UNA INTRODUCCI´ON A LOS POLINOMIOS ORTOGONALES DE

UNA INTRODUCCIÓN A LOS POLINOMIOS ORTOGONALES DE
LAGUERRE-SOBOLEV: CASO CONTINUO
Liz Dyan Torres Martı́nez
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Facultad de Ciencias y Educación
Proyecto Curricular de Matemáticas
Bogotá D.C.
2016
Una Introducción a Los Polinomios Ortogonales de Laguerre-Sobolev: Caso
Continuo
Liz Dyan Torres Martı́nez
Monografı́a de grado
Presentada como requisito para optar al tı́tulo de Matemática
Director: Luis Oriol Mora Valbuena
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Facultad de Ciencias y Educación
Proyecto Curricular de Matemáticas
Bogotá D.C.
2016
Dedicado a las dos personas
que estuvieron a mi lado
durante este largo camino,
una de ellas siempre junto a mi
y la otra acompañándome desde el cielo
Agradecimientos
Agradezco en primer lugar a mi madre ya que ella fue la que inculcó en mı́ el amor por el
estudio, y agradezco sus palabras de aliento que me acompañaron hasta donde fue posible,
también agradezco a mi familia por su incondicional apoyo.
Quiero agradecer a mis compañeros Andrés, Camila, Raúl, Sebastián, Omar, Manuel, Mauricio y muchos más, quienes estuvieron presentes en cada una de las etapas que atravesé en
el recorrido de este largo camino y con los que compartı́ lo bello de la vida universitaria.
Quiero agradecer especialmente a Camilo, ya que además de ser mi compañero de vida,
fue mi compañero de estudio, quien me acompaño en noches infinitas y dı́as interminables
de estudio, además junto a él descubrı́ el lado hermoso de las matemáticas.
Al profesor Oriol Mora, por su increı́ble dedicación hacia nosotros sus estudiantes y por
el esfuerzo que ha hecho siempre por compartir su conocimiento.
Gracias a todos y cada uno los que tuvieron que ver en mi formación como profesional, ya
que sin estas personas no hubiera sido posible.
Índice general
Agradecimientos
V
Introducción
X
1. Preliminares
1.1. Funciones Especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1. Función Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2. Coeficiente Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3. Función Generatriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Análisis Funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1. Producto Interno y Espacio de Hilbert . . . . . . . . . . . .
1.2.2. Funcionales Lineales y Teorema de Representación de Riesz
1.2.3. Método de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Teorı́a de la Medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1
1
1
3
4
5
5
6
8
8
2. Teorı́a General de Polinomios Ortogonales
2.1. Funcional de Momentos . . . . . . . . . . . .
2.2. Existencia de una SPO . . . . . . . . . . . . .
2.3. Fórmula de Recurrencia y Teorema de Favard
2.4. Cuasi-Ortogonalidad . . . . . . . . . . . . . .
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13
13
16
18
20
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22
23
24
25
26
27
31
3. Polinomios Ortogonales de Laguerre
3.1. Fórmula de Rodrigues . . . . . . . . . . .
3.2. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1. Generalización . . . . . . . . . . .
3.2.2. Función Generatriz . . . . . . . . .
3.2.3. Relaciones de Recurrencia y ED de
3.2.4. Ortogonalidad . . . . . . . . . . .
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Laguerre
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4. Polinomios Ortogonales de Laguerre-Sobolev
33
4.1. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2. Polinomios Ortogonales de Laguerre-Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5. Caso Particular
45
5.1. Caso particular polinomios de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.2. caso particular Polinomios de Laguerre-Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . 46
VII
VIII
ÍNDICE GENERAL
Conclusiones
48
Consideraciones
49
Bibliografia
50
Introducción
El estudio de la teorı́a de polinomios ortogonales ha incrementado en las últimas décadas,
pero ha sido de particular interés el estudio de estos polinomios en espacios de Sobolev,
esto se ve reflejado en las obras de autores como P. Althammer, J. Brenner, E. A. Cohen
y W. Gröbner por nombrar algunos, pero es muy poco lo que se conoce en relación a los
polinomios ortogonales de Sobolev (no se debe confundir el concepto de polinomios ortogonales en espacios de Sobolev con el concepto de polinomios ortogonales de Sobolev, ya
que el primero se refiere al espacio y el segundo al producto interno), es posible que esto
se deba a que las propiedades de estos polinomios no son conocidas, más aún porque las
propiedades clásicas de los polinomios ortogonales no se pueden trasladar a este tipo de
polinomios, por ejemplo la relación de recurrencia a tres términos no se mantiene y tampoco es posible verificar que los polinomios ortogonales de Sobolev sean solución de una
ED de segundo orden como suele suceder con los polinomios ortogonales clásicos. Entre los
pocos autores que han realizado estudios relacionados con los polinomios ortogonales de
Sobolev, se encuentra el profesor Francisco Marcellán1 quien en sus trabajos habla sobre
las propiedades generales de los polinomios ortogonales de Sobolev.
El presente trabajo inmerso en la teorı́a de polinomios ortogonales y soportado en el artı́culo [8], tiene como primer objetivo mostrar la totalidad de las sı́ntesis teóricas necesarias
para comprender parte de la teorı́a general de polinomios ortogonales, con la intención
de que esta a su vez sirva de base para tratar lo relativo a los polinomios ortogonales de
Laguerre clásicos de una manera teórica, examinando sus propiedades algebraicas y diferenciales; como segundo objetivo se pretende trabajar con un caso particular de polinomios
ortogonales asociados al producto interno definido por:
Z
(f, g)s =
+∞
α −x
f (x)g(x)x e
Z
dx + λ
0
+∞
f 0 (x)g 0 (x)xα e−x dx.
0
Donde α > −1 y λ ≥ 0. Como objetivo final se pretende llegar a e una relación entre
los polinomios ortogonales de Laguerre-Sobolev y los polinomios ortogonales de Laguerre
clásicos.
El trabajo se compone de cinco capı́tulos, en el primer capı́tulo se introducen los conceptos
necesarios de las funciones especiales, el análisis funcional y la teorı́a de la medida, con el
fin de facilitar la comprensión del capı́tulo dos, en el cual se exponen los conceptos básicos
1
Dto. de ingenierı́a, Escuela Politécnica Superior, Universidad Carlos III de Madrid, Butarque 15, 28911
Leganés, (Madrid), España.
X
Introducción
XI
de la teorı́a general de los polinomios ortogonales, en el capı́tulo tres se introducen las
propiedades de los polinomios ortogonales de Laguerre clásicos, necesarias para el desarrollo de este trabajo, el cuarto capı́tulo se introduce el concepto de polinomios ortogonales
de Laguerre-Sobolev y se desarrollan algunas de sus propiedades, adicional a eso se obtiene una relación entre dos polinomios ortogonales consecutivos y los correspondientes
polinomios ortogonales de Laguerre clásicos, haciendo con esto posible la obtención explicita de los polinomios ortogonales de Laguerre-Sobolev y finalmente en el quinto capı́tulo
se presentan algunas graficas con el fin de ver el comportamiento, tanto de los polinomios ortogonales de Laguerre-Sobolev, como el de los polinomios ortogonales de Laguerre
clásicos.
Capı́tulo 1
Preliminares
Las definiciones, teoremas y demás, descritos en este capı́tulo están encaminados a la
comprensión de los conceptos principales de la teorı́a general de los polinomios ortogonales;
el hilo teórico está construido de tal forma que el lector con conocimientos básicos en las
áreas del análisis funcional y teorı́a de la medida esté en la capacidad de comprender cada
una de las secciones que conforman este capı́tulo.
1.1.
Funciones Especiales
En este apartado se introducen las definiciones de función gamma, coeficiente binomial
y función generatriz, con el fin ayudar en la deducción de algunas propiedades de los
polinomios ortogonales estudiados en los capı́tulos 3 y 4.
1.1.1.
Función Gamma
La función gamma es de gran utilidad en el presente trabajo, ya que gracias a ésta, es
posible evitar hacer cálculos innecesarios que además resultan tediosos, dichos cálculos se
ven reflejados en el capı́tulo 4. La definición y algunos resultados importantes son como
siguen:
Definición 1.1.1 (γ constante de Euler o Mascheroni )
Se usará en el texto la definición de γ como:
γ = lı́m (Hn − log
n→∞
En donde
Hn =
n
X
1
.
k
k=1
1
n)
2
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
Definición 1.1.2 Weierstrass definió la función Gamma Γ(z) como el producto:
∞ h
Y
1
z
γz
= ze
1+
Γ(z)
n
n=1
z i
exp −
n
(1.1)
donde γ es la constante definida anteriormente.
La función Γ(z) definida por (1.1) es idéntica a la integral definida por Euler; esta es,
+∞
Z
Γ(z) =
e−t tz−1 dt,
Re > 0.
(1.2)
0
El miembro derecho en 1.2 es analı́tica para z finito. Sus únicos ceros son simples en z = 0
y en cada número entero negativo, además, esta integral converge absolutamente siempre
que Re(z) > 0 .
Lema 1.1.1 [ [11], pág. 5. ] Sea z un entero no negativo, entonces
(n − 1)!nz
,
n→∞ (z + 1)(z + 2)(z + 3)(z + 4) · · · (z + n − 1)
lı́m
existe.
Lema 1.1.2 La función gamma, Γ(z) puede escribirse como:
(n − 1)!nz
.
n→∞ z(z + 1)(z + 2) · · · (z + n − 1)
Γ(z) = lı́m
(1.3)
Teniendo cuenta que
(n + 1)z
= 1,
n→∞
nz
lı́m
es posible escribir el resultado (1.3) de la siguiente forma
(n)!nz
.
n→∞ z(z + 1)(z + 2) · · · (z + n)
lı́m
El lema 1.1.2 se conoce como el producto de Euler para Γ(z) y se llega a este a partir de
(1.1), haciendo uso de (1.3) se obtiene la siguiente ecuación:
Γ(z + 1) = zΓz
(1.4)
Este resultado será útil a la hora de hallar los polinomios de Laguerre-Sobolev que serán
definidos en el capı́tulo 4 del presente trabajo.
Otra forma de expresar la función gamma de manera más compacta, puede hacerse haciendo uso de la siguiente definición:
1.1. FUNCIONES ESPECIALES
3
Definición 1.1.3 Sea α ∈ C tal que α 6= 0 definimos El Factorial de Pochhammer
como:
(α)n =
n
Y
(α + k − 1)
k=1
= α(α + 1)(α + 2)...(α + n − 1),
n≥1
(α)0 = 1.
Este factorial es una generalización inmediata del factorial elemental ya que: (1)n = n!.
Teorema 1.1.1 Si α es diferente de cero o de un número enterno negativo, entonces
(α)n =
Γ (α + n)
.
Γ (α)
(1.5)
Se tiene de la ecuación en (1.3)
(n − 1)!nz
,
n→∞ z(z + 1)(z + 2) · · · (z + n − 1)
Γ(z) = lı́m
y haciendo uso de la definición del factorial de pochhammer, este resultado puede reescribirse de la siguiente forma:
(n − 1)!nz
.
n→∞
(z)n
Γ(z) = lı́m
1.1.2.
(1.6)
Coeficiente Binomial
En esta sección se sigue el concepto de coeficiente binomial definido en [6], y se dan algunos
ejemplos de éste.
Definición 1.1.4 El sı́mbolo nk se denomina coeficiente binomial, e indica el número
de formas en que se elige un subconjunto de k elementos de un conjunto de n elementos,
cuando n, k ∈ N.
Por ejemplo, del conjunto {1, 2, 3} se pueden elegir dos elementos de tres formas diferentes
{1, 2},
ası́ que
3
2
Se define
{1, 3},
{2, 3}
= 3.
n
k
por
n
n(n − 1) . . . (n − k + 1)
=
k(k − 1) . . . (1)
k
4
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
En donde se denota por n el ı́ndice superior y por k el inferior, los ı́ndices deben ser enteros
no negativos gracias a la interpretación de la combinatoria. Ya que el coeficiente binomial
tiene muchos usos además de su interpretación combinatoria, se eliminarán algunas de
las restricciones. Es más útil, permitir un número real (o incluso complejo) arbitrario que
aparezca en el ı́ndice superior, y permitir un número entero arbitrario en el inferior. La
definición formal tiene la siguiente forma:
( r(r−1)...(r−k+1)
n
=
k(k−1)...(1)
=
k
0
rk
k! ,
con k ≥ 0 entero,
con k < 0 entero.
Esta definición tiene varias caracterı́sticas relevantes. En primer lugar, el ı́ndice superior
se denota por r, no n; la letra r hace énfasis en el hecho de que los coeficientes binomiales
tienen sentido cuando cualquier número real se encuentra ubicado en esta posición. Por
ejemplo, se tiene
−1
(−1)(−2)(−3)
=
= −1.
3
(3 · 2 · 1)
1.1.3.
Función Generatriz
Al tener una sucesión {an }, en general, no es de interés un término en concreto, sino
toda la sucesión. Si se quiere aprender sobre la sucesión {an } en sı́, una posibilidad, es
abordarla mediante un único objeto, una función que permita codificar sucesiones de la
siguiente manera
{an }∞
n=0
←→
∞
X
an tn = f (t)
n=0
Dicha función se denomina función generatriz o función generadora. En otras palabras
una función generatriz es una serie formal de potencias que permite codificar información
de una sucesión {an }, Una función generadora es una cuerda de tender en la que colgamos
una sucesión de números para mostrarla , Herbert Wilf.1
Es posible hablar de diferentes tipos de funciones generadoras, como la función generadora ordinaria, función generadora exponencial, la serie de Lambert y la serie de Bell ; a
continuación se definen cada una de ellas.
