DIRECCIÓN DE EDUCACIÓN ABIERTA Y A DISTANCIA Y VIRTUALIDAD ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS MATEMÁTICAS FINANCIERAS MÓDULO EN REVISIÓN CORPORACION U N IVERSITARIA DEL CARIBE.CECAR DIVISIÓN DE EDUCACIÓN ABIERTA Y A DISTANCIA üffiüAR l1 ruóouuo MATEMATICAS FINANCIERAS PROGRAMA A DISTANCIA DE ADMINISTRACIÓN PUBLICA SINCELEJO - SUCRE CONCEPTOS GENERALES Y DEFINICIONES. . IJNIDAD I. Pá9. INTRODUCCION UNIDAD 1 EVALUAcTóN tNtctAL 1. CONCEPTOS GENERALES Y DEFINICIONES 1.1 INTERES SIMPLE. 1.1.1 El valor Futuro a interés Simple. 1 . 1 .2 El valor futuro a interés simple. 1.1 .2 Cálculo del valor presente. 'l .1 .3 Cálculo de la tasa de interés. 1.1.4 Cálculo del número de periodos (N). 1 .1 .5 Descuento simple o racional 1.1.6 Cálculo de la tasa de interés de un descuento. 1.1 .7 Tasa de interés real de un crédito. 1 .1 .8 Resumen de formulas. TALLLER. RESUMEN. UNIDAD 2. EVALUACIÓN INICIAL. 2. INTERES COMPUESIO 2.1 VALOR FUTURO Y VALOR PRESENTE EN INTERÉS COMPUESTO. 2.2 COMPARACIÓN ENTRE EL INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO. 2.3 CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS. 2.4 CÁLCULO DEL NÚMERO DE PERIODOS. 2,5 TASA DE INTERÉS NOMINALES Y EFECTIVAS 2.6 CONVERSIÓN DE TASAS DE INTERÉS. 2.6.1 Equivalencia entre una tasa de interés nominal vencida y una tasa de interés efectiva. 2.6.2 Equivalenc¡a de tasas nominales con diferente periodo de caoitalización. 2.7 TASAS DE INTERÉS ANTICIPADAS. RESUMEN DE FORMULAS. RESUMEN. AUTOEVALUACIÓN. MATEMATICAS FINANCIERAS - coRpoRAclóN uNtvERSlrARlA DEL cARIBE 5 B 11 12 14 14 14 to 17 18 19 20 20 ¿ó 25 zo 27 30 31 .,. 34 ?^ 37 ?R 38 42 43 49 51 52 CONCEPTOS GENERALES Y DEFINICIONES. . I.JNIDAD 1. UNIDAD 3 EVALUACION INICIAL. 3. ANUALIDADES. 3.1 ANUALIDADES ORDINARIAS VENCIDAS. 3.1 .1 Valor futuro de una anualidad vencida. 3.1.2 Cálculo de la anualidad. 3.1.3 Cálculo del número de períodos. 3.1 .4 Cálculo de la tasa de ¡nterés. 3.1 .5 Valor presente de una anualidad vencida. 3,'1 .6 Cálculo del número de períodos. 3.1.7 Cálculo de la anualidad. 3.1 .8 Cálculo de la tasa de interés. 3-2 ANUALIDAD ORDINARIA ANTICIPADA. 3.2.1 Yalor futuro para anualidades anticipadas. 3.2.2 Cálculo del valor presente para anualidades anticipadas. 3.2.3 Cálculo de la cuota periódica para anualidades antic¡padas. 3.2.4 Cálculo de la tasa de interés para anualidades anticipadas. 3.2.5 Cálculo del número de períodos para anualidades anticipadas. 3.3 ANUALIDADES DIFERIDAS. 3.3.1 Anualidades diferidas vencidas. 3.3.2 Anualidades diferidas anticipadas. RESUMEN DE FORMULAS. RESUMEN. AUTOEVALUACIÓN UNIDAD 4. EVALUACIÓN INICIAL. 4. LOS GRADIENTES. 4.1 GRADIENTE LINEAL CRECIENTE. 4. 1 .1 Cómo de terminar el valor presente equ¡valente aun Gradiente lineal creciente. 4.1 .2 Cómo determinar el valor futuro equivalente aun gradiente lineal Creciente . 4.2.1 Cómo calcular el valor futuro equivalente a un grad¡ente Lineal decreciente. Como calcular la anualidad "a" equivalente a un gradiente lineal 4.2.2 Decreciente. 4.3 GRADIENTE EXPONENCIAL. 4.3.1 Cómo determinar el valor futuro equivalente a un Gradiente exponencial. 4.3.2 Cómo determinar el valor presente equivalente a un Gradiente exponencial. RESUMEN DE FORMULAS. RESUMEN. AUTOEVALUACIÓN. LECTURA: Amortizaciones. MATEMÁTlcAs FINANctERAS - coRpoRAcróN uNtvERStrARrA DEr cARTBE 54 57 5B 58 58 60 61 62 OJ 65 66 67 6B 6B 69 70 71 74 75 75 76 78 B1 82 83 86 86 87 BB YO 103 105 108 108 109 111 111 114 116 4 CONCEPTOS GENERALES Y DEFINICIONES.. UNIDAD 1. El presente módulo de matemáticas financieras está expuesto en una forma muy didáctica para el estudiante y contiene un buen conjunto de ejercicios de aolicación. Las matemáticas financieras han llegado a ser una herramienta imprescindible para la toma de decisiones tanto económicas como financieras; de ahí que es vital darlas a conocei en un formato metódico y esquemático que cualquier persona con conocimientos básicos pueda entender. Esta área del conocimiento juega un importante rol en el mercado financiero no solamente nacional sino también a nivel internacional. El costo del dinero, la elección de fuentes de financiación, los cálculos de dividendos, el ¡nterés real efectivo cobrado en un crédito etc., son fundamentos que el ingeniero industrial' administrador de empresas, economista y cualquier otro profesional o también una persona del común, deben manejar junto con las herramientas que nos brindan las matemáticas financieras. Saber decidir con certeza qué posibilidad es más beneficiosa para una organizac¡ón, exige indispensablemente de las matemáticas financieras. La inversión del dinero en su mejor uso alternativo, los proyectos, las utilidades, entre otros, beneficiará a las empresas, en la med¡da en que sus CEOS y Administradores .manejen acertadamente las herramientas matemático financieras básicas para que sus gestiones sean por siempre exitosas n¡latguÁr¡c¡s FINANcIERAS ' coRPoRAclÓN uNMERslrARlA DEL cARIBE' DINAMICA PARA CONSTRUIR EL Amigo(a) Estudiante: Para facilitar el buen manejo del módulo, es recomendable que sigas las siguientes instrucciones de manejo: / La temática ha sido previamente organizada en orden lógico; por lo tanto inicie su lectura y estudio en el orden en que aparecen las secciones y contenidos aunque ya tenga algunas nociones de que tratan. r' Es conveniente que usted realice una lectura de forma analítica de cada Unidad, trate de comprender los contenidos, reflexione sobre los alcances e interrelaciones de las temática tratadas. Desarrolle las diferentes pruebas, ejercicios, actividades, y consultas, participe en los conversatorios, discusiones y exposiciones que le ayudarán a adquirir experiencia y a saber expresar sus ideas en público. No olvide que el aprendizaje se puede lograr en forma individual y colectiva; si usted logra una buena integración con sus compañeros de equipo, si logra aclarar las dudas, si estudia de manera cuidadosa el presente módulo. alcanzará el éxito deseado por el diseñador del presente módulo de Matemáticas F¡nancieras. MATEMATICAS FINANCIERAS - coRpoMcróN uNrvERsrrARia DEL cARtBE El presente módulo, es un tefo especializado dentro del pensum académico de todo administrador de empresas, y llega en el momento correcto, cuando el estudiante tiene las bases suficientes para comprenderlo y para profundizar en esta rama de las matemáticas y las f¡nanzas. Está apoyado en diversos autores tales como, Gómez Ceballos Alberto, lyncoyan portus govinden, Baca Guillermo y diferentes especialistas que han tratando siempre de dar a conocer lo más relevante de las matemáticas financieras. Este texto destaca varias características que lo hacen interesante, como son la evaluación en cada uno de los cuatro capítulos que contiene. Se puede identificar fácilmente cada uno de los temas en sus cuatro unidades básicas. En el contexto de este módulo se busca promover el conocimiento esencial y fundamental de las técnicas básicas de las matemáticas financieras, para que nuestros administradores puedan sortear cualquier situación que amerite este saber. MATE ÁTlcAS FINANCIERAS - coRPoRAcróN uNlvERsrrARlA DEL CARIBE Conceptos Generales y Definiciones. Unidad 1 MATEMATICAS FINANCIERAS . coRPoRAcIÓN UNIVERsITARIA DEL cARIBE CORPORACION U N IVERSITARIA DEL CARIBE.CECAR DIVISION DE EDUCACION ABIERTA Y A DISTANCIA ,'.-='*'"i , i',ii!! "a ''- ".. ,,. '' -'", .,, '':i,,-.-..,i .9,-*".:" I :;i-:-l '\.", ¡' :.,. ' \i . r.. :J ¡ .'" t- MODULO MATEMATICAS FINANCIERAS CAROLINA DEL PILAR RAMIREZ Administradora de Empresas Especialista en F¡nanzas PROGRAMA A DISTANCIA DE ADMINISTRACION PUBLICA SINCELEJO _ SUCRE CONCEPfOS GENERALES Y DEFINICIONES. . UNIDAD 1. MATEM:ATICAS FINANCIERAS MATEMATICAS FINANCIERAS - coRPoRActÓN uNlvERSrrARlA DEL cARIBF COt.¡CEPTOS GENERALES Y DEFINICIONES. . UNIDAD 'I. Al in¡ciar el estudio de las Matemáticas Financieras, es pertinente comenzar por los conceptos básicos, tales como Tasa de Interés, Valor presente, Diagrama de Flujo, los cuáles se van a utilizar durante la mayor parte del módulo y sin ellos sería prácticamente imposible un perfecto entendimiento de la materia. Se explica de una forma puntual y exacta cada una de las definiciones para que el alumno no se confunda y asimile más rápido el conocimiento. En esta unidad se determinan en forma secuencial los conceptos básicos que sirven de eje fundamental en las unidades posteriores ¡Al terminar de estudiar la presente unidad usted debe estar en capacidad de: > Definir los conceptos de tasa de interés, interés simple e interés compuesro. Diferenciar los periodos de pago y los periodos de capitalización. Determinar lo que es un diagrama de Flujo y tener nociones equivalencias financieras. Distinguir entre el Valor Presente y el Valor Futuro. MATEMÁTlcAs FINANCIERAS - coRpoRAcróN uNrvERSrrARrA DEr- cARTBE de CONCEPTOS GENERALES Y DEFINICIONES., UNIDAD 1. DINAMICA PARA CONSTRUR UNIDAD 1. Para el desarrollo exitoso de esta unidad se recomienda lo siouiente: ACTIVIDADES. Lea detenidamente la Unidad N" 1. Resuelva los ejercicios que aparecen en la "evaluación". Desarrolle los ejercicios que aparecen como Autoevaluación. Realice un resumen de toda la unidad I el cual será debatido Reunidos en los Unidad 1 y socialicen los ejercicios correspondientes a la Autoevaluación; Formulen, analicen y resuelvan todos los Cipas, discutan el resumen de la ejercicios. En los Cipas, realicen los Ejercicios Prácticos que aparecen al final de la Unidad 1. Todos los ejercicios realizados individualmente y en los Cipas, se deben socializar en la sesión presencial en el aula. MATEMATICAS FINANCIERAS - coRpoRAcróN uNrvERsrrARrA DEr- cARTBE t0 CONCEPTOS GENERALES Y DEFINICIONES. . UNIDAD I. ¿ Qué entiendes por Matemáticas financieras? ¿ Qué es una tasa de interés? ¿ Cuál es la diferencia entre valor presente y valor futuro? MATEMÁTICAS FINANCIERAS - coRPoRAcIÓN UNIVERSITARIA DEL cARIBE 'l'l CONCEPTOS GENERALES Y DEFINICIONES.. UNIDAD 1. UNIDAD 1. 1. CONCEPTOS GENERALES Y DEFINICIONES. Al iguat que se paga por una casa un alquiler en un periodo de tiempo determinado, por el uso del dinero también paga un precio o "arriendo'' llamado interés. De ahi, que sea apenas lógico, que el sector financiero, ya sean Bancos o Corporaciones Financieras se caracterice por cobrar interés cuando presta o alquila una suma de dinero específica. Es por eso que resulta prácticamente imposible concebir un sistema financiero de cualquier país independiente de sus ingresos, que son precisamente los intereses que pagan todos y cada uno de los usuarios del sistema bancar¡o por el uso del capital en un determinado tiempo. Son precisamente estos ingresos por concepto de alquiler del dinero, los que permiten y hacen que las empresas se consoliden fi nancieramente. !nterés. Es el pago que se hace por el uso del dinero. Tasa de interés. Es la cantidad de dinero que se paga por cada $100 en un tiempo determinado. Matemáticamente lo podemos definir como el cociente que resulta de dividir el interés acumulado en la unidad de tiempo, entre el capital inicial, orig¡nal o valor presente (VP) Interés simple. Es aquel interés que se paga únicamente sobre el capital originalmente invertido o prestado; es decir los intereses acumulados no pagan interés, no se capitalizan. Tiempo (N). Es la duración de un préstamo. Tal duración puede ser en dÍas, meses, bimestres, trimestre, semestres o años. De ahí que sea la unidad de tiempo MATEMÁTlcAs FINANcIERAS - coRpoRAcróN uNrvERsrrARiA DEL CARTBE 12 CONCEPTOS GENERALES Y DEFINICIONES. . UNIDAD I. Períodos de capitalización. Son aquellos periodos en los cuales los intereses se liquidan o se capitalizan para acumularse. Los periodos de capitalización pueden ser diarios, semanales, quincenales, mensuales, trimestrales, cuatrimestrales, semestrales, anuales o de otra duración. Capital. Es el dinero que se recibe o entrega en calidad de préstamo. También lo llamamos capital inicial, valor presente o valor actual y lo denotaremos con las letras VP. Valor futuro. Es el dinero al final de los N periodos e igual al valor presente más el interés. Diagrama de flujo de caja. Los diagramas de flujo son una descripción gráfica que nos permite visualizar como se comporta el dinero a través del tiempo. Un diagrama de flujo consiste en una línea horizontal dividida en secciones iguales para los periodos entre los cuáles se aplica la tasa de interés. Los diagramas de flujo de caja definen los ingresos y egresos que los representaremos sobre la línea de tiempo. Los ingresos los representaremos con flechas hacia arriba y los egresos con flechas hacia abajo. vP= $100.000 1 mes vF= gf02_000 Diagrame de fluio. Gráfico 'l .1 El anterior gráf¡co nos muestra que una persona obtuvo un ingreso de $100.000, ya sea por un préstamo de un banco o de un amigo, y al finalizar el mes, tuvo un egreso de $102.000. para la entidad financiera o para el prestamista amigo el dinero creció en el mes a una tasa del 2o/ol. En otras palabras, $100.000 iniciales son equivalentes a $102.000 cuando ha pasado ya un mes a una tasa del mensual. Esto también equivale a decir que $100.000 y 2o/o $102.000 son equivalencias financieras. MATEMÁTICAS FTNANCIERAS - CORPORACIÓN UNIVERSIfARIA OEL CARIBE. 