Integrales Dobles

E.E.I.
C ÁLCULO II Y E CUACIONES D IFERENCIALES
Curso 2011-12
Clase 1
(31 ene. 2012)
Integrales Dobles
1.– Motivación y Definición de integrales dobles. 2.– Preguntas que se deberı́a plantear el estudiante. 3.– Método de
las secciones planas para el cálculo de integrales dobles. 4.– Cálculo de la función “área de la sección” y expresión
de la integral doble mediante integrales iteradas. 5.– Ejemplo 1: integral de 1 x 2 y 2 sobre el cuadrado 0  x 
1, 0  y  1. 6.– Ejemplo 2: integral de 1 x 2 y 2 sobre el cuarto de cı́rculo 0  x 2 + y 2  1, 0  x, 0  y. 7.–
Cambio del orden de integración en las integrales iteradas.
1 Motivación y Definición de integrales dobles.
Dada una función real de variable real, f (x), y
un intervalo [a, b], ya sabemos que la expresión
Z
Dada una función real de dos variables reales,
f (x, y), y una región R del plano, la expresión
ZZ
f (x, y) d A
b
f (x) dx
R
a
significa:
significa:
(a) Geométricamente: el volumen bajo la gráfica
de f (x, y) o sea, bajo la superficie de
ecuación z = f (x, y) en la región R.
(a) Geométricamente: el área bajo la gráfica
de f (x) o sea, bajo la curva de ecuación y = f (x) en el intervalo [a, b].
y ! f !x"
a
b
(b) Analı́ticamente:
Pn El valor lı́mite de las sumas
de Riemann i=1
f (xi )1xi en subdivisiones
más y más finas de [a, b].
(b) Analı́ticamente:
Pn El valor lı́mite de las sumas
de Riemann i=1
f (xi , yi )1Ai en subdivisiones más y más finas de la región R.
2 Preguntas que se deberı́a plantear el estudiante.
1.
2.
3.
4.
¿Cómo hay que realizar las subdivisiones de la región R?
¿Es lo mismo cualquier método que se use para hacer las subdivisiones?
¿Qué significa exactamente que una subdivisión sea más fina que otra?
En un intervalo está claro como comparar dos subintervalos: Por sus longitudes. En una región plana,
¿cómo se comparan dos trocitos o elementos de una subdivisión? ¿Por su área? ¿Es eso suficiente?.
3 Método de las secciones planas para el cálculo de integrales dobles.
Imaginemos la sección plana obtenida al cortar el sólido representado por nuestra integral doble, mediante
un plano perpendicular al eje x. Cuando este plano se mueve paralelamente a sı́ mismo, la forma y tamaño
de la sección cambia.
1
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La posición del plano está determinada por la coordenada
x del punto en el que corta al eje x (que es igual a la coordenada x de cualquier punto del plano. ¿Por qué?).
Sea S(x) al área de la sección plana obtenida cuando el
plano está en la posición de abscisa x, y sean xmin y xmax son
las abscisas de las posiciones extremas del plano de corte,
entonces el volumen representado por nuestra integral doble
es:
ZZ
Z xmax
f (x, y) d A =
S(x) dx
R
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1.0
0.5
1.0
0.5
0.0
0.0
0.5
xmin
1.0
4 Cálculo de la función “área de la sección” y expresión de la integral
doble mediante integrales iteradas.
Según se acaba de ver, una integral doble puede calcularse con una simple integral definida de una función
de una variable, supuesto que somos capaces de averiguar cuál es esa función S(x). Para fijar ideas vamos
a darle un valor concreto a x, por ejemplo x = x0 y vamos a intentar hallar el valor de S(x0 ).
Consideremos la intersección de nuestro plano de corte
con la región de integración R. Supongamos por sencillez
que esta intersección es un segmento (en general puede ser
una unión de segmentos, pero podremos aplicar a cada uno de
ellos el razonamiento que vamos a hacer para un segmento).
