REGULACIÓN AUTOMATICA (2) (FUNCIÓN DE TRANSFERNECIA DE LOS SISTEMAS FÍSICOS) Escuela Politécnica Superior Profesor: Darío García Rodriguez 1 1-1.-Calcular la función de transferencia de los sistemas, mecánico (xo(s)/xi(s) ) y eléctrico Eo(s)/Ei(s) ) de las figuras siguientes y establecer sus analogías: R2 xi k1 b1 + + C2 ei (t ) b2 xo k2 − R1 eo C1 − y Sistema mecánico: sup oner x0 ( s ) > xi ( s ) xi y ( s ) > xo ( s ) y(s) > 0 ( k1 + s·b1 )·( x o ( s ) − xi ( s )) b2 ·s ( y ( s ) − x o ( s )) k 2 · y(s) k1 b1 A b2 xo B y k2 Si xo > xi el resorte k1 y el amortiguador b1 se estiran, luego la fuerza de ambos extremos iran hacía dentro ver figura. Sí y > xo ocurre lo mismo que en el caso anterior. Sí y>0 el resorte k2 se comprime luego las fuerzas irán hacía fuera en los extremos del resorte. En A podemos escribir: (k1 + s·b1 )·( xo ( s ) − xi ( s )) = b2 ·s ( y ( s) − xo ( s )) En B b2 ·s( y ( s) − xo ( s )) + k 2 · y ( s) = 0 Sí despejamos en B la y(s) y la sustituimos en A llegamos a: 2 En B y ( s) = xo ( s )(k1 + s·b1 + b2 ·s − b2 ·s x0 ( s ) b2 ·s + k 2 en A (b2 ·s) 2 ) = (k1 + b1 ·s )·xi ( s) b2 ·s + k 2 Dividiendo por k1·k2 ambas expresiones y simplificando se llega a: b1 b s + 1· 2 s + 1 xo ( s ) k1 k2 = xi ( s ) b1 b2 b2 s + 1· s + 1 + ·s k1 k2 k1 Sistema eléctrico: R2 y C2 en paralelo su equivalente en transformada de Laplace: 1 C 2 ·s R2 Z2 = = 1 R2 ·C 2 ·s + 1 R2 + C 2 ·s R1 y C1 serie su equivalente en transformada de Laplace: R2 · Z1 = R1 + R ·C ·s + 1 1 = 1 1 C1 ·s C1 ·s Su función de transferencia nos viene expresado por: R1 ·C1 ·s + 1 Eo ( s ) Z1 C1 ·s (R1 ·C1 ·s + 1)(· R2 ·C2 ·s + 1) = = = R · C · s + 1 R Ei ( s ) Z 1 + Z 2 (R2 ·C2 ·s + 1)(R1 ·C1 ·s + 1) + R2 ·C1 ·s 1 1 2 + C1 ·s R2 ·C 2 ·s + 1 Comparando las funciones de transferencias, se observa, que los sistemas eléctrico y mecánico son análogos donde se cumple que: R1 ·C1 = b1 , k1 R2 ·C 2 = b2 k2 y R2 ·C 1= 3 b2 k 2-1.- En, el esquema de la figura A calcular cual sería su circuito eléctrico análogo fuerza-voltaje sup ongamos x1 > 0 x2 > x1 k1 m1s 2 x1 ( s ) x1 ( s )(k1 + b1s ) b1 k1 m1 m1 b2 k2 b1 x1 b2 k2 x1 (x2 (s ) − x1 (s))(· k2 + sb2 ) m2 m2 m2 s 2 x2 ( s ) x2 x2 figA FigB En este tipo de analogía el desplazamiento x es equivalente a intensidad I. d 2x Reacción de la masa m 2 equivalente a una autoinducción L, k resorte equivalente a dt la inversa de un condensador y b amortiguador equivalente a la resistencia. En la fig B hemos expresados todas las fuerzas del sistema. Donde podemos escribir las siguientes ecuaciones: x1 ( s )(k1 + b1s ) ) + m1s 2 x1 ( s ) − ( x2 ( s) − x1 ( s ) )( · k 2 + b2 s ) = 0 m2 s 2 x2 ( s ) + ( x2 ( s) − x1 ( s ) )( · k 2 + b2 s ) = 0 observando ambas ecuaciones tenemos un valor de (k2+b2s) común a ambas mallas: Luego la rama común esta compuesta por un condensador y una resistencia.