13 CONCEPTOS GENERALES Y DEFINICIONES.. UNIDAD I. Principios de equivalencia entre sumas de dinero. Unas sumas de dinero, en diferentes momentos del tiempo. se definen como equivalentes cuando son indiferentes entre ellas para un inversionista dada una tasa de interés. Las equivalencias más comunes se definen entre: . . . Una suma presente y una suma futura Una suma presente y una serie uniforme Una suma futura y una serie uniforme Principios de equivalencias financieras entre tasa de interés. Las equivalencias financieras entre sumas presentes y futuras y ser¡es uniformes son funciones de una tasa de interés efectiva (vencida). como tal, tenemos que poder contar con mecanismos que nos permitan expresar cualquier tasa de interés (nominal, anticipada, etc.) con su equivalencia efectiva (vencida). Las equivalencias más comunes se definen entre: . o . Una tasa de interés nominal vencida y una tasa de interés efectiva. Una tasa de interés nominal anticipada y una tasa de interés efectiva. Una tasa de interés nominal vencida y una tasa de interés nominal anticipada. Más adelante en los siguientes capítulos, se profundizará en equivalencias para conocer su forma de calcularlas. estas I.1 EL INTERÉS SIMPLE. Es aquel interés que se paga únicamente sobre el capital originalmente invertido o prestado, es decir el principal. Los intereses acumulados no pagan interés, no se "capitalizan". El interés simple cumple con tres caracteristicas especiales: ¡ . ¡ La tasa de interés debe aplicarse solamente sobre el Vp. El VP no sufre ninguna variación en el tiempo que dura la transacción. El interés es igual para cada periodo de transacción. (N) y la tasa de interés (ip) se encuentran expresadas en la m¡sma unidad Observe deten¡damente s¡ el periodo de pago antes de apl¡car alguna fórmula. La estructura de la matemática financiera descansa sobre las variables Interés (l), tasa de interés (ip), valor presente, valor futuro y periodo de pago (N). MATEMÁT|cAS FINANctERAs - coRpoRAcróN uNrvÉRstrAR¡A DEL cARraE 14 CONCEPTOS GENERALES Y DEFINICIONES. - UNIDAD 'I. 1.1.1 El valor Futuro a ¡nterés Simple. Si un capital (VP), colocado a una tasa de interés (ip), al cabo de N periodos será igual a la suma del capital (VP) con sus respectivos intereses devengados. Definición que se puede expresar matemáticamente asi: VF= VP (1+ip) Siendo la anterior fórmula la utilizada para calcular el valor futuro a interés simple. Veamos el siguiente ejemplo: ''''-*'.-"--.", .,.11]-,,q"¡;-'*# ".3**r*i,"'* Ejemplo 1.f . Luisa recibe un créd¡to por $1000.000 a una tasa de interés simple del 20% anual. El plazo del créd¡to es de 2 años pagaderos junto con los intereses al final del crédito. ¿Cuánto deberá pagar Luisa al cabo de los 24 meses?. Solución: Observemos que tanto El número de periodos (N) como la tasa de interés (ip) están ambos en años. Como VF = Vp (j+ip -N) VF= 1'000.000 (1 +0.2O'2) VF=1'a00.000 Significa lo anterior que el Valor Futuro de $1'000.000 dentro de 2 años, cofocados a una tasa del 2oo/o de interés simple, será de $1'400.000 -----"-.- * :-;,<i:_".-- *.'"'*-*. -=dff =é- Ejemplo 1.2. Si Luisa recibe el crédito de $1'000.000 ¿Cuánto deberá pagar al caco de 18 meses? al 24o/o anual de interés simple, Solución: Como la tasa de interés (ip) se encuentra en años y el número de periodos (N) o tiempo, se encuentra en meses, entonces: 241'l0O = 0.24 v 0.24112= 0.Q2 MATEMÁTICAS FINANcIERAS - coRpoRAcróN uNrvERstrARrA oEL cARTBE 15 CONCEPTOS GENERALES Y DEFINICIONES. - UNIDAD 1. Es decir: ip = O.OZ mensual N = '18 meses VP= $1'000.000 Entonces, aplicamos la fórmula de Valor futuro (VF) VF=Vp(1+ip.N) VF = 1'000.000 (1 + 0.018 " 20) VF = 1'360.000 :,i;'*x*¿: l'**s ;l*ffi".u';'.,,¡ip*'**'.r"+.,",*;*""¿lSS¡'e 1.1.2 Cálculo del Valor presente. El valor presente se define como el valor actual del dinero, es decir a precios de hoy. También en este texto lo vamos a identificar como el capital inicial, como valor presente o como valor actual y se va a denotar con las s¡glas VP. Para calcular el valor presente, partimos de la fórmula de Valor Futuro y la obtenemos como se muestra a continuación: VF --VP(l + ip* N) VF (1 +rp+N) VF (l+rp*N) Quedando la fórmula de Valor Presente de este modo. Yr =- VF (l+rpüN) MATEMATICAS FINANCIERAS - coRpoRAcróN uNlvERs¡rARrA DEr cARtBE 16 CONCEPTOS GENERALES Y DEFINICIOIIES. - UNIDAO 1. Ejemplo 1.3. Juan Carlos recibió un total de $30.000 por un dinero que invirtió hace 12 meses y le rentó al 20¿ mensual ¿Cuánto ¡nvirtió hace un año? Solución: t/p - 30.000 (l + 0.02 t 12) vr=-(130.000 +0.24) L'P -24.193.54 Quiere decir que Juan Carlos invirtió-931193 haclyn r-¡¿ añ9, ;.'ttn -* ",* ,*.---.,.d** .F- i:ñ_ f .1.3 Calculo de la tasa de interés (ip). Para calcular la tasa de interés (ip), partimos de la fórmula de Valor Futuro (VF) y la despejamos de la siguiente manera: VF =VP (l+ip*N) VF (l+iD+ N)= .VP ' VF iD+N=----l t/D ' in* .VPN . ID =' (VF 'VP = ) (vF -vP) VP*N Quedando de esta manera la fórmula para calcular la tasa de ¡nterés' (vF -vP) (VP* N) Veamos el siguiente ejemPlo. MATEMÁTICAS FINANCIERAS - CORPORACIÓN UNIVERSITARIA DEL CARIBE 17 CONCEPTOS GENERALES Y DEFINICIONES. - ''''*"- '*'- UNIDAO ',''i:'''r';; '*"' I. -;;-""i¡d;:'** Ejemplo 1.4. Un inversionista compra bonos por $1 00.000 para venderlos en 10 meses con el fin de obtener un acumulado de 9120.000. ¿Cuál es la tasa de interés que reconocen estos t¡tulos de deuda? Solución: (vF -vP) (VP* N) ,- ' . ' _ (120.000- l00.oo0) (r00.000*10) 20.000 I1,,, ip - l'000.000 :0.02 - Lo anterior significa que estos titulos de deuda deben reconocer un interés del 2% mensual. - ,.:;;**"r.- :::::-.o-j¡J "!--*.*-- -*-,o.,,.i ,* *;:,,"-.;*'*"* 1.1.4 Cálculo del número de periodos (N). Para el cálculo del número de periodos partimos de la fórmula ya despejada en la de tasa de interés y sabemos que: tl.'F ip+N= ^, - V ,.p P\ ',Enronct.t -vP) -(l/F (VP * ip) Quedando de este modo la fórmula para calcular el número de periodos: (vF -vP) (VP* ip) Para comprender mejor a continuación veamos el siguiente ejemplo: MATEMATICAS FINANCIERAS - coRpoRAcróN uNtvERsrrARrA oEL cAR¡aE 18 CONCEPÍOS GEI'¡ERALES Y DEFINICIONES. - UNIDAD 1. :.;''.*d':111""'e-*i..:'e'Y:,''"-*"---,i#"*.,.---=*>" .J;**s'-"' Ejemplo 1.5. ¿Cuánto tiempo en años deberá un ahorrador colocar $2'000.000 a una tasa de interés def 15o/o anual para lograr un acumulado de $10'000.000? Solución: (l 0'000.000 2'000.000) (2',000.000 * 0.15) - 8',000.000 N_ 300.000 N =26.64ños Significa que $2'000.000 a una tasa del 15ok anual, se convertirán en $10'000.000 al cabo de los 26.6 años. . "..;-'n'*.*r.'- all.-"'¡ *r*,e - **' -r:&,{;,¡¿t:t"trry ,'.,-S*"*¡g*** 1.1.5 Descuento Simple o rac¡onal. Es la diferencia que existe entre el valor futuro (VF) a pagar y el valor presente (VP), así: a) Descuento = Valor futuro - valor presente D=VF-VP b) Sabemos también que: VF = VP + c) Al despejar "1" tenemos : | = VF - d) Por a y c podemos deducir que: | VP D=l El descuento se emplea para títulos que se utilizan en el mercado financiero y se colocan por un valor más bajo que tiene en el título. En otras palabras, lo que se hace es un descuento sobre el valor que tendrá el título en la fecha de reintegrar el dinero más su ganancia. ,i.-.-..*"¡;- 11i1",o.t"'"''"*"''-',*.,* ;**.*'"* ;ñr¡f¡gs' . E¡emplo 1.6. Una corporación financiera ofrece títulos de deuda a $9000, para ser pagados, un tr¡mestre más tarde por un valor de $10.000, ¿Cuál es el descuento del título y qué sign¡ficado tiene esta transacción? MATEMÁTICAS FINANCIERAS . coRPoRAcIÓN UNTERSITARIA DEL CARIBE. 't9 - CONCEPfOS GENERALES Y DEFINICIONES., UNIDAD 1. D=VF-1,'P D=$10.000-$9.000 D = l.000es..decir 1= 1.000 Sabemos que: 1=VP*ip'x N I .'-_ ' (vP* N) 1.000 ' (9.000 + l) ¡p = O.t t I l.e.s..decir ip = | l.l lYotrimestrcll Quiere decir lo anterior, que al colocar $9.000, al 11.11o/o trimestral, habrá un acumulado de $10.000 al cabo de los tres meses. Verifiquemos lo anterior: VF -- VP(l + ip + N) I/F = $9.000(l + 0.1I I I * l) ',F La tasa de descuento es de 1 I = $10.000 .1 1% #¡}- 'r'_-l-- .!:4# 1.1.6 Cálculo de la tasa de interés de un descuento. Para el anterior ejemplo: Descuento=$1 .000 Valor Neto=$9.000 Tasa de interés del descuento = (1 000/9.000) 100 = 11.11ok 1.1.7 Tasa de interés real en un crédito. El verdadero ¡nterés que cobra el sector financiero por otorgar un crédito se evidencia al cobrar el interés por antic¡pado, percibiendo ingresos superiores a los que recib¡ría s¡ cobrara los intereses vencidos. Según lo estudiado anteriormente, la fórmula será: MATEMÁTtcAs FINANctERAS - coRpoRActóN uNrvERsrrARrA DEL cARtBE. 20 CONCEPTOS GENERALES Y OEFINICIONES. . ¡, UNIDAD 1. =f.2)-roo \r,'N ) Donde: D= Descuento VN= Valor Neto ie= interés realmente cobrado t:,--.,.".¡*Á'Yr'"-r,¡r,'Y._-"" "**;*X'.:e . .,.***ror:* Ejemplo 1.7. Juan Pérez solicita un crédito a una corporación financiera por un monto de g 95.000 a un interés del 2B%o trimestre anticipado. Recibe un valor neto de $87.875 ya que se le descontó también un 0.5% por gastos de administración. ¿Cuál es la tasa de interés realmente cobrada por el crédito?: a) S¡n costos de administración b) Con costos de administración Solución: Determinemos el descuento (D) sin costos de administrac¡ón y con costos de administración. En el sistema bancario se determina el descuento así: 9= 1/p.N.d, donde: D = Descuento que se hace del valor original. N = Períodos. Vp=Valor nominal del pagaré. d= Tasa de interés cobrada por anticipado. De este modo el descuento seria: a) Sin costos de administración D = $ 95.000-1 "(O.2814) por se un trimestre y el año tiene 4 trimestres. D=$6.650 MATEMÁncAs FINANcIERAS - coRpoRAcróN uNrvERSrrARrA DEL cARTBE 2'l CONCEPTOS GENERALES Y DEFINICIONES. . UNIDAD 1. b) Con costos de administración D= $6.650 +475 D= $7.125 o Tasa realmente cobrada sin costo de administración: roo ' =f,2)\r'N ) ¡, ¡. =f66650.]*loo ' i, ( 87.87s / =7'57Y0' Cuya tasa anual seria: i"= 7.57%o *4 = 30.28o/o. La tasa efectiva equivalente cobrada en el año será: =(t+ir)" -t ," =(l+o.o7s7)'-l ;,. 1. = 0.3389 Que es la tasa efectiva y está 5,89 puntos por encima de la tasa inicial del28o/o. . Tasa realmente cobrada con costos de administración: ' =f.2'l-roo \w) ¡- ,' =l7l2s l-roo \87.87s ) i n= 8'l lo/o Cuya tasa anual es: ia= 8.11o/o(41 = 32,44To La tasa efectiva equivalente cobrada en el año será: MATEMATICAS FINANCIERAS - coRpoRActóN uNtvERstTARtA DEL cARtBE. CONCEPTOS GENERALES Y DEFINICIONES., ¡. . I' liv _t _\r+r¡l . ¡.. L ^ ^^..\4 _l =(l+u.uó , UNIDAO'I. i" = 0.3660 Es decir, 36.6% efectiva anual y está en 8.6 puntos superior a la tasa inicial del 28o/o. ''* .----* _. a4iF 'lj^?a¡f,. IMPORTANTE: En capítulos poster¡ores profund¡zaremos acerca de la fórmu¡a de tasa electivas anuales. 1.1.8. Resumen de fórmulas. . Valor futuro a interés simple. VF= VP (l+ip) . Valor presente. VF ll+in*A/\ . Tasa de interés. (vF - (VP * o vP) N) Cálculo número de períodos. (vF -vP) (VP * ip) MATEMÁTICAS FINANCIERAS . CORPORACIÓN UNIVERSITARIA DEL CARIBE 23 CONCEPTOS GENERALES Y DEFINICTONES. . . UNIDAD 1. Descuento simple o racional. D=VF-VP o Tasa de interés de un descuento. ¡"=l?)-roo \VN ) o Tasa efectiva anual. i" = (r + i,)" MATEMATICAS FINANCIERAS - coRpoRActóN uNrvERsrrARtA -r DEr cARTBE 24 CONCEPTOS GENERALES Y OEFINICIONES. - 1. UNIDAD ,I. Andrés presta a un primo $2.000 000 al 30% anual de interés simple. ¿Cuál será el acumulado que recibe al cabo de un año? 2. Erich presta d¡nero al 5% mensual de interés simple. Si al cabo meses recibe $4.500.000, ¿cuál fue la cantidad de dinero prestada? de 10 ¿Cuánto dinero se debe prestar hoy para que al 5% de interés simple mensual durante año y medio produzca una utilidad de $36.000? 4. ¿Cuántos centavos de utilidad produce un dólar simole durante 3 meses? al 24o/o anual de interés de interés trimestral se debe colocar $1.000.000 para que al produzca una utilidad de $90.000? meses cabo de tres 5. ¿A qué tasa 6. ¿Durante cuántos trimestres se deben colocar $2.000.000 18o/o anual para que produzcan una utilidad de $720.000? a una tasa del ¿Cuánto recibirá un prestamista que presta $200.000 al 48o/o anual durante 5 meses? 8. ¿Cuál es el precio de una letra de cambio hoy, sabiendo que dentro de 74 días valdrá $2.000.000 y es comprada hoy al27o/o de interés simple? 9. Si hoy se compra una letra de cambio por $243.200 al 33oA de interés simple, ¿cuál será el valor de este título si es cobrado dentro de 93 dias? televisor cuesta $2.500.000, si se da una cuota inicial del 20% y el saldo a 120 días con un recargo del 2.5% sobre el precio de contado, ¿cuál es la tasa de interés simple pagada al año? 10. Un MATEi,IÁTICAS FINANCIERAS . CORPORACIÓN UNTVERSTTARIA OEL CARIBE' 25 CONCEPTOS GENERALES Y DEFINICIONES- - UNIDAD 1. Se manejaron conceptos básicos como tasa de interés, períodos de capitalización, tiempo, número de periodos y Valor Futuro. Más adelante se introdujo al tema de los Diagramas de flujos de caja, que consiste en una línea horizontal dividida en secciones iguales para los periodos entre los cuáles se aplica la tasa de interés. Poster¡ormente se revisaron conceptos como interés s¡mple, el cual es aquel interés que se paga únicamente sobre el capital originalmente invertido o prestado, es decir Los intereses acumulados no pagan interés, no se "capitalizan. Junto con el interés simple se presentaron las fórmulas para calcular el valor presente y el valor futuro a interés simple, se enseñó a calcular el número de periodos, la tasa de interés, cuyas fórmulas se encuentran resumidas en páginas anteriores. se trató el tema de los descuentos simole o racional el cual se define como la diferencia que existe entre el valor futuro (VF) a pagar y el valor presente (VP). MATEMATICAS FINANCf ERAS - coRpoRAcróN uNrvERSrrARtA DEL cARTBE lnterés Coffipuesto. Unidad 2 MATEMÁTlcas FINANcIERAS - coRPoMcÉN uNrvÉRsrrARlA DEL cARlBE. 