Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Mediante Grupos de Lie

Ecuaciones Diferenciales
Ordinarias Mediante Grupos de
Lie
Joan Sebastián Gaitán Rivera
Director
Ms.C. Carlos Antonio Julio Arrieta
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Facultad de Ciencias y Educación
Matemáticas
2015
Dedicatoria
Quiero dedicar este trabajo a mis padres por todo su cariño y amor que me han
brindado en estos años. A mi tı́a Marı́a Elsy, mi primo Daniel, mi hermano y mi
abuela Marı́a Elsa, quienes han estado siempre a mi lado, su confianza y apoyo
fueron determinantes para la realización de este trabajo. Gracias por creer en
mı́.
1
Agradecimientos
Quiero agradecer a la Universidad Distrital Francisco José de Caldas por la
formación académica que me ha otorgado. Estos años de estudio y grandes vivencias representaron en mı́ un enorme crecimiento en lo académico, personal,
emocional y en los demás aspectos importantes de mi vida.
Al Dr. Mikhail Malakhaltsev por sus observaciones y sugerencias, ya que estas permitieron mejorar enormemente este trabajo. Agradecer su comprensión,
amabilidad y por sacar parte de su tiempo para resolver mis inquietudes.
Al profesor Carlos Antonio Julio Arrieta primero por introducirme y motivarme
en sus cursos a realizar mi trabajo de grado en esta área de las matemáticas y
segundo por aceptar dirigir este trabajo. Gracias por su confianza, comprensión
y apoyo en todo este proceso.
Al coordinador de la carrera de matemáticas el profesor Milton Lesmes Acosta por hacerme notar algunos aspectos importantes que inicialmente no habı́a
contemplado en el trabajo.
Al profesor Carlos Orlando Ochoa Castillo por sus correcciones y recomendaciones, todas estas fueron importantes para la elaboración final del trabajo.
2
Resumen
El presente trabajo constituye una pequeña introducción a la extensa teorı́a
de grupos de Lie aplicados a las ecuaciones diferenciales. Mostramos que toda
Ecuación Diferencial Ordinaria de primer orden admite un grupo de transformaciones de Lie que la deja invariante y describimos como encontrar soluciones
exactas para las EDO de primer orden mediante el generador del grupo que esta
admite.
3
Objetivos
Objetivo General
• Describir el método de las coordenadas canónicas y aplicarlo para encontrar
soluciones de EDO de primer orden.
Objetivos Especı́ficos
• Exponer la estrecha relación que existe entre la teorı́a de grupos y las ecuaciones diferenciales.
• Demostrar que toda EDO de primer orden admite puntos de simetrı́a.
• Reconstruir algunos de los principales resultados encontrados por Shopus Lie
en el análisis y solución de EDO mediante simetrı́as.
• Brindar las herramientas necesarias para que estudiantes y futuros investigadores de la Universidad Distrital y del paı́s, puedan estudiar y comprender la
literatura existente en esta área.
4
Justificación
El estudio de las ecuaciones diferenciales, inicialmente tratadas por Newton para
describir el movimiento planetario, ha ido progresando enormemente a medida
que se avanzó en las ciencias naturales, especialmente en la fı́sica. En la actualidad las ecuaciones diferenciales se constituyen como el corazón del análisis
matemático y el estudio de sus soluciones es una herramienta importante para
comprender las ciencias fı́sicas y naturales. Es bien conocido el hecho que muchas de las leyes en biologı́a, quı́mica, fı́sica o astronomı́a, ası́ como abundantes
aplicaciones en la ingenierı́a y economı́a, encuentran su expresión más natural
en las ecuaciones diferenciales. Además, estas son fuente de grandes ideas y
teorı́as que han contribuido al enriquecimiento de un sinfı́n de áreas en las matemáticas, como por ejemplo, en el análisis avanzado y la geometrı́a diferencial,
de ahı́ que su estudio sea indispensable para la investigación en ciencias exactas
y naturales.
Ahora bien, aunque una buena parte de la investigación en los últimos dos siglos se ha dedicado a las ecuaciones diferenciales, nuestra actual comprensión
de ellas está lejos de ser completa.
La teorı́a de Sophus Lie muestra que es posible encontrar simetrı́as en una ecuación diferencial y usarlas sistemáticamente para encontrar soluciones exactas,
es decir podemos encontrar soluciones de ecuaciones diferenciales por medio de
grupos de transformaciones que dejan invariante a la ecuación. Hoy en dı́a la
mayorı́a de estas ideas siguen siendo la base de muchas investigaciones en matemática pura y aplicada.
Por lo tanto esta monografı́a se justifica, dado el interés por comprender mejor
la naturaleza de las soluciones de las ecuaciones diferenciales e introducirnos
en el estudio de las simetrı́as en ecuaciones diferenciales, una de las áreas con
mayor proyección investigativa en la actualidad.
5
Introducción
Cuando se estudian por primera vez las ecuaciones diferenciales ordinarias,
usualmente son presentadas como una desconcertante variedad de técnicas especiales diseñadas para resolver ciertos tipos particulares de ecuaciones, aparentemente sin relación, como las ecuaciones de variables separables, homogéneas
o exactas.
Esta era la única manera en la que se entendı́an y estudiaban las ecuaciones
diferenciales a mediados del siglo XIX. Poco tiempo después, en la mitad del
mismo siglo XIX, el matemático noruego Sophus Lie inicia el estudio de las
ecuaciones diferenciales mediante grupos de transformaciones, queriendo conseguir una teorı́a semejante a la desarrollada por Évariste Galois para ecuaciones
algebraicas y polinomiales, pero aplicada a las ecuaciones diferenciales.
Inicialmente Lie pensó en desarrollar una teorı́a geométrica que permitiera encontrar invariantes a partir de ciertas transformaciones que caracterizaran a estas ecuaciones. En este sentido a una ecuación diferencial le asoció una familia
finita de transformaciones y ası́ logró hallar resultados que relacionan estrechamente la teorı́a de grupos con las ecuaciones diferenciales.
Uno de los descubrimientos más profundos de Lie se basa en el hecho que las
técnicas especiales elaboradas para resolver algunos tipos particulares de ecuaciones diferenciales ordinarias, son en realidad, los casos particulares de un
procedimiento general de integración basados en la invarianza de la ecuación
diferencial bajo un grupo continuo de simetrı́as. Esta observación unificó y amplió significativamente las técnicas de integración disponibles, lo cual inspiró a
Lie a desarrollar y aplicar su teorı́a de grupos continuos de transformaciones,
actualmente conocidos como grupos de Lie.
6
Estado del Arte
(1874) Sophus Lie. Begründung einer Invariantentheorie der Berührungstransformationen. Teubner, Leipzig.
(1888) Sophus Lie. Theorie der Transformationsgruppen. Leipzig.
(1891) Sophus Lie. Vorlesungen über Differentialgleichungen mit Bekannten Infinitesimalen Transformationen. B. G. Teubner, Leipzig.
(1922) Elı́e Cartan. Lecons sur les Invariants Integraux. Parı́s.
(1930) Elı́e Cartan. La Theorie des Groupes Finis et Continus et l’Analysis Situs.
Gauthier-Villars, Paris.
(1936) Elı́e Cartan. La Topologie des Groupes de Lie, Exp. de Géométric. Hermann, Paris.
(1978) Lev Ovsyannikov. Group Analysis of differential equations. Academic Press,
New York.
(1983) Nail Ibragimov. Transformations groups applied to mathematical physics.
Holland.
(1989) Hans Stephani. Differential equations. Their solutions using symmetries.
Cambridge University Press.
(1993) Peter Olver. Applications of Lie groups to differential equations. Springer
Verlag, New York.
(1994) Nail Ibragimov. CRC Handbook of Lie group analysis of differential equations. Vol I Symmetries, exact solutions, and conservation laws.
(2002) George Bluman. Symmetry and Integration Methods for Differential Equations. Springer, New York.
(2012) Peter Olver. Lectures on Lie Groups and Differential Equations.
(2014) Gianni Manno, Francesco Oliveri and Giuseppe Saccomandi. Ordinary differential equations described by their Lie symmetry algebra.
(2015) Cheng Chen, Yao-Lin Jiang. Lie group analysis method for two classes of
fractional partial differential equations.
7
Metodologı́a
El trabajo inicia con la consulta de fuentes bibliográficas que profundicen las
temáticas y con el desarrollo de ejemplos que permitan conceptualizar mejor
las mismas. Para la elaboración del trabajo se lleva un registro de la actividad
matemática (ejemplos, teoremas, demostraciones y en general de los avances que
se obtengan) para ası́, ir cumpliendo con los objetivos planteados.
Finalmente se elabora una sı́ntesis, en esta se presenta una versión finalizada
y ordenada donde se encuentran las distintas conexiones, entre los conceptos y
razonamientos que llevaron al desarrollo del trabajo.
8
Índice general
Resumen
3
Objetivos
4
Justificación
5
Introducción
6
Estado del Arte
7
Metodologı́a
8
1. Preliminares
10
1.1. Aspectos generales sobre diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . 11
1.2. Ecuaciones Diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2. Grupos de Lie
2.1. Grupos . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Variedades Diferenciales . . . . .
2.3. Introducción a los Grupos de Lie
2.4. Acción de Grupos . . . . . . . . .
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3. Grupos de Transformaciones de Lie
3.1. Grupos de Tranformaciones de Lie Uniparamétricos
3.2. Transformaciones y Generadores Infinitesimales . . .
3.3. Serie de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4. Funciones Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5. Coordenadas Canónicas . . . . . . . . . . . . . . . .
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4. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Mediante Simetrı́as De Lie
4.1. Curvas Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Simetrı́as de EDO de Primer Orden . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Algoritmo para hallar la solución de una EDO . . . . . . . . . .
53
54
57
67
Conclusiones y Recomendaciones
74
9
Capı́tulo 1
Preliminares
} Es preciso detenerse en algún punto,
y para que la ciencia sea posible, debemos detenernos cuando encontremos la
simplicidad ~
Henri Poincaré.
10
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
1.1.
11
Aspectos generales sobre diferenciabilidad
En este capı́tulo se presentan los conceptos, definiciones y teoremas que son
necesarios para el desarrollo de este Trabajo de Grado.
Definición 1.1. Si para dos funcines f (x) y g(x) ocurre que lı́m
x→x0
|f (x)|
= 0,
|g(x)|
escribimos
f (x) = o(g(x)),
cuando x → x0 .
El sı́mbolo o se conoce como notación o minúscula de landau. En el caso de que
exista un > 0 tal que
|f (x)|
≤
lı́m
x→x0 |g(x)|
escribimos
f (x) = O(g(x)),
cuando x → x0 ,
y O se conoce como notación O minúscula de landau.
Definición 1.2. Sea U un conjunto abierto de Rn y f una función de U en
Rm . Si existe una transformación lineal A de Rn en Rm , tal que
|f (x + h) − f (x) − Ah|
= 0,
h→0
|h|
lı́m
(1.1)
decimos que f es diferenciable en x y se escribe f 0 (x) = A. Si f es diferenciable en todo x ∈ U decimos que f es diferenciable en U .
Observación 1.1. Naturalmente para que (1.1) tenga sentido, h ∈ Rn y si
|h| es lo suficientemente pequeño, entonces x + h ∈ Rn , pues U es abierto. De
manera que, f (x + h) ∈ Rm y Ah ∈ Rm . Por tanto, f (x + h) − f (x) − Ah ∈ Rm
y la expresión en (1.1) está bien definida.
Frecuentemente (1.1) se escribe en la forma
f (x + h) − f (x) = f 0 (x)h + r(h)
|r(h)|
= 0 o equivalentemente
h→0 |h|
donde r(h) es pequeño, en el sentido que lı́m
r(h) = o(h) cuando h → 0.
Ejemplo 1.1. Sabemos del cálculo que la función f : R −→ R, dada por
f (x) = sen(x), tiene derivada f 0 (x) = cos(x), para todo x ∈ R. Entonces
podemos escribir sen(x + h) = h cos(x) + r(h), donde r(h) = o(h) cuando
h → 0. Luego para valores muy pequeños de h podemos aproximar sen(x + h) ∼
sen(x) + h cos(x) con error igual a una fracción pequeña de h (r(h)). Utilizando la identidad trigonométrica: sen(x + h) = sen(x) cos(h) + cos(x) sen(h),
obtenemos r(h) = sen(x)(cos(h) − 1) + cos(x)(sen(h) − 1) y ası́ concluı́mos que
|r(h)|
lı́m
= 0.
h→0 |h|
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
12
Teorema 1.1. [15, Pág. 213] Supongamos que U y f son como en la Definición
1.2., x ∈ U y se satisface (1.1) con A = A1 y con A = A2 , entonces A1 = A2 .
Definición 1.3. Si f : U ⊆ Rn −→ R es una función de U en R definida
por (x1 , x2 , · · · , xn ) 7−→ f (x1 , x2 , · · · , xn ), decimos que f es continuamente
diferenciable en U o de clase C 1 (U ) y se escribe f ∈ C 1 (U ), cuando las
derivadas parciales
∂f
∂f
∂f
(x),
(x), · · · ,
(x)
∂x1
∂x2
∂xn
existen para todo x ∈ U y son continuas en U .
Diremos que f es C k diferenciable sobre U o de clase C k (U ) si y sólo si las
derivadas parciales de f (x1 , x2 , · · · , xn ) de todos los ordenes menores o iguales
a k existen y son continuas sobre U . Podemos extender el concepto y considerar
funciones infinitamente diferenciables, en estos casos f ∈ C ∞ (U ) o es de
clase C ∞ (U ), si existen las derivadas parciales de todos los ordenes (para cada
k ∈ N) y son continuas en U . En particular, f ∈ C 0 (U ) significa que f es
continua en U .
Por último decimos que f es analı́tica sobre U si existe una vecindad en cada
punto (a1 , a2 , · · · , an ) de U en las cuales f (x1 , x2 , · · · , xn ) puede ser expresada
como una serie de potencias convergente en xi − ai (i = 1, 2, · · · , n).
Ejemplo 1.2. Todo polinomio definido en Rn es una función de clase C ∞ (Rn ).
En R las funciones exponencial y logaritmo son funciones de clase C ∞ en los
intervalos donde están definidas.
Definición 1.4. Si f es una función real definida sobre un intervalo I de R,
f ∈ C n (I), x0 ∈ I y notamos la n-ésima derivada de f en x0 por f (n) (x0 ). El
polinomio de Taylor de orden n de f en x0 se expresa de la siguiente manera
Pn (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) +
f 00 (x0 )
f n (x0 )
(x − x0 )2 + · · · +
(x − x0 )n
2!
n!
y tiene la propiedad de que él y sus derivadas hasta el orden n coinciden con la
función y sus derivadas hasta el orden n en el punto x0 .
Ejemplo 1.3. Sea f definida como en la Definición 1.4 con f ∈ C n (I) entonces
si h es tal que x + h ∈ I, para todo x ∈ I, podemos expresar la fórmula de
Taylor ası́
f (x + h) = f (x) + f 0 (x)h +
f 00 (x) 2
f n (x) n
h + ··· +
h + r(h)
2!
n!
|r(h)|
= 0. Además se puede demostrar que r(h) es un polinomio de
h→0 |hn |
grado ≤ n, cuyas derivadas, desde el orden 0 al n, se anulan en el punto 0. Véase
[12, Pág. 221].
donde lı́m
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
13
Teorema 1.2. Sea n ∈ N, I = [a, b] y f : I −→ R tal que f ∈ C n (I) y además
f (n+1) existe en (a, b). Si x0 ∈ I, entonces para cualquier x en I existe un punto
c entre x y x0 tal que
f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) +
f 00 (x0 )
f (n) (x0 )
(x − x0 )2 + · · · +
(x − x0 )n
2!
n!
f (n+1) (c)
(x − x0 )n+1
+
(n + 1)!
Demostración. Definimos el intervalo J como un intervalo cerrado con puntos
terminales x y x0 . Sea F una función definida sobre J por
F (t) = f (x) − f (t) − (x − t)f 0 (t) − · · · −
(x − t)n (n)
f (t)
n!
para t ∈ J. Si derivamos F (t) tenemos que
F 0 (t) = −
(x − t)n (n+1)
f
(t)
n!
Ahora si definimos una nueva función G en J por
(n+1)
x−t
G(t) = F (t) −
F (x0 )
x − x0
para t ∈ J, entonces G(x0 ) = G(x) = 0. Si aplicamos el teorema de Rolle en G
[1, Pág. 207] este nos garantiza la existencia de un punto c entre x y x0 tal que
G0 (c) = F 0 (c) + (n + 1)
(x − t)n
F (x0 )
(x − x0 )n+1
esto es,
1 (x − x0 )n+1 0
F (c)
n + 1 (x − t)n
1 (x − x0 )n+1 (x − c)n (n+1)
=
f
(c)
n + 1 (x − t)n
n!
F (x0 ) = −
=
f (n+1) (c)
n+1
(x − x0 )
(n + 1)!
Por lo tanto la conclusión se tiene a partir de la definición de F .
Q.E.D.
Algunas veces el Teorema de Taylor se presenta como f (x) = Pn (x) + Rn (x),
donde Pn (x) es el polinomio de Taylor de f en x0 y Rn (x) está dado por
Rn (x) =
f (n+1) (c)
n+1
(x − x0 )
(n + 1)!
para algún c entre x y x0 . Rn (x) también se conoce como residuo o forma de
Lagrange del residuo.
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
1.2.