Definición 1.1.5 (Función generatriz ordinaria) Sea una sucesión {an }∞
n=0 . Se define su función generatriz ordinaria como
A(t) =
∞
X
an tn = a0 + a1 t + a2 t2 + . . .
n=0
A esta generalmente se le conoce sencillamente como función generatriz.
1
Wilf, Herbert (1994). generatingfunctionology (2.a edición). A. K. Peters. ISBN 978-1-56881-279-3.
1.2. ANÁLISIS FUNCIONAL
5
Ejemplo 1.1.1 Sea la sucesión de Fibonacci, definida por la recurrencia
fn+1 = fn + fn+1 ,
n>0
con f0 = 1 y f1 = 1, es la sucesión 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, . . ., su función generadora es
A(t) =
t
1 − t − t2
ya que su desarrollo en serie de potencias es
t
= 0 + 1 · t, +1 · t2 + 2 · t3 + . . .
1 − t − t2
y los coeficientes de tal desarrollo son precisamente 0, 1, 1, 2, 3, . . .
Definición 1.1.6 (Función generatriz exponencial) La función generadora exponencial de una sucesión {an } es
∞
X
tn
G(an ; t) =
an .
n!
n=0
Ejemplo 1.1.2 Como ejemplo de esta función se tiene
2
G(n ; t) =
∞
X
n2
n=0
tn
= t(t + 1)et .
n!
Definición 1.1.7 (Serie de Lambert) La serie de Lambert de una sucesión {an } es
LG(an ; t) =
∞
X
n=1
an
tn
1 − tn
en esta serie el ı́ndice n comienza en 1.
Definición 1.1.8 (Serie de Bell) La serie de Bell de una función aritmética f (n) y un
número primo p es
∞
X
fp (t) =
f (pn ) tn .
n=0
1.2.
Análisis Funcional
En esta sección se introduce el teorema de representación Riesz, además de otros conceptos
de gran importancia para la comprensión del capı́tulo 2, ya que estos hacen parte la base
de la teorı́a general de polinomios ortogonales. Las definiciones y teoremas que aparecen
en esta sección son tomadas de [7]
1.2.1.
Producto Interno y Espacio de Hilbert
Definición 1.2.1 Un Producto Interno sobre un conjunto X es una aplicación de X ×
X en el campo de escalares K de X, para cada par de vectores x,y ∈ X, se escribe hx, yi,
este producto interno cumple con las siguientes propiedades:
6
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
hx + y, zi = hx, zi + hy, zi.
hαx, yi = α hx, yi.
hx, yi = hy, xi.
hx, xi ≥ 0.
hx, xi = 0 ⇔ x = 0.
Donde x, y, z ∈ X y α ∈ K
Definición 1.2.2 Un producto interno define una norma sobre X como:
p
kxk = hx, xi
para todo x ∈ X.
Definición 1.2.3 Un Espacio con producto interno (o espacio pre-Hilbert) es un
espacio vectorial X con un producto interno definido sobre X, un Espacio de Hilbert es
un espacio con producto interno que además es completo2 .
1.2.2.
Funcionales Lineales y Teorema de Representación de Riesz
En el marco de los polinomios ortogonales, los funcionales lineales son los que permiten
hablar de ortogonalidad, sin embargo en ocasiones es útil representar este funcional lineal
como un producto interno, el objetivo de esta parte es dar las definiciones y el teorema
que hacen posible realizar esta representación.
Definición 1.2.4 Un Funcional lineal es un operador lineal con dominio en un espacio
normado X y rango en el campo de escalares K de X; esto es
f : D(f ) → K
donde K = R o C si X es real o complejo respectivamente.
Definición 1.2.5 Un funcional lineal acotado es un operador lineal acotado con rango
en el campo de escalares de un espacio normado X y dominio D(f ) ⊂ X siempre que exista
un número real c talque para todo x ∈ D(f ):
|f (x)| ≤ c kxk
más aún la norma de f es:
|f (x)|
x∈D(f ) kxk
kf k = sup
con kxk = 0 o escrita de otra forma:
kf k = sup |f (x)|
x∈D(f )
con kxk = 1.
2
Se entiende por espacio completo aquel donde toda sucesión de Cauchy converge.
1.2. ANÁLISIS FUNCIONAL
7
Teorema 1.2.1 (de representación de Riesz)[ [7], pág. 188.] Todo funcional lineal
acotado f sobre un espacio de Hilbert H puede ser representado en términos del producto
interno como:
f (x) = hx, zi
(1.7)
donde z depende de f , esta únicamente determinado por f y tiene norma kzk = kf k.
Demostración 1 La prueba se divide en 3 partes, primero probamos que la función f
tiene representación 1.7 luego se prueba la unicidad del z y finalmente se prueba que la
norma de z es igual a la norma de f .
Se considera primero el caso en que f = 0, para el cual se tiene 1.7 y además kf k = kzk
si se toma z=0.
Sea f 6= 0 entonces z 6= 0. Sea N (f ) el espacio nulo de f , N (f ) es un espacio vectorial
que además es cerrado, más aún como f 6= 0 implica N (f ) 6= H, ası́ que N (f )⊥ 6= {0}.
De esta forma N (f )⊥ contiene un z0 6= 0. Sea v ∈ H definido por
v = f (x)z0 − f (z0 )x.
Donde x ∈ H es arbitrario, aplicando f a ambos lados y usando la linealidad de f se tiene:
f (v) = f (x)f (z0 ) − f (z0 )f (x) = 0.
Entonces v ∈ N (f ). Por otro lado tenemos que z0 ⊥N (f ) y tenemos
0 = hv, z0 i = hf (x)z0 − f (z0 )x, z0 i
= f (x) hz0 , z0 i − f (z0 ) hx, z0 i .
Además hz0 , z0 i = kzk2 6= 0, obtenemos ası́ que f (x) puede escribirse como
f (x) =
f (z0 )
hx, z0 i .
hz0 , z0 i
Ası́ se completa la primera parte de la prueba ya que f para x ∈ H arbitrario puede
escribirse como en 1.7 haciendo
f (z0 )
z=
z0 .
hz0 , z0 i
Ahora para probar que z es única. Supongamos que para todo x ∈ H, f (x) = hx, z1 i =
hx, z2 i. Entonces hx, z1 − z2 i = 0 para todo x. Se escoge en particular x = z1 − z2 , y
tenemos
hx, z1 − z2 i = hz1 − z2 , z1 − z2 i = kz1 − z2 k2 = 0.
Del hecho que la norma de z1 − z2 sea 0 se deduce que z1 − z2 = 0, ası́ que z1 = z2 y por
tanto el z en 1.7 es único.
Finalmente se prueba que kf k = kzk. Si f = 0, entonces z = 0 y se tiene que kf k = kzk.
Sea f 6= 0. Entonces z 6= 0. Y se tiene
kzk2 = hz, zi = f (z) ≤ kf k kzk .
Dividiendo por kzk =
6 0 se tiene que kzk ≤ kf k. Ahora se usa 1.7, y la desigualdad de
Schwartz, y se obtiene
|f (x)| = |hx, zi| ≤ kxk kzk .
8
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
Esto implica que
kf k = sup |hx, zi| ≤ kzk .
kxk=1
Y se concluye que kf k = kzk.
1.2.3.
Método de Gram-Schmidt
Para dar fin a esta sección se enuncia el proceso de Gram-Schmidt remitiéndose a [ [13]
págs. 174-188], el cual determina como construir conjuntos ortogonales a partir de conjuntos linealmente independientes, en cualquier espacio euclı́deo, de dimensión finita o de
infinitas dimensiones.
Definición 1.2.6 Sea u, v ∈ H vectores de un espacio con producto interno. Definimos
la proyección de v en u como:
proju (v) =
hv, ui
u,
hu, ui
si u = 0, se define proj0 (v) = 0.
Teorema 1.2.2 Proceso de Gram-Schmidt Sea S = {v1 , v2 , · · · , vk } un conjunto linealmente independiente de un espacio con producto interno H y sea el conjunto
S 0 = {u1 , u2 , · · · , uk }, construido de la siguiente forma:
uk = vk −
k−1
X
projuj (vk ).
j=1
Entonces
S0
es un conjunto ortogonal que genera el mismo conjunto que S.
Dados los vectores u1 , u2 , u3 , al aplicar el proceso de Gram-Schmidt se obtiene
v1 = u1 ,
hv1 , u2 i
v1 ,
hv1 , v1 i
hv1 , u3 i
hv2 , u3 i
= u3 −
v1 −
.
hv1 , v1 i
hv2 , v2 i
v2 = u2 −
v3
Haciendo uso del algoritmo que define el teorema 1.2.2, es posible, construir conjuntos
ortogonales, a partir de un conjunto linealmente independiente; este método es usado en
el capı́tulo 3 para hallar sucesiones de polinomios ortogonales dado un producto interno
determinado.
1.3.
Teorı́a de la Medida
En esta sección se pretende dar a conocer definiciones pertenecientes al campo de la teorı́a
de la medida como objetivo principal, este capı́tulo pretende mostrar el camino para
comprender adecuadamente la integración de Lebesgue de funciones medibles. Se
empieza con algunas definiciones previas, estos resultados son tomados de [ [1], capı́tulos
1-5].
1.3. TEORÍA DE LA MEDIDA
9
Definición 1.3.1 Una familia X de subconjuntos de un conjunto X se llama σ-álgebra
si:
φ, X pertenecen a X.
Si A ∈ X entonces Ac ∈ X; (Ac = X − A).
Si An es una sucesión de conjuntos de X, entonces la unión
S∞
n=1 An
∈ X.
Definición 1.3.2 Un Espacio Medible es la dupla (X, X), donde X es un conjunto y
X es una σ-álgebra.
Definición 1.3.3 Sea A una colección no vacı́a de subconjuntos de X llamamos σ-álgebra generada por A, a la σ-álgebra más pequeña que contenga a A.
Se puede observar que esta σ-álgebra se puede caracterizar considerando la intersección
de todas las σ-álgebras que contienen a A. Una σ-álgebra de este tipo, que quizá sea la
más conocida, se caracteriza por medio de la siguiente:
Definición 1.3.4 Sea R el conjunto de los números, llamamos álgebra de Borel a la
σ-álgebra B generada por todos los intervalos abiertos (a, b) en R.
Ahora, se contemplan funciones f : X → R con una propiedad importante, la siguiente
definición caracteriza dicha propiedad.
Definición 1.3.5 Sea f : X → R decimos que f es medible si para todo número α ∈ R
el conjunto
{x ∈ X : f (x) > α}
pertenece a X.
Ejemplo 1.3.1 Si E ∈ X, entonces la Función Caracterı́stica χE , definida por
χE =

 1 si

x∈E
0 si x ∈
/ E,
es medible. De hecho {x ∈ X : χE (x) > α} es la σ-álgebra X, el conjunto E o ∅.
Ejemplo 1.3.2 Si X es el conjunto R de números reales, y si X es el álgebra de Borel B,
entonces una función continua f : R → R es medible. De hecho, si f es continua, entonces
el conjunto {x ∈ R : f (x) > α} es un conjunto abierto en R y por tanto es la unión de
una sucesión de intervalos abiertos, pertenecientes a B, esto prueba que f es medible.
Definición 1.3.6 Sea f : X → R, una función y sean f + , f − funciones no negativas
definidas por:
f + = Sup{f (x), 0}.
f − = Sup{−f (x), 0}.
Llamaremos parte positiva de f , a la función f + y parte negativa de f a la función
f −.
10
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
Definición 1.3.7 Sea f : X → R 3 , se dice que f es medible si el conjunto
{x ∈ X : f (x) > α} ∈ X
para cada número α.
La colección de todas las funciones sobre los reales extendidos que son medibles, se denota
por M (X, X).
En el camino que se está construyendo, rumbo a comprender la integración de Lebesgue,
es fundamental el concepto de medida, su definición es como sigue:
Definición 1.3.8 Sea µ : X → R, decimos que µ es una medida, si:
1. µ(φ) = 0.
2. µ(E) ≥ 0 para todo E ∈ X.
3. Si {En } es una sucesión en X, tal que En ∩ Em = ∅ si n 6= m, entonces
!
∞
∞
[
X
µ
En =
µEn .
n=1
n=1
La condición 3., es conocida también como propiedad contable aditiva para µ.
Ejemplo 1.3.3 Sea X = R y X = B , el álgebra de Borel, y si f es una función monótona
creciente, entonces existe una única medida λf definida sobre B por
λf (E) = f (b) − f (a)
;
E = (a, b);
E ∈ X.
Esta medida es llamada la medida de Borel-Stieltjes generada por f .
Ejemplo 1.3.4 Sea X = R y X = B, el álgebra de Borel, y sea λ(E) = b − a donde
E = (a, b), intervalo no vacı́o, entonces λ es una medida, usualmente llamada medida
de Lebesgue.
Con este concepto de medida es preciso pensar en un espacio medible en donde además
aparezca una medida, esto da paso a la siguiente:
Definición 1.3.9 Un espacio de medida es la tripla (X, X, µ), que consiste en un conjunto X, una σ-álgebra X de subconjuntos de X y una medida µ definida sobre X.
Definición 1.3.10 Una función a valor real es simple si toma solo un número finito de
valores.
