2.
Ahora ya se pueden aplicar las reglas de trazado:
Paso 1) Eje real:
Hay LGR entre - y -2 (puesto que a la derecha de – hay un número impar de raíces, hay 3 polos).
No hay LGR entre -2 y -1 (puesto que a la derecha de –2 hay un número par de raíces, hay 2 polos).
Hay LGR entre -1 y 0 (puesto que a la derecha de –1 hay un número impar de raíces, hay 1 polo).
No hay LGR entre 0 y + (puesto que a la derecha de 0 hay un número par de raíces, hay 0).
-2
-1
0
Paso 2) Asíntotas: Hay que calcularlas puesto que los tres polos van a viajar al infinito, que es
donde se encuentran sus tres ceros correspondientes.
Centroide: A
Fases: A i
V p V z
N p Nz
0 1 2 1
30
180
60, 180,
300
N p Nz
60
+60º
+180º
-2
-1
0
-60º
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
23
Tema 2. Análisis de Servosistemas
Paso 3) Eje real: Punto de emergencia o de incidencia. En nuestro caso será de emergencia,
puesto que, a medida que k aumente, los dos polos en -1 y 0 se acercarán el uno al otro por el eje
real, se juntarán y, a continuación se separarán (emergerán) para viajar al infinito.
Puesto que estamos en el eje real, se sustituye s= en la ecuación del LGR:
1 k
4
0 ( 1)( 2) 4k 0 3 3 2 2 4k 0
( 1)( 2)
Justo en el punto de emergencia es donde la k (de todas las k's que cumplen la ecuación anterior) es
máxima. Por ello, podemos hacer
k
1 3
3 2 2
4
0.42 k 0.0962
k
1
3 2 6 2 0
4
1.57
El punto de emergencia es el primero puesto que, por la aplicación del Paso 1), sabemos que -1.57
no pertenece al lugar de Evans.
Paso 4) Eje imaginario. Cruce: Esta regla la tenemos que aplicar puesto que, dadas las asíntotas,
sabemos que dos polos van a atravesar el eje imaginario. De manera análoga a la regla anterior,
ahora hay que sustituir el valor s=j en la ecuación del LGR:
( j ) 3 3( j ) 2 2( j ) 4k 0 j 3 3 2 2 j 4k 0 j 0
Podemos plantear dos ecuaciones, una par la parte real y otra para la imaginaria. Así, basta con
resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
real: 3 2 4k 0
imag.: 3 2 0
El cruce se produce a k=3/2, 2 .
Paso 5) Ajustes: No son necesarios
j
4
3
2
1
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
0
1
2
-1
-2
-3
-4
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
24
Tema 2. Análisis de Servosistemas
Ejemplo 4. Lugar geométrico de las raíces de Evans. Considerar el servo de la figura,
+
1
s( s 2 3s 4)
k
1
s( s 3s 4)
El servo (función de transferencia en lazo cerrado) viene dado por: M ( s )
.
1
1 k
s ( s 2 3s 4)
k
2
Se desea conocer cuáles serán los polos del servo para cada uno de los valores de k entre 0 e
infinito.
Paso 0) En primer lugar hay que expresar el denominador del servo (ecuación a resolver) como
1 k
1
0.
s ( s 3s 4)
2
El LGR es la solución a esta ecuación. A continuación, hay que situar los polos y ceros de la
función que multiplica a k en el plano complejo. En nuestro caso solo hay tres polos: 0,
1.5 j1.3 .
Paso 1) Eje real:
Hay LGR entre - y 0 puesto que a la derecha de – hay un número impar de raíces: hay 1 polo.
(Notar que tener en cuenta el par de polos complejos conjugados no cambia el resultado puesto que
no afectan a la paridad de raíces a un lado y otro de ellos)
j
1.3j
-1.5
-2
-1
0
-1.3j
Paso 2) Asíntotas: Hay que calcularlas puesto que los tres polos van a viajar al infinito, que es
donde se encuentran sus tres ceros correspondientes.
Centroide: A
V p V z
N p Nz
0 1.5
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
j1.3 1.5 j1.3 3
1
30
3
25
Tema 2. Análisis de Servosistemas
Fases: A i
180
60, 180,
300
N p Nz
60
Notar que la fase 300° es equivalente a 60° con lo que no hace falta buscar más múltiplos
impares. Otra forma de verlo es que, puesto que tenemos 3 polos, como mucho habrá tres asíntotas.
j
1.3j
+180º
-1.5
-2
-1
+60º
0
-60º
-1.3j
Paso 3) Eje real: Punto de emergencia o de incidencia. Esta regla no es necesario aplicarla puesto
que los dos polos complejos conjugados no van a incidir en el eje real.
Si tuviéramos dudas se podría aplicar, pero entonces el resultado obtenido no sería coherente con el
resto de reglas (saldrían puntos que no pertenecen al Evans según lo obtenido en el primer paso o
bien saldrían números complejos).
Paso 4) Eje imaginario. Cruce: Esta regla la tenemos que aplicar puesto que, dadas las asíntotas,
sabemos que dos polos van a atravesar el eje imaginario. Hay que sustituir el valor s=j en la
ecuación del LGR:
( j ) 3 3( j ) 2 4( j ) k 0 j 3 3 2 4 j k 0 j 0
Podemos plantear dos ecuaciones, una par la parte real y otra para la imaginaria. Así, basta con
resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
real: 3 2 k 0
imag.: 3 4 0
El cruce se produce a k=12, 2 .
Paso 5) Ajustes: Podemos calcular el ángulo de salida del polo p=-1.5+j1.3. Para ello,
consideramos un punto muy cercano al polo (marcado como un cuadrado) y vemos cuánto tiene que
ser su fase para que el cuadradito pertenezca al LGR, es decir, cuánto tiene que ser su fase para
que la suma de todas las fases sea -180°.
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
26
Tema 2. Análisis de Servosistemas
j
1.3j
~140º
-1.5
-2
-1
0
~90º
-1.3j
( p ) 0 90 140 180 50
Así pues, el ángulo de salida del polo p es -50° (y el del polo p* es +50°. Notar que siempre el
LGR es simétrico respecto al eje real). El LGR definitivo es:
j
5
4
3
2
1
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
-1
-2
-3
-4
-5
0
Ejemplo 5. Lugar geométrico de las raíces de Evans. Considerar el servo de la figura,
+
k
s3
s( s 1)
s3
s( s 1)
El servo (función de transferencia en lazo cerrado) viene dado por: M ( s )
.
s3
1 k
s ( s 1)
k
Así pues, la ecuación a resolver (cuáles serán los polos del servo para cada uno de los valores de k
entre 0 e infinito) es:
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
27
Tema 2. Análisis de Servosistemas
1 k
s3
0.
s ( s 1)
El LGR no es otra cosa que la solución gráfica de la ecuación anterior.
Paso 0) En primer lugar hay que situar los polos y ceros de la función que multiplica a k en el
plano complejo. En nuestro caso hay un cero finito (-3) y dos polos (0 y -1).
Paso 1) Eje real:
Hay LGR entre - y -3 puesto que a la derecha de – hay un número impar de raíces: hay 1 cero y
2 polos. No hay LGR entre -3 y -1 porque a la derecha de -3 hay un número par de raíces (hay 2
polos). Hay LGR entre -1 y 0 puesto que a la derecha de -1 hay un número impar de raíces (hay un
polo)
j
-3
-2
-1
0
Paso 2) Asíntotas: No hace falta calcularlas. Uno de los ceros es finito (una rama terminará en él)
y el cero que está en el infinito ya tiene su rama dibujada (es la que va de -3 a ).
Paso 3) Eje real: Punto de emergencia o de incidencia. Tenemos un punto de emergencia y un
punto de incidencia. A medida que k aumente, los dos polos se acercarán hasta juntarse, ahí se
separarán (emergencia), viajarán por el plano s y volverán a entrar en el eje real (incidencia) a fin de
que uno de ellos acabe en -3 y el otro en .
Los puntos de emergencia/incidencia son sobre el eje real, por tanto, la ecuación a resolver es la
ecuación característica del servo particularizada sobre el eje real, es decir, tomando s .
1 k
s3
3
0 1 k
0 2 k k 3 0
s( s 1)
( 1)
Vamos a buscar el máximo local y el mínimo local de k sobre el eje real :
k ( )
2 1 3 2 2 6 3 0
dk ( )
2
3
d
32
32
0.55 k 0.101 emergencia (máximo local de k )
2 6 3 0
5.45 k 9.899 incidencia (mínimo local de k )
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
28
Tema 2. Análisis de Servosistemas
incidencia
-6
-5
j
emergencia
-4
-3
-2
-1
0
Paso 4) Eje imaginario. Cruce: No hace falta aplicar esta regla puesto que las ramas no cruzarán
el eje imaginario.
Paso 5) Ajustes: No hacen falta pero se podría usar la condición argumental en algún punto del
trazado para determinar si la representación es correcta.
El LGR final es:
j
2.5
2
1.5
1
0.5
-6
-5
-4
-3
-2
0
0
-1
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
Nota: Para obtener la k para un par de polos conjugados dominantes con =0.7 hay que aplicar la
condición modular al punto indicado en la figura siguiente:
j
4
3
2
45°
1
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
0
1
2
-1
-2
-3
-4
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
29
Tema 2. Análisis de Servosistemas
3.3
Ejercicios resueltos
Ejercicio 2. Lugar geométrico de las raíces de Evans. Dada la planta G ( s )
1
, se trata
s( s 2)( s 3)
de controlarla mediante las dos configuraciones indicadas:
G(s)
kc
kc ( s 2 4 s 16 )
G(s)
ajustando, en ambos casos, kc de manera que el sistema global tenga unos polos dominantes con = 0.7. Se
pide:
1) Dibujar, para cada caso, el lugar geométrico de las raíces.
2) Determinar la kc de cada diseño (para =0.7).
3) Comparar ambas situaciones desde el punto de vista de la sensibilidad de las raíces dominantes.
4) Deducir el concepto de "ceros de anclaje".
Solución:
Primer LGR: 1 k
1
0.
s ( s 2)( s 3)
Se dibujan a escala 1:1 el eje real () y el imaginario (j) del plano complejo s y se sitúan los ceros
y polos. En nuestro caso hay 3 polos: 0, -2 y -3. A continuación se aplican las reglas de trazado:
(1) Eje real: Hay LGR entre - y -3. No hay LGR entre -3 y -2. Hay LGR entre -2 y 0. No hay
LGR entre 0 e .
(2) Asíntotas:
Centroide: A
V V
Ángulos: A i
p
z
N p Nz
0 2 3
5
1.67
30
3
180
180
i
i 60 60, 180
N p Nz
30
(3) Punto de emergencia del eje real (s = ): k 3 5 2 6
2.55
dk
3 2 10 6 0 1, 2
0.78
d
e 0.78 , k e ( 0.78) 3 5( 0.78) 2 6( 0.78) 2.11
(4) Punto de cruce del eje imaginario (s = j):
j 3 5 j 2 6 j k 0
5 2 k 0
6 2.45 , k 30
j 3 6 j 0
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
30
Tema 2. Análisis de Servosistemas
(5) Ajustes: No son necesarios
j
6j
4j
c=2.45
2j
kc=30
0
-10
-8
-6
-4
-2
a=-1.67
0
2
-2j
e=-0.78
ke=2.11
-4j
-6j
Para determinar la k que consigue =0.7 hay que aplicar la condición modular al punto de cruce
entre el LGR y la recta de ángulo 135°. El producto del módulo de los vectores es:
k
Segundo LGR: 1 k
D
N
D 0.9 1.4 2.9 3.5
s 2 4 s 16
0.
s( s 2)( s 3)
Se dibujan a escala 1:1 el eje real () y el imaginario (j) del plano complejo s y se sitúan los ceros
y polos. En nuestro caso hay 3 polos: 0, -2 y -3 y 2 ceros: 2 j 3.46 . A continuación se aplican
las reglas de trazado:
(1) Eje real: Hay LGR entre - y -3. No hay LGR entre -3 y -2. Hay LGR entre -2 y 0. No hay
LGR entre 0 e .
(2) Asíntotas: No hacen falta
3 5 2 6
(3) Punto de emergencia del eje real (s = ): k k ( ) 2
4 16
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
31
Tema 2. Análisis de Servosistemas
4 8 3 62 2 160 96
dk
0 1, 2,3, 4
d
2 4 62
2.3 j 6.23
2.54
0.85
( 0.85) 3 5( 0.85) 2 6( 0.85)
e 0.85 , k e
0.157
( 0.85) 2 4( 0.85) 16
(4) Punto de cruce del eje imaginario (s = j): No hace falta
(5) Ajustes: Ángulo de llegada a los ceros
z 90 74 90 120 180
z 180 194 14
j
6j
4j
2j
0
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
-2j
e=-0.85
ke=0.157
-4j
-6j
Para determinar la k que consigue =0.7 hay que aplicar la condición modular al punto de cruce
entre el LGR y la recta de ángulo 135°. El producto del módulo de los vectores es:
k
D
N
0.9 1.4 2.9
0.22
3.2 4.3
El segundo diseño es menos sensible: grandes variaciones de k no mueven demasiado los polos de
sitio, en particular cerca de los dos ceros, de ahí el nombre “ceros de anclaje”.
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
32
Tema 2. Análisis de Servosistemas
Ejercicio
G( s)
3.
Lugar
geométrico
de
las
raíces
de
Evans
Dada
la
planta
s 1
, se trata de controlarla en lazo cerrado mediante la siguiente
s( s 1)( s 2 4 s 16)
configuración de control:
+
G(s)
k
Se pide:
1) Obtener y representar a mano el lugar geométrico de las raíces. Indicar claramente los pasos
seguidos así como los cálculos realizados. (Nota: La ecuación de 4º grado no hace falta
resolverla a mano)
2) Determinar para qué valores de k tenemos polos dobles. Indicar el valor de dichos polos.
3) Determinar para qué valores de k el servo es estable.
4) Verificar el resultado con ayuda del Matlab (función rlocus).
Solución:
En primer lugar se representan los polos y los ceros de G(s) en el plano complejo s.
j
3.46j
-2
-1
+1
-3.46j
Regla 1. Eje real. Si a la derecha hay un número impar de raíces, existe LGR en el eje real. En
nuestro caso, existe LGR desde =-∞ hasta =-1 y desde =0 a =+1.
Regla 2. Asíntotas. Puesto que hay 4 polos y 1 cero finitos, ello indica que los 3 ceros que faltan
están en el infinito. Los tres polos que deben llegar hasta ellos lo harán viajando por unas rectas
asintóticas de centro en:
A
V V
p
N p Nz
z
(0 1 2 j 3.46 2 j 3.46) ( 1) 3 1
2
0.67
4 1
3
3
y ángulos:
A i
180
180
i
60º ,180º
N p Nz
4 1
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
33
Tema 2. Análisis de Servosistemas
j
3.46j
-2
+1
-1
-3.46j
Regla 3. Puntos de emergencia/incidencia del/al eje real. En primer lugar particularizamos la
ecuación característica en el eje real s=.