Entonces S(x0 ) es el área bajo la gráfica (en el plano de corte)
de la función g(y) = f (x0 , y) con y dentro del segmento
mencionado.
ymax !x0 "
R
ymin !x0 "
x0
En consecuencia, si la coordenada y de los extremos de
este segmento es, respectivamente, ymin (x0 ) e ymax (x0 ), tenR ymax (x0 )
R ymax (x0 )
dremos: S(x0 ) = ymin
(x0 ) g(y) dy = ymin (x0 ) f (x 0 , y) dy.
y para un x arbitrario:
Z ymax (x)
S(x) =
f (x, y) dy.
z ! f !x0 , y"
z
ymin (x)
y la integral doble queda expresada de la siguiente forma:
ZZ
Z xmax Z ymax (x)
f (x, y) d A =
f (x, y) dy dx ,
R
xmin
ymin !x0 "
ymax !x0 "
y
ymin (x)
que es conocida como una integral iterada porque implica realizar una integración sencilla tras otra.
5 Ejemplo 1: integral de 1
1, 0  y  1.
x2
y 2 sobre el cuadrado 0  x 
1.0
Vamos a uasr la fórmula anterior en un ejemplo concreto. Sea
f (x, y) = 1 x 2 y 2 y sea R la región determinada por el
cuadrado del plano x y definido por 0  x  1, 0  y  1.
RR
Para calcular la integral R f (x, y) d A lo primero que
necesitamos hacer es averiguar el intervalo de recorrido en el
eje x del plano de corte. La clave para ello está en la región
de integración, la cual se ve inmediatamente (este ejemplo es
realmente muy sencillo) que está comprendiada entre xmin =
0 y xmax = 1. Con esto ya podemos escribir:
ZZ
Z 1
f (x, y) d A =
S(x) dx.
R
0
2
0.5
0.5
0.0
0.0
0.0
0.5
1.0
1.0
z
z ! f !x0 , y"
y
0
1
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Además, para cualquier valor de x entre esos extremos el plano de corte interseca a la región R en el
intervalo ymin (x) = 0 e ymax (x) = 1, con lo cual
ZZ
Z 1Z
f (x, y) d A =
R
0
1
x2
1
y 2 dy dx.
0
Comenzamos el cálculo por la integral interior (donde x debe ser tratada como una constante):
S(x) =
Z
1
1
x
2
y
2
0
dy =
"
y3
3
2
1
x y
#1
0
1
,
3
x2
=1
y ahora,
ZZ
R
f (x, y) d A =
Z
1
1
x
2
0
"
1
3
x3
3
dx = x
6 Ejemplo 2: integral de 1 x 2
x 2 + y 2  1, 0  x, 0  y.
x
3
#1
0
x 2 + y2  1
x 0, y 0
1
x
y
2
1.0
1 x2
1
dA =
1
0
x
2
y
2
ZZ
x 2 + y2  1
x
0, y
x2
1
0
0.5
0.0 0.0
0.0
y2 d A =
Z
1
0
2
1
3
x2
1.0
1.0
z
z ! f !x0 , y"
dy dx.
3/2
0.5
0.5
0
La integral interior (donde x debe ser tratada como una constante):
p
"
# 1 x2
Z p1 x 2
3
y
1 x 2 y 2 dy = 1 x 2 y
3
0
0
p
p
1
2
= 1 x
1 x2
y ahora,
1
1
= .
3
3
y 2 sobre el cuarto de cı́rculo 0 
En este ejemplo tenemos la misma función que antes pero cambia
la región de integración. De nuevo comenzamos por averiguar el
intervalo de recorrido en el eje x del plano de corte. En esto no
hay cambio respecto al ejemplo anterior, pues la nueva región sigue
comprendida entre xmin = 0 y xmax = 1. Pero ahora, para un valor
dado de x entre esos extremos, el plano de corte interseca a la región
R en el intervalo dado por los extremo ymin (x) = 0 e ymax (x) =
p
1 x 2 . Ası́ pues, nuestra integral doble es:
ZZ
Z Z p
2
1
3
=1
y
0
x2
3
=
3
dx =
2
3
Z
1
1
2
1
3
x2
1
x2
3/2
3/2
dx.
