SIGMA 31

SIGMA
31
SOBRE LA MATEMÁTICA FINANCIERA
M. Gilsanz (*) y Mikel Fernando Vadillo (**)
Resumen. La operaciones financieras: cálculo de intereses, saldos , vencimientos,... son
habituales en nuestra vida, aunque casi siempre desde el lado de la víctima porque las
que realizar las operaciones son las entidades financieras que cobran y siempre obtienen
beneficios. Este artículo trata de otra disciplina: la Matemática Financiera que utiliza un
aparato matemático más sofisticado para construir y controlar todo el complejo entramado financiero del mundo moderno.
1. INTRODUCCIÓN
Cuenta Aristóteles en su Política (1259a) como a Tales de Mileto se le reprochaba, por su
pobreza, lo inútil que era su amor a la sabiduría pues, previendo, gracias a sus conocimientos de Astronomía, que habría una buena cosecha de aceitunas cuando todavía era invierno,
entregó fianzas, con el poco dinero que tenía, para arrendar todos los molinos de aceite de
Mileto y Quíos, alquilándolos por muy poco dinero ya que no tenía ningún competidor.
Cuando llegó el momento oportuno, muchos los buscaban a la vez y apresuradamente, y él
los realquiló en las condiciones que quiso, y, habiendo reunido mucho dinero, demostró que
es fácil para los filósofos enriquecerse, si quieren, pero no es eso por lo que se afanan.
Los ejemplo históricos que muestran el aprovechamiento de los conocimientos científicos y
técnicos para conseguir grandes beneficios son numerosos. podemos citar el industrial, científico e inventor prusiano Werner Siemens que reunió su fortuna principalmente en el campo
de la industrial de la electricidad y que, en la exposición de Berlín de 1879, hizo la primera
demostración práctica del tren eléctrico, pasando por Bill Gates o quizá el último ejemplo
conocido del famoso buscador en internet Google, los fundados de esta compañía: Larry Page
y Sergey Brin, que siendo todavía estudiantes de la Universidad de Stanford diseñaron el algoritmo matemático PageRank que es la base del exitoso buscador. El lector interesado puede
encontrar una breve explicación de su funcionamiento en [6].
A pesar de su nombre la Matemática Financiera es una disciplina que no ha servido para
construir grandes fortunas personales, que se conozcan, su objetivo pretende ordenar y regular
los actuales y muy complejos mercados financieros. Se trata de una disciplina moderna, por
ejemplo la fórmula de Black-Scholes es de 1973, y fundamentalmente se ocupa de los mercados de derivados, que son productos cuyo precio depende de la cotización en ese momento
de otro activo, el denominado activo subyacente. Los derivados más conocidos son los futuros
y las opciones de las que [4], [5] y [9] son referencias clásicas.
La Matemática Financiera es una disciplina que escasamente aparece en los planes de estudio
de las Facultades de Ciencias o Matemáticas, aunque ya existen algunos masters que se ocupan de ellas, consideramos que los nuevos planes de estudio es una buena oportunidad para
que aparezca al menos como asignatura optativa porque seguramente su incorporación en el
curriculum académico de los alumnos, abriría nuevos campos profesionales.
(*) Profesor de Matemáticas de la U.P.V.
(**) Licenciado en Matemáticas por la U.P.V.
Noviembre 2007 • 2007ko Azaroa
229
M. Gilsanz y F. Vadillo
El artículo es como sigue: comenzaremos explicando el movimiento browniano y el geométrico
browniano que sirve como modelo aleatorio de evolución de los precios de los distintos productos: stocks, valores, índices,.... y haremos alguna simulación numérica utilizando el clásico
método de Monte Carlo. En el siguiente apartado nos ocupamos de los futuros y opciones para
llegar a la famosa fórmula de Black-Scholes, esta parte del artículo es más técnica y necesita de
mayores conocimientos matemáticos por lo que lectores menos avezados pueden saltarla. En el
último apartado hacemos algunos comentarios que consideraciones interesantes.
Finalizamos esta introducción con un comentario sobre la bibliografía: no daremos referencias
sobre las herramientas estadística elementales, son tantos los textos y tan parecidos que casi
cualquiera de ellos puede ayudar al lector con dificultades.
2. UN MODELO ESTOCÁSTICO PARA LA EVOLUCIÓN DE LOS PRECIOS
Todos hemos observado en algún momento un movimiento browniano, son las trayectorias de
partículas de polvo danzando en un rayo de luz solar, cada partícula gira de acá para allá, se eleva,
se hunde, se vuelve a elevar..., el movimiento es totalmente aleatoria sin llegar jamás al reposo.