27 INTERÉS COMPUESTO, - UNIDAD 2. PRESENTACION ''",¿:';';;4;***i*rri*;t,,,,|,,-,,,,.,',;;ii;.i:,-'i,-.,,ril,,,.,,¡:gá,:.;l;],, ;.', " En la unidad anterior cuando nos encontrábamos resolviendo problemas de interés simple, veíamos que el capital permanecía invariable o constante durante todo el tiempo que duraba la transacción y que los intereses se retiraban oeriódicamente. En esta unidad de Interés Compuesto el capital se va incrementando en cada período por cuanto el interés se va integrando al capital para luego calcular intereses sobre un nuevo monto en cada periodo de tiempo. De ahí que es muy frecuente que se escuche decir que en el Interés Compuesto se gana "intereses sobre intereses". Al terminar de estudiar la presente unidad usted debe estar en capac¡dad Definir la fórmula de de: Interés Compuesto. Calcular Valor Futuro y Valor presente a Interés Compuesto. Resolver problemas y situaciones equivalentes a Interés Compuesto. Convertir tasas Nominales a Efectivas y viceversa. MATEMÁTlcAS FINANcIERAS - coRpoRAcróN uNrvERstrARtA oEL cARTBE 28 1,.*d.r.,-1' ! 'q r INTERES COMPUESTO. - D¡NAMICA PARA CONSTRUR ,;,,:; .a:.'::,,-&99$,.9W-*Hffi".a"u,*j; ¡. 1,. UNIDAD 2, . ..:-.$ #$ UNIDAD 2. Para el desarrollo exitoso de esta unidad se recomienda lo siouiente: ACTIVIDADES. r' r' r' r' Lea detenidamente la Unidad N' 2. Resuelva los ejercicios que aparecen en la "evaluación". Desarrolle los ejercicios que aparecen como Autoevaluación. Realice un resumen de toda la unidad 2 el cual será debatido Reunidos en los Cipas, discutan el resumen de la Unidad 2 y socialicen los ejercicios correspondientes a la Autoevaluación; Formulen, analicen y resuelvan todos los ejercicios. r' En los Cipas, realicen los Ejercicios Prácticos que aparecen al final de la Unidad 2. r' Todos los ejercicios real¡zados individualmente y en los Cipas, se deben socializar en la sesión Dresencial en el aula. MATEMÁTICAS FINANCIERAS . coRPoMcIÓN UNIvERSITARIA oEL cARIBE 29 INfERES COMPUESTO. - UNIDAD 2. EVALUACION INICIAL !:,,. !.:::::.: j,- ...- .ir i i.:.i',.i r.i L,;.,."¡,i; .,; , ,.,. .- ¿ Qué ent¡endes por Interés Compuesto?. ¿ Qué es una tasa de interés efectiva anual?. ¿ Cuál es la diferencia entre tasa nominal y tasa efectiva? MATEfvtÁTlcAs FINANctERAS - coRpoRActóN uNtvERstrARtA oEr cARrsE. 30 INTERES COMPUESTO. , UNIDAD 2. UNID.AD 2. 2.INTERES COMPUESTO 2.1 VALOR FUTURO Y VALOR PRESENTE EN ]NTERÉS COMPUESTO. Conkario con la tasa de lnterés Simple, la compuesta significa que los intereses no se pagan ún¡camente sobre el capital principal, sino también sobre los intereses acumulados. llustremos lo anterior con un eiemolo: Ejemplo 2.1. Si depositamos $ 1 0.000 a interés compuesto en una corporación financiera donde capitalizan el interés trimestralmente a una tasa del 10% trimeshal, ¿Cuál será el valor al final del año? Solución: Valor Presente (VP) Periodo t1 Intereses tr¡mestrales Valor Futuro 10.000 10.000(0.10) = 1000 $11 .000 1.odd t.ooo(o.loj =- tto 11.110(0.10)= 111.1 sii.¡o 1 3 :4 : , 11.11O ll.ZZ'l .'t t 11 .221 .'t (o.1O)='t 12.21 $1',t.221 .1 $11.333.31 Vamos a mostrar ahora los nuevos montos para cada período, es decir, integrando el ¡nterés al capital (capitalización), en un gráfico de línea del tiempo: MATEMÁTlcAs FINANcIERAS - coRpoRAcróN uNrvERsrrARrA DEL CARTBE INTERÉS CO|I,PUESTO, - UNIDAD 2. VF='t4.641 VF-13.310 VF=12. 100 La situación anter¡or la podemos representar gráficamente, mostrando el valor presente y el valor futuro así: VF=14.641 VP= 10.000 Con la tasa compuesta, al invertir ($P) en el año 0, se puede ret¡rar al final del año I la cantidad $P(1+i¡; al mantener tanto el principal ($P) como los intereses del primer año ($ip) en el fondo de inversión durante el segundo año, los intereses se acumulan sobre ambos ^y, por lo tanto, al final del año 2, podría retirar $(P+|PX1+i) o sea, $P(1+i)'. Esto es, el inversionista habrá ganado en ese segundo año, intereses sobre el capital y, además, sobre los intereses devengados el primer año. De igual manera, dejand^o tanto el capital como los ¡ntereses invertidos, al final del año 3 se tendrá $P(1+¡)'(1+¡)=$P(1+¡)' MATEMATICAS FINANCIERAS - coRpoRAcróN uNrvERsrrARtA DEL cARTBE 32 INTERES COMPUESTO. - UNIDAD 2. En forma general, se tiene que al final del concepto se expone en la siguiente ecuación: año N, habrá $P(1+i¡N este mismo VF=VP(1+i)N De este modo para el caso en el que se conoce la suma (VF) que se desea cibir en el futuro y se necesita conocer la suma presente (VP), que será necesario invertir (o pedir) en el presente, se tiene: VF I/D _ (l + l)" Veamos el siguiente ejemplo para valor presente: Ejemplo 2.2. Una persona recibe dentro de 60 meses un pago por la suma de $241.171.4 por un monto de dinero X que prestó al 4.5o/o trimestral a interés compuesto capitalizando intéreses cada tres meses, ¿Qué cantidad de dinero prestó? Solución: VP =? vF It N =9241.171.4 = 4.5o/o = 60/3 = 20 trimestres Como vimos anteriormente aplicamos la fórmula de valor presente así: VF /lt, r;, ,p,\/' 241 .17 | " - rt,Í (r /P = $ 100.000 MATEMÁT|CAS FINANCIERAS - CORPOMCIÓN n n¡<tlo v.viJ., UNIVERSITARIA DEL CARIBE INTERÉS COMPUESTO.. UNIDAO 2. Significa que $100.000 colocados al 4.5o/o trimestral, se acumularán en $241.171.4 al cabo de 60 meses, capilalizando intereses cada trimestre. ... .'!,rr!ir[|¡¡L" 2.2 .,....,:: rrb:- COMPARACIÓN ENTRE ¡s¿- EL _.,, ¡¡i.- INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO. La tasa compuesta genera más retorno que la tasa simple, ya que paga interés sobre una cantidad que va aumentando con el tiempo. Para la tasa compuesta, se mostró que al invertir $10.000 a una tasa de interés del 10% trimestral, se obtendrá $14.641; es decir aplicando la fórmula de Valor Futuro (VF) se tiene: VF =Vp(t+ip)'' ZF = 10.000(l +0.10)a VF =14.641 Para la tasa simple se obtendría: VF = VP(l + ipx N) VF =VP(l +0.10*4) vF =14.000 Observamos que el rendimiento con el interés compuesto es mayor que el que se obtenía con la tasa de interés simple, ya que la introducción de la acumulación de intereses sobre intereses ha incrementado el fruto de la inversión. 2.3 CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS. Para una mejor comprensión ilustremos este tema con un ejemplo: " :.;*""#,- :Y;***-.:.**?".ry1 .c;k,-€j¡É=* _;ffi,.-E€"ñÉ. Ejemplo 2.3. ¿A que tasa de Interés Compuesto, se colocaron $50.000 para que en 2 años capitaf izando trimestralmente, se acumulen en $21 2.392,55? Procederemos a despejar la fórmula de Valor Futuro así: MATEMATICAS FINANCIERAS - coRpoRActóN uNrvERSrrARrA oEL cARTBE 34 INTERES COMPUESTO. . UNIOAD 2. VF -, VP(l + i¡t)' VF :-=(l+rp)\ VP (l .VF '= .VP + rp) . ( VF\,,, tP=l-l -l ' \VP) Quedando la fórmula para calcular el ¡nterés así: Una vez despejada reemplazamos de este modo: VF = $ 212.392.55 VP = 50.000 N = 20 (porque hay 4 trimestres en el año y son 5 años) $ ip =? Entonces: I ¡l/-l 212.392,55 -l l0 50.000 ip = (4.24785)005 -) -l -1 iP=l-075-t ip = 0.075 ip = l.5Yo ip=7.5*4 iP =lo% La cual es la tasa de interés compuesto. MATEMATICAS FINANCIERAS - coRpoRAcróN uNrvERsrrARrq DEL cARrBE. 35 INTERES COMPUESTO. - UNIDAD 2. 2.4 CALCULO DEL NUMERO DE PERIODOS. Ejemplo 2.4. ¿trn que t¡empo se duplica un capital colocado al 18o/o de interés Compuesto capitalizando trimestralmente? Solución: Procederemos a despejar la fórmula de Valor Futuro de la siguiente manera, hasta despejar la variable "N". Nlogfl +rn) I L/D ="rl;) \ , (VF\ -.- lost ^¡ "\vP ) | - log(l + 1,, ) Quedando la Fórmula de Número de oer¡odos así: .tost(VF\ '\VP - ) l"g(t -) | Replanteando tenemos: N =? VP= lVP VF= 2VF ip =18o/o=0.18 l4 =0.045 m = 4 capitalizaciones MATEMATICAS FINANCIERAS - coRpoRAcróN uNvERstrARtA DEL cARtBE. 36 TNTERÉS ,, /v =- ^, /v =- coMPUEsTo. . UNIDAD 2. .ropt(?rP\ --l "\lvP ) log(1 + 0.04s) log2 log 1.045 0.3010299957 0.019t 1629045 N -15.74730184 Significa que cualquier capital colocado al 18% de interés compuesto cap¡talizando trimestralmente, en 15.74730184 trimestres se duplicará. Es decrr en 15 trimestres, 2 meses y 7 días. 2.5 TASAS DE INTERES NOMINALES Y EFECTIVAS. La tasa Nominal es aquella que se expresa sobre la base de un año con periodos de capitalización mensual, bimestral, trimestral, semestral, etc. Esto quiere decir que la tasa Nominal es igual a la tasa de interés del periodo multiplicada por el número de períodos al año. La tasa Efectiva, es aquella que nos determ¡na la ganancia que realmente se adiciona al capital en el instante que se liquida el interés. Cuando la tasa Nominal se capitaliza una sola vez al año, entonces decimos que la tasa Nominal es ¡gual a la tasa Efectiva Anual Las equivalencias financieras entre sumas presentes y futuras y series uniformes son funciones de una tasa de interés efectiva (vencida).como tar , tenemos que poder contar con mecanismos que nos permitan expresar cualquier tasa de interés (nominal, anticipada e.tc.) con su equivalente efectiva (vencida). Las equivalencias más comunes se definen entre: . . Una tasa de interés Nominal Vencida y una Tasa de lnterés Efectiva. Una tasa de interés Nominal Anticipada y una Tasa de Interés Efectiva. MATEMÁTICAS FINANCIERAS - CORPORACIÓN UNIVERSITARIA DEL CARIBE. 37 INÍERES COMPUESTO. - UNIDAD 2. . Una tasa de interés Nominal Vencida V una Tasa de Interés Nominal Anticipada. La tasa de interés nominal es la que se pacta en la mayoría de las inversiones financieras. Se debe especificar el periodo de capitalización, y la forma de pago y, por lo general, su monto se presenta en forma anual a no ser que se especifique lo contrario. De otra parte, la tasa de interés efectiva se definió como la Tasa que refleja el rendimiento de una inversión, cuando se asume capitalización de los intereses generados a lo largo de un periodo de inversión. 2.6 CONVERSIÓN DE TASAS DE INTERÉS. 2.6.1 Equivalencia entre una tasa de interés Nominal Vencida y una Tasa de Interés Efectiva. Es posible calcular la tasa de interés efectiva equivalente a una Tasa de lnterés Nominal Vencida, o viceversa. Consideremos una inversión de $100 que devenga el 1Oo/o Anual de interés (Nominal), capitalizado Anualmente. Al final del año se liquidan los intereses de $10, para un rendimiento efectivo del 10%. En este caso, el per¡odo de inversión y el de capitalización son los mismos y la tasa Efectiva es igual a la Nominal. Cuando el periodo de capitalización es más corto que el de inversión, la Tasa Efectiva es mayor que la nominal, como se observa en el s¡guiente ejemplo. '*:=+'4rd'ñ?&.¡";kñg¡'r!- il;"".¡x. -t,ll;5¡ff Ejemplo 2.5. Considere ahora que los 9100 se invierten al 10o/o de interés (Nominal) anuar, capitalizado mensualmente. Esto implica que cada mes se liquida la parte de ¡ntereses que corresponden a un mes (una doceava parte del año) y estos Intereses se agregan al cap¡tal que está ganando ¡ntereses. Cada mes se paga una tasa Nominal mensual igual a la doceava parte de la tasa Nominal, (ip) = 0.10112 = 0.0083. Entonces, al final del primer mes se liquidan intereses de $0.93 ($100-0.0083), y el capital que entra a ganar intereses durante el segundo mes no es ya de $100, sino de $100.83. este capital genera $0.84 de intereses (100.83"0.0083) en el mes 2, los cuáles se suman al monto de capital. haciendo que este sea, al comienzo del tercer mes de $101.67 Este proceso sigue así durante los próximos 12 meses, hasta que, al final del doceavo mes, el capital acumulado será de $110.47. En tal caso, el retorno anual sobre fos $100 invertidos en un comienzo será de $10.47, arrojando una tasa oe rendimiento efectiva del 10.47%. Consideremos otro Ejemplo: MATEMATICAS FINANCIERAS - coRpoRAcróN uNtvERsrrARrA oEL cARtaE INTERÉs coMPUEsTo.. UNIDAo 2. *,'-.. . ..t,'..**r* .i"":.-.5"'':'"'1--r*,,,;&d€¡r;*.'ry:,, .--.;i; Ejemplo 2.6. se invierten $2000 a una tasa anual de 2oo/o, capítalizada trimestralmente. cada trimestre se liquida una cuarta parte del 20o/o, o sea, un 5% de los intereses. Este 5%, que es la tasa por periodo de capitarización, funciona como una tasa compuesta que se paga cuatro veces al año. como consecuencia, el capital acumulado al terminar el año es igual al capital originalmente inveri¡do, multiplicado por (1.05)4, o sea, por 1,2iss. la tasa de interés anual efectiva es, entonces, 21 .55o/o. En general, se define m como el número de veces en el año (o, en general, el per¡odo de inversión) que se capitalizan los intereses: m= 12 para la cafitalización mensuaf ; m=4 para la capitalización trimestral; m= 365 para la capitalización diaria. se denomina io a la tasa de interés por período de liquidación; i es la tasa Nominal anual. capitalización o Se tiene: m La tasa efectiva anual, que se denominará iu, sencillamente es la compuesta de esa tasa periódica: tasa i"=(1+io)m-1 Nótese que si m=1, ino,n =io=i" Es decir, si el período de capitalización y el período de inversión coinciden, la tasa Nominal y la Tasa Efectiva son iguales. En cambio, s¡ la tasa de interés nominal anual liquidación de intereses es de un mes, se tiene: es de 36% y el período de = 0.36 m =12 i = 0.36/12 = 0.03 La tasa de interés liquidada mensualmente es de 3%. Se capitalizan estos intereses, se calcula la tasa de interés efectiva: i" = (1+Q Ql) MATEMÁncAs FINANCIERAS - coRpoRAcróN '' - 'l = 42.58% uNn/ERsrrARrA DEL cARraE. INTERES COMPU€SÍO, - UNIDAD 2. ....,1.' ...,*,, ' ',.,,...";¿r:,'..:¡*- Ejemplo 2.7. una tasa Nominal Anual del 12ok capitalizada mensualmente, llevarla a efectrva anual Solución: Capitalizada mensualmente, entonces divido periódica. la nominal en 12 y obtengo la ip= 12 I 12 = 0.O1 que es el interés periódico; ahora reemplazo en la fórmula oe interés efectivo anual así: ie= (1+0.01)12 i"= 0.1268 - 1 Quiere decir que una tasa Nominal anual del 12o/o capitalizada mensualmente, es equ¡valente a una del 12.68% efectivo anual. Ya vimos ejemplos de llevar tasas nominares anuares a periódicas y ruego a efectivas anuales. Ahora miremos lo contrario, llevar tasas efectivas a peiiódic-a" y luego a nominales .'