didáctica del cálculo integral

DIDÁCTICA DEL CÁLCULO INTEGRAL
Tomás Ortega
Análisis Matemático y Didáctica de la matemática
Facultad de Educación.
Universidad de Valladolid.
1. INTRODUCCIÓN
Se pretende dar una visión global de la didáctica del cálculo integral analizando todos los
currículos españoles que tratan el tópico, haciendo una propuesta curricular de aula,
revisando el material didáctico, dando orientaciones metodológicas, exponiendo un brevísimo
apunte epistemológico, presentando el concepto en un marco de resolución de problemas con
tres problemas reales, desarrollando los puntos más conflictivos y resolviendo los tres
problemas propuestos antes.
2. MARCO CURRICULAR
Los antecedentes curriculares del cálculo integral tienen su origen en el plan de 1934. Aquí se
recogen los conceptos relativos a esta unidad desde este plan hasta la LOGSE.
PLAN DE 1934
Séptimo año:
Noción de integral definida como expresión de un área.
PLAN DE 1938
Séptimo año:
Nociones elementales sobre cuadraturas como límite de una suma de elementos
infinitesimales; su cálculo formal.
PLAN DE 1953
No se contempla
PLAN DE 1957
Sexto año
La integral definida. El problema del cálculo de áreas. Concepto de integral definida. La
relación entre el área y la función primitiva. Integral indefinida. Teorema de la media.
Cálculo de áreas sencillas. Ejercicios.
Aplicaciones del cálculo integral. Volumen de un cuerpo definido por una integral. Cálculo
de volúmenes de cuerpos geométricos sencillos. Aplicaciones a los cuerpos de revolución.
Estudio del movimiento uniformemente variado. Otras aplicaciones físicas del cálculo
integral. Ejercicios.
PLAN DE 1972
Tercero de BUP:
Calculo diferencial. y Cálculo Integral. Aplicaciones.
Matemáticas Comunes de COU:
No aparece.
Matemáticas Especiales de COU:
Prácticamente idéntico al plan siguiente.
Las matemáticas ii de 1988.
La integral. Primitivas, la integral definida, cálculo de áreas.
EL CURRÍCULO DE LA LOGSE, 1990
2º de MACS
Aproximación intuitiva al concepto de integral definida. El problema del cálculo de áreas.
2º de MCNSyT
Introducción al concepto de integral definida a partir del cálculo de áreas definidas bajo una
curva. Técnicas elementales para el cálculo de primitivas. Aplicación al cálculo de áreas.
3. PROPUESTA CURRICULAR
La siguiente propuesta se podrá llevar al aula, en el caso de MACS de forma más intuitiva,
abundando en justificaciones gráficas, ejemplos y explicaciones sobre la aplicación de los
conceptos. En MCNSyT se deben formar las sumas de Darboux ver la evolución con
particiones más finas. Se debe establecer el Teorema Fundamental del Cálculo y se deben
justificar las aplicaciones de la integral mediante sumatorios de Riemann. Se señalan los
objetivos y contenidos de la unidad.
Objetivos
El fundamental es que los alumnos entiendan el concepto de integral definida y sean capaces
de aplicarlo para calcular áreas, volúmenes y centros de masas.
2
Distinguir y relacionar la integral definida e indefinida de una función.
Saber integrar numéricamente, ver su generalidad y saber aplicarlo
Conocer las técnicas elementales del cálculo de primitivas.
Conceptos
Concepto de integral definida. Integración numérica. Teorema fundamental del cálculo.
Técnicas elementales para el cálculo de primitivas. Cálculo de áreas, volúmenes y centros de
gravedad.
Procedimientos
El concepto de integral definida deberá
establecerse a partir del cálculo de áreas
definidas bajo una curva. Se construirán
las sumas de Darboux a la vez que se
dibujarán para una función positiva.