Una función simple ϕ puede ser representada en la forma:
ϕ=
n
X
aj χEj
j=1
donde aj ∈ R y χEj es la función caracterı́stica de un conjunto Ej en X.
3
Se entiende R. como el sistema de números reales extendidos.
1.3. TEORÍA DE LA MEDIDA
11
Sin embargo ϕ puede tener muchas representaciones, por esto se dice que, ϕ tiene una
única representación estándar. La cual viene dada cuando todos los aj son distintos y
los Ej disjuntos dos a dos (Ej ∩ Ek = ∅).
En este momento se presenta por primera vez la Integral de Lebesgue, por supuesto que
por ahora se presenta para una función ϕ simple.
Definición 1.3.11 Sea ϕ una función simple en M + (X, X) 4 con representación estándar,
se define la integral de ϕ con respecto a µ como el número en los reales extendidos
Z
ϕ
dµ =
n
X
aj µ(Ej ).
j=1
Este hecho permite calcular integrales de Lebesgue para funciones simples, pero lo más
importante es que estas integrales hacen las veces de puente para poder presentar la
siguiente:
Definición 1.3.12 Si f ∈ M + (X, X), definimos la integral de f con respecto a µ,
como el número en los reales extendidos
Z
Z
f dµ = Sup ϕdµ.
Donde el Sup es extendido sobre todas las funciones simples, ϕ ∈ M −1 (X, X), para las
cuales 0 ≤ ϕ(x) ≤ f (x) ∀x ∈ X. Además si E ∈ X, entonces f χE ∈ M −1 (X, X) y
definimos la integral de f sobre E con respecto a µ como el número en la reales extendidos
Z
Z
f dµ = f χE dµ.
En base a esta definición, queda presentada la forma en la que debe calcularse una Integral
de Lebesgue, ahora sobre funciones f definidas positivas, medibles. Sin embargo, el objetivo
de este capı́tulo es dar una definición aún más general. Donde se presente la Integral de
Lebesgue para funciones medibles no necesariamente definidas positivas, para cumplir con
este objetivo se debe primero presentar la colección L de funciones, y finalmente se dará la
definición de la integral de Lebesgue de funciones f ∈ L.
Definición 1.3.13 La colección L = L(X, X, µ) de funciones integrables consiste en todas
las funciones reales y medibles definidas sobre X tales que la parte positiva y negativa de
f , f + y f − tienen integrales finitas con respecto µ.
Definición 1.3.14 Sea f ∈ L se define la integral de f con respecto a µ como
Z
Z
Z
+
f dµ = f dµ − f − dµ
si E ∈ X se define
Z
Z
4
Z
f dµ −
f dµ =
E
+
E
f − dµ.
E
M + (X, X) es el subconjunto de M (X, X)) de las funciones definidas positivas.
12
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
Cabe aclarar que las funciones f + y f − son la parte positiva y la parte negativa de f
respectivamente, ası́ como aparece en la definición 1.3.6.
Es natural preguntarse si esta integral tiene propiedades de linealidad ası́ como la Integral
de Riemann5 . El siguiente teorema puntualiza este hecho.
Teorema 1.3.1 Sea α ∈ R, y sean f, g funciones en L, las funciones αf y f +g pertenecen
a L y:
Z
Z
αf dµ = α
Z
f dµ,
Z
f + gdµ =
Z
f dµ +
gdµ.
En la parte final de este capı́tulo, se presentaran los espacios Lp , conocidos también como
espacios de Lebesgue. Para poder lograr este hecho, se hace preciso establecer primero una
serie de definiciones acerca de criterios para determinar equivalencia de funciones medibles.
Definición 1.3.15 Sean f , g funciones X-medibles, se dice que f es igual a g µ-casi en
toda parte si existe un conjunto N ∈ X tal que µ(N ) = 0 y f (x) = g(x) para todo x ∈ N c .
Definición 1.3.16 Dos funciones en L = L(X, X, µ) se dicen µ-equivalentes si son
iguales µ-casi en toda parte.
Definición 1.3.17 Sea f ∈ L, la clase de equivalencia determinada por f consiste
en el conjunto de todas las funciones en L las cuales son µ-equivalentes a f .
Finalmente se presentan los espacios Lp
la sección.
1 ≤ p ≤ ∞ de funciones, y con esto se concluye
Definición 1.3.18 Si 1 ≤ p ≤ ∞, el espacio Lp = Lp (X, X, µ) consiste en todas las µclases de equivalencia de funciones de valor real X-medibles, para las cuales |f |p tenga
integral finita con respecto a µ sobre X, esto es
Z
|f |p dµ < ∞.
5
La integral de riemann se entiende como la integral usual de funciones de valor real, caracterizada
también como área bajo la curva en el caso de f : R → R.
Capı́tulo 2
Teorı́a General de Polinomios
Ortogonales
Los polinomios ortogonales son una clase de polinomios que forman una base ortogonal en
el espacio de Hilbert (este espacio es una generalización del espacio euclı́deo), los cuales
son de gran importancia en la teorı́a de ecuaciones diferenciales, en la mecánica cuántica,
la teorı́a de la probabilidad y la estadı́stica, por dar algunos ejemplos. En este capı́tulo
se estudian las propiedades y los conceptos básicos de las sucesiones de polinomios ortogonales que serán utilizados más adelante para hacer una comparación con las sucesiones
de polinomios ortogonales generadas en los capı́tulos 3 y 4, para esto se usan como referencia [4], [10] y [14], donde [4] y [14] son los libros clásicos usados en el estudio de esta
teorı́a, en [4] se puede ver la inclinación al estudio de las relaciones de recurrencia, las cuales son útiles para examinar las propiedades y generalidades de los polinomios ortogonales.
Este capı́tulo se compone de cuatro secciones; en la sección 2.1 se introduce la definición
de funcional de momentos y la definición formal de una sucesión de polinomios ortogonales
(SPO), la sección 2.2 habla sobre la existencia de una SPO, se dan las definiciones de un
funcional regular y un funcional definido positivo, la sección 2.3 presenta dos resultados
fundamentales, que son la fórmula de recurrencia y el Teorema de Favard, el capı́tulo
finaliza en la sección 2.4 en donde se define el concepto de cuasi-ortogonalidad.
2.1.
Funcional de Momentos
Definición 2.1.1 Sea {µn }∞
n=0 una sucesión de números complejos y sea L una función
compleja definida en el espacio vectorial de todos los polinomios1 Por:
L [xn ] = (L , xn )
= µn
n = 0, 1, 2, · · ·
L [α1 p1 (x) + α2 p2 (x)] = α1 L [p1 (x)] + α2 L [p2 (x)]
1
Se concibe al espacio vectorial de los polinomios de variable real o compleja, como aquel que se forma
al considerar la suma de polinomios usual y el producto por escalar usual. Este espacio es frecuentemente
notado P(x).
13
14
CAPÍTULO 2. TEORÍA GENERAL DE POLINOMIOS ORTOGONALES
para todos los números αi y todos los polinomios xpi (x)(i = 1, 2) entonces L es llamado
el Funcional de Momentos, determinado por la Sucesión de momentos {µn }. El
número µn es llamado el momento de orden n.
Definición 2.1.2 Una sucesión {Pn (x)}∞
n=0 es llamada una Sucesión de Polinomios
Ortogonales (abreviado SPO) con respecto a un funcional de momentos L si para todos
los enteros no negativos m y n se satisface que:
1. Pn (x) es un polinomios de grado n.
2. L [Pm (x)Pn (x)] = Kn δm,n ,
Kn 6= 0.
El siguiente teorema establece algunas equivalencias de una sucesión {Pn (x)} de polinomios
ortogonales con respecto a un funcional de momentos.
Teorema 2.1.1 [ [4], pág. 8. ] Sea L un funcional de momentos y sea {Pn (x)} una
sucesión de polinomios, entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:
1. {Pn (x)} es una SP O con respecto a L .
2. L [p(x)Pn (x)] = 0 para todo polinomio p(x) de grado m < n.
3. L [xm Pn (x)] = Kn δm,n donde Kn 6= 0, m = 1, 2, · · · , n.
Demostración 2 Se prueba primero que 1 implica 2.
Sea {Pn (x)} una SPO con respecto a L . Ya que cada Pk (x) es de grado k se establece
que {P0 (x), P1 (x), · · · , Pm (x)} es una base para el subespacio vectorial de los polinomios
de grado a lo más m.
Sea p(x) un polinomio de grado m, existen entonces constantes ck tales que
p(x) =
m
X
ck Pk (x),
cm 6= 0
k=0
multiplicando a ambos lados de la igualdad por Pn (x) y aplicando L se obtiene
L [p(x)Pn (x)] =
m
X
ck L [Pk (x)Pn (x)] = 0
si
m<n
k=0
= cn L [Pn2 (x)] 6= 0
si
m = n.
Por lo tanto 1 implica 2.
P
k
Se muestra ahora que 2 implica 3. Sea p(x) = m
k=0 ak x un polinomio de grado k, multiplicando por Pn (x) y aplicando L se obtiene si k < n
L [p(x)Pn (x)] =
m
X
ak L [xk Pn (x)] = 0
k=0
y si k=n
L [p(x)Pn (x)] =
m
X
ak L [xk Pn (x)] = an L [xn Pn (x)] 6= 0.
k=0
Si se asume an L [xn Pn (x)] = Kn 6= 0 se completa la prueba.
2.1. FUNCIONAL DE MOMENTOS
15
Finalmente, se prueba que 3 implica 1. Se asume
caso que
L [xm Pn (x)] = Kn δm,n
Pm para este
P
donde Kn 6= 0, m = 1, 2, · · · , n y sea Pm = k=0 bk xk y Pn = nk=0 dk xk . Si el grado de
Pm (x) es m, se tiene para m < n
L [Pm (x)Pn (x)] = bk
m
X
L [xk Pn (x)] = 0
k=0
por otro lado, si m > n
L [Pm (x)Pn (x)] = dk
n
X
L [xk Pm (x)] = 0
k=0
por último, si m = n
L [Pn2 (x)] = bn Kn 6= 0
y por tanto {Pn } es una SPO para L .
Teorema 2.1.2 [ [4], pág. 9. ] Sea {Pn (x)}∞
n=0 una SPO con respecto a L . Entonces para
todo polinomio π(x) de grado n
π(x) =
n
X
ck Pk (x)
k=0
donde
ck =
L [π(x)Pk (x)]
.
L [Pk2 (x)]
(2.1)
Demostración 3 Como se vio en la demostración anterior. Si π(x) es un polinomio de
grado n, entonces hay constantes ck tales que
π(x) =
n
X
ck Pk (x).
k=0
Multiplicando a ambos lados de la igualdad por Pm (x) y aplicando L se obtiene
L [π(x)Pm (x)] =
n
X
L [Pk (x)Pm (x)] = cm L [Pn2 (x)]
k=0
2 (x)] 6= 0 se obtiene 2.1
ya que L [Pm
Corolario 2.1.1 Sea {Pn (x)}∞
n=0 una SPO con respecto a L . Entonces cada Pn (x) está únicamente determinado hasta un factor distinto de cero arbitrario esto es si {Qn (x)}∞
n=0 , es
también una SPO con respecto a L entonces hay constantes cn 6= 0 tal que
Qn (x) = cn Pn (x)
n = 0, 1, · · ·
De los resultados inmediatamente anteriores es posible deducir que si {Pn (x)} es una SPO
con respecto a L también lo es{cn Pn (x)} para toda sucesión de constantes cn no nulas.
16
CAPÍTULO 2. TEORÍA GENERAL DE POLINOMIOS ORTOGONALES
2.2.
Existencia de una SPO
En esta sección se determinan las condiciones necesarias para garantizar la existencia
de una sucesión de polinomios ortogonales (abreviando SPO) respecto a un funcional de
momentos.
Definición 2.2.1 Sea L un funcional de momentos y {µn } la correspondiente sucesión
de momentos. Designaremos por Hn (µ0 ) el determinante de Hankel de orden n+1 asociado
a la sucesión de los 2n + 1 primeros momentos. Esto es:
Hn (µ0 ) = µ0
µ1
..
.
µ1
µ2
..
.
µn µn+1
···
···
···
···
.
µn
µn+1
..
.
µ2n
(2.2)
Definición 2.2.2 Un funcional de momentos L se dice regular o cuasi-definido si
Hn (µ0 ) 6= 0, n = 0, 1, · · · .
La relación entre un funcional lineal regular y la existencia de una SPO se refleja en el
siguiente teorema:
Teorema 2.2.1 [ [4], pág. 11. ] Sea L un funcional de momentos con sucesión de momentos {µn }. Una condición necesaria y suficiente para la existencia de una SPO para L
es que sea regular.
En las condiciones del corolario 2.1.1 y del teorema anterior, cada polinomio Pn (x) está determinado de forma única salvo un factor multiplicativo.
Teorema 2.2.2 Sea {Pn (x)} la SPOM2 asociada a un funcional de momentos regular L .
Entonces, para cada n ≥ 0, el polinomio Pn (x) viene dado por la expresión:
P0 (x) = 1,
Pn (x) =
µ0
µ1
µ1
µ2
1
..
..
.
Hn−1 (µ0 ) .
µn−1 µn
1
x
···
···
···
···
···
µn
µn+1
..
.
µ2n−1
xn
.
En el siguiente resultado, se exhibe una forma de calcular el funcional de momentos relacionado al producto de polinomios del mismo grado.