-;:-dr'l¡d "Y:'1"r:É|:'$ary ll,*-s- .;;&r¡r¡tdA;1r¡sry. '- " -:r' -..- :,.:"ü1i;!*¡¡s!Éee¡.e¡¡e- t'-' Ejemplo 2.8. una tasa Efectiva anual del z6.2so/o llevarla cap¡tal¡zable trimestralmente a una tasa nominal anuar Solución: El primer paso es llevarlo de efectiva anual a periódica a través de la siguiente fórmula: io= ('1+i")]/m -1 Entonces, ie=(+0.2625)1t4 - 1 0.060 que es el interés periódico. ¡e = MATEMATICAS FINANCIERAS - coRpoRActóN uN|VERS¡TARIA oEL cARraE 40 NTERES CO PUESTO.. UNIDAD 2. Como: i ¡ _!.!!!!L t-m 0.06 =',,',"' 4 i,,,,,,, = o.o6* 4 i,,,,,,, =24% significa que colocar un cap¡tar a una tasa Efectiva Anuar der 26.28o/o, es iqual que colocarlo al 24oA de interés compuesto capiütüano; tr¡'";ir"ñ"; A continuación mostraremos una síntesis para convert¡r tasas Efectivas Anuales y Viceversa. ']:i".,,.r**&a 'iñ,,.-Fi¡i'""..¡-.-*,*,*..". ,iffiw**¡e=¡aq Nominares a -:,:.:,,: -..|::*.üe*,e REGLAS DE ORO De Tasa Efectiva Anual a..lnterés periódico tl VV ip = (i +¡e)1h - i ++ De Interés periódico a.. Nominal Anual ++ in in MATEMÁT|cAs FINANcIERAs - coRpoMctóN = ip.nr = Nominal Anual uNtvERsrrARtA DEL cARrsE. 4'l TNIERÉS COMPUESTO.. UNIDAD 2, Ahora veamos lo contrario, es decir de Nominal anual a Efectivo Anual De Nominal Anual a... Interés Periódico VV ' t1l VV De interés Periódico a.. Efectivo Anual VV t,. =(t+i/,)"'-I i" = Efectivo Anual 2.6.2 Equivalencia de Tasas Nominales con diferente Periodo de CaPitalización. a otra Tasa Nominal' lo Cuando queremos saber cual es la tasa equivalente a la Tasa á"i"-¡ntt la fasa Efectiva correspondiente primero que hacemos que deseamos a partir de la "" Nominal dada y luego caicular la Tasa Nominal exoresión: ;" = (t +;")" - t Ejemplo 2.9. unaTasadel24%capitalizableb¡mestralmente,¿AquéTasacapitalizable Trimestralmente es Equivalente? cap¡talizan' siendo esta la Lo primero que podemos decir es que ambas Tasas se trata de Tasas pr¡""¡|.i ."L"turiiti"" de una Tasa Nominal; por lo tantoque es prec¡so tener si). Lo otro ñominates (conversión de Tasa Nominales entre que la tasa es anual' claro, es que al no especificarse el tiempo' asumimos Veamos el Proceso de conversión: 1. a convertimos la Tasa conocida (24o/o capitalizable b¡mestralmente) oro): de (aplicar reglas interés periódico y tuugo a Tasa Efectiva anual asi m¡tgruÁttces FINANcIERAS - coRPoRAoÓN uNrvERslrARIA DEL cARIBE INfERES COMPUESTO. - UNIDAD 2. Como es capitalizada bimestralmente entonces se entiende que es cada 2 meses, por lo tanto hay 6 bimestres en el año. . ,o - 0.24 . o ; =fin4 2. Teniendo la Tasa periódica la llevamos a Efectiva Anual así: 1. = (l + 0.04)6 - l ¡" = 26.53% J. Ahora hallamos la tasa de interés capitalizable trimestralmente (Nominal anual) que es equivalente a la efectiva anual ya calculada. Procederemos a llevar la Efectiva anual a la periódica que se capitaliza trimestralmente siguiendo los pasos de las reglas de oro. in =(1+0.2653)1/a -1 t/, = 0.06059 Nótese que se eleva a la 4. T¿ debido a que en un año hay 4 trimestres. Finalmente con este interés periódico y apricando ras regras de oro anteriormente procederemos a multiplicar el interés periódico por vistas cuatio (debido a que existen 4 trimestres en er año) y u"i obt.nuros ra tasa nominal anual capitalizable trimestralmente. i,,,,, = 0.06059* 4 i,,,,,, =0.2424 i,,,,,, =24.24% MATEMATICAS FINANCIERAS . coRpoRAdóN uNlvERslrARtA DEL cARTBE 43 INTERES COMPUESTO.. UNIDAD 2. Quiere decir que una tasa del 24o/o capilalizable bimestralmente, equivale a una tasa del 24.24% capitalizable trimestralmente; y que estas dos tasas equivalen a una tasa del 26.53% efectivo anual. 2.7 TASAS DE INTERES ANTICIPADAS. El ¡nterés anticipado se paga en el momento de iniciar el período de causación de intereses. Por ejemplo, el pago de ¡ntereses correspondientes al período de un oréstamo se realiza en el momento de desembolsar el capital del préstamo; como consecuencia. el prestatario efectivamente recibe el monto que ha pedido prestado menos el monto de interés correspondiente al primer período El interés anticipado se entrega al dueño del dinero antes de transcurrir el tiempo durante el cual va a sacrificar sus usos alternativos. como tal, cuenta con los intereses desde el comienzo del período, en el que los puede reinvertir o algún beneficio, sin necesidad de esperar hasta que termlne ulilizar para generar el interés antic¡pado el periodo. En consecuencia, se esperaría que que su equivalente vencido' corráspondiente a un determinado período sea menor que eS Cuando se dice que e| interés sobre un préstamo es anticipado, Significa por una suma como si no se hubiera sacado un préstamo por todo el capital, sino préstamo es período del menor. No obstante, el valor a ser repagado al final del efectivamente el capital acordado sin los intereses, por ser anticipado De este modo, el costo verdadero de un crédito cuyo interés se paga en forma en lorma anticipada es superior al costo para el caso que se pagara la m¡sma tasa vencida. Veamos el siguiente ejemplo: ..:.:....,.r.¿l .i . *,:.-...,j1,.,:'¡e"-r+;j- .,..,.'_i:. .,#,.j n}ry- t. :,.;:;*',*d'-* EjemPlo 2.10. plazo a una tasa del Sí ¿oy en calidad de préstamo $100 pagaderos a un año de 15% aniicipada, ¿Cuál será la Tasa de Interés Vencida? '15%, si fos $100 los presto al mismo plazo y a una Tasa de Interés Vencida del gráfico. significa que dentio de un año debo recibir $1 15, según el siguiente ¡u¡tguÁTtc¡s FINANcIERAS - coRPoRAclÓN uNlvERslrARlA DEL cARlEt 44 INT€RES COfIIPUESTO. . UNIOAO 2. VF= $ 115 VP= $ 100 Comprobando.lo anterior tenemos: VF =VP11*¡r¡x Zr' = l¡611 ZF = 9115 *¡.ttr' Ahora miremos que ocurre si la tasa de interés es anticipada: Gráficamente tenemos: VF=$100 VP= $ 85 Observe que: VP = 100 - 100 (1.jS) VP = 100 (1 - 0.15) VP=85 MATEMATICAS FINANGIEMS - coRPoMcIÓx UNIVERSITARIq oE[ oARIBE, 45 IÑT€RES COMPUESTO, . UNIDAD 2. Significa que por los $100 que presto retengo $15 por interés y entrego $100 $15= $85, para que al cabo de un año recibir $100, es decir: VP = $85 VF = $100 = 1Año \ i =? siendo esta la Tasa de Interés Vencida o Efectiva Anual (Porque se capitaliza una vez al año). como VF = vP(1+i)N Reemplazando tenemos: 100=85(1 +,)l 100 85 1.1765-l=i i = 0.1765 i =17.65% QuieredecirqueunaTasade|'|5o/oanua|Anticipadaesequiva|enteaunatasa del 17.650/o Efectivo Anual (vencida). TraduciendoelanteriorprocesoenfuncióndelasvariablesVP'VF'N'¡a ia.100. de (interés Anticipado), tenemós que: por $'100 que presto hoy' retengo i¡n"io v entr.io lStoo-ia-Srooj pará posteriormente al año vencido recibir $100, es decir: VP = $100(1- ¡a) yp = gl00 N =1año valor Futuro: Ahora reemplazamos las anteriores variables en la Formula de MATEMÁT|cAs FINANCIERAS - coRPoRAclÓN uNlvERsrrARrA oEL cARIBE 46 INTERÉS COMPUESTO. . UNIDAD 2. VF=VP(l+¡)'' $t 00 = $100(l $r00 $ 100 =ll-t -,,,XI + t)l lll+¡l -l=(l-1,)(l+Í) I 1- i,, l, 1- i. .1 l: Es decir : ¡= I -l t-i,, La anterior exÉresión matemática encontrada nos servtrá para determinar Tasas de Interés venc¡das conoc¡endo Tasas Anticioadas. ATENCIÓN. cuando neces¡temos conveñ¡r Tasas Antic¡padas a rasas EfecüVas necesariamente , debemoi pr¡mero conveftirlas a lasas Vencidas haciendo uso de la anterior ecuac¡ón. Sometamos a prueba la ecuación antic¡pada del 15%. el ejemplo 2.10, el cual tenía una Tasa .l .l ,=--l I - 0.15 i =1.1765_l i = 17.65% Dicho valor fue el encontrado anter¡ormente. MATEMÁTICAS FINANCIERAs - coRPoRAcIoN uNIVERSITARIq DE! cARIBE, 47 INTERÉS COMPUESIO, " UNIDAD 2. Aclaremos la observación anterior teniendo en cuenta cuando hay varias capitalizaciones al año y cuando solo se capitalizan los ¡ntereses una vez al año , ni'¡ad' . j ..é.^ Ejemplo 2.11. El Banco Hispano está cobrando el 34o/o anual Trimestre Anticipado (para créditos ordinarios a 2 años de plazo). Necesitamos saber: y la tasa Efectiva Anual ¿cuát es la Tasa de lnterés trimestral vencida cuál es Cobrada en Dicha modalidad de crédito? Solución. por tanto: Tenemos tasa anticipada con 4 periodos de capitalización' ia= 0.3414 = 0.085 que es la Tasa trimestral anticipada Ahora llevémosla a vencida: ; - -- :- -1 I - l-i" .l l-+-l 0.085 i =9.29%o tasa de interés del 8'5% Entonces tenemos una equivalencia financiera: Una trimestra|ant¡cipadaesequiva|enteaunatasade|9.29o/otrimestralvencida. AhoraelsiguientepasoesconvertirlatrimestralvencidaenEfectivaAnual: ie=? n = 4 Períodos que hay en el tiempo para el que calcularemos la Tasa Efectiva' en este caso para año. io--9.29o/o ',, = (l +t/,),,_1 ¡. =(l+0.0929)o i,. 42.660/o -l =0.4266 es la Tasa efectiva anual cobrada por el banco' MATEiNÁTICAS FINANCIERAS - CORPOhACIÓN UNIVERSITARIA DEL CARIBE. 48 INIERÉS COIIiPUESTO. . UNIDAD 2. o Valor Futuro a interÉs compuesto, VF = VP(I+¡)N o Valor Presente a Interés Compuesto. VP o =(l +I/Fj¡ Formulá para Calcular el inteÉs, . I (vF\ñ "=l*) r )/y -' Cálculo del Número de periodos. -\vP ) ",s(y!\ logQ + 1) r De Noniinal a pe¡iódica. m IUATEMANCAS FI ANCTERAS . CORPORACION UNIVERSITARIA D€L CARIBE. 49 INTERÉS COMPUESTO, - . UNIDAD 2. De periódica a Efectivo Anual. l,-(l+l,,)"'-I . De Efectivo Anual a Periódica. it,=(1 +i,.); . -l De interés Periódico a Nominal. i,,,,,,,=in'm o De interés anticipado a Interés Vencido' I t-t MATEMÁTlcAs FINANcIERAS - coRPoMclóN uNlvERslrARrA DEL cARIBE 50 INTERES COMPUESTO.. UNIDAD 2, Contrario con la tasa de Interés simple, la compuesta s¡gn¡f¡ca que los intereses no se pagan únicamente sobre el capital principal, sino también sobre ros Intefeses acumulados, de este modo la tasa compuesta genera más retorno que Ia tasa simple, ya que paga interés sobre una cantidao que va aumentando con er Iremoo. La tasa Nominal es aquella que se expresa sobre la base de un año con periodos de capitarización mensuar, bimestrar, trimestrar, semestrar, quiere decir que ra tasa Nominar es iguar a ra tasa de interés etc. Esto áer periodo multiplicada por er número de períodos a-r año. La tasa Efectiva, es aquertá que nos determlna ra ganancia que rearmente se adiciona ar capitar en er instante que se liquida el interés. cuando ra tasa Nominar se capitariza una sora vez al año, entonces decimos que la tasa Nominal es igual a la tasa Efectiva Anual El interés anticipado se paga en er momento de iniciar er periodo de causación , de_ intereses. Por ejempro, er pago de intereses correspondientes ar período de un préstamo se realiza en er momento de desemborsar ei capitar prestamo: uer cámo consecuencra, er prestatario efectivamente recibe er monto que ha pedioo prestado menos el monto de interés correspondiente al primer período. MATEMÁTICAS FINANCIERAs - coRpoRAcróN uNrvERSrrARrA oEL cARTBE 5'1 I¡'TERES COMPUESTO-. UNIDAD 2. 1. Defina: lnterés compuesto, interés Nominal, Interés Efectivo' 2.¿En cuanto se convierten $450.000 al 24% de interés compuesto capitalizando irimestralmente, al cabo de dos años y medio? 3.¿Cuántodebodepositarhoyene|bancosipaga2lo/odeinteréscompuesto, de dentro cápitalizando trimestralmente, para lograr un acumulado de $600.000 cuatro años? que paga el 4. una persona deposita $5'000.000 en una corporación financiera 31.9%anua|.S¡|apersonaaspiraadup|icarsudinero,¿Porcuántotiempodebe colocarlo? que reconoce un 32ok 5. Si depositamos $1',000.000 en una corporación financiera anua|capita|izab|etrimestra|mente.¿Quécantidaddedinerohabrádisponib|eal cabo de tres años?. por un 6. Una entidad financiera paga el 32o/o anual, capitalizable trimestralmente, el interés deoósito a término de $1'¡50.000 pactado a 6 meses.¿Cuánto será oue recibe?. del 7. Si nos ofrecen un crédito a una tasa de interés compuesto oferta? 30%, capitalizable trimestralmente o al 35% efectivo' ¿cuál será la mejor 8.Quéesmejorparaunprestam¡sta:prestar-al20"Adeinteréscompuesto o/o capitalizando trimestralmente o prestar al 21 efectivo de interés compuesto? 9.¿AquétasadeinterésEfectivaanua|,equiva|eunatasanomina|de|30% capitalizable semestralmente? 10. Una tasa de| 42o/o E,fectiva anua|, a que tasa de interés compuesto capitalizable mensualmente equivale? m¡remÁttces FINANcIERAS - coRPoRAclÓN uNlvERSlrARlA DEL cARlEE 52 INTERÉS coMPUESTO. - UNIDAO 2. 11. ¿Qué es más rentable para usted; invertir en un negocio que renta a una tasa Efectiva anual del 37.99o/o o depositar el dinero en un banco que le reconoce er 35.1Ook anual capitalizable trimestralmente? 12. Determine las tasas efectivas anuales de: . ¡ . . Una Una Una Una tasa de interés tasa de interés tasa de interés tasa de ¡nterés del 48o/o del 34o/o del 3oo/o del 38oA capilalizable aapital¡zable capitalizable capitalizable tr¡mestralmente mensualmente trimestralmente mensualmente '13. convierta una tasa de interés efect¡va anual del 5g% a una tasa de interés anual capitalizable trimestralmente y a una tasa de interés anual capitalizabte bimestralmente. MAIEMATICAS FINANCIERAS - coRpoRActóN uNtvERsrraRA DEL cARTBE 5J Anualidades. Unidad 3 MATEMÁflcAs FINANcIERAS - coRPo'lAa ÓN uñ vLRSiTARTA oÉ- cARrLlt ANUALIOADES. - UNIDAD 3. Normalmente las personas vincuradas a ra actividad f¡nanciera reciben pagan o cantidades iguales de dinero a intervalos iguales de irempo, a una tasa de interés compuesto y ocasionarmente a interés continuo. Tares pagos o recibos fijos oe cap¡tal interés compuesto o cont¡nuo ros denomrnamos ANUALTDADES en el .a mercado financiero. por ejemplo el pago de las cuotas oe una vivienda o apanamento cada mes, el. pago mensual de cuotas de un crédito a una entidad financiera, etc. son ejempros de anuaridades. Er hecho de [amarse anuaridaoes no significa que ros pagos o rec¡bos fijos se rearicen anuarmente. Las anuaridaoes pueden ocurrir cada quince días, cad-a mes, cada trimestre, ."r"iti", .