1 k
1
0
( 1)( 2 4 16)
Ahora hallamos la expresión de k en función de :
k k ( )
( 1)( 2 4 16)
4 3 3 12 2 16
1
1
(Ec. 1)
Y buscamos los puntos que la maximizan o minimizan:
dk ( ) ( 4 3 9 2 24 16)( 1) ( 4 3 3 12 2 16 )
0
d
12
dk ( ) 3 4 10 3 21 2 24 16
0
d
12
Nota: Para obtener la derivada también es posible usar el Matlab:
>>[nd,dd]=polyder(-[4 3 12 -16 0],[1 1])
Los puntos que anulan el numerador de la expresión anterior son:
1 2.26 , 2 0.45
y
3, 4 0.75 j 2.16 . El primero 1 es un punto de incidencia al eje real puesto que se trata de un
mínimo local de k(). Su k asociada se calcula con ayuda de la (Ec. 1) y resulta ser kinc=70.56. El
segundo 2 es un punto de emergencia del eje real puesto que se trata de un máximo local de k().
Su k asociada se calcula con ayuda de la (Ec. 1) y resulta ser kem=3.07. Los dos puntos restantes, al
ser complejos, no tienen sentido. La siguiente figura muestra la función k() a fin de que se puedan
apreciar su máximo y mínimo local.
>> s=linspace(-3,1,500);
>> k=-(s.^4+3*s.^3+12*s.^2-16*s)./(s+1);
>> plot(s,k),axis([-3 1 -120 120]),grid,xlabel('\sigma'),ylabel('k')
>>
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34
Tema 2. Análisis de Servosistemas
100
k
50
0
-50
-100
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
Regla 4. Cruce con el eje imaginario. En primer lugar se particulariza la ecuación característica
para s=j:
1 k
j 1
0
( j ) 3( j ) 12( j ) 2 16( j )
4
3
( j ) 4 3( j ) 3 12( j ) 2 16( j ) k ( j ) k 0
Se separa la ecuación en dos, una para la parte real y otra para la imaginaria, y se resuelve el sistema
resultante:
Re : 4 12 2 k 0
Im : 3 j 3 16 j kj 0
De la segunda ecuación se obtiene que k 3 2 16 . Sustituyendo este valor de k en la primera
ecuación, tenemos:
4 9 2 16 0
Cuyas soluciones son:
12 6.56 1 2.56 k1 16 312 35.68
22 2.44 2 1.56 k 2 16 322 23.32
Regla 5. Ajustes. Para determinar el ángulo de salida del polo -2+3.46j basta con trazar los
vectores que van del resto de raíces al polo en cuestión y ver cuáles son sus ángulos.
La condición argumental establece que el argumento del LGR debe ser -180º, de ahí:
180º 115º 120º 140º 90º 55º
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35
Tema 2. Análisis de Servosistemas
j
3.46j
-2
+1
-1
-3.46j
El LGR final es:
A=-0.67
1=2.56, k1=35.68
j
i=-2.26, ki=70.6
2=1.56, k2=23.32
3.46j
e=0.45, ke=3.07
-2
-1
+1
-3.46j
Los polos dobles los tenemos en los puntos de emergencia e incidencia. Así, en k=3.07 tenemos
dos polos reales en =0.45 y en k=70.6 tenemos dos polos reales en =-2.26.
El servo es estable para valores de k entre k=23.32 y k=35.68.
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
36
Tema 2. Análisis de Servosistemas
4.
Análisis de estabilidad
4.1
Criterio de Routh-Hurwitz
El criterio de Routh-Hurwitz tiene su origen en los estudios del siglo XVIII sobre la estabilidad de
máquinas de vapor implementadas mediante un regulador de Watt y dotadas de acción integral.
Datos: Se dispone del modelo matemático del sistema en lazo cerrado, en concreto, de su ecuación
característica D(s) (denominador de la función de transferencia del servo).
Objetivo: Determinar rápidamente la situación de las raíces de D(s) (polos del sistema) en el plano
complejo (semiplano derecho SPD, semiplano izquierdo SPI o eje imaginario), sin calcularlas de
manera explícita. Este criterio, cuando se aplica al estudio de la estabilidad, se centra en detectar la
existencia de polos en el SPD (inestabilidad) o en el eje imaginario (oscilaciones sostenidas).
Condición de estabilidad: Dado el polinomio denominador D(s), la condición necesaria de
estabilidad es que no falte ningún coeficiente y que todos tengan igual signo. Así, podemos
asegurar que
D( s ) s 5 5s 4 3s 3 2 s 2 s 8 corresponde a un sistema inestable
D( s ) s 5 5s 4 2 s 2 s 8 corresponde a un sistema inestable
D( s ) s 5 5s 4 3s 3 2 s 2 s corresponde a un sistema inestable
Sin embargo la condición anterior no es suficiente para asegurar la estabilidad. Así, no podemos
asegurar que los siguientes polinomios sean estables (pueden serlo o pueden no serlo):
D( s ) s 5 5s 4 3s 3 2 s 2 s 8 puede ser estable o no
D ( s ) s 5 5s 4 3s 3 2 s 2 s 8 puede ser estable o no
Criterio: El criterio de Routh-Hurwitz se aplica a polinomios donde no falta ningún coeficiente y
donde todos los coeficientes tienen igual signo. El criterio establece que D(s) será estable (todas las
raíces están en el semiplano izquierdo SPI) si y solo si todos los determinantes de Hurwitz son
positivos.
Dado D( s ) a n s n a n 1 s n 1 ... a1 s a0 los determinantes de Hurwitz se construyen así:
a n 1
D1 a n 1 , D2
a n 1
an
a n 3
an
, … , Dn
a n 2
0
a n 3
0
a n 2
a n 1
a0
Tabla: Para facilitar la inspección del signo de todos los Dn sin tener que construir cada uno de
ellos y hallar su valor, Routh desarrolló la tabla que se muestra a continuación. Las primeras dos
filas contienen los coeficientes del polinomio característico D(s).
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
37
Tema 2. Análisis de Servosistemas
sn
s n 1
s n 2
s n 3
s0
an
a n 1
A1
B1
a n 2
a n 3
A2
B2
a n 4
a n 5
a n 6
Los valores del resto de filas se calculan a partir de las dos filas inmediatamente superiores tal y
como se indica a continuación:
a n 1a n 2 a n 3a n
a a a n 5 a n
, A2 n 1 n 4
, …
a n 1
a n 1
A a A2 a n 1
B1 1 n 3
, …
A1
A1
Si en la primera columna aparece un cero (que no tiene signo), se le considera como positivo, se le
sustituye por +, y se siguen normalmente los cálculos.
Una fila de ceros implica la existencia de oscilaciones y/o configuraciones simétricas alrededor del
origen, y su valor se obtiene a partir de la solución del polinomio determinado por la fila de
coeficientes inmediatamente superior. En este caso, para poder terminar de construir la tabla se
sustituyen los ceros por los coeficientes de la derivada con respecto a s del polinomio
inmediatamente superior.
Interpretación: El número de cambios de signo en la primera columna de la tabla coincide con el
número de raíces en el SPD.
Ejemplo 6. Aplicación del criterio de Routh-Hurwith. Caso simple
Considerar el polinomio característico D ( s ) s 4 s 3 s 2 2 s 3 . La tabla resultante es:
s4
s3
s2
s
1
1
1
1
5
3
1 3
2
3
0
Observando la primera columna vemos 2 cambios de signo (al pasar de 1 a -1 y al pasar de -1 a 5).
Por tanto D(s) tiene dos raíces en el semiplano derecho. Si obtenemos las raíces de D(s) vemos que
efectivamente hay dos inestables: 1.074 j 0.706 y 0.574 j1.219 .
Ejemplo 7. Aplicación del criterio de Routh-Hurwith. Un cero en la primera columna
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
38
Tema 2. Análisis de Servosistemas
Considerar el polinomio característico D( s ) s 5 2 s 4 2 s 3 4 s 2 s 1 . En la tercera fila de
la tabla aparece un cero en la primera columna (pero no una fila de ceros). Para poder proseguir con
la construcción de la tabla se sustituye dicho cero por el valor >0.
5
s
s4
s3
s2
1 2 1
2 4 1
0 0.5
s5
s4
s3
s2
s
1
1
2
1/
0.5
1
2 1
4 1
0.5
1
0
Puesto que hay dos cambios de signo en la primera columna, hay dos raíces en el semiplano
derecho. Las raíces de D(s) son 0.09 j 0.533 , 0.069 j1.274 y 1.957 .
Ejemplo 8. Aplicación del criterio de Routh-Hurwith. Una fila de ceros
Considerar el polinomio D( s ) s 5 4 s 4 8s 3 8s 2 7 s 4 . La construcción de la tabla nos
lleva a una fila de ceros en la posición s1.
s5
s4
s3
s2
s1
s0
1
4
6
4
0
8 7
8 4
6
4
0
Para ver a qué raíces corresponde podemos resolver el polinomio correspondiente a la fila
inmediatamente superior. Este es A( s ) 4 s 2 4 . Sus raíces son s j .
Para poder seguir con la construcción de la tabla, debemos sustituir la fila de ceros por los
coeficientes resultantes de derivar el polinomio A(s),
dA( s )
8s 0 . Estos coeficientes son 8 y 0
ds
respectivamente, así:
s5
s4
s3
s2
s1
s0
1
4
6
4
8
4
8 7
8 4
6
4
0
Puesto que no hay ningún cambio de signo en la primera columna, no hay ninguna raíz en el
semiplano derecho. Hay dos raíces en el eje imaginario. Las tres raíces restantes están en el
semiplano izquierdo.
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
39
Tema 2. Análisis de Servosistemas
Ejemplo 9. Criterio de Routh-Hurwitz y Lugar Geométrico de las Raíces de Evans.
El criterio de Routh-Hurwtz se puede utilizar en el trazado del LGR de Evans para determinar el
punto de cruce del eje imaginario. De paso ilustramos cómo el LGR puede trazarse no sólo para
variación de la ganancia de lazo sino también para cualquier otro parámetro del lazo, en nuestro
caso un polo.
Variación de la ganancia k:
1 k
1
0
( s 10)( s 6s 100)
2
D ( s ) s 3 6s 2 160s 1000 k
s3
s
2
s1
s0
1
160
16
2560 (1000 k )
b1
16
c1 (1000 k )
(1000 k )
b1 0 k 1560
estable : 1000 k 1560
c1 0 k 1000
Lugar Geométrico de las Raíces (k)
j
20
k = 3800
15
k = 1560
k = 573
10
k =0
5
0
k = 3800
k = 573
k = 1560 k =0
-5
k =0
k = 573
k = 1560
-10
-15
-20
-20
k = 3800
-10
0
10
20
Variación de un polo p:
1
1000
s 2 6s 100
0
1
p
0
( s p)( s 2 6 s 100)
s 3 6 s 2 100s 1000
D( s ) s 3 (6 p ) s 2 (100 6 p ) s (100 p 1000)
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
40
Tema 2. Análisis de Servosistemas
s3
s2
s1
s0
1
100 6 p
6 p
100 p 1000
2
6 p 36 p 400
b1
6 p
c1 100 p 1000
Vamos a analizar el signo de b1:
Las raíces del numerador de b1 son -11.6987 y 5.6987. El numerador de b1 es positivo para
p>5.6987, es negativo para -11.6987<p<5.6987, y es positivo para p<-11.6987.
Por su parte, el denominador de b1 es negativo para p<-6 y es positivo para p>-6.
Juntando los signos del numerador y el denominador de b1, vemos que tenemos cuatro regiones:
Para p<-11.6987, b1 es negativo
Para -11.6987<p<-6, b1 es positivo
Para -6<p<5.6987, b1 es negativo
Para p>5.6987, b1 es positivo
En cuanto al signo de c1, c1 será positivo cuando p>-10; Y el signo del primer coeficiente de la fila
s2 será positivo cuando p>-6.
En definitiva, combinando todas estas condiciones, todos los signos de la primera columna de la
tabla de Routh tendrán el mismo signo (positivo) sólo si p>5.6987. Y por tanto el sistema será
estable para p>5.6987 tal y como puede verse en el LGR mostrado a continuación:
Lugar Geométrico de las Raíces (p)
j
15
p = 21.3 p = 5.698
10
p = 3.2
p=0
p
5
0
p = 3.2
p = 5.698
p=0
-5
p
-10
p=0
p = 21.3 p = 5.698
-15
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
p = 3.2
2
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
41
Tema 2. Análisis de Servosistemas
4.2
Criterio de Nyquist
Datos: Se dispone sólo de la respuesta frecuencial del lazo (y no de un modelo paramétrico)
obtenida, probablemente, de forma experimental.
Objetivo: Inferir la existencia de raíces de T(s) en el semiplano derecho, a partir de la inspección
del número de vueltas con signo (contadas como positivas en el mismo sentido que el contorno de
Nyquist) que la curva polar del lazo L(j) da en torno al punto –1. Para que la curva sea cerrada
han de considerarse también las frecuencias negativas (generan una curva simétrica, con relación al
eje real, de la correspondiente a las frecuencias positivas), la frecuencia cero y la frecuencia infinita.
Nota: En general, el criterio de Nyquist se aplica sobre el diagrama polar (plano de Nyquist) de la
respuesta frecuencial del lazo aunque también es posible aplicarlo sobre el diagrama de la respuesta
frecuencial del lazo en el plano fase-ganancia (plano de Nichols). El método de control robusto
conocido como QFT (Quantitative Feedback Theory) hace uso del criterio de estabilidad de Nyquist
en el plano de Nichols.
Teorema de las vueltas o del argumento: El criterio de Nyquist es una aplicación del teorema del
argumento al análisis de la estabilidad de los sistemas.
Sean: C un camino cerrado en el plano complejo s, s j .
F(s) una función analítica dentro y sobre C excepto, como máximo, en un número finito de
polos dentro de C.
C
Además, F(s) no se anula sobre C.
Entonces al aplicar la transformación conforme F(s) sobre C
j
j
C
F(s1)
s1
F(s)
D
Fig. 16. Teorema del argumento
Se cumple que ND=NZ-NP siendo
ND: número de vueltas de D alrededor del origen
NZ: número de ceros de F(s) dentro de C
NP: número de polos de F(s) dentro de C
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
42
Tema 2. Análisis de Servosistemas
Corolario: El número de vueltas que da el argumento de F(s)=1+L(s) alrededor del origen en un
determinado sentido es igual al número de vueltas que da L(s) alrededor de -1 en este mismo
sentido:
N 1(0L) ( s ) N L( ( s1))
Igualmente:
N (10 )
H
Q ( s )
(
1
)
N Q ( sH) , donde Q(s)=C(s)G(s) es el camino directo y H la ganancia de
retroacción.
Nota: Las funciones racionales de s son conformes.
Criterio de Nyquist. Caso general:
Pci Poi N L( 1)
Enunciado:
El número de polos inestables en lazo cerrado Pci es igual al número de polos inestables en lazo
abierto Poi más el número de vueltas con signo que da la respuesta frecuencial del lazo L(j)
alrededor del punto crítico -1.
