Dinámica de la rotación del cuerpo rígido respecto a eje

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN
FACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICA
FÍSICA MECÁNICA
MÓDULO # 22: SISTEMA DE PARTÍCULAS –DINÁMICA DEL CUERPO RÍGIDO (I)Diego Luis Aristizábal R., Roberto Restrepo A., Tatiana Muñoz H.
Profesores, Escuela de Física de la Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín
1
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

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Temas
Introducción
Algunos aspectos de la cinemática del movimiento plano de un cuerpo rígido
Dinámica de la rotación del cuerpo rígido respecto a eje fijo
Ejemplos
Introducción
Las relaciones fundamentales de la cantidad de movimiento lineal, la cantidad de movimiento angular y la
energía cinética (teorema TE) para un sistema de partículas, son aplicables al movimiento de un cuerpo
rígido, que es un sistema de partículas con la condición especial de que las distancias entre ellas
permanecen constantes. En el módulo # 21 se mostró que para el caso del teorema TE, el trabajo interno
en un cuerpo rígido es cero. Así, las relaciones fundamentales para el estudio del movimiento de un cuerpo
rígido son,
F=
dP
= Ma CM
dt
τ=
dL
dt
W = ΔK
donde F , τ y W son la fuerza, el torque, el trabajo, externos, totales. Esas relaciones son válidas
respecto a un marco inercial de referencia, con la cantidad de movimiento angular y el torque calculados
respecto al mismo punto fijo en dicho marco. La relación de la cantidad de movimiento angular es también
válida respecto al marco de referencia del centro de masa (que no necesariamente debe ser inercial), con
el torque y la cantidad de movimiento angular evaluados respecto a dicho centro de masa.
En este curso se trataran dos casos especiales de dinámica del cuerpo rígido:


Dinámica de la rotación del cuerpo rígido respecto a un eje fijo.
Dinámica del movimiento plano de un cuerpo rígido respecto a un marco de referencia inercial.
En éste módulo se hará primero un breve análisis de algunos aspectos sobre la cinemática del movimiento
plano de cuerpo rígido, entre esto se estudiará la condición de rodamiento sin deslizamiento. Luego se
tratará la dinámica de rotación del cuerpo rígido respecto a un eje fijo. En el módulo # 23 se tratará la
dinámica del movimiento plano de un cuerpo rígido respecto a un marco de referencia inercial.
Algunos aspectos de la cinemática del movimiento plano de un cuerpo rígido
Traslación del cuerpo rígido
2
Se dice que un cuerpo rígido se encuentra animado de un movimiento de traslación cuando todo segmento
rectilíneo definido por dos puntos de aquél permanece paralelo a si mismo en el transcurso del movimiento,
Figura 1: Todos los puntos de un cuerpo rígido animado de un movimiento de traslación tienen, en cada
instante, la misma velocidad. Esa velocidad, común a todos los puntos del cuerpo, recibe el nombre de
velocidad de traslación del sólido y debe ser considerada como un vector libre. Las mismas consideraciones
pueden aplicarse a la aceleración. En consecuencia, una vez definido el movimiento de un punto cualquiera
del cuerpo rígido que se traslada, se tiene definido el movimiento del cuerpo.
Figura 1
Rotación del cuerpo rígido
Se dice que un cuerpo rígido está animado de un movimiento de rotación alrededor de un eje fijo cuando
todos sus puntos describen trayectorias circulares centradas sobre dicho eje y contenidas en planos
normales a éste, Figura 2.
3
Figura 2
El eje de rotación puede atravesar el cuerpo o ser exterior al mismo; en el primer caso, los puntos del
sólido que están sobre el eje permanecen en reposo en tanto que los demás puntos describen
circunferencias en torno al eje; en el segundo caso, todos los puntos del sólido están en movimiento circular
alrededor del eje exterior al sólido. En cualquier caso, la rapidez V de un punto P del sólido será tangente a
la circunferencia descrita y, en un instante dado, tendrá un módulo tanto mayor cuanto mayor sea la
distancia del punto al eje de rotación,
V=ωr
En donde
ω
corresponde a la rapidez angular de rotación y r es la distancia del punto P al eje de rotación.
En un instante dado, todos los puntos del cuerpo poseen la misma rapidez angular, en tanto que a cada uno
de ellos le corresponde una rapidez que es función de su distancia al eje de rotación. Así pues, la celeridad
angular caracteriza al movimiento de rotación del cuerpo rígido en torno a un eje fijo.
Movimiento plano
Un cuerpo rígido tiene un movimiento plano cuando todos sus puntos se mueven en planos paralelos a un
plano fijo. Se denominará plano del movimiento al plano que contiene el centro de masa. El corte de ese
plano con el cuerpo rígido es la sección representativa. En el movimiento plano del cuerpo rígido, la
aceleración angular, al igual que la velocidad angular, tiene la dirección del eje de rotación y ambos son
vectores perpendiculares al plano en el que se produce el movimiento.
Un disco delgado que se mueve, manteniéndose en un plano vertical fijo, rodando sobre una superficie
horizontal, es un ejemplo de un cuerpo rígido en movimiento plano. Es esencial, para que el movimiento sea
plano, que el eje geométrico del disco, mantenga siempre la misma dirección, es decir se desplace
paralelamente a sí mismo. Si el disco “voltea”, si el eje gira en el plano horizontal, el movimiento cesa de ser
un movimiento plano y se está en el caso de un movimiento espacial, tridimensional, aunque el cuerpo rígido
sea un cuerpo plano.
Un cuerpo volumétrico, tridimensional, puede describir movimientos planos. Por ejemplo un cilindro que
rueda sobre una superficie horizontal de modo que su eje geométrico mantiene una dirección fija, describe
un movimiento plano.
Otro ejemplo de movimiento plano de un cuerpo rígido es una esfera rodando, siempre que el eje de
rotación mantenga su dirección constante. Tanto en el caso del cilindro como el de la esfera, su sección
representativa coincide con la del disco, Figura 3. En este curso se estudiará sólo movimientos planos de
cuerpos que son simétricos respecto a su plano o sección representativa por el centro de masa, como en los
ejemplos anteriores.
4
Figura 3
Velocidad de un punto P de un cuerpo rígido en movimiento plano
Supóngase un pequeño desplazamiento entre los instantes t y t + Δ t. Dicho desplazamiento puede verse
como una traslación del centro de masa más una rotación respecto a un eje por dicho centro de masa.
Considérese como marco de referencia el plano en el que se efectúa el movimiento. En la dinámica ese plano
será un marco inercial de referencia. Sea también el marco de referencia del centro de masa, marco que se