*"f","_ Lo importante es que rogvarores sean fijos a intervaros iguares de tiempo v á un" tasa de .interés compuesto. Lo anterior nos permite resumir el concepto oe anual¡dad así: una anuaridad es un varor fijo de dinero que se paga o se recrbe a intervaros rguales de tiempo a una tasa de interés J continuo. "ornpr".io Las anualidades de mayor apricación y uso son: anuaridad ordinaria vencida, anualidad ordinaria anticipada, anuaridad diferida vencida y diferidas anticipaJás OBJETIVOS ESPEGíFICOS Al terminar Oe estuOlar la presente unidad usted debe estar en capacidad de: Definir el concepto de anualidad. Calcular el Valor de una anualidad ordinaria vencida y antrc¡pada. Resolver problemas diferidas. y situaciones equivalentes MAfEMATICAS FINANCIERAS - coRpoRAcróN uNtvERsrrARrA DEL cARtBE a Anualidades 55 ANUALIDAD€S. . UI{IDAD 3. uNlCIAD 3. Para el desarrollo ex¡toso de esta unidad se recomienda lo siguiente: ACTIVIDADES. r' / / / Lea detenidamente la Unidad N' 3. Resuelva los ejercicios que aparecen en la "evaluación"' Desanolld los elereicios que aparecen como Autoevaluación' Realice un resu{nen de toda la unidad 3 el cual sefá debatido Reunidos en los cipas, discutan el resumen de la unidad 3 y socialicen los ejercicios corresoondientesa|aAutoeva|uaeión;Formulen,ana|icenyresue|van todos los ejercicios. / En los cipas, realicen los Ejercicios Prácticos que aparecen al final de la Unidad 3. / Todos los ejercicios realizados individualmente y en los cipas, se deben socializa¡.en la sesión presencial en el aula' MATÉfilÁn€As Fll¡ANclERAs ' coRPoRAc¡ÓN uNlvERslrARlA DEL cARlEE co ANUALIDAOES. . IJN¡DAD 3. EVALUActóru rrulcnt ¿ Qué entiendes por Anualidad?. ¿ Qué es una Anualidad ordinaria vencida y anticipada?. ¿ Que es anualidad diferida vencida? MATEMATiCAS FINANcIERAS . coRPoRACIÓN UNIVERSITARIA DEL CARIaF UNIDAD 3. 3. ANUALIDADES 3.1 ANUALIDADES ORDINARIAS VENCIDAS. Gráficamente podemos ilustrarlas asi: Vencida' 3.1.1 Valor Futuro de una Anualidad .*4. '_ j: ei;3s' Ejemplo 3'1' fin de , ..- ^r:^^+^ ¡^ iñ frañ.n debe dphé pagar oaoar cada fin de ,un^banco Consideremos por e1emplo, que un cliente que cobra el + r"."r. Si.la tasa de interés mes una cuota fija ¿e SSOO.bó'ó'dLii"ntu gy" anual' ¿Cuál será el valor total de las cuotas al banco a sus cl¡entes u, o" ¿ó finalizar el cuarto mes? Gráficamente podemos ilustrarlas asi: . T,NITEUÁTICAS FINANCIERAS CORPORACIÓN UNIVERSITARIA DEL CARIBE 58 ANUALIDADES, . UNIDAD 3. $300 $300 Llevemos cada cuota al mes cuarto calculando valor Futuro así: Para los $300.000 det primer mes: VF= Vp(1+ip)N .,3, VF = 300.000(1+O.4}gn2)3 = 331.652,19 ( Et exponente 3.se debe a que entre el período 1 y el 4 hay 3 meses). Para los $300.000 del segundo mes: ,,F = 3oo.ooo(r . ry)' =320.746,6 Para los $300.000 del tercer mes: ¡/F = 3oo.oo0(r.#) = 3ro.2oo Entonces el valor de tas cuotas en el mes cuarto será: 0:4:08)' 0.4,0s)' vr =ns.s6{'t* o-.ltl' + too.ooofr +'--¡oo.oooll + ---'---(.' + + Jw'w, 300.009 ---('' 12 12 ) \ / t2 ) ' VF = 33t.652,19 +320.746,8 +310.200 + 300.000 $l'262.598,99 = como queremos encontrar una expresión matemática que me permita determinar dicho monto en el mes cuarto, entonces utilizaremos la siguienté fórmula: m¡rgmÁ¡tc¡S ¡¡NANCIERAS - coRpoRAcróN uNrvERstrARtA oEr cARtBE. CY ANUALIDADES.. UNIDAO 3. ,o - okt * ¡pl" -tf tp vencida' Siendo esta la fórmula para calcular el VF de una anualidad Paraconfrontar|aanteriorfórmu|acone|resu|tadoobtenidoene|ejemp|o3.1, el cuarto mes haciendo o"io.inuro" de nuevo el válor de las cuotas al finalizar uso de ella, veamos: olh*¡")" I¡F=' .,.." - ' -rl ln ;oo.ooo[(t +0.+og¡tz)' 0.408 / -tl l2 VF =$1'262.s98'9 son iguales' Con esto se concluYe que los resultados - -" ' "'' ':**" "+":-;"''"' ;'-"""'* 3.1.2 Cálculo de la Anualidad' de una anualidad vencida' ,VF Una vez conocida ru to'ñuüi"t" determinar 9l "a" oara ello utilizaremos los podemos a partir de ella áftpó"t- r" 'nualidad veracidad de on¡"tol=J[i"itÑui r"i rásultados y mostrar la mismos datos con "r los procesos. Ejemplo 3'2' ¡^^^óiiár ¡arra .le en.' tun en cliente debe depositar cada fin de mes que un valor el es ¿Cuánto tutut consecutivos para acumular $1'262 598'99; si la banco durante "rat,opor el banco es de 40 8% Anual? i;;¡" interés pagada Replanteando tenemos: a N = 4 meses VF = 1'262.598,99 = 40.8% anual =0408112=O034 I ip m¡teuÁttcls FINANcIERAs - coRPoRAcrÓN uNrvERslrARlA DEL cARIBE 60 ANUALIDAOES. . I,JNIOAD 3. Sabemos que: f/tr - oftt*;,;" -t] tn t'262.598,99 = t'262.598,9s(0.0:+) = a[r + o.O;+)' 42.928,37 = a(0. | 4309 45 52) - r] a = 42.928.37 10.143094552 r¿ = $300.000 El cliente deberá depositar cuatro cuotas de $30Q.00_0 durante 4 meses consecutivos vencidos a una tasa del 3.4o/o para poder acumular al final $1',262.598,99 ' 'f¡tlrlj,i3'* 3.1.3 Cálculo del Número de períodos. , ::,,. ..j,"i "-,,i:..-:.:.,._.,r^,*. *.^. .,Jl-:...,",g,,,|uu**- . ,,1'::,*;.,;,¡.,-r.* Ejemplo 3.3. Durante cuanto tiempo deberá un ahorrador depositar en una corporac¡ón $300.000 al final de cada mes para lograr un acumulado de $1'262.59g,gg: s¡ la tasa que reconoce la corporación es del 40,8% anual Replanteando tenemos: N =? 'VF=$1'262.598,99 a = $300.000 cada mes i = 40.8% anual NOTA: No olvidar que si utilizamos la tasa anual entonces N nos dará en años; si utilizamos la tasa mensual N nos dará en meses. Lo anterior porque en matemáticas financieras lp vs N deben estar en la misma unidad (ambae .en meses, en años€tc). MATEMATICAS FINANCIERAS - coRpoRAcróN uNrvFRSrrARta DEL cARiBr 61 ANUALIDAOES. . UNIDAO 3. ollr*¡-)'-rl uf='" t" ' 1n *in:o[l +irl' -ll l'262.s9S,9e(0.034) = 300.000k1.034)' : l'262.598.99(0.034) (r,, a¡¡r¡v = 'ur¿+, - 300J00 t.t . -11 . r 43094552 = (1.034)rv log(l'034) = Log(1'1430945512)'multíplicando"+logaritmo ar i tmo s il'Zog(l'034) = Lo g (1'l 4309 4 5 5 12)' pr op ie dad de "' N - - 'Log(l'Cf,\ ' "log = 0'0580821 54 0.0580821s4 ¿üg(l '034) N =3.e.2e ' Esdecirquee|ahorradordeberádepositar-e^n|acorporación$300.000durante acumule $1'262'598'99 vencidos p"t";;;;';; tasa iel ¿o'ay" anual 4 meses aF¡¡¡+..: 3.1.4 Gálculo de la Tasa. de Interés' 3.4. i"o EjemPlo , que pagó. una co¡9or13ro¡r.-{nanciera a un cliente interé! de ¿'<i"J cuatro períodos consecutivos y al depositó g30o.oo0 at nngr dEiada mes durante ñ"ái"ut"ü" una liquidación por $1'262'598,99? Solución: ip=? i'N=4meses -: a=$30000O -.^ ^^ VF = $1'262'598'99 -.\ Sabemos gue: :. MATEMÁT|cAs Flt¡¡t¡ctgnasi' cohPoRAcrÓN uNlvERsÍARrA DEL caRlBE' 62 A uAuDAoEs. . UNIOAO 3. ,, -"I(*¡,Y -ú lr_kt*¡,)'-t] a t, l'262.598,99 _ 300.000 4,2086633 ltr+;,1" -t] lp [n *i r" -r] - L\- '/'/in La tasa de interés que buscamos es aquella que nos permata que se cumpla la s¡guiente igualdad: l(t + ¡- 1" ln -rl = 4.2086633 Veamos: Si ip = 3o7o, = 4.t83627 Si iP = 3.50¿ [n*oorsro-rl L\- - ---l 'r = 4.21494297 0.035 Esto quiere decir que la tasa de interés que buscamos está entre 3 y 3.5%. Ahora debemos tantear con tasas del 3.2, 3.3 igualdad. y 3.4 para encontrar la Gon 3J% = 4.19612877 MATEMATICAS FINANCIERAS . coRpoRAc|óN uilrvERsrrARrA oEL CAR|8E. OJ ANUALIDADES.. UNIOAD 3. Con 3.3% = 4.20239194 Con 3.4o/o t Il + ..,,¡ - ,lli 0.0]1)' 0 034 = 4.2086611 o es lo más cercana posible; Como esta últ¡ma tasa cumple con la igualdad' es del 3.4% mensual. entonces la Tasa p"g.o."p*oiiu árpór.iion.financieradurante cuatro periodos final de. mes Significa que al depos¡tui b:oo ooo il es de esperar una liquidaciÓn por ta consecutivos a una tasa del 3 4% mensual' suma de $1'262.598'99 'i':" r'1"''"T -*-, ';*i¡¡'';¡¿;'.'r,.* ' ' -i"-"''¡l¡a''"* - ::,: .,,,'-j Vencida' 3.1.5 Valor presente de una Anualidad partiendo Á"üi¡0"¿ vencida en función del VF' n" tr"o"jJi" Hasta ahora de """ de ella para trabalarla en función "" ."ü;"J;;;;;;;;¿; obtenida fórmuta de ta VP, veamos: 1. Sabemos que: n._oltr*i)"-rl I, es igual a: 2. Y que VF de interés eompuesto VF =VP(\+ip)N 2 en la 1 Y nos queda: 3. Ahora reemPlazamos la fórmula I ,,P(l+ir)\ MATEMÁTlcAs FINANcIERAS - coR?oRAcroN rl(r+t.,)'-ll I, uNrvcRslrARrA DEL cARTBL 64 AirualroaoÉs. - uNloaD 3. 4. despejamos Valor presente así: 1., ..N _tJ tP) .l vP _aL\t+ ír(1+i,)" Siendo esta la fórmula para encontrar Vp de una anual¡dad vencida. Ejemplo 3.5. . un clie¡te de un banco paga cuotas mensuares vencidas de $63.677,37 a una tasa del 307o de interés compuesto capitarizabre durante 3 años. a ¿o" monto del créd¡to otorgado? "rá¡to "" Solución: a= $63.677,37 i = 307o anual o 2.5% mensual N= n*m = 3*12 = 36 pagos m= 12 (12 pagos al año) n= 3años YP- ? Como: , -af!+¡)'.tl in(l+in)* ' vP _ 63.677 37f0 + 0.025)t6 - tf 0.025(l +0.025)ró rP = $l'500.000 ? Si¡nifica que al obtener qn crédito por $1.SOO.OO0, este se pagará con 36 cuotas de $63.677,37 cada una al 2,5o/o de intérés. Es lo miánJ pág"i noy $1'500.000 que pagar 36 anuaridades de $63.677,37 mensr¡ts áüá un. (equivalencia financiera). MATEMÁICAS FINANctERAS - coRpoa¡clóir uNrvERsrrARrq oEL cARrBE. 65 ANUAUDAD€S. . IJNIDAO 3. 3.1.6 Cálculo del número de períodos. Sabemos que: -tl ,, -oll*¡,)' i,(l )" + i/" Entonces: r)N = okt * ir)n - t] VPt ip(I + i)N = a(l + ip)N - a vP * i t, * (l + vP * i r(l + i )N - a(l + í r)n = -a (1+ i)N (a -VP r i) = a;multiplicando..por(-l) i (l+,p)= N .Lo s a @_W-A (t + i,) * tlC+, o .f 'cl = @ . r)ri on iedad -. -toewu^' 1 -vP.'ül 'N='- Log(l+in) y: De esta manera reemplazamos en la fórmula anter¡or r .^ /a-.I t,Jt o'.ot . I '""1 t6l.6tt,tt - l'500.000(0.025) I I " log(1 + 0.025) 'N_0.386059106=15.999 0.010723865 N = 36meses 2'5o/o mensual se paga Siqnifica que una deuda de $1'500.000 a una Tasa del en 3é meses con anualidadesde $63 677,37 cada una' MAÍEÍ',ÁNCAS FTNANCIERAS . CORPORACIÓN UNIVERSITARTA OEL CARIBE' 66 A UALTDADES. . UI{IDAD 3. 3.1.7 Cálculo del Número de periodos. Ejemplo 3.6. Un computador vale $1 '50O.OOO de contado y lo entregan para pagarlo con 36 mensualidades vencidas iguates a una Tasa del 30olo anual de interés compuesto. ¿Cuál es el valor de la mensualidad? Replanteando tenemosi VP = $1'500.000 N = 36 meses i = 30% anual a =? Sabemos que: -tl ,, -oll+¡)' ip(l i)" + YP * i t ) = af1+rn)" - t] u=r!*¡'(tl¡'): 0+i (l+i,")"-ll Siendo la fórmula para calcular anualidad venc¡da conociendo Vp. l's00.000(0.025)(l .02s)'ó (1.025)ró -I 9r.220,07434 1.432535t6 a "=$63.677,37 Quiere decir que una deuda de $1.s00.000 a una Tasa del 30% anual capitalizable mensualmente se paga con 36 mensualidades de $63.677,37 caoa una. MATEMÁncAs FlNAltclERAs . coRpoRAcóN uNtvERsrrARiA oEL cARtBE 67 ANUALIDAOES. ' UNIOAD 3. 3.1.8 Cálculo de la Tasa de interés. Una empresa adquiere un crédito por la suma de $1'500 000 para pagarlo con 36 mensualidades de $63.677,37 cada una. Determine a que tasa de interés compuesto fue contrido el préstamo. Replanteando tenemos: Vp = $1'500.000 N = 36 meses a=$63677,37 Sabemos que: oftl *¡^)^ ..,t.p=ff tflt+tt,) -tl rl -tl -l,l-i')" a i,,(l+i,,)'' vP | ., 6167737= t#;;r I l'500.000 [l+1")" -ll [,,', l" -tl rrlt+tp) una que cumpla la Ahora determinemos tasas de interés hasta encontrar igualdad anterior, veamos: Si ip = 2Y" entonces: (1 +ir)\ -l_ ln (1 +in)' (t +0.02)rú -l o'02(l 02) =25,488842 Si ip = 37" entonces: (l o3)f -1 0.03(l .03)' MATEMÁTlcAs FINANcIERAS - coRPoRAoÓN =21.832252 uNlvÉRSrrARrA DEL cARIBE 68 ANUALIDADES.. UNIOAO 3. Quiere decir que la Tasa pedida debe de estar entre el 2 y el 3%; ¡ntentemos con: i '' ll = 2.3o/o 0? l)ró - I 0.023(1.023)- /t 014)'-I i^ = 2.4Vo = --rj--::--,-:'' = 23.9251673 j(l j.r ' 0.02 t,, = ¿.)"to = .02 (1.025)'6 O¡tf - I t¡rrr = rr.))o-) I u/ Observamos que el valor más aproximado al 23.55624926, es con una tasa de interés del 2.5Vo el cual nos arroja un resultado de 23.55625107; una muy buena aproximación. Esto quiere de cirque la tasa buscada es de 2.5o/o, eue es la Tasa que paga la empresa por el crédito adquirido. 3.2 ANUALIDADORDINARIAANTICIPADA. En la anualidad ordinaria anticipada los pagos o recibos se emp¡ezan a efectuar desde el momento de la transacción. 3.2.1 Valor Futuro para Anualidades Anticipadas. 'j-. . Ejemplo 3.7. Consigno $150.000 al inicio de cada mes en una corporación financiera que paga el 22,2o/o de interés compuesto capital¡zando mensualmente. ¿Cuánto acumularé en dicha corporación al final del quinto año? Replanteando tenemos: a = $150.000 i = 22.2ok ó ip = 1.357 n=5años r". m= 12 (12 consignaciones por año) N= n"m = 5-12 = 60 consignaciones VF= ? Utilizaremos la fórmula para calcu¡ar el VF de una anualidad anticipada que es: MATEMATICAS FINANCIERAS . coRPoMcIÓN UNIVERSITARIA DEL CARIBE 69 ANUALIOADES.. UNIDAD 3. l+tP) Entonces procederemos a reemplazar: I 50.000( I + 0.01 85) r.0l8s ----yr =-0.01 85 ., n, =s16'547.082.25 cle la Quiere decir que al final del quinto año acumularé $16',547.082,25. tanto fórmu|adeVFyVPparaanua|idadesanticipadassepuededespejar..a',,..N'',o'.i'' conociendo las otras variables 3.2.2 Gálculo del Valor Presente para Anualidades Anticipadas' Ejemplo 3.8. Unbancoconcecleuncréditoaunodesusc|ientesaunatasadeinterés a pr¡ncip¡o compuesto del 30% capitalizable trimestralmente, el cual es cancelado de cada trimestre de acr.rerdo al siguiente flujo de fondos: Flujo de Fondos Para el Cliente. a= 9601 29¿24 TICAS FINANCIERAS . CORPORACIÓN UNIVERSITARIA OÉL CARIEE 70 ANUALIDAOES. . UNIDAD 3. ¿Cuál es el valor del crédito otorgado? Para resolver esa ¡nquietud aplico la siguiente fórmula de Vp para anualidades anticipadas: vD- Entonces: vp _ 60t .2s2,24(t + 0.o7 rle + 0.07 s)t, - t7 0.075(1.075),, ,/P = $5000.000 ..,.. #;,"'.