Número de polos inestables en lazo abierto: Son todos aquellos que se encuentran dentro del
contorno de Nyquist D. El contorno de Nyquist, descrito por la variable s, es un contorno cerrado
que contiene a todo el semiplano derecho (o lo que nosotros consideremos como inestable), con
sentido de circulación definido y analítico (no tiene ningún polo encima de él). Por ello debe evitar
-rodeándolas- las singularidades (polos) del lazo L(s), tal y como muestra la siguiente figura. El
rodeo alrededor de los polos puede hacerse de manera que queden dentro o fuera de la región
definida por el contorno. Si quedan dentro del contorno ello significa que los consideramos
inestables.
=0+
Im
j
kAG(s)
L(s)
s
=0+
=0-
-1.5
-1.0
Re
-0.5
=0-
Contorno de Nyquist (plano s)
Respuesta frecuencial (plano L(s))
Fig. 17. Criterio de estabilidad de Nyquist
Vueltas: La transformación L(s) aplicada al contorno de Nyquist dará lugar a una curva cerrada en
el plano L(s). En concreto, la aplicación de L(s) sobre el semieje j da como resultado el diagrama
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
43
Tema 2. Análisis de Servosistemas
polar de la respuesta frecuencial del lazo. La aplicación de L(s) sobre el semieje –j da como
resultado un diagrama polar simétrico con respecto al eje real de la respuesta frecuencial del lazo.
La aplicación de L(s) sobre el semicírculo que rodea a los posibles polos en el eje imaginario
resultará en una o varias semivueltas cuyo sentido se determina teniendo en cuenta que se conservan
los ángulos. Ello es una propiedad de las transformaciones conformes, como son las funciones
racionales (como es el caso de las funciones de transferencia).
Criterio de Nyquist. Caso restringido: Si el lazo es de fase mínima (por tanto, estable), el criterio se
reduce a
Enunciado:
i
( 1)
Poi 0 Pc N L
Márgenes de estabilidad: Si la planta es estable y de fase mínima ello se traduce, en general, en una
situación del tipo de la Fig. 18, es decir, un único corte en el semieje real negativo y de abajo arriba
para frecuencias crecientes.
plano L(s)
1/MG
-1
Im[L(j)]
A
Re[L(j)]
MF
Fig. 18. Márgenes de ganancia y fase
MG es el margen de ganancia (esto es, cuanto le falta al módulo del lazo para valer 1 a la frecuencia
donde la fase es -180). MF es el margen de fase (esto es, cuanto le falta a la fase del lazo para
valer -180 si su módulo ya es 1)
Casos específicos. Integradores y fase no mínima:
Polos y ceros del lazo
Diagrama polar y valoración
Comprobación (Evans)
k2
k1
-1
k1
P 0
i
o
k2
k1 : N L( 1) 0, Pci 0 0 0 estable
k 2 : N L( 1) 2, Pci 0 2 2 inestable
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
44
Tema 2. Análisis de Servosistemas
Polos y ceros del lazo
Diagrama polar y valoración
Comprobación (Evans)
Transformación
conforme
k2
k1
-1
Poi 0
k2
k1
k1 : N L( 1) 0, Pci 0 0 0 estable
k 2 : N L( 1) 2, Pci 0 2 2 inestable
(2)
-1
Poi 0
k : N L( 1) 0, Pci 0 0 0 estable
k2
0.5
Poi 1
k1
k2
-1
k1
0.5
k1 : N L( 1) 0, Pci 1 0 1 inestable
k 2 : N L( 1) 1, Pci 1 1 0 estable
(2)
-1
Poi 0
k : N L( 1) 2, Pci 0 2 2 inestable
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
45
Tema 2. Análisis de Servosistemas
Polos y ceros del lazo
Diagrama polar y valoración
Comprobación (Evans)
k2
k1
(3)
-1
k2
Poi 0
k1
k1 : N L( 1) 2, Pci 2 0 1 inestable
k 2 : N L( 1) 2 2, Pci 0 0 0 estable
k2
k1
-1 -0.5
1
-1
Poi 0
-0.5
1
k1 : N L( 1) 0, Pci 0 0 0 estable
k 2 : N L( 1) 1, Pci 0 1 1 inestable
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
46
Tema 2. Análisis de Servosistemas
4.3
Márgenes de estabilidad
Los márgenes de estabilidad miden la distancia entre la respuesta frecuencial del lazo L(j) y el
punto crítico -1. El punto crítico -1 corresponde a módulo 1 y fase -180º.
4.3.1
Margen de ganancia (MG) y margen de fase (MF)
Determinación del margen de ganancia MG: Se busca a qué frecuencia 180 el lazo presenta un
desfase de -180º, L( j180 ) 180 . El margen de ganancia MG se define como el factor por
el que hay que multiplicar el módulo del lazo a dicha frecuencia L( j180 ) para que el módulo
pase a valer 1, L( j180 ) MG 1 .
Determinación del margen de fase MF: Se busca la frecuencia de crossover co . Esta es la
frecuencia a la cual el módulo del lazo es 1, L( jco ) 1 . El margen de fase MF se define como
el desfase que le falta al lazo para que su fase a la frecuencia de crossover sea -180°,
L( j180 ) MF 180
Ejemplo 10. MG y MF en Bode, Nyquist y Nichols
Considerar el lazo L( s )
1600
. Para determinar los márgenes de estabilidad
( s 1)( s 4)( s 40)
clásicos en MATLAB puede usarse la función margin:
>> num=1600;den=conv([1 1],conv([1 4],[1 40]));
>> margin(num,den)
Bode Diagram
Gm = 15 dB (at 14.3 rad/sec) , Pm = 37.4 deg (at 5.64 rad/sec)
20
Magnitude
(dB)
0
MG
-20
-40
-60
-80
-100
Phase (deg)
-120
0
-45
-90
-135
MF
-180
-225
-270
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
Frequency (rad/sec)
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
47
Tema 2. Análisis de Servosistemas
La frecuencia de crossover es co 5.64rad/s ; a dicha frecuencia la fase es -142.6º, por tanto hay
que desfasar MF 37.4 para que la fase del lazo sea -180º. La frecuencia de fase -180º es
180 14.3rad/s ; a dicha frecuencia el módulo de L es 0.178 (-15dB) con lo que si aumentamos
la ganancia MG=5.62 (15dB) tendremos que el módulo del lazo será 1 (0dB).
En coordenadas polares, la determinación de MG y MF es:
Nyquist Diagram
8
1.5
6
1
Imaginary Axis
Imaginary Axis
4
2
0
-2
1
MG
0.5
0
-0.5 MF
-4
-1
-6
-8
-2
0
2
4
6
8
-1.5
-1.5
10
-1
-0.5
Real Axis
0
0.5
Real Axis
1
1.5
En coordenadas fase-ganancia, la determinación de MG y MF es:
Nichols Chart
20
MF
0
Open-Loop Gain (dB)
MG
-20
-40
-60
-80
-100
-120
-270
-225
-180
-135
-90
-45
0
Open-Loop Phase (deg)
4.3.2
Margen de módulo (M) y margen de retardo ()
El margen de módulo M se define como la distancia mínima entre la respuesta frecuencial del lazo
y el punto crítico -1. Notar que M min 1 L( j )
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
1
.
max S ( j )
48
Tema 2. Análisis de Servosistemas
1.5
1.5
1
1
1
MG
0.5
Imaginary Axis
Imaginary Axis
La Fig. 19(a) muestra un ejemplo donde MG y MF son muy buenos (grandes) pero M es muy
desfavorable (pequeño).
M
0
-0.5
0.5
0
-0.5 MF
co
MF
-1
-1.5
-1.5
-1
-1
-0.5
0
0.5
Real Axis
1
1.5
-1.5
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
Real Axis
(a)
1
1.5
(b)
Fig. 19. Margen de módulo y margen de retardo
El efecto de un retardo puro es que el lazo da diversas vueltas con lo cual es muy probable que el
módulo de L sea 1 a diversas frecuencias. Ello define varios MF. En situaciones donde hay
diversos MF hay que tomar el mínimo de ellos (el más desfavorable). En cuanto al margen de
retardo, se define como
MF
co
e, igualmente, hay que quedarse con el mínimo. Sin embargo
el mínimo no tiene por qué coincidir con el mínimo MF puesto que hay que tener en cuanta
también la correspondiente frecuencia de crossover.
4.4
Ejercicios resueltos
Ejercicio 4. Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz. Determinar para qué valores de k es estable el
siguiente servo:
T ( s)
kG ( s )
k ( s 1)
4
3
1 kG ( s ) s 3s 12 s 2 ( k 16) s k
Para ello aplicar el criterio de Routh-Hurwitz.
Solución:
En primer lugar, se construye la Tabla:
s4
s3
s2
s1
s0
1
3
A1
B1
C1
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
12
k
( k 16)
A2
49
Tema 2. Análisis de Servosistemas
El valor de los coeficientes calculados es:
3 12 1 ( k 16) 36 16 k 52 k
3
3
3
3 k 1 0
A2
k
3
A ( k 16) 3 A2 (52 k )( k 16) 9k k 2 59k 832
B1 1
A1
52 k
52 k
A 0 3 0
B2 1
0
A1
B A2 A1 0
C1 1
A2 k
B1
A1
Ahora se busca para qué valores de k la primera columna de la tabla no presenta ningún cambio de
signo. No habrá ningún cambio de signo si A1, B1 y C1 son todos positivos:
Signo de A1: Este coeficiente será positivo si:
A1
52 k
0 k 52 k 52
3
Signo de C1: Este coeficiente será positivo si:
C1 k 0
De momento, a partir de A1 y C1, podemos afirmar que si k es negativa o mayor que 52 el servo es
inestable. El coeficiente B1 nos permitirá afinar más el margen de estabilidad:
Signo de B1: Este coeficiente será positivo si:
B1
k 2 59k 832
0
52 k
Ello se puede conseguir de dos maneras: si el numerador y denominador son ambos positivos o si
el numerador y el denominador son ambos negativos.
El denominador será positivo si k<52.
Las raíces del numerador son 35.68 y 23.32.
>> num=[-1 59 -832];
>> roots(num)
ans =
35.6847
23.3153
El polinomio numerador es positivo para valores de k entre sus dos raíces, tal y como muestra la
figura:
>> pol=polyval(num,k);plot(k,pol),xlabel('k'),ylabel('-k^2+59k-832'),grid
>> text(18,0,'23.32'),text(38,0,'35.68')
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
50
Tema 2. Análisis de Servosistemas
100
0
23.32
35.68
-100
2
-k +59k-832
-200
-300
-400
-500
-600
-700
-800
-900
0
10
20
30
k
40
50
60
Para valores de k por debajo de 23.32, el numerador de B1 es negativo y el denominador de B1 es
positivo. Por tanto B1<0.
Para valores de k entre 23.32 y 35.68 el numerador de B1 es positivo. Puesto que ambos valores
están por debajo de 52, el denominador de B1 también será positivo. Por tanto, B1>0.
Para valores de k entre 35.68 y 52 el numerador de B1 es negativo pero su denominador es positivo.
Por tanto, B1<0.
Para valores de k superiores a 52, B1 vuelve a ser positivo pero entonces A1 es negativo.
En definitiva, el margen de valores de k que conlleva estabilidad es: 23.32<k<35.68.
Ejercicio 5. Criterio de estabilidad de Nyquist. Considerar el siguiente sistema. Para kA=1, el
diagrama polar de la respuesta frecuencial del lazo L(s)=kAG(s) es el representado en la figura.
+
kA
G(s)
-1.5
-1.0
-0.5
Se pide estudiar la estabilidad del servo en las siguientes situaciones:
1) G(s) presenta un polo en el origen y un polo inestable.
2) Ídem, pero la ganancia del lazo es kA = 10.
3) Ídem, pero la ganancia del lazo es kA = 0.1.
4) El lazo es estable, pero con tres polos en el origen.
Solución:
Comentario: A la vista de la respuesta frecuencial del lazo del enunciado vemos que el exceso de
polos sobre ceros es de tres N p N z 3 puesto que la fase para es 270 90 3 .
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
51
Tema 2. Análisis de Servosistemas
Por otro lado, la fase -270º en 0 nos indica que, o bien tenemos un integrador y un polo
inestable ( 90 180 ), o bien tenemos tres integradores ( 90 3 ).
Finalmente, tiene que haber al menos un cero a fin de permitir el cruce por el eje real.
Solución del ejercicio: A continuación se aplica el criterio de estabilidad de Nyquist para
determinar si el sistema en lazo cerrado siguiente (con kA = 1, 10 y 0.1) es estable:
+
kA
G(s)
Caso 1: G(s) presenta un polo inestable y un integrador, kA = 1.
Si definimos el contorno de Nyquist D de la figura (a), el número de polos inestables en lazo abierto
es Poi 1 . (Nota: También es posible definir un contorno de Nyquist que contenga al integrador;
en ese caso el número de polos inestables en lazo abierto será 2).
La transformación L( s ) k AG ( s ) sobre el contorno D da lugar al contorno cerrado en el plano
L(s) de la figura (b).
Para saber por qué lado hay que dibujar el semicírculo rojo hay que fijarse en cuáles son los ángulos
del contorno de Nyquist en 0 y 0 . Estos ángulos deben conservarse al hacer la
transformación puesto que L(s) es una transformación conforme (conserva los ángulos). Por
ejemplo, al avanzar por las frecuencias negativas, en el momento en que llegamos a 0 , el
contorno gira 90º a la derecha ( ). Notar que este giro se conserva en la curva transformada de la
figura (b). (Si, en el contorno de Nyquist, el semicírculo a la frecuencia 0 hubiera sido tal que el
integrador quedara dentro del contorno, notar que el giro hubiera sido de 90º a la izquierda y, por
tanto, la curva transformada hubiera cerrado por el otro lado).
=0+
kAG(s)
Im
j
s
=0+
=0-
-1.5
-1.0
Re
-0.5
=0-
(a)
(b)
El número de vueltas que da el lazo alrededor del punto -1 es 1. Pero es una vuelta negativa puesto
que su sentido de circulación es el contrario del definido en el contorno de Nyquist D, así pues
N L( 1) 1.
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
52
Tema 2. Análisis de Servosistemas
La aplicación del criterio nos indica que el sistema en lazo cerrado no tiene ningún polo inestable,
Pci Poi N L( 1) 1 1 0 , con lo que el servo es estable.
Caso 2: G presenta un polo inestable y un integrador, kA = 10.
Al multiplicar el lazo por un factor 10, el cruce de -0.5 se convierte en un cruce en -5 y el cruce de 1.5 se convierte en un cruce en -15. Ello hace que el número de vueltas de lazo alrededor de -1 sea
de 1 vuelta positiva, N L( 1) 1 . La aplicación del criterio nos indica que el sistema en lazo cerrado
tiene 2 polos inestables, Pci Poi N L( 1) 1 1 0 , con lo que el servo es inestable.
=0+
Im
-15
-5
-1.0
kAG(s)
Re
=0-
Caso 3: G presenta un polo inestable y un integrador, kA = 0.1.
Al multiplicar el lazo por un factor 0.1, el cruce de -0.5 se convierte en un cruce en -0.05 y el cruce
de -1.5 se convierte en un cruce en -0.15. Ello hace que el número de vueltas de lazo alrededor de 1 sea de 1 vuelta positiva, N L( 1) 1 . La aplicación del criterio nos indica que el sistema en lazo
cerrado tiene 2 polos inestables, Pci Poi N L( 1) 1 1 0 , con lo que el servo es inestable.