traslada con la velocidad del centro de masa, VCM . Sea
marco CM,
VP / CM la velocidad relativa del punto P respecto al
VP la velocidad de P y VCM la del CM ambas respecto al marco inercial O, Figura 4 .
Figura 4
Entonces,
VP / CM = VP / O - VCM / O
VP = VCM  VP / CM
Ahora, el movimiento de P respecto al marco CM es un movimiento de rotación. Si w es el vector velocidad
angular, perpendicular al plano, y R el radio de la trayectoria circular respecto al CM del punto P,
VP / CM = ωR
Nota: Por convención se tomará al eje Z en la dirección de la velocidad angular. Si w > 0, el vector velocidad
angular apunta en la dirección positiva del eje Z. Es muy importante fijar explícitamente la dirección de Z,
pues según esa dirección se determinan los signos de la velocidad angular, la aceleración angular, el torque
y la cantidad de movimiento angular. Incluso, la elección de la dirección Z debe preceder a la elección de
los ejes X y Y, que no son cruciales para las rotaciones en el plano XY, y que se determinan luego, en caso
de que se requieran, de modo que el triedro sea derecho.
Condición de rodamiento sin deslizamiento
Como ejemplo se analizará un cuerpo que rueda SIN DESLIZAR sobre una superficie horizontal, Figura 5.
Como cuerpo rodante considérese un sólido de revolución respecto a su eje geométrico por CM. Podría ser
un cuerpo volumétrico, tridimensional, como una esfera o un cilindro, huecos o macizos, o un cuerpo plano
como un disco o un anillo. Su sección representativa será, en todo caso, así
Figura 5
Pero,
VA = VCM  VA / CM
VA = V - ωR ˆi
Si hay rodamiento puro, es decir el cuerpo rueda sin desliar, el punto A estará en reposo respecto al marco
inercial O (el piso),
VA = 0 , y por lo tanto,
V = ωR ˆi
Esto lleva a concluir que las velocidades del centro de masa y del punto B respecto al marco inercial O son,
5
VCM = ωR ˆi
VB = 2 ωR ˆi
Adicionalmente las aceleraciones del centro de masa y del punto B respecto al marco inercial O son,
aCM = αR ˆi
6
a B = 2αR ˆi
En esta situación al punto A se le denomina centro instantáneo de rotación.
Se deja al lector calcular la rapidez en el punto C respecto a O, si su radio correspondiente forma un
ángulo de 45o con la horizontal.
Dinámica de la rotación del cuerpo rígido respecto a eje fijo
Cantidad de movimiento angular
En este curso sólo se analizarán situaciones en las que el movimiento del cuerpo rígido es plano y si rota, lo
hace alrededor de un eje de simetría. En estos casos, si el eje fijo de rotación pasa por el punto O, la
cantidad de movimiento angular del cuerpo respecto a O es,
Lo = Io ω
Siendo ω la velocidad angular de rotación la cual tiene la dirección del eje de rotación que por convención
será el eje Z.
Demostración: En la Figura 6 se ilustra un cuerpo con simetría respecto al eje de rotación,
Figura 6
La componente Z de la cantidad de movimiento angular de la partícula i respecto a O es,
Lioz = mi Ri Vi kˆ
Lioz = mi Ri ω Ri kˆ
Lioz = mi Ri2 ω kˆ
7
La cantidad de movimiento angular de todo el sistema de partículas respecto a O, es decir, el del cuerpo
rígido, es,
Lo =  Lioz =
  m R  ω kˆ
2
i
ya que las componentes horizontales se anulan por simetría. Y como,
Io =  mi Ri2
Corresponde al momento de inercia del cuerpo rígido respecto al eje que pasa por O, entonces,
Lo = Io ω kˆ
[1]
Esta expresión también se cumple si el cuerpo rígido es plano y el eje de rotación es ortogonal a éste,
incluso si el eje no corresponde a un eje de simetría.
Segunda ley de Newton de rotación
El torque externo respecto a un punto O fijo a un marco de referencia inercial para un sistema de partícula
cumple,
τ=
dL
dt
τ es el torque de las fuerza externas respecto a O y L es la cantidad de movimiento angular del sistema
de partículas respecto al mismo punto O.
En el caso de un cuerpo rígido que rota cumpliendo las condiciones para que se cumpla la ecuación [1], se
tendrá,
τ=
d  Iω 
dω
= Io
dt
dt
τ = Io α
[2]
en donde  corresponde a la aceleración angular: esta es la análoga a la segunda ley de Newton para
traslación, el momento de inercia I o hace en la rotación el papel que hace la masa en la traslación. Si la
velocidad angular es constante,
τ = 0 , y un cuerpo rígido puede mantener su rotación con velocidad angular
constante respecto a un eje que pasa por O (que cumpla la ecuación [2]), sin ningún torque externo, lo cual
es para la rotación, la análoga a la primera ley de Newton (ley de inercia) para la traslación.
Conservación de la cantidad de movimiento angular
Si el torque de las fuerzas externas respecto al punto O por donde pasa el eje de rotación es nulo, la
cantidad de movimiento angular se conserva. Esto se puede concluir al hacer
τ = 0 en la ecuación [5],
dL o
=0
dt
Lo = constante
Y por lo tanto,
Ioω = constante
O equivalentemente,
Io1ω1 =Io2ω2
Ejemplos de situaciones donde se aplica esta ley de conservación:

Estudiante montado en una plataforma giratoria de baja fricción en sus rodamientos, Figura 7: El peso
P (plataforma + estudiante) y la fuerza normal N que ejerce el rodamiento sobre la plataforma son las
fuerzas externas que actúan sobre el sistema (plataforma + estudiante) y no hacen torque respecto a
O (que es el CM del sistema), por lo tanto se conserva
Lo . Es decir, si el estudiante abre sus brazos
aumenta su momento de inercia y por lo tanto debe disminuir su velocidad angular y viceversa.
Figura 7
8

Un clavadista en natación, Figura 8: El peso no realiza torque respecto al CM de la clavadista, por lo
tanto se conserva L respecto a su centro de masa. Es decir, si la clavadista se encoge disminuye su
momento de inercia y por lo tanto debe aumentar su velocidad angular y viceversa.
9
Figura 8: Foto obtenida del link mx.ibtimes.mx

La bailarina de la Figura 9: El peso P y la fuerza normal N son las fuerzas externas que actúan sobre lal
bailarina y no hacen torque respecto al CM, por lo tanto se conserva L respecto a su centro de masa.
Es decir, si la bailarina abre sus brazos aumenta su momento de inercia y por lo tanto debe disminuir su
velocidad angular y viceversa.
Figura 9: Foto obtenida del link www.havanatimes.org