Teorema 2.2.3 [ [4], pág. 12. ] Sea {Pn (x)} un SPO para L , sea Pn (x) = kn xn +
· · · + k0 . Entonces para todo polinomio πn (x) = an xn + · · · + a0 de grado n,
L [πn (x)Pn (x)] = an L [xn Pn (x)] =
2
Sucesión de Polinomios Ortogonales Mónicos
an kn Hn
,
Hn−1
H−1 = 1,
(2.3)
2.2. EXISTENCIA DE UNA SPO
17
donde an denota el coeficiente principal de πn (x) y kn denota el coeficiente principal de
Pn (x).
A continuación se da la definición de un funcional regular definido-positivo, y en los
teoremas 2.2.4 y 2.2.5 se caracteriza dicho funcional.
Definición 2.2.3 Sea p(x) un polinomio tal que p 6= 0 y p(x) ≥ 0 para todo x real, y sea
L un funcional de momentos. Decimos que L es definido-positivo si L [p(x)] > 0.
Teorema 2.2.4 [ [5], págs. 58-60. ] Si L es un funcional de momentos definido positivo entonces todos sus momentos son reales.
Teorema 2.2.5 [ [4], pág. 14. ] Sea L definido-positivo entonces una SPO de polinomios reales para L existe.
El teorema anterior asegura que una condición suficiente para que una SPO exista, es que
el funcional de momentos L al que la sucesión se encuentra relacionada, sea un funcional
definido-positivo.
Para relacionar un funcional de momentos definido-positivo con un determinante de la
forma 4.4 es necesario conocer el siguiente:
Lema 2.2.1 [ [4], pág. 15. ] Sea π(x) no negativo para todo real x. Entonces existen
polinomios reales p(x) y q(x) tal que
π(x) = p(x)2 + q(x)2 .
Teorema 2.2.6 [ [4], pág. 15. ] L es definido-positivo si y solo sı́ sus momentos son
todos reales y Hn > 0, (n ≥ 0).
Demostración 4 Primero se prueba la condición suficiente, como sigue, supóngase µn
real y Hn > 0 para n ≥ 0. La existencia de una SPO para L está garantizada por el
teorema 2.2.1. Se puede asumir sin pérdida de generalidad que Pn (x) es mónico. Haciendo
uso del teorema 2.2.3 Se puede escribir:
L [Pn2 (x)] =
Hn
> 0.
H−1
Por el teorema 2.1.1, se tiene que Pn (x) es real. Ası́, sı́ p(x) es un polinomio real de grado
m, entonces
m
X
p(x) =
ak Pk (x).
k=0
Donde los ak son todos reales y am 6= 0. Por lo tanto
L [p (x)] =
2
m
X
aj ak L [Pj (x)Pk (x)] =
j,k=0
m
X
k=0
análogamente tomando q(x) se obtiene
L [q 2 (x)] > 0
a2k L [Pk2 (x)] > 0
18
CAPÍTULO 2. TEORÍA GENERAL DE POLINOMIOS ORTOGONALES
siempre que q 6= 0. Si se suman las 2 desigualdades se obtiene L [p2 (x) + q 2 (x)] > 0.
Haciendo uso del lema anterior se puede asociar la suma p2 (x) + q 2 (x) con un polinomio
no negativo. De esta forma se prueba que L es definido-positivo.
Recı́procamente, supóngase L definido-positivo ası́ que por el teorema 2.2.4 todos sus
momentos son reales y por el teorema 2.2.5 una SPO para L existe. De nuevo supóngase
que dicha SPO es de polinomios mónicos, por lo tanto se tiene
0 < L [Pn2 (x)] =
Hn
,
Hn−1
n≥0
y ya que H−1 = 1, se sigue que Hn > 0 para (n ≥ 0).
2.3.
Fórmula de Recurrencia y Teorema de Favard
En esta sección se enuncian dos teoremas, los cuales están relacionados, el primero de ellos
establece un resultado muy importante en la teorı́a general de polinomios ortogonales,
conocido como la relación de recurrencia a tres términos, esta relación permite asociar
polinomios de distintos grados pertenecientes a la misma sucesión (que además son consecutivos); y el segundo teorema resulta ser el recı́proco del primero.
Teorema 2.3.1 [ [4], pág. 18. ] Sea L un funcional de momentos casi definido y sea
{Pn (x)} la SPO de polinomios mónicos asociada a L . Entonces existen constantes cn y
λn 6= 0 tales que
Pn (x) = (x − cn )Pn−1 (x) − λn Pn−2 ,
n = 1, 2, 3, · · ·
(2.4)
Donde se define P−1 (x) = 0.
Más aún si L es definido positivo, entonces cn es real y λn+1 > 0 para n ≥ 1(λ1 es
arbitrario).
Demostración 5 Sea xPn (x) un polinomio de grado n + 1, por teorema 2.1.2, se puede
escribir
xPn (x) =
n+1
X
ank Pk (x)
k=0
an,k =
L [xPn (x)Pk (x)]
.
L [Pk2 (x)]
xPk (x) es un polinomio de grado k + 1, por lo tanto an,k = 0 para 0 ≤ k < n − 1, y como
Pn (x) es mónico xPn (x) es mónico, ası́, an,n+1 = 1 y se puede escribir
xPn (x) = Pn+1 + an,n Pn (x) + an,n−1 Pn−1 (x)
n ≥ 1.
Reemplazando n por n − 1, se tiene
xPn−1 (x) = Pn (x) + cn Pn−1 (x) + λn Pn−2 (x)
n≥2
despejando Pn (x) se tiene 2.4 para n ≥ 2. Pero 2.4 también se tiene para n = 1 si se
define P−1 (x) = 0 y
P1 (x) = (x − c1 )P0 (x) + λ1 P−1 (x)
= x − c1 ,
2.3. FÓRMULA DE RECURRENCIA Y TEOREMA DE FAVARD
19
si x = 0 se obtiene c1 = −P1 (0) ası́ 2.4 se tiene para n ≥ 1. Cabe agregar que en el caso
n = 1 λ1 es arbitrario.
Por otro lado multiplicando 2.4 por xn−2 y aplicando L se obtiene
L [xn−2 Pn (x)] = L [xn−1 Pn−1 (x)] − cn L [xn−2 Pn−1 (x)] − λn L [xn−2 Pn−2 (x)]
0 = L [xn−1 Pn−1 (x)] − λn L [xn−2 Pn−2 (x)]
reemplazando n por n + 1 se puede reescribir λn+1 como
λn+1 =
L [xn Pn (x)]
,
L [xn−1 Pn−1 (x)]
aplicando el teorema 2.2.3
λn+1 =
Hn−2 Hn
Hn−1
(H−1 = 1).
Por lo tanto los λk 6= 0, si L es casi definido. Más aún si L es definido positivo λ > 0
(n ≥ 2). Finalmente, usando el teorema 2.2.5 se tiene que Pk (x) es real y ası́ cn ∈ R.
Este teorema admite un recı́proco en el sentido de que cada sucesión de polinomios que
satisfaga una relación de recurrencia como la enunciada en 2.4, resulta ser una SPO, a este
resultado se le conoce como teorema de Favard, y se enuncia y demuestra a continuación.
∞
Teorema 2.3.2 (Teorema de Favard) [ [4], págs. 21-22. ] Sea {cn }∞
n=1 y {λn }n=1
sucesiones arbitrarias de números complejos y sea {Pn }∞
n=0 definida por la fórmula de
recurrencia
Pn = (x − cn )Pn−1 (x) − λn Pn−2 (x),
n = 1, 2, 3, · · · P−1 (x) = 0,
P0 (x) = 1.
(2.5)
Entonces hay un único funcional de momentos L tal que
L [1] = λ1 ,
L [Pm (x)Pn (x)] = 0,
para
m 6= n,
m, n = 0, 1, 2, · · ·
L es casi definido y {Pn (x)} es la correspondiente SPO de polinomios mónicos si y solo
si los λk 6= 0, además L es positivo definido si y solo si cn es real y λn > 0 (n ≥ 1).
Demostración 6 Se define el funcional de momentos L inductivamente.
L [1] = µ0 = λ1 ,
L [Pn (x)] = 0
n = 1, 2, · · ·
(2.6)
Esto es, se define µ1 por la condición
L [P1 (x)] = µ1 − c1 µ0 = 0
µ2 se define por la condición
L [P2 (x)] = µ2 − (c1 + c2 )µ1 + (λ2 − c1 c2 )µ0
etc. Ahora, se reescribe 2.4 en la forma
xPn (x) = Pn+1 (x) + cn+1 Pn (x) + λn+1 Pn−1
n ≥ 1.
(2.7)
20
CAPÍTULO 2. TEORÍA GENERAL DE POLINOMIOS ORTOGONALES
Por otro lado, sea π(x) = xPn (x) un polinomio de grado n + 1, teniendo en cuenta que
los Pn (x) son una base para el espacio de polinomios π(x) se puede escribir como
xPn (x) = π(x) =
n+1
X
ak Pk (x)
k=0
aplicando L tenemos
L [xPn (x)] = L [π(x)] =
n+1
X
ak L [Pk (x)] = 0
n≥2
(2.8)
k=0
utilizando 2.6.
Multiplicando a ambos lados de 2.7 por x y aplicando L junto con el resultado 2.8, se
obtiene
L [x2 Pn (x)] = 0 n ≥ 3.
En general se obtiene
L [xk Pn (x)] = 0
si
0 ≤ k < n,
L [x Pn (x)] = λn+1 L [xn−1 Pn−1 (x)]
n
Ahora, sea Pm (x) =
obtiene
Pm
k=0 bk x
k;
n ≥ 1.
bm = 1 otro polinomio, con Pm (x) definido ası́ se
L [Pm (x)Pn (x)] =
m
X
L [xk Pn (x)] = 0
m 6= n.
k=0
Y si m = n, utilizando el Teorema 2.2.3 se tiene
L [Pn2 (x)] = L [xn Pn (x)] = λ1 λ2 · · · λn+1
n ≥ 0.
Por lo tanto L es casi definido y {Pn (x)} es la correspondiente SPO de polinomios
mónicos si y solo sı́ λn 6= 0 para n ≥ 1. Finalmente, los momentos son reales si cn y λn
son todos reales, ası́ por el Teorema 2.2.4 L es definido positivo si y solo sı́ λn > 0 para
n ≥ 1.
2.4.
Cuasi-Ortogonalidad
El concepto de cuasi-ortogonal fue introducido por T.S. Chihara en [4] en donde afirma
que
Definición 2.4.1 Un polinomio q(x), no idénticamente cero, es llamado cuasi-ortogonal
de orden n + 1 si y solo sı́ este es de grado a lo sumo n + 1 y
L [xk q(x)] = 0,
para
k = 0, 1, . . . , n − 1
nótese que de acuerdo a esta definición los polinomios ortogonales Pn (x) y Pn+1 (x) son
ambos polinomios cuasi-ortogonales de grado n + 1.
2.4. CUASI-ORTOGONALIDAD
21
y esta definición fue generalizada por P. Maroni en [9]:
Definición 2.4.2 Sea L un funcional de momentos y t ∈ N. Una familia de polinomios {Rn }n se dice Cuasi-ortogonal de orden T relativo a L si se verifican las siguientes
condiciones:
< L , Rn Rm >= 0,
|n − m| ≥ t + 1,
Existe r ≥ t tal que < L , Rr Rr−t >6= 0.
Para el caso particular en que L es un funcional lineal regular, existe una SPOM {Pn }n
asociada a L . Si {Rn }n es cuasi-ortogonal de orden t con respecto a L , la expresión de
estos polinomios en la base {Pn }n viene dada por:
Rn (x) =
Rn (x) =
n
X
(n)
ak Pk (x),
k=0
n
X
k=n−t
(n)
ak Pk (x),
0 ≤ n ≤ t − 1,
n ≥ t.
Capı́tulo 3
Polinomios Ortogonales de
Laguerre
En este capı́tulo se introduce una de las familias de polinomios ortogonales clásicos, conocida como la sucesión de polinomios generalizados de Laguerre, usando para esto la fórmula
de Rodrigues; se describen y desarrollan varias propiedades que cumplen estos polinomios
(considerando que se trata de una SPO), además de algunas fórmulas recursivas que relacionan términos de distintos grados pertenecientes a esta sucesión. Para el desarrollo
del capı́tulo se usa como referencia [4], [12] y [3], en donde es posible ver el desarrollo de
las propiedades de estos polinomios y de los demás tipos de polinomios ortogonales clásicos.
Considérese el espacio L2 compuesto por las funciones reales cuadrado integrables1 con
respecto a una función peso2 ρ(x) > 0 en el intervalo (0, ∞) : L2 ((0, ∞), ρ(x)dx), es decir,
f ∈ L2 ((0, ∞), ρ(x)dx), si cumple que:
Z
+∞
f 2 (x)ρ(x)dx < ∞.
0
Formalmente los elementos de este espacio son clases de equivalencia de funciones (iguales en casi todo punto); y no funciones individuales. Esto no será un problema ya que
esencialmente se trabajará con funciones continuas. Al espacio de las funciones cuadrado integrables3 con respecto a la función peso ρ(x) > 0 es posible dotarlo del producto
interno:
Z
+∞
(f, g) =
f (x)g(x)ρ(x)dx.
(3.1)
0
Lo que permite definir su norma ||f || =
p
(f, f ).
1
Para conocer más acerca de estos espacios remı́tase a [7]
Una función ρ : Rn → (0, ∞) continua y estrictamente positiva sera denominada función peso.
3
Recuerdese que este espacio consiste de todas las µ-clases de equivalencia de funciones de valor real
X-medibles, para las cuales |f |2 tiene integral finita con respecto a una medida µ sobre X.