Eligiendo un punto interior de cada
subintervalo se construyen las sumas de
Riemann, lo que da, de forma natural, un
método general de integración numérica.
y=f(x)
a=x0 x1 x2
x3
x4 x5 x6=b
Conviene notar que para cada partición
Figura 1. Integral de Darboux
sólo hay dos sumas de Darboux, mientras
que hay infinitas sumas de Riemann. Las
de Darboux son más interesantes para relacionar el concepto con el de área, pero las de
Riemann son más apropiadas para efectuar una integración numérica.
Si f es acotada en [a,b], entonces f es integrable Darboux sií lo es Riemann.
Cuando se haga integración numérica conviene que la partición sea uniforme. En este caso,
utilizando una hoja de cálculo los puntos en los que se evalúa la función se generan de forma
automática. La regla de trapecios es muy intuitiva y tiene mayor orden de convergencia.
El Teorema Fundamental del Cálculo,
que debe establecerse inmediatamente
después de definir el concepto de
primitiva, da un método analítico para
determinar integrales definidas y con él
se establece la necesidad del cálculo de
primitivas.
y=f(x)
El currículo establece con absoluta
claridad que sólo se deben desarrollar
los métodos generales de cálculo de
primitivas: descomposición, sustitución
e integración por partes.
a=x0
x1
x2
x3
x4
x5
x6=b
Figura 2. Regla de los trapecios.
Se deben justificar las aplicaciones de la integral definida mediante procesos de sumatorios
de Riemann: de áreas de rectángulos, de volúmenes de cilindros y de centros de masas de
rectángulos
3
Actitudes
Hacia la valoración del trabajo realizado y confianza en las propias posibilidades de
superación de las dificultades conceptuales.
Apreciación del trabajo personal y colectivo, orden, sistematización, búsqueda y uso de
estrategias de resolución.
Interés por la precisión numérica y por la resolución analítica.
4. MATERIAL DIDÁCTICO
Libros de texto
Generador de volúmenes: Cartulinas de funciones
Ordenador: Programas gráficos, Derive, Maple, Funciones, Calcula, Excel, QuattroPro, ...
A continuación se muestran nueve gráficas que representan otras tantas cartulinas.
Cartulina 1. y=2, y=5.
Cartulina 2. y=-x+4.
Cartulina 4. y=x2-3.
Cartulina 3. y=x/2, y=-x/4
4
Cartulina 6. y=x2-2, y=1.
Cart. 5. y=(4-x2)1/2+1, y=-(4-x2)1/2+1
Cart. 7. y=(4-x2)1/2+3, y=-(4-x2)1/2+3
Cart. 8. y=-x3/6+x2/2-7x/32-11/96,
y=x3/6-x2/2+1/3
Cartulina 9. y=x2-2, y=x.
Cartulina 10. y=x2-2, y=x. I=[-2,2]
5
Cartulina 12. y=(9-x2)/3,
y=(x2-9)·(x2-1)/8
Cartulina 11. y=∗x∗, y=x^2-∗2x∗
El generador de volúmenes gira las cartulinas alrededor del eje de abscisas (puede
considerarse el de ordenadas) y así se obtiene una imagen del volumen que genera el recinto
plano representado en la cartulina. Esta visión “real” del volumen permite que los alumnos
distingan las partes huecas de las macizas y en los casos donde haya superposición de
volúmenes, el recinto plano está ambos lados del eje de giro, elegir el que genera el volumen.
En suma con el generador de volúmenes los alumnos podrán entender mejor qué límites de
integración son los que debe tener la integral definida en cada zona.
5. METODOLOGÍA
La unidad se presentará en un marco de resolución de problemas, tratando de resolver los tres
problemas reales que se describen después.
Habrá presentaciones y exposiciones conceptuales a cargo del profesor, haciendo partícipes a
los alumnos de las mismas mediante preguntas y propuesta de pequeñas aplicaciones de tipo
evocativo. Los alumnos trabajarán en grupos e individualmente ejercicios de aplicación.
Manipularán el generador de volúmenes para delimitar los límites de integración de los
volúmenes de revolución que generan las “cartulinas” para que distingan partes “huecas” de
“macizas” y, en suma, las funciones que generan el volumen.