14
Ecuaciones Diferenciales
Definición 1.5. Una Ecuación Diferencial (ED) es una ecuación que involucra derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más
variables independientes. Decimos que una ecuación diferencial es ordinaria si
en ella sólo existe una variable independiente (todas las derivadas que involucra
son ordinarias) y una ecuación en la que intervienen una o más variables independientes (de modo que las derivadas que aparecen son derivadas parciales) es
una ecuación diferencial parcial.
Ejemplo 1.4. Las ecuaciones (1.2) y (1.3) son ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias y las ecuaciones (1.4) y (1.5) son ejemplos de ecuaciones
diferenciales parciales.
dy
= −g
dx
d2 y
dy
−5
+ 6y = 0
2
dx
dx
∂2u ∂2u ∂2u
+ 2 + 2 =0
∂x2
∂y
∂z
∂u ∂u
+
=u
∂s
∂t
(1.2)
(1.3)
(1.4)
(1.5)
A menudo consideraremos la definición clásica de una ecuación diferencial ordinaria de orden n, es decir como una relación de la forma
F (x, y, y 0 , y 00 , · · · , y n ) = 0
(1.6)
siendo F una función F : U ⊆ Rn+2 −→ R con U un subconjunto abierto de
Rn+2 .
Definición 1.6. Una función f definida sobre un intervalo I de R, tal que
f ∈ C n (I),
F (x, f (x), f 0 (x), · · · , f n (x))
está definida para todo x ∈ I y además
F (x, f (x), f 0 (x), · · · , f n (x)) = 0
para todo x ∈ I. Es una solución explı́cita de la ED (1.6).
Definición 1.7. Una ecuación diferencial de primer orden es una relación
F (x, y, y 0 ) = 0
(1.7)
Una solución de (1.7) es una función y = f (x) que satisface la ecuación.
Ejemplo 1.5. La función y = ex es solución de la ecuación y 0 − y = 0, pero
también lo son y1 = ex + 1 y y2 = ex + 2. En general la función f definida para
todo x ∈ R por f (x) = ex + c, donde c es un número real, el cual denota un
parámetro y la función f una familia uniparamétrica de soluciones de la ED
estudiada.
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
15
Observación 1.2. Si f es una función real continua en un dominio abierto y
conexo, las soluciones de la ecuación diferencial
dy
= f (x, y),
dx
(1.8)
tienen una interpretación geométrica interesante [16], como una familia uniparamétrica de curvas integrales en el plano.
Al estudiar las ecuaciones diferenciales ordinarias vemos que la ecuación (1.8) no
puede resolverse, en general, en el sentido que no existen fórmulas para obtener
su solución en todos los casos. Pero hay ciertos tipos canónicos de EDO para
las cuales sı́ se disponen de métodos rutinarios de resolución.
El más simple de todos estos es aquel en el que las variables son separables
dy
= g(x)h(y)
dx
(1.9)
donde h(y) 6= 0 para todos los reales y donde esté definida. Una ED como (1.9)
es una ecuación diferencial de variables separables. Para resolverla basta con
escribir en forma separada,
Z
Z
dy
dy
= g(x)dx, e integrar
g(x) dx =
dy.
h(y)
h(y)
Definición 1.8. Sea F : U −→ R una función de un abierto U del plano en R.
La derivada total dF de la función F es definida ası́
dF (x, y) =
∂F (x, y)
∂F (x, y)
dx +
dy
∂x
∂y
para todo (x, y) ∈ U .
Definición 1.9. La expresión
M (x, y) dx + N (x, y) dy
(1.10)
es llamada una diferencial exacta en un dominio D si existe una función F
continuamente diferenciable de dos variables tal que esta expresión es igual a la
diferencial total dF (x, y) para todo (x, y) ∈ D. Esto es, la expresión (1.10) es
una diferencial exacta si existe una función F que satisface
∂F (x, y)
∂F (x, y)
= M (x, y) y
= N (x, y)
∂x
∂y
para todo (x, y) ∈ D.
Si (1.10) es una diferencial exacta entonces la ecuación diferencial
M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0
se llama ecuación diferencial exacta.
(1.11)
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
16
Observación 1.3. Se puede comprobar fácilmente que una ED como (1.8) se
puede escribir en una forma diferencial como (1.11)y recı́procamente.
Ejemplo 1.6. La ED y 2 dx + 2xydy, es una ecuación diferencial exacta. En
efecto, ya que esta expresión es igual a la diferencial total de la función f (x, y) =
xy 2 .
Teorema 1.3. [14]Una ecuación diferencial
M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0
donde M y N son continuamente diferenciables en un dominio rectangular D
del plano.
Es exacta si y sólo sı́
∂N (x, y)
∂M (x, y)
=
.
∂y
∂x
Definición 1.10. Si la ecuación diferencial M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 no es
exacta en un dominio D, pero la ecuación diferencial
µ(x, y)M (x, y) dx + µ(x, y)N (x, y) dy = 0
es exacta en D, entonces la función µ(x, y) es llamada factor integrante de la
ecuación diferencial.
Ejemplo 1.7. La ecuación diferencial
(3y + 4xy 2 ) dx + (2x + 3x2 y) dy = 0
es de la forma (1.11), donde
M (x, y) = 3y + 4xy 2 ,
N (x, y) = 2x + 3x2 y,
∂M (x, y)
= 3 + 8xy,
∂y
∂N (x, y)
= 2 + 6xy.
∂x
Luego
∂M (x, y)
∂N (x, y)
6=
∂y
∂x
excepto para los (x, y) que satisfacen 2xy + 1 = 0, la ED no es exacta en ningún
dominio rectangular.
No obstante, si multiplicamos la ED por µ(x, y) = x2 y obtenemos
(3x2 y 2 + 4x3 y 3 ) dx + (2x3 y + 3x4 y 2 ) dy
una ecuación diferencial exacta en todo dominio rectangular, pues
∂[µ(x, y)N (x, y)]
∂[µ(x, y)M (x, y)]
= 6x2 y + 12x3 y 2 =
∂y
∂x
para todo (x, y) ∈ R2 . Por lo tanto µ(x, y) = x2 y es un factor integrante de la
ED analizada.
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
17
Definición 1.11. La ED de primer orden M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 se llama
homogénea si, cuando la escribimos en la forma (1.8), existe una función g tal
que f (x, y) puede ser expresada en la forma g(y/x).
Teorema 1.4. Si M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 es una ecuación homogénea
entonces el cambio de variable y = ux transforma esta ecuación en una ecuación
separable en las variables u y x.
Demostración. Como la ecuación diferencial M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 es
homogénea, se puede escribir en la forma
y
dy
=f
dx
x
(1.12)
Ahora si hacemos la transformación y/x = u, entonces
y = ux e
dy
du
=u+x
dx
dx
Reemplazando las expresiones anteriores en la ecuación (1.12) obtenemos la
siguiente ED de variables separables
x
du
du
+ u = f (u) o bien x
= f (u) − u
dx
dx
Separando variables, la ecuación previa toma la siguiente forma
du
dx
=
f (u) − u
x
Q.E.D.
Observación 1.4. Existen transformaciones adecuadas que permiten reducir
algunas ED a ecuaciones diferenciales homogéneas, como se expone en [18, Pág.
29]. Ası́ mismo, en las ecuaciones diferenciales de orden superior hay transformaciones que reducen el orden de algunas ecuaciones, ver por ejemplo [16] o
[14]. Este hecho aunque no se puede aplicar a todos los tipos de ecuaciones diferenciales, nos revela la importancia que la acción de una transformación puede
tener en la ecuación diferencial estudiada.
Capı́tulo 2
Grupos de Lie
} Quien ama la práctica sin teorı́a es
como el marinero que se embarca sin
timón ni brújula y no sabe a donde ir ~
Leonardo da Vinci.
El desarrollo de los grupos de Lie ha abarcado diversas áreas de la matemática
pura y aplicada, causando un gran impacto en cada una de estas, mucho más
de lo esperado por el mismo Lie. Las aplicaciones de los grupos de simetrı́a de
Lie se pueden encontrar en topologı́a algebráica, geometrı́a diferencial, teorı́a
de invariantes, teorı́a de bifurcaciones, mecánica clásica, etc. No obstante, el
estudio de los trabajos de Lie y de los grupos que llevan su nombre comenzarı́a
hace poco más de un siglo, ya que desafortunadamente cayeron en el olvido por
un largo periodo de tiempo durante el siglo XIX, hasta que se logró reformular
la geometrı́a diferencial y gracias también al impulso que Eli Cartan les dio al
estudiar sus usos geométricos. Los resultados obtenidos por Cartan han sido de
gran importancia y abarcan las álgebras de Lie, la representación de los grupos
de Lie semisimples, el estudio de simetrı́as en ecuaciones diferenciales, entre
otras. Podemos decir que los trabajos Cartan son una sı́ntesis asombrosa entre
la teorı́a de Lie, la geometrı́a diferencial y la topologı́a.
Su estudio también ha despertado grandes inquietudes, como por ejemplo el
quinto problema de Hilbert* , de la lista que el mismo Hilbert presentó en el
* De los problemas propuestos por Hilbert el quinto se relaciona con la clasificación de
los grupos de Lie, y fue enunciado por él ası́: “El concepto de Lie sobre grupo continuo
de transformaciones sin asumir la diferenciabilidad de las funciones que definen el grupo”.
Actualmente el quinto problema de Hilbert se puede asumir en términos simples ası́:“¿Es
cualquier grupo localmente Euclı́deo un grupo de Lie?”
18
CAPÍTULO 2. GRUPOS DE LIE
19
año 1900 en el Segundo Congreso de Internacional de Matemáticas celebrado en
Parı́s.
Informalmente hablando, un grupo de Lie es un “grupo” que a la vez también
es una “variedad”. En este orden de ideas, haremos una breve introducción a
la teorı́a de los grupos de Lie y puesto que su concepto involucra el estudio de
estos dos importantes objetos, en este capı́tulo explicamos sus definiciones y la
manera en como están relacionadas.
CAPÍTULO 2. GRUPOS DE LIE
2.1.
20
Grupos
Definición 2.1. Una operación binaria o ley de composición interna φ
sobre un conjunto G es una función que aplica G × G en G. Esto es, para cada
(a, b) ∈ G × G, φ(a, b) será un elemento de G, φ(a, b) ∈ G.
φ : G × G −→ G
(a, b) 7−→ φ(a, b)
El elemento φ(a, b) se llama el compuesto de a con b.
Definición 2.2. Un grupo hG, φi es un conjunto de elementos G, con una ley
de composición interna φ, que satisface los siguientes axiomas:
(a) Propiedad Asociativa. Para todos los a, b, c ∈ G, tenemos
φ(a, φ(b, c)) = φ(φ(a, b), c).
(b) Elemento Identidad. Existe un único elemento e en G tal que para todo
x ∈ G,
φ(x, e) = φ(e, x) = x.
(c) Elemento Inverso. Para todo a ∈ G, existe un único elemento a0 en G tal
que,
φ(a, a0 ) = φ(a0 , a) = e,
el elemento a0 se llama inverso de a y se nota como a−1 .
Observación 2.1. En la gran mayorı́a de textos de álgebra abstracta la unicidad del elemento neutro e inverso no se incluyen en la definición de grupo, aun
ası́, en esos casos no es difı́cil demostrar estas propiedades. Ver [8, Pág. 42] o [7,
Pág. 56].
Definición 2.3. Un grupo G es abeliano si φ(a, b) = φ(b, a) para todos los
elementos a y b en G.
Ejemplo 2.1. (Z, +) es un grupo abeliano, donde + denota la adición usual en
Z.
Ejemplo 2.2. (Q, ·) no es un grupo por que 0 ∈ Q y no posee inverso.
Ejemplo 2.3. Las propiedades conocidas de la multiplicación de los racionales,
reales y los números complejos nos permiten mostrar que los conjuntos Q∗ , R∗
y C∗ de números no negativos bajo la multiplicación son grupos abelianos.
Ejemplo 2.4. Si A es un conjunto entonces el conjunto B(A) de todas las
biyecciones del conjunto A en sı́ mismo con la composición usual de funciones
es un grupo. En efecto, sean f y g dos aplicaciones biyectivas de A en sı́ mismo,
entonces:
CAPÍTULO 2. GRUPOS DE LIE
21
(a) Si x, y ∈ A y tenemos que g(f (x)) = g(f (y)); como g es inyectiva, f (x) =
f (y); como f es inyectiva, x = y lo que prueba que g ◦ f es inyectiva. Para
demostrar que g ◦ f es sobreyectiva, basta que tomemos z ∈ A y como g es
sobreyectiva existe y ∈ A tal que g(y) = z; como f es sobreyectiva existe
x ∈ A tal que f (x) = y, esto es, g(f (x)) = z y por tanto g ◦f es sobreyectiva
y la operación es cerrada.
(b) La aplicación identidad de A en A es elemento neutro.
(c) La asociatividad es una consecuencia inmediata de la asociatividad de la
composición de funciones.
(d) Si f ∈ B(A) entonces f −1 ∈ B(A). Si f −1 (x) = f −1 (y), tenemos que
f (f −1 (x)) = f −1 (f (y)) de donde se deduce que x = y, luego f −1 es inyectiva; además si y ∈ A, el elemento x = f (y) satisface f −1 (x) = f −1 (f (y)) = y,
con lo que f −1 es también sobreyectiva.
En el caso en que A constituya el conjunto de los n primeros números naturales,
los elementos de B(A) se denominan permutaciones de n elementos ; el conjunto
de las permutaciones de n elementos se denota por Sn y al grupo (Sn , ◦) se le
llama grupo simétrico de orden n.
Ejemplo 2.5. El conjunto Mn × m (R) de todas las matrices de n × m es un
grupo abeliano con la adición de matrices, pero no lo es con la multiplicación
de matrices.
Ejemplo 2.6. El subconjunto de Mn (R) de todas las matrices invertibles de
n × n, notado por GL(n, R) es un grupo no abeliano con la multiplicación de
matrices. GL(n, R) también se conoce como grupo lineal general de orden n y
a partir de este se pueden generar otros grupos importantes de matrices, por
ejemplo el grupo de las matrices ortogonales de orden n
O(n, R) = A ∈ GL(n, R)/AAt = I .
Al comprender la definición de grupo (Definición 2.2) notamos que estos surgen
como una abstracción algebraica de la noción de simetrı́a, donde entendemos
un objeto como simétrico si podemos someterlo a ciertas operaciones sin que
el objeto cambie su estructura luego de efectuar cada una de las operaciones,
en otras palabras, si al efectuar una operación sobre el objeto este permanece
invariante. En este caso a la operación se le llama simetrı́a del objeto.
Definición 2.4. Si A es un conjunto no vacı́o del plano, llamaremos a S(A) al
conjunto de todos los movimientos del plano que dejan A invariante, es decir, el
conjunto de todos los movimientos M del plano que satisfacen M (A) = A. El
conjunto S(A) se conoce como el conjunto de simetrı́as de A.
Teorema 2.1 ([7], Pág. 66). Sea A un conjunto no vacı́o del plano entonces
S(A) el conjunto de las simetrı́as de A en el plano es un grupo con la composición de movimientos.
CAPÍTULO 2. GRUPOS DE LIE
22
Observación 2.2. Como se expone en [8], existe una correspondencia natural
entre el grupo simétrico de n elementos Sn y el conjunto de todas las simetrı́as
de un polı́gono regular de n-lados.
Ejemplo 2.7. Consideremos a G como el conjunto de todas las simetrı́as que
dejan invariante al triángulo equilátero ABC [2.1]. En este caso G también
puede ser representado como el grupo de todas las permutaciones de los vértices
A, B y C.
Figura 2.1: Triángulo ABC
El elemento neutro e = (1, 2, 3) es la rotación de 0 grados alrededor del centro
del triángulo, la cual corresponde al vértice 1 ubicado en A, el vértice 2 en B y
el vértice 3 en C [2.2 (a)]. El elemento r = (3, 2, 1) corresponde a una rotación
de 2π
3 alrededor del centro del triángulo y en sentido contrario a las agujas del
reloj, esta transformación ubica el vértice 3 en el A, el 1 en el B y el 2 en el
C [2.2 (b)]. El elemento de giro g = (3, 2, 1) representa la simetrı́a con respecto
a la recta que pasa por el centro del triángulo y por el vértice 2; la cual hace
corresponder el vértice 3 en A, el 2 en B y el 1 en C [2.2 (c)].
Los demás elementos o simetrı́as se obtienen a partir de las distintas composiciones de r y g. Si φ denota la composición de movimientos entonces el elemento
φ(r, r) = r2 = (2, 3, 1) representa la rotación de 4π
3 alrededor del centro del
triángulo obtenido al componer dos rotaciones de 2π
3 en sentido contrario a las
agujas del reloj [2.2 (d)]. El elemento φ(r, g) = rg = (2, 1, 3) corresponde a la
composición de una rotación de 2π
3 en sentido contrario a las agujas del reloj
seguido por un giro [2.2 (e)]. Por último el elemento φ(g, r) = gr = (1, 3, 2)
representa un giro seguido por una rotación de 2π
3 en sentido contrario a las
agujas del reloj [2.2 (f)].
Teniendo en cuenta lo anterior no resulta difı́cil probar que estas son todas las
CAPÍTULO 2. GRUPOS DE LIE
23
simetrı́as de un triángulo equilátero, más aun el conjunto G constituye un grupo con las composición de movimientos, que es no abeliano ya que por ejemplo
φ(r, g) 6= φ(g, r).