2
22
3.1. FÓRMULA DE RODRIGUES
3.1.
23
Fórmula de Rodrigues
Haciendo uso del producto interno definido en (3.1) y del método de Gramm-Schmidt, es
posible construir a partir de la familia de funciones 1, x, x2 , . . ., una sucesión de polinomios
ortogonales, pero este proceso, a pesar de ser sencillo, resulta ser algo tedioso. A continuación se da a conocer un método introducido por Olinde Rodrigues,4 por medio del cual, a
partir de una función peso determinada, es posible construir la correspondiente sucesión
de polinomios ortogonales.
Dada la función peso ρ(x) > 0, se define
φn =
1 dn n
[x ρ(x)] .
ρ(x) dxn
(3.2)
La ecuación (3.2) es conocida como Fórmula de Rodrigues 5 y a partir de ésta es posible
demostrar que las funciones
φn (x) obtenidas de esta manera son ortogonales respecto a
(3.1) a la familia xk , siempre que k < n.
En efecto,
k
Z
+∞
x
(x , φn (x)) =
0
k
Z +∞
n
1 dn n
k d
ρ(x)dx
=
x
[x
ρ(x)]
[xn ρ(x)] dx.
ρ(x) dxn
dxn
0
Dado que k < n, integrando por partes k veces, la última integral, se obtiene
Z +∞ n−k
d
(xk , φn (x)) =
[xn ρ(x)] dx = 0.
n−k
dx
0
(3.3)
(3.4)
Integrando por partes en (3.3), los términos en los que x es igual a 0, se anulan. Por otra
parte la función peso ρ(x) tiende a cero siempre que x → ∞.
Con lo anterior se ve que las funciones φn (x), definidas por (3.1) son ortogonales a xk ,
con k < n, pero aún no es claro que estas funciones sean polinomios. De hecho solo para
funciones peso muy especiales definidas por (3.1) son realmente polinomios de grado n.
Para n = 0, se tiene de (3.2) que φ0 (x) = 1, siendo este un polinomio de grado 0. Para
n = 1, se tiene de (3.2) que
ρ0
(3.5)
φn (x) = 1 + x ,
ρ
haciendo φ1 (x) = A + Bx (forma general de un polinomio de grado 1), se obtiene de (3.5):
ρ0
x + 1 = Bx + A.
ρ
ρ0
A−1
= B+
.
ρ
x
4
(3.6)
Olinde Rodrigues fue un matemático francés que hizo importantes descubrimientos en el campo de las
matemáticas y la fı́sica.
5
Fórmula usada para los polinomios de Legendre, introducida por Olinde Rodrigues que también es
utilizada para describir fórmulas similares para otros polinomios ortogonales, en este caso los polinomios
de Laguerre.
24
CAPÍTULO 3. POLINOMIOS ORTOGONALES DE LAGUERRE
Donde (3.6) es una EDO para ρ(x). Ası́ integrando (3.6) en ambos lados de la igualdad,
se obtiene
ρ(x) = Cx(A−1) eBx ,
(3.7)
donde el valor de la constante C debe ser positivo y además es irrelevante, ası́, sin pérdida
de generalidad C = 1. Por otra parte se debe exigir que la función peso se anule cuando
x → ∞; por tal motivo, B < 0. Además se denota por α a A − 1, y para asegurar la
convergencia de las integrales en (3.3), se debe hacer α > −1. Por tanto, la función peso
w(x) que asegura que φ1 es un polinomio de grado 1, está dada por
ρ(x) = xα e−x .
(3.8)
Es posible demostrar que las funciones φn que se obtienen de la fórmula de Rodrigues
con la función peso dada por (3.8) son efectivamente polinomios de grado n, ortogonales
con respecto al producto interno (3.1), polinomios que (salvo constante de normalización)
se conocen como polinomios generalizados de Laguerre o polinomios de Laguerre-Sonine
pero en lo que sigue se hará referencia a estos simplemente como polinomios de Laguerre,
y estarán definidos por la fórmula de Rodrigues como sigue
−1 −α x
L(α)
e
n (x) = (n!) x
dn n+α −x
(x
e ).
dxn
(3.9)
Cabe resaltar que los polinomios de Laguerre aparecen en la resolución de la parte radial
de la ecuación de Schrödinger para el átomo de hidrogeno.
3.2.
Propiedades
A continuación se presentan algunas propiedades que cumplen los polinomios ortogonales
de Laguerre, empezando por dar una fórmula que generaliza la sucesión {Lαn (x)} y terminando con una proposición que resulta ser una de las relaciones de recurrencia que cumplen
estos polinomios además de ser un resultado relevante en el desarrollo del capı́tulo 4.
Considérese ahora, el producto escalar de Laguerre-Sonine
Z
(f, g) =
+∞
f (x)g(x)ρ(α) (x)dx,
0
donde ρ(α) (x) = xα e−x ; donde α > −1, representa a la función peso de Laguerre.
(α)
Se denota por {Ln (x)}n la SPO de Laguerre Sonine, con respecto al producto interno
anteriormente definido. Haciendo uso de este producto interno es posible deducir una
fórmula que los generaliza.
3.2. PROPIEDADES
3.2.1.
25
Generalización
n
o
(α)
Los polinomios de Laguerre Ln (x) , pueden definirse por la fórmula de Rodrigues, dada
n
o
(α)
en (3.9), con α > −1 6 ; el caso en que la sucesión Ln (x) sea una SPOM (sucesión de
polinomios ortogonales mónica) se definirá por
n −α x
L(α)
e
n (x) = (−1) x
dn n+α −x
(x
e ),
dxn
α > −1.
Una fórmula explı́cita para estos polinomios se obtiene de la fórmula (3.9), con ayuda
de la fórmula de Leibniz para la n-ésima derivada, de donde se obtienen las siguientes
expresiones
dn n+α −x
(x
e ).
dxn
n n−k
n
X
n d
α+k d
−1 x
x
e−k .
= (n!) e
k dxn
dxk
k=0
n X
n
(−1)k e−x (α + n)(α + n − 1) · · · (α + n − (n − k − 1))xα+n−(n−k) .
= (n!)−1 ex
k
k=0
n X
n
−1 x
(−1)k e−x (α + n)(α + n − 1) · · · (α + k + 1)xα+k .
= (n!) e
k
−1 −α x
L(α)
e
n (x) = (n!) x
k=0
n
X
=
(n!).
k=0
=
n
X
k=0
(−1)k
1
(α + n)(α + n − 1) · · · (α + k + 1)xα+k .
k!(n − k)!
Empleando la definición del coeficiente binomial dada por (1.1.2), se tiene finalmente
L(α)
n (x)
n
X
(−x)k n + α
=
,
k!
n−k
(3.10)
k=0
para α > −1, donde el coeficiente lı́der es
Cn = Cn (α) =
(−1)n
.
n!
Haciendo uso de (3.10) se generan los cuatro primeros polinomios de Laguerre consignados
en el siguiente cuadro:
6
El caso cuando α = 0 es el originalmente estudiado por Edmond N. Laguerre
26
CAPÍTULO 3. POLINOMIOS ORTOGONALES DE LAGUERRE
(α)
n
0
1
2
3
Ln (x)
1.
1 + α − x.
1
1 2
2 (1 + α)(2 + α) − (2 + α)x + 2 x .
1
1
1
1 3
2
6 (1 + α)(2 + α)(3 + α) − 2 (2 + α)(3 + α)x + 2 (3 + α)x − 6 x .
Cuadro 3.1: Polinomios Ortogonales de Laguerre.
3.2.2.
Función Generatriz
En este apartado, se ve que es posible hallar una función generatriz Gα (x, t) de los polinomios de Laguerre, partiendo de la función generadora exponencial de una sucesión {an },
dada por
∞
X
G(x, t) =
an tn ,
n=0
tal que {an } =
∞
(α)
X
Ln (x)
n=0
n!
(α)
{Ln (x)},
n
t . =
y usando (3.10) se tiene
∞ X
n
X
n=0 k=0
=
∞ X
n+α 1
n=0
=
n+α 1 k n
(−1)
x t .
n − k k!
k
∞
X
n+α 1 1 n
n+α 1 2 n
n+α 1 n n
x t −
x t +
x t − ··· ±
x t .
n − 0 0!
n − 1 1!
n − 2 2!
n − n n!
kx
(−1)
k=0
0 n
∞ k X
n
k!
n=k
+α n
t .
n−k
Haciendo n = k + i se llega a
∞
(α)
X
Ln (x)
n=0
n!
n
t
∞
∞ k X
X
α + k + i k+i
kx
=
(−1)
t .
k!
n−k
i=0
k=0
∞
∞ k
X
X
α+k+i i
kx k
=
(−1)
t
t.
k!
n−k
=
k=0
∞
X
(−1)k
k=0
=
=
i=0
xk
k!
tk
1
.
(1 − t)α+k+1
∞
X
1
(−1)k xk tk
.
α+1
(1 − t)
k!(1 − t)k
k=0
k
−xt
∞
X
1−t
1
.
(1 − t)α+1
k!
k=0
=
−xt
1
e 1−t .
α+1
(1 − t)
3.2. PROPIEDADES
27
De esta forma la función generatriz de la sucesión {Lαn (x)} está dada por:
Gα (x, t) =
−xt
1
e( 1−t ) .
α+1
(1 − t)
(3.11)
n
o
(α)
Hasta aquı́ se han visto algunas propiedades que cumple la sucesión Ln (x) ; la siguiente
sección expone varios resultados clave, como lo son algunas relaciones de recurrencia que
verifican estos polinomios, además haciendo uso de estas relaciones es posible deducir la
ED de la que estos polinomios son soluciones.
3.2.3.
Relaciones de Recurrencia y ED de Laguerre
El camino que se sigue para hallar la ecuación diferencial de Laguerre, empieza haciendo
uso de la función generatriz de los polinomios de Laguerre (3.11), y en el recorrido para
encontrarndicha ecuación
se deducirán algunas relaciones de recurrencia que cumple la
o
(α)
sucesión Ln (x) . Las relaciones de recurrencia son quizá las herramientas más útiles
en el tratamiento de los polinomios ortogonales en general, ya que de estas se desprende
nuevas propiedades.
Reescribiendo la ecuación (3.11) se tiene:
−xt
e 1−t
= (1 − t)α+1
∞
(α)
X
Ln (x)
n!
n=0
−xt
−x
e 1−t
2
(1 − t)
α
= −(α + 1)(1 − t)
tn .
(3.12)
∞
(α)
X
Ln (x)
n!
n=0
n
α+1
t + (1 + t)
∞
(α)
X
Ln (x)
n=0
n!
tn−1 .
Sustituyendo (3.12):
∞
−
(α)
X Ln (x)
x
α+1
(1
−
t)
tn
(1 − t)2
n!
n=0
=
(1 − t)
α+1
∞
(α)
X
Ln (x)
n=0
− (α + 1)(1 − t)
α+1
n!
tn−1
∞
(α)
X
Ln (x)
n=0
n!
tn .
28
CAPÍTULO 3. POLINOMIOS ORTOGONALES DE LAGUERRE
− x
∞
(α)
X
Ln (x)
n=0
n!
n
t
= (1 − t)
2
(α)
∞
X
Ln+1 (x)
n!
n=0
=
(α)
∞
X
Ln+1 (x)
n!
n=0
−
(α + 1)
t − (α + 1)(1 − t)
(α)
∞
X
Ln+1 (x)
n!
(α)
∞
X
Ln+1 (x)
n!
n=0
− (α + 1)
t + (α + 1)
n!
tn − 2
∞
X
tn+1 +
n=0
(α)
Ln (x) n
n=0
=
n!
(α)
∞
X
Ln+1 (x)
n=0
∞
X
n=0
n!
tn .
tn+2
(α)
Ln (x) n+1
t
.
n!
(α)
∞
∞
(α)
X
Ln (x) n X Ln−1 (x) n
t +
t
(n − 1)!
(n − 2)!
n=1
(α)
Ln (x) n
n!
n=0
∞
(α)
X
Ln (x)
n=0
tn − 2
∞
X
n
t + (α + 1)
n=2
∞
X
n=0
(α)
Ln−1 (x) n
t .
(n − 1)!
De donde comparando coeficientes se tiene, entonces que
−
x (α)
L (x) =
n! n
(α)
(α)
(α)
(α)
(α)
Ln+1 (x)
Ln−1 (x)
L
(x)
Ln (x)
Ln (x)
−2
+
− (α + 1)
+ (α + 1) n−1
.
n!
(n − 1)!
(n − 2)!
n!
(n − 1)!
(α)
(α)
(α)
(α)
(α)
− xL(α)
n (x) = Ln+1 (x) − 2nLn (x) + n(n − 1)Ln−1 (x) − (α + 1)Ln (x) + (α + 1)nLn−1 (x).
Ası́
(α)
(α)
0 = Ln+1 (x) − L(α)
n (x)(2n + (α + 1) − x) + Ln−1 (x)n(n + α).
(3.13)
considere
(α)
nLn−1 + L(α−1)
= L(α)
n
n .
Derivando esta expresión respecto a x, se tiene:
d (α)
d (α−1)
d (α)
Ln
= n Ln−1 +
L
.
dx
dx
dx n
y derivando la expresión (3.11) respecto a x, se obtiene:
(3.14)
3.2. PROPIEDADES
29
1
−t
( −xt
1−t )
e
1−t
(1 − t)(α+1)
∞
(α)
X
Ln
n=0
−
n!
tn
−t
1−t
∞
(α)
X
Ln
n=0
n!