Harán prácticas de ordenador en las que tendrán que aplicar integración numérica, con la hoja
de cálculo, y simbólica, con Derive o Maple, para resolver problemas de cálculo de áreas,
volúmenes de revolución y centros de masas.
6. BREVE ANÁLISIS EPISTEMOLÓGICO
El primer procedimiento para calcular volúmenes de revolución se debe a Arquímedes (287,
212) a.C. Arquímedes en su tratado Sobre Conoides y Esferoides expone un método para
calcular los volúmenes de revolución de segmentos de elipsoides, paraboloides e
hiperboloides cortados por un plano perpendicular al eje principal. Arquímedes divide al
6
segmento AB del eje en n partes iguales de longitud h y
considera cilindros de revolución como hoy en día se
hace en Cálculo Integral. La diferencia de los métodos de
Arquímedes con estos hay que buscarla en la no
aplicación del concepto de límite funcional.
A
h
Fue Simon Stevin el primero en modificar los métodos de
Arquímedes, llevándolos hacia el análisis infinitesimal.
En el año 1586 publicó su Estática y en ella probó que el
centro de gravedad de una lámina triangular está sobre la
mediana.
B
Figura 3. Método de Arquí-
En 1635 Bonaventura Cavalieri publicó Geometria medes para calcular volúmenes
indivisibilibus continuorum que expone la idea
fundamental de que un área está formada por segmentos rectilineos indivisibles y un volumen
por segmentos o áreas indivisibles. Principio de Cavalieri:
Si dos cuerpos sólidos tienen la misma altura y si las secciones que
determinan planos paralelos a las bases y a distancias iguales de ellas están
siempre en una razón dada, entonces los volúmenes de los dos sólidos están
también en la misma razón.
Aplicando este criterio, por ejemplo, al cálculo del área de la elipse y al volumen del
elipsoide de revolución, respectivamente, se obtiene:
b
a
A=2
b
a 2 − x 2 dx
∫
20
a
a
b2
A = 2π 2 ∫ (a 2 − x 2 )dx
2 0
En realidad este método había sido descubierto por
Fermat en 1629 para las curvas de ecuación y=xn
Figura 4. Método de Cavalieri
(para n>0 parábolas de Fermat y para n<0 hipérbolas
de Fermat). En esta época numerosos matemáticos se ocuparon de los problemas de las
tangentes y de las cuadraturas y parece que fue Isaac Barrow (1630-1677)el primero en darse
cuenta de su carácter inverso.
Con Newton (1642-1725) y Leibniz (1646-1716) el cálculo alcanzó un desarrollo
considerable y Leibniz introdujo el nombre de “integral”, su símbolo, Ι, y “dx”. El concepto
de integral que manejaba estaba totalmente ligado al de área bajo la curva, dividiendo el
intervalo [a,b] en n subintervalos y sustiyendo la franja correspondiente por el rectángulo
cuya altura está comprendida entre l mínimo y el máximo de la función en esa franja. El área
así hallada es más exacta cuanto más rectángulos haya y cuanto más estrechos. Así se genera
una sucesión de áreas , cuyo límite es el área bajo la curva. Por definición, para Leibniz, la
integral definida es el área así hallada.
Duarante el siglo XVIII se había considerado la integración como la operación inversa de la
diferenciación y se abandonó el sentido geométrico de integral como área. Fue Augustin
Louis Cauchy (1789-1857) quien observó que una función podía ser no derivable en un punto
e incluso no continua y, sin embargo, podía tener un área bien definida. Esto le llevó a definir
la integral definida como el limite analítico, no geométrico, de las sumas integrales así:
7
Sn = (x1-x0)f(x0) + (x2-x1)f(x1) + ... + (xn-xn-1)f(xn-1).
Para Cauchy, la integral definida es el límite, S, de las sumas Sn cuando las longitudes de los
intervalos disminuyen indefinidamente.
Nombres como Darboux, Riemann, Lebesgue son sobradamente conocidos y su aporte
constituye la base del análisis actual.