Figura 2.2: Grupo de Simetrı́as de un triángulo equilátero. (a) identidad e; (b)
4π
2π
rotación por 2π
3 , r; (c) giro, g; (d) rotación por 3 , φ(r, r); (e) rotación de 3
2π
seguida por un giro, φ(r, g); (f) giro seguido por una rotación de 3 , φ(g, r).
El grupo del ejemplo anterior recibe el nombre de grupo diédrico de orden 6.
En general es posible demostrar que el conjunto de todas las simetrı́as de un
polı́gono regular de n lados es un grupo [7, Pág. 69], el cual recibe el nombre de
grupo diédrico de orden 2n y se simboliza mediante D2n .
2.2.
Variedades Diferenciales
Las variedades son los objetos fundamentales en el estudio de la geometrı́a
diferencial. En términos simples una variedad será un espacio que localmente
se asemeja a algún espacio Euclidiano, pero que globalmente puede ser muy
diferente. Para una introducción a las variedades se recomienda ver [11], donde
además se encuentran resultados que no presentamos aquı́.
En lo que sigue del trabajo nos referiremos a una función diferenciable como a
una función de clase C ∞ . Si la función es biyectiva y diferenciable y su inversa
también lo es, entonces la llamaremos difeomorfismo de clase C ∞ o simplemente
difeomorfismo.
Definición 2.5. Sea M un conjunto. Una Carta de dimensión n sobre M o
CAPÍTULO 2. GRUPOS DE LIE
24
sistema de coordenadas es un par (U, ϕ) que consiste de un subconjunto U de
M y una biyección ϕ de U a un conjunto abierto de Rn . A U se le conoce como
dominio de la carta y además si p ∈ U entonces podemos asignarle coordenadas
(x1 , x2 , . . . , xn ) mediante las funciones de proyección πi : Rn → R de manera
que xi = πi ◦ ϕ para i = 1, 2, . . . , n.
Definición 2.6. Una variedad diferencial de dimensión n es un conjunto
M , junto con una colección de cartas sobre M , A = {(Ui , ϕi )}i∈I , siendo I un
conjunto indexado de ı́ndices y ϕ(Ui ) un conjunto abierto en Rn , tales que
S
(a) M =
Ui .
i∈I
(b) Para cada i, j ∈ I con Ui ∩ Uj 6= ∅, la aplicación cambio de coordenadas
ϕj ◦ ϕ−1
: ϕi (Ui ∩ Uj ) −→ ϕj (Ui ∩ Uj )
i
es un difeomorfismo.
Observación 2.3. Con base a la Definición 2.2 hacemos las siguientes observaciones:
• A las cartas (Ui , ϕi ), (Uj , ϕj ) de la definición anterior se les dice compatibles
y A es llamado un atlas de cartas sobre M . Diremos que la colección A =
{(Ui , ϕi )} constituye una estructura diferencial sobre M cuando A sea
máxima en relación a las condiciones (a) y (b) de la definición, es decir si no
está contenido en ningún otro atlas sobre M .
• La condición (b) es la que nos permite aplicar el cálculo diferencial en las
variedades y a diferencia de las superfices que se estudian como objetos contenidos en R3 el concepto de variedad no requiere de un espacio ambiente.
• En este trabajo nos interesaremos principalmente por las variedades diferenciales o de clase C ∞ donde las funciones de coordenadas son difeomorfismos
de clase C ∞ . Frecuentemente se definen las variedades como C k variedades,
en estos casos la condición de diferenciabilidad cambia en el sentido que sólo
se exige que las funciones de cambio de parámetro sean de clase C k .
• Una variedad de clase C 0 es una variedad topológica y son estudiadas en
muchos textos de geometrı́a diferencial, como por ejemplo [10]. Una variedad
topológica es un espacio topológico M , que además es Hausdorff, segundo
contable y localmente euclı́deo. A partir de esta última condición vemos que
las funciones de coordenadas son homeomorfismos o difeomorfismos de clase
C 0.
• En general una estructura diferencial sobre una variedad M puede definir una
topologı́a sobre M de la siguiente manera: sea {(Ui , ϕi )}i∈I un atlas luego
ϕ(Ui ) ∈ Rn para cada i ∈ I, entonces un subconjunto A de M es abierto
en M si y solo si ϕ(A ∩ Ui ) es un subconjunto abierto de Rn para todo Ui
satisfaciendo A ∩ Ui 6= ∅. Esta definición define la topologı́a inducida sobre
M.
CAPÍTULO 2. GRUPOS DE LIE
25
Ejemplo 2.8. Rn es una variedad cubierta por la única carta (U, ϕ), donde U =
Rn y ϕ es la aplicación identidad. Luego {(U, ϕ)} proporciona una estructura
diferencial estándar para Rn .
Ejemplo 2.9. Mn × m (R) es una variedad de dimensión n × m que se cubre por
la biyección ϕ : Mn × m (R) → Rmn , definida por
[aij ] 7−→ (a11 , . . . , a1n , a21 , . . . , a2n , . . . , am1 , . . . , amn )
Puesto que ϕ aplica todo Mn × m (R) en Rmn y es un difeomorfismo, la colección
{(Mn × m (R), ϕ)} define una estructura diferencial para Mn × m (R).
Ejemplo 2.10. Un subconjunto abierto G de una variedad diferenciable M de
dimensión n es también una variedad de dimensión n. Como M es una variedad
entonces admite una estructura diferencial, digamos {(Ui , ϕi )}i∈I a partir de esta
obtenemos de manera natural una estructura para G, ası́ (Ui ∩ G, ϕ|Ui ∩G ) i∈I
donde ϕ|Ui ∩G es la restricción de ϕ a Ui ∩ G.
Ejemplo 2.11. El grupo lineal general GL(n, R) de las matrices no singulares
de n × n es una variedad de dimensión n2 . Para ver esto, identificamos los
2
puntos de Rn con las matrices reales de tamaño n × n mediante la aplicación ϕ
2
definida en el Ejemplo 2.9. Ahora como la aplicación determinante M: Rn → R
-1
es continua entonces M ((−∞, 0) ∪ (0, ∞)) = GL(n, R) es un conjunto abierto
2
de Rn ya que (−∞, 0) ∪ (0, ∞) es abierto en R. Por lo tanto por el Ejemplo
2.10, concluimos que GL(n, R) es una variedad de dimensión n2 .
Todo conjunto M que posea una sola carta (M, ϕ) sobre M , esto es que (M, ϕ)
sea una carta alrededor de cada punto p ∈ M , es claramente una variedad diferencial ya que los axiomas de la Definición 2.2 se satisfacen directamente. Sin
embargo, usualmente es imposible encontrar una sola carta que cubra completamente a toda la variedad M .
Ejemplo 2.12. Sea S 1 la circunferencia unitaria en R2 y sea U1 el subconjunto
de S 1 que consiste de todos los puntos (cos t, sen t) con 0 < t < 2π. Entonces,
ya que ϕ1 : U1 → R definida por (cos t, sen t) 7→ t es una biyección de un
conjunto abierto a R; (U1 , ϕ1 ) es una carta sobre S 1 . De igual manera, sea U2
el conjunto de todos los puntos (cos τ, sen τ ) con −π < τ < π y ϕ2 : U2 → R
definida por (cos τ, sen τ ) 7→ τ . Entonces (U2 , ϕ2 ) es otra carta sobre S 1 . Los
conjuntos U1 y U2 cubren a S 1 y puesto que τ = t (0 < t < π) y τ = t − 2π
(π < t < 2π), las aplicaciones t 7→ τ son difeomorfismos. Por lo tanto (U1 , ϕ1 ) y
(U2 , ϕ2 ) conforman un atlas sobre S 1 .
Ejemplo 2.13. Consideremos la esfera unitaria
S 2 = (x, y, z) ∈ R3 / x2 + y 2 + z 2 = 1
La proyección estereográfica puede ser usada para cubrir a S 2 con un atlas de
dos cartas. Los dominios se definen el polo norte y sur respectivamente
U1 = S 2 − {(0, 0, 1)} ,
U2 = S 2 − {(0, 0, −1)} .
CAPÍTULO 2. GRUPOS DE LIE
26
Sean ϕi : Ui → R2 ' {(x, y, 0)} para i = 1, 2, entonces las proyecciones estereográficas de los respectivos polos son
x
x
y y ϕ1 (x, y, z) =
, ϕ2 (x, y, z) =
.
,
,
1−z 1−z
1+z 1+z
Sobre U1 ∩ U2 el cambio de coordenadas ϕ1 ◦ ϕ−1
: R2 / {0} → R2 / {0} es un
2
difiomorfismo dado por la inversión
x
y
ϕ1 ◦ ϕ2−1 (x, y) =
,
·
x2 + y 2 x2 + y 2
De aquı́ se concluye que S 2 es una variedad de dimensión 2.
Ejemplo 2.14. Si M es una variedad de dimensión m y N es una variedad de
dimensión n, con estructuras diferenciales {(Uα , ϕα )} y {(Vβ , φβ )} respectivamente. Entonces M × N se convierte en una variedad diferencial de dimensión
m + n, con estructura diferencial
A = {Uα × Vβ , ϕα × φβ } ,
donde ϕα ×φβ : Uα ×Vβ → Rm ×Rn se define por ϕα ×φβ (x, y) = (ϕα (x), φβ (y)).
A partir de este hecho podemos obtener nuevos ejemplos de variedades, por
ejemplo el Toro n-dimensional T n = S 1 × · · · × S 1 .
|
{z
}
n veces
Ejemplo 2.15. Otros ejemplos de variedades importantes son las variedades
cocientes, los espacios proyectivos, las variedades de grassmann y las variedades
complejas. Cada una de estas se expone con detalle en [11] y [6].
Definición 2.7. Sea M una variedad diferenciable de dimensión n. Una función f : M → R se dice una función diferenciable en p ∈ M si existe una
carta (Ui , ϕi ) con p ∈ Ui tal que f ◦ ϕ−1
es una función diferenciable sobre el
i
subconjunto abierto ϕ(Ui ) de Rn . En general se dice que f es diferenciable sobre
M si es diferenciable sobre cada punto de M .
Por la estructura diferencial de M esta definición es buena. En efecto si (Ui , ϕi ) y
(Uj , ϕj ) son dos cartas de M con p ∈ Ui ∩Uj 6= ∅ y f es una función diferenciable
con respecto al sistema de coordenadas definido por ϕi , entonces f es una función
diferenciable con respecto al sistema de coordenadas definido por ϕj , pues
−1
◦ ϕi ◦ ϕ−1
f ◦ ϕ−1
j = f ◦ ϕi
j
está definida sobre ϕi (Ui ) ∩ ϕj (Uj ) y como ϕi ◦ ϕ−1
es diferenciable, entonces
j
f ◦ ϕ−1
también
es
diferenciable.
j
Definición 2.8. Sea p ∈ Ui ⊆ M y sea ϕi (p) = (x1 , x2 , . . . , xn ). Entonces f ◦
ϕ−1
j (x1 , x2 , . . . , xn ) la llamaremos expresión en coordenadas para f con respecto
a la carta (Ui , ϕi ).
CAPÍTULO 2. GRUPOS DE LIE
27
Ejemplo 2.16. Las funciones coordenadas xi (i = 1, 2, . . . , n) definida por la
carta (U, ϕ) sobre una variedad M de dimensión n, son funciones diferenciables.
En efecto si p ∈ U y ϕ(p) = (x1 , x2 , . . . , xn ) entonces xi se define por xi (p) =
πi ◦ ϕ(p), donde πi es la función proyección en la coordenada i. Su expresión en
coordenadas viene dada por
xi ◦ ϕ−1 x1 , . . . , xn = πi ◦ ϕ ◦ ϕ−1 x1 , . . . , xn = πi x1 , . . . , xn = xi
Por lo tanto la función coordenada xi es diferenciable.
Definición 2.9. Sean M m y N n variedades diferenciables. Una función F :
M → N se dice diferenciable en p ∈ M si para cada carta (Uj , ϕj ) en f (p) y
para cada carta (Ui , ϕi ) en p tal que f (Ui ) ⊆ Uj , la aplicación compuesta
ϕj ◦ F ◦ ϕ−1
: ϕi (Ui ) → ϕj (Uj )
i
es una función diferenciable.
Ejemplo 2.17. El toro T 2 puede ser aplicado diferenciablemente en R3 si definimos F : T 2 → R3 por
√
√
F (θ, ρ) = ( 2 + cos ρ) cos θ, ( 2 + cos ρ) sen ρ .
Entonces F es diferenciable en θ y ρ , e inyectiva. La imagen de F es la superficie
toroidal en R3 dada por la única ecuación
p
x2 + y 2 + z 2 + 1 = 2 2(x2 + y 2 ).
De manera que el toro T 2 puede entenderse como una superficie en R3 .
Definición 2.10. Sea F : M → N una aplicación diferenciable entre dos variedades M y N de dimensiones m y n respectivamente. El rango de F es el
rango de la matriz jacobiana ∂Fi /∂xi de n × m en x. La aplicación F es de
rango máximo sobre un subconjunto S ⊂ M si para cada x ∈ S el rango de
F es el mayor posible, es decir, igual al menor de los números m, n.
Definición 2.11. Sea F : M → N y dim M = m ≤ n =dim N . Si el rango de
F es igual a n en todo punto entonces F se llama una inmersión. Si F es una
inmersión inyectiva, entonces, F (M ) es una subvariedad inmersa.
En otras palabras, una subvariedad N de M , es la imagen en M de una inmersión
inyectiva F : N 0 → M , N = F (N 0 ), de una variedad N 0 en M junto con la
topologı́a y la estructura diferencial que hacen de F : N 0 → M un difiomorfismo.
Ejemplo 2.18. Sea N 0 = R y M = R3 . Entonces la aplicación φ : R → R3
dada por
φ(t) = cos t, sen t, t
define una espiral circular
sobre el eje z. Además es claro que φ es inyectiva y
φ0 (t) = − sen t, cos t, 1 nunca se anula, luego la condición del rango máximo
se satisface. Por tanto esta espiral puede ser comprendida como subvariedad de
R3 .
CAPÍTULO 2. GRUPOS DE LIE
28
Definición 2.12. Una aplicación F : M → N entre dos variedades es regular
si es una inmersión inyectiva y también un homeomorfismo de M en N , esto
es, un homeomorfismo de N en su imagen F (N ). La imagen de una aplicación
regular es llamada subvariedad regular o embebida.
Ejemplo 2.19. En el Ejemplo 2.18 la espiral circular definida por φ es una
subvariedad regular de R3 .
2.3.
Introducción a los Grupos de Lie
Definición 2.13. Un grupo de Lie es un grupo G que también tiene estructura
de variedad diferencial, en el sentido que la operación del grupo
m : G × G −→ G,
m(g, h) = g · h,
g, h ∈ G,
i(g) = g −1 ,
g ∈ G,
y la inversión
i : G −→ G,
son funciones diferenciables entre variedades.
Observación 2.4. La Definición 2.13 nos permite resaltar lo siguiente:
• Si G es un grupo de Lie. Entonces todo elemento g ∈ G define dos aplicaciones Lg , Rg : G → G, definidas por Lg (h) = gh y Rg (h) = hg, llamadas
traslación a izquierda y derecha respectivamente. Además por la Definición
2.13, tenemos que Lg es diferenciable y como g −1 ∈ G , Lg−1 , es decir (Lg )−1 ,
es diferenciable. Por lo tanto la aplicación Lg define un difiomorfismo de G
en si mismo.
• Debido a que las aplicaciones de la Definición 2.13 son continuas, un grupo de
Lie es, en particular, un grupo topológico (un espacio topológico con estructura
de grupo en el que las aplicaciones de multiplicación e inversión son continuas).
• Los grupos de Lie se pueden clasificar a partir de sus propiedades como variedad (conexidad, compacidad) y también como grupo topológico (metrizable,
separable, localmente compacto o conexo). Aunque se ignorarán estos y otros
resultados importantes, podrán ser encontrados en la bibliografı́a recomendada. El lector interesado en los grupos y álgebras de Lie, entre otras definiciones, ejemplos y propiedades, puede referirse a [17] o [4] y para sus aplicaciones
a la fı́sica matemática a [9] o [6].
Cada uno de las siguientes variedades es un grupo de Lie con la operación del
grupo indicada.
Ejemplo 2.20. Rn . Este grupo aditivo que además es una variedad diferencian
n
n
ble (Ejemplo 2.8). Es un grupo de Lie
ya que las aplicaciones de R × R a R
definidas por x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn 7→ x1 + y1 , . . . , xn + yn y la inversión son
funciones diferenciables.
CAPÍTULO 2. GRUPOS DE LIE
29
Ejemplo 2.21. C∗ . Este grupo multiplicativo es una variedad diferencial que
se cubre por la carta ϕ : C∗ → R2 , definida por ϕ(z) = ϕ(x+iy) = (x, y). Ahora
como la aplicación (z1 , z2 ) 7→ z1 z2 , escrita en coordenadas, ((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) 7→
(x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + x2 y1 ) es diferenciable y la aplicación g 7→ g −1 que se define
por
−y x
,
(x, y) −→ 2
x + y 2 x2 + y 2
también es diferenciable. El grupo C∗ es un grupo de Lie.
Ejemplo 2.22. La circunferencia S 1 . S 1 tiene estructura de grupo si identificamos
cada punto
con un número complejo de modulo 1, es decir el conjunto
z ∈ C | |z|2 = 1 . Podemos ver que S 1 además tiene una estructura de variedad si usamos el sistema de coordenadas en el que a cada p ∈ S 1 se identifica
con z = e2πit (t ∈ R), entonces la coordenada en p es cualquiera de las dos
x1 = cos 2πt o x2 = sen 2πt. El punto identificado con z1 · z2 , esto es con
e2πi(t1 +t2 ) , tiene a cualquiera de las dos cos 2π(t1 + t2 ) o sen 2π(t1 + t2 ) como
coordenadas, por lo cual, ya que dado t1 esas son funciones diferenciales de
cos 2πt2 o sen 2πt2 , S 1 es un grupo de Lie.