(C2 y R2). Los demás elementos son independiente en cada malla. En la primera malla tendría L1, C1 y R1 además de la rama común y en la segunda malla L2 Luego el Esquema sería el siguiente: R1 L1 C1 C2 I1 ( s) I 2 ( s) L2 R2 Sus ecuaciones de mallas en transformada de Laplace son: 1 1 + (I1 ( s ) − I 2 ( s) )· R2 + =0 I1 ( s )· L1s + R1 + C1s C 2 s 4 1 =0 I 2 ( s)·L2 s + (I1 ( s ) − I 2 ( s) )· R2 + C 2 s Si en ambas ecuaciones multiplicamos por s ambos miembros obtenemos: 1 1 =0 I1 ( s )· L1s 2 + R1 s + + (I1 ( s) − I 2 ( s ) )· R2 s + C1 C 2 1 =0 I 2 ( s)·L2 s 2 + (I1 ( s ) − I 2 ( s ) )· R2 s + C 2 ahora podemos comparar ambos sistemas: L1 y L2 a las masas m1 y m2 repectivamente. R1 y R2 a los amortiguamiento b1 y b2. 1/C1 y 1/C2 a los resortes k1 y k2. 5 3-1.- Obtenga una representación en el espacio de estado del sistema mecánico de la Fig A en donde u1 y u2 son las entradas e y1 y y2 son salidas. supongamos : y1 > 0 k2 y2 (s) y2 > y1 u1 k1· y1(s) k1 m1 m1 k2 k2 y1 y1 b1 k1 m1s2 y1(s) u1 b1s( y2 (s) − y1(s)) u2 m2s2 y2 (s) b1 m2 k2 y2 (s) m2 u2 y2 y2 FigB FigA Su ecuación en m1 nos viene expresada por: m1 s 2 y1 ( s) + k1 y1 ( s) − b1s ( y 2 ( s ) − y1 ( s) ) = u1 ( s) Su ecuación en m2 nos viene expresada por: m2 s 2 y 2 ( s ) + k 2 y 2 ( s ) + b1 s( y 2 ( s ) − y1 ( s ) ) = u 2 ( s ) Hacemos los diferentes cambios para pasarla a variables de estado: y1(s)=x1(t) dy1 (t ) dx1 (t ) d 2 y1 (t ) dx 2 (t ) y2(s)=x3(t) , = x 2 (t ) = = sy1 ( s ) = = s 2 y1 ( s) 2 dt dt dt dt dx (t ) dy 2 (t ) = x 4 (t ) = 3 = y 2 ( s ) dt dt d 2 y 2 (t ) dx 4 (t ) = = s 2 y(s) 2 dt dt Todas las condiciones iniciales son ceros, y la igualación de funciones del tiempo con transformada de Laplace no son correctas, lo que nos indica es la relación entre tiempo y s. La primera ecuación la podemos escribir de la siguiente forma: dx 2 k b b = − 1 x1 − 1 x 2 + 2 x 4 + u1 (t ) dt m1 m1 m1 La segunda ecuación la podemos escribir de la siguiente forma: 6 dx 4 b k b = 1 x 2 − 2 x3 − 1 x 4 + u 2 (t ) dt m2 m2 m2 dx1 = x2 dt y con las expresadas: dx3 = x4 dt y podemos expresar las ecuaciones de variables de estado en forma matricial: 0 dx1 / dt dx 2 / dt − k1 / m1 = dx3 / dt 0 0 dx 4 / dt 1 − b1 / m1 0 b1 / m2 0 0 0 − k 2 / m2 0 x1 0 0 b1 / m1 x 2 1 / m1 0 u1 · + · 1 x3 0 0 u2 0 1 / m2 − b1 / m 2 x 4 x1 y1 1 0 0 0 x 2 = · y 2 0 0 1 0 x3 x4 7 4-1.