7. PROBLEMAS QUE SE TRATAN DE RESOLVER
En este nivel se deben reducir a tres: Calculo de áreas planas, volúmenes de revolución y
centros de masas. En MACS al 1º y como mucho al 2º.
Áreas de superficies planas
- Obtención de fórmulas.
- Cálculo de áreas.
La figura adjunta representa, en un diagrama
cartesiano, la delimitación de un terreno en el
que se quiere instalar un campo de golf entre
el río y el camino. El borde del camino
coincide con el eje de abscisas, la curva que
Río
describe el río es la representación cartesiana
de la función f(x)=x·(sen(3x/4)+1)+3 y el
segmento BC está sobre la perpendicular al
camino por el punto C, que es el punto del río
Campo de golf
más cercano al camino (mínimo de la función)
tras el ensanche. ¿Cuál es su área sabiendo que
las unidades del diagrama cartesiano son A
Camino
Hectómetros? ¿Se podría determinar el área si
en vez de conocer la función se supieran
Figura 5. Área de un campo e golf
cuáles son las coordenadas de puntos situados
en el borde del río?
C
B
Este último problema es más real que el anterior ya que es muy difícil que las funciones
estándar describan la geografía. Sin embargo esto es posible, ya que siempre se pueden hallar
polinomios interpoladores, tanto algebraicos como trigonométricos.
Volúmenes de cuerpos
1
- Obtención de fórmulas.
- Cálculo de volúmenes de revolución.
- ¿Principio de Cavalieri?
A veces se hacen estudios de marketing para
analizar el gusto de los consumidores por la
forma de los envases. De los modelos utilizados
en el estudio, la figura adjunta muestra sel perfil
0
1
Figura 6. Diseño de una botella
8
2 dm
lateral de una la botella de vidrio más aceptada en el mercado de consumo para envasar cierto
producto. Este perfil es la representación gráfica de la función f(x)=a·(x-0´1)2·(x-1)2·((x2)4-0´04)+0´31, en [0,2] para a=3/4. Halla el valor de a para que la capacidad de la botella
sea de 3/4 de litro.
Centros de gravedad. Equilibrio estático.
- De láminas planas
En una vivienda se pretende construir un tejadito
semicircular para cerrar el vano de la escalera. Para
ello se construye una “galleta” de forjado como la
forma de la figura 7, formada por un semicírculo de
110 cm de radio y un rectángulo de 240×36 y 20 cm
220 cm
de espesor. La parte rectangular se incrusta en la
220×40
pared y la semicircular soportaría el tejadillo. ¿Qué
altura de pared hay que levantar por encima de la
Figura 7. Centro de gravedad
“galleta” para que el centro de gravedad del conjunto
pared-galleta esté dentro de la pared? La densidad de
la galleta es la misma que la de la pared y ésta tiene 40 cm de espesor.
No nos preocupamos del tejado que tiene que soportar la “galleta”, ya que éste va a ser
compensado por la masa de la cubierta del tejado de la vivienda.
8. DESARROLLO DE LA PROPUESTA CURRICULAR
Por razones obvias aquí sólo se tratarán algunos apartados muy puntuales, concretamente, se
desarrollará el Teorema Fundamental del Cálculo Integral, se propondrán unos ejemplos de
funciones integrables y se justificarán las tres aplicaciones de la integral definida que
resuelven los problemas propuestos.
Teorema fundamental del Cálculo
Si f es integrable Riemann en [a,b] y G es una primitiva suya sobre este intervalo, entonces
b
∫ f ( x)dx = G(b) − G(a)
a
Este teorema, sin lugar a duda, es uno de los más importantes del Análisis, ya que relaciona el
cálculo deferencial con el integral, dando un método de cálculo.