¡¡¡-''"i*;!s#|tq'.-"ry. ;i:k"ffi ::Ír;;.::;;Hñif,.*s- 3.2.3 Gálculo de la cuota periódica para Anuaiidades Anticipadas. Ejemplo 3.9. ¿cuánto debo depositar al principio de cada trimestre en una entidad financiera que reconoce una Tasa de lnterés compuesto del21o/o Anual para que dentro de S años pueda disponer de $20'000.000 para dar el 40% del valor de üna vivienda? Replanteando tenemos: . a=? = 21o/o VF = $ 20'000.000 tF 0.2114 = 0.0525 trimestral n=5años m= 4 depósitos al año N=n*m = 8.4 = 20 depósitos Solucióq: como está en función de varor futuro aplicamos la fórmura de vF anualidades Anticipadas para despejar a, veamos: para i MATEMÁfcAs FINANctERAS - cóRpoRAcóN u¡ltvERsrrARlA DEL cARtaE. 71 ARUAIIOAOES. . UNIDAD 3. Yll =- o= a(l+i")kl +i,)" -ll rp VF*i. ,-- .t-!^--,despejando,a (l + ¡r r[l + ¡/,, - tl 4=@20'000.000(0.0s25) . a = 5559.663.34 Significa|oanteriorquedebodepositar$559.663,34aprinc¡p¡ode.cada para la cuota inicial trime-stre para poder acumular los $2O.O0O.OO0 que necesito de la vivienda dentro de 5 años. 3.2.4 Cálculo de la Taba de Interés para anualidades Anticipadas' , -:.S,-.¡,rí¡- =;"á*:"'T--"'-*- *,3"¿*¡¡¡("q-t':¿"*'15*¡i$r Ejemplo 3.10. gi ffü¡o de fondos s¡gu¡ente muestra las consignaciones. hechas^Pol-yn" persona en un Banco. Al terminar el año hay disponibles en el Danco el banco' que reconoce bl'¿Ot.ZzS,O¿. queremos conocer la Tasa de lnterés Flujo de Fondos Para la Petsona Cons¡gnac¡ones a = $100.000 11 'lz Meses Con la siguiente información: ' - a = $100.000 VF = $1'461.779'04 n=1año N=nrm= 1"12=12 m = 12 caPitalizaciones al año ip= ? MATEMÁTlcAs FINANC¡ERAs - coRPoMclÓN uNlv€RsttARlA DEL cARlsE 72 ANUALIOAOES. - UNIOAD 3. Aplicamos la expresión : r/F - t., ¿(l + i.)[l +ir)'-lll ln | .. I VF {l+,¡)[l+rn)" -lJ a ln 1'461.779.04 1r+in¡ft1 +in)n 100.000 14'6177904' (l -r] i, + i/' )^ - I iP Quiere decir que debemos determinar un "ip" que cumpla la igualdad anter¡or. Para ello, med¡ante un proceso de tanteo buscamos dos tasas de interés que nos arrojen vafores lo más cercanos pos¡bles a 14,6177904 (un valor por encima de 14,6177904 y el otro por debajo). Si iP= 3.57o (l + 0.0i5)[(l + 0.0i5)': - tl= ls 6)6Ri7ÁR 0.035 Si iP= 3.2o7 - r ,, I (l +0.0i1)[1.19 032). _rl = 14.8137021 0.0i2 Con ip= 3.2o/o la tasa debe de ser menor. Si iP = 2.go7o (t + 0.028)kt + 0.02g)'' 0.028 - lj = t4.42474t12 Con ip= 2.8o/o la tasa debe ser mayor. Significaque la Tasa buscada debe estar entre 2.8% y 3.2o/o. interpolemos: MATEMÁTtCAS FINANCIERAS - CORPORACIÓN UNIVERSITARIA OEL CARtEE AXUALIOADES. . UNIDAD 3. --1 {, -0, 1 8 9 I I 5 9 o 0 9 1 1 z Si irn= Si ip = --------| I 2.970 ---------:> i. - 3.2Yo _ 2.8o/o - 3.2Vo 14,6177 904 - 1 4,8137 021 14'42474112 -14,8137021 i- -0,032 - 0.19591 l7 0.028-0.032 -0.38896098 ; -n n1? - 0.004 i^ -0.032 = -0.00201471828 i,, = 0.029985281 j" = 0.030 Es decir 3%. t$;*o"*ti' " :T.',*ati:-*t**.*"' *t#"c'$t"iÉÉg'F 3.2.5Cá|culode|NúmerodePeriodosparaAnus|idadesAnticipadas. *'&¡g'':F-ff --+ *F*"x¡¡:"f " !'l¡I#**ref'- EjemPlo 3.11. un monto de Se me aprueba un crédito para compra de vehículo pordel 360/o Anual de interés Sró;oooo.oob en un ban;o qué coura una Tasa principio de cada mes $439.129,10 óapitaiizaUte trimestralmente. Sí deseo paga! a cáncelar al bánóo? (se pide hacer el ejemplo con Tasa ldjñl* Á"tas deberé Efectivd. MATEMÁICAS FINANGIERAS ' coRPoRAclÓN uNlvERslrARrA DEL cARIBE 74 AI{UALIOAI}ES. . UNIDAD 3. Solución: Calculemos primero la Tasa Efectiva Anual. . (. ,\'' ¡4=lt+-[ -l \ ml , _1, , 0.36)" ¡(-l¡-r-l-r \-./ , ¡" = 0.411581609 Calculemos ahora la Tasa Efectiva Mensual. t = (l l +i.). -l I '¡' ;=(1 +0.411581609)--1 i =t.029142467 i = 0.02914 i =2.91% -l Calculemos ahora el número de períodos N en función de Vp. ,r_a(t+¡)f0+¡r), -tl in(\+in)n * )N = a(l+ ir¡ftt + i"¡t - tl YP * i o * (l + í r)N = a(l + i p)(1 + i p)N - a(l + i )distribuyendo. a(l + i o) VP*iF(\+í)n - a(l + ir)(l + ir)il = -a(l + in) (t + i)N Vp * i - a(t + i t r)]= - a(t + i ), Fac_t oriz ando..(l + i o)N VP (l ir,(1 + i +tr)" -a(l+i') -=Vr.r,-;;Gd Ahora aplicamos logaritmos. Log(t + in) MATEMÁTtcAs FINANC|ERAS - coRpoRAcóN uNtvERsrrARtA oel cARtaE. 75 ANUALIDADES.. UNIDAD 3. Siendo esta la formula para determ¡nar el número de Periodos para anualidades anticipadas. Ahora sustituimos los valores en la fórmula anterlor, asÍ: - | ' ""ul , -$9.t2e,1(L+0.0291) | [lo'ooo.ooo(0.0291) - 43q.t2e,l(l + 0.0291)ll log(l + 0.0291) [-+sr.soz.zol '"gL - - rooeoTJo -l 0.012457578 0.448472809 0.012457 578 N = 36meses Significa que debo cancelar 36 cuotas al banco' 3.3 ANUALIDADES DIFERIDAS. compuesto Son pagos iguales en períodos iguales de t¡empo a interés gracia' en una anualidad posterioieJ a un periodo de gracia E-ste periodo ,de el créd¡to. Los pagos se biferioa, es el tiempo durantJ el cual no se amortiza inicie la vida p".t"ró"" y empiezan a efectuarse a partir del momento en que se úti|de|proyectoqueserrnanciócone|créditoobtenido.Estasmoda|idadesde proye-ctos cuyas inversiones emplezan a crédito se util¡zan a menuoo para realizar para o larso plazo' Por eiemplo' en los créditos ;;;;;;;"¿;;;os a med¡anó palm¡to o africana' proyectos agropecuatros (cultivos- de caucho, palma por el tiempo en que gracia lfrontrdrro, lanado etc ) se conceden periodos de o beneficios' tales inversiones empiezan a generar ingresos 3.3.1 Anualidades Diferidas Vencidas' Utilizando procesos obtenemos: ",tit"t"t a los empleados en anualidades venc¡das ,,11t*i,,.¡'-tl l'F=' 1,, tl n[l+ t,,)' - ll ---a---r¡.,(t+i/,)^" I f = ----- MATEMÁflcAS FINANcIERAs DEL cARTBE " coRPoRAcrÓN uNtvERSrrARrA 76 ANUALIOAOES.. UNIDAD 3. Donde "N" es el número de pagos, "K" el número de períodos que la anualidad está diferida, "VF" es el futuro o acumulado de la anualidad diferida, "VP" es el valor actual e "ip" la tasa de interés compuesto_ 3.3.2 Anualidades Diferidas Anticipadas. De forma igual las anuaridades anticipadas diferidas definen er VF v Vp así: ,, _a(t+¡)L(t+¡)'-tl t, vp - u(l+i :..,.: Ejemplo 3.12. un pequeño comerciante desea recibir dentro de 3 años a principio de cada mes una anualidad constante para mejorar su negocio durante los 10 años siguientes. Para ello consigna $7000.000 en un banio que paga er 22,2o/o dJ interés compuesto capitalizable cada mes, ¿de cuánto es el valór de la mensualidad que emp¡eza a recibir dentro de 3 años? Solución: - VP=$7'000.000 i= 22.2o/o, que mensualmente será 0,222112 =0.0.185 m = 12 veces al año n = 10 años K=3años o 36 meses a=? N = n*m = 10"12 =120 mensualidades Como tenemos VP entonces utilizamos la fórmula de Valor presente: MATEMATICAS FINANCIERAS - coRpoRAcróN uNrvERStrARrA DEL cARTBE 77 ANUALIOADES, . UNIOAD 3. VP a(t+¡r)kl+¡r)" ir(l+ ir)K*N =- YP + i t -tl 0 + i r\K" = a(1+ ;n)ftt +,r)n -l] VPti,(l+i^)x.h (l+ir)(l+;n)" -lj Ahora reemplázo los valores en la fórmula de anualidad así: 7'ooo.ooo(o.ol 85)ró*r2o ".'=_----.-_.-._--| (1+ 0.0185)(l + 0.018s)''" - ll a =$276.645,4 Autoevaluación. ---i. neatice z. el ejercicio 3.12 haciendo uso _solamente de anualidades 36') anticipaaas (Súgerencia: lteve $7'000'000 a VF del mes se recibe al que la anualidad neáfiie er e¡em-pto 3.12 teniendo en cuenta final de cada mes. m¡tgmÁttc¡s ptNANclERAs ' coRPoRAclÓN uNlvERslrARlA oEL cARlaE 78 ANUALIDADES. . UNIDAD 3. VP= r a(l +,,)kl + i,)'v inQ + in)" - I Cuota periódica para anualidades.anticipadas. " = Affi7:¡'desPeiando'a ..' . Gálculo del número de períodos para anualidades anticipadas. - a(l + i,) Vp.-E;"e+r;l Log(l+ i o) . Cálculo de VF y VP para Anualidades Diferidas Vencidas. ,, - ,, aL( + ¡,)' -t) ln -ll -oIQ*¡,)' -" (l in + i, )^ MATEMÁT|cAS FINANGIERAS - coRpoMctoN uNrv€RstrARrA oEL cARtBE. 80 ANUALIOAOES. - UNIDAD 3. . VF de una anualidad vencida. VF= VP de una anual¡dad venc¡da. .¡. ,r=-i4jJ . Anualidad venc¡da conoc¡endo VP' VP*i,(l+i,,)N a=lr+tl'.{f VF de una anualidad anticiPada' vF . -- VP para anualidades anticipadas' . ITETCN¡TÁNC¡S FINANCIERAS CORPORACóN UNIVERSITARIA O€L CARIBE' ANUALIDADES. . TJNIDAO 3. . VF y VP de Anualidades Diferidas Anticipadas. Yr = ,.,o a1l + i,,;lil - +¡,,)n i, _ o(1+ | ¡r )[ ' I + t/, ) " - ---; tt\t,' -f,-'t1 '^-r | MATEMATICAS F¡NANCIERAS - coRPoRAcIÓN -ll' .. ' -l]l UNIVERSITARIA DEL cARIBÉ 81 ANUALIDAOES. . UNIDAD 3. Una anualidad es un valor fijo de dinero que se paga o se recibe a intervalos iguales de tiempo a una tasa de interés compuesto o continuo' Las anualidades de mayor aplicac¡ón y uso son: anualidad ordinaria vencida' anualidad ordinaria anticipáda, anualidad diferida vencida y diferidas anticipadas y VF y Para las anualidades ordinarias vencidas se part¡ó de las fórmulas de VP períodos, el cálculo desde allí se despejafonJlara obtener el cálculo del número de áe la anualidaO,'y'et Oel la tasa de interés. Para la tasa de interés se enseñó a por tanieó y más adelante por el método de interpolación. Esto m¡smo se "ár"ufui hizo para las anualidades ordinarias ant¡c¡padas. presentaron Para las anualidades diferidas vencidas y diferidas anticipadas se de las fórmulas de VP y VF únicamente; ya que para el cálculo de números ordinarias. p"i¡oOo" y tasas de inierés se procede como en las anualidades ¡t¡leuÁttc¡s FINANcIERAS - coRPoRAc¡ÓN uNlvÉRslraRh oeL CARIBE 82 ANUALIOADES, - UNIDAD 3. AUTOEVALUA( .. ' .: 1. Buena Vida es un buen ahorrador, recibe de su padre $Bb0.0OO trimestrales. Desea realizar una excursión por las principales ciudades de las costas Colombianas cuando termine sus estudios universitarios. para elfo consigna al final de cada trimestre el 20o/o de lo que le da su padre en una corporacron que paga el 19.20o/o de interés compuesto. ¿Cuánto logrará acumular buena vida al cabo de los 5 años? Rta $5'503.g49,i4 ) Compro un apartamento para pagarlo durante qu¡nce años con mensualidades vencidas de $50.000, a interés compuesto del 21%. capitalizando mensualmente. ¿Porqué suma se contrajo la deuda? Rta 4. 6 7 $2'731 .326,61 Un apartamento tiene un costo de $20'000.000 V lo enrreqan con una cuora inicial del 25% y mensualidades vencidas por-un perioáo de 1 0 años al 19,2% efectivo de ¡nterés compuesto. Determine el costo de la anualidad. Rta / $267.314,5651 ¿A que tasa de interés compuesto (Nominal) se paga una deuda de 15'000.000 a 10 años y pagos al final de cada mes por valor de $267.063,67? Rta: ip = 0 0176924145. ¿Cuántas mensualidades vencidas de $28g.063,67 cada una se deberá pagar por una deuda de $B'000.000 si la Tasa de Interés Nominal compuesto es del orden del 360/o? Rta. 60 mensualidades Un crédito de X cantidad de dinero se paga a una corporación financiera que cobra el 36%-de interés nominal compuesto, con cuotas mensuales de $289.063,67 cada una durante 5 años. ¿Cuál es el valor de la deuda? Rta $8',000 000 ¿Qué es anualidad? MATEMATICAS FINANCIERAS . CORPORACIÓN UNIVERS TARTA DEL CARIEE 83 Gradientes. Un¡dad 4 tl¡reltÁrtc¡s FIN,ANCIERAS - coRPoRAcroN uN¡'/E¡srlAR A DEL cAR BF 83 GRADIENTES. . UNIDAD 4. Normalmente las personas vinculadas a la actividad financiera reciben o pagan cantidades iguales de d¡nero a intervalos iguales de t¡empo, pero también muy a menudo encontramos Flujos de Dinero cuyas entradas y salidas varían en un monto igual respecto del último pago o cuota. Esto nos da a entender que cuando un Flujo de Fondos se incrementa o d¡sminuye respecto a su última cuota en una forma constante lo podemos denominar gradiente lineal. En la presente unidad estudiaremos el gradiente lineal creciente, el Gradiente lineal decreciente y el gradiente exponencial. ¿Al terminar de estudiar la presente unidad usted debe estar en capacidad de: Calcular el Valor Presente, Valor Futuro y pagos periódicos en series uniformes para gradientes lineales crecientes. Calcular Valor Presente, Valor Futuro y pagos periódicos en sefies uniformes para gradientes lineales decrecientes. Calcular Valor' Presente, Valor Futuro y pagos periódicos en senes uniformes para gradientes exponenciales. MATEMÁTtcAs FlñANclERAs - coRpoRAóróN uNrvERsrrARrA.oELCAR|8E. 84 GRADIENTES.. UNIDAD 4. DINAMICA PARA CONSTRUR UNIDAD 4. Para el desarrollo exitoso de esta unidad se recomienda lo siguiente: ACTIVIDADES. / / / / Lea detenidamente la Unidad N" 4. Resuelva los ejercicios que aparecen en la "evaluación". Desarrolle los ejercicios que aparecen como Autoevaluación. Realice un resumen de toda la unidad 4 el cual será debatido Reunidos en los Cipas, discutan el resumen de la Unidad 4 y socialicen los ejercicios correspondientes a la Autoevaluación; Formulen, analicen y resuelvan todos los e.jercicios. / En los Cipas, realicen los Ejercicios Prácticos que aparecen al final de la Unidad 4. / Todos los ejercicios realizados individualmente y en los Cipas, se deben socializar en la sesión presencial en el aula. MATEMÁTtcAS FINANcIERAS - coRpoRAcróN uNrvERsrrARlA DEL cARrsE 85 GRAOIENTES. - UNIDAD 4. EVALUACIÓN INICIAL ¿ Qué entiendes por Gradiente?. ¿ Qué Tipos de Gradientes conoces?. ¿ Qué es un Gradiente lineal Creciente? MATEMATICAS FINANCIERAS - coRpoRAcróN uNtvERStrARrA oEL cARTBE 86 UNIDAD 4. 