Ejemplo 2.23. El grupo lineal GL(n, R). Este conjunto es un grupo bajo la
multiplicación de matrices. También es una variedad vista como subconjunto
abierto de la variedad Mn × n (R) (Ejemplo 2.11). La multiplicación es diferenciable por que las entradas de la matriz producto AB son polinomios generados
por las entradas de A y B. La inversión es diferenciable puesto que la regla de
Cramer nos permite expresar las entradas de A−1 como funciones racionales de
las entradas de A. Por lo tanto GL(n, R) es un grupo de Lie.
Ejemplo 2.24. Si G1 y G2 son grupos de Lie entonces el producto directo
G1 × G2 es también un grupo de Lie. Para probar esto primero notamos a M1
y M2 como la estructura de variedad de los grupos G1 , G2 respectivamente.
Debemos remarcar que los elementos (puntos) del grupo G1 × G2 constan de los
mismos elementos (puntos) que M1 × M2 . Entonces como elementos de G1 × G2
(g1 , h1 )(g2 , h2 ) = (g1 g2 , h1 h2 ) y en términos de las coordenadas de la variedad
g11 , . . . , g1n , h11 , . . . , h1n g21 , . . . , g2n , h21 , . . . , h2n =
(g1 g2 )1 , . . . , (g1 g2 )n , (h1 h2 )1 , . . . , (h1 h2 )n
Ahora como G1 y G2 son grupos de Lie, cada (g1 g2 )i (i = 1, 2, . . . , n) es una
función diferenciable de las coordenadas h1 y h2 . la aplicación (M1 × M2 ) ×
(M1 × M2 ) → M1 × M2 es diferenciable, de igual manera la función inversión lo
es. Por lo tanto G1 × G2 es un grupo de Lie.
Ejemplo 2.25. El toro T n = S 1 × · · · × S 1 es un grupo de Lie en virtud de los
|
{z
}
n veces
Ejemplos 2.22 y 2.24.
Definición 2.14. Sean G1 y G2 grupos de Lie, un homeomorfismo de grupos de Lie es una función F : G1 → G2 diferenciable que es también un
CAPÍTULO 2. GRUPOS DE LIE
30
homeomorfismo de grupos. Si además, F es un difiomorfismo, entonces decimos
que F es un isomorfismo de grupos de Lie.
Ejemplo 2.26. Sea G1 = R y G2 = S 1 , identificado por e2πit /t ∈ R . Entonces la aplicación definida por t 7→ e2πit es un homeomorfismo entre grupos de
Lie. En general sea G1 = Rn como grupo aditivo, G2 = T n . Entonces la función
f definida por f (t1 , . . . , tn ) = (e2πit1 , . . . , e2πitn ) es un homeomorfismo entre los
grupos Rn y T n .
Ejemplo 2.27. La función determinante M: GL(n, R) → R∗ es diferenciable y
además M(AB) = M(A) M(B). Luego M es un homeomorfismo de grupos de Lie.
Las aplicaciones de los grupos de Lie abarcan diversas áreas de las matemáticas,
sin embargo los grupos que nos interesan para el desarrollo del trabajo son los
grupos de transformaciones de Lie, pues como veremos más adelante estos son
los que actúan en las ecuaciones diferenciales. En el próximo capı́tulo exponemos
este concepto y posteriormente en el capı́tulo 4 explicamos su relación con las
ecuaciones diferenciales ordinarias.
2.4.
Acción de Grupos
Cuando se estudia sobre el origen de la teorı́a de grupos, se pone en evidencia
(sin haberse definido para la época) la acción de un grupo sobre un conjunto. En
esta última sección desarrollamos esta definición la cual será importante para
comprender con profundidad algunos conceptos del siguiente capı́tulo.
Definición 2.15. Sea X un conjunto y G un grupo. Una acción de G sobre X
es una aplicación θ : G × X → X definida por (g, x) 7→ θ(g, x), que satisface los
siguientes axiomas:
(a) θ(e, x) = x para todo x ∈ X, donde e es la identidad en G y
(b) θ(g1 g2 , x) = θ(g1 , θ(g2 , x)) para todo x ∈ X y g1 ,g2 ∈ G.
Bajo estas condiciones, X es un G-conjunto.
Observación 2.5. Cuando esribimos g1 g2 , usamos la notación de producto
para la operación del grupo. A menudo la Definición 2.15 se conoce como acción
por izquierda de G en X, análogamente se puede definir la acción por derecha
como sigue:
(a) θ(x, e) = x para todo x ∈ X y
(b) θ(x, g1 g2 ) = θ(θ(x, g1 ), g2 ) para todo x ∈ X y g1 ,g2 ∈ G.
Para cualquiera de los dos casos se dice indistintamente que G actúa sobre X.
Ejemplo 2.28. Todo grupo G es el mismo un G-conjunto, donde la acción
viene dada por la multiplicación a izquierda de G, esto es, θ(g1 , g2 ) = g1 g2 .
Similarmente G actúa sobre si mismo por medio de la aplicación θ(g1 , g2 ) =
g2 g1−1 .
CAPÍTULO 2. GRUPOS DE LIE
31
Ejemplo 2.29. Consideremos las raı́ces n-ésimas de la unidad ω0 = e0i , ω1 =
ei/n , . . . , ωn = e(n−1)i/n . Sea G = Zn el grupo de los enteros módulo n bajo la
adición y X = C. La aplicación θ : Zn × C → C dada por θ(k, z) = ωk z con
0 < k < n, define una acción de Zn sobre C, la cual rota en el sentido horario a
z un ángulo de 2kπ/n sobre una circunferencia de radio |z|.
Ejemplo 2.30. Sea X un conjunto del plano y G(X) el grupo de todas las
simetrı́as de X. Entonces X es un S-conjunto donde la acción θ ∈ S(X) es la
acción como elemento de S(X). En efecto, la condición (a) es inmediata como
consecuencia de la definición de la transformación identidad, pues θ(e, x) =
e(x) = x. La condición (b) se cumple ya que θ(g1 g2 , x) = g1 g2 (x) = x =
g1 (g2 (x)) = θ(g1 , θ(g2 , x)). Como ejemplos directos de la afirmación anterior
tenemos al grupos de las simetrı́as que actúan sobre el conjunto de los triángulos
equiláteros o de los cuadrados.
Definición 2.16. Dada una acción θ : G × X → X para cada elemento x ∈ X
se define su estabilizador como el conjunto
Gx = {g ∈ G : g(x) = x} .
Al estabilizador también se le llama grupo de isotropı́a.
Definición 2.17. Sea G un grupo, dada una acción en X, θ : G × X → X, se
define la G-órbita de x ∈ X como el conjunto
G(x) = {g(x) : ∀g ∈ G}
Es decir la G-órbita de x es igual al conjunto de todos los y ∈ X tales que
y = g(x), donde g ∈ G. El conjunto de todas las G-órbitas se denota por X/G.
Definición 2.18. Una acción θ : G × X → X es transitiva si para cada x,
y ∈ X existe g ∈ G tal que y = θ(g, x), en otras palabras las acciones transitivas
son aquellas que inducen una sola órbita en X.
Ejemplo 2.31. Sea G = R y X = R. Entonces G actúa sobre X mediante la
traslación t(x) = x + t. En este caso G(x) = R, es decir existe una sola órbita,
por lo que la acción es transitiva.
Ejemplo 2.32. Sea G = Zn y X = C con la acción definida en el ejemplo 2.29.
Entonces si z ∈ C (z 6= 0) la órbita G(z) es igual a un conjunto de n puntos
igualmente distanciados en la circunferencia de radio |z| y centrada en el origen.
Ahora si z = 0 entonces la óribita consta de un sólo punto, el origen.
Ejemplo 2.33. Consideremos a SO(2) el grupo de las rotaciones en el plano.
Este grupo es isomorfo a S 1 por medio de la aplicación
cos θ − sen θ
eiθ 7−→
sen θ
cos θ
Entonces SO(2) y por tanto S 1 , actúa sobre la esfera S 2 como las rotaciones de
los ángulos longitud. Las órbitas en este ejemplo son cı́rculos de latitud en S 2 .
Esta acción no es transitiva ya que no induce una única órbita.
CAPÍTULO 2. GRUPOS DE LIE
32
A lo largo del capı́tulo hemos estudiado ejemplos en los que el conjunto X
sobre el cual se ejerce una determinada acción, tiene estructura de variedad
diferenciable. Por ello resulta importante definir la acción de un grupo de Lie
sobre una variedad.
Definición 2.19. Sea G un grupo de Lie y M una variedad diferenciable. Una
acción de G sobre M es una aplicación θ : G × X → X que satisface los axiomas
de la Definición 2.15 y que además es diferenciable. En este caso, para cada
g ∈ G, la aplicación θg : M → M define un difiomorfismo, con inversa θg−1
La órbita de cada punto p de la variedad se define como el conjunto de todas las
imágenes de p bajo los elementos de G. Podemos hablar también de la trayectoria
del punto p bajo la acción del grupo. En realidad una órbita es una subvariedad
de M , que no siempre tiene la misma dimensión de M .
A partir de las Definiciones 2.16 y 2.18 se definen de manera análoga el grupo
de isotropı́a y la acción transitiva de un grupo de Lie sobre una variedad.
Definición 2.20. La acción de un grupo de Lie es libre si el único elemento de
G que fija todo elemento de M es la identidad, es decir, g(p) = p para algún p
implica p = e. Esta afirmación es equivalente al requerimiento que Gp = e para
todo p ∈ M .
Ejemplo 2.34. GL(n, R) actúa de manera natural sobre Rn donde la acción
por izquierda se define mediante la multiplicación de matrices: (A, x) 7→ Ax,
considerando a x ∈ Rn como una matriz columna. Esta aplicación es una acción ya que la multiplicación de matrices es asociativa, (AB)x = A(Bx). Es
diferenciable por que los componentes de Ax dependen polinómicamente de las
entradas de la matriz A y de las componentes de x. Por último, como cualquier
vector distinto de cero puede ser obtenido por una transformación lineal, hay
exactamente dos órbitas: {0} y Rn − {0}. Claramente GL(n, R) actúa transitivamente sobre Rn − {0}.
Ejemplo 2.35. La restricción de GL(n, R) a O(n × Rn ) → Rn define una
acción diferenciable de O(n) en Rn . En este caso, las órbitas son el origen y
las esferas centradas en el origen. Para justificar esto, notamos que cualquier
transformación ortogonal preserva normas, entonces O(n) toma la esfera de
radio R y la envı́a en sı́ misma; por otro lado, cualquier vector de longitud R
puede ser obtenido por cualquier otro mediante una matriz ortogonal.
Capı́tulo 3
Grupos de
Transformaciones de Lie
} La extrema importancia del trabajo
de Lie para el desarrollo de la geometrı́a
no puede ser subestimada: estoy seguro
que en un futuro cercano lo será aun
más ~
Felix Klein.
En este capı́tulo introducimos los conceptos de grupo de transformaciones de
Lie y de transformación infinitesimal, centrando nuestra atención principalmente en los grupos de Lie uniparamétricos. Existen dos resultados significativos
para estos grupos: el generador infinitesimal asociado a un grupo de transformaciones de Lie uniparamétrico y la existencia de coordenadas canónicas para
el grupo. Siendo el primero el más importante para el desarrollo de la teorı́a de
Lie y sus aplicaciones a las ecuaciones diferenciales, entre otras razones por que,
como se verá más adelante, los grupos de transformaciones están completamente
determinados por su generador.
33
CAPÍTULO 3. GRUPOS DE TRANSFORMACIONES DE LIE
3.1.
34
Grupos de Tranformaciones de Lie
Uniparamétricos
En el capı́tulo anterior vimos que existen propiedades de los objetos que permanecen invariantes respecto a algunos movimientos o transformaciones, de esta
manera la noción básica de grupo abstracto evoluciona a la teorı́a de los grupos
de transformaciones. La importancia de describir un conjunto de transformaciones como un grupo se originó en la teorı́a de Galois. La noción moderna de
grupo se puede remontar a dicha teorı́a donde fue por primera vez introducido
el concepto en su forma presente.
Si se considera un conjunto X dotado de alguna estructura matemática, el grupo de transformaciones, es el conjunto de transformaciones que preservan esa
estructura. En la teorı́a de Galois, por ejemplo, el conjunto X puede ser un
campo y cada transformación es un automorfismo del campo. Pero se puede ir
más allá y pensar el conjunto como una variedad o un espacio topológico y cada
transformación como una aplicación diferenciable o continua respectivamente.
En esta dirección Lie aplicó los resultados que Galois habı́a encontrado en la
solución de ecuaciones polinomiales, pero considerando los grupos de transformaciones que existen en el espacio de las ecuaciones diferenciales. En la práctica,
los grupos de Lie no surgen naturalmente como grupo abstracto, pero sı́ concretamente como un grupo de transformaciones que actúa sobre alguna variedad
M . Por ejemplo, el grupo GL(n) aparece como el grupo de transformaciones
invertibles sobre Rn . En general, un grupo de Lie puede ser comprendido como
un grupo de transformaciones de alguna variedad M si para cada elemento del
grupo g ∈ G existe una aplicación φg (asociada a g) de M en si misma. A
continuación explicamos el concepto de un grupo de transformaciones de Lie.
Definición 3.1. Sea D ⊂ Rn abierto y conexo con x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ D e
I ⊂ R un intervalo abierto con t ∈ R. El conjunto de transformaciones
x∗ = X(x; t)
que depende del parámetro t, con una ley de composición φ(t, p) de los parámetros t y p de I, forman un grupo de transformaciones sobre D, si satisface
los siguientes axiomas:
(a) Para cualquier t en I, X es inyectiva.
(b) φ determina sobre I una estructura de grupo.
(c) x∗ = x cuando t = e, es decir, para todo x ∈ D
X(x; e) = x
(d) Si x∗ = X(x; t) y x∗∗ = X(x∗ ; p) entonces
x∗∗ = X(x; φ(t, p)).
CAPÍTULO 3. GRUPOS DE TRANSFORMACIONES DE LIE
35
Observación 3.1. A partir de la Definición 3.1 surgen las siguientes observaciones:
• X(x; t) es una aplicación de D ×I → D, por esta razón algunas veces se define
al grupo, como un grupo de transformaciones que actúa sobre D o sobre una
variedad M , ver [13]
• La condición del inverso se deduce inmediatamente de la definición. En efecto,
si x∗ = X(x; t) pertenece al grupo de transformaciones entonces
x∗∗ = X(x∗ ; t−1 ) = X(X(x; t); t−1 )
= X(x; φ(t, t−1 ))
= X(x; e) = x.
Definición 3.2. Un grupo de transformaciones define un grupo de Lie de
transformaciones uniparamétrico o de un parámetro si además de satisfacer los axiomas (a)-(d) de la Definición 3.1 cumple:
(d) t varı́a continuamente sobre I. En particular puede escogerse I de manera
que contenga al origen de R y hacer corresponder t = 0 con el elemento
neutro del grupo de parámetros e.
(d) La aplicación X es infinitamente diferenciable respecto de x en D y analı́tica
respecto del parámetro t en I.
(d) La operación φ(t, p) es una función analı́tica de t y p, con t, p ∈ I.
En adelante nos referiremos a un grupo de transformaciones locales de Lie uniparamétrico simplemente como un grupo uniparamétrico. La definición para un
grupo de Lie Multiparamétrico o con más de un parámetro es más compleja y
no la presentaremos aquı́. Sin embargo el lector interesado en estos grupos y sus
aplicaciones puede consultar las referencias [13] o [3].
Observación 3.2. Los grupos uniparamétricos son grupos de transformaciones
que actúan de manera local, además, las condiciones anteriores definen la relación
de grupos analı́tica. En general podemos, abusando un poco del lenguaje, definir
un grupo de Lie uniparamétrico como una terna (M, G, X) donde G es un grupo,
M es una variedad y X es una acción de G sobre M .
Si en la Definición 3.2 entendemos a t como una variable de tiempo y a x como
una variable espacial, entonces un grupo de Lie uniparamétrico define un flujo
estacionario. En efecto, si fijamos x en D, X(x; t) definirá la evolución de X
sobre todos los elementos de G, es decir la G-órbita de x en la acción de G sobre
D. Ahora bien esta órbita puede pensarse como el movimiento de un punto a lo
largo de una curva γ1 [3.1].
Al variar t las imágenes de x eventualmente se moverán sobre γ1 . Siendo más
precisos si y = X(y; p) representa un punto sobre γ1 entonces x∗∗ = X(y; p) =
X(x; φ(t, p)) debe ser también un punto sobre γ1 . Por lo tanto la curva γ1 que
CAPÍTULO 3. GRUPOS DE TRANSFORMACIONES DE LIE
36
Figura 3.1: Evolución de un Grupo Uniparamétrico
pasa por x es la órbita por x del grupo y al tomar diferentes puntos iniciales
se obtienen órbitas diferentes. Por último notamos que las curvas con autointersecciones no pueden definir la evolución de un grupo uniparamétrico.