Demostración. Sea P={x0, x1, x2, ..., xn} una partición arbitraria de [a,b].
n
∑ [G ( x ) − G ( x
i
i −1
)] = G ( x1 ) − G ( x 0 ) + G ( x 2 ) − G ( x1 ) + ... + G ( x n ) − G ( x n −1 ) = G (b) − G (a )
1
Por el teorema del valor medio, en cada subintervalo [xi-1, xi], existe un αi, interior, tal que
G(xi)-G(xi-1)=G’(αi)Δxi y, por ser G una primitiva de f, entonces G(xi)-G(xi-1)= f(αi)Δxi. Por
tanto,
9
n
∑ f (α )Δx
i
i
= G (b) − G (a )
1
Como las sumas de Riemann están acotadas por las de Darboux, entonces,
n
n
n
1
1
1
S ( P, f ) = ∑ mi Δxi ≤ ∑ f (α i )Δxi ≤ ∑ M i Δxi = S ( P, f )
Por otra parte, como P es una partición arbitraria
b
b
a
a
Inferior ∫ f ( x)dx ≤ G (b) − G (a ) ≤Superior ∫ f ( x)dx
Finalmente, el hecho de que f es integrable termina la prueba.
Definición. Si f es una función integrable Riemann en [a,b], para cada x de [a,b], la función
existe y se llama integral indefinida de f.
x
F ( x) = ∫ f (t )dt
a
Si f es integrable y tiene una primitiva, G, entonces la integral indefinida es una primitiva de
f. Es evidente ya que para todo x de [a,b], se tiene
x
F ( x) = ∫ f (t )dt =G(x)-G(a)
a
El alcance de estos enunciados es más profundo de lo que parece a primera vista y prueba de
ello son las siguientes creencias erróneas:
- Si una función es integrable Riemann, entonces tiene primitiva.
- Si una función tiene primitiva,entonces es integrable Riemann.
La función
⎧− 1 si 0 ≤ x ≤ 1
f ( x) = ⎨
⎩1 si 0 ≤ x ≤ 1
es integrable en [0,2] y, sin embargo, no tiene primitiva en [0,2]. E. Fischer, pág. 650.
La función
si x ≠ 0
0
⎧
G ( x) = ⎨ 2
2
⎩ x sen(1 / x ) si x ∈ [−1,0) ∪ (0,1]
es derivable en [-1,1] y su derivada es
10
0
si x ≠ 0
⎧
⎪
f(x) = G ' ( x) = ⎨ − 2
2
2
⎪⎩ x cos(1 / x ) + 2 xsen (1 / x ) si x ∈ [−1,0) ∪ (0,1]
y, por tanto, f tiene primitiva y, sin embargo, f no es integrable Riemann. Fischer, pág. 650.
Cálculo de Áreas
Este apartado no merece ningún desarrollo especial, ya que la construcción de las sumas de
Darboux o Riemann es el proceso que se debe seguir para introducir el concepto de integral
definida.
SOLUCIÓN DEL PRIMER PROBLEMA
Para resolver el primer problema planteado, lo primero que debe hacerse es determinar el
intervalo de definición de la integral. El origen, a, es el punto de corte de la función
f(x)=x·(sen(3x/4)+1)+3 con el eje de abscisas y el extremo, b, es la abscisa donde la función
alcanza el mínimo. Ni uno ni otro valores son sencillos de determinar si no se utiliza
software. Con el programa funciones se obtiene de manera automática que a=-3´8775 y
b=6,275. Una integración por partes permite obtener la primitiva:
4⎛4
x2
⎞
+ 3x + ⎜ sen(3x / 4) − x cos(3x / 4) ⎟
F ( x) =
2
3⎝3
⎠
y, por tanto el área es F(6´275)-F(-3´878)=46´342468.
La evaluación de esta función no es sencilla y aquí se ha hecho con una hoja de cálculo, útil
que usaremos para realizar una integración numérica. Considerando el método de los
trapecios se obtiene 46´33 y con el método de los rectángulos (con sumas de Riemann
evaluadas en el punto medio) 46´3487. En el primer caso se han considerado 50 trapecios y
en el segundo otros 50 rectángulos y, por tanto, en ambos casos se ha utilizado un paso
h=0,20306. En la práctica los subintervalos no tendrían la misma amplitud y, por tanto, h no
se puede sacar factor común, pero, salvo esta contrariedad el proceso es idéntico.