- Calcular la función de transferencia del motor de C.C. de la figura 1. L θ ( s) Ei ( s ) . R Tm + is i ei (t ) θm N1 Jm θ JL − Figura1 N2 Ei (s ) + − Tm (s) Tm (s ) I (s ) I (s ) 1 Ls + R k1 Eb (s ) 1 J eq s 2 + beq s θm θm figura 2 θm Eb (s ) k2 s Ei ( s ) + − Tm ( s ) I (s) 1 Ls + R k1 1 J eq s + beqs 2 Eb ( s ) n θ figura 3 θm Eb ( s ) θm k2s En la figura 2 hemos expresado los diferentes bloques que definen las diferentes ecuaciones del motor de C.C. a.Ei ( s ) = I ( s)[Ls + R ] + Eb ( s) contraelectromotriz). I (s) = Eb(t) es la pila que opone el motor (fuerza 1 [Ei (s) − Eb (s)] Ls + R primer bloque b.- El par del motor vine expresado por: Tm = kI s ( s ) I ( s) = k1 I ( s ) segundo Bloque c.- El par motor actúa sobre el elemento mecánico rotor (supongamos que tiene momento de inercia equivalente y fricción equivalente ) Tm ( s) = J eq s 2θ m ( s ) + beq sθ m ( s ) θ m (s) = 1 Tm ( s ) J eq s + beq s 2 luego podemos escribir es el tercer bloque 8 n θ N1 =n Jeq = n2JL+Jm y beq = n2bL+bm. N2 d.- el bloque de realimentación viene de la siguiente expresión: en donde en nuestro esquema Eb(s)=k2sθ(s) luego podemos escribir Eb ( s ) = k2 s θ m (s) e.- y por último la relación del ángulo girado N θ ( s) = 1 =n θ m ( s) N 2 Con todos estos bloques hemos originado el esquema de bloques de la figura 3, cuya función de transferencia nos viene expresada por: k1 n ( Ls + R)( J eq s 2 + beq ) k1 n θ ( s) = = k1 k 2 s Ei ( s ) ( Ls + R)( J eq s 2 + beq s ) + k1 k 2 s 1+ ( Ls + R)( J eq s 2 + beq s ) Luego sería equivalente al siguiente diagrama de bloque: Ei (s) nk1 ( Ls + R )( J eq s 2 + beq s) + k1 k 2 s Ei (s ) θ (s) Gm (s ) donde Gm(s) nos viene expresado por: Gm (s) = nk1 ( Ls + R)( J eq s 2 + beq s ) + k1 k 2 s 9 θ (s ) 5-1.-En el servomotor de posición de la figura calcular la función de transferencia, suponiendo que la entrada y salida del sistema son la posición del eje de entrada y salida. (equivalente a una tensión Ei y Eo). Ei (t ) + Ei (t ) − Eo (t ) − Eo (t ) L R Tm + ei (t ) i θm is N1 Jm JL − θ N2 Si tenemos presente el problema anterior el diagrama de bloque de la figura queda reducido a: Ei Eo θ + − Gm (s ) A k3 En donde A es la ganancia de amplificador y k3 es la relación entre la tensión de salida Eo y el ángulo girado θ. Luego la función de transferencia nos viene dada por: G(s) = Ei E0 AG m k 3 = E i 1 + AG m k 3 AGm k3 1 + AGm k3 10 Eo 6-1.