=
=
tn+1 =
∞
X
d (α)
n
dx Ln
n!
n=0
∞ d (α)
X
n
dx Ln
n!
t .
n=0
∞ d (α)
X
n
dx Ln
n!
n=0
(α)
∞
∞
X
X
Ln−1 n
−
t =
(n − 1)!
n=0
t .
t −
d (α)
n
dx Ln
n!
n=0
t −
∞
X
d (α)
n+1
dx Ln
t
n!
.
n=0
∞ d
X
dx Ln−1 n+1
n=0
(n − 1)!
t
.
De donde comparando coeficientes en t, se tiene que:
(α)
Ln−1 n
t =
(n − 1)
(α)
− n
d (α)
n
dx Ln
n!
t −
d (α)
dx Ln−1 n+1
(n − 1)!
t
.
Ln−1 n
t =
(n − 1)
(α)
nLn−1
d (α)
d (α)
L − n Ln−1 .
dx n
dx
d (α)
d (α)
L .
= n Ln−1 −
dx
dx n
(3.15)
(3.16)
(3.17)
Esto es, reordenando los términos, se tiene que:
n
d (α)
d (α)
(α)
Ln−1 =
Ln + nLn−1 ,
dx
dx
(3.18)
nótese además que, cambiando n por n + 1 en (3.17), se obtiene que:
(n + 1)L(α)
n = (n + 1)
d (α)
d (α)
Ln −
L
.
dx
dx n+1
es decir, que:
d (α)
L
= (n + 1)
dx n+1
d (α)
Ln − L(α)
.
n
dx
Por otro lado, derivando respecto a x la expresión (3.23), se tiene que:
d (α)
d (α)
d (α)
(α)
Ln+1 − −Ln + (2n + 1 + α − x) Ln−1 + n(n + α) Ln−1 = 0.
dx
dx
dx
(3.19)
(3.20)
Luego, sustituyendo (3.18) y (3.19) en (3.20), se obtiene
(n+1)
d (α)
d (α)
d
(α)
(α)
L −(n+1)L(α)
L +(n+α) L(α)
+n(n+α)Ln−1 = 0,
n +Ln −(2n+1+α−x)
dx n
dx n
dx n
30
CAPÍTULO 3. POLINOMIOS ORTOGONALES DE LAGUERRE
de donde desarrollando, se llega a
x
d (α)
(α)
Ln − nL(α)
n + n(n + α)Ln−1 = 0.
dx
(3.21)
Ahora bien, de (3.21) y teniendo en cuenta (3.17), se obtiene por una parte
x
d (α)
d (α)
(α)
Ln − nL(α)
L = 0,
n + n(n + α)Ln−1 − (n + α)
dx
dx n
de donde se obtiene que
n(n + α)
d (α)
d (α)
Ln−1 = nL(α)
L (n + α − x),
n +
dx
dx n
(3.22)
y por otro lado, derivando la ecuación (3.21) respecto de x y utilizando (3.22), se tiene
que:
d (α)
d2
d (α)
Ln + x 2 L(α)
L
= 0.
n − n(n + α)
dx
dx
dx n−1
d2
d (α)
d
d (α)
(α)
x 2 L(α)
Ln − n L(α)
L (n + α − x) = 0.
n +
n + nLn +
dx
dx
dx
dx n
d (α)
d2
L + nL(α)
= 0.
x 2 L(α)
n + (α + 1 − x)
n
dx
dx n
(α)
Por lo tanto, que Ln
es solución de la ecuación de Laguerre
xy 00 + (α + 1 − x)y 0 + ny = 0.
Del desarrollo anterior, es posible deducir varias relaciones de recurrencia que se obtienen
haciendo uso de la función generatriz de los polinomios de Laguerre y realizando algunos cálculos adicionales que resultan ser sencillos, pero que no se realizarán, en lugar de
deducirlos se enunciarán en la siguiente lista:
Relación de recurrencia de tres términos:
(α)
(α)
(α)
Ln+1 (x) + (2n + α + 1)Ln (x) + n(n + α)Ln (x).
Relación diferencial:
d (α)
dx Ln
(α+1)
= nLn−1 (x).
Relaciones de estructura:
(α)
(α)
d
x dx
Ln (x) = nLn (x) + n(n + α)Ln−1 n(α) (x).
(α)
d
x dx
Ln (x) = −Ln+1 n(α) (x) + [x − (n + α + 1)] Ln n(α) (x).
3.2. PROPIEDADES
3.2.4.
31
Ortogonalidad
A continuación se verá que los polinomios de Laguerre son ortogonales respecto la función
peso ρ(α) (x) = xα e−x .
n
o
(α)
La sucesión de polinomios Ln (x) está definida por la fórmula
Pn (x) = Kn−1 (w(x))−1 Dn (ρn (x)w(x)),
n = 0, 1, 2, . . .
(3.23)
Donde:
i) Kn = n!,
ii) ρ(x) es un polinomio independiente de n y de grado 1,
iii) w(x) es positivo e integrable sobre (a, b) donde (0, ∞),
iv) Dk (ρn (x)w(x)) desaparece para x = a y x = b, 0 ≤ k ≤ n (aquı́ la condición de
α > −1 debe ser impuesta).
Para enteros no negativos n y m se escribe
Z
b
m
x Pn (x)w(x)dx =
Imn =
Kn−1
Z
b
xm Dn (ρn (x)w(x))dx.
a
a
Integrando por partes y usando (iv), se tiene
Z b
Kn Imn = xm Dn−1 [ρ(x)w(x)]ba − m
xm−1 Dn−1 [ρn (x)w(x)] dx.
a
Z
b m−1 n−1 n
= m ax
D
[ρ (x)w(x)] dx.
Asumiendo que 0 ≤ m ≤ n. Haciendo repetidamente el mismo proceso, después de m
pasos se obtiene
m
Z
b
Kn Imn = (−1) m!
Dn−m [ρn (x)w(x)]dx.
a
Entonces si m < n integrando una vez más da como resultado
Kn Imn = (−1)m m!Dn−m−1 [ρn (x)w(x)]ba = 0.
Ahora, si m = n
n
Z
Kn Inn = (−1) n!
a
b
ρn (x)w(x)dx.
32
CAPÍTULO 3. POLINOMIOS ORTOGONALES DE LAGUERRE
En el caso de los polinomios de Laguerre la ortogonalidad está dada por
Z ∞
n
xn+α e−x dx.
n!Inn = (−1) n!
0
Z b
n
xnα e−x dx.
= (−1)
a
= (−1)n Γ(n + α + 1).
Se puede escribir la relación explı́cita de ortogonalidad
Z ∞
Γ (n + α + 1)
(α)
α −x
L(α)
δmn ,
m (x)Ln (x)x e dx =
n!
0
n
o
(α)
o en el caso en que Ln
se una SPOM se tendrá que
Z
∞
(α)
α −x
L(α)
m (x)Ln (x)x e dx = Γ (n + α + 1) n!.
0
La siguiente proposición es de gran utilidad, ya que es una herramienta valiosa para el
estudio de los polinomios de Laguerre.
Proposición 3.2.1 El polinomio de Laguerre mónico de grado n, puede ser escrito como
la suma de las derivadas de los polinomios mónicos de Laguerre de grados n y n + 1, esto
es
0
1 (α) 0
(α+1)
(α+1)
Ln+1 (x) + L(α)
(x).
(3.24)
L(α)
(x) + nLn−1 (x) =
n
n (x) = Ln
n+1
Como es usual, se define por
Kn (x, y) =
(α)
(α)
n
X
Lj (x)Lj (y)
(α)
j=0
,
Kj
n
o
(α)
al n-ésimo kernel asociado a la SPOM Ln (x) , y por
n
Kn(r,s) (x, y) =
las correspondientes derivadas parciales.
∂ r+s
Kn (x, y),
∂xr ∂y s
Capı́tulo 4
Polinomios Ortogonales de
Laguerre-Sobolev
El objetivo de este capı́tulo es estudiar una nueva sucesión de polinomios ortogonales,
n llamados
o polinomios ortogonales de Laguerre-Sobolev esta sucesión se denotará por
(α)
Qn (x) ; para realizar este estudio, es necesario introducir la definición de producto
n
interno de
auxiliar
n
o Sobolev, además se construye una sucesión
n
o de polinomios denotada por
(α)
(α)
Rn (x) que estará en función de la sucesión Qn (x) , se deducen propiedades para
n
n
ésta sucesión apoyándose en algunas de las propiedades de los polinomios ortogonales de
Laguerre enunciadas en el capı́tulo anterior, todo esto con el fin de establecer una relación
entre la sucesión de polinomios ortogonales de Laguerre y la sucesión de polinomios ortogonales de Laguerre-Sobolev. Para lograr el objetivo descrito anteriormente se usa como
referencia [10] y [8].
4.1.
Preliminares
En este capı́tulo se estudia un caso particular de producto escalar. Sean Ei , con i =
0, . . . p, p + 1 espacios de funciones dotados del producto escalar (., .)i , respectivamente,
y Nótese por F al espacio de las funciones derivables hasta orden p tales que si f ∈ F ,
entonces f (i) ∈ Ei , con i = 0, . . . , p, de esta forma es posible introducir la siguiente
Definición 4.1.1 Se llama producto escalar de Sobolev a todo producto escalar en F
que puede ser escrito de la siguiente forma:
(f, g)s =
p
X
(f (i) , g (i) )i ,
(4.1)
i=0
donde (., .)0 , . . . , (., .)p son productos escalares estándar definidos sobre Ei , i = 0, . . . , p,
respectivamente.
Definición 4.1.2 Se dice que una SPO {Qn (x)}n es de Sobolev si el producto escalar
al cual está asociada es un producto escalar de Sobolev.
33
34
CAPÍTULO 4. POLINOMIOS ORTOGONALES DE LAGUERRE-SOBOLEV
Los polinomios ortogonales que se estudian tradicionalmente se basan en productos internos que satisfacen la propiedad
(xf (x), g(x)) = (f (x), xg(x)) ,
∀f, g ∈ E.
(4.2)
Algunas de las propiedades de estos polinomios (por no decir que la mayorı́a) se desprenden de (4.2), como ejemplo de esto, está la relación de recurrencia a tres términos.
Se dice que si el producto escalar al cual está asociada una SPO satisface (4.2), entonces
la SPO es estándar.
El producto interno definido en (4.1) no verifica la propiedad (4.2), por tanto si {Qn (x)}n
es una SPO de Sobolev, entonces no es estándar.
El estudio de los polinomios ortogonales de Sobolev se ha enfocado desde tres puntos
de vista diferentes, según el tipo de productos escalares involucrados en el producto de
Sobolev. En esta ocasión, es de particular interés el caso continuo:
Z
Z
(f, g) = f (x)g(x)dµ0 (x) + λ f 0 (x)g(x)dµ1 (x),
I
I
donde λ ≥ 0 y dµ0 (x), dµ1 (x) son medidas no negativas relacionadas en la forma:
A(x)dµ0 (x) = B(x)dµ1 (x),
con A(x), B(x) polinomios arbitrarios.
En este capı́tulo se estudian los polinomios ortogonales de Sobolev asociados a la medida
de Laguerre sobre el intervalo [0, +∞) : dµ0 (x) = dµ1 (x) = x−α e−x dx, α > −1, a los
cuales se les da el nombre de polinomios de Laguerre Sobolev.
Espacios de Sobolev
En el presente trabajo se habla del producto interno de Sobolev el cual no tiene relación
con los conocidos espacios de Sobolev, para ver esto se establece la definición de estos
espacios a continución tomando como referencia [2].
Definición 4.1.3 Sea I = (a, b) un intervalo abierto contenido en R, y sea p ∈ R con
1 ≤ p ≤ ∞, se define por espacio de Sobolev W 1,p (I)1 por
Z
Z
W 1,p (I) = u ∈ Lp (I); ∃g ∈ Lp (I) tal que uϕ0 = − gϕ ∀ϕ ∈ Cc1 (I) .
I
I
En donde Cc1 (I) denota el conjunto de las funciones con derivadas continuas (c) hasta
orden 1 y soporte compacto en I, el espacio Lp (I) se define como en la sección 1.3. En
particular, se nota H 1 (I) = W 1,2 (I).
4.2. POLINOMIOS ORTOGONALES DE LAGUERRE-SOBOLEV
35
Dado u ∈ W 1,p (I) la función g en las condiciones de la definición, se llamará derivada
débil de u y se denota u0 = g. A las funciones ϕ se les suele llamar funciones test.
Es claro que si u ∈ C 1 (I) ∩ Lp (I) y si U 0 ∈ Lp (I) (aquı́ u0 es la derivada usual de u)
entonces u ∈ W 1,p (I). Mas aún, la derivada usual de u coincide con su derivada en el
sentido de W 1,p .
Ejemplo 4.1.1 Sea I = (−1, +1), la función u(x) = |x| pertenece a W 1,p (I) para todo
1 ≤ p ≤ ∞ y u0 = g, donde
+1 si 0 < x < 1
-1 si −1 < x < 0.
g(x) =
4.2.
Polinomios Ortogonales de Laguerre-Sobolev
En esta sección se hace un estudio de los polinomios que son ortogonales con respecto al
producto escalar de Sobolev :
Z
(f, g)s =
+∞
α −x
f (x)g(x)x e
Z
dx + λ
0
+∞
f 0 (x)g 0 (x)xα e−x dx.