Cálculo de volúmenes
En este caso se utiliza como elemento de volumen el cilindro y se
considera el hecho trivial de que cuando un rectángulo gira alrededor
de un de sus lados, h, genera un cilindro de radio su otro lado, R, y, por
tanto, su volumen es πR2h, como muestra la figura 8.
La cuestión es que si una función, f, es integrable también lo es πf 2 y,
por tanto, las sumas de Riemann asociadas a esta función expresan la
suma de los volúmenes de los cilindros que se
R
h
Figura 8.
obtienen al girar sobre el eje de abscisas los rectángulos que tienen
como base los subintervalos en que se ha dividido [a,b] y altura f(αi). La figura 8 muestra
cómo se van formando los cilindros. Las sumas de Riemann nos proporcionan un método
numérico y la integral definida el volumen del sólido de revolución.
11
n
V ≈ π ∑ f 2 (α i )Δxi
1
b
V = π ∫ f 2 ( x)dx
a
SOLUCIÓN DEL SEGUNDO PROBLEMA
Ahora, la solución teórica del problema 2 es trivial, ya que tan solo se trata de aplicar una
cualquiera de las relaciones anteriores. Sin embargo, aunque se trata de una función
polinómica, f(x)=a·(x-0´1)2·(x-1)2·((x-2)4-0´04)+0´31, el tratamiento manual de la misma es
poco recomendable. Nuevamente se puede aplicar software elemental para resolver el
problema. De forma directa, con el programa funciones, se obtiene para a=0´755 y coneste
valor la botella tendría, según los cálculos de este programa, un volumen aproximado de
0´750002 dm3. La hoja de cálculo también resuelve este problema ya que se puede hacer la
suma de Riemann sin el factor a y después hallarlo. Denotando por H(x)=(x-0´1)2·(x-1)2·((x2)4-0´04) y por K=0´31, es claro que f(x)=aH+K y, para h=0.25, las sumas de Riemann son
V = π ∑ (a 2 H 2 (α i ) + 2aH (α i ) K + K 2 ) h
En la práctica se calculan H2(αi), H(αi) y 2K2 y se calcula el valor de a resolviendo la
correspondiente ecuación de segundo grado. La tabla 1 esboza este mecanismo y se presentan
los resultados. Para evitar cálculos innecesarios se multiplican por h las sumas y se divide por
Β el volumen de la botella. En la última columna se muestra la ecuación de segundo grado,
cuya solución resuelve el problema.
αi
H2(αi)
H(αi)
0´0125
0,01350231
0,07204366
0,0375
0,00286585
0,03319090
0,0625
0,00030163
0,01076785
...
...
...
1´9625
0,01652209
-0,07969374
1´9825
0,01931148
-0,08615878
h·SUMAS
P=0,01819961
Q=0,047805473
h=0.025
R=2K2-0´75/π
R=-0,04653241
a2P+aQ+R=0
a=0,75586382
Tabla1. Cálculo del parámetro a.
Momento de un sistema de masas respecto del origen
Como ya se indico en los objetivos, se considera fundamental la aplicación de la integral
definida y, quizás convenga recordar que el propio currículo, destaca el carácter instrumental
de la matemática. Los alumnos estudian estos conceptos en Física y, si cuando llega la
aplicación los matemáticos no lo hacemos, sencillamente, estamos cercenando las
posibilidades curriculares. La solución del cuarto problema es un ejemplo de lo anterior.
12
Considerado el esquema de la figura 19, el momento de las tres masas sobre el origen (que
coincide con el punto de apoyo) es:
M0=m1x1+m2x2+m3x3.
Si M0=0, el sistema está en equilibrio estático.
Centro de masas es el punto , donde se colocaría el punto de apoyo para obtener el equilibrio
estático. Es como si se colocara toda la masa en él.