Ejemplo 3.1. El grupo de las traslaciones sobre el eje x en el plano
x∗ = x + t,
y ∗ = y,
t∈R
Para este grupo la acción se define ası́
R × R2 −→ R2
(t, (x, y)) 7−→ (x + t, y)
Aquı́ la operación de parámetros viene dada por la suma usual en R, esto es
φ(t, p) = t + p. Luego es claro que X(0, (x, y)) = (x, y) y si iteramos la operación
obtenemos
x∗∗ = x∗ + t = x + t + p = x + (t + p)
y ∗∗ = y ∗ = y
lo cual implica que la composición de transformaciones es cerrada. Además
no es difı́cil mostrar que la acción es diferenciable y que φ es analı́tica en sus
argumentos. Por lo tanto el grupo de las traslaciones en el plano es un grupo
uniparamétrico.
Ejemplo 3.2. El grupo de las homotecias en el plano
x∗ = αx,
y ∗ = α2 y,
0<α<∞
CAPÍTULO 3. GRUPOS DE TRANSFORMACIONES DE LIE
37
En este caso la operación entre parámetros es φ(α, β) = αβ y el elemento
identidad e = 1. La acción para este grupo viene dada por
R × R2 −→ R2
(α, (x, y)) 7−→ (αx, α2 y)
Obtenemos de manera directa que X(1, (α, β)) = (x, y) y si iteramos la operación
x∗∗ = βx∗ = β(αx) = (αβ)x
y ∗∗ = β 2 y ∗ = (αβ)2 y
Luego el grupo de estas transformaciones es cerrado por la composición y como X es diferenciable y φ analı́tica, el grupo de las homotecias planas es un
grupo uniparamétrico. Este grupo de transformaciones también puede ser re
parametrizado en términos de t = α − 1, ası́
x∗ = (1 + t)x,
y ∗ = (1 + t)2 y,
−1 < t < ∞
el elemento identidad serı́a e = 0 y la operación de parámetros vendrı́a dada
por φ(t, p) = t + p + tp.
Ejemplo 3.3. El grupo de las rotaciones en el plano
x∗ = x cos t − y sen t,
y ∗ = x sen t + y cos t.
La acción X para este conjunto de transformaciones se define por (t, (x, y)) 7−→
(x∗ , y ∗ ). La operación de parámetros es φ(t, p) = t + p y el elemento neutro
e = 0. Al iterar la operación obtenemos
x∗∗ = x∗ cos p − y ∗ sen p
= (x cos t − y sen t) cos p − (x sen t + y cos t) sen p
= x cos(t + p) − y sen(t + p)
y ∗∗ = x∗ sen p + y ∗ cos p
= (x cos t − y sen t) sen p + (x sen t + y cos t) cos p
= x sen(t + p) + y cos(t + p)
Al igual que en los ejemplos anteriores, no es difı́cil mostrar que X es diferenciable y que φ es analı́tica. En conclusión el grupo de las rotaciones constituye
un grupo de Lie uniparamétrico.
Ejemplo 3.4. El grupo dado por las transformaciones
x∗ = et x,
y ∗ = e2t y,
Es un grupo de Lie uniparamétrico, conocido como grupo de los escalamientos
en el plano.
CAPÍTULO 3. GRUPOS DE TRANSFORMACIONES DE LIE
38
Ejemplo 3.5. Para las transformaciones
x
,
1 − tx
y
y∗ =
.
1 − tx
x∗ =
La acción de R sobre R2 se define ası́:
X : R × R2 7−→ R2
x
y
(t, (x, y)) 7−→
,
1 − tx 1 − tx
definida sobre el subconjunto abierto D ⊂ R × R2 ,

 t < x1 si x > 0
D=

t > x1 si x < 0
Al iterar la operación obtenemos
x
x∗∗ =
x∗
x
1−tx
=
=
∗
x
1 − px
1 − (t + p)x
1 − p 1−tx
y ∗∗ =
y∗
y
1−tx
=
=
x
1 − px∗
1
−
(t
+ p)x
1 − p 1−tx
y
entonces vemos que la operación entre parámetros es la adición φ(t, p) = t + p.
De aquı́ deducimos que el elemento neutro para el grupo de parámetros es e = 0
y se verifica que X(0, (x, y)) = (x, y). Además como la acción del grupo sobre
R2 se expresa por medio de polinomios y funciones racionales, hay analiticidad tanto para la acción del grupo sobre R2 como para la operación φ entre
parámetros. Por lo tanto este conjunto de transformaciones define un grupo de
Lie uniparamétrico.
Para encontrar las órbitas de este grupo tratamos de eliminar el parámetro y
podemos concluir que hay dos, el origen y las rectas que pasan por el origen.
3.2.
Transformaciones y Generadores
Infinitesimales
Sea x ∈ Rn , t ∈ R y
x∗ = X(x; t)
(3.1)
un grupo de Lie uniparamétrico, tal que x∗ = x para t = 0 y para el que φ
denota la operación entre valores del parámetro. Ahora bien, como se trata de
un grupo de Lie uniparamétrico la acción X es diferenciable (Definición 3.2).
CAPÍTULO 3. GRUPOS DE TRANSFORMACIONES DE LIE
39
Por lo tanto podemos desarrollar x∗ en serie de Taylor alrededor de alguna
vecindad de t = 0, de la siguiente manera
t2 ∂ 2 X(x; t) ∂X(x; t) ∗
+ ···
+
x =x+t
∂t t=0
2!
∂t2
t=0
∂X(x; t) =x+t
+ o(t2 )
∂t t=0
Si notamos
∂X(x; t) ξ(x) =
∂t t=0
La transformación x + tξ(x) la llamaremos transformación infinitesimal del
grupo de Lie uniparamétrico (3.1) y las componentes de ξ son llamadas infinitesimales de (3.1).
Ejemplo 3.6. Sobre R2 estas ecuaciones pueden escribirse ası́
x∗ = X((x, y); t) = x + tf (x, y) + o(t2 )
y ∗ = Y((x, y); t) = y + tg(x, y) + o(t2 )
Definición 3.3. El generador infinitesimal del grupo de Lie uniparamétrico
(3.1) se define como el operador
v = v(x) = ξ(x) · ∇ =
n
X
ξ i (x)
i=1
∂
,
∂xi
donde ∇ denota el operador gradiente
∂
∂
∂
∇=
,
,...,
.
∂x1 ∂x2
∂xn
Si F : Rn −→ R, dada por F (x) = F (x1 , x2 , . . . , xn ), es una función diferenciable. Entonces el generador infinitesimal asociado al grupo uniparamétrico (3.1)
se expresa de la siguiente manera
vF (x) =
n
X
i=1
ξ i (x)
∂F (x)
·
∂xi
Observación 3.3. La razón por la que utilizamos la notación v para el generador infinitesimal es por que en general esta es la expresión que en geometrı́a
diferencial denota un campo vectorial sobre una variedad. Aun ası́, en la mayorı́a
de textos se sigue utilizando la terminologı́a de Lie y por tal razón se habla de
generadores infinitesimales. El término generador indica que la repetida aplicación de la transformación infinitesimal genera la transformación finita.
CAPÍTULO 3. GRUPOS DE TRANSFORMACIONES DE LIE
40
Ejemplo 3.7. En R2 el generador infinitesimal de un grupo de Lie uniparamétrico se puede escribir de la siguiente manera
v = f (x, y)
∂
∂
+ g(x, y) ,
∂x
∂y
donde los infinitesimales del grupo son generalmente denotados por las funciones
ξ y η, ası́:
η(x, y) = g(x, y),
ξ(x, y) = f (x, y),
∂Y ∂X ,
=
·
=
∂t ∂t t=0
t=0
En los siguientes ejemplos veremos que si se tienen las ecuaciones del grupo
uniparamétrico es posible obtener las expresiones para los generadores.
Ejemplo 3.8. Para el grupo de las traslaciones planas
x∗ = x + t,
y ∗ = y,
∗
∗
dy
Tenemos dx
dt = 1 y dt = 0. Luego el generador infinitesimal para este grupo es
∂
v = ∂x . Esto quiere decir que el vector tangente en cada punto (x, y) es (1, 0).
Análogamente, para el grupo de las traslaciones en el eje y, el vector tangente
∂
.
en cada punto es (0, 1). En este caso el generador viene dado por v = ∂y
Ejemplo 3.9. Para el grupo de las rotaciones planas
x∗ = x cos t − y sen t,
y ∗ = x sen t + y cos t.
Se obtiene
dy ∗
= x cos t − y cos t
dt
dx∗
= −x sen t − y cos t,
dt
Luego el infinitesimal para el grupo es
ξ(x) = (ξ(x, y), η(x, y))
∗
dx dy ∗ =
,
dt dt t=0
t=0
= (−y, x)
Por lo tanto, el generador infinitesimal para el grupo de las rotaciones es
v = −y
∂
∂
+x ·
∂x
∂y
Ejemplo 3.10. Para el grupo de los escalamientos en el plano
x∗ = et x,
y ∗ = e2t y,
CAPÍTULO 3. GRUPOS DE TRANSFORMACIONES DE LIE
41
Obtenemos
dx∗
dy ∗
= et x,
= 2e2t y,
dt
dt
De aquı́ tenemos que el infinitesimal es ξ(x) = (x, 2y) y por tanto el generador
infinitesimal asociado a este grupo es
v=x
3.3.
∂
∂
+ 2y ·
∂x
∂y
Serie de Lie
Teorema 3.1. El grupo de Lie uniparamétrico x∗ = X(x; t) es equivalente a
x∗ = etv x
t2
= 1 + tv + v 2 + · · ·
2!
∞
X
v k x,
=
k=0
donde v es el generador infinitesimal del grupo y v k = vv k−1 , k = 1, 2, . . . ,
en particular v k F (x) es la función que obtenida al aplicar el operador v a la
función v k−1 F (x) k = 1, 2, . . . , con v 0 F (x) = F (x).
Demostración. Sea
v = v(x) =
n
X
ξ i (x)
i=1
∂
∂xi
y
v(x∗ ) =
n
X
ξ i (x∗ )
i=1
∂
∂x∗i
∗
donde x = X(x; t) es el grupo de Lie uniparamétrico. Aplicando el Teorema
de Taylor, expandimos esta última expresión alrededor de t = 0 y obtenemos
X
∞ k ∞ k k ∗
X
t
∂X(x; t) d x t
∗
x =
=
(3.2)
k!
∂tk t=0
k!
dtk t=0
k=0
k=0
Ahora para cualquier función diferenciable F (x), tenemos por la regla de la
cadena
n
X
∂F (x∗ ) dx∗i
d
F (x∗ ) =
dt
∂x∗i
dt
i=1
=
n
X
i=1
ξ i (x∗ )
∂F (x∗ )
∂x∗i
= v(x∗ )F (x)
CAPÍTULO 3. GRUPOS DE TRANSFORMACIONES DE LIE
42
Luego, si en la relación anterior tomamos F (x∗ ) = x∗ , llegaremos a que
dx∗
= v(x∗ )x∗
dt
de igual manera
d
d2 x∗
=
dt2
dt
dx∗
dt
= v(x∗ )v(x∗ )x∗ = v 2 (x∗ )x∗
En general
dk x ∗
= v k (x∗ )x∗ ,
dtk
k = 1, 2, . . .
Por lo tanto deducimos
dk x∗ = v k (x)x,
dtk t=0
k = 1, 2, . . .
Finalmente si reemplazamos esta última expresión en (3.2) obtenemos la conclusión del Teorema
∞ k k ∗
X
d x t
∗
x =
k!
dtk t=0
=
k=0
∞ k
X
k=0
t k
v (x).
k!
Q.E.D.
Definición 3.4. Si la serie de Taylor
∞ k
X
t
k=0
k!
v k (x)
del Teorema 3.1 converge, se le llama serie de Lie.
Observación 3.4. El Teorema 3.1 muestra que el uso del generador infinitesimal conduce a un algoritmo para encontrar una solución explı́cita del problema
de valor inicial:
dx∗
= ξ(x∗ )
dt
con
x∗ = x
en
t = 0.
CAPÍTULO 3. GRUPOS DE TRANSFORMACIONES DE LIE
43
En estos momentos nos podemos preguntar ¿Dada una transformación infinitesimal, cuáles son las ecuaciones del grupo correspondiente? En realidad existen
dos maneras para encontrar explı́citamente un grupo de Lie uniparamétrico a
partir de sus generadores infinitesimales:
(1) Expresar el grupo en términos de la serie de Lie.
(2) Solucionar el problema de valor inicial descrito en la Observación 3.4.
Ejemplo 3.11. En este ejemplo aplicaremos el procedimiento descrito en (1)
para mostrar que si se conoce el generador infinitesimal entonces mediante la
serie de Lie es posible encontrar las ecuaciones del grupo.
Consideremos el grupo de las rotaciones. El generador infinitesimal de este grupo
(Ejemplo 3.9) viene dado por
v = −y
∂
∂
+x ·
∂x
∂y
Sabemos que la correspondiente Serie de Lie para las ecuaciones del grupo deben
ser
(x∗ , y ∗ ) = (etv x, etv y)
Para el desarrollo de x∗ , como
∂
∂
+x
(x) = −y = v(x)
−y
∂x
∂y
∂
∂
−y
+x
(−y) = −x = v 2 (x)
∂x
∂y
∂
∂
−y
+x
(−x) = y = v 3 (x)
∂x
∂y
∂
∂
+x
(y) = x = v 4 (x)
−y
∂x
∂y
En general
v 4n (x) = x,
v 4n−1 (x) = y,
v 4n−2 (x) = −x,
v 4n−3 (x) = −y,
Por lo tanto
x∗ =
∞ k
X
t
k=1
k!
v k (x)
t2 2
t3
t4
v (x) + v 3 (x) + v 4 (x) + · · ·
2!
3!
4!
t2
t3
t4
= x + t(−y) + (−x) + (y) + (x) + · · ·
2!
3! 4! 3
t2
t4
t
t5
= x 1 − + + ··· − y t − + + ···
2! 4!
3! 5!
= x + tv(x) +
= x cos t − y sen t.
n = 1, 2, . . .
CAPÍTULO 3. GRUPOS DE TRANSFORMACIONES DE LIE
44
Análogamente para y ∗ tenemos
v 4n (y) = y,
v 4n−1 (y) = −x,
v 4n−2 (y) = −y,
v 4n−3 (y) = x,
n = 1, 2, . . .
Por lo tanto
y∗ =
∞ k
X
t
k=1
k!
v k (y)
t5
t2
t4
t3
= x t − + + ··· + y 1 − + + ···
3! 5!
2! 4!
= x sen t + y cos t.
En los próximos dos ejemplos utilizamos el procedimiento decsrito en (2) para
hallar las ecuaciones del grupo a partir del generador infinitesimal.
Ejemplo 3.12. Dado el generador
v=x
∂
∂
+y
∂x
∂y
Le asociamos el sistema
dy ∗
dx∗
= x∗ ,
= y∗
dt
dt
con valores iniciales x∗ (0) = x, y ∗ (0) = y. De la primera ecuación
∗
x
dx∗
= dt, se obtiene ln
= t,
∗
x
x
y de aquı́
x∗ = et x.
Análogamente se obtiene y ∗ = et x. Luego como se satisfacen las condiciones
iniciales, estas son las ecuaciones para el grupo de los escalamientos (Ejemplo
3.4).
Ejemplo 3.13. Para el grupo del Ejemplo 3.5
x
,
1 − tx
y
y∗ =
.
1 − tx
x∗ =
Obtenemos
ξ(x, y) =
dx∗ = x2 ,
dt t=0
η(x, y) =
Ası́ que el generador infinitesimal es de la forma
v = x2
∂
∂
+ xy .
∂x
∂y
dy ∗ = xy
dt t=0
CAPÍTULO 3. GRUPOS DE TRANSFORMACIONES DE LIE
45
Ahora para pasar del generador al grupo, procedemos como en el ejemplo anterior. En cuanto a la primera ecuación
dx∗
= dt,
x ∗2
luego
y de aquı́
x∗ =
−
1
1
+ = t,
x∗
x
x
·
1 − tx
En cuanto a la segunda,
dy ∗
= x∗ dt
y∗
x
dt
=
1 − tx
Luego,
ln
y∗
y∗
= − ln(1 − tx)
1
= ln
1 − tx
Por tanto,
y∗ =
y
·
1 − tx
Colorario 3.1. Si F (x) es diferenciable, entonces para un P
grupo de Lie unin
∂
paramétrico x∗ = X(x; t) con generador infinitesimal v = i=1 ξ i (x) ∂x
, se
i
verifica
F (x∗ ) = F (etv x) = etv F (x)
Demostración. Por Teorema 3.1 x∗ = etv x y puesto que F es diferenciable, su
desarrollo de Taylor será
∞ k X
t
dF (x∗ ) tv
∗
F (e ) = F (x ) =
k!
dtk t=0
k=0
Ahora por
el mismo Teorema 3.1 tenemos
dk F (x∗ ) = v k (x)F (x). Por lo tanto
dtk
dk F (x∗ )
dtk
= v k (x∗ )F (x∗ ) y de aquı́
t=0
∗
tv
F (x ) = F (e x) =
∞ k
X
t
k=0
k!
!
k
v (x) F (x) = etv F (x)
Q.E.D.
CAPÍTULO 3. GRUPOS DE TRANSFORMACIONES DE LIE
46
A lo largo de esta sección vimos que los generadores infinitesimales caracterizan
a los grupos de transformaciones. En el próximo capı́tulo veremos que la idea
de asociar un generador a un grupo uniparamétrico es fundamental para aplicar
esta teorı́a a las ecuaciones diferenciales, debido a que mediante los generadores
infinitesimales se pueden determinar funciones invariantes. Además de lo ya expuesto, en [13] y [5] también se explica la manera en que el generador determina
las órbitas del grupo.