El movimiento browniano toma su nombre del botánico inglés Robert Brown que en 1825 los describió como el movimiento de una partícula sumergida en un liquido o gas. Brown inicialmente
colocó bajo el microscopio células sexuales masculinas pertenecientes al polen de una planta y
el movimiento que observo lo argumento diciendo que era el movimiento vital de los espermatozoides. Después Brown observó el mismo movimiento con células recogidas en otras partes de la
planta y formuló una hipótesis nueva sobre el movimiento vital, se trata de la Urmolekül, la molécula básica de la vida que está contenida en toda materia viviente, una teoría que tuvo mucha
importancia para los biólogos de la época. Pero el problema grave se le planteó cuando descubrió
este movimiento perpetuo en las raspaduras de rocas sumergidas en el agua, ¿acaso la materia
inanimada contiene también la Urmolekül vital ? Llegado a este punto, prudentemente Brown se
abstuvo de realizar más hipótesis y dejo sin explicar la naturaleza del movimiento browniano.
Posteriormente el movimiento browniano apareció en el centro de la controversia entre los
atomistas y los energicistas que dominó Física a finales del siglo XIX. Los dos grandes defensores de la teoría atomista: Clerk Maxwell y Ludwig Boltzmann desarrollaron modelos de gases
y de su comportamiento, en los que cada gas estaba compuesto por átomos o moléculas en
constante movimiento relacionado con la temperatura del gas. Sin embargo, destacados científicos de la época como Ernst Mach y Wilhelm Ostwald rechazan la hipótesis atomista basada
en átomos y movimientos invisibles. Hay historiadores que defienden que este rechazo fue
uno los motivos de la depresión que acabo en el suicidio de Boltzmann en 1906.
Algunos años después de la controversia comentada, el joven Albert Einstein que conocía la
polémica pero ignoraba el movimiento browniano, explicó la termodinámica partiendo del
movimiento de las moléculas entre 1902-1903, y en 1905 ya en colaboración con físicos
experimentales pudo confirmar que las propiedades cualitativas del movimiento browniano y
las magnitudes de los caminos recorridos por las partículas correspondían con los resultados
de la teoría, lo que acabo con la resistencia a la teoría atomista.
La definición matemática de movimiento browniano la dió el matemático americano Norbert
Wiener en 1918 y es la siguiente:
230
SIGMA Nº 31 • SIGMA 31 zk.
Sobre la Matemática Financiera
Definición 2.1. Un proceso de Wiener o movimiento browniano Wt en un proceso
continuo con las propiedades
(a) W0 = 0.
(b) Para todo t ≥ 0, Wt ~
(0,t), es decir, Wt es una variable normalmente distribuida de
media 0 y varianza t.
(c) Todos los incrementos ∆Wt = Wt + ∆t – Wt son independientes, es decir, para todo
0 ≤ t1 < t2 < t3 < t4 los desplazamientos Wt2 – Wt1 y Wt4 – Wt3 son independientes.
(d) Wt depende continuamente de t.
Resulta bastante sencillo simular numéricamente movimientos brownianos. El algoritmo es el
siguiente:
Valores iniciales: W0 = 0, t0 = 0, ∆t,
para j = 1; 2; …
tj = tj-1 + ∆t
~ (0,1)
Wj = Wj-1 + √∆t
donde es un número aleatorio con distribución normal de media cero y varianza uno. El algoritmo para generar este tipo de números está explicado en el capítulo 2 de la referencia [8] y en
MATLAB está implementado en el comando randn que se puede consultar en el capítulo 20 de
la referencia [3]. En la figura 1 hemos dibujado tres trayectorias del movimiento browniano.
En 1900 el matemático francés Bachelier en su tesis doctoral [1] utilizó el movimiento browniano como modelo para estudiar las variaciones en los precios de los stocks, si bien, el movimiento de Wiener tiene dos importantes inconvenientes para esta aplicación:
1. S i los precios siguieran este modelo podrían tomar valores negativos.
2. El movimiento browniano verifican que para 0 ≤ s < t el incremento de la variable
Wt – Ws ~
(0, (t – s)) sin considerar si s y t son grandes o pequeños, sólo cuenta su
diferencia. Una hipótesis que parece poco razonable para los precios de los stocks y
materias primas.