Si el punto de apoyo se desplazara a , entonces
M0=m1(x1-)+m2(x2-)+m3(x3-)=0
x1
x2
y, por tanto,
x=
x3
m1 x1 + m2 x 2 + m3 x3
m1 + m2 + m3
Figura 9. Centro de masas
Si se tratara de un sistema situado en el plano, como
el de la figura 5, las coordenadas del centro de
masas, ( x, y ) , denotarían las posiciones de
equilibrio respecto de los ejes de coordenadas:
y2
y1
m x + m 2 x 2 + m3 x 3
x= 1 1
,
m1 + m2 + m3
m y + m 2 y 2 + m3 y 3
y= 1 1
m1 + m2 + m3
x2
x1
x3
Es como si toda la masa estuviera concentrada en
el punto ( x, y ) y, por tanto es el punto de
equilibrio estático.
y3
Figura 10. Centro de 3 masas
Si se tratara de una lámina plana de densidad
uniforme, ρ, el centro de masas sería el centro
geométrico de la lámina. Así, en el caso de un
rectángulo, el cetro de masas es el punto de corte
de sus diagonales, en un círculo su centro, en un
triángulo su baricentro, etcétera.
y=f(x)
Cuando la lámina está definida por una función
como muestra la figura 6, (aquí solo se considera
a x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 b
simétrica respecto al eje de ordenadas) se puede
Figura 11. Centro de masas de una lámina
desarrollar un proceso de cálculo similar al que
se consideró para áreas o planas y volúmenes de
revolución. Se considera una partición uniforme del intervalo [a,b], {a=x0, x1, ..., xn=b}; así
se obtienen n rectángulos de base Δx y altura respectiva f(ci) siendo ci el punto medio de [xi1,xi]. El momento del i-ésimo rectángulo respecto del eje OX es:
mi = ρΔxf (ci )
La suma de los momentos será
13
f (c i )
2
n
f (c i )
Δx
2
M = ρ∑
(6.1)
1
Aplicando el concepto de integral definida, el momento respecto al eje de abscisas es:
Mx =
ρ
b
f
2∫
2
( x)dx
a
dividiendo por la masa de la lámina, M=Área·ρ, finalmente se obtiene:
ρ
y=
(6.2)
2
b
∫f
2
( x)dx
a
2 Área
En casos como el de la figura, la simetría respecto del eje de ordenadas implica que =0. En
general puede que el área haya que determinarla aplicando nuevamente el concepto de
integral definida.
SOLUCIÓN DEL TERCER PROBLEMA
Ahora ya se puede abordar el problema
propuesto en la introducción: Por simetría =0 e
se calcula aplicando la relación (6.2) a la
110
función f ( x) = 120 2 − x 2 , obteniéndose
R
y=
∫ (R
2
110
− x 2 )dx
−R
2πR / 2
2
=
4R
,
3π
( R = 120) .
-40
Figura 12. Cálculo del centro de gravedad
La propia simetría habría permitido, para
calcular , integrar en [0, R] y, de una u otra forma, resulta que el momento de la galleta
respecto del borde externo de la pared es Mg=ρπR2/2·20·4R/3π=ρ·40·1103/3.
Por otra parte, el centro de masas de las cargas de la pared es (0, -20) y, por tanto el momento
de las cargas de la pared de altura h (incluidos los 20 cm de forjado) respecto del borde
externo de la misma es Mp=ρ·220·40·h·20. Por tanto, la construcción será estable si Mp>Mg,
lo que implica que h>1102/(3·2·20)=100´8333 cm.
La relación (6.1) constituye por si misma un método numérico para calcular. Teniendo en
cuenta la simetría, se consideran los puntos medios de los intervalos [0, 0´5], [0´5, 1], [1,
1´5],..., [109´5, 110] (c1=0´25, c2=0´75, c3=1´25, ..., c220=109´75) y con la hoja de calculo se
obtiene , en tres minutos, que =46,6855705455492 (El calculado aplicando la forma integral
es =46,6854499736226)
6. BIBLIOGRAFÍA
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