3.4.
Funciones Invariantes
Definición 3.5. Una función diferenciable F (x) es una función invariante del
grupo de transformaciones de Lie uniparamétrico x∗ = X(x; t) si y solo si para
cualquier grupo de transformaciones x∗ = X(x; t) se cumple que F (x∗ ) = F (x).
Si F (x) es una función invariante de x∗ = X(x; t), entonces F (x) es llamado
un invariante del grupo.
Teorema 3.2. F (x) es invariante bajo x∗ = X(x; t) si y solo si
vF (x) = 0.
Demostración. Supongamos que F (x) es un invariante. Por el Colorario 3.1
tenemos
F (x∗ ) = etv F (x)
∞ k
X
t k
v F (x)
=
k!
k=0
t2 2
v F (x) + · · ·
2!
Ahora, puesto que F (x∗ ) = F (x) entonces necesariamente vF (x) y sus potencias deben ser cero.
Recı́procamente si suponemos que vF (x) = 0, entonces, v k F (x) = 0 para
k ≥ 1. Por lo tanto F (x∗ ) = F (x).
Q.E.D.
= F (x) + tvF (x) +
Teorema 3.3. Para un grupo de Lie uniparamétrico x∗ = X(x; t), se cumple
la identidad F (x∗ ) = F (x) + t, si y solo si vF (x) = 1, donde v es el generador
del grupo.
Demostración. Puesto que
F (x∗ ) = etv F (x)
t2 2
v F (x) + · · ·
2!
Entonces F (x∗ ) = F (x) + t implica que vF (x) = 1.
Recı́procamente si vF (x) = 1, entonces v n F (x) = 0 para n ≥ 2. De donde
= F (x) + tvF (x) +
F (x∗ ) = F (x) + t.
Q.E.D.
CAPÍTULO 3. GRUPOS DE TRANSFORMACIONES DE LIE
3.5.
47
Coordenadas Canónicas
Supongamos que hacemos el cambio de coordenadas
y = Y (x) = (y1 (x), y2 (x), . . . , yn (x)).
(3.3)
Para unP
grupo de Lie uniparamétrico x∗ = X(x; t) el generador infinitesimal
n
∂
con respecto a las coordenadas x = (x1 , x2 , . . . , xn ) se
v(x) = i=1 ξ i (x) ∂x
i
transforma
n
X
∂
v(y) =
η i (x)
∂yi
i=1
con respecto a las coordenadas y = (y1 (x), y2 (x), . . . , yn (x)) definidas anteriormente. En el próximo teorema probaremos que v(x) = v(y) en el sentido que
es necesario que tengan el mismo grupo de acción.
Teorema 3.4. Si η(y) = (η 1 (y), η 2 (y), . . . , η n (y)) es el infinitesimal respecto
a las coordenadas de y, entonces
v(x) = v(y).
Demostración. En efecto, si aplicamos la regla de la cadena
v(x) =
n
X
n
ξ i (x)
i=1
X
∂
∂yi (x) ∂
=
ξ i (x)
∂xi
∂xi ∂yj
i,j
Con el fin de hacer que v(x) = v(y), tomamos
η j (y) =
n
X
ξ i (x)
i=1
= v(x)yj ,
∂yj (x)
∂xi
j = 1, 2, . . . , n.
De aquı́
v(x) =
n
X
j=1
η j (y)
∂
= v(y)
∂yj
Q.E.D.
A partir del Teorema 3.4 obtenemos la relación η(y) = v(x)y para el cambio
de coordenadas descrito.
Teorema 3.5. Con respecto a las coordenadas (3.3), el grupo de Lie uniparamétrico se convierte en
y ∗ = etv(y) y.
Demostración. A partir de (3.4) tenemos que y ∗ = Y (x∗ ). Ahora si aplicamos
el resultado del Colorario 3.1 para Y obtenemos
y ∗ = Y (x∗ ) = etv(x) Y (x)
Por último como Y (x) = y y por Teorema 3.4 v(x) = v(y), entonces concluimos
que y ∗ = etv(y) y, como se querı́a demostrar.
Q.E.D.
CAPÍTULO 3. GRUPOS DE TRANSFORMACIONES DE LIE
48
Teorema 3.6. Para todo grupo de Lie uniparamétrico existe un conjunto de
coordenadas, llamadas canónicas, tal que las ecuaciones del grupo pueden escribirse
yi∗ = yi ,
yn∗
i = 1, 2, . . . , n − 1,
= yn + t.
Demostración. Por el Teorema 3.2 tenemos
yi∗ = yi (x∗ ) = yi (x)
si y solo si
vyi (x) = 0,
para i = 1, 2, . . . , n − 1. La ecuación diferencial parcial lineal y homogénea
vu(x) = ξ 1 (x)
∂u
∂u
∂u
+ ξ 2 (x)
+ · · · + ξ n (x)
=0
∂x1
∂x2
∂xn
(3.4)
tiene n−1 soluciones independientes para u(x). Estas soluciones son en realidad
las n − 1 funciones (y1 (x), y2 (x), . . . , yn−1 (x)) y aparecen en la solución general
del sistema de n ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden
dx
= ξ(x)
dr
que resulta al aplicar el método de las caracterı́sticas en la EDP (3.4), donde
las correspondientes ecuaciones caracterı́sticas asociadas al sistema son
dx1
dx2
dxn
=
= ··· =
ξ 1 (x)
ξ 2 (x)
ξ n (x)
Estas ecuaciones producen las n − 1 coordenadas que satisfacen yi∗ = yi para
i = 1, 2, . . . , n − 1.
Para la coordenada canónica yn (x) tenemos por el Teorema 3.3
yn∗ = yn (x∗ ) = yn (x) + t
si y solo si
vyn (x) = 1.
Por tanto yn (x) se halla como una solución particular de la EDP lineal no
homogénea
vw(x) = ξ 1 (x)
∂w
∂w
∂w
+ ξ 2 (x)
+ · · · + ξ n (x)
=1
∂x1
∂x2
∂xn
la cual es resuelta determinando una solución particular del sistema de n+1 EDO
de primer orden que surge al aplicar el método de las caracterı́sticas. Q.E.D.
CAPÍTULO 3. GRUPOS DE TRANSFORMACIONES DE LIE
49
Observación 3.5. El Teorema 3.6 nos garantiza para todo grupo de Lie uniparamétrico la existencia de nuevas funciones que permiten convertir las ecuaciones
del grupo dado, en ecuaciones con la forma del grupo de las traslaciones. Para comprender mejor lo mencionado anteriormente, consideremos un grupo de
transformaciones uniparamétrico arbitrario sobre R2 , digamos
x∗ = X(x, y; t) = x + tξ(x, y) + o(t2 ),
y ∗ = Y(x, y; t) = y + tη(x, y) + o(t2 ).
Entonces el Teorema 3.6 nos garantiza la existencia de funciones u y v tal que
el grupo se convierte
u∗ = u,
v ∗ = v + t.
La función u se dice que es un invariante del grupo, mientras que al par (u, v)
se le llama coordenadas canónicas del grupo.
Teorema 3.7. En términos de cualquier conjunto de coordenadas canónicas
y = (y1 , y2 , . . . , yn ), el generador infinitesimal del grupo de Lie uniparamétrico
x∗ = X(x; t) es
∂
.
v(y) =
∂yn
Demostración. La expresión del generador infinitesimal es
v(y) =
n
X
η i (y)
i=1
∂
∂yi
Ahora aplicando la relación η i (y) = v(x)yi , deducida en el Teorema 3.4, tenemos en términos de la coordenadas canónicas
η i (y) = v(x)yi = 0,
i = 1, 2, . . . , n − 1
η n (y) = v(x)yn = 1
Por lo tanto concluimos que
v(y) =
∂
·
∂yn
Q.E.D.
En R2 si el generador de un grupo de Lie uniparamétrico viene dado por
v=f
∂
∂
+g
∂x
∂y
una función r que satisface
v(r) = f
∂r
∂r
+g
=0
∂x
∂y
CAPÍTULO 3. GRUPOS DE TRANSFORMACIONES DE LIE
50
es una función invariante del grupo. Ası́ que r es solución de la ecuación diferencial
dx
dy
=
·
f (x, y)
g(x, y)
Ejemplo 3.14. Para el grupo de los escalamientos
x∗ = et x,
y ∗ = e2t y,
∂
∂
+ 2y ∂y
· La coordenada canónica r(x, y)
el generador infinitesimal es v = s ∂x
debe satisfacer
∂r
∂r
v(r) = x
+ 2y
=0
∂x
∂y
Entonces la correspondiente ecuación diferencial caracterı́stica viene dada por
2y
dy
=
= dr
dx
x
cuya solución es
r(x, y) =
y
=c
x2
Además se cumple que
r(x∗ , y ∗ ) =
y∗
y
e2t y
= 2 = r(x, y)
=
2
2t
2
∗
e x
x
x
Por otro lado la coordenada canónica s(x, y) satisface
v(s) = x
∂s
∂s
+ 2y
=1
∂x
∂y
Si la función s no depende de y una solución particular s(x, y) = s(x) de la EDP
satisface la ecuación caracterı́stica
ds
1
=
dx
x
su solución es
s(x, y) = ln x
La cual satisface
s(x∗ , y ∗ ) = ln(x∗ ) = ln(et x) = ln(et ) + ln(x) = ln(x) + t
Por lo tanto el grupo de los escalamientos tiene coordenadas canónicas (r, s) =
(y/x2 , ln x).
CAPÍTULO 3. GRUPOS DE TRANSFORMACIONES DE LIE
51
Ejemplo 3.15. Dado el grupo
x∗ =
x
,
1 + tx
y ∗ = (1 + tx)2 y.
El generador infinitesimal es
v = −x2
∂
∂
+ 2xy ·
∂x
∂y
∂r
∂r
La coordenada canónica r(x, y) satisface v(r) = −x2 ∂x
+ 2xy ∂y
= 0· Para
x > 0, la ecuación caracterı́stica correspondiente se escribe
−
dy
dx
=
,
x
2y
su solución
r(x, y) = x2 y.
En cuanto a la segunda coordenada s(x, y) tenemos
v(s) = −x2
∂s
∂s
+ 2xy
= 1·
∂x
∂y
Luego la correspondiente ecuación caracterı́stica para una solución particular
s(x, y) = s(x) de la EDP anterior, viene dada por
ds = −
dx
x2
cuya solución es,
1
·
x
Ası́ pues, las coordenadas canónicas son (r, s) = (x2 y, 1/x).
s(x, y) =
Ejemplo 3.16. Para el grupo de las rotaciones
x∗ = x cos t − y sen t
y ∗ = x sen t + y cos t
el generador infinitesimal es
v = −y
∂
∂
+x ·
∂x
∂y
La ecuación diferencial que determina la función invariante r(x, y) es
v(r) = −y
su ecuación caracterı́stica es
dy
x
=
∂r
∂r
+x
= 0,
∂x
∂y
−dx
y ,
cuya solución puede escribirse
p
r(x, y) = x2 + y 2
CAPÍTULO 3. GRUPOS DE TRANSFORMACIONES DE LIE
52
La segunda coordenada canónica se obtiene como una solución particular de la
EDP
∂s
∂s
v(s) = −y
+x
= 1.
∂x
∂y
Luego la correspondiente ecuación caracterı́stica asociada a s(x, y) viene dada
por
ds
1
1
=− = √
2
dx
y
r + x2
cuya solución es s = sen−1 (x/r). Por lo tanto las √
coordenadas canónicas para
el grupo de las rotaciones son las polares (r, s) = ( r2 + x2 , sen−1 (x/r)). Realizando algunos cálculos se puede verificar que estas coordenadas satisfacen las
propiedades del Teorema 3.6.
Capı́tulo 4
Ecuaciones Diferenciales
Ordinarias Mediante
Simetrı́as De Lie
} Del mismo modo que la deducción ha
de venir suplementada por la intuición,
el impulso hacia la generalización progresiva ha de verse atenuado y equilibrado por el aprecio y el respeto a los
matices ~
Richard Courant.
En este capı́tulo aplicamos los grupos de transformaciones de Lie al estudio de las
ecuaciones diferenciales ordinarias. Mostraremos que bajo la acción de un grupo
de Lie uniparamétrico de transformaciones admitido por una EDO, toda curva
solución de la ecuación es transformada en una familia uniparamétrica de curvas
solución o es invariante bajo la acción del grupo y explicamos como encontrar
soluciones exactas para las EDO de primer orden mediante las coordenadas
canónicas del grupo que la deja invariante.
53
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS DE EDO MEDIANTE SIMETRÍAS
4.1.
54
Curvas Invariantes
Definición 4.1. Una curva F (x, y) = 0 es una curva invariante para un
grupo de transformaciones de Lie uniparamétrico
x∗ = X(x, y; t) = x + tξ(x, y) + o(t2 )
(4.1a)
y ∗ = X(x, y; t) = y + tη(x, y) + o(t2 )
(4.1b)
con generador infinitesimal
v = ξ(x, y)
∂
∂
+ η(x, y)
∂x
∂y
Si y solo si F (x∗ , y ∗ ) = 0 cuando F (x, y) = 0.
Teorema 4.1. Una curva F (x, y) = 0 es una curva invariante para el grupo de
Lie uniparamétrico (4.1a,b) si y solo si
vF (x, y) = 0
cuando
F (x, y) = 0
donde v es el generador infinitesimal del grupo.
Demostración. Supongamos que F es una curva invariante para el grupo uniparamétrico (4.1a,b). Ahora dado que podemos escribir
F (x∗ , y ∗ ) = F (x, y) + tvF (x, y) +
t2 2
v F (x, y) + · · ·
2!
entonces si F (x, y) = 0, por hipótesis también lo será F (x∗ , y ∗ ) = 0 y ası́
necesariamente vF (x, y) y sus potencias deberán ser igual a cero.
Recı́procamente si vF (x, y) = 0 cuando F (x, y) = 0 entonces v k F (x, y) = 0,
k ≥ 1. Por lo tanto F (x∗ , y ∗ ) = 0, esto es, F es una curva invariante.
Q.E.D.
Si consideramos una curva escrita en su forma resuelta F (x, y) = y − f (x) = 0,
entonces el Teorema 4.1 nos dice que F es invariante si y solo si
vF (x, y) = η(x, y) − ξ(x, y)f 0 (x) = 0
cuando F (x, y) = y − f (x) = 0. Es decir si y solo si
η(x, f (x)) − ξ(x, f (x))f 0 (x) = 0.
Ejemplo 4.1. Consideremos al grupo
x∗ = et x,
y ∗ = e2t y,
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS DE EDO MEDIANTE SIMETRÍAS
55
El correspondiente generador infinitesimal es
v=x
∂
∂
+y ·
∂x
∂y
Luego una recta y − λx = 0, x > 0, λ = c, es una curva invariante para
este grupo ya que v(y − λx) = y − λx = 0 cuando y − λx. Pero por ejemplo
una parábola y − λx2 = 0, no es una curva invariante para este grupo pues
v(y − λx2 ) = y − 2λx2 6= 0 cuando y − λx2 = 0.
Definición 4.2. Un punto x es un punto invariante para un grupo de Lie
uniparamétrico x∗ = X(x; t) si y solo si x = x∗ .
El siguiente Teorema es una consecuencia directa de la Definición 4.2.
Teorema 4.2. Un punto x es un punto invariante para el grupo de transformaciones x∗ = X(x; t) si y solo si
ξ(x) = 0.
Ejemplo 4.2. Para el grupo del Ejemplo 4.1, notamos que ξ(x, y) = η(x, y) = 0
si y solo si x = y = 0, ası́ que el único punto invariante es el origen (0, 0).
Definición 4.3. Una familia de curvas
ω(x, y) = c
es una familia de curvas invariantes para el grupo (4.1a,b) si y solo si
ω(x∗ , y ∗ ) = c∗
cuando
ω(x, y) = c.
Teorema 4.3. Una familia de curvas ω(x, y) = c es una familia de curvas
invariantes para el grupo de Lie uniparamétrico (4.1a,b) si y solo si
vω = ξ(x, y)
∂ω
∂ω
+ η(x, y)
= Ω(ω)
∂x
∂y
para alguna función diferenciable Ω(ω).
Demostración. Sea ω(x, y) = c una familia de curvas invariantes para (4.1a,b).
Entonces
ω(x∗ , y ∗ ) = etv ω(x, y)
= ω(x, y) + tvω(x, y) +
t2 2
v ω(x, y) + · · ·
2!
= c∗
donde c∗ = C(c; t) para alguna función C de c y del parámetro del grupo t. Por
lo tanto vω(x, y) = Ω(ω) para alguna función Ω(ω) cuando ω(x, y) = c. De aquı́
se sigue que v 2 ω = Ω0 (ω)vω = Ω0 (ω)Ω(ω) y ası́ sucesivamente.
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS DE EDO MEDIANTE SIMETRÍAS
56
Recı́procamente si suponemos ω(x, y) = Ω(ω) para alguna función diferenciable
Ω(ω). Entonces v 2 ω = Ω0 (ω)Ω(ω) y en general v n ω = fn (ω) para alguna función
fn (ω), n ≥ 1. En consecuencia si ω(x, y) = c tenemos
ω(x∗ , y ∗ ) = etv ω(x, y)
= ω(x, y) + tvω(x, y) +
= ω(x, y) +
=c+
t2 2
v ω(x, y) + · · ·
2!
∞ n
X
t
fn (ω(x, y))
n!
n=1
∞ n
X
t
fn (c)
n!
n=1
= c∗ .