(4.3)
0
Donde α > −1 y λ ≥ 0. Se denota por {Qn (x)}n la SPOM con respecto al producto escalar
(., .)s y se llama sucesión de polinomios ortogonales mónicos de Laguerre-Sobolev.
A partir de la definición, se puede deducir (haciendo uso del método de Gram-Schmidt)
(α)
(α)
que los dos primeros polinomios de las sucesiones {Ln }n y {Qn }n coinciden:
(α)
(α)
(α)
(α)
Q0 (x) = L0 (x) = 1,
Q1 (x) = L1 (x) = x − (α + 1),
pero si λ > 0, ambas sucesiones serán diferentes ya que el segundo término del producto
4.3 empieza a influir para grados mayores (n ≤ 2).
A continuación se notan los momentos asociados a la función peso ρ(α) (x) en la siguiente
forma:
Z +∞
ui,j = ui+j = (xi , xj ) =
xi+i ρ(α) (x)dx,
0
de donde para el producto 4.3, se tiene
ci,0 = c0,i = (xi , 1)s =
Z
0
+∞
= ui .
xi ρ(α) (x)dx + λ
Z
0
+∞
0ρ(α) (x)dx.
36
CAPÍTULO 4. POLINOMIOS ORTOGONALES DE LAGUERRE-SOBOLEV
y
i
Z
j
+∞
x
ci,j = cj,i = (x , x )s =
i+j (α)
ρ
+∞
Z
ijxi++j−2 ρ(α) (x)dx.
(x)dx + λ
0
0
= ui,j + λui+j−2 .
Ası́ se puede expresar los polinomios de Laguerre-Sobolev como un cociente de determinantes:
u0
u1
u1
u2 + λu0
..
..
.
.
un−1 un + λ(n − 1)un−2
1
x
(α)
Qn (x) = u0
u1
u1
u2 + λu0
..
..
.
.
un−1 un + λ(n − 1)un−2
···
···
···
···
···
···
···
···
···
(α)
u2n−1 + λn(n − 1)u2n−3 xn
.
un−1
un+1 + λun−2
..
.
2
u2n−1 + λ(n − 1) u2n−4 un
un+1 + λnun−1
..
.
(4.4)
(α)
Haciendo uso de 4.4 se calculan los polinomios Q1 (x) y Q2 (x).
u0 u1 1 x
u0 x − u1
(α)
=
.
Q1 (x) =
u0
u0
En donde
Z
+∞
u0 =
xα e−x dx = Γ(α + 1).
0
y
Z
+∞
u1 =
xα+1 e−x dx = Γ(α + 2) = (α + 1)Γ(α + 1).
0
Ası́ reemplazando u0 y u1 se obtiene
(α)
Q1 (x) =
Γ(α + 1)x − (α + 1)Γ(α + 1)
= x − (α + 1).
Γ(α + 1)
(α)
Ahora para Q2 (x) se tiene
(α)
Q2 (x) =
=
u0
u1
u2
u1 u2 + λu0 u3 + λ2u1 1
x
x2
.
u0
u1 u1 u2 + λu0 x2 (λu20 + u0 u2 − u22 ) + x(u1 u2 − u0 (2λu0 + u3 )) − λu0 u2 + 2λu21 + u1 u3 − u22
.
u0 (u2 + λu0 ) − u21
4.2. POLINOMIOS ORTOGONALES DE LAGUERRE-SOBOLEV
37
donde
Z
u2 =
+∞
xα+2 e−x dx = Γ(α + 3) = (α + 2)(α + 1)Γ(α + 1).
0
y
Z
u3 =
+∞
xα+3 e−x dx = Γ(α + 4) = (α + 3)(α + 2)(α + 1)Γ(α + 1).
0
ası́ reemplazando los valores de u0 , u1 , u2 y u3 y realizando los respectivos cálculos se
obtiene
(α)
Q2 (x) = −
x2 (α + λ + 1) − 2x(α + 1)(α + λ + 2) + (α + 1)(α2 + α(λ + 3) + 2)
.
α2 + α − λ
En la siguiente tabla se consignan los primeros cuatro polinomios de Laguerre-Sobolev y
los primeros tres polinomios de Laguerre, con el objetivo de hacer una comparación y ver
la forma en la que influye el producto interno al que están asociadas cada una de las SPO
estudiadas en el presente trabajo.
(α)
n
0
1
Ln (x)
1
1 + α − x.
2
1
2 (1
(α)
Qn (x)
1
1 + α − x.
+ α)(2 + α) − (2 + α)x + 12 x2 .
−x
2 (α+λ+1)−2x(α+1)(α+λ+2)+(α+1)(α2 +α(λ+3)+2)
α2 +α−λ
.
Cuadro 4.1: Polinomios Ortogonales de Laguerre y de Laguerre-Sobolev.
De la anterior tabla se puede ver que, en el caso particular en el que λ = 0 se tiene
(α)
Q2 (x) = x2 − 2x(α + 2) + (α + 1)(α + 2).
(α)
Que es el polinomio mónico L2 (x).
De la forma en que se definió el cociente de determinantes 4.4, se observa que cada coe(α)
ficiente de Qn (x) es una función racional en λ cuyo numerador y denominador tienen
grado n − 1. De esta forma es posible definir el polinomio lı́mite respecto a λ como sigue:
(α)
(α)
(α)
(α)
(α)
(α)
R0 (x) = Q0 (x) = L0 (x) = 1,
R1 (x) = Q1 (x) = L1 (x),
38
CAPÍTULO 4. POLINOMIOS ORTOGONALES DE LAGUERRE-SOBOLEV
u0
u1
u1
u
+
λu0
2
..
..
.
.
un−1 un + λ(n − 1)un−2
1
x
Rn(α) (x) = lı́m Q(α)
(x)
=
lı́m
n
λ→∞
λ→∞
u1
u0
u1
u
+
λu0
2
..
..
.
.
un−1 un + λ(n − 1)un−2
u0
u
1
λ
..
.
un−1
λ
1
(α)
Rn (x) = lı́m λ→∞ u0
u
1
λ
..
.
un−1
u1
u2 +λu0
λ
..
.
Rn(α) (x) =
x
···
···
···
u1
u2 +λu0
λ
···
···
un +λ(n−1)un−2
λ
···
···
un +λ(n−1)un−2
λ
..
.
λ
···
···
u0
u1
0
u0
..
..
.
.
0 (n − 1)un−2
1
x
u0
u1
0
u0
..
..
.
.
0 (n − 1)un−2
···
···
···
···
···
···
···
···
···
u2n−1 λn(n − 1)u2n−3 xn
.
un−1
un+1 + λun−2
..
.
2
u2n−1 λ(n − 1) u2n−4 ···
···
un
un+1 + λnun−1
..
.
···
···
···
···
···
···
···
un+1 +λnun−1
λ
..
.
u2n−1 λn(n−1)u2n−3 λ
xn
.
un−1
un+1 +λun−2
λ
..
.
u2n−1 λ(n−1)2 u2n−4 un
λ
n(n − 1)u2n−3 xn
.
un−1
(n − 1)un−2 ..
.
2
(n − 1) u2n−4 un
nun−1
..
.
El cual es un polinomio mónico de grado exactamente n e independiente de λ.
(α)
Gracias a las propiedades de ortogonalidad del polinomio Qn (x) se obtiene el siguiente
Teorema 4.2.1 Sea n ≥ 2. Entonces
i)
Z
0
+∞
Rn(α) (x)xα e−x dx = 0,
(4.5)
4.2. POLINOMIOS ORTOGONALES DE LAGUERRE-SOBOLEV
39
ii)
Z
+∞ Rn(α)
0
(x)xm xα e−x dx = 0,
con
0 ≤ m ≤ n − 2.
(4.6)
0
(α)
Demostración 7 Se procede demostrando primero (i), por definición de Rn (x) se tiene:
Z +∞
Z +∞
α −x
(α)
α −x
lı́m Q(α)
Rn (x)x e dx =
n (x)x e dx.
λ→∞
0
0
Z +∞
α −x
lı́m Q(α)
= lı́m
n (x)x e dx.
λ→∞
λ→∞ 0
.
= lı́m Q(α)
(x),
1
n
λ→∞
s
(α)
.
= lı́m Q(α)
(x),
Q
(x)
n
0
λ→∞
s
= 0.
(α)
ii) También de la definición de Rn (x), se obtiene
Z +∞
Z +∞ 0
0
(α)
m α −x
Rn
(x)x x e dx =
lı́m Q(α)
(x)xm xα e−x dx.
n
λ→∞
0
0
Z +∞ 0
Q(α)
(x)xm xα e−x dx.
= lı́m
n
λ→∞ 0
m+1
(α)
Ahora, considerando el producto Qn (x), xm+1
y haciendo uso de las propiedades
s
de ortogonalidad, se tiene que
m+1 Z +∞
xm+1
x
(α)
(α)
Qn (x),
=
Qn (x)
xα e−x dx.
m+1 s
m+1
0
Z +∞ 0
+λ
Q(α)
(x)xm xα e−x dx.
n
0
= 0.
De donde
Z +∞
Z +∞ 0
1
(α)
m α −x
m+1 α −x
Q(α)
x e dx.
Qn
(x)x x e dx =
−
λ
n (x)x
m+1
0
0
Z +∞
Z +∞ 0
1
(α)
m α −x
m+1 α −x
Q(α)
x e dx.
Qn
(x)x x e dx =
−
n (x)x
λ(m + 1)
0
0
Ası́
Z
lı́m
λ→∞ 0
+∞ Q(α)
n
0
m α −x
(x)x x e
dx =
lı́m −
λ→∞
1
λ(m + 1)
Z
+∞
m+1 α −x
Q(α)
x e dx = 0,
n (x)x
0
siempre que 0 ≤ m ≤ n − 2.
En particular, (4.6) implica
Rn(α)
0
(α)
(x) = nLn−1 (x),
n ≥ 2,
(4.7)
40
CAPÍTULO 4. POLINOMIOS ORTOGONALES DE LAGUERRE-SOBOLEV
pero, por la relación (4.5) y la proposición 3.2.1
(α)
n ≥ 2.
(α)
(α−1)
Rn(α) (x) = L(α)
n + nLn−1 (x),
(4.8)
(α)
Se puede concluir de (4.7) con α > 0, que Rn (x) = Ln
(x), es decir, Rn (x) es el
polinomio mónico clásico de Laguerre de grado n asociado a la función peso ρ(α−1) (x) =
(α)
xα−1 e−x . Si −1 < αn≤ 0,o Rn (x) es un polinomio cuasi-ortogonal de orden uno con
(α)
.
respecto a la SPOM Ln
n
Lo dicho anteriormente permite relacionar los polinomios de Laguerre-Sobolev con los
polinomios clásicos de Laguerre.
Proposición 4.2.1 Se verifica la siguiente relación
(α)
(α)
(α)
L(α)
n (x) + nLn−1 (x) = Qn (x) + dn−1 (λ)Qn−1 (x),
donde
(4.9)
(α)
(α)
(α)
Ln−1 , Ln−1
kn−1
s
=n
dn−1 (λ) = n .
(α)
(α)
(α)
Qn−1 , Qn−1
k̃n−1
(4.10)
O de forma equivalente,
(α)
Rn(α) (x) = Q(α)
n (x) + dn−1 Qn−1 (x).
(4.11)
(α)
Demostración 8 Se puede expresar el polinomio Rn (x) en términos de los polinomios
de Laguerre-Sobolev en la siguiente forma
n−1
X
Rn(α) (x) = Qn(α) (x) +
(α)
di (λ)Qi (x).
i=0
Los coeficientes pueden ser calculados utilizando las expresiones (4.7) y (4.8).
(α)
(α)
Rn , Qi
s
di (λ) = ,
(α)
(α)
Qi , Qi (x)
s
donde usando las propiedades de ortogonalidad, (4.7) y (4.8), se tiene que
(α)
Rn(α) , Qi
Z
s
=
0
Z
=
+∞
(α)
Rn(α) Qi ρ(α) dx
+∞ h
0
Z
=
0
Z
+λ
+∞ Rn(α)
0 0
(α) 0 (α)
Qi
ρ
Z
i
(α)
(α)
(α)
L(α)
+
nL
Q
(x)ρ
(x)dx
+
λn
n
n−1
i
0
+∞ h
L(α)
n +
(α)
nLn−1
i
(α)
Qi (x)ρ(α) (x)dx.
dx.
+∞ (α)
Ln−1
(α) 0 (α)
Qi
ρ dx.
4.2. POLINOMIOS ORTOGONALES DE LAGUERRE-SOBOLEV
41
y
(α)
(α)
Qi , Qi (x)
Z
s
+∞
=
=
0
(α)
k̃i .
(α) (α)
Qi Qi ρ(α) dx
+∞ Z
+λ
0
(α) 0
Qi
(α) 0 (α)
Qi
ρ
dx.
Por tanto
R +∞ h
0
di (λ) =
i
(α)
(α)
(α)
Ln (x) + nLn−1 (x) Qi (x)xα e−x dx
(α)
.
k̃i
Ası́, di (λ) = 0, con 0 ≤ i ≤ n − 2, por la ortogonalidad. Por último,
dn−1 (λ) =
i
R +∞ h (α)
(α)
(α)
L
(x)
+
nL
(x)
Qn−1 (x)xα x−x dx
n
n−1
0
(α)
.
Kn−1
(α)
= n
kn−1
(α)
.
k̃n−1
A partir de la relación anterior es posible definir una expresión de los polinomios de
Laguerre-Sobolev en términos de los polinomios de Laguerre.