Para evitar estas dificultades se define el movimiento browniano geométrico (GBM: Geometric
Browniano Motion).
Figura 1. Tres trayectorias brownianas
Noviembre 2007 • 2007ko Azaroa
231
M. Gilsanz y F. Vadillo
Definición 2.2. Un movimiento browniano geométrico St de parámetros m y s es un
proceso continuo tal para todo t y ∆t no negativos la variable aleatoria
∆St + ∆t – St
es independiente de los valores de la variable anteriores a t y además existen dos parámetros
m y s tales que
∆St + ∆t
log
~ (m∆t, ∆ts2)
St
El parámetro s es la volatilidad.
(
)
Ahora el logaritmo de la razón de los precios puede ser negativa pero no los precios de los
stocks, y además es el logaritmo de la razón de los precios quien tiene la misma distribución
y no sus diferencias absolutas.
Veamos ahora como aparece los GBSs en los modelos estocásticos relacionados con la evolución
de los precios de los stocks. Sea ∆t una cantidad pequeña y positiva y supongamos que en cada
paso de tiempo el precio del stock puede subir un valor u > 1 con probabilidad p, esto significa
que si valía S pasa a costar uS o puede descender un factor d < 1 con probabilidad 1 – p donde
u = es√∆t
d = e-s√∆t
p = 1/2 (1 + m/s √∆t )
(2.1)
con m y s parámetros conocidos. En realidad tomamos estas expresiones para que los resultados sean más evidentes.
Si realizamos n pasos y definimos
Yi =
{
1, cuando el precio sube en el paso i
0, cuando el precio baja en el paso i
n
Y = ∑ i =1 Yi dará el número de veces que ha subido y, n – Y, las que ha bajado. Y es una variable aleatoria binomial de parámetros n y p (Y ~ B(n, p)) por lo que su esperanza y su varianza
valen
E[Y] = np
Var[Y] = np(1 – p)
El precio del stock en el tiempo t = n∆t será
St = S0 uY · d
por lo que
St
S0
n
= S0 d n · (u/d)Y
( )
=d ·
y tomando logaritmos resulta que
St
(2.2)
log
= n log (d) + Y log
S0
( )
n-Y
( )
u
d
u
Y
d
=
-ts
√∆t
+ 2s √∆t · Y
Para demostrar que los precios de los stocks siguen una movimiento GBS, calcularemos la
esperanza y la varianza de la expresión (2.2). En primer lugar la esperanza es
(2.3)
232
[
E log
( )]
St
S0
=
-ts
√∆t
+ 2s √∆t · E [Y] =
-ts
√∆t
+ 2s √∆tnp = mt
SIGMA Nº 31 • SIGMA 31 zk.
Sobre la Matemática Financiera
y la varianza
[
Var log
(2.4)
( )]
St
S0
= 4s2∆t · Var [Y] = 4s2 tp (1 – p) ≈ s2t
si p ≈ 1/2
En conclusión, cuando ∆t es muy pequeño la variable aleatoria log(St / S0), por el teorema
central del límite, sigue una distribución normal de media mt y varianza s2 t que es lo que
caracteriza al movimiento BGS.
Evidentemente la evolución del precio de cada stock dependerá de los valores de los parámetros m y s que deberemos ajustar, la volatilidad s caracteriza cada producto y más adelante
demostraremos que
m = r – s2/2
(2.5)
donde r es el tipo de interés compuesto.
En las figuras 2, 3 y 4 hemos realizado una simulación numérica usando el método de Monte
Carlo con S0 = 100 r = 0,06, ∆t = 0,1 y tres volatilidades diferentes s = 0,2; 0,4; 0,8 respectivamente. Si observamos la escala vertical de las tres gráficas veremos que, para volatilidades mayores, aumentan las soluciones posibles. En la siguiente tabla hemos realizado 1.000
ensayos por el método de Monte Carlo y calculado la media en T = 5, que será el precio más
probable del stock en cada caso.
s
Media en T = 5 con 1000 ensayos
Tiempo de ejecución en segundos
0,2
136,3596
0,40
0,4
138,7258
0,36
0,8
139,1764
0,40
Figura 2
Noviembre 2007 • 2007ko Azaroa
233
M. Gilsanz y F. Vadillo
Figura 3
De estos experimentos resulta evidente que la volatilidad es una medida del riesgo. Las fluctuaciones en el precio dependen directamente de su valor por lo que es un parámetro que
caracteriza cada tipo de stock y conviene ajustarlo adecuadamente.
