Problemas Maturita: Tema 4, Sólido rígido

Problemas Maturita: Tema 4, Sólido rígido
Problema 1. Un disco circular homogéneo de 0,4Kg de masa y 0,3m de diámetro gira
libremente alrededor de un eje perpendicular que pasa por su centro geométrico con
una velocidad angular de 2rps (revoluciones por segundo). Si dejamos caer sobre él y
coaxial con él otro disco de 0,2m de radio y 0,1Kg de masa inicialmente en reposo.
Calcula la nueva velocidad angular del conjunto.
Momento de inercia del disco: I=mR2/2
Problema 2. Dos cuerpos de masas m1=16Kg y m2=10Kg
cuelgan de una polea tal y como se muestra en la figura.
La masa de la polea es 0,5Kg y su radio es de 20cm. Si la
cuerda es inextensible y su masa es despreciable calcular:
 La aceleración de las masas m1 y m2
 La tensión de la cuerda entre la masa m2 y la polea.
 La energía cinética de la polea cuando la masa m1
posee una velocidad de 0,4m/s.

T1
m1

P1

T2
m2

P2
Problema 3. Se lanza una esfera homogénea desde la base
de un plano inclinado 30º con respecto a la horizontal con
una velocidad inicial de 4m/s. Suponiendo que asciende rodando sin deslizar. Calcula la
longitud que recorre hasta pararse.
7v 2
h
 1,14m l 
 2h  2,28m
Solución: a) b) h 
10g
sen30
Problema 4. Se deja caer rodando un cilindro desde el punto más alto de un plano
inclinado 30º y de 2m de longitud. a) ¿Cuál será la velocidad con que llega al final del
plano?
b) Si al final del plano la superficie horizontal tiene un coeficiente de
rozamiento   0,4 ¿Qué distancia recorrerá el cilindro por la superficie horizontal
antes de pararse?
Solución: a) v 
h lsen30
l
4
2

 2,5m
gh 
gl  3,61m / s b) s  


2
3
3
Problema 5. Un yoyó está formado por dos discos de 6cm de diámetro, 0,5cm de altura
y de 50g de masa cada uno, unidos por otro cilindro de 2cm de diámetro, 1cm de altura
y de 2g, todos ellos centrados en torno al mismo eje. Sobre el cilindro se arrolla un
hilo de 1,5m y de masa despreciable y, a continuación, se suelta el yoyó. Calcular la
velocidad que alcanzaría el sistema cuando haya descendido 1m
Solución: v=2,8m/s
Problema 6. Una patinadora gira alrededor de su eje vertical a 20rpm con las manos
situadas a 80cm del eje y una masa de 250gr cada una. Si el momento de inercia de la
patinadora sola (sin contar las manos) respecto de su eje vale Ipatinadora=60Kg·m2 y no
varía, calcula su velocidad de giro cuando sitúe las manos verticalmente (sobre el eje,
la distancia a este será nula).
Solución:
Formulario Sólido rígido
Fórmula
  
M  r xF


L  I
Explicación, comentario

Momento de una fuerza respecto de un punto P ( r es el vector
de posición que va desde el punto P hasta el punto de aplicación
de la fuerza)
Momento angular del sólido rígido.
Ecuación fundamental de la rotación del sólido rígido:



dL d ( I )
M ext 

dt
dt
Ec 
Ec 
1 2
I
2
1 2 1 2
I  mv
2
2
“La variación del momento angular del sólido rígido es igual al
momento de las fuerzas externas respecto del eje de giro”

Si el momento de inercia del sólido (I) es constante:

Si M ext  0




d ()
M ext  I
 I
dt


 L  I  cte
Energía cinética de rotación de un sólido rígido.
Energía cinética total de un sólido rígido (rotación + traslación)
Momentos de inercia de sólidos uniformes más comunes (respecto de su eje principal)
I  m1r12  m2r22  ...... mn rn2
Esfera:
2
I  MR2
5
Varilla:
I
1
Ml 2
12
Momento de inercia de un conjunto de partículas
respecto de un eje ( r1 , r2 ,… son las distancias de cada
partícula al eje)
Disco:
Cilindro:
1
I  MR 2
2
1
I  MR 2
2
Analogía entre las magnitudes dinámicas del solido rígido en los movimientos
de rotación y traslación
Traslación
Magnitudes
Posición

r

v
Aceleración

a
Aceleración
angular
Masa
m
Momento de
inercia

F

p
Momento lineal
Momento lineal para
una cuerpo de masa
m
Ecuación fundamental
del movimiento de
traslación
Ecuación fundamental
del movimiento de
traslación si m=cte
Energía cinética
de traslación


p  m·v
 dp
F
dt


F  m·a
Ec 
1 2
mv
2

Ángulo
Velocidad
Fuerza
Ecuaciones
Rotación
Velocidad angular
Momento de la
fuerza
Momento angular
Momento angular para
un sólido rígido
Ecuación fundamental
del movimiento de
rotación
Ecuación fundamental
del movimiento de
rotación si I=cte
Energía cinética de
rotación
d
dt
d

dt

I
 m ·r
i
i
i
  
M  r xF
  
L  r xF


L  I ·

 dL
M 
dt


M  I ·
Ec 
1 2
I
2