Q.E.D.
Observación 4.1. Existen dos tipos de curvas invariantes: El trivial donde
cada curva en la familia es ella misma invariante, este tipo es caracterizado
por Ω(ω) = 0. El tipo no trivial se presenta cuando la curva es transformada
en una curva diferente; en este caso podemos hacer Ω(ω) = 1. Esto último se
justifica del hecho que si ω(x, y) = c es una familia de curvas invariantes entonces
F (ω(x, y)) = F (c) para alguna función F , luego vF (ω(x, y)) = F 0 (ω)vω =
1
F 0 (ω)Ω(ω), ası́ que tomando F 0 = Ω(ω)
, obtenemos vF (ω) = 1, para Ω(ω) 6= 0.
Ejemplo 4.3. Para el grupo del Ejemplo 4.1. La familia de curvas de este grupo
se encuentra al resolver
∂ω
∂ω
+y
=1
vω = x
∂x
∂y
Las correspondientes ecuaciones caracterı́sticas asociadas a la EDP anterior son
dω
dx
dy
=
=
1
x
y
cuya solución general es
ω(x, y) = ln x + f (y/x)
para alguna función arbitraria f . Por lo tanto toda la familia de curvas
F (ω) = F (ln x + f (y/x))
es una familia de curvas invariantes para este grupo. En particular la familia de
circunferencias x2 + y 2 = r2 = c es una familia de curvas invariantes para este
ln(1+z 2 )
grupo, la cual se obtiene eligiendo F (ω) = e2ω y f (z) =
.
2
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS DE EDO MEDIANTE SIMETRÍAS
4.2.
57
Simetrı́as de EDO de Primer Orden
Una EDO de primer orden se puede comprender como una superficie en R3
cuyas coordenadas vienen dadas por la variable independiente, la variable dependiente y su primera derivada. Por tanto la solución general de la EDO es
representada geométricamente por una familia de curvas (curvas integrales) situadas sobre esta superficie. En este orden de ideas, un grupo de transformaciones de Lie uniparamétrico se dice que es admitido por una EDO de primer
orden si transforma cualquier solución en otras curva solución; en particular un
grupo de transformaciones admitido por una EDO debe dejar una familia de
curvas solución invariantes.
Definición 4.4. La ecuación diferencial ordinaria de primer orden
dy
= f (x, y)
dx
se dice que admite o es invariante bajo el grupo de Lie uniparamétrico
x∗ = X(x, y; t)
y ∗ = Y(x, y; t)
si y solo si para cualquier valor del parámetro t se satisface
f (x∗ , y ∗ ) = f (x, y).
Consideremos la EDO de primer orden
dy
= f (x, y)
dx
(4.2)
En adelante asumiremos que esta EDO admite el grupo uniparamétrico
x∗ = X(x, y; t) = x + tξ(x, y) + o(t2 )
(4.3a)
y ∗ = X(x, y; t) = y + tη(x, y) + o(t2 )
(4.3b)
y también lo llamaremos punto de simetrı́a para la EDO. Con generador
infinitesimal
∂
∂
v = ξ(x, y)
+ η(x, y) .
∂x
∂y
Entonces teniendo en cuenta el efecto del grupo uniparamétrico sobre la EDO,
dy ∗
= f (x∗ , y ∗ )
dx∗
obtenemos progresivamente lo que se llama el prolongamiento de la transformación
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS DE EDO MEDIANTE SIMETRÍAS
58
d y + tη(x, y) + o(t2 )
dy ∗
=
dx∗
d [x + tξ(x, y) + o(t2 )]
h
i
∂η
dy + t ∂x
dx + ∂η
dy
+ o(t2 )
∂y
h
i
=
∂ξ
∂ξ
dx + t ∂x
dx + ∂y
dy + o(t2 )
h
i
dy
∂η
∂η dy
2
dx + t ∂x + ∂y dx + o(t )
h
i
=
∂ξ
∂ξ dy
2
1 + t ∂x
+ ∂y
dx + o(t )
=
f (x, y) + t [ηx + ηy f (x, y)] + o(t2 )
1 + t [ξx + ξy f (x, y)] + o(t2 )
= f (x∗ , y ∗ ).
Por otro lado, el efecto de la transformación sobre la función f (x∗ , y ∗ ) se calcula
de la siguiente manera
f (x∗ , y ∗ ) = f x + tξ(x, y) + o(t2 ), y + tη(x, y) + o(t2 )
∂f
∂f
+η
= f (x, y) + t ξ
+ o(t2 ).
∂x
∂y
Ahora, como hemos supuesto que el grupo deja invariante a la EDO entonces
necesariamente los coeficientes que acompañan a t deberán ser iguales en ambos
desarrollos
∂f
∂f
f (x, y) + t [ηx + ηy f (x, y)] + o(t2 )
=
f
(x,
y)
+
t
ξ
+
η
+ o(t2 ).
1 + t [ξx + ξy f (x, y)] + o(t2 )
∂x
∂y
Por tanto luego de realizar algunos cálculos en la igualdad anterior obtenemos
la EDP de primer orden
ηx + (ηy − ξx ) f + ξy f 2 − fx ξ − fy η = 0
conocida como ecuación determinante del grupo (4.3 a,b) admitido por la
EDO (4.2). Esta ecuación determina entonces los infinitesimales ξ y η del grupo
que deja invariante a la EDO de primer orden.
Observación 4.2. Si una EDO de primer orden admite un grupo de Lie uniparamétrico entonces podemos construir clases especiales de soluciones (soluciones
invariantes) que corresponden a curvas invariantes del grupo de transformaciones admitido. En este sentido bajo la acción del grupo (4.3 a,b) una curva
solución y = Γ(x) de la EDO (4.2) es transformada en una nueva curva solución
y ∗ = Γ(x∗ ) de (4.2).
Ahora nos centraremos en mostrar como encontrar la solución general de una
EDO a partir de las funciones ξ(x, y) y η(x, y) de un grupo admitido. Esto se
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS DE EDO MEDIANTE SIMETRÍAS
59
puede hacer de dos maneras: (1) mediante coordenadas canónicas y (2) hallando
un factor integrante para la EDO de primer orden.
(1) COORDENADAS CANÓNICAS
En el capı́tulo anterior demostramos (Teorema 3.6) que para cualquier grupo de
Lie uniparamétrico existen coordenadas canónicas r(x, y) y s(x, y), de manera
que las transformaciones se convierten en el grupo de las traslaciones
r∗ = r,
s∗ = s + t.
Además esas coordenadas se encuentran resolviendo
vr = 0,
vs = 1.
Por lo que en términos de las coordenadas canónicas, la EDO y 0 = f (x, y) adopta
la forma
ds
sx + sy y 0
=
= F (r, s)
(4.4)
dr
rx + ry y 0
s +s y 0
donde F (r, s) se obtiene sustituyendo x e y en términos de r y s en rxx +ryy y0 ·
La invarianza de la EDO inicial (4.2) y de la EDO (4.4) significa que F (r, s) no
depende explı́citamente de s. Por lo tanto la EDO (4.4) puede ser escrita
sx + sy y 0
ds
= G(r) =
·
dr
rx + ry y 0
En consecuencia la solución general de la EDO (4.2) viene dada implı́citamente
por
Z r(x,y)
s(x, y) =
G(ρ) dρ + c.
Ejemplo 4.4. Consideremos la EDO lineal y homogénea de primer orden
dy
+ p(x)y = 0
dx
(4.5)
Esta EDO admite el grupo de las homotecias, x∗ = x, y ∗ = ty para t 6= 0;
puesto que (4.5) es invariante bajo estas transformaciones
dy ∗
dy
+ p(x∗ )y ∗ = t
+ tp(x)y = 0
∗
dx
dx
implica
dy
+ p(x)y = 0
dx
∂
El generador de este grupo viene dado por v = y ∂y
y las correspondientes
coordenadas canónicas
r = r,
s = ln y.
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS DE EDO MEDIANTE SIMETRÍAS
60
Entonces las EDO (4.5) se convierte
ds
y0
=
= −p(r)
dr
y
Por lo tanto la solución general de la EDO lineal y homogénea (4.5) viene dada
por
Z x
s(x, y) = ln y = −
p(ρ) dρ + c,
o
Z
y = C exp −
x
p(ρ) dρ
Ejemplo 4.5. En general una EDO homogénea de primer orden se puede escribir en la forma
y
dy
=f
(4.6)
dx
x
Si aplicamos el grupo de las homotecias, x∗ = ax, y ∗ = by, ab 6= 0; en la ecuación
diferencial
dy ∗
b dy
by
=
=f
dx∗
a dx
bx
vemos que la EDO es invariante bajo este grupo para a = b, esto es, la EDO
(4.6) admite el punto de simetrı́a
x∗ = tx,
y ∗ = ty.
cuyo generador infinitesimal es
v=x
∂
∂
+y ·
∂x
∂y
Las coordenadas canónicas se encuentran resolviendo las correspondientes ecuaciones caracterı́sticas para el sistema
v(r) = xrx + yry = 0
v(s) = xsx + ysy = 1
Si tomamos s como función independiente de y, entonces obtenemos las siguientes expresiones para las coordenadas canónicas
y
,
x
s = ln x, x ≥ 0.
r=
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS DE EDO MEDIANTE SIMETRÍAS
61
En términos de estas coordenadas la EDO se escribe
ds
1
1
=
=
·
dr
−y/x + f (y/x)
f (r) − r
Hemos obtenido una ecuación en variables separables. En consecuencia la solución general se reduce a una sola integración
Z x
dr
s(x, y) = ln x =
+c
f (r) − r
Finalmente si F (r) denota la integral de la izquierda en la expresión anterior,
entonces la solución general de la EDO homogénea (4.6) se expresa en la forma
implı́cita
y
+ c1 .
ln x = F
x
Observación 4.3. El ejemplo anterior nos permite justificar por que toda EDO
homogénea de primer orden se reduce a una ecuación de variables separables
por medio de la sustitución y = rx. La razón se debe a que r(x, y) = y/x es una
función invariante del grupo uniparamétrico (Ejemplo 4.5) que admiten todas
las EDO homogéneas. En el sentido de lo ya expuesto
r(x∗ , y ∗ ) =
y
y∗
ty
= = r(x, y)
=
∗
x
tx
x
Ejemplo 4.6. Consideremos la ecuación de Riccati
dy
y
y2
= + 2 −1
dx
x x
(4.7)
Esta ecuación es invariante bajo el grupo de los escalamientos
x∗ = et x,
y ∗ = et y, t ∈ R.
ya que al aplicar estas transformaciones en la (4.7) obtenemos
dy ∗
dy
et dy
=
=
dx∗
et dx
dx
e
et y
e2t y 2
y2
y
+
−
1
=
+
−1
et x e2t x2
x x2
Luego tenemos nuevamente como campo de vectores admitido por la EDO a,
v=x
∂
∂
+y ·
∂x
∂y
y al igual que en el ejemplo anterior las coordenadas canónicas se escriben
y
,
x
s = ln x, x ≥ 0.
r=
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS DE EDO MEDIANTE SIMETRÍAS
62
En estas coordenadas la EDO (4.7) se convierte
ds
1
1
=
= 2
,
dr
(y/x)2 − 1
r −1
luego
s(x, y) = ln x =
1
ln
2
r−1
r+1
+c
Volviendo a las variables originales (x, y) obtenemos la solución general para
esta ecuación de Riccati
x(x2 + c1 )
·
y=
c2 − x2
Observación 4.4. En los últimos dos ejemplos notamos que dos grupos de
transformaciones de Lie distintos pueden tener el mismo generador infinitesimal.
En el Ejemplo 4.6 el grupo de parámetros es R∗ con la multiplicación como
operación, mientras que en el Ejemplo 4.5 el grupo es R con la adición como
operación de grupo. La explicación a esta situación la otorga el isomorfismo
entre los grupos (R∗ , ·) y (R, +).
Ejemplo 4.7. Para la EDO
dy
y
1
= y2 − − 2
dx
x 4x
(4.8)
si aplicamos la transformación, ab 6= 0,
x∗ = ax,
y ∗ = by.
en la EDO (4.8) tenemos
b dy
by
1
= b2 y 2 −
−
a dx
ax 4a2 x2
entonces vemos que la EDO es invariante si b = 1/a, de manera que (4.8) admite
el grupo
x∗ = et x,
y ∗ = e−t y.
El generador de este grupo se expresa
v=x
∂
∂
−y
∂x
∂y
Las coordenadas canónicas están determinadas por el sistema
v(r) = xrx − yry = 0
v(s) = xsx − ysy = 1
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS DE EDO MEDIANTE SIMETRÍAS
63
al resolver las ecuaciones caracterı́sticas correspondientes obtenemos
1
,
xy
s = ln x.
r=
Luego en términos de estas coordenadas canónicas la EDO (4.8) se escribe
1
ds
=
dr
(r/2)2 − 1
de donde s(x, y) = ln x = ln(r − 2) − ln(r + 2) + c. Por último regresando a las
variables iniciales llegamos a la solución general de (4.8)
y=−
1 (x + c1 )
·
2 x(c1 − x)
Ejemplo 4.8.
dy
= y 2 − 2xy + 1 + x2
(4.9)
dx
Para esta EDO tenemos que f (x, y) = y 2 − 2xy + 1 + x2 , fx = 2x − 2y, fy =
2y−2x. Luego al reemplazar estas expresiones en la EDP determinante, podemos
ver que esta se satisface para ξ = 1 y η = 1.
Al igual que en los ejemplos anteriores las coordenadas canónicas se encuentran
como soluciones del sistema r = 0 y s = 1. En este caso las coordenadas son
r = y − x,
s = y.
En términos de estas coordenadas la EDO (4.8) se convierte en la ecuación de
variables separables
ds
r2 + 1
=
dr
r2
de aquı́ se obtiene
s=y=r−
1
+ c·
r
Por lo tanto volviendo a las variables originales obtenemos la solución general
de (4.8)
x2 + c1 x − 1
·
y=
x + c1
(2) FACTOR INTEGRANTE
La solución general de una EDO como (4.2) es una familia de curvas ω(x, y) = c.
Entonces
dω
= ωx + ωy y 0
(4.10)
dx
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS DE EDO MEDIANTE SIMETRÍAS
64
y por tanto, ωx + ωy y 0 se encuentra sujeta a todas las soluciones de la EDO
(4.2). Ahora si asumimos que la EDO admite un grupo de transformaciones
uniparamétrico como (4.3a,b) entonces el grupo deja invariante a la familia de
curvas solución ω(x, y) = c. Más aún, como se vio en la Sección 4.1, si asumimos
que bajo el grupo las curvas solución de la ecuación no son curvas invariantes
de (4.3a,b) entonces la familia de curvas solución satisface
v = ξ(x, y)
∂ω
∂ω
+ η(x, y)
∂x
∂y
con η 6= ξf , donde v es el generador infinitesimal del grupo.
Sustituyendo la expresión para ωx de (4.10) en la igualdad anterior obtenemos
ωy =
1
,
η − ξf
ωx =
−f
,
η − ξf
luego
por lo tanto tenemos
dω
1
=
(y 0 − f ) ,
dx
η − ξf
en consecuencia
µ(x, y) =
1
η − ξf
es un factor integrante para la EDO (4.2).
Podemos obtener igualmente un factor integrante en términos de ξ y η si la
EDO está escrita en la forma P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0.
Teorema 4.4. Si la ecuación diferencial
P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0
definida sobre un dominio conexo, admite un grupo de Lie uniparamétrico con
generador infinitesimal
v = ξ(x, y)
entonces µ(x, y) =
1
ξP +ηQ ,
∂
∂
+ η(x, y)
∂x
∂y
es un factor integrante para la ecuación diferencial.
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS DE EDO MEDIANTE SIMETRÍAS
65
Demostración. Si escribimos la EDO en la forma (4.2) obtenemos
dy
P (x, y)
=−
dx
Q(x, y)
En estos términos la ecuación determinante toma la forma
2
∂ −P
−P
−P
∂ −P
ξy − ξ
ηx + (ηy − ξx )
+
−η
=0
Q
Q
∂x
Q
∂y
Q
Ahora la condición para que µ(x, y) sea un factor integrante nos lleva
∂
P
∂
Q
=
∂y ξP + ηQ
∂x ξP + ηQ
Esta expresión se verifica ya que coincide con la igualdad que se obtiene al
expandir la ecuación determinante.
Q.E.D.
Ejemplo 4.9. Consideremos la EDO
y0 + y2 =
2
x2
Primero notemos que esta ecuación es invariante bajo el grupo: x∗ = et x, y ∗ =
et y, puesto que
2
2
2
dy ∗
dy
+ y ∗ − ∗2 = e2t
+ e2t y 2 − e2t 2
∗
dx
dx
x
x
∂
∂
El generador de este grupo es v = x ∂x
− y ∂y
. Ahora reescribiendo la ecuación
en la forma
2
dy + y 2 − 2 dx = 0
x
podemos aplicar la fórmula para µ(x, y) del Teorema 4.4 y obtener
µ(x, y) =
x
x2 y 2 − xy − 2
Multiplicando por este factor, la ecuación diferencial se transforma
xdy + (xy 2 − 2/x)dx
xdy + ydx
dx
= 2 2
+
2
2
x y − xy − 2
x y − xy − 2
x
1
xy − 2
= d ln x + ln
=0
3
xy + 1
Por lo tanto la solución general de la EDO se expresa en la forma implı́cita
xy − 2
C
= 3·
xy + 1
x
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS DE EDO MEDIANTE SIMETRÍAS
66
Teorema 4.5. Para cualquier función ξ(x, y), el grupo uniparamétrico con generador infinitesimal
∂
∂
v = ξ(x, y)
+ f (x, y)
∂x
∂y
deja invariante a cada curva solución de la EDO y 0 = f (x, y).