=0+
Im
kAG(s)
Re
-1.0
=0-
Caso 4: G presenta tres integradores, kA = 1.
Si definimos el contorno de Nyquist D de la figura (a), el número de polos inestables en lazo abierto
es Poi 0 . (Nota: También es posible definir un contorno de Nyquist que contenga al integrador;
en ese caso el número de polos inestables en lazo abierto será 3).
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
53
Tema 2. Análisis de Servosistemas
La transformación L( s ) k AG ( s ) sobre el contorno D da lugar al contorno cerrado en el plano
L(s) de la figura (b). El número de semicírculos a frecuencia 0 debe corresponder con la
multiplicidad de los polos en el origen (3 en este caso). (Si, en el contorno de Nyquist, el
semicírculo a la frecuencia 0 hubiera sido tal que el integrador quedara dentro del contorno, notar
que el giro hubiera sido de 90º a la izquierda y, por tanto, la curva transformada hubiera cerrado por
el otro lado).
j
=0
s
+
Im
kAG(s)
=0+
(3)
=0-
-1.5
-1.0
Re
-0.5
=0-
(a)
(b)
El número neto de vueltas que da el lazo alrededor del punto -1 es 0, puesto que da una vuelta en un
sentido y otra en el otro, así pues N L( 1) 1 1 0.
La aplicación del criterio nos indica que el sistema en lazo cerrado no tiene ningún polo inestable,
Pci Poi N L( 1) 0 0 0 , con lo que el servo es estable.
Caso 5: G presenta tres integradores, kA = 10. En este caso el punto crítico -1 queda situado en el
primer lóbulo con lo que el número de vueltas es 2 positivas. Por tanto, el servo será inestable:
Pci Poi N L( 1) 0 2 2
Caso 6: G presenta tres integradores, kA = 0.1. En este caso el punto crítico -1 queda situado fuera
de los dos lóbulos con lo que el número de vueltas es 2 positivas. Por tanto, el servo será inestable:
Pci Poi N L( 1) 0 2 2
Comentario final: Los LGRs correspondientes son los siguientes (notar que sólo hay estabilidad
para un margen de valores de kA.
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
54
Tema 2. Análisis de Servosistemas
Root Locus
Root Locus
8
10
6
8
6
4
Imaginary Axis
Imaginary Axis
4
2
0
-2
2
0
-2
-4
-4
-6
-6
-8
-10
-8
-8
-6
-4
-2
0
2
4
-10
-10
-8
-6
-4
Real Axis
-2
0
2
4
Real Axis
Ejercicio 6. Nyquist. Aplicar el criterio de estabilidad de Nyquist a un servo con retroacción unitaria y lazo
L( s )
1
, p>0.
s ( s p)
2
Solución:
En primer lugar representamos el contorno de Nyquist.
Todo lo que está dentro de él es lo que definimos como
inestable.
Para que sea analítico no debe contener ningún polo. Por
ello, en el origen se traza un arco de radio infinitesimal a
fin de evitar el doble integrador. Al quedar los polos a la
izquierda del arco, el resultado es que dentro del contorno
de Nyquist no hay ningún polo. Por tanto, el número de
polos inestables en lazo abierto es Poi 0 . Notar
también que en el dibujo se indica el cambio de ángulo
que tiene lugar en las frecuencias 0+ y 0- como
consecuencia de haber trazado el arco.
j
s
=0+
(2)
=0-
Nota: Si hubiéramos trazado el arco a la izquierda del
doble integrador, el resultado hubiera sido Poi 2 y el
cambio de ángulo 0+ y 0- a hubiera sido el contrario.
A continuación se traza el diagrama polar de L(s).
En azul está representado el diagrama para frecuencias
positivas. Notar que el doble integrador hace que a
frecuencias muy bajas el módulo sea ∞y la fase -180º. A
frecuencia infinita el módulo es cero y la fase -270º
(puesto que hay tres polos y ningún cero). Y a
frecuencias intermedias la fase siempre está entre -180º y
-270º puesto que, a lo largo de todo el eje frecuencial, el
polo en p introduce una fase de 0º a -90º.
-1
Las frecuencias negativas dan lugar al diagrama polar simétrico con respecto al eje real y,
finalmente, los cambios de ángulo a frecuencia 0 son los que dictan que el contorno se cierra tal y
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
55
Tema 2. Análisis de Servosistemas
como muestra la figura. En estas condiciones el número de vueltas que da el diagrama polar
alrededor de -1 es de 2, N L( 1) 2 .
Con lo cual, el criterio de Nyquist nos dice que al cerrar el lazo el sistema será inestable puesto que
i
i
( 1)
tendrá dos polos dentro del contorno de Nyquist, Pc Po N L 0 2 2 .
Nota: Si en el contorno de Nyquist hubiéramos trazado el arco a la izquierda del doble integrador,
el diagrama polar resultante no hubiera dado ninguna vuelta cerrada alrededor de -1 (puesto que los
cambios de ángulo a 0+ y 0- hubieran sido los contrarios al caso anterior).
-1
En este caso, la aplicación del criterio de Nyquist nos da:
Pci Poi N L( 1) 2 0 2 , resultado que,
como era de esperar, coincide con el anterior.
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
56
Tema 2. Análisis de Servosistemas
5.
5.1
5.1.1
Análisis del comportamiento
Precisión (estática)
Constantes de error estáticas (régimen permanente)
Considerar el sistema
R +
E
L(s)
Y
Fig. 20.
Excitación r(t) = escalón unitario,
1
1
1
s 0
s 0 1 L ( s ) s
1 L ( 0)
Definiendo la constante de error de posición, kp, como k p L(0) , el error permanente
Teorema del valor final:
e( ) lim sE ( s ) lim s
estático a entrada escalón puede expresarse como e( )
1
.
1 kp
Excitación r(t) = rampa unitaria,
Teorema del valor final:
e( ) lim sE ( s ) lim s
s 0
s 0
1
1
1
2
1 L( s ) s
lim sL( s )
s 0
Definiendo la constante de error de velocidad, kv, como k v lim sL( s ) , el error
s 0
1
permanente estático a entrada rampa puede expresarse como e( )
.
kv
Excitación r(t) = parábola unitaria,
Teorema del valor final:
e() lim sE ( s ) lim s
s 0
s 0
1
1
1
3
1 L( s ) s
lim s 2 L( s )
s 0
2
Definiendo la constante de error de aceleración, ka, como k a lim s L( s ) , el error
s 0
permanente estático a entrada parábola puede expresarse como e( )
5.1.2
1
.
ka
Tipo de sistema
Sistema de tipo 0 (sin integrador en el lazo)
1
cte 0 Presenta offset a entradas en escalón
1 k p
1
k v lim sL( s ) 0 e( )
(diverge) No puede seguir entradas en rampa
s 0
kv
1
k a lim s 2 L( s ) 0 e( )
(diverge) No puede seguir entradas en parábola
s 0
ka
k p L(0) cte 0 e( )
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
57
Tema 2. Análisis de Servosistemas
Sistema de tipo 1 (un integrador en el lazo)
1
0 Sigue (sin error permanente) entradas en escalón
1 k p
1
k v lim sL( s) cte 0 e( )
cte 0 Presenta offset a entradas en rampa
s 0
kv
1
k a lim s 2 L( s ) 0 e( )
(diverge) No puede seguir entradas en parábola
s 0
ka
k p L(0) e( )
Sistema de tipo 2 (dos integradores en el lazo)
1
0 Sigue (sin error permanente) entradas en escalón
1 k p
1
k v lim sL( s ) e( )
0 Sigue (sin error permanente) entradas en rampa
s 0
kv
1
k a lim s 2 L( s ) cte 0 e( )
cte 0 Presenta offset a entradas en parábola
s 0
ka
k p L(0) e( )
etc...
5.1.3
Determinación de las constantes de error a partir del lazo y del servo
1) Determinación del error vía L(s) (información de lazo abierto)
Excitación
Escalón
Teorema del Valor Final (TVF) Error permanente Constante de error Detección en Bode
1
1
e( )
k p L ( 0)
e( ) lím sE ( s ) s
kp = k
s 0
1 kp
1 L ( 0)
1
Rampa
e( ) lím sE ( s ) lím
s 0
s 0
1
sL( s )
e ( )
1
kv
k v lim sL( s )
kv = k
s 0
1
2) Determinación del error vía T(s) (información de lazo cerrado)
Excitación Teorema del Valor Final
Escalón
s
1 T ( s )
s
s
e( ) lím sE ( s ) lím 2 1 T ( s )
s 0
s 0 s
e( ) lím sE ( s ) lím
s 0
Rampa
s 0
Error permanente
Constante de error
e ( ) 1 T ( 0)
kp
e ( )
1
(*)
kv
T ( 0)
1 T ( 0)
1
1
1
kv
pi
zi
(*) Se supone que el error permanente a escalón es nulo e() = 0, es decir, que el sistema es de
tipo 1.
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
58
Tema 2. Análisis de Servosistemas
Ejemplo 11. Error permanente a rampa en un sistema de segundo orden
Considerar el servo T ( s )
kn2
s 2 2n s n2
.
¿Cuánto tiene que valer k para que el sistema sea de tipo 1?
Los sistemas de tipo 1 (un integrador en el lazo) no presentan offset a entradas tipo escalón unitario.
Por tanto, para tener un seguimiento perfecto en régimen permanente a entradas en escalón, k ha de
ser 1, o lo que es lo mismo, la ganancia en continua del servo debe ser 1, T(0)=1.
Asumiendo el valor de k anterior, obtener una expresión para el error permanente a entradas en
rampa.
En un sistema de tipo 1, la constante de error de velocidad kv se puede calcular a partir de los polos
y ceros del servo,
1
1
1
kv
pi
zi
El servo se puede expresar como T ( s )
n2
( s n jd )( s n jd )
n2
( s p1 )( s p2 )
y
no hay ceros, por tanto:
jd n jd
1
1
1
n
2n2 d2
k v n jd n jd
2n
1
2
2 2
2
2
k v n n 1 n
erampa ( )
¿Cuánto vale el error permanente a entradas en rampa para T ( s )
1 2
k v n
1
?
s s 1
2
Puesto que n 1 y 0.5 , el error es erampa ( ) 1
¿Cuánto vale el error permanente a entradas en rampa para T ( s )
2
?
s s 1
2
El sistema no es de tipo 1, por tanto, erampa ( )
Ejemplo 12. Coeficientes del numerador y tipo de lazo. Obtener el valor de los coeficientes del
numerador del servo T ( s )
L1 = k1/s
b2 s 2 b1 s b0
para cada uno de los siguientes lazos:
s 3 3s 2 4 s 5
L2 = k2/s2
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
L3 = k3/s3
59
Tema 2. Análisis de Servosistemas
Notar que el error es
E ( s ) R( s ) T ( s ) R( s ) (1 T ( s )) R( s )
s 3 (3 b2 ) s 2 ( 4 b1 ) s (5 b0 )
R( s )
s 3 3s 2 4 s 5
Si el lazo es de tipo 1 (tiene 1 integrador), el error permanente a entradas en escalón debe ser nulo,
s 3 (3 b2 ) s 2 (4 b1 ) s (5 b0 ) 1
e() lim s
0 b0 5
s 0
s
s 3 3s 2 4s 5
Si el lazo es de tipo 2 (tiene 2 integradores), el error permanente a entradas en rampa debe ser nulo,
s 3 (3 b2 ) s 2 (4 b1 ) s (5 b0 ) 1
e() lim s
0 b0 5 y b1 4
s 0
s 3 3s 2 4s 5
s2
Si el lazo es de tipo 3 (tiene 3 integradores), el error permanente a entradas en parábola debe ser
nulo,
s 3 (3 b2 ) s 2 (4 b1 ) s (5 b0 ) 1
e() lim s
0 b0 5 , b1 4 y b2 3
s 0
s 3 3s 2 4s 5
s3
5.1.4
Principio del modelo interno
Notar que para que no haya offset a entradas en escalón el lazo debe tener un integrador (modelo del
escalón), para que no haya offset a entradas en rampa el lazo debe tener un doble integrador
(modelo de la rampa), y así sucesivamente.
El principio del modelo interno establece que si queremos seguimiento sin offset en régimen
permanente a una determinada señal, el lazo debe contener el modelo matemático de dicha señal.
Error permanente a una exponencial eat:
Para que
5.2
e( )
1
e at .
1 L( s ) s a
G( s)
1
0 , L(a ) , ha de ser L( s )
.
1 L( a )
sa
Resumen: añadir corrector que contenga L[g(t)].
Integrales de error (dinámico)
Las integrales de error son una medida más completa que las constantes del error permanente ya
que, además del error de seguimiento, tienen en cuenta la evolución temporal del error durante el
transitorio (e(t)) y la propagación del error de medida.
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
60
Tema 2. Análisis de Servosistemas
1
1.6
y
Amplitud
1
r
+
+
1.2
_
0.8
valor absoluto del error
1.4
0.9
_
_
0.8
0.6
0.4
|e|=|r–y|
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.2
0
0
0.7
0.1
5
10
15
tiempo (s)
20
25
0
0
30
10
5
15
tiempo (s)
20
25
30
Fig. 21.
J e(t ) dt
IAE (Integral of absolute error):
0
t e(t ) dt (notar que también penaliza el tiempo)
ISE (Integral of squared error):
J e(t ) dt
ISEU (Integral of squared error and u): J e(t ) u (t ) dt (penaliza tanto el error e
ITAE (Integral of time absolute error): J
0
2
0
2
2
0
como el esfuerzo de control u)
5.2.1
Tabla de integrales cuadráticas
La ventaja de las integrales cuadráticas (ISE) es que se pueden calcular mediante residuos o tablas
(previa aplicación del teorema de Parseval en s)
J e(t ) 2 dt
0
1 j
E ( s ) E ( s)ds
2j j
Formulación del problema:
1) Determinación de integrales de tipo: J n
1 j
( s)ds
2j j
2) donde (s) puede factorizarse como (s) = E(s) E(-s) (llamada factorización espectral)
3) y donde E(s) es de la forma E ( s )
bn 1 s n 1 b0
B( s)
A( s) a n s n a n 1 s n 1 a 0
Solución del problema:
El resultado de dichas integrales (obtenidas por residuos) para los casos n = 1, 2, 3, 4 es:
b2
J1 0
2 a0 a1
b2a b2a
J2 1 0 0 2
2 a0 a1a2
J3
b22 a0 a1 (b12 2b0b2 )a0 a3 b02 a2 a3
2a0 a3 (a1a2 a0 a3 )
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
61
Tema 2. Análisis de Servosistemas
J4
b32 (a02 a3 a0 a1a2 ) (b22 2b1b3 )a0 a1a4 (b12 2b0b2 )a0 a2 a4 b02 (a1a42 a2 a3 a4 )
2a0 a4 (a0 a32 a12 a4 a1a2 a3 )
Ejemplo 13.
I1
1
2
Para
Cálculo de integrales cuadráticas.
2
G ( j ) d
1
2
G ( j )
1
, obtener
j 1
1
d .