Proposición 4.2.2 El polinomio de Laguerre-Sobolev de grado n admite la siguiente expresión en términos de los polinomios de Laguerre:
(α)
Q(α)
n (x) = Ln (x) +
n−1
X
(α)
e(n)
m Lm (x),
(4.12)
m=0
donde
e(n)
m
n−m−1
= (−1)
[m + 1 − dm (λ)]
n−1
Y
dj (λ).
j=m+1
Demostración 9 Basta aplicar la relación (4.9) a (4.12) sucesivamente, de forma que
(α)
(α)
(α)
Q(α)
n (x) = Ln (x) + nLn−1 (x) − dn−1 (λ)Qn−1 (x).
(α)
Aplicando la relación (4.9) para Qn−1 (x), se obtiene
(α)
(α)
(α)
(α)
Qn−1 (x) = Ln−1 (x) + (n − 1)Ln−2 (x) − dn−2 Qn−2 (x).
(α)
Reemplazando Qn−1 (x) en (4.13)
(4.13)
42
CAPÍTULO 4. POLINOMIOS ORTOGONALES DE LAGUERRE-SOBOLEV
Q(α)
n (x)
h
i
(α)
(α)
(α)
(α)
L(α)
(x)
+
nL
(x)
−
d
(λ)
L
(x)
+
(n
−
1)L
(x)
−
d
Q
(x)
.
n−1
n−2 n−2
n
n−1
n−1
n−2
=
(α)
(α)
(α)
L(α)
n (x) + nLn−1 (x) − dn−1 (λ)Ln−1 (x) − dn−1 (λ)(n − 1)Ln−2 (x)
=
+
(α)
dn−1 (λ)dn−2 (λ)Qn−2 (x).
(α)
Aplicando ahora la relación (4.9) en Qn−2 (x).
(α)
(α)
(α)
(α)
Qn−2 (x) = Ln−2 (x) + (n − 2)Ln−3 (x) − dn−3 (λ)Qn−3 (x).
(α)
(α)
Reemplazando Qn−2 (x) en Qn (x).
Q(α)
n (x)
=
(α)
(α)
(α)
L(α)
n (x) + nLn−1 (x) − dn−1 (λ)Ln−1 (x) − dn−1 (λ)(n − 1)Ln−2 (x)
+
(α)
(α)
dn−1 (λ)dn−2 (λ)Ln−2 (x) + dn−1 (λ)dn−2 (λ)(n − 2)Ln−3 (x)
(α)
−
dn−1 (λ)dn−2 (λ)dn−3 (λ)Qn−3 (x).
Haciendo este proceso sucesivamente se tiene que
Q(α)
n (x)
=
(α)
+
−
Q(α)
n (x)
Q(α)
n (x)
=
=
=
(α)
(α)
L(α)
n (x) + nLn−1 (x) − dn−1 (λ)Ln−1 (x) − dn−1 (λ)(n − 1)Ln−2 (x)
(α)
(α)
dn−1 (λ)dn−2 (λ)Ln−2 (x) + dn−1 (λ)dn−2 (λ)(n − 2)Ln−3 (x)
(α)
(α)
dn−1 (λ)dn−2 (λ)dn−3 (λ)Qn−3 (x) − · · · ± d0 (λ) . . . dn−1 L0 (x).
h
i
(α)
(α)
0
L(α)
(x)
+
(−1)
nL
(x)
−
d
(λ)L
(x)
n−1
n
n−1
n−1
h
i
(α)
(α)
+ (−1)1 (n − 1)dn−1 (λ)Ln−2 (x) − dn−2 (λ)dn−1 (λ)Ln−2 (x) + · · ·
h
i
(α)
(α)
· · · + (−1)n−1 d1 (λ) . . . dn−1 (λ)L0 (x) − d0 (λ) . . . dn−1 (λ)L0 (x) .
h
i
(α)
n−(n−1)−1
L(α)
(n − 1 + 1 − dn−1 (λ)) dn (λ) Ln−1
n + (−1)
h
i
(α)
n−(n−2)−1
+
(−1)
(n − 2 + 1 − dn−2 (λ)) Ln−2 + · · ·
h
i
··· +
(−1)n−1 (1 − d0 (λ)d1 (λ)d2 (λ) . . . dn−1 (λ)) L0 (x)


n−1
n−1
X
Y
(−1)n−m−1 [m + 1 − dm (λ)]
L(α)
dj (λ) L(α)
n (x) +
m (x).
m=0
j=m+1
Por tanto
Q(α)
n (x)
=
L(α)
n (x)
+
n−1
X
m=0
(n) (α)
em
Lm (x).
4.2. POLINOMIOS ORTOGONALES DE LAGUERRE-SOBOLEV
Donde
e(n)
m
n−m−1
= (−1)
n−1
Y
[m + 1 − dm (λ)]
43
dj (λ).
j=m+1
En la siguiente proposición se estudia el coeficiente dn (λ) que aparece en las expresiones
anteriores. Se obtiene a continuación una relación de recurrencia para el cálculo de estos
coeficientes en forma de fracción continua.
Proposición 4.2.3 Sea
dn (λ) =
(n + 1)(n + α)
,
n(2 + λ) + α − dn−1 (λ)
n ≥ 2,
(4.14)
2(α+1)
con la condición inicial d1 (λ) = λ+α+1
.
(α)
(α)
Demostración 10 Ya que Qn+1 , Qn
= 0, se sustituye la relación (4.11):
Z +∞
Z +∞ 0 (α)
(α) 0 (α)
(α) (α) (α)
(α)
Qn+1 , Q(α)
=
Q
Q
ρ
dx
+
λ
Q
Q
dx.
n
n
n
n+1
n+1 ρ
s
0
0
(α)
0 =
Qn+1 , Rn(α) .
s
(α)
(α)
0 =
Rn+1 − dn (λ)Rn(α) + dn (λ)Qn−1 , Rn(α) .
s
(α)
(α)
(α)
(α)
(α)
(α)
0 =
Rn+1 Rn
− dn (λ) Rn , Rn
+ dn (λ)dn−1 (λ) Rn−1 − dn−2 Qn−2 , Rn(α) .
s
s
s
h
i
(α)
(α)
(α)
(α)
(α)
(α)
0 =
Rn+1 , Rn
− dn (λ) Rn , Rn
− dn−1 (λ) Rn−1 , Rn
.
s
s
s
(α)
(α)
(α)
(α)
(α)
Pues Qn−2 , Rn
= 0 ya que Rn (x) es combinación lineal de Qn (x) y Qn−1 (x). La
s
expresión del corchete no puede ser nula, ya que en caso contrario, por la relación (4.8),
se tiene:
0 (α)
(α) 0
(α)
(α)
(α)
0 = Rn+1 , Rn
=
Rn+1 , Rn
+λ
Rn+1 , Rn
.
s
(α)
(α)
(α)
=
Ln+1 + (n + 1)L(α)
,
L
+
nL
n
n
n−1 .
= (n + 1)kn(α) .
Lo cual es absurdo. De esta forma se deduce
(α)
(α)
Rn+1 , Rn
s
,
dn (λ) = (α)
(α)
(α)
(α)
Rn , Rn − dn−1 (λ) Rn , Rn−1
s
y finalmente se debe calcular cada uno de los productos anteriores. Usando para esto las
relaciones (4.7) y (4.8), se obtiene
(α)
Rn+1
s
0
(α) 0
Rn+1 , Rn(α)
=
(α)
Rn+1 , Rn(α)
=
(α)
(α)
(α)
Ln+1 + (n + 1)L(α)
n , Ln + nLn−1 .
= (n + 1)kn(α) ,
+λ
.
44
CAPÍTULO 4. POLINOMIOS ORTOGONALES DE LAGUERRE-SOBOLEV
de aquı́ se deduce
Rn(α)
s
0 0 Rn(α) , Rn(α) + λ
Rn(α) , Rn(α)
.
(α)
(α)
(α)
(α)
(α)
=
L(α)
+
nL
,
L
+
nL
+
λ
nL
,
nL
n
n
n−1
n−1
n−1
n−1 .
=
(α)
= nkn−1 [(2 + λ)n + α] .
Sustituyendo estos valores en la expresión de dn (λ), y simplificando, se tiene:
dn (λ) =
(n + 1)(n + α)
.
(2 + λ)n + α − dn−1 (λ)
Estudiando la condición inicial de esta sucesión, se sabe que
(α)
(α)
(α)
(α)
Q0 (x) = L0 (x) = 1,
Q1 (x) = L1 (x) = x − (α + 1),
luego escribiendo la expresión (4.9) para n = 2, se deduce la condición inicial.
Capı́tulo 5
Caso Particular
(α)
El objetivo den este ocapı́tulo es observar el comportamiento de los polinomios n
Qn que
o
(α)
(α)
(α)
pertenecen a Qn
en comparación a los polinomios Ln que pertenecen a Ln
,
n
n
cuando se le asignan distintos valores a los parámetros α y λ.
5.1.
Caso particular polinomios de Laguerre
(α)
En esta primera gráfica se observa el comportamiento del polinomio L3 (x) con λ fijo y
α variando:
(α)
Figura 5.1: Polinomio L3 (x); −1 ≤ α ≤ 0,25.
45
46
5.2.
CAPÍTULO 5. CASO PARTICULAR
caso particular Polinomios de Laguerre-Sobolev
(α)
En la segunda gráfica se observa el comportamiento del polinomio Q3 (x) con λ fijo y α
variando:
(α)
Figura 5.2: Polinomio Q3 (x); −1 ≤ α ≤ 0,25, λ = 0,2.
(α)
Esta tercera gráfica indica el comportamiento del polinomio Q3 (x) con λ variando y α
fijo:
5.2. CASO PARTICULAR POLINOMIOS DE LAGUERRE-SOBOLEV
(α)
Figura 5.3: Polinomio Q3 (x); α = −0,5, 0 ≤ λ ≤ 0,2.
47
Conclusiones
Fue posible establecer sı́ntesis teóricas para la comprensión adecuada del artı́culo [8],
haciendo buen uso de los recursos bibliográficos, en el sentido de disponibilidad y
comprensión. Construyendo ası́ un buen referente teórico que permitió incluir todas las herramientas necesarias para abordar el problema central del trabajo y de
esta manera poder desglosar y entender parte de la teorı́a general de polinomios
ortogonales y con ella, las sucesiones de polinomios ortogonales de Laguerre y de
Laguerre-Sobolev.
En el estudio sistemático de casos particulares de sucesiones de polinomios asociadas
a un producto interno donde se involucran derivadas, como es el caso de los polinomios ortogonales de Laguerre-Sobolev, se evidencia que estos polinomios se pueden
concebir de cierta manera como una generalización de los polinomios clásicos de
Laguerre.
Los polinomios ortogonales de Laguerre-Sobolev son sucesiones de polinomios ortogonales especiales, ya que gozan de propiedades tales como relaciones de recurrencia
no necesariamente de tres términos, pero carecen de una muy caracterı́stica, como
la de ser solución de una ecuación diferencial de segundo orden.
48
Consideraciones
En el presente trabajo se desarrollaron temáticas básicas de la teorı́a general de polinomios
ortogonales, haciendo énfasis en los polinomios clásicos de Laguerre y los polinomios de
Laguerre-Sobolev, con el objetivo de comprender el artı́culo [8]; pese a esto no fue posible
reconstruir el artı́culo completo ya que este es bastante extenso, además los temas tratados
son de gran complejidad, ası́ que para lograr el entendimiento de este es necesario desarrollar sı́ntesis teóricas adicionales, las cuales no son una tarea sencilla para un estudiante
de pregrado, debido a la dificultad y el tiempo que esta tarea implica. Entre los temas no
desarrollados en este trabajo en relación con el artı́culo y que son de relevancia, están los
ceros de los polinomios ortogonales de Laguerre y de Laguerre-Sobolev, ver los polinomios
de Laguerrer-Sobolev como el ejemplo más sencillo de un par coherente y el análisis de
una relación de recurrencia para los polinomios de Laguerre-sobolev.
49
Bibliografı́a
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1966.
[2] H. Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations,
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[3] R. Benguria D., CLASE 7: LOS POLINOMIOS DE LAGUERRE Y HERMITE,
2004
[4] T.S. Chihara, An Introduction to Orthogonal Polynomials (Gordon an Breach, New
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[5] S. Clement Cooper, W. J. ThronContinued Fractions and Orthogonal Functions:
Theory and Applications, CRC press, New York, 1993.
[6] Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik, Concrete Mathematics, Addison-Wesley, Reading, Massachusetts,1989.
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[8] F. Marcellan, M. Piñar, T. Pérez , Laguerre-Sobolev Orthogonal Polynomials,
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[9] P. Maroni , Prolégomènes à L’étude des polynômes orthogonaux semi-classiques ,
Ann. Mat. Pur. Appl. 149 (4) (1987), 165-184.
[10] T. Pérez, Polinomios Ortogonales Respecto a Productos de Sobolev: El Caso Continuo, Granada, Diciembre 1993.
[11] Earl D. Rainvill, Special Functions 1a ed., The Macmillan Company, New York,
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[12] J. L. Sánchez, Polinomios ortogonales, 2013
[13] Gilbert Strang, Linear Algebra and its applications 4a ed., Thomson Brooks, United States of America, 2006.
[14] G.Szegö, Orthogonal Polynomials, Amer. Math. Soc. Colloq. Publ., Vol 23 (Amer.
Math. Soc., Providence, RI, 4a ed., 1975).
50