Lección 18: Plano car tesiano . Mapas y planos

GUÍA
DE
MATEMÁTICAS II
Lección 18: Plano car tesiano .
Mapas y planos
Mapas y planos
La siguiente figura es un plano de una porción del Centro
Histórico de la Ciudad de México. En él se ha utilizado la
siguiente nomenclatura:
192
1 Zócalo
10 Academia de San Carlos
2 Catedral Metropolitana
11 Palacio de Iturbide
3 Templo Mayor
12 San Francisco
4 Palacio Nacional
13 Torre Latinoamericana
5 Suprema Corte de Justicia
14 Casa de los Azulejos
6 Departamento del D.F.
15 Palacio de Bellas Artes
7 Santo Domingo
16 Palacio de Correos
8 S.E.P. / La Encarnación
17 Palacio de Minería
9 San Ildefonso
18 Museo Nacional de Arte
LECCIÓN 18
NORTE
A
B
C
D
E
F
3
18
16 17
2
15
4
14
13 12 11
5
I
9
2
3
H
8
7
1
G
10
1
4
6
5
Usted posiblemente ha consultado ya planos similares.
Están divididos en cuadros (líneas finas), y cada cuadro está
caracterizado por la columna y el renglón al que pertenece.
Si queremos localizar un lugar que esté en el cuadro E4,
ubicamos la columna correspondiente a la letra E y bajamos
hasta el renglón al que le corresponde el número 4. También
podemos realizar el proceso inverso, si queremos saber
la ubicación en el plano de un lugar que ya hemos localizado
en él, subimos por la columna para ver la letra que le
corresponde y después buscamos hacia la izquierda el número
del renglón. Esta convención permite la ubicación rápida
de puntos de interés. Así, por ejemplo, el Zócalo está ubicado
en este plano en el cuadro F4, esto lo podemos saber al leer
en la nomenclatura que el Zócalo está representado con el
número 1, y al ver ese número en el plano encontramos hacia
arriba la letra F (caracterización de la columna) y en el
margen izquierdo el número 4 (caracterización del renglón).
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El uso de cuadros con letras y números es frecuente no sólo
en planos de ciudades sino también en mapas. El uso de
los ejes puede variar, en algunas ocasiones se marcan los
renglones con letras y las columnas con números; en otras
ocasiones los renglones no se leen de arriba hacia abajo,
sino de abajo hacia arriba; en ocasiones las letras o los
números no se encuentran arriba y también, a la izquierda
sino abajo o a la derecha. El efecto, sin embargo, es el
mismo: permite localizar fácilmente sitios de interés,
dándole a cada cuadro una referencia específica.
Dé la ubicación en el plano anterior de los siguientes sitios:
a) Suprema Corte de Justicia
b) Secretaría de Educación Pública (SEP)
c) Academia de San Carlos
d) San Francisco
e) Palacio de Bellas Artes
f) Departamento del D.F.
Indique qué construcciones se encuentran en las siguientes
ubicaciones:
194
a) A3
e) A4
b) I4
f) E1
c) A2
g) G5
d) G2
h) B4
LECCIÓN 18
Responda las siguientes preguntas:
a) La calle 20 de Noviembre se encuentra en el renglón 5
del plano y desemboca en el Zócalo. ¿En qué columna
está?
b) La calle Motolinía se encuentra en los cuadros C3, C4
y C5. ¿Qué dirección tiene, Este-Oeste, o Norte-Sur?
c) La calle de Donceles (y su continuación, llamada Justo
Sierra) recorre el Centro Histórico de Oeste a Este y lleva
a San Ildefonso y el Templo Mayor. ¿Por qué cuadros del
plano pasa?
d) La calle de San Ildefonso (y su continuación, llamada Pino
Suárez) recorre el Centro Histórico de Norte a Sur y pasa
entre el Zócalo y el Palacio Nacional. ¿Por qué cuadros
del plano pasa?
Plano cartesiano
Otra manera para localizar puntos en un plano es el llamado
plano cartesiano. Aunque funciona de manera parecida a la
de los planos y los mapas, tiene algunas diferencias.
eje de las
ordenadas
eje de las abscisas
El plano cartesiano consta de
dos ejes perpendiculares.
Uno es horizontal y recibe el
nombre de eje de las abscisas.
Otro es vertical y recibe el
nombre de eje de las ordenadas.
La figura de la derecha ilustra
un plano cartesiano.