En el siguiente link se hace un buen análisis sobre la habilidad de los gatos para rotar su cuerpo y
tratar siempre de caer de pie,
http://www.vega00.com/2012/05/explicacion-fisica-de-por-que-los-gatos.html
Energía cinética y teorema TE
La energía cinética del cuerpo rígido que rota respecto al eje fijo z que pasa por O, con velocidad angular
 es la suma de las energías cinéticas de las diversas partículas,
K=
1
2mV
2
i
i
10
y como
Vi = ωRi
K=
 2 m R  ω
1
i
2
i
2
1
K =  I o ω2
2
[3]
El teorema del trabajo y la (teorema TE) energía entre situaciones a y b es entonces,
Wa b = K
Wa b =
1
1
Io ωb2 - Io ωa2
2
2
[4]
En donde Wa→b corresponde al trabajo total de las fuerzas externas. Si hay fuerzas conservativas, su
trabajo puede evaluarse en términos de las energías potenciales asociadas.
El trabajo de rotación realizado por el torque para rotar el cuerpo rígido desde
θb
Wa b =  τ dθ
[5a]
θa
Si el torque es constante,
Wab = τ θb - θa 
[5b]
La potencia desarrollada en la rotación es,
P = τω
[6]
a
hasta
b
es igual a,
Analogía entre el movimiento rectilíneo y el movimiento de rotación de un cuerpo rígido respecto a un eje
fijo
En la tabla 1 se presenta la analogía entre el movimiento rectilíneo y la rotación de un cuerpo rígido
respecto a un eje fijo.
Tabla 1: Analogía entre el movimiento rectilíneo y la rotación de un cuerpo rígido respecto a un eje fijo
MOVIMIENTO RECTILÍNEO
Posición
Velocidad
Aceleración
Masa
Fuerza
Segunda ley de Newton
Cantidad de movimiento
lineal
Energía cinética
Trabajo
Teorema TE
Potencia
x
dx
dt
dV d 2 x
a=
=
dt dt 2
m
F
F = ma
V=
P = mV
1
mV 2
2
W =  F dx
K=
W = ΔK
P = FV
ROTACIÓN DE CUERPO RÍGIDO RESPECTO A UN
EJE FIJO
θ
Posición angular
ω=
Velocidad angular
Aceleración angular
Momento de inercia
α=
dθ
dt
dω
d 2θ
= 2
dt
dt
Io
τ
Torque
Segunda ley de Newton
τ = Io α
Cantidad de movimiento
angular
Lo = I o ω
Energía cinética
Trabajo
Teorema TE
Potencia
1
Io ω2
2
W =  τ dθ
K=
W = ΔK
P=τω
Ejemplos
Ejemplo 1
Se sujeta una masa m a una cuerda ligera enrollada alrededor de una rueda homogénea de masa M y radio
R, Figura 10. Hallar la tensión en la cuerda y la aceleración de descenso de la masa m (despreciar la fricción
en el eje de la polea).
Figura 10
11
Solución:
En la Figura 10 se ilustra la situación física, el sistema de coordenadas elegido, el diagrama de fuerzas del
bloque y de la polea (con pedazo de cuerda). En este último no se tomó en cuenta la fuerza horizontal Rx
que ejerce el eje de la polea, ya que por la situación física que se presenta es nula. El marco de referencia
inercial se considera un marco localmente ligado a la Tierra, en el cual está fijo al eje de rotación de la
polea. El bloque se considera una partícula y la polea un cuerpo rígido rotando respecto a eje fijo.
12
Aplicando la segunda ley de Newton al bloque se obtiene,
  Fy = ma
mg - T = ma
(1)
Aplicando la segunda ley de Newton de rotación a la polea se obtiene,
 o = Io
T R = Io α
TR=
1
MR 2 α
2
(2)
De la cinemática, la aceleración de descenso del bloque es igual a la aceleración tangencial de un punto del
borde de la polea (la cuerda no desliza), y por lo tanto,
a = a T = αR
(3)
De las ecuaciones (1), (2) y (3) se obtiene,
a=
T=
mg
1
m+ M
2
Mmg
2m+M
Observar que si M=0 la aceleración es a=g y T=0, es decir, la masa m descenderá en caída libre.
Ejemplo 2
En el sistema de la Figura 1 calcular la aceleración de descenso del bloque de masa m 2 y las tensiones en los
extremos de la cuerda. La polea tiene radio R y masa M. Despreciar la fricción con el plano y la fricción en
el eje de la polea.
13
Figura 11
Solución:
En la Figura 11 se ilustra la situación física, el sistema de coordenadas elegido, el diagrama de fuerzas de
los bloques de masas m1, m2 y de la polea (con pedazo de cuerda) de masa M. El marco de referencia
inercial se considera un marco localmente ligado a la Tierra, en el cual está fijo al eje de rotación de la
polea. Los bloques se consideran partículas y la polea un cuerpo rígido rotando respecto a eje fijo.
Aplicando la segunda ley de Newton al bloque de masa m 1 se obtiene,
  Fx = m1a1
- T1 = m1a1
(1)
Aplicando la segunda ley de Newton al bloque de masa m2 se obtiene,
  Fy = m2a 2
m2g - T2 = m2a 2
(2)
Aplicando la segunda ley de Newton de rotación a la polea se obtiene,