Una técnica clásica es la siguiente: supongamos que conocemos los precios del stock "n" días consecutivos, el precio inicial es S0 y en los días sucesivos S1; …, Sn, entonces la variable aleatoria
Sk
Xk = log
, k = 1,…, n
Sk-1
( )
seguirá una distribución normal con varianza s2⁄252. Hemos tomado el año como unidad de
tiempo con 252 días laborables. Entonces su media es
n
X =
∑ k =1 Xn
n
Figura 4
234
SIGMA Nº 31 • SIGMA 31 zk.
Sobre la Matemática Financiera
y su varianza
n
2
V =
∑ k =1 (Xn – X )2
n–1
con lo que se tiene la estimación
(2.6)
s ≈ √252 V
3. LOS FUTUROS Y LAS OPCIONES FINANCIERAS
Un contrato de futuros es un acuerdo para comprar o vender una cantidad normalizada de un
activo, llamado activo subyacente, en una fecha futura y a un precio acordado entre las partes.
Para validar este compromiso se depositan unas garantías. Si el activo es financiero se trata en
un contrato de futuros financieros, principalmente son futuros sobre índices bursátiles, dividas
o tipos de intereses, en el mercado de futuros se negocia a través de una cámara de compensación que en el mercado español es el MEFF (Mercado Español de Futuros Financieros). Por contra, en los contratos a plazo, denominados forward se negocia privadamente entre las partes.
Una opción financiera da el derecho, pero no la obligación, de comprar o vender algún
activo a un determinado precio, denominado strike, con una fecha futura de vencimiento.
Con las opciones call se adquiere el derecho de compra y las put la opción es de venta. Las
opciones pueden ser europeas o americanas, el nombre no tiene ningún significado geográfica, las opciones americanas se pueden ejercitar en cualquier momento hasta su fecha de
vencimiento, mientras que las europeas sólo se puede ejercer en el mismo momento de su
vencimiento.
La mayoría de las opciones negociadas en los mercados son americanas, pero las opciones
europeas son generalmente más fáciles de analizar y muchas de sus propiedades son también
válidas para sus análogas americanas.
Actualmente en los mercados se negocian opciones sobre:
•A
cciones de empresas, en Estados Unidos se negocian opciones sobre las acciones de
más de 500 empresas, en España sólo son 16.
• Índices de acciones.
• Divisas.
• Contratos de futuros
La cuestión que nos planteamos es cómo determinar el precio de las opciones, lo que se
denomina la prima de la opción. Supongamos que el precio actual (en euros) del activo subyacente es 100, y que después de un periodo de tiempo conocemos que su precio sube a 200
o baja a 50 . Supongamos que además de comprar "y" opciones call a "c" euros cada a un
strike de 150 euros. También podemos adquirir x valores a su precio de mercado que es de
100 euros. Suponemos que x e y pueden ser positivos, negativos o cero. Esto significa que se
pueden comprar o vender opciones y valores, por ejemplo, si x es negativo hemos vendido -x
valores y hemos ingresado -100x euros, además nos comprometemos a devolver -x valores en
el tiempo 1 al precio de mercado que será de 200 o 50 euros. La venta de valores que no se
tiene se denomina adoptar una posición en corto.
El precio de la operación es 100x + cy. Si esta cantidad es positiva debemos solicitar un préstamo, y si es negativa depositamos los -(100x + cy) euros en una cuenta.
Noviembre 2007 • 2007ko Azaroa
235
M. Gilsanz y F. Vadillo
El valor de la nuestra cartera en el tiempo 1 es
{
200x + 50y, si el valor ha subido a 200
si el valor ha bajado a 50
50x,
porque si el valor ha bajado no ejercemos la opción de compra. Si hacemos que 200x + 50y = 50x,
es decir, y = -3x nuestra posición es indiferente de la subida o bajada del valor, estamos en idéntica
situación, el valor de la cartera es 50x.
Esto quiere decir que si x es negativo, vendemos -x valores y compramos y = -3x opciones. En
cuanto a la ganancia o pérdida de dinero, debemos considerar que si (100x + cy) > 0 debemos
dinero al banco, y si (100x + cy) < 0 disponemos de dinero en la cuenta, es decir
ganancia = 50x – (100x + cy) (1 + r)
= 50x – (100x – 3cx) (1 + r)
= (1 + r) x (3c – 100 + 50 (1 + r)-1)
donde r es el interés simple. Es decir:
1. Si 3c = 100 + 50 (1 + r)-1 la ganancia es cero.
2. S i 3c ≠ 100 + 50 (1 + r)-1 podemos garantizar una ganancia positiva si 3c > 100 + 50 (1 + r)-1
haciendo x > 0 y, al revés, si 3c < 100 + 50 (1 + r)-1 tomando x < 0.