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En ambos ejes se marcan números, esto es, cada eje funciona
como una recta numérica. En general, el número 0 se coloca
en la intersección de ambos ejes. La combinación de un
número del eje horizontal con un número del eje vertical
es lo que permite ubicar a cualquier punto en el plano. Para
evitar confusiones, se usa siempre primero el número en el
eje horizontal y después el del eje vertical, se separan con
una coma y se pone la pareja de números entre paréntesis.
A esta pareja se le conoce con el nombre de pareja ordenada
y se dice también que son las coordenadas del punto.
En el siguiente plano cartesiano se han marcado los puntos
(2, 5), (1, 3) y (5, 2).
(2, 5)
6
5
4
(1, 3)
3
(5, 2)
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
Observe que, a diferencia del plano presentado al principio de
esta lección, los marcadores de los ejes no señalan regiones
sino puntos. Así, el punto (1, 3) está exactamente arriba del
número 1 del eje horizontal y exactamente a la derecha
del número 3 del eje vertical. Las coordenadas de ese punto
son las siguientes: su abscisa es 1 y su ordenada es 3.
Cuando conocemos las coordenadas de un punto, digamos el
(1,3) y queremos colocarlo en un plano cartesiano, ubicamos
primero el valor de la abscisa (en nuestro ejemplo el 1) en el
eje horizontal y trazamos una línea vertical por ahí, después
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LECCIÓN 18
trazamos una línea horizontal que pase por el valor de la
ordenada (en nuestro ejemplo el 3) en el eje vertical.
El punto que buscamos se encuentra en la intersección
de las dos líneas, es decir, donde ambas se cruzan.
En el ejemplo anterior, los números utilizados son todos
enteros y positivos. Sin embargo, se pueden utilizar toda
clase de números, en particular decimales y negativos. Los
números utilizados en los ejes no necesitan estar graduados
de uno en uno. Según la magnitud de los números utilizados,
la escala puede ser mayor o menor de uno. El siguiente
ejemplo ilustra todo esto:
300
(-1.6, 125)
(5.2, 210)
200
100
-5
-4
-3
-2
ordenadas
(-2.5, -175)
0
-1-100 0
1
-200
2
3
4
5
6
(-3.2, -95)
-300
abscisas
Cuadrante II
Cuadrante III
Cuadrante I
Cuadrante IV
Observe que en esta gráfica cada
uno de los puntos está ubicado en
una región distinta del plano, si
consideramos a éste como separado
en cuatro grandes regiones por
los dos ejes. A estas regiones se
las llama cuadrantes. El primer
cuadrante está constituido por
todos los puntos que tienen abscisa
y ordenadas positivas, un ejemplo,
es el punto con coordenadas
(5.2, 210); el segundo cuadrante
está constituido por los puntos que
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tienen abscisa negativa y ordenada positiva, como el punto
de coordenadas (-1.6, 125); el tercer cuadrante está
constituido por los puntos que tienen abscisa y ordenada
negativas, como el punto (-2.5, -175) y el cuarto cuadrante
es el de los puntos con abscisa positiva y ordenada negativa,
como el (3.2, -95).
Para saber en qué cuadrante está un punto, lo representamos
gráficamente o nos fijamos en los signos de sus coordenadas.
Indique qué coordenadas tienen los puntos marcados con
letras de cada uno de los siguientes planos cartesianos:
a)
7
A
6
C
B
5
D
4
3
G
E
2
H
F
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
b)
5
A
4
B
3
2
C
1
0
-5
-4
-3
-2
-1 -1 0
E
-2
-3
-4
-5
198
1
2
D
F
3
4
5
LECCIÓN 18
Indique en qué cuadrante se encuentran los puntos con las
siguientes coordenadas:
a) (8, -541)
e) (-8.14, -16.32)
b) (-32.4, -0.02)
f) (25.14, 9986)
c) (0.32, 875)
g) (6.77, -6.77)
d) (-54.17, 32.16)
h) (0.341, -0.0057)
En cada uno de los siguientes incisos, dibuje un plano
cartesiano como el que se muestra, y ponga en él los puntos
con las coordenadas que se indican. (Puede considerar una
unidad mayor).
a)
b)
14
12
10
20
8
10
6
0
4
-200
2
-10 0
200
400
600
-20
0
0 1 2 3 4 5 6
(4, 11)
(2, 7)
(3, 9)
(5, 12)
(1, 10)
(0, 0)
(500, 12)
(200, -10)
(300, 7)
(400, -5)
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