1 2
Solución:
1
1
1 1
1 2 d 2 arctg 2 2 2 2
1
1
1
1
2) Vía el Teorema de los residuos:
( s)
2
2
s j
1 s 1 s
1
1 s
1
1
1 j 1
1
1 2
( )
ds
2 ds
2j j 1 s 1 s
2j 1 s 1 s
1
2j 1 1
2j (residuos polos " estables")
2j 2 2
2j
1) Por primitivas:
3) Vía Tablas:
1
2
1
1 2
s j
1 1
1
( s)
2
1 s 1 s
1 s
E (s)
b0
1
s 1 a1 s a 0
b02
12
1
J1
2a 0 a1 2 1 1 2
Ejemplo 14. Control óptimo analítico. Considerar el sistema donde R es un escalón unitario
R +
E
k
U
1
s( s 1)
Y
1) Determinar la k que minimiza el ISE.
2) Determinar la k que minimiza el ISEU con =2.
3) Calcular u(0+) en el segundo caso. ¿Qué hay que hacer para reducirlo?
1) En primer lugar se halla la transformada de Laplace del error,
1
E ( s)
s( s 1)
2
1
R( s ) 1 k
s sk
s( s 1)
b1 s b0
s( s 1)
s 1
E ( s) 2
R( s ) 2
2
s sk
s s k a 2 s a1 s a0
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
62
Tema 2. Análisis de Servosistemas
Aplicando tablas se obtiene el ISE
ISE e 2 (t )dt
0
El valor mínimo, ISE min
b12 a0 b02 a 2 k 1
2a 2 a1a0
2k
1
se obtiene para k ,
2
dISE 2k ( k 1)2 1
2
dk
4k 2
4k
2) Puesto que u=ke, ISEU
e
2
0
(t ) 2u 2 (t ) dt (1 2k 2 ) ISE (1 2k 2 )
k 1
.
2k
La derivada es:
dISEU
d 2k 3 2k 2 k 1 (6k 2 4k 1)2k ( 2k 3 2k 2 k 1)2 8k 3 4k 2 2
dk
dk
2k
4k 2
4k 2
El numerador se anula para 0.5 y 0.5 j 0.5 . Por tanto el valor óptimo es k=0.5 que da un
ISEUmin=2.25
5
16
4.5
14
4
12
3.5
10
ISEU
ISE
3
2.5
2
8
6
1.5
4
1
2
0.5
0
0
2
4
6
8
0
10
0
0.5
1
k
3) Aplicando el TVI, u (0 ) lim sU ( s ) lim skE ( s ) lim sk
s
s
s
1.5
k
2
2.5
3
s 1
k 0.5
s sk
2
Para reducirlo, hay que aumentar la penalización del esfuerzo de control.
5.3
Ejercicios resueltos
Ejercicio 6. Constantes de error.
1) Considerar el servo
demostrar que
T ( s) k
( s z1 )( s z 2 )
. Suponiendo que el sistema es de tipo 1,
( s p1 )( s p2 )( s p3 )
3
2
1
1
1
.
k v i 1 pi j 1 z j
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
63
Tema 2. Análisis de Servosistemas
2) Considerar una configuración de control con retroacción unitaria con las siguientes funciones de
transferencia en el camino directo. Para cada uno de los casos se pide: (1) indicar el tipo de sistema, (2)
obtener las constantes de error de a escalón kp, rampa kv y parábola ka, y (3) obtener el error en régimen
permanente a una entrada en rampa.
1000
K
100
, b) G ( s )
, c) G ( s )
2
(1 0.1s)(1 10s )
s(1 0.1s)(1 0.5s)
s( s 10s 100)
1000
100
K (1 2s )(1 4 s)
d) G ( s ) 2 2
, e) G ( s )
, f) G ( s )
s( s 10)( s 100)
s ( s 10s 100)
s 2 ( s 2 s 1)
a) G ( s )
Solución:
1)
La constante kv es la inversa del error permanente a entradas en rampa, er ( )
1
. Para calcular
kv
este error, podemos usar el teorema del valor final. Puesto que el sistema es de tipo 1 tenemos que
M(0)=1. Por tanto,
1
1 T ( s) 0
1
er ( ) lim sE ( s ) lim s 2 T ( s ) 2 lim
s 0
s 0
s s 0
s
0
s
Para resolver la indeterminación usaremos L’Hôpital. Hay que obtener la derivada de T(s) con
respecto a s:
( s z1 )( s z 2 )
dT ( s ) d
k
ds
ds ( s p1 )( s p2 )( s p3 )
s 2 ( z1 z 2 ) s z1 z 2
d
k
3
2
ds s ( p1 p2 p3 ) s ( p1 p3 p2 p3 p1 p2 ) s p1 p2 p3
Y volver a aplicar el límite,
er ( ) k
( z1 z 2 ) p1 p2 p3 z1 z 2 ( p1 p3 p2 p3 p1 p2 )
p1 p2 p3 2
Puesto que el sistema es de tipo 1, se cumple k
z1 z 2
1 . Si sustituimos este resultado en la
p1 p2 p3
expresión anterior queda
er ( ) k
z z ( p p p2 p3 p1 p2 )
( z1 z 2 )
( z z 2 ) ( p1 p3 p2 p3 p1 p2 )
k 1 2 1 3
1
2
p1 p2 p3
z1 z 2
p1 p2 p3
p1 p2 p3
1
1
1
1
1 1
er ( )
kv
p2 p1 p3 z 2 z1
c.q.d.
2)
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
64
Tema 2. Análisis de Servosistemas
El tipo de sistema es el número de integradores del lazo. Así (a) es de tipo 0; (b), (c) y (e) son de
tipo 1; y (d) y (f) son de tipo 2.
La constante de error de posición se define como k p G (0) . Así, k p 1000 para el caso (a) y
k p en el resto de casos.
La constante de error de velocidad se define como k v lim sG ( s ) . Así, k v 0 para el caso (a);
s 0
k v 1 para los casos (b) y (e); k v K para el caso (c); y k v para (d) y (f).
La constante de error de aceleración se define como k a lim s 2 G ( s ) . Así, k a 0 para los casos
s 0
(a), (b), (c) y (e); k a 1 para el caso (d); y k a K para el caso (f).
1
. Así, e( ) 1 / k v para
kv
el caso (a); e( ) 1 / k v 1 para los casos (b) y (e); e( ) 1 / k v 1 / K para el caso (c); y
e( ) 1 / k v 0 para (d) y (f).
El error permanente a entradas en rampa se define como e( )
tipo
k p G (0)
k v lim sG( s )
k a lim s 2 G ( s )
a) G ( s)
0
1000
0
0
b)
1
1
0
1
1
K
0
1/K
2
1
0
1
1
0
1
2
K
0
Lazo
c)
d)
e)
1000
(1 0.1s)(1 10s)
100
G(s)
s ( s 2 10 s 100)
K
G (s)
s (1 0.1s)(1 0.5s )
100
G(s) 2 2
s ( s 10s 100)
1000
G (s)
s( s 10)( s 100)
f) G ( s) K (1 2s)(1 4s )
2
2
s ( s s 1)
s 0
s 0
e r ( )
1
kv
Ejercicio 7. Transmisión/tracking
Dado el sistema de control con G p ( s )
1
y Gc = 10, se pide:
s
W
R +
C(s)
G(s)
+
+
+
+
V
1) Definir el concepto de tipo de sistema y explicar el Principio del Modelo Interno (IMP, Internal
Model Principle).
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
65
Tema 2. Análisis de Servosistemas
2) Calcular e() a entrada r(t) en escalón. Dibujar la respuesta.
3) Ídem para r(t) rampa. ¿Qué controlador se requiere para que e()=0?
4) Ídem para r(t) sinusoidal. ¿Qué controlador se requiere para que e()=0?
Solución:
1)
Tipo de sistema: Número de integradores en el lazo. Si el lazo no tiene integradores, el sistema es
de tipo 0. Si el lazo tiene un integrador, el sistema es de tipo 1. Si el lazo tiene dos integradores, el
sistema es de tipo 2. Y así sucesivamente.
Principio del modelo interno: Si se quiere error de seguimiento asintótico nulo a un tipo concreto
de señal de referencia, es necesario que dentro del lazo esté el modelo de la señal.
Así, si queremos offset nulo a entradas de tipo escalón, el lazo debe contener el modelo del escalón
(1/s). Para offset nulo a entradas en rampa, el lazo debe contener 1/s2. Para offset nulo a señales
senoidales, Asin(0t), el lazo debe contener el factor A0 / s 2 o2 .
10
, por tanto ess=0. Para verificarlo, calculamos la
s
L( s )
10
. Vemos que, efectivamente, T(0)=1.
transmitancia del servo, T ( s )
1 L( s ) s 10
2) Entrada escalón: El lazo es L( s )
>> T=tf(10,[1 10]);
>> step(T)
Step Response
1
0.9
0.8
0.7
Amplitude
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Time (sec)
3) Entrada rampa: Puesto que solo tenemos un integrador, la salida del servo seguirá con error
contante a la rampa.
Este error será:
Linear Simulation Results
1
1
1
1
ess
10
10
k v lim sL( s ) lim s
s 0
s 0
s
>> t=linspace(0,2);lsim(M,t,t)
1.8
1.6
1.4
1.2
Amplitude
Comprobación por matlab:
2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Time (sec)
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
66
Tema 2. Análisis de Servosistemas
Para tener ess=0 a rampas se necesitaría un doble integrador en el lazo. Puesto que la planta ya tiene
uno, el otro lo debe poner el controlador.
Sin embargo, no basta con que el controlador sea 10/s puesto que ello da lugar a un servo
marginalmente estable:
>> s=zpk('s');
>> P=1/s;C=10/s;
>> M=feedback(P*C,1)
Linear Simulation Results
20
18
16
Zero/pole/gain:
10
----------(s^2 + 10)
14
Amplitude
12
>> t=linspace(0,20);lsim(M,t,t)
10
8
6
4
2
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Time (sec)
Hay que añadir algún cero a fin de que los polos del servo se encuentren en el semiplano izquierdo
del plano complejo. Por ejemplo, una posible elección es: 10(s+1)/s
>> s=zpk('s');
>> P=1/s;C=10*(s+1)/s;
>> M=feedback(P*C,1)
Linear Simulation Results
3
2.5
Zero/pole/gain:
10 (s+1)
------------------(s+1.127) (s+8.873)
Amplitude
2
1.5
1
>> t=linspace(0,3);lsim(M,t,t)
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Time (sec)
4) Entrada sinusoidal: Si la referencia es r (t ) 2 sin(3t ) , la señal de error es
E ( s)
1
1
23
6s
R( s )
2
10 s 9 ( s 10)( s 2 9)
1 L( s )
1
s
es decir, ess también es una sinusoide. Por tanto no es posible obtener el error permanente con
ayuda del teorema del valor final puesto que éste obtiene un valor constante. Por tanto, el error de
seguimiento lo obtendremos por simulación:
>>
>>
>>
>>
>>
M=tf(10,[1 10]);
t=linspace(0,4*2*pi/3);
y=lsim(M,2*sin(3*t),t);
plot(t,y'-2*sin(3*t))
xlabel('t'),ylabel('e')
0.6
0.4
0.2
e
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
0
2
4
6
8
10
t
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
67
Tema 2. Análisis de Servosistemas
Para eliminar el offset, hay que incluir el modelo del seno en el controlador. Pero ello no basta
puesto que entonces el servo resultante es inestable:
>> s=zpk('s');
>> P=1/s;C=10*2*9/(s^2+9);
>> M=feedback(P*C,1)
Zero/pole/gain:
180
--------------------------------(s+5.117) (s^2 - 5.117s + 35.18)
Necesitamos ceros que fuercen a las ramas del LGR a volver al semiplano izquierdo, por ejemplo,
un par de ceros en -1:
>> P=1/s;C=10*2*9*(s+1)*(s+1)/(s^2+9);
>> M=feedback(P*C,1)
Zero/pole/gain:
180 (s+1)^2
-----------------------------(s+177.9) (s+1.274) (s+0.7939)
>> t=linspace(0,4*2*pi/3);lsim(M,2*sin(3*t),t);
Linear Simulation Results
2
1.5
1
1
0.5
0.5
Amplitude
Amplitude
1.5
0
-0.5
0
-0.5
-1
-1
-1.5
-1.5
-2
Linear Simulation Results
2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-2
0
1
2
Time (sec)
3
4
5
6
7
8
9
Time (sec)
La primera figura muestra como, efectivamente, tras un casi inapreciable transitorio, el error de
seguimiento a este tipo de señal es nulo. La segunda figura muestra el error de seguimiento del
sistema original:
>> M1=tf(10,[1 10]);
>> t=linspace(0,4*2*pi/3);lsim(M1,2*sin(3*t),t);
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
68
Tema 2. Análisis de Servosistemas
Ejercicio 7. Comportamiento. Considerar el sistema
R
E
+
K
+
G(s)
_
1/(20s)
Y
_
Kt
donde G ( s )
100
.
1 0.2 s
Se pide:
1) ¿De qué tipo es el sistema?
2) Obtener las constantes de error de posición, velocidad y aceleración.
3) Suponiendo que K, Kt son tales que el sistema es estable, obtener los errores en régimen permanente en
función de K y Kt cuando se excita al sistema con las siguientes señales: r(t) = 1, r(t) = t, r(t) = t2/2,
todas para t≥0.
4) Comprobar el resultado por simulación, escogiendo unos valores de K, Kt adecuados.
Solución:
1)
El sistema es de tipo 1 puesto que contiene un integrador en el lazo.
2)
El lazo es:
L( s ) K
G( s)
1
K
100
100 K
1 K t G ( s ) 20s 20s 0.2 s (1 100 K t ) s ( 4 s 20 2000 K t )
Constante de error de posición: k p L(0)
Constante de error de velocidad: k v lim sL( s )
s 0
100 K
20 2000 K t
Constante de error de aceleración: k a lim s 2 L( s ) 0
s 0
3)
Error permanente a entrada en escalón: ess ( )
1
0
1 kp
1 20 2000 K t
kv
100 K
1
Error permanente a entrada en parábola: ess ( )
ka
Error permanente a entrada en rampa: ess ( )
4)
Comprobación por simulación. Tomamos K=Kt=1.
El error a escalón es nulo, a parábola infinito y a rampa ess ( )
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
20 2000
20.2
100
69
Tema 2. Análisis de Servosistemas
>> K=1;Kt=1;L=tf(100*K,[4 20+2000*Kt 0]);M=feedback(L,1);
>> step(M)
>> t=linspace(0,200,500);
>> lsim(M,t,t)
>> y=lsim(M,t,t);
>> t(end)-y(end)
ans =
20.1990
>> lsim(M,t.^2/2,t)
>>
2
200
180
0.8
160
0.7
140
0.6
120
0.5
1.2
100
1
0.3
60
0.6
0.2
40
0.4
0.1
20
0
0
20
40
60
Time (sec)
80
100
120
Linear Simulation Results
1.4
0.8
0
4
1.6
80
0.4
x 10
1.8
Amplitude
0.9
Amplitude
Amplitude
Linear Simulation Results
Step Response
1
0.2
0
0
20
40
60
80
100
Time (sec)
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
120
140
160
180
200
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
Time (sec)
70
Tema 2. Análisis de Servosistemas
6.
