DBT. Geometría Plana

GP
Introducción al Dibujo Técnico
1. Dibujar líneas paralelas a 2 mm de
MANEJO DE ESCUADRA Y CARTABÓN
distancia de la recta dada.
r
t
s
2. Dibujar líneas perpendiculares y a 45º a 2 mm de
distancia de la recta dada.
t
s
r
3. Dibujar mediante líneas paralelas y perpendiculares una cuadrícula y reproducir el motivo celta dado.
DIB I
4. Dibujar mediante líneas paralelas y perpendiculares una cuadrícula y realizar un motivo celta .
GP
Introducción al Dibujo Técnico
MANEJO DE ESCUADRA Y CARTABÓN
DIB I
1. Dibujar una composición a partir de un motivo celta sobre una cuadrícula.
GP
Trazados Geométricos Fundamentales
LUGARES GEOMÉTRICOS
LUGAR GEOMÉTRICO (LG): conjunto de puntos del plano que cumplen todos la misma condición o tienen la
misma propiedad.
CIRCUNFERENCIA: LG de los puntos del plano que equidistan una distancia llamada radio de un punto fijo llamado centro.
1. RECTA PARALELA A UNA RECTA
LUGAR GEOMÉTRICO (LG) de los puntos del plano que equidistan de una recta dada (r).
APLICACIÓN: circunferencias tangentes a una recta de radio dado.
r=10 mm
d=15 mm
r
r
2. MEDIATRIZ
DE UN SEGMENTO
LUGAR GEOMÉTRICO (LG) de los puntos del plano que equidistan de los extremos de un segmento (AB).
APLICACIÓN: circunferencias que pasan por dos puntos.
B
B
A
A
3. BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
LUGAR GEOMÉTRICO (LG) de los puntos del plano que equidistan de los lados de un ángulo (r,s)
APLICACIÓN: circunferencias tangentes a los lados del ángulo.
s
s
DIB I
r
O
r
O
GP
Trazados Geométricos Fundamentales
LUGARES GEOMÉTRICOS
LUGAR GEOMÉTRICO (LG): conjunto de puntos del plano que cumplen todos la misma condición o tienen la
misma propiedad.
1. Hallar los puntos situados en las rectas dadas “r” y “s”,
que equidisten de los puntos dados “P” y “Q”.
Q
P
r
s
1. Trazar el lugar geométrico que diste 10 mm de la circunferencia que pasa por los puntos dados A, B, C.
A
B
DIB I
C
GP
Trazados Geométricos Fundamentales
DISTANCIAS
DISTANCIA: longitud más corta entre dos elementos geométricos.
1. ENTRE DOS PUNTOS, d (A,B)
2. ENTRE UN PUNTO Y UNA RECTA, d (A, r).
r
A
A
B
3. DE UN PUNTO A UNA CIRCUNFERENCIA, d (A, Cc) 4. DE UNA RECTA
A UNA CIRCUNFERENCIA, d (r, Cc)
r
A
C
C
5. ENTRE DOS RECTAS PARALELAS, d (r, s)
r
6. ENTRE DOS CIRCUNFERENCIAS CONCÉNTRICAS, d (CB, Cc)
s
DIB I
B=C
GP
Trazados Geométricos Fundamentales
DISTANCIAS
DISTANCIA: longitud más corta entre dos elementos geométricos.
1. Trazar y acotar en milímetros las distancias entre cada par de elementos geométricos.
A
C
r
B
2. Señalar todos los puntos que se encuentran a la vez a 18 mm de la recta “r” y a 30 de la recta “s”.
DIB I
r
s
GP
Trazados Geométricos Fundamentales
ÁNGULOS CONSTRUIDOS CON EL COMPÁS
ÁNGULO: es la porción de plano comprendido entre dos semirrectas, lados, que parten de un mismo punto, O, llamado
vértice.
SENTIDO DE GIRO: el sentido positivo es el contrario a las agujas del reloj, negativo el sentido horario...
DESIGNACIÓN: AOB, ô
1. DIVISIÓN DE UN ÁNGULO RECTO.
2. ÁNGULOS DE 60º
y 120º
Ángulos de 90º, 60º y 30º.
O
3. ÁNGULO DE 75º, 37º 30’
O
4 DIVISIÓN DE UN ÁNGULO RECTO
Ángulos de 90ºº, 67º 30’, 45º, 22º 30’.
O
DIB I
5. ÁNGULO DE 112º 30’
O
O
6. ÁNGULO DE 135º’
O
GP
Trazados Geométricos Fundamentales
PROPORCIÓN ÁUREA
PROPORCIÓN ÁUREA: nombre que se dió en el siglo XIX a la proporción obtenida mediante división
de un segmento en lo que Euclides llamó media y extrema razón
“Se dice que un segmento recto ha sido dividido en media y extrema razón cuando el segmento total
es al segmento mayor, lo que éste es al segmento menor”
a
a+m
=
m
a
En el Renacimiento, Fra Luca Pacioli la llamó Proportio Divina y Leonardo da Vinci la llamó Sección
Áurea
Número de Oro O = 1,618
1. CONSTRUCCIÓN DEL RECTÁNGULO ÁUREO DADO EL LADO MENOR
DIB I
2. DESARROLLO DEL RECTÁNGULO DE SECCIÓN DE ORO. ESPIRAL LOGARÍTMICA.
GP
Trazados Geométricos Fundamentales
PROPORCIONALIDAD
TEOREMA DE THALES: si dos rectas coplanarias “r” y “s” , son cortadas por una serie de rectas
paralelas, los segmentos determonados en ellas son proporcionales.