- Calcular la función de transferencia de la figura, que corresponde a un PID. C1 R4 C2 R2 R3 vo (t ) vi (t ) 1 2 R1 En la entrada del primer A.O. tenemos una resistencia y un condensador en paralelo, R1 y C1 , su equivalente en transformada de Laplace: 1 C1 ·s R1 Z1 = = 1 R1 ·C1 ·s + 1 R1 + C1 ·s En la realimentación del mismo A.O. tenemos R2 y C2 en serie, su equivalente en transformada de Laplace: R1 · Z 2 = R2 + R ·C ·s + 1 1 = 2 2 C 2 ·s C2 s La ganancia del primer A.O. es: R2 ·C 2 ·s + 1 (R ·C ·s + 1)(· R1 ·C1 ·s + 1) Z C 2 ·s Av1 = − 2 = − =− 2 2 R1 Z1 R1 ·C 2 ·s R1 ·C1 ·s + 1 La ganancia del segundo A.O. nos viene expresada por: R4 , Luego la ganancia total, que es la función de transferencia, viene R3 expresada por: Av 2 = − Avt = vo (s) (R ·C ·s + 1)(· R1 ·C1 ·s + 1)· R4 = R4 ·R2 · (R2 ·C 2 ·s + 1)(· R1 ·C·s1 + 1) = Av1 · Av 2 = 2 2 vi ( s ) R1 ·C 2 ·s R3 R3 ·R1 R2 ·C 2 11 7.1.- Calcular la función de transferencia de la figura, que corresponde a un compensador en adelanto o atraso. C2 C1 R4 R2 R3 vo (t ) vi (t ) 1 2 R1 En la entrada del primer A.O. tenemos una resistencia y un condensador en paralelo, R1 y C1 , su equivalente en transformada de Laplace: 1 C1 ·s R1 Z1 = = 1 R1 ·C1 ·s + 1 R1 + C1 ·s En la realimentación del mismo A.O. tenemos R2 y C2 en paralelo, su equivalente en transformada de Laplace: R1 · 1 C 2 ·s R2 Z2 = = 1 R2 ·C 2 ·s + 1 R2 + C 2 ·s R2 · La ganancia del primer A.O. es: R2 Z R ·C ·s + 1 R ·(R ·C ·s + 1) =− 2 1 1 Av1 = − 2 = − 2 2 R1 Z1 R1 ·(R2 ·C 2 ·s + 1) R1 ·C1 ·s + 1 La ganancia del segundo A.O. nos viene expresada por: Av 2 = − R4 , Luego la ganancia total que es la función de transferencia viene expresada R3 por: Avt = vo ( s ) R ·(R ·C ·s + 1) R4 R2 ·R4 (R1 ·C1 ·s + 1) = Av1 · Av 2 = 2 1 1 · = · vi ( s ) R1 ·(R2 ·C 2 ·s + 1) R3 R1 ·R3 (R2 ·C 2 ·s + 1) 12 8.1.- Calcular la función de transferencia de la figura, que corresponde a un compensador en adelanto atraso. C2 R2 R6 R1 C1 R4 R5 v o (t ) vi (t ) 1 2 R3 En la entrada del primer A.O. tenemos una resistencia en serie con un condensador, R1 y C1 , y estas en paralelo con una resistencia R3, su equivalente en transformada de Laplace: 1 + R1 ·R3 Cs = (1 + C1 ·R1 ·s )·R3 Z1 = 1 1 1 + C1 ·s(R1 + R3 ) + R1 + R3 C1 s En la realimentación del mismo A.O. tenemos una resistencia en serie con un condensador, R2 y C2 , y estas en paralelo con una resistencia R4, su equivalente en transformada de Laplace: 1 + R2 ·R4 C s = (1 + C 2 ·R2 ·s )·R4 Z2 = 2 1 1 + C1 ·s (R2 + R4 ) + R 2 + R4 C2 s La ganancia del primer A.O. es: Av1 = − Z2 Z1 (1 + R2 ·C 2 ·s )·R4 R ·(R ·C ·s + 1)·[1 + C1 s·(R1 + R3 )] 1 + C 2 s·(R2 + R4 ) =− =− 4 2 2 (1 + R1 ·C1 ·s )·R3 R3 ·(R1 ·C1 ·s + 1)·[1 + C 2 ·s·(R2 + R4 )] 1 + C1 ·s ( R1 + R3 ) La ganancia del segundo A.O. nos viene expresada por: R6 , Luego la ganancia total, que es la función de transferencia, viene R5 expresada por: Av 2 = − 13 Avt = Av1 · Av 2 = R6 R4 ·(R2 ·C 2 ·s + 1)·[1 + C1 s·(R1 + R3 )] · R5 R3 ·(R1 ·C1 ·s + 1)·[1 + C 2 ·s·(R2 + R4 )] 14 9.1.- En servomecanismo se suelen utilizar trenes de engranajes, para cambiar velocidad, pares y potencia. En el diagrama de la figura se ha representado un engranaje y su equivalente reducido. Calcular los valores de su equivalente. J1 b1 Tm θ1 N1 T1 (1) N2 T2 θ 2 J2 b2 N3 T3 (2) (3) T4 θ 3 N4 J3 b3 TL J eq beq TLeq Tm θ1 El significado de los elementos de la figura son: J momento de inercia. b coeficiente de fricción viscosa. θ ángulo girado. T par aplicado (Tm par del motor). En un engranaje se cumple las siguientes relaciones: N1 T1 θ 2 = = N 2 T2 θ 1 N 3 T3 θ 3 = = N 4 T4 θ 2 y Es decir el par transmitido es directamente proporcional al número de dientes y el número de dientes es inversamente proporcional al ángulo girado. En el tramo (1) de la figura podemos escribir la siguiente ecuación (después realizando la transformada de Laplace). Tm (t ) = J 1 d 2θ 1 dθ + b1 1 + T1 (t ) ecuación temporal del tramo (1). 2 dt dt ( ) Tm = θ 1 J 1 s 2 + b1 s + T1 en el tramo (2). ( ) T2 = θ 2 J 2 s 2 + b2 s + T3 en el tramo (3) 15 ( ) T4 = θ 3 J 3 s 2 + b3 s + TL De las ecuaciones de engranajes tenemos: T2 = N2 T1 N1 T4 = N4 T3 N3 θ2 = N1 θ1 N2 θ3 = N3 θ2 N4 La ecuación del tramo (3) la podemos expresar en función de θ 2 y T3. 2 N N T3 = 3 θ 2 ( J 3 s 2 + b3 s ) + 3 TL N4 N4 N N4 T3 = 3 θ 2 ( J 3 s 2 + b3 s ) + TL N3 N4 Sustituimos la ecuación del tramo (3) en la del tramo (2) obtenemos: 2 2 2 N3 N3 N 3 N 3 N3 2 2 θ 2 J 3 s + b3 s + J 3 + s b2 + b3 + T2 = θ 2 J 2 s + b2 s + TL = θ 2 s J 2 + TL N4 N 4 N 4 N 4 N4 ( 2 ) ( ) Si hacemos la misma operación del tramo (2) al (1) obtenemos: 2 2 2 2 N N N N N N Tm = θ1 s 2 J1 + 1 J 2 + 3 J 3 + s b1 + 1 b2 + 3 b3 + 3 1 TL N2 N 4 N2 N 4 N 4 N 2 Si comparamos esta ecuación con la segunda figura que es su equivalente. Tm = θ 1 J eq s 2 + beq s + TLeq ( ) Tenemos que: 2 J eq N N = J 1 + J 2 1 + J 3 3 N2 N4 2 N1 N2 2 2 N N beq = b1 + b2 1 + b3 3 N2 N4 N N TLeq = TL 3 1 N 4 N 2 16 2 N1 N2 2