o
= Io
T1 R - T2R = Ioα
T1 R - T2R= MR 2 α
(3)
Se supuso que prácticamente la masa M de la polea estaba en el borde.
De la cinemática se tiene que,
x + y = constante
a1 + a 2 = 0
a1 = - a 2
Es decir si
(4)
a 2 = a entonces a1 = -a
Adicionalmente la aceleración tangencial de un punto del borde de la polea es,
a T =  -α  R
El signo menos se debe a la dirección que se tomó como positiva para eje z.
Pero la aceleración tangencial de un punto del borde de la polea es igual a la aceleración de descenso de la
masa m2 (la cuerda no resbala),
a 2 = a = -αR
(5)
De las ecuaciones (1), (2), (3), (4) y (5) se obtiene,
a=
m2g
m1 +m 2 +M
m1m2g
m1 +m2 +M
T1 =
T2 =
 m1 + M  m2g
m1 +m2 +M
Observar que si se desprecia la masa M de la polea, M=0, se obtendrá,
a=
m2g
m1 +m 2
T1 = T2 
m1m 2g
m1 +m 2
Ejemplo 3
La máquina de Atwood, Figura 12. La polea tiene masa M y radio R. Calcular las aceleraciones de las masas
m1 y m2 y las tensiones en los extremos de la cuerda. Desprecia la fricción en el eje de la polea.
14
15
Figura 12
Solución:
En la Figura 12 se ilustra la situación física, el sistema de coordenadas elegido, el diagrama de fuerzas de
los bloques y de la polea (con pedazo de cuerda). En este último no se tomó en cuenta la fuerza horizontal
Rx que ejerce el eje de la polea, ya que por la situación física que se presenta es nula. El marco de
referencia inercial se considera un marco localmente ligado a la Tierra, en el cual está fijo al eje de
rotación de la polea. Los bloques se consideran partículas y la polea un cuerpo rígido rotando respecto a eje
fijo.
Aplicando la segunda ley de Newton al bloque de masa m1 se obtiene,
  Fy = m1a1
m1g - T1 = m1a1
(1)
Aplicando la segunda ley de Newton al bloque de masa m2 se obtiene,
  Fy = m2a 2
m2g - T2 = m2a 2
(2)
Aplicando la segunda ley de Newton de rotación a la polea se obtiene,
 o = Io
-T1 R + T2 R = Ioα
-T1 R + T2 R=
1
MR 2 α
2
De la cinemática se tiene,
y1 + y2 = constante
(3)
a1 + a 2 = 0
a1 = - a 2
Es decir si
(4)
a 2 = a entonces a1 = -a
Adicionalmente la aceleración tangencial de un punto del borde de la polea es,
aT = α R
Pero la aceleración tangencial de un punto del borde de la polea es igual a la aceleración de descenso de la
masa m2 (la cuerda no resbala),
a 2 = a = αR
(5)
De las ecuaciones (1), (2), (3), (4) y (5) se obtiene,


 m2 - m1 
a= 
g
1 
 m1 +m2 + M 

2 
T1 = m1  g + a 
T2 = m1  g - a 
Si la masa de la polea se desprecia, M=0,
 m - m1 
a=  2
g
 m1 +m 2 
 2 m 2 m1 
T1 = T2 = 
g
 m1 +m 2 
Si adicionalmente, si m1=0, a= + g y T1=T2=0, o si m2=0, a=-g y T1=T2=0.
16
Taller
1.
Una polea de masa 5 kg y radio 0,2 m tiene enrollada a su alrededor una cuerda de masa despreciable,
Figura 13. Al extremo libre de la cuerda se sujeta un cuerpo de 10 kg de masa, y soltándolo del reposo
cae 3 m en 6 s. Calcular el torque producido por el rozamiento en el eje, asumiendo que es constante.
Rp. 19,2 N.m
17
Ayuda: Plantear la ley de Newton de rotación para la polea y de traslación para la masa
m.
Figura 13
2. Dadas las masa de los cuerpos
m1 , m2 y el coeficiente de rozamiento μ entre m1 y la superficie
horizontal, así como la masa de la polea M y su radio R que puede considerarse como un disco
homogéneo, Figura 14, demostrar que,
(a) la aceleración de las masas
m1 y m2 es:


 m2  m1 
a
g
 m1  m2  1 M 
2 

(b) Los valores de las fuerzas que ejerce la cuerda sobre las masas
m1 y m2 son respectivamente,
1


 m2 1     2 M 
T1  
 m1 g
1
 m1  m2  M 
2


1 

 m1 1     2 M 
T2  
 m2 g
 m1  m2  1 M 
2 

Analizar estos resultados cuando adicionalmente se desprecia la masa de la polea.
Ayuda: Plantear la ley de Newton de rotación para la polea y de traslación para las masas
m1 y m2 .
18
Figura 14
3. Una varilla uniforme de longitud L y masa
m puede
girar en un plano vertical alrededor de un eje
horizontal que pasa por uno de sus extremos, Figura 15. Si la barra se deja caer desde una posición
vertical, determinar su velocidad y aceleración angular cunado la barra forma un ángulo
vertical.
Rp.

3g
1  cos  ;   3 g sen 
2L
L
Ayuda: Aplicar la conservación de la energía mecánica para el cuerpo rígido.
Figura 15
FIN.
 con la