4 4. LOS GRADIENTES Con frecuencia en el estudio de las matemáticas financieras y también en Flujos de Fondos situaciones de la vida real (mercados financieros) encontramos respecto al pago cuyos Ingresos o egresos varían en una cantidad constante con gráficamente: tnÁeoiaámente anterior. Tal situación la podemos ilustrar Flu¡o de Fondos con variac¡ón decreciente' Grallco 4 1 Fttrio de Fondos con Variación Crec¡ente' S'1 .600 lngresos Gtáfico 4.2 ttnlEuÁrlcas FINANcIERAS " coRPoRAcroN uNlvERslrARrA DEL cARTBE 87 GRADIENTES.. TJNIOAD 4. En el primer gráfico vemos que disminuye en $20 para cada período, mientras que en et segundo gráfico aumenta en $200. lo anterior nos quiere decir que la variación consiste en un aumento o disminución de cada varor respecto ar anterior en una cant¡dad constante. GRADIENTE: . Es un Flujo de Fondos donde los valores de cada período aumentan o disminuyen en una cantidad constante tratándose por lo tanto de un gradiente lineal. 4.1 GRADIENTE LINEAL CRECIENTE. Recopilando los elementos anteriores entonces podemos decir, que cuando un Flujo de Fondos aumenta en un valor constante respecto a la cuota anterior, ,o muestra el gráfico 4.2, lo P-11T,ry. tener pagos que recibe un banco) oenomtnaremos gradien{¡l lineal creciente. "oro 4.1.1 Como determinar el Valor presente equivalente a un Gradiente Líneal Creciente. Tomemos er siguiente frujo de fondos para construir ra fórmura o expresión que nos determine er Varor presente (Vp) que a un ard¡ente r¡near crectente. ", "q,u"'.n," Flujo de Fondos con Variación Creciente. $1400 Gráfico 4.3 Este Flujo de Fondos lo podemos descomponer en dos Flujos: uno en una sefle de a = $100 cada uno y er otro en una serie de ingresos variables para cada periodo a partir del mes 2, úeamos. , ingresos de iguares MATEMÁT¡cAs FINANcIERAS - coRpoRAcroN uNrvERsrrARrA DEL cARTBE 88 GRADIEI{TES. . UI{IDAO 4. Flujo de fondos con ingresos ¡guales (anual¡dades). Greflf,o 4.4 Pfuios de Fondos con ingresos var¡abl6 f.rrad¡ente lineal cfec¡ente) - propósito'.do¡de el gradiente es G Este Flujo es el que nos interesa para nuestro flujo de fondos en función de G será: = üóó ;'p;rtir' def mes 2. este merer|iiirc¡s FlNAllclERAs ' coRPoRActÓN uNtvERsrrARlA oEL cARIBE' 89 GRADIENfES. . UNIDAO ¡I. G.áfico 4 6 Los Valores Presentes de G,2G y (N-1)G serán: VP = VPt + VP., +.....+ Vp,_, t'-tr ,r=cl--! .* 2 * (l+ir)'_l il+in), 'l L(l+l¡). Donde B= I 2 -LGil-¡;il. f r¡/-l)-l .ü.r¡1 ""-l Entonces VP= G*B '=[c}. #¡.G].ch. .##] ecuación 4 Multiplicando por (1+ie) ambos miembros de ra iguardad tenemos: B(t+ i)=fdt"*=t.G; * 1, *|* * ffi],,**,.,, Restando de la Ecuación 5 la ecuación 4 tenemos: u_,.,r,=#D:1., c,l].f*},#r].f#¡ .;r]. l++1.[.-+É#i] # MATEMATICAS FINANCTERAS - coRpoRAcróN uNrvERsrrARrA DEL cARTBE 90 GRAOIENÍES. - UNIDAD 4. Observación. El penúltimo término de la ecuación 4 es ecuación 5es: 5 . - (l + /r J, , entonces: N-2 (1 + in y el quinto término de )'"-' -'i¡'- lllll B(l+i"S-B= ::-r^ ' (r + r/,) i---+ -:- +' (l + i")' (l + i,,)' (l+ r,,)' 1t * t, ): -----'= -i Como: B(1+i)-B = B + B. iP - la l (r;"l"-r (N-l) (' . ,¡" B = B. iP Entonces: R*i *...... - (l +Iin)* --l----(1 +i/,)' B*i, I =(l + in)+-L;+. (l + i/,)' . i¡)" (1 + Nr --+-+ in)! il (l + ln)" DistribuYendo el último término' Ya ordenando los términos, pr¡mero los pos¡tivos tenemos: r_,,,=f¡*G, . y .*,h luego los 1l + l,, negauvos, )' En la exPresión anter¡or: I * f-- +.. ... + --] (l+i/')' (lr¡,,) -ti+¡,,)r No es oira cosa que períodos, Por tanto: B l¡¡tE¡¡Árlces -ip el = Valor Presente (VP) de una anualidad a = 1 en {valorpresentedea FtNANcIERAS ' coRPoRAclÓN uNrvERsrrARlA DEL = 1} cARrBt -t't N l1t+ip¡* 91 GRADIEI{TES. . UNIDAD ¡I. Aislando B tenemos: N ¡=1[(t*;n)"-l_ irlir(1+i)N (l+¡,)ilJI Como habíamos planteado anteriormente que: Vp = G-8, entonce", * NI _ ir)* (l tr)tr ¡,)* =91,r* i,,l ir(l+ -t + l siendo ésta ra expresión que nos perm¡te carcurar er Vp en er punto de origen de un Flujo de Fondos para graáiente Ae primer grado (l¡neal), que crece a 11. partir del período 2 en una cantidal d;ü"t" fé;;ra N períodos, a una tasa cre interés ip. Ejemplo 4.1. consideremos er Fruio de Fondos de nuestro ejempro iniciar para determinar el Valor Presente $1000 MATEMÁTtcAS F|NANCIERAs - coRpoRActóN uNrv€RstrARtA DEL cAR,BE. GRAOIENÍES. . UiIIDAD 4. Solución: Descomponiendo el Flulo anterior en 2 partes tenemos: 1 . Una serie uniforme con a = $1000 Anualidades Meses Gráfióo 4.8 ' Un gradiente lineal creciente con G = $100 crálico ¡t.9 2' por tanto el Valor Presente Observamos que el gradiente emp¡eza en el mes (VP) en el Punto cero (o) será: MATEMÁT|cAS FINANcIERAS - coRPoRAcrÓN uNlvERslfARlA oEL CARIBE 93 GRADIEÍTES. . UNIDAD 4. yp = (Valor Presente de a = $1000) + (Valor presente de l,, { rp_aLt+i)N l¡ _tl,cl(t+i,)'_t_ ¡r ir(l+i,)n vp ipLi,,(t+i)N G) . I (l+to)trJ _1000[e.02)'-i_ t00l(1.02)i_l _ s I 0.02(1.02)' 0.02L0.02(t,02), (r.oz), I vp = 4.7 t3,36 +5.000h,7 I 36.. _ 4,5291= VP = 5.637.45 una forma de confrontar er proceso anter¡or período y luego sumar en el punto cero, así: yP es carcurando er Vp para cada 1000 _+ 1100 1400 + 1200 - 1300+(t+0o2t' = (t+0.02)r (t+0¡¿f-GoJrF*(l+0J2). VP = 980,39 +1057,29 +1130,79 +120t +126t.02 VP =85.637.45 El cual es el mismo varor carcurado mediante gradiente rinear creciente. - .álq"¿ry; '":-*{-i*'.*" ;;: .-iÉ,"**x'- -i:r-:ffi*,g¡üffi Ejemplo 4.2. Determine el Valor Prpsente para er siguiente Gradiente sabiendo que ra Tasa . de lnterés es del 48olo anual. Gradientes MATEMAT¡CAS F¡NANCIERAS - coRpoRAcróN uNtvERsrrARtA DEL cARtBE 94 GRADI€XTES. . UNIDAD 4. Gráfco 4.10 Tenemos la siguiente información: ¡ G= $'1 .000 N=4años i = 48% anual YP=? Como: -=;[fr4i . ] Entonces: -=+ 1000[ ' /P = Ír t19J"=l | 0.48 [0.+t1t .+s¡' 0.48)l vP = 2.oS333F,64e VP - 0'8341 = =1698 Este valor se puede probar con VP =VF/(1+¡)N ElVa|orPresenteVPl$1.698ye|gradiente|inea|crecientede|gráfico4.10son gráficamente así: uná equivalencia financiéra que repre-entamos Vp= 91 .698 Diciéndolo en otros términos: m¡tguÁncls FINA¡¡ctERAs ' coRPoRAcrÓÑ uNlvERstrARlA oEL cARIBE' 95 GRADIENTES, . UNIOAO 4. un gradiente lineal creciente de G= $1.000 a cuatro años con una tasa del 4g% anual es equivalente a un Valor presente de $1.6gg. También podemos decir que es indiferente tener un grad¡ente rinear creciente de - = $1.000 coni 4!o/o G y N = 4 años que un Vp = $ 1 69g = 4'1.2 como determ¡nar er varor Futuro equivarente a un Gradiente Lineal creciente. utilicemos er mismo oradiente der ejempro que nos sirvió para construir ra de Vp, con er própósito de hacer pert¡nentes más aderante. fórmul1 La equivalencia gráfica será la siguiente: "on"¡rlLn", $'1.300 Periodos El.siguiente es er proceso para determinar er varor futuro de un Gradiente Linear creciente: 1. Ya demostramos que para un Gradiente Lineal Creciente: ¡" vr=91(l'ir)\-lit,L i1,(l I ir)u 2. Por interés compÁsto -l 1t+i,,)^,1 Vf = Vp(1+ip)' Vp=VF/(i+ip¡N 3. Sustituyamos 2 en 1 así. I/F _c [{t n i,)^ - (l + 4. -_ -1- = t/,)," -|i" L i,(t + i,,)n t Nl o;ti'j Despejando Valor Futuro tenemos: unrgmÁT|ces FINANcIERAs - coRponncroN uNrvERs¡TARTA DEL cAR¡aE 96 cRAOr€r{TES. - vp=(,+i)N.i[frgi 5. "h] Factorizando Denominador: vF 6. ut{lDAo 4- *,' *9 =(1+¡,)" ' P' i,, 1' .o (1 +i,")^ itr*¡'1" ¡/, L -r - "lI Simplificando términos semejantes tenemos: .¿ ,,r=q[o.t;]'-'-N] de un gradiente lineat Siendo esta la expresión para calcular VF equivalente creciente. eiempto propuesto atrás' Apliquemos ahora esta ecuación para resolver nuestro donde: N = 4 meses 6 = 9100 ip = o.o2 YF= ? El gráfico conQspondiente será: I,NATEMÁTICAS FINANCIERAS' CORPORACIÓN UNIVERSITARIA OEL CARIAE' 97 GRADIENfES, . UNIDAD 4. Que descompuesto en dos Fluios será: VF 2 t $3f 0 $2po $100 | Ttl tll Insresos | ffi meses I | | I El Valor Futuro equivalente para los dos Flujos será VF= VF1+\7¡, t_ ,, =oLtl vF _t * ./ i,)'__ll* 9 | ,, ooo[Q e?), (l *¡"1' - I _ inL i, | "'1j _i*#[*#__] VF = 4.121,61+ 608,04 vF = 4729,6s Podemos encontrar er resurta.do anterior resorviendo er probrema mediante el de la fórmula de VF = (Vp+ip¡n para cada ingreso así: VF-VF ¡ +VFz+VF¡+VF¿ VFr=-1 696,1*0.02)3 = r.061 ,2i porque hay 3 períodos desde er mes mes 4. VF2= 1.199,'t*0.02)2 = 1.144,44 VF3= 1.269,'t*0.02)1 = 1.224 VF = 1.300 Porque este valor ya está en el punto 4. I hasta el Entonces VF = 1.061 + 1.144,44 + 1.224 + 1.300 MATEMATICAS FINANCTERAS - coRpoRAcróN uNtvERsrTARrA DEL cARTBE 98 GRAOIE¡IfES. . UNIOAD 4. VF = $ 4.729,65 que es el resultado obtenido anteriormente. Significa que $4.729,65 es el Valor Futuro equivalente al gradiente lineal G = $100 pa;a cuatro períodos y una Tasa de Interés del 2% mensual. En otras palabras, una serie de ingresos de $1.000, $1.100, $1.200' y $1.300 a uno, dos, tres y cuatro meses respectivamente a una Tasa del 2o/o mensual la podemos reemplazar por un ingreso total único al f¡nal del mes cuatro ($4729'65)' como determinar una Anualidad "a" equivalente a un gradiente lineal creciente En el capitulo sobre anualidades obtuvimos que para anualidades vencidas: EcuaciÓn (.1 ) ¿t = Como Valor Futuro de un gradiente es: no=g[,'.,;]'-'-^l Sustituvendo VF en (.1 ) tenemos: (1 +if)'' -1 I+ Cancelando ¡P i/)Ñ - I nos queda: o.[,'.1t: (l m¡tEruÁttcas FINANcIERAS l--] +in)"-I - coRPoRAcrÓN uNlvERsrrARrA DEL cARTBE 99 GRAOGI{ÍES. . UNIDAD 4. Dividamos ahora cada término entre (1+ip)N-1 y de este modo obtenemos ra convertir un gradiente r¡near'creáente (una ser¡e de pagos iguales ,,a"). "nu"r¡áJ"qri"áiát" j9T{:1"r," "n,,* (l+i/")"-l ,ry,iffixffi.*i,¡jil:ffibr¡ffi ..6 Ejemplo 4.3. El s¡gu¡ente Frujo de Fondos representa los gastos mensuares de una empresa cuyas inversiones rentan a una tasa de interés tel 4g% anual. s2000 Que lo debemos convertir a una serie uniforme de la forma: 1. Una serie uniforme con a = $1000 1 2 3- 4 5 Anualidades Meses MAÍEMÁT|cAs FtNANcIERAS - coRpoRAcróN uNtv€RsrrAR¡A oEL cARrBE. 100 GRAOIEI{TES. . UNIDAD 4. a=? Donde: N=5años G = $500 lp = 48olo anual a=? La anualidad será: N I ' Lio (l+t/)" -ll ^.=G*l[r | q-v - ¿r [r qnn! ^" -'""[0.+a r I r rt/ 5 (1 + 0.48)5 - I a = 500(1,263771534) a = 63t,86 por 5 anualidades de $631'86 Sionifica que el gradiente se puede reemplazar . ::::¡E¡r.cadiuna desde el año t hasta el 5 -- ' "a* drr'é El Gradiente Decreciente' EiemPlo 4.4. que la tiasa de ¡nterés es Uiafi"ief VP equ¡valente del gradiente dado sab¡endo del 4.5% mensual. a Meses Flujo de Fondos: Que se puede convertir en el siguiente uetg¡¡Áttc¡s cARraE' FINANCIERAs - coRPoRAcrÓN uNlvÉRstrARlA o€L 101 GRAOIENTES. - UNIOAD 4. una ser¡e uniforme con a = $10.000 Anualidades Meses Donde variamos el flujo así: - En el período 2 aumentó En el período 3 aumentó En el período 4 aumentó En el período S aumentó en $2.000 en $4.000 en $6.000 en $B.0OO como estos varores ros aumentamos, entonces debemos restar a ra se.e uniforme el siguiente gradiente lineal creciente: Entonces: VP= VP de los pagos "a" ,,o _,,kt- i,, i,.(t + - Vp del gradiente lineal crecrenre )' - r] c f rr - i,, )' - l i,,)'' MATEMATICAS FINANCIERAS - coRPoMcIÓN i,, L i/(l + i/,)^ UNIVERSITARIA DEL cARIBE ¡¿ I 1t + i,,)'J 102 GRADIENTES.. UNIDAD 4. Donde: 10.000 N= 5 meses in= 45% 'I Q= 2000 Entonces: r ' -rl- z.ooo[ (1.045)' -l =r0.000kr.0+s)' o¡¡s¡l4st- o¡45 10¡4r ¡4s t' l sl ,t (l.045)' l yP = 43.899.77 -16.787.64 VP =27.112.27 . . ,.-^ -- - -$-- :" "':"¡'; -.--"' 4.2.1 como calcular-.el Valor Futuro equivalente -#' .':i'"t!* ¡'*: '"'€- a un Gradiente lineal Decreciente. '':.:.,-... ....- '- '. - ' ""''q1.--.-., .,.*it ¡':,,.ei;i""*" '.';;."t".¿*i:'-* Ejemplo 4.5. Las ganancias en una lechería disminuyen en $10.000 mensuales Si hubo ganancias el primer mes por $650.000, ¿cuál será el valor acumulado de ellas al final del año si los dineros rentan en una corporación Financiera al 33 6% anual? 650.000 610 000 600 000 590.000 580 000 550 000 Ganancias Este Flujo lo descomPonemos en: a) Una serie unlforme con a = $650.000 tt¡tr¡*Ártces FINANcIERAS - coRPoRAcrÓN uNrvERsrrARrA DEL cARTBE 03 GRADIENfES. . I,JNIOAD 4. a = $650.000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 I 10 b) Un Gradiente Lineal creciente con G $1O.O0O = Ganan 1234 7 8 910.11 12 En los Flujos Anteriores: á =t ?3333 N = 12 meses p= 0.336/12 = 0.028 Entonces el acumulado d-e las ganancias en el mes 12 será: y¡ = (VF de la serie uniforme) _ (VF del gradiente tineal crec¡ente) ,r-ofu+!,t'-ú;f*+. VF= 650.0001(t .018)rr 0.028 { *l .^l - lo.00of(1,028),r 0or8 oJrs -r1 L ,' F = 9' 120.7 02,0ó8 _ 35 7. I 42,86[r +,0: r as _ t z] vF -- 9',1 20.7 02,068 _ 7 25.660.48 vF =8,395.041,58 MATEMATICAS FINANCIERAS . coRpoRAc¡óN uN¡vERs¡rAR¡A oEL cARrsE 104 GRAOIENTES, , UNIOAD 4. Sl usted lo desea, lleve la ganancia a VF en el mes 12 para el Flujo orig¡nal del problema anterior y compruebe que el acumulado de estos valores es igual al resultado anterior. 4.2.2 Cómo calcular la Anualidad "a" equivalente a un Gradiente Lineal Decreciente. Ejemplo 4.6. una foiocopiadora trabalando a su máxima capacidad instalada, ¡n¡cia el pr¡mer mes con una producción de 100.000. Se esiima que en los tres primeros años de vida útil tiene una disminución a ¡azón de mil fotocopias mes. El vaior de la fotocopia en el mercado es de $ 40 y las ganancias netas se estiman en un 40%. Si las utilidades se reinvierten en el mrsmo proyecto a una tasa de oportunidad del 38.4% capitalizando intereses mensualmente, ¿cuál será la serie uniforme de utilidades mensuales durante los 3 primeros años? Solució n: lp=0.348112=0.032 Utilidad neta mes 1 : 100.000(40)(0.40) = 1'600.000 Utilidad neta mes 2 99.000(40)(0.40) = 1'584.000 Utilidad neta mes 3 98 000(a0X0.40) = 1'568 000 . . observamos entonces que hay una disminución mensual de $16.000 en ut¡l¡dades, obteniéndose el siguiente Flujo de Fondos: 1 056 000 000 1 Utilidades 35 36 Meses iP=oo¡z Que convirtiendo a una serie uniforme de utilidades será: MATEMÁTlcAS FINANcIERAS - coRPoRAclÓN cARlSE '.lNrvÉRSlrARlA oEL 05 '.