Análisis de sensibilidad y robustez
6.1
Funciones de sensibilidad
Objetivo: Su conocimiento permite hacer estimaciones rápidas sobre el efecto de las variaciones
paramétricas, así como la gama de frecuencias de R(j) y de D(j) que pasarán/se
rechazarán (análisis de precisión general). Puede obtenerse fácilmente a partir de L-1 con
ayuda del ábaco de Nichols.
D
R
Y
G(s)
C(s)
V
Fig. 22.
E R ( j ) R ( j ) S ( j )
EW ( j ) D ( j ) S ( j )
|S(j)| es un factor de reducción de los errores. Conviene que sea pequeño en las
frecuencias críticas.
6.1.1
Definiciones
variación de la respuesta y
;
variación de la excitación u
Aplicación: Estudio de la variación de la respuesta temporal en función de la ganancia de lazo
1) Sensibilidad absoluta: uy
y (t )
k
2) Sensibilidad relativa (o de Bode) de la propiedad M con relación al parámetro :
SM
M / M M
M
/
T (s)
Aplicación: Propiedades de los sistemas retroactivos, S L ( s )
3) Función de sensibilidad complementaria: T 1 S
1
L( s )
T (s)
, SH ( s)
1 L( s )
1 L( s )
L
Y
. Si H = 1, T .
R
1 L
r
r
/
Aplicación: Variación de las raíces (polos) debida a la variación relativa del parámetro .
~
4) Sensibilidad semirrelativa de la variable r con relación al parámetro : S r
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
71
Tema 2. Análisis de Servosistemas
6.1.2
Aspectos de cálculo
Dependencia de un parámetro diferente de G(s). Aplicando la regla de la cadena:
M
M
M
Si G ( s, p ) G1 ( s )G 2 ( s, p ) , S k S G S k 1 S k 2 S G S k 2
G
G
G
Relación entre sensibilidad del módulo S k| M | y módulo de la sensibilidad S kM :
Mˆ M M (igualdad vectorial)
Incremento del módulo
M|
^
M
M|
Módulo del incremento
M
M
jS k ,
M
S kM S k
Sk
Re S kM S kM
Aplicación de S(j) al cálculo de errores de regulación (perturbaciones)
6.1.3
D
E
E ( j ) D ( j )
G(s)
1
D ( j ) S ( j )
1 G ( j )
Comentario: De nuevo resulta que S(j) ha de ser pequeña, al menos en la gama de frecuencias de
interés (espectro de D(j))
6.1.4
Aplicación de S(j) al cálculo de errores en el seguimiento (señales de
mando)
Comentario: Para obtener un error (en general) pequeño se requiere una S(j) pequeña.
R
E
G(s)
E ( j ) R ( j )
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
1
R ( j ) S ( j )
1 G ( j )
72
Tema 2. Análisis de Servosistemas
Limitaciones en su especificación: |S(j)| no puede ser menor que 1 en todas las frecuencias ya
que, según Bode,
log S ( j ) d 0 (ver Figura). Se trata del efecto “cama de agua” (waterbed
0
effect): Si reducimos |S| en un rango de frecuencias (a BF, en general), |S| aumentará en otro rango
(AF) a fin de que el área por encima de los 0dB sea igual al área por debajo de los 0dB haciendo así
que la integral se anule.
dB
Sr
Fig. 23.
En un sistema con 1 DOF, la especificación de S(j) no puede hacerse independientemente de la de
T(j) ya que debe cumplirse T(s) + S(s) = 1.
6.1.5
Sensibilidad. Relación entre S y L-1
Determinación por Nichols
1
L1
1 L 1 L1
Expresión en términos de L-1:
S
Similitud con T:
M
L
L1
, S
1 L
1 L1
Observamos que la relación entre S y L-1 es la misma que la de T y L y, por lo tanto, para obtener S
podemos usar el ábaco de Nichols representando previamente L-1 en vez de L.
Relación entre Sr, MG y MF
MG
Sr
Sr 1
MF 2 sin 1
1
2S r
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
73
Tema 2. Análisis de Servosistemas
6.1.6
Ejercicios resueltos
Ejercicio 8. Dada la respuesta del lazo de un servo con H=1,
0
30
0dB
Magnitud de G(j) [dB]
20
2dB
4dB
6dB
8dB
10dB
10
0
-10
= 0.70
= 0.95
= 1.13
= 1.43
= 1.66
= 2.2
-300
-20
-30
-300
-280
-1dB
-3dB
-10dB
= 2.88
-70
-120
-50
-200
-150
-100
-230
-20dB
= 4.41
-250
-250
-200
-150
-100
-50
Fase de G(j) [grados]
se pide:
1) Dibujar sobre el mismo ábaco de Nichols G-1(j). (Notar que esta curva es simétrica con
respecto al origen a la curva de G(j). El módulo de G-1 en dB es igual al módulo de G en dB
pero cambiado de signo y la fase de G-1 es igual que la fase de G pero cambiada de signo. Por
tanto para su trazado se recomienda obtener el valor simétrico, frecuencia a frecuencia, con
respecto al origen de coordenadas).
2) Bosquejar |S(j)| indicando su valor máximo Sr y a qué frecuencia tiene lugar. Estimar la
frecuencia en que las perturbaciones se reducen por un factor de 0.1. (Notar que el ábaco
aplicado a G da información de M=G/(1+G) y que aplicado a G-1 da información sobre
S=1/(1+G)=G-1/(G-1+1)).
Solución:
1) La inversa del lazo es la simétrica con respecto al origen de coordenadas. Se representa punto a
punto:
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
74
Tema 2. Análisis de Servosistemas
0
30
0dB
Magnitud de G(j) [dB]
20
2dB
4dB
6dB
8dB
10dB
10
0
-10
-1dB
= 0.70
= 0.95
= 1.13
-3dB
= 1.43
= 1.66
= 2.2
-300
-250
-280
-20
= 2.88
-230
-120
-200 -150
-10dB
-70
-100
= 4.41
-30
-300
-250
-200
-150
-50
-20dB
-100
-50
Fase de G(j) [grados]
2)
|S(j)|dB
0.7
-11
0.95
-6
1.13
0
1.43
9
1.66
8
2.2
6
2.88
4
4.41
2.1
dB
Sr=9dB
10
5
0
0.1
0.2
0.4
1
2
4
10
-5
-10
r=1.4rad/s
-15
-20
La frecuencia a la cual la atenuación es 0.1 es la frecuencia a la cual |S|=-20dB, en nuestro caso es
=0.7rad/s.
Ejercicio 9. Sensibilidad. Dado el servosistema de la figura:
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
75
Tema 2. Análisis de Servosistemas
N
R +
D
+
k
U+
+
_
s 1
s ( s 1)( s 2 4s 16)
Y
+
+
Nm
Fig. 24.
Se pide:
L ( j )
1) Calcular las funciones de sensibilidad relativa (de Bode) correspondientes al lazo S kL ( s ) , S k
T ( j )
y al servo S kT ( s ) , S k
.
2) Calcular y comparar el valor de estas funciones para 10 .
3) Calcular, considerando una aproximación lineal, la variación que experimentará T ( j ) 10 si k
pasa de 30 a 33 ¿Cuál será el valor de T ( j ) 10,k 33 ?
Solución:
Funciones de sensibilidad relativa:
1)
Del lazo con respecto a k:
S kL ( s )
k L( s )
1
L( s ) kP( s )
P( s ) 1
L( s ) k
P( s )
Del servo con respecto a k:
k T ( s )
kP ( s ) (1 kP ( s )) P( s )(1 kP ( s )) kP ( s ) P( s )
M ( s)
T ( s ) k
1 kP ( s )
P( s )
(1 kP ( s )) 2
(1 kP( s )) kP ( s )
1
1
(función de sensibilidad de Bode)
(1 kP ( s ))
1 kP( s ) 1 L( s )
S kT ( s )
S kT ( s )
S kT ( s )
s 1
s 4 3s 3 12 s 2 16s
1
L( s ) k 4
1 L( s )
s 3s 3 12 s 2 16s s 4 3s 3 12 s 2 ( k 16) s k
Del módulo de la respuesta frecuencial del lazo con respecto a k:
L ( j )
Sk
L( j )
k
1
L( j ) k P( j )
P( j ) 1
L( j )
k
P( j )
Del módulo de la respuesta frecuencial del servo con respecto a k:
La respuesta frecuencial es:
T ( j )
kP( j )
k ( j 1)
4
3
1 kP ( j ) ( j ) 3( j ) 12( j ) 2 ( k 16)( j ) k
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
76
Tema 2. Análisis de Servosistemas
T ( j )
k ( j 1)
12 k j 3 3 k 16
4
2
El módulo de la respuesta frecuencial es:
T ( j )
k 1 2
4
12 2 k 3 3 k 16
2
2
ka
(b k ) c k
2
2
donde se han definido a, b, c para simplificar el desarrollo matemático posterior.
Para =10rad/s y k=30 tenemos T ( j10) k 30
Para =10rad/s y k=33 tenemos T ( j10) k 33
30 101
88302 28602
33 101
88332 28302
0.0325 .
0.0358 .
Se puede comprobar con ayuda del Matlab:
>> T=tf([30 30],[1 3 12 30-16 30]);
>> mag=bode(T,10)
mag =
0.0325
>> T=tf([33 33],[1 3 12 33-16 33]);
>> mag=bode(T,10)
mag =
0.0358
La función de sensibilidad es
T ( j )
Sk
T ( j )
k
k
T ( j )
b k 2 c k 2
a
b k 2 c k 2
ka
2b k 2( c k )
2 b k c k
b k 2 c k 2
2
2
b k c k k b k ( c k )
b k 2 c k 2
a
b 2 2kb k 2 c 2 2ck k 2 2 kb k 2 kc k 2 2
b k 2 c k 2
b 2 kb c 2 ck
b k 2 c k 2
2
2
Sustituyendo los valores a, b, c tenemos:
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
77
Tema 2. Análisis de Servosistemas
S
b 2 kb c 2 ck
b k 2 c k 2
T ( j )
k
4
12 2 k 4 12 2 3 3 16 3 3 16 k
2
2
4
12 2 k 3 3 k 16
A kB
2
4
2
12 2 k 3 3 k 16
2
2
A 8 24 6 144 4 9 6 96 4 256 2 8 15 6 240 4 256 2
B 4 12 2 3 4 16 2 2 4 28 2
T ( j )
Sk
( 8 15 6 240 4 256 2 ) k ( 2 4 28 2 )
4
12 2 k 3 3 k 16
2
2
Valores para =10:
2)
S kL ( s ) 1
S kT ( s )
s 4 3s 3 12 s 2 16 s
s 4 3s 3 12 s 2 ( k 16) s k
s j10
10 4 3 j10 3 1200 160 j
10 4 3 j10 3 1200 ( k 16)10 j k
8800 3160 j
(8800 k ) j (10k 3160)
L ( j )
1
T ( j )
Sk
Sk
( 8 15 6 240 4 256 2 ) k ( 2 4 28 2 )
12 2 k 3 3 k 16
87425600 k 22800
(8800 k ) 2 (10k 3160) 2
4
2
2
3) Variación de T ( j ) 10 si k pasa de 30 a 33:
Por definición,
T ( j10)
T ( j10 )
Sk
T ( j10)
T ( j10)
k
k
T ( j10)
k
k
Ello significa que la variación del módulo a 10rad/s se puede obtener como:
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
78
Tema 2. Análisis de Servosistemas
T ( j10 )
T ( j10) S k
k 30
k
33 30
T ( j10) k 30 1.0069
0.0325 0.0033
k
30
Lo cual coincide con el resultado obtenido anteriormente,
T ( j10) T ( j10) k 33 T ( j10) k 30 0.0358 0.0325 0.0033
Ejercicio 10. Funciones de sensibilidad y sensibilidad complementaria. Dado el sistema
R
E
+
-
k
s ( s 1)
D
+
+
Y
con valor nominal k0 = 1, se pide:
E ( s)
, es decir, que
R( s)
Y ( s)
es una medida del error (capacidad de seguimiento). Comprobar que S ( s )
, es decir,
D( s )
1) Calcular la función de sensibilidad de Bode S(s). Comprobar que S ( s )
que es una medida de la atenuación de la perturbación (capacidad de regulación).
2) Calcular la función de sensibilidad complementaria T(s) 1 – S(s). Comprobar que
T ( s) M ( s)
Y ( s)
.
R( s)
3) Comparar |M| y |M|. Calcular |M| vía sensibilidad para k/k = 0.1. Calcular |M|
obteniendo |M| para k = 1 y k = 1.1.
4) Dibujar los diagramas de Bode de |S(j)| y |T(j)| y, a partir de ellos,
Comprobar para = 0.1 que |S| + |T| 1.
Hallar la gama de frecuencias en que el módulo de la variación de la transmisión |M| es diez
veces menor que el modelo nominal |M| en el supuesto de que el valor del parámetro se ha
duplicado, es decir, k/k = 1.
Hallar la gama de frecuencias en que la transmisión de r a y tiene una atenuación inferior a -6dB.
Ídem en que el rechazo de d a y se reduce a la mitad o menos de su amplitud original.
Ídem en que la amplitud del error de transmisión es menor que la mitad de la amplitud de la
señal de mando R(j).
Solución:
1) Sensibilidad de Bode
M / M
L dM
L
dM (1 L) L
1
donde M
. Así,
,
2
L / L
M dL
1 L
dL
(1 L)
(1 L) 2
1
L dM L(1 L)
L
.
S ( s)
2
(1 L)
1 L
M dL
L
1
E Y
Efectivamente, por algebra de bloques se ve directamente que S ( s )
1 L R D
S ( s)
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
79
Tema 2. Análisis de Servosistemas
2) La función de sensibilidad complementaria T es
T 1 S 1
1
L
Y
M
1 L 1 L R
3) La variación del módulo de M no es lo mismo que el módulo de la variación de M, |M| ≠ |M|.
Comprobación para ko = 1 y k = 1.1, k/k = 0.1.
k
1
1.1
k
~
s( s 1)
, M 0 ( s) 2
, M ( s) 2
M ( s)
2
k
s sk
s s 1
s s 1.1
1
s ( s 1)
La sensibilidad es:
S
M
k
S kM
k dM
M / M
M dk
k / k
0
k dM
M dk
0
dM ( s 2 s k ) k
s ( s 1)
2
donde
2
2
dk
(s s k )
(s s k )2
( s 2 s 1) s( s 1)
s ( s 1)
2
2
2
1
( s s 1)
( s s 1)
A partir de la sensibilidad se obtiene M
S kM
M / M
k / k
M S kM M 0
0
Cuyo módulo resulta ser M
k
s ( s 1)
1
2
2
0.1
k
( s s 1) s s 1
0.1s( s 1)
( s 2 s 1) 2
~
En el segundo caso, M M M 0
1.1
1
2
s s 1.1 s s 1
2
4) Diagramas de Bode de |S| y |T|.