,
0
La integral que nos queda podemos encontrarla en una tabla de integrales o hacerla mediante una
sustitución trigonométrica: Si ponemos x = sen ✓, entonces dx = cos ✓ d✓ y
Z
1
0
1
x2
3/2
dx =
Z
⇡/2
cos2 ✓
0
3/2
cos ✓ d✓ =
Z
⇡/2
cos4 ✓ d✓.
0
1 + cos 2✓
para poner el integrando en la forma:
2
✓
◆2
1 + cos 2✓
1
1⇣
1 + cos 4✓ ⌘
4
cos ✓ =
= 1 + 2 cos 2✓ + cos2 2✓ =
1 + 2 cos 2✓ +
2
4
4
2
ahora usamos cos2 ✓ =
3
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y calcular finalmente:
Z 1
Z
3/2
1 x2
dx =
0
⇡/2
0
de donde:
ZZ
x 2 + y2  1
x
0, y
1
x
2
1
4
Z
2
dA =
3
Z
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1 + cos 4✓ ⌘
d✓
2
0
"
#⇡/2
✓ + 14 sen 4✓
1
=
✓ + sen 2✓ +
4
2
0
✓
◆
✓ ◆
⇡
+
0
1 ⇡
1
3⇡
3⇡
=
+0+ 2
=
0 =
.
4 2
2
4 4
16
cos4 ✓ d✓ =
y
2
0
⇡/2 ⇣
1 + 2 cos 2✓ +
1
x2
1
3/2
0
dx =
2 3⇡
⇡
⇥
= .
3
16
8
7 Cambio del orden de integración en las integrales iteradas.
El orden de integración en los ejemplos anteriores (primero, en la integral interior, integramos respecto a y,
y luego, en la exterior, respecto a x) es consecuencia de haber elegido planos perpendiculares al eje x para
hallar las secciones del volumen representado por la integral doble. Pero, en principio, no hay ninguna
razón (a menos que sea por sencillez) en preferir el eje x al eje y e igualmente podı́amos haber elegido
planos perpendiculares al eje y y habrı́amos llegado a la siguiente fórmula de integrales iteradas:
ZZ
Z ymax Z xmax (y)
f (y, x) d A =
f (x, y) dx dy .
R
ymin
xmin (y)
La elección de un método u otro es una cuestión de comodidad o sencillez de cálculo ya que en muchas
ocasiones el cálculo se hace mucho más dificil por un método que por el otro.
Veremos a continuación un ejemplo en el que, de hecho, el cálculo es muy sencillo por uno de los dos
métodos pero se hace imposible por el otro.
Supongamos que se nos plantea calcular la siguiente integral iterada:
Z 1 Z px y
e
dy dx .
y
0
x
y
Para calcular la integral interior necesitamos una primitiva de la función g(y) = ey . Si buscamos
esta primitiva en una tabla de integrales elementales no la encontraremos porque esta primitiva no es una
función elemental1 . Es una función denotada Ei(x) y llamada la exponencial integral. La única forma en
que podemos calcular dicha integral por métodos elementales es intercambiar el orden de integración.
Para intercambiar el orden de integración en una integral doble es necesario tener muy clara a región
de integración ya que vamos a tener que pasar de seccionarla en una dirección a seccionarla en la otra. En
nuestro ejemplo se trata de la región descrita por
p
R : 0  x  1 , x  y  x.
Esta descripción resulta de seccionar la región mediante rectas verticales (paralelas al eje y).
Si dibujamos esta región y tratamos de seccionarla mediante rectas horizontales (paralelas al eje x)
obtenemos la siguiente descripción:
p
R : 0  y  1 , y2  x  y
y por tanto tenemos:
Z 1 Z px
0
x
ey
dy dx =
y
Z
0
1Z y
y2
ey
dx dy =
y
Z
0
1  ey
y
y
x
y2
dy =
Z
1
ey
e y y dy ,
0
R
con lo cual Rla integral queda reducida
a una integral inmediata ( e y dy = e y ) y una que se hace fácilmente
R
por partes ( ye y dy = uv
v du con u = y, dv = e y dy).
1 Las funciones elementales son las que se pueden expresar en términos de operaciones aritméticas, exponencial, logaritmo y
funciones trigonométricas y sus inversas.
4