Demostración. Sea y = Γ(x) una curva solución de la EDO y 0 = f (x, y). Entonces
y 0 = Γ0 (x) = f (x, Γ(x))
Por lo tanto al evaluar el generador sobre la curva
v(y − Γ(x)) = ξ(x, y)[f (x, y) − Γ0 (x)]
= ξ(x, Γ(x))[f (x, Γ(x)) − Γ0 (x)]
=0
En consecuencia y = Γ(x) es una curva invariante para el grupo uniparamétrico
con generador infinitesimal v.
Q.E.D.
Teorema 4.6. Para cualquier función ξ(x, y), la EDO y 0 = f (x, y) admite
un grupo de Lie uniparamétrico con generador infinitesimal v = ξ(x, y)∂x +
η(x, y)∂y para algún η 6= ξf , en el sentido que cada curva solución de la EDO
es transformada en otra curva solución diferente para la EDO.
Demostración. Sea ω(x, y) las curvas solución de y 0 . Entonces ωx + ωy f = 0.
Para ξ(x, y) arbitraria, consideremos el generador v = ξ(x, y)∂x + η(x, y)∂y , con
η(x, y) determinado por la relación ωy = 1/(η − ξf ). Luego
vω = ξωx + ηωy
= ξ(−ωy f ) + ηωy
= (η − ξf )ωy
=1
Por lo tanto (por Teorema 4.3) el grupo de Lie uniparamétrico transforma cada
curva solución de la EDO en una curva solución diferente.
Q.E.D.
Observación 4.5. Todos los resultados presentados en esta sección se pueden
eventualmente extender al análisis de EDP. Para este tipo de ecuaciones la
solución general es representada como una familia de superficies y de manera
similar se dice que un grupo de transformaciones de Lie es admitido por una
EDP, si transforma cualquier superficie solución en otra superficie solución. El
lector interesado en los grupos de transformaciones aplicados a las EDP, puede
consultar [2] o [13].
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS DE EDO MEDIANTE SIMETRÍAS
4.3.
67
Algoritmo para hallar la solución de una
EDO
Habiendo demostrado que toda EDO admite un grupo de transformaciones uniparamétrico (Teorema 4.5 y 4.6) y descrito el método de las coordenadas canónicas, obtenemos una manera sistemática para resolver una EDO.
Dada la EDO de primer orden
y 0 = f (x, y)
podemos resolverla sistemáticamente:
1. Solucionar la EDP determinante
ηx + (ηy − ξx ) f + ξy f 2 − fx ξ − fy η = 0
hallando los infinitesimales ξ y η.
2. A partir del generador que determinan ξ y η, expresar el grupo que deja
invariante a la EDO en coordenadas canónicas
3. Resolver la EDO en términos de las coordenadas canónicas
sx + sy y 0
ds
= G(r) =
·
dr
rx + ry y 0
4. Volver a las variables iniciales para obtener la solución en términos de (x, y).
En los ejemplos de la Sección 4.2 se puede apreciar que hallamos las ecuaciones
del grupo admitido o las funciones ξ y η por inspección. Una vez conocidas
las ecuaciones o los infinitesimales del grupo que deja invariante a la EDO, el
algoritmo anterior nos entrega un esquema sistemático para resolver la EDO.
Sin embargo, no existe una manera sistemática de encontrar a ξ y η para toda
EDO, es decir, no existe un método que nos permita resolver siempre la EDP
determinante. Encontrándonos en esta situación la teorı́a de Lie aplicada a las
ecuaciones diferenciales tiene otro punto a favor ya que estos métodos son altamente programables, en este sentido se han desarrollado muchos paquetes que
nos permiten encontrar las expresiones de ξ y η de manera simbólica, más aún
obtener en algunos casos la solución general de la EDO.
Utilizando el software MAPLE podemos acceder a una gran variedad de comandos que nos permiten reducir notablemente los cálculos para hallar los infinitesimales de simetrı́a y resolver la EDO. En los próximos ejemplos resolvemos en
Maple algunos tipos de EDO siguiendo el esquema del algoritmo descrito.
Ejemplo 4.10. EDO lineal homogénea de primer orden. Para esta ecuación escribimos en Maple
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS DE EDO MEDIANTE SIMETRÍAS
68
with ( DEtools ) ; ODE := d i f f ( y ( x ) , x)+p ( x ) y ( x ) = 0 ;
symgen (ODE) ; d s o l v e (ODE, L i e ) ;
y obtenemos simultáneamente
d
y(x) + p(x)y(x) = 0
dx
[ξ = x, η = y]
c
y(x) = R p(x) dx
e
Con las herramientas de Maple, symgen(ODE) calcula los infinitesimales de
simetrı́a y dsolve(EDO, Lie) determina las funciones ξ y η de algún grupo de
Lie que admita la EDO y luego utiliza esta información para resolver la EDO.
También podemos hallar las coordenadas canónicas que determinan ξ y η cuando
son conocidas.
with ( DEtools , symgen , c a n o n i ) ;
canoni ( [ x i = 0 , et a = y ] , y (x ) , s ( r ) ) ;
{r = x, s(r) = ln(y(x))}
Finalmente vemos que los infinitesimales, las coordenadas canónicas y la solución
general de la EDO coinciden con lo determinado en el Ejemplo 4.4.
Ejemplo 4.11. EDO lineal no homogénea de primer orden. Al escribir
las lı́neas de código
with ( DEtools ) ; EDO2 := d i f f ( y ( x ) , x)+p ( x ) ∗ y ( x ) = q ( x ) ;
symgen (EDO2, way = abaco2 ) ;
obtenemos
d
y(x) + p(x)y(x) = q(x)
dx
h
i
R
ξ = 0, η = e− p(x) dx
Por último hallamos las coordenadas canónicas para estos infinitesimales y resolvemos la EDO
canoni ( [ xi , et a ] , y( x ) , s ( r ) ) ;
d s o l v e (EDO2, ’ can ’ ) ;
n
o
R
r = x, s(r) = y(x)e p(x) dx
R
R
q(x) e p(x) dx dx + C
R
y(x) =
e p(x) dx
Ejemplo 4.12. EDO de variables Separables
with ( DEtools ) ; EDO := d i f f ( y ( x ) , x ) = f ( x ) ∗ g ( y ( x ) ) ;
symgen (EDO, way = abaco2 )
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS DE EDO MEDIANTE SIMETRÍAS
d
y(x) = f (x)g(y(x))
dx
1
ξ=
,η = 0
f (x)
h
Finalmente hallamos la solución general para ξ =
1
f (x) , η
69
i
=0 ·
d s o l v e (EDO, HINT = [ x i , e t a ] )
Z
Z y(x)
da
f (x) dx −
+C =0
g(a)
Ejemplo 4.13. Ecuación de Bernoulli
with ( DEtools ) ;
EDO := d i f f ( y ( x ) , x)+p ( x ) ∗ y ( x ) = q ( x ) ∗ y ( x ) ˆ n ;
d
y(x) + p(x)y(x) = q(x)y(x)n
dx
symgen (EDO, way = abaco1 ) ;
h
i
R
ξ = 0, η = e p(x)(n−1) dx y n
symgen (EDO, way = abaco2 ) ;
"
#
R
R
yp(x)e(n−1)( p(x) dx)
e(n−1)( p(x) dx)
,η = −
ξ=
q(x)
q(x)
Ejemplo 4.14. EDO homogénea de primer orden
with ( DEtools ) ; EDO := d i f f ( y ( x ) , x ) = f ( y ( x ) / x ) ;
d
y(x)
y(x) = f
dx
x
Para esta EDO encontramos las siguientes soluciones de la EDP determinante
symgen (EDO, way = 5 ) ;
h
y i
x
ξ = 0, η = y − f
x
symgen (EDO, way = abaco2 ) ;
[ξ = x, η = y]
En el Ejemplo 4.5 hallamos los infinitesimales de simetrı́a [ξ = x, η = y] a partir
del grupo que encontramos. Las coordenadas canónicas correspondientes son
canoni ( [ x i = x ,
eta = y ] , y(x) , s ( r ) ) ;
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS DE EDO MEDIANTE SIMETRÍAS
r=
70
y(x)
, s(r) = ln(x) ·
x
En el próximo ejemplo verificamos los resultados obtenidos para algunos de los
ejemplos de la Sección 4.2.
Ejemplo 4.15. Consideremos la EDO de Riccati del Ejemplo 4.6
with ( DEtools ) ;
EDO := d i f f ( y ( x ) , x ) = y ( x ) / x+y ( x ) ˆ 2 / x ˆ2 −1;
y(x) y(x)2
d
−1
y(x) =
+
dx
x
x2
Los infinitesimales son
symgen (EDO) ;
y2
ξ = 0, η = −x +
x
symgen (EDO, way = abaco2 ) ;
[ξ = x, η = y]
symgen (EDO, way = 4 ) ;
y2
y3
ξ = 0, η = x −
, [ξ = x, η = y] , ξ = x + y, η = x + 2
x
x
Utilizando las expresiones [ξ = x, η = y] encontramos la solución general de la
EDO
d s o l v e (EDO, HINT = [ \ x i=x , \ e t a=y ] ) ;
x(x2 + C)
C − x2
y en efecto coincide con la solución hallada en el Ejemplo 4.6.
y(x) =
Para la EDO del Ejemplo 4.7
EDO1 := d i f f ( y ( x ) , x ) = y ( x)ˆ2−y ( x ) / x −1/(4∗x ˆ 2 )
d
y(x)
1
y(x) = y(x)2 −
− 2
dx
x
4x
encontramos las soluciones de la EDP determinante
symgen (EDO) ;
− 41 + yx − y 2 x2
−4x3 y 2 + x
ξ = 0, η =
,
ξ
=
0,
η
=
x2
x2
symgen (EDO, way = abaco2 ) ;
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS DE EDO MEDIANTE SIMETRÍAS
ξ = 1, η =
−1
2x2
71
symgen (EDO, way =3);
x2
1
[ξ = x, η = −y] , ξ = − , η = yx +
2
4
Por último, utilizando las soluciones [ξ = x, η = −y] obtenemos la solución general de la EDO
d s o l v e (EDO, HINT = [ x i = x , e t a = −y ] ) ;
y(x) =
1 C +x
·
2 x(C − x)
Finalmente para la EDO del Ejemplo 4.8
EDO := d i f f ( y ( x ) , x ) = y ( x)ˆ2 −2∗x∗y ( x)+1+x ˆ 2 ;
d
y(x) = y(x)2 − 2xy(x) + 1 + x2
dx
las soluciones de la EDP determinante son
symgen (EDO, way=abaco2 ) ;
[ξ = 1, η = 1]
symgen (EDO, way =5);
ξ = 0, η = (x − y)2 , ξ = 0, η = (x2 − xy − 1)(x − y)
Las coordenadas canónicas para [ξ = 1, η = 1] y ξ = 0, η = (x − y)2 son respectivamente
c a n o n i ( [ x i =1, e t a =1] , y ( x ) , s ( r ) ) ;
{r = −x + y(x), s(r) = x}
c a n o n i ( [ x i = 0 , e t a = ( x−y ) ˆ 2 ] , y ( x ) , s ( r ) )
1
)
r = x, s(r) =
x − y(x)
Por lo tanto la solución general de la EDO viene dada por
d s o l v e (EDO, HINT = [ 1 , 1 ] ) ;
y(x) =
Cx + x2 − 1
x+C
Podemos también tratar de hallar la solución general para ξ = 0, η = (x − y)2
y obtendremos el mismo resultado
d s o l v e (EDO, HINT = [ 0 , ( x−y ) ˆ 2 ] ) ;
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS DE EDO MEDIANTE SIMETRÍAS
y(x) =
72
Cx + x2 − 1
x+C
Observación 4.6. En los últimos ejemplos hemos visto que una EDO de primer
orden puede admitir más de un grupo de transformaciones uniparamétrico, esto
se debe a que la EDP determinante puede tener más de una solución y de hecho
infinitas. Usualmente se consideran las soluciones más simples, sobre todo si
estamos realizando los cálculos manualmente.
Ejemplo 4.16. Resolver la EDO
with ( DEtools ) ;
EDO := d i f f ( y ( x ) , x)+y ( x ) ˆ 2 ∗ s i n ( x ) = 2∗ s i n ( x ) / c o s ( x ) ˆ 2 ;
2 sen(x)
d
y(x) + sen(x)y(x)2 =
dx
cos2 (x)
Podemos utilizar el comando odeadvisor(EDO) para tratar determinar que tipo
de ecuación es EDO
o d e a d v i s o r (EDO) ;
[Riccati]
Las soluciones para la EDP determinante son
symgen (EDO, way = abaco2 ) ;
cos(x)
2
2
,η = y
ξ = 0, η = cos (x)(y cos(x) + 2) , ξ =
sen(x)
h
i
cos(x)
Luego para la solución ξ = sen(x)
, η = y obtenemos las coordenadas canónicas
y la solución general para EDO
c a n o n i ( [ x i=c o s ( x ) / s i n ( x ) ,
e t a=y ] , y ( x ) , s ( r ) )
{r = y(x) cos(x), s(r) = −ln(cos(x))}
d s o l v e (EDO, HINT = [ x i = c o s ( x ) / s i n ( x ) ,
y(x) = −
eta = y ])
2C cos3 (x) + 1
·
cos(x)(C cos3 (x) − 1)
Ejemplo 4.17. Resolver la EDO
with ( DEtools ) ; PDEtools [ d e c l a r e ] ( y ( x ) , prime = x ) ;
EDO:= x ∗ ( d i f f ( y ( x ) , x ) ) ∗ l n ( x ) ∗ s i n ( y ( x ) )
+c o s ( y ( x ))∗(1 − x∗ c o s ( y ( x ) ) ) = 0 ;
xy 0 ln(x) sen(y) + cos(y)(1 − x cos(y)) = 0
o d e a d v i s o r (EDO) ;
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS DE EDO MEDIANTE SIMETRÍAS
73
[rational,[Abel,2nd type,class B]
Encontramos la soluciones para la EDP determinante
symgen (EDO, way = abaco2 ) ;
[ξ = x2 + 4x, η = x(y + 4)]
symgen (EDO) ;
(x − y)(x − 2y − 4)
(y 2 + 4x)(x − y)
ξ = 0, η =
, ξ = 0, η = −
y+4
x(y + 4)
h
i
están
Las correspondientes coordenadas canónicas para ξ = 0, η = (x−y)(x−2y−4)
y+4
dadas por
canoni ( [ xi , et a ] , y( x ) , s ( r ) ) ;
1
r = x, s(r) = ln(−x + y) − ln(y 2 + 4x)
2
Por lo tanto la solución general para esta EDO de Abel es
d s o l v e (EDO, HINT = [0 ,( − x∗yˆ2+yˆ3−4∗xˆ2+4∗x∗y ) / ( x ∗ ( y + 4 ) ) ] ) ;
√
√
−Cx + Cx2 + 4Cx − 4x
Cx + Cx2 + 4Cx − 4x
,y = −
·
y=
C −1
C −1
Conclusiones y
Recomendaciones
• Los grupos de transformaciones de Lie son clave para comprender la naturaleza de las ecuaciones diferenciales y sus soluciones. Existen técnicas para
obtener soluciones generales de EDO, pero la mayorı́a de ellas no son más que
casos especiales de algunos métodos fuertes de simetrı́as. Además a diferencia
de esas técnicas que muchas veces son presentadas como técnicas especiales
si aparente relación, los métodos de la teorı́a de Lie se pueden aplicar a cualquier tipo desconocido de EDO, encontrando primero el grupo de simetrı́a de
la ecuación y luego utilizandolo para construir soluciones exactas. Por todo
esto resulta un tanto sorprendente que estos métodos de simetrı́a no sean
ampliamente conocidos.
• Las coordenadas canónicas nos brindan un método que nos permite solucionar
de manera sistemática una EDO, siempre que sean conocidos los puntos de
simetrı́a que admite la ecuación.
• Si entendemos una EDO de orden n como una superficie que corresponde
a un espacio (n + 2) dimensional cuyas coordenadas están dadas por la variable independiente, la variable dependiente y sus derivadas hasta el orden
n, entonces las simetrı́as de una ecuación diferencial consisten en grupos de
transformaciones geométricas sobre este espacio y actúan en sus soluciones
mediante la transformación de sus curvas solución en nuevas curvas soluciones. Por lo tanto desde este punto de vista la geometrı́a diferencial, la teorı́a
de grupos y el análisis son determinantes para comprender con profundidad
el estudio de las simetrı́as en las ecuaciones diferenciales.
• En el trabajo mostramos que para una EDO de primer orden los métodos de
simetrı́as proporcionan una manera sistemática para solucionar la ecuación.
Para las EDO de orden superior, en la teorı́a de Lie se demuestra que si la
ecuación admite un grupo de transformaciones uniparamétrico entonces el
orden de la ecuación puede ser reducido por uno, recuperando las soluciones
originales de la ecuación mediante la ecuación reducida por una integración.
En el caso de las EDP los métodos de Lie proporcionan soluciones invariantes
y leyes de conservación. En [13] por ejemplo, se estudia la correspondencia
74
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS DE EDO MEDIANTE SIMETRÍAS
75
entre los grupos de simetrı́a y las leyes de conservación derivada del teorema
de Noether.
Bibliografı́a
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76
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS DE EDO MEDIANTE SIMETRÍAS
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