Cuando el precio de la opción evita estrategias de ganancia segura, se dice que se ha establece un principio de no arbitraje y estos principios son los que establecerán los precios de
las opciones, en nuestro ejemplo entonces el precio de la opción será
c=
100 + 50 (1 + r)-1
3
Consideremos ahora una opción de compra sobre unos valores al precio K en un periodo de
tiempo t = n∆t con un interés simple r por cada periodo de tiempo ∆t. Como el precio de los
valores siguen un movimiento BGS, la esperanza de la ganancia en i-ésimo paso en el tiempo
ti – 1 es
E[ganancia] = (1 + r)-1 [puSi – 1 + (1 – p)dSi – 1] – Si – 1
donde Si indica el precio del valor en ti y u, d y p están definidos en la relaciones (2.1).
Esta esperanza vale cero cuando
(3.1)
p=
1+r–d
u–d
que será una condición necesaria para establecer el principio de no arbitraje.
Finalmente el valor de la opción en el tiempo t = 0 es
(1 + r)-n (S – K)+
t
donde f
(3.2)
+
= máx(f, 0), y su esperanza nos dará el precio final de la opción
C = E[(1 + r)-n (St – K)+]
Los argumentos de tipo no arbitraje son muy importantes para calcular las primas de las opciones financieras, también se obtienen cotas y relaciones entre los precios de distintos tipos de
opciones.
236
SIGMA Nº 31 • SIGMA 31 zk.
Sobre la Matemática Financiera
4. LA FÓRMULA DE BLACK-SCHOLES
Consideremos una opción europea de compra (call) a un precio K en un periodo T. Suponemos
que el tipo de interés compuesto es r y que los precios del stock siguen una GBM de volatilidad s, hallaremos el coste de la opción estableciendo un principio de no arbitraje.
Tomando un n grande para cada intervalo T/n, 2T/n,…, nT/n, el factor de subida teniendo en
cuenta (2.1) es
u=e
(4.1)
s√T/n
s2T
≈ 1 + s√T/n +
2n
y el de bajada
d=e
-s√T/n
(4.2)
≈ 1 – s√T/n +
s2T
2n
Por otra parte, el interés simple en cada intervalo de tiempo es rT/n y usando (3.1) tenemos que
p=
(4.3)
1 + rT/n – d
u–d
≈
1
+
2
r √T/n
2s
–
s √T/n
4
Teniendo en cuenta (3.2) el precio de la opción es
C = (1 + rT/n)-n E[(S0
( )
u
d
d n – K)+]
= (1 + rT/n)-n E[(S0 e2s √T/nY · e-s √nT – K)+]
(4.4)
= (1 + rT/n)-n E[(S0 eWT – K)+]
con la variable aleatoria
WT = 2s√T/nY – s√nT ,
(4.5)
donde Y es la variable aleatoria binomial que ya definimos anteriormente.
Si calculamos la esperanza de esta nueva variable aleatoria tenemos
E[WT] = 2s√T/nE[Y] – s√nT
= 2snp√T/n– s√nT
= 2s√nT (p – 1/2)
≈ (r – s2/2) T
por lo que el parámetro 1 del movimiento BGM es
m = r – s2/2
como ya comentamos en (2.5)
En cuanto a su varianza
Var[WT] = (2s√T/n)2 Var[Y]
= 4s2 Tp (1 – p)
= s2 T
porque cuando n es grande p ≈ 1/2
Noviembre 2007 • 2007ko Azaroa
237
M. Gilsanz y F. Vadillo
Como todas las aproximaciones anteriores son exacta cuando n
que establece el principio de arbitraje es
→ ∞, el valor de la opción
C = e-rT E[(S0 eWT – K)+]
donde WT
~
((r – s 2/2)T), s2 T)
Usando fórmulas clásicas, el valor C se puede también expresar como la fórmula de BlackScholer
(4.6)
C = S0 F ( ) – Ke-rT F ( – s √T )
donde
=
rT + s2T/2 – log (K/S0)
s √T
y F es la función de distribución normal standard.