En el caso nominal S 0 ( s )
1
s2 s
, T0 ( s ) 2
2
s s 1
s s 1
>> bodemag(tf([1 1 0],[1 1 1]))
>> hold
Current plot held
>> bodemag(tf([1],[1 1 1]),'--')
>> legend('S','T')
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
80
Tema 2. Análisis de Servosistemas
Bode Diagram
10
S
T
0
-10
Magnitude (dB)
-20
-30
-40
-50
-60
-70
-80
-2
10
-1
0
10
10
1
10
2
10
Frequency (rad/sec)
Comprobar para = 0.1 que |S| + |T| 1.
>> magM=bode(tf([1],[1 1 1]),0.1)
magM =
1.0050
>> magS=bode(tf([1 1 0],[1 1 1]),0.1)
magS =
0.1010
>> magM+magS
ans =
1.1060
Hallar la gama de frecuencias en que el módulo de la variación de la transmisión |M| es diez veces menor
que el modelo nominal |M| en el supuesto de que el valor del parámetro se ha duplicado, es decir, k/k = 1.
k
k
M S 0 M 0
, hay que encontrar la
k
k
frecuencia a la cual S 0 0.1 ( 20dB ) . A la vista del Bode vemos que es, aproximadamente,
Puesto que
M S 0 M 0
0.1rad/s. Por tanto, la gama de frecuencias de desensibilización pedida es la que va de =0 a
=0.1rad/s.
Hallar la gama de frecuencias en que la transmisión de r a y tiene una atenuación inferior a -6dB.
Aquí nos fijamos a qué frecuencia T vale -6dB. Esta frecuencia es aproximadamente =1.5rad/s. A partir
de 1.5 la transmisión tendrá una atenuación de ½ e inferior.
Ídem en que el rechazo de d a y se reduce a la mitad o menos de su amplitud original.
Aquí nos fijamos a qué frecuencia S vale -6dB. Esta frecuencia es aproximadamente =0.4rad/s. De 0 a
0.4rad/s la señal d será atenuada por un factor de ½ o inferior.
Ídem en que la amplitud del error de transmisión es menor que la mitad de la amplitud de la señal de mando
R(j).
De nuevo es buscar a qué frecuencia S vale -6dB. Esta frecuencia es aproximadamente =0.4rad/s. El
rango será pues de 0 a 0.4rad/s.
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
81
Tema 2. Análisis de Servosistemas
Ejercicio 8. Sensibilidad. Considerar los siguientes dos sistemas:
+
K1
+
K2
0.0099
K1
+
0.09
K2
0.09
Se pide:
1) Comprobar que presentan la misma función de transferencia cuando K1=K2=100.
2) Comparar sus sensibilidades relativas con respecto al parámetro K1 para los valores nominales anteriores.
Solución:
1)
T1
K1 K 2
100 100
100 100
, T1 K K 100
100
1
2
1 0.0099 K1 K 2
1 0.0099 100 100
1 99
T2
K1
K2
, T2
1 0.09 K1 1 0.09 K 2
2)
K1 K 2 100
100 100
10 10 100
1 9 1 9
S KT11
K1 dT1 K1 1 0.0099 K1 K 2 K 2 1 0.0099 K1 K 2 K1 K 2 0.0099 K 2
T1 dK1
K1 K 2
1 0.0099 K1 K 2 2
S KT11
K1 1 0.0099 K1 K 2
K2
1
2
K1 K 2
1 0.0099 K1 K 2 1 0.0099 K1 K 2
S KT11
K1 K 2 100
1
1 0.0099 K1 K 2
0.01
K1 K 2 100
S KT21
K1 dT2 K1 1 0.09 K1 1 0.09 K 2 1 0.09 K1 K1 0.09
K2
2
1 0.09 K 2
T2 dK1
K1 K 2
1 0.09 K1
S KT21
1
1 0.09 K1
S KT21
K1 K 2 100
1
1 0.09 K1
0.1
K1 K 2 100
Conclusión: Una variación del 10% en el parámetro K1 provoca una variación del 10x0.01=0.1%
en T1 y una variación del 10x0.1=1% en T2. Por tanto, el segundo sistema es 10 veces más sensible
que el primero a variaciones en K1.
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
82
Tema 2. Análisis de Servosistemas
6.2
Incertidumbre y robustez
Se dice que un sistema de control es robusto si sus especificaciones de estabilidad y
comportamiento se satisfacen a pesar de la incertidumbre en el modelo de la planta que se ha usado
en su diseño.
Típicamente, el controlador se diseña a partir de un modelo nominal G0 de la planta y no de un
hipotético modelo “perfecto” Greal puesto que éste no existe. El modelo nominal G0 es, por regla
general, un modelo lineal invariante en el tiempo (LTI, Linear Time Invariant) y de orden reducido.
Es por tanto una aproximación muy simplificada de Greal. Por otro lado, aunque fuera posible
obtener exactamente Greal, igualmente habría que simplificarlo a fin de poder diseñar a partir de él
un controlador realizable. La consecuencia es que siempre existe incertidumbre en el modelo usado
para diseñar el controlador.
6.2.1
Cómo modelar la incertidumbre de la planta. Familia de plantas
La incertidumbre en el modelo de la planta puede caracterizarse por medio de un conjunto o familia
G de plantas factibles. Este conjunto contiene al modelo nominal G0 y a muchos otros posibles
modelos Gi, i=1,2,… de la planta real.
G
G5
G1
G0 G4
G6 Gn
G2
G3
Greal
Fig. 25. Familia de plantas
Así, el objetivo del controlador (robusto) no es cumplir las especificaciones de estabilidad y
comportamiento para G0 sino cumplirlas para todas y cada una de las plantas de la familia G. En el
caso ideal, si esta familia está bien construida, contendrá a Greal con lo que el controlador robusto
funcionará bien en el sistema real.
Incertidumbre paramétrica y no estructurada
Hay diferentes maneras de formular matemáticamente la familia de plantas G. Cada una de ellas da
lugar a un modelo de incertidumbre diferente. A grandes rasgos la incertidumbre puede clasificarse
en incertidumbre paramétrica (o estructurada) e incertidumbre dinámica (o no estructurada).
En el primer caso la incertidumbre está en los parámetros. Por ejemplo:
(1)
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
83
Tema 2. Análisis de Servosistemas
En el segundo caso la incertidumbre está en la respuesta (temporal, frecuencial) y se caracteriza por
medio de cotas o funciones que afectan a la planta nominal. Las dos descripciones básicas son la
aditiva (o absoluta)
,
(2)
y la multiplicativa (o relativa),
.
(3)
Notar que, por desconocimiento y/o necesidad de simplificación, siempre existen dinámicas no
modeladas. Así, la incertidumbre dinámica siempre está presente en el modelo, por lo que un
modelo de incertidumbre paramétrica como (1) por sí sólo no es una buena opción para caracterizar
a la familia G.
Existen otros tipos de modelos de incertidumbre, p. ej., aditiva inversa (ver apartado más adelante),
multiplicativa inversa (ver el sistema de la Fig. 25), mediante factores coprimos, intervalos de
plantas,… y también es posible combinar las diferentes descripciones entre ellas.
Regiones de incertidumbre en el plano de Nyquist
El dominio frecuencial es idóneo para representar la incertidumbre puesto que ésta varía con la
frecuencia y es típicamente mayor a altas frecuencias debido a las limitaciones en la precisión de los
instrumentos de medida, a simplificaciones deliberadas de los efectos parásitos, dinámicas no
conocidas, etc.
La respuesta frecuencial de una planta incierta G ha de incluir la respuesta frecuencial de todas las
plantas de la familia G. Ello se traduce en que, para cada frecuencia , la respuesta frecuencial de
no estará formada por un único valor sino por un conjunto de valores que
la planta incierta
definen una región en el plano de Nyquist.
Así, el diagrama polar de la respuesta frecuencial de una planta incierta G no es una única curva
(como sucede con el caso nominal) sino una banda que incluye todas las respuestas frecuenciales de
todas la plantas del conjunto G.
Para ilustrarlo, considerar por ejemplo la siguiente familia de plantas con incertidumbre
paramétrica:
(4)
La
Fig.
26
muestra
las
regiones
de
incertidumbre
para
(4)
a
las
frecuencias
Las regiones de incertidumbre de la Fig. 26 no son muy prácticas por varios motivos. En primer
lugar, obtener controladores robustos a partir de este tipo de regiones de incertidumbre es difícil
(aunque algún método existe). Además, obtener las regiones ya supone de por sí un esfuerzo
considerable. Finalmente, este tipo de descripción no tiene en cuenta el error en la estructura del
modelo (dinámicas no contempladas en el modelo paramétrico).
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
84
Tema 2. Análisis de Servosistemas
Regiones de incertidumbre
1.5
1
=1
0.5
=2
= 0.01
0
Imag
=7
-0.5
-1
= 0.05
= 0.5
-1.5
= 0.2
-2
-2.5
-3
-2
-1
0
1
2
3
Real
Fig. 26. Regiones de incertidumbre paramétrica
Para facilitar el análisis y el diseño del controlador, la mayoría de las técnicas de control convierten
las regiones de incertidumbre paramétrica a regiones de incertidumbre no estructurada. La
descripción más sencilla es mediante discos de incertidumbre. Esta descripción también recibe el
nombre de perturbación compleja (complex perturbation) en contraposición a la incertidumbre
paramétrica que, por lo general, es una perturbación real (real perturbation).
Discos de incertidumbre
Una manera directa de convertir las regiones de incertidumbre paramétrica en regiones de
unos discos que las engloben.
incertidumbre no estructurada es obtener para cada frecuencia
Esta descripción, aunque añade incertidumbre a la planta (aumenta el tamaño de las regiones) es
muy simple y por ello muy útil. Basta con especificar el centro y el radio para cada uno de los
círculos.
, y el
El centro de cada disco corresponde a la respuesta frecuencial de la planta nominal,
radio es la mayor distancia entre el centro y la frontera de la región de incertidumbre paramétrica.
Así, el radio corresponde a la cota máxima de incertidumbre absoluta (llamada también de peor
. En el caso de incertidumbre multiplicativa el centro es
y el radio es
caso)
.
Discos de incertidumbre
1.5
1
0.5
Imag
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-3
-2
-1
0
1
2
3
Real
Fig. 27. Regiones de incertidumbre no estructurada
El radio sólo define la circunferencia del disco de incertidumbre. Puesto que la respuesta
puede tomar cualquier valor dentro del círculo es necesario
frecuencial de la planta incierta
introducir una función
arbitraria pero estable (o, como mínimo, que no cambie el número de
. Esta condición se
polos inestables al pasar de G0 a G) y que cumpla la condición
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
85
Tema 2. Análisis de Servosistemas
puede expresar de manera más compacta con ayuda de la norma infinita,
Así, las
familias de plantas con incertidumbre aditiva y multiplicativa quedan expresadas de la siguiente
manera:
,
(5)
,
(6)
Las funciones de ponderación Wa(s) y Wm(s) representan el perfil frecuencial de la incertidumbre.
De ellas sólo nos interesa su módulo. Si el valor del módulo de Wm es mayor que 1 para alguna
frecuencia, ello indica que para dicha frecuencia la incertidumbre es mayor del 100% y el disco
resultante engloba el origen (es el caso de los discos correspondientes a las frecuencias 2rad/s y
7rad/s en la Fig. 27). En esta situación desconocemos totalmente la fase de la planta por lo que es
posible que existan ceros de fase no mínima, lo que puede complicar el diseño. En las bandas
donde la incertidumbre es tan elevada lo mejor que puede hacer el control es mantener la ganancia
del lazo lo más baja posible.
Modelo central
Finalmente, notar que el radio de los círculos, y por tanto el tamaño de la región de incertidumbre,
depende de donde situamos el centro (valor nominal).
La opción que da lugar a los círculos más ajustados es la que toma como valor nominal, para cada
una de las frecuencias, el centro de masas de la región correspondiente. Es lo que se ha hecho en la
Fig. 27. Esta opción no es muy práctica puesto que en general va a ser difícil obtener una función
racional que pase por todos los centros y tenga un orden razonable.
Una alternativa es comenzar seleccionando un modelo nominal sencillo y a continuación
representar los discos de incertidumbre resultantes. Ello no asegura que el modelo nominal pase
por el interior de las regiones de incertidumbre paramétrica, lo que puede dar lugar a bandas de
incertidumbre tan grandes que hagan imposible tanto el diseño como el análisis. En la Fig. 28 se
muestran dos posibles selecciones para el modelo nominal y sus discos de incertidumbre asociados.
El primer caso corresponde a la planta “media”
Mientras que el segundo corresponde a la misma planta anterior pero sin retardo,
Discos de incertidumbre (planta con k = = 0 = 2.5)
Discos de incertidumbre (planta sin retardo puro)
1.5
1
1
0.5
0.5
0
0
-0.5
-0.5
Imag
Imag
1.5
-1
-1.5
-1
-1.5
-2
-2
-2.5
-2.5
-3
-2
-1
0
1
2
3
Real
-3
-2
-1
0
1
2
3
Real
Fig. 28. Efecto de la selección del modelo nominal central
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
86
Tema 2. Análisis de Servosistemas
Claramente, la planta nominal sin retardo es una mala elección puesto que su respuesta frecuencial
queda fuera de las regiones de la Fig. 28 (dicho de otro modo, no pertenece a la familia G original
definida en (4)) con lo que los círculos de incertidumbre asociados son enormes.
Otros tipos de incertidumbre
P(s)
u
u1
W2(s)
y1
(s)
+
P0(s)
+
y
Fig. 29. Incertidumbre multiplicativa
Incertidumbre aditiva: En este tipo de
incertidumbre el conjunto P está
formado por todas las funciones de
transferencia P ( s ) que satisfacen
u
P(s)
W2(s)
(s)
P0 ( s )
.
1 ( s )W2 ( s ) P0 ( s )
+
+
u1
y
P(s)
W2(s)
P0(s)
y
Fig. 31. Incertidumbre multiplicativa inversa
Incertidumbre aditiva inversa: En este
y1
tipo de incertidumbre el conjunto P
está formado por todas las funciones de
transferencia P( s ) que satisfacen
u +
P( s)
y1
Fig. 30. Incertidumbre aditiva
Incertidumbre multiplicativa inversa:
y1
En este tipo de incertidumbre el
conjunto P está formado por todas las
funciones de transferencia P ( s ) que u
+
satisfacen
P0 ( s )
.
1 ( s )W2 ( s )
(s)
P0(s)
P ( s ) P0 ( s ) ( s)W2 ( s ) .
P( s)
u1
(s)
u1
P(s)
W2(s)
P0(s)
y
Fig. 32. Incertidumbre aditiva inversa
Incertidumbre múltiple (combinación de incertidumbres): En este tipo de incertidumbre el conjunto
P está formado, por ejemplo, por todas las funciones de transferencia P( s ) que satisfacen
P ( s ) P0 ( s )
1 2 ( s )W2 ( s )
.
1 1 ( s )W1 ( s )
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
87
Tema 2. Análisis de Servosistemas
y1
u +
(s)
u1
P(s)
W1(s)
W2(s)
u2
y2
(s)
-
+
+
P0(s)
y
Fig. 33. Incertidumbre múltiple
6.2.2
Análisis de robustez
El análisis de la robustez de un sistema de control consiste en verificar si se cumplen sus
especificaciones de diseño para toda la familia de plantas G. En el caso de los métodos H∞ la idea
consiste en verificar si se cumplen las especificaciones para la incertidumbre de “peor caso”, es
decir, para la frontera de la región de incertidumbre.