-'---* GRAOEXTES. . UI{IDAD a=? '. Ulilidades ip = 0.032 Meses Para convertir a una serie uniforme (carcurar 'a") se puede carcurar primero Vp o luego q"iq determ¡nar er "a". varor de Entonc"r u"''o. Y.I a resorverro carcurando VF del Flujo original, así: Valor Futuro de la serie a= ,, 1'600.000 _aLo+¡,)r i, Utitida -t) l'600,000kt.032)ft -1] zF _ 0.032 VF =$195'395.739,, " Valsr Futuro del Gradiente Lineal creciente ler¡rrr.lpü!¡*rar*¡d¡e¡ffi¡¡eq Ganancias MATETTÁT|CAS FINANCIERAS - coRpoRActóN uxrvERstrARlA DEL cARtBE. 106 GRAOIEiITES. - UNIDAD 4. ,'=¡[".';l'-'-"] /F_ r6000f o.ol2 (lol2)r" -I_"6.l L o.oi2 -l VF =t4'936.168,51 VF del Flujo original = (VF serie "a") - (VF de G = 416 000) VF = 105'395.739,2 - 14'936 168,51 VF = 90'459.570,68 EsteValorFuturoloconvertimosasuserieuniformeequivalente: Como: ltf =- o[tt * i,,1" -t] I, Entonces, yF*iP 0= (l + ir)'' --__i;- _l 90"459.570,69* 0.032 (1.032)rn - 1 -/t= 2',894.706.26 I.107914785 u =|373.255,83 lo podemos Quiere decir que el Flujo original (Gradiente Decreciente) ,"ilpf"."i po|. ,n. serie'rn¡forrJ de uiilidades mensuales de $1'373.255'83 cada una. Ejercicio. (el resultado deberá ser igual)' .Eesuelva el ejemplo anter¡or en función de VP MATÉMÁTlcAS FINANcIERAS - ,coRPoRAcr0N uNrvERsrrARrA oEL cARTBE 07 GRAOIENTES. . UNIDAD 4, 4.3 GRADIENTE EXPONENCIAL. En las secciones anter¡ores hablábamos de aumentos o disminuciones de los ingresos o egresos en los Flujos de Fondos. En el siguiente aparte trataremos los aumentos o disminuciones de los ingresos o egresos los cuáles se dan en un porcentale constante respecto al pago anterior. un ejemplo puede ser el siguiente Flujo que representa el aumento de los inqresos. $1.331 Ingresos lvleses 4.3.1 Cómo determinar el Valor Futuro equivalente a un Gradiente Exponenc ia l. Si el valor inicial lo designamos con la letra "E"; "K" la tasa con que aumenra cada pago; e "ip" la Tasa de interés periódica; entonces un Fluio exponencial lo podemos representar gráficamente, así: E(1+K)N'' Y cuya fórmula cuando "ip" es diferente de "K" es la siguiente: MATEMATICAS FINANCIERAS - coRpoRAcróN uNrvERsrrARrA DEL cARtBE 08 GRAOIEiITES. . UNIDAD ¡I. r (l + t/, vf =Ll-l T -(r + K)" it, L -K Si ip = 11 la expresión anterior no la podemos utilizar porque se hace imposible dividir entre cero (0). En estos casos lo que hacemos es util¡zar la siguiente expresión: VF = E* 4.3.2 Cómo determinar N(l+i,,)'-' el Valor Presente equivalente a un Gradiente Exponencial. Como ya sabemos: ,r=rl*o#-l ecuacion r Po¡ otro lado a interés compuesto VF = VP(1+iP)N Eéuación 2 Ahora sustituyendo la ecuación 2 en la 1 obtenemos: vP(t+i"¡N = r[(r ' L *¡"i" -q*r1"1 tn-L J Ahora despejamos: MATEMÁnCAs FtNANcIERAS ' coRPoRActÓN uNvERslrARlA oEL cARlEE 109 GRADIENTES.. UNIDAD 4. (l+ i,,)n - (1 + K)n' ,r=4 (l+i La expresión anterior no es posible operarla cuanoo utilizar la siguiente ecuación: r'l + MATEMAfICAS FINANCIERAS . coRpoRActóN i ip=x. para ello debemos I uNtvERStrARtA oEL cARTBE 110 GRADETES. . UNIDAD ¡t. . Valor Presente de un Gradiente lineal Creciente' cf n+¡-)" -l vP=;ltlt+,,)r . N I o.¡/l Valor Futuro equivatente de un gradiente lineal creciente' zr=g[(r.,/"-'_N] Fórmula para convertir un gradiente lineal- creciente en una anualidad'equivalente (una serie de pagos iguales "a")' ,'.::F (1 ¡ +tr)n -1 Valor Presente de un Gradiente Lineal decreciente' :r tlD_ u¡tguÁttc¡s o[rto,-)'-ll c[(t+¡,)'-l---------;N I r' '-_i--' rlNANclERAs in(l + ln)f if L i2(l + i/")" - coRPoRÁclÓt¡ uNlv€RslrARlA DEL cAREE (1 + tr)'' I I CRAOIENTES. . UI{IDAD ¡I. . Va¡or Futuro de un Gradiente Lineal Decreciente, ,r-"Ia*'¿'-tl o ;t*# "] Anualidad de un Gradiente Lineal Decreciente. a= VF*i, (l +in)" -l ---t_ U iTATEMÁTlcAs FINANCtERAS - coRpomcróN uNrvERsnARrA DEL cARrBE. GRADIENTES.. UNIDAD 4. f:-:..- I :..t: '". ' '...t '1'"1''- '::'lrf i¡ll.i'il' LosGradientessonunF|ujodeFondosdonde|osva|oresdecadaperiodo por lo tanto de un constante tratándose aumentan o disminuyen en una cantidad gradiente l¡neal. en cuando un Flu¡o de Fondos aumenta Se denomina gradiente lineal Creciente que reclbe anterior' (podríamos tener pagos un valor constante respecto J la cuota y Presente a calculai el Valor Futuro' Valor un banco) . en esta ,n'n'i t" "ntenÓ Anualidaó para un Gradiente Lineal Crec¡ente' Másade|anteSeestudio|oreferentea|osGradientesLinealesdecrecientes,los que.disminuye.:t Y! Yil"^':Tf"" cuáles se definen como un Flulo de Fondos el se presentó ra metodorogia para calcular respecto a ra cuota antenor. rl,-n¡i¿n los Gradrentes Lineales Valor Presente' Valor lut"o V Anualidades de Decrecrentes tema de los Gradientes Exponenciales Para culminar la un¡dad se abordÓ el este tema; los cuáles se n't1:h:pero de una manera groo"f- iin prof undizar "n de los ingresos o egresos que se definen como los uua"nto' o d'isminuciones pago anterior' üln'"n ,n porcentaje constante respecto al MATEMÁTlcAS FINANcIERAs - coRPoRAcroN uNrvERsrrARrA DEL cARTBE 113 .::¡r'tll'1i'.::l:l: cRAOr€NrEs. . Uf.llDAO 4. 1. Descomponga en una serie de pagos siguiente Flujo de Fondos: iguales y en un Gradiente Lineal el Ingresos para un Banco. 1700 Gananc¡as Años 2. determine er varor presente para er Flujo de Fondos der probrema anterior. 3. determine el Varor Futuro para er Frujo de Fondos der probrema 1, utirizando la fórmula de Gradientes y utilizandoia Fórmula de-lnteres compuesto. en 2 Fhrjos de Fondos el gráfico siguienre que representa las paga un cliente a una enidad finañciera que 9u9!1s_gye cobra una Tasa 4. Convierta del 37 .5o/o capitalizando intereses trimestralmente a $ 100 MATEMÁTtcAs FtNANcIERAs - coRpoRActóN uNrvERsFARtA oEL cARrsE 114 GRAOIENTES. . UNIDAD 4. 5. Determine para el Flujo del problema anterior el Valor Presente, el Valor Futuro, y la serie uniforme de cuotas que paga el cliente. Comente cada resultado. 6. Una persona interesada en fomentar su ganadería se propone montar inicialmente dos hectáreas de pasto el primer año, 4 hectáreas el segundo año, 6 hectáreas el tercer año y así sucesivamente hasta completar 10 hectáreas que tiene como meta. Los costos a precios constantes del año cero son de $25.000 por hectárea y la tasa de interés es del 360/0 anual capitalizable trimestralmente. Construya el Flujo de Fondos y determine el Valor Presente, Valor Futuro y la serie uniforme de costos. MATEMÁTtcAS FtNANcIERAS - coRPoRAcroN uNrvERslfARrA DÉL cARTBE GRADIENTES. - UNIDAD 4. LECTURA : . .. : AMORTIZACIONES. En la presente lectura vamos a echar un vistazo a ros srstemas de riquidación de créditos más usados actualmente en las entidades financieras para cráditos de consumo. Existen en el mundo de las finanzas diferentes formas de liquidar un crédito, pero para efectos de un aprendizaje que verdaderamente sirva en la práciica vamos a expricar er de cuotas fijas y er de cuotas decrec¡entes. El primero es uno delos más utirizados para créditos de vehícuros y de tarjetas de crédito y el segundo se utiriza con frecuencia en ros créd¡tos rotativós. Liquidación de un crédito con cuota fija. como ya dijimos es er más usado en er crédito de consumo v el que más re gusta a los usuarios debido a que conocen de principio a fin el monto a pagar de cada una de las cuotas. Generalmente este tipo de liquidación se utiliza en cred¡tos de 24, 36, 60 y 72 meses, y actualmente se está utilizando en crédrtos qe hasta 10 años. otra de las ventajas con este tipo de crédito para el usuario es que como la cuota queda fija, y el valor a pagar siempre será el mrsmo, al cabo de unos años la cuota le parecerá más baja debido a la inflación, ya que su salario s¡ se le incrementa mientras la cuota permanecerá constante. Véamos el siguiente Ejemp lo. Luis requiere un crédito de $1.500. para cancelar en cuotas anua¡es de igual valor a 7 años con un interés del 2SoA anual. Lo pnmero que se debe hacer es utilizar la fórmula de anualidades oue es srgutente. , VP(.1 + i la ,.)' (¡,,) (l+t.,)''-l IVIATEMATICAS FINANCIERAS - coRpoRAcróN uNrvERSrrARtA oEL cARiBE I lo GRAOIENTES. 1 474'51 15oO ' UNIDAD '1. 375 r *.¡'*€*Yr!r-'.!*:;¡iliiill'1,9¡l*f Y el saldo final lo obtenemos de restar saldo lnicial menos Amortización o sea: 15OO-99,51 =1400,49. nos queda en la tabla de este modo: i i a",do,n,",", : r '*-r*-"--.-"- cuota (a) i i-iii' tlir¡nnloro,ut:375igg'St:1400'49 ¡1ttos ' Amortización iI ,- saldo final período 2 así: El saldo Final del período 1 es el saldo inicial del Saldo hicial 1500 hasta obtener una De este modo se siguen realizando los pasos anteriores Tabla completa como se muestra a cont¡nuac¡ón: N '| Cuota Saldo Inicial I JUU ' 1400.49 ¿z¿ (a) <r 17 4,51r 4/4,b 474,51 : Interss 375 Arnort¡uac¡ón 99'51 . 350,12 124,39 319.02 't55,49 ! 1400,49 1276,1 1120.61 1120,61 9&,25 I 683,3 t 474,51 ultvERsrrARt/a MATEMÁT|CAs FlNANGlÉRAs ' coRPoRAcÓN DEL cARIBE' GRADE lES.. UNIDAD4. Ahora susütuimos los vato¡es: i _ 1500(t + 0.25r ¿-------------_- (0.25) (1+0.25)'-l A = 474,51 Q.uiere decir que Lu¡s debe pagar 9474,51 anuales durante 7 años para pagar el créd¡to. con este valor constru¡mos una tabla de amortización que incluya las siguientes variables: Número de periodos, sardo iniciar,.cuota, InteÉs, n.ofttacion"lquu es el abono a capital) y el saldo final. 474,51 474,51 Hasta ahora conocemos estos valores; el paso a seguir es calcular el interés del periodo 1. como sabemos que el interés es det 25% entonces multiplicamos 1500-0.25 y obtenemos un váror ;-_- -' de $37s. nos queda ra tabra de este mod'o: i- i ;'-' :l ' l .1 474,51 -* *- "- *' *--_--i j Amortlzac¡ón Sa|do fln.l Para conocer la columna de Amortización le restamos a la columna de cuota la de interés; es dec¡r474,51-375 = 99,51 y nos queda asi: mATEMÁT¡cAs FINANGIERAS - coRpoRAcróN uNlvERsrrARrA DEL cARBE. 1't7 GRADIENÍES.. UNIOAO 4. Liquidación de un crédito con cuota decreciente. Es una forma muy común que realizan las entidades financieras sobre todo en sus créditos rotativos y créditos a la vrsta. Bajo esta forma de liquidación de crédito el usuario empreza con la cuota más alta el primer mes, el segundo mes baja la cuota y así sucesivamente hasta que term¡na pagando en la última cuota el valor mas bajo. Es muy usual en créditos de 36 meses. Liquidemos el anterior ejemplo a 7 años y con cuota decreciente a un ¡nterés del 25o/o anual. El monto inicial es de $1500. Lo primero que debemos hacer es dtvidir 1500 en 7 años asi: 15001 7 = 214.28 Este es el abono a capital o sea la amortización para toda la vida del créditoAhora realizamos una tabla igual a la anterior pero con estos datos nuevos. Hasta aquí tenemos lo siguiente: N Saldo In¡c¡al Afnortizac¡ón 1 1500 214.28 Interés Cuota Saldo t¡nal 214,28 214.28 214.28 214 28 5 214.28 . 7 El siguiente paso es calcular la columna de interés, y lo hacemos multiplicando 1500"0.25 = 375. la tabla con este nuevo dato nos queda así: N 1 2 Saldo ¡ñ¡cial 1500 Amortizac¡ón lnteres 214,23 75 cuot¿ saldo f¡nal 214.28 Ahora procederemos a calcular la cuota, que no es más que sumar la columna de amortización con la de interés, que para nuestro caso seria: 214,28+375= 589,28 que es la primera cuota de srete y también la más alta. Nuestra tabla quedaría así: MATEMÁTlcAS FINANcIERAS - coRPoRAcrÓN uNlvERSlrARlA DEL caRlaÉ GRAOIENIES. . UNIDAD ¡I. 1{ Satdo In¡c¡al Amo.t¡z€c¡ón ! 1 214,28 : i ztc,za Int€rás 375 , Para calcular el saldo final restamos el saldo inicial menos la columna oe amortización así: I 500-214,28 =1285.72 Recordemos que el saldo final es el saldo inicial del siguiente período, entonces nos queda: N Sa¡do Inic¡al Amort¡ración ' Inten¡6 Saldo f¡nal 12A5.72 Y así continuamos realizando todos los pasos anteriores hasta obtener una tabla como esta: 1 ¡ Saldo Inic¡al Amoñizacién 1500 214,28 1245.72 214,28 321.43 535 1071.44 214,28 267.86 48214 857.16 214,28 214.29 642.84 214,28 160.72 214,28 107.15 428.6 : lnterés 589.28 i_-*.**..--***.i*-"*'*_.****,j."-"-,-*_sa.ss i : 214.32 1 214,28 j MATÉrtÁT¡cAs FINANcIERAS - coRPoRA0or{ Cuota ur{rvERsrrARrA oEL caRrBE. 1285.72 71 zoz.ae lgJl Í- 857.16 i '120 GRAOT€NfES. . UNIDAD 4. Proye-ctos d-llnversión' Karen Marie. Evaluación Financiera de MOKATE, 'eót¡oCbse, 1998' Universidad de los Andes' Bogota D'C ' '''-'- Económica' TARQUIN, A'J. y Blank, L'T" Ingeniería Mcóraw Hill' Bogotá D'C 1985' Financiera' VAN HORNE, J. Fundamentos de Administración 1982' Prentice Hall Intemational' Bogotá D'C' -' Financieras' MORALES R. Alfonso. Matemáticas ESAP Publicaciones' 1988' Financieras y los Sistemas' BACA CURREA, Guillermo' Las Matemáticas COMEX S.A. Financieras' GOMEZ CEBALLOS, J' Alberto' Matemáticas Tecnomundo Editores' ¡t¡TgmÁttc¡s r¡HANCIERAS - coRPoRAclÓN uNlvERstrARrA oEL cARIBE' DIRECCIÓN DE EDUCACIÓN ABIERTA Y A DISTANCIA Y VIRTUALIDAD ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS MATEMÁTICAS FINANCIERAS Carretera Troncal de Occidente - Vía Corozal - Sincelejo (Sucre) Teléfonos: 2804017 - 2804018 - 2804032, Ext. 126, 122 y 123 Mercadeo: 2806665 Celular: (314) 524 88 16 E- Mail: [email protected]