En el ejemplo del modelo simulado anteriormente, S0 = 100, r = 0,06, si el precio acordado
en T = 5 en K = 150 la fórmula (4.6) estima los precios de la opciones dependiendo de la
volatilidad en la tabla siguiente
s
C
0,2
13,6241
0,4
31,1232
0,6
47,1120
0,8
60,9145
1,0
72,2350
En la figura 5 hemos representado estos valores y podemos apreciar el crecimiento del precio
de las opciones con respecto a la volatilidad del valor subyacente. En este ejemplo el crecimiento es casi lineal porque los puntos están muy cerca de la recta de regresión mínimo
cuadrática y = 73,5066x + 0,8978 que también dibujamos.
Figura 5. Evolución del precio de las opciones
238
SIGMA Nº 31 • SIGMA 31 zk.
Sobre la Matemática Financiera
5. ALGUNOS COMENTARIOS PARA TERMINAR
Acabaremos esta breve introducción a la Matemática Financiera con algunos comentarios que
consideramos de interés:
1. L a fórmula de Black-Scholes determina el precio de la opción cuando el modelo del valor
subyacente es un GBM. Sin embargo, algunos datos no son adaptables a GBM y se deben
considerar otros modelos, por ejemplo, en el precio del del barril de crudo (capítulo 10
de la referencia [7]).
2. Basta observar brevemente las trayectorias brownianas en la figura 1 para concluir que no son
diferenciables, es imposible trazar una tangente por casi todos sus puntos, son trayectorias de
funciones que tanto preocuparon a los matemáticos de finales del siglo XIX, eran funciones
tan perturbadoras que Charles Hermite en una carta a su colega Thomas J. Stieljes expresó
que con miedo y horror me apartó de está plaga lamentable de funciones que carecen de
derivada. Esta situación tiene una importante consecuencia técnica, las funciones son no diferenciables y por tanto no podemos utilizar el Análisis clásico, es imprescindible utilizar integrales y ecuaciones diferenciales estocásticas de las que no hemos tratado en este artículo.
3. Una disciplina aún más moderna es la Computación Financiera que se ocupa de los
métodos numéricos para aproximar las soluciones de los modelos estocásticos que, en
general, carecen de soluciones exactas conocidas.
Las referencias [8] y [2] son dos buenas introducciones a esta novedosa disciplina.
Finalizaremos con quien comenzamos: Tales de Mileto, el primero de los famosos siete sabios
de la Grecia arcaica. Cuenta Platón en su diálogo Teeteto (174, A) que Tales por ir mirando
las estrellas, se cayó en un pozo, y una criada se burló de él por tratar de investigar los cielos cuando no veía lo que tenía a sus pies. Esta anécdota, que parece compensar la narrada
por Aristóteles, completa el personaje. Debió ser enorme la impresión en sus conciudadanos
cuando predijo el eclipse en el año 585 a.C. La hazaña de Tales permitió ver en el eclipse
un fenómeno natural regular y no un milagro divino de oscuros presagios, los eclipses fueron
motivo de terror en todos los pueblos primitivos. Como escribió el profesor Carlos Garcia
Gual: "Los sabios como Tales inauguran la tradición científica de proponer explicaciones de
lo real por causas naturales y agentes materiales, mediante procesos sujetos a causas y normas
surgidas de su misma conformación física" (Los Siete Sabios (y tres más)).
Sólo se nos ocurre añadir que la Ciencia sigue en lo mismo: buscando explicaciones.
REFERENCIAS
L . Bachelier, 1900: Theorie de la speculation, Annales de l’École Normale Superieure,
nº. 17, 21 86.
D. J. Higham, 2000: An Introduction to Financial Option Valuation. SIAM.
D. J. Higham and N. J. Higham, 2000: MATLAB Guide. SIAM.
John Hull, 1996: Introducción a los mercados de futuros y opcions. Prentice Hall.
_____, 2000: Options, Futures and Others Derivatives, 4th edn. Prentice Hall.
Cleve B. Moler, 2004: Numerical Computing with MATLAB. SIAM.
S. R. Ross, 1999: An Introduction to Mathematicl Finance. Cambrige University Press.
R. Seydel, 2006: Tools for Computational Finance. Third Edition. Springer.
P. Wilmont, 2001: Introduction Quantitative Finance. John Wiley & Sons.
Noviembre 2007 • 2007ko Azaroa
239
tio
Introduc
onhard
orum. Le
it
n
fi
In
in
in Analys
Euler