Los llamados teoremas de robustez son una serie de resultados que nos permiten cuantificar el grado
de robustez alcanzado tanto en la estabilidad del sistema como en su comportamiento. La expresión
particular de cada teorema depende de la descripción de incertidumbre escogida, de la configuración
de control y de si el sistema es SISO (Single Input Single Output) o MIMO (Multiple Input Multiple
Output). En los textos clásicos sobre el tema se pueden hallar resultados para todas estas
situaciones.
Configuración de control
En este tema nos centraremos en los sistemas SISO y en la configuración de control retroactiva de
un grado de libertad (1DOF, One Degree of Freedom) de la Fig. 34, donde K es el controlador
robusto y G la planta incierta. Las entradas exógenas r y d corresponden respectivamente a la señal
de consigna y al ruido aditivo actuando sobre el sistema.
d
r
e
_
uG
K
G
y
Fig. 34. Configuración de control (1DOF)
En el caso de incertidumbre multiplicativa, la Fig. 35 muestra la representación en esquema de
bloques de la familia de plantas a la que pertenece la planta incierta G.
G
d
r
_
K
uG
Wm
u
G0
y
y
Fig. 35. Planta con incertidumbre multiplicativa
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
88
Tema 2. Análisis de Servosistemas
La matriz de transferencia en lazo cerrado T que relaciona el vector de salida
del sistema de la Fig. 34 es
vector de entrada
con el
(7)
Los elementos de T son funciones de sensibilidad. En particular, T22 es la función de sensibilidad
de Bode
y T11 es la función de sensibilidad complementaria
.
6.2.3
Estabilidad
Puesto que la estabilidad es el objetivo primero y principal de la mayoría de los sistemas de control
cabe tratarla por separado. Por ello, se considera primero la estabilidad y después el resto de
objetivos de comportamiento.
En la mayoría de aplicaciones se requiere que el sistema de control presente estabilidad de tipo
BIBO (Bounded Input Bounded Output), es decir, que para cualquier entrada acotada su respuesta
también esté acotada. Adicionalmente, se requiere también que el sistema presente estabilidad
interna, esto es, que todas las funciones de sensibilidad en (7) sean estables. La estabilidad interna
implica que no se han producido cancelaciones de polos y ceros inestables dentro del lazo.
Estabilidad nominal
El sistema de la Fig. 35 presenta estabilidad nominal si es estable para la planta nominal G0. El
criterio de estabilidad de Nyquist para lazos de fase mínima establece que el sistema en lazo cerrado
es estable si la respuesta frecuencial del lazo no engloba al punto crítico -1. En el caso nominal, por
tanto, para tener estabilidad basta con asegurar que el diagrama polar del lazo nominal
no rodee al punto -1.
Estabilidad robusta
Se tiene estabilidad robusta cuando el sistema es estable para todas las plantas de la familia G. En
el dominio frecuencial, ello se traduce en que la banda que corresponde a la respuesta frecuencial
del lazo incierto
no debe englobar el punto crítico -1. Así, frecuencia a
frecuencia, ninguna de las regiones de incertidumbre asociadas puede contener al punto crítico -1.
A partir del diagrama polar de la Fig. 36 se deduce que se tiene que cumplir la siguiente condición
,
o, lo que es lo mismo,
,
donde
es la función de sensibilidad complementaria para el caso nominal. Esta
última condición se puede expresar de forma compacta mediante la norma infinita:
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
89
Tema 2. Análisis de Servosistemas
Im
‐1
Re
|Wm(ji)L0(ji)|
|1+L0(ji)|
L0(ji)
Fig. 36. Interpretación gráfica de la estabilidad robusta (incertidumbre multiplicativa)
Teorema 1. Estabilidad robusta en presencia de incertidumbre multiplicativa. Se tiene
estabilidad robusta en presencia de incertidumbre multiplicativa de perfil Wm si y solo si se cumple
la condición
.
(8)
donde T0 es la función de sensibilidad complementaria nominal.
□
Se puede llegar al mismo resultado si se usa el teorema de la pequeña ganancia (small-gain
theorem). Este teorema establece que, para que un sistema en lazo cerrado sea estable, el módulo
del lazo abierto siempre debe ser inferior a 1 puesto que de esta manera nos aseguramos que nunca
, por tanto, la estabilidad del conjunto
englobará al punto crítico -1. En la Fig. 37 el lazo es
.
queda asegurada si
u
y
M
Fig. 37. Teorema de la pequeña ganancia
Teorema 2. Pequeña ganancia. Dada la configuración de la Fig. 37, donde el lazo
y se cumple
, entonces el sistema en lazo cerrado también será estable si
,
donde
es cualquier norma que satisface
.
es estable
□
Para obtener la condición de estabilidad robusta a partir del teorema de pequeña ganancia, vamos a
obtener cuánto ha de valer la función de transferencia M en la Fig. 37 para que los sistemas de la
Fig. 35 y la Fig. 37 sean equivalentes. Para hallar cuánto vale la función de transferencia M en el
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
90
Tema 2. Análisis de Servosistemas
sistema de la Fig. 35 basta con aplicar la regla de Mason tomando como entrada a
a . El resultado es:
. Puesto que
, también se cumplirá
para el teorema de estabilidad robusta.
y como salida
, tenemos que
. Si
, con lo que se obtiene el mismo resultado
Así,
La siguiente tabla muestra los resultados para otros tipos de incertidumbre
Tipo de incertidumbre
Expresión
Condición de Estabilidad Robusta
multiplicativa
P ( s ) 1 ( s )W2 ( s ) P0 ( s )
W2 ( s )T0 ( s )
aditiva
P( s ) P0 ( s ) ( s)W2 ( s )
W2 ( s )C ( s ) S0 ( s )
P0 ( s )
1 ( s )W2 ( s )
P0 ( s )
P( s)
1 ( s )W2 ( s ) P0 ( s )
W2 ( s ) S0 ( s )
multiplicativa inversa
P( s)
aditiva inversa
1
1
1
W2 ( s ) P0 ( s ) S0 ( s )
1
Tabla 1. Estabilidad robusta para distintos tipos de incertidumbre
Ejemplo 15. Margen de estabilidad de la familia P: Considerar el sistema con retroacción
unitaria de la Figura,
C(s)
P(s)
Fig. 38.
Determinar la cota superior sup para la cual el controlador C(s) proporciona estabilidad a todas las
plantas de la familia P definida como
P = P ( s ) 1 ( s )W2 ( s ) P0 ( s ) :
( s)
Podemos escribir
P = P ( s ) 1 ( s )W ( s ) P ( s ) :
P = P ( s ) 1 1 ( s ) W2 ( s ) P0 ( s ) :
2
0
( s)
1 ( s )
1
1 , con ( s ) 1( s ) y W2 ( s ) W2 ( s )
Aplicando el Teorema de Estabilidad Robusta,
sup sup :
W2 ( s )T0 ( s)
1 sup :
W2 ( s)T0 ( s )
1
1
W2 ( s )T0 ( s )
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
91
Tema 2. Análisis de Servosistemas
6.2.4
Comportamiento
Comportamiento nominal
El comportamiento o desempeño de un sistema de control incluye especificaciones de diseño
diversas como son el rechazo a las perturbaciones aditivas y el seguimiento a señales de consigna.
En todos estos casos, una forma de ver que el comportamiento es el adecuado es comprobar si la
magnitud de la señal de error e es pequeña.
Considerar de nuevo la configuración 1DOF de la Fig. 34. En el caso nominal la función de
transferencia que relaciona la entrada de referencia r con la señal de error e es la función de
sensibilidad de Bode
. Y la función de transferencia que relaciona la perturbación
aditiva d con la señal de error es
. En ambos casos, el comportamiento depende de
la función de sensibilidad S0. Así pues si se quiere acotar la magnitud del error e basta con acotar la
función de sensibilidad nominal
o, lo que es lo mismo,
.
En un caso más general, la magnitud del error permitida dependerá de la frecuencia de trabajo, por
tanto, es razonable acotar la función de sensibilidad en función de la frecuencia y, por tanto,
construir una función de ponderación WS tal y como se ha hecho con el perfil de incertidumbre. Así
podemos formular el teorema de comportamiento nominal como:
Teorema 3. Comportamiento nominal. Se tiene comportamiento nominal si y solo si se cumple
la condición
.
(9)
siendo WS el perfil de las especificaciones y S0 la función de sensibilidad de bode nominal.
□
El teorema de comportamiento nominal también tiene una interpretación gráfica (ver la Fig. 39).
|WS ji |
Im
Re
|1 L0 ji |
‐1
L0 ji
Fig. 39. Interpretación gráfica del comportamiento nominal
a todas las frecuencias. Dicho de otro
Se debe cumplir la condición
modo, para todas y cada una de las frecuencias i, la respuesta frecuencial del lazo nominal L0 ji debe mantenerse fuera del círculo centrado en -1 y de radio|WS ji |.
Una elección típica de esta función de ponderación es
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
92
Tema 2. Análisis de Servosistemas
(10)
donde M es el máximo valor permitido para la respuesta frecuencial de
,
es el ancho de
banda deseado para el sistema en lazo cerrado y A es la atenuación de las perturbaciones a bajas
frecuencias. El valor típico de M es M 2 y su inversa también recibe el nombre de margen de
módulo. En cuanto a la atenuación, en general es A 1 y vale A 0 si el lazo presenta acción
integral.
Comportamiento robusto
El sistema tendrá comportamiento robusto si las especificaciones de estabilidad y comportamiento
se cumplen para todas las plantas de la familia G. Es decir, para cada frecuencia i la región de
incertidumbre (centrada en L0 ji yconradio|Wm ji L0 ji |) no debe intersectar con el círculo
de comportamiento (centrado en -1 y de radio |WS ji | . Esta condición se muestra gráficamente
en la Fig. 40.
Im
‐1
Re
|WS(ji)|
|Wm(ji)L0(ji)|
|1+L0(ji)|
L0(ji)
Fig. 40. Interpretación gráfica del comportamiento robusto (incertidumbre multiplicativa)
Matemáticamente, la distancia entre los centros de los círculos debe ser mayor que la suma de los
radios,
,
o, lo que es lo mismo,
,
Expresando esta última condición en términos de norma infinita, el teorema de comportamiento
robusto queda así:
Teorema 4. Comportamiento robusto en presencia de incertidumbre multiplicativa. Se tiene
comportamiento robusto si y solo si se cumple la condición
.
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
(11)
93
Tema 2. Análisis de Servosistemas
donde Wm es el perfil de incertidumbre multiplicativa, WS la función de ponderación de las
especificaciones, T0 la función de sensibilidad complementaria nominal y S0 la función de
sensibilidad de Bode nominal.
□
nos indica el grado de robustez alcanzado.
El valor de la función de coste
Existe un compromiso entre robustez y comportamiento. Si el valor de la función de coste (11) es
muy pequeño, entonces el sistema será muy robusto pero probablemente el comportamiento no será
muy satisfactorio (por ejemplo, la respuesta será demasiado lenta). Por ello, las técnicas de control
robusto tratan de optimizar este índice de comportamiento buscando que su valor esté por debajo de
la unidad (para tener robustez) pero no mucho (para tener buen comportamiento).
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
94
Tema 2. Análisis de Servosistemas
7.
7.1
Extensión del análisis clásico
Efecto de las no linealidades (saturación)
Lazo:
r
+
e
k
Inestabilidad lineal
u
1
y
1
( s p1 )( s p 2 )( s p3 )
keq
u
Amplificador k con saturación:
u0
M
s1
Ganancia equivalente: k eq
Oscilación sostenida: = 1 (del Evans) y A
Función descriptiva: N ( A)
s
e
M0
(dado M0 = amplitud y keq del Evans)
k eq
C1
1 , donde C1 es el módulo del primer armónico de la
A
respuesta y A es la amplitud de la excitación senoidal.
y (t ) y (t T ) C1 sen(1t 1 )
n(t ) A sen(t )
N(A)
1
7.2
Efecto de la discretización (Ts)
Si la k anterior se implementa digitalmente,
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
A/D
k
D/A
95
Tema 2. Análisis de Servosistemas
Ts
. La razón es que el sistema no
2
reacciona instantáneamente sino que lo hace dentro del intervalo de muestreo 0 < Ts y, en
Su efecto dinámico puede aproximarse por un retardo 0
promedio, Ts/2.
Lo inmediato es su efecto desestabilizador, por lo que aparte del teorema de muestreo, se tiene
otro límite para no alargar excesivamente Ts.
co
0 dB
co
Ts
MF
2 co
MF
-180
7.3
Ts
MF ,
2
Efecto del ruido
En los sistemas estocásticos hay que limitar la banda para contrarrestrar el efecto del ruido.
Bases:
1) Densidad de probabilidad: distribución gaussiana p( x )
1
2
e
1 x
2
2
p(x)
78%
x
Nota: si el intervalo es 2, el área abarcada es entonces del 95%.
2) Transformada de Laplace bilátera: LB, LII
2.1) Definición:
Y ( s) y ( t ) e st dt ;
y (t )
1 j
Y ( s) e st ds
2j j
(Nota: Obsérvese que el límite inferior de integración aquí es - en vez de cero).
2.2) Cálculo de LB: Para t>0 es Y(s) y para t<0 resulta ser Y(-s); Y (s) Y1 (s) Y1 ( s)
2.3) Cálculo de LB1 (para el caso de y(t) función par como ocurre con Rx() )
Y ( s): correspondiente a los polos SPI
a) Y ( s) Y1 ( s) Y1 ( s) ; 1
Y1 ( s): correspondiente a los polos SPD
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
96
Tema 2. Análisis de Servosistemas
y1 ( t ) L1 Y1 ( s) t 0
b) y ( t ) y1 ( t ) y1 ( t ) ;
1
y1 ( t ): L Y1 ( s) , t 0
3) Autocorrelación:
R x ( ) x ( ) E x (t ) x (t )
x 1 x 2 p( x 1 , x 2 ) dx 1 dx 2
4) Teorema de Kintchine: S x ( s) LB R x ( ) ; S x ( 2 ) F R x ( ) ; S ( 2 ) S ( s) s 2
5) Cálculo de la potencia media:
1 T
1 j
1
y 2 lim y 2 (t )dt
S y ( s)ds
S y ( 2 )d S y ( 2 )df 2 S y ( 2 )df
0
T T 0
2j j
2
(Nota: La integración se hace con ayuda de tablas)
6) Transmisión del ruido por canales lineales: S y (s) S x (s)H (s)H ( s) .
Filtro de Wiener:
Entrada con ruido.
N=v
S=x +
+
z
H(s)
y
H o (s)
1
z
x
z
Elección del filtro óptimo que minimiza e x2 ev2 :
Puede hacerse una optimización paramétrica (cuasi equivalente) para determinar la b más
conveniente del servo, M ( s )
1
, para simplificar.
1 sT
Criterios: Minimizar J e x2 ev2 o maximizar
ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a
S
, con restricciones.
N
97