PROPORCIÓN: igualdad entre dos razones.
1. DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN PARTES IGUALES 2. DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN PARTES PROPORCIONALES.
AB=70 mm.
AB=80 mm, a= 35 mm, b=25, c=10 mm.
3. CUARTA PROPORCIONAL DE TRES SEGMENTOS DADOS. 4. TERCERA PROPORCIONAL DE DOS SEGMENTOS DADOS.
a=35 mm, b= 20 mm, c= 15 mm.
5. MEDIA PROPORCIONALDE DOS SEGMENTOS DADOS.
DIB I
a=50 mm, b= 20 mm.
a= 35 mm, b= 20 mm.
GP
Trazados Geométricos Fundamentales
ESCALAS
ESCALA: es la relación o cociente entre las magnitudes del dibujo y las dimensiones reales del
objeto
=
CLASES:
De reducción: e<1
Natural:
e=1
De ampliación: e>1
1. ESCALA GRÁFICA e=3/2
0
2. ESCALA GRÁFICA e=15/7
0
3. ESCALA GRÁFICA e=1/10
0
4. ESCALA GRÁFICA. e=1/200
0
5. ESCALA GRÁFICA e=1/2500
0
6. ESCALA GRÁFICA e=1/50000
DIB I
0
d
medidas del objeto en el dibujo
=
r
medidas del objeto en la realidad
GP
Trazados Geométricos Fundamentales
ESCALAS
ESCALA INTERMEDIA: para pasar un dibujo realizado a una escala a otra diferente.
e final
DIB I
1. Dibujar a escala
= e dibujo x e intermedia
e=1/20 el dibujo dado a e=1/50. Acotación.
GP
Trazados Geométricos Fundamentales
1. Dibujar a escala
e=1/100 la planta de la vivienda de J.L. Sert y explicar gráficamente las relaciones geométricas que justifican el proyecto.
3. ESCALA GRÁFICA e=1/100
DIB I
0
ESCALAS
GP
Trazados Geométricos Fundamentales
SEGMENTOS IRRACIONALES
SEGMENTOS IRRACIONALES: obtención gráfica de dimensiones correspondientes a 2, 3, 4, 5....
DIB I
1. SEGMENTOS IRRACIONALES
GP
Trazados Geométricos Fundamentales
SEGMENTOS IRRACIONALES
DESCOMPOSICIÓN ARMÓNICA MEDIANTE RECTÁNGULOS DINÁMICOS.
DIB I
Realizar el análisis armónico de las tres plantas arquitectónicas representadas, dibujando a doble escala las
figuras e indicando un esquema dinámico de sus proporciones.
GP
Trazados Geométricos Fundamentales
SEGMENTOS IRRACIONALES
DESCOMPOSICIÓN ARMÓNICA MEDIANTE RECTÁNGULOS DINÁMICOS.
DIB I
Realizar el análisis armónico de las tres plantas arquitectónicas representadas, dibujando a doble escala las
figuras e indicando un esquema dinámico de sus proporciones.
GP
Trazados Geométricos Fundamentales
EJERCICIOS
1. ARCO CAPAZ DE 75º DEL SEGMENTO AB=70 mm. Ángulo construido con el compás.
2. CUARTA PROPORCIONAL DE TRES SEGMENTOS DADOS.
3. CIRCUNFERENCIA QUE PASA POR TRES PUNTOS.
a=30 mm, b= 20 mm, c= 15 mm.
4. DIBUJAR UN RECTÁNGULO DE LADOS a=50 mm y b = a
Señalar y definir el LG.
5 mm.
DIB I
5. DIBUJAR EL RECTÁNGULO ANTERIOR A ESCALA e= 4/3. Definición de escala.
0
G-M
GP
Trazados Geométricos Fundamentales
EJERCICIOS
1. ARCO CAPAZ DE 112º DEL SEGMENTO AB=70 mm. Ángulo construido con el compás.
2.
TERCERA PROPORCIONAL DE LOS SEGMENTOS DADOS.
a=30 mm, b= 20 mm
3. Trazar el lugar geométrico que diste 10 mm de la circunferencia
que pasa por los puntos dados A, B, C.
B
A
C
4. DIBUJAR UN cuadrado de lado= 35
3 mm.
DIB I
G-M
5. DIBUJAR la escala gráafica e= 1/5.
0
Definición de escala.
GP
POLÍGONOS
TRIÁNGULOS
TRIÁNGULO: superficie plana limitada por tres rectas (a, b, c) que se cortan dos a dos en puntos llamados vértices (A, B, C)..
PROPIEDADES FUNDAMENTALES:
- A mayor ángulo se opone mayor lado.
- Un lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.
-La suma de los ángulos internos de un triángulo es siempre 180º.
CLASIFICACIÓN TENIENDO EN CUENTA LA MAGNITUD RELATIVA DE SUS LADOS
EQUILÁTERO
a=b=c
ISÓSCELES
a=b=c
ESCALENO
a=b=c
DIB I
POLÍGONOS
CLASIFICACIÓN SEGÚN LA AMPLITUD DE SUS ÁNGULOS
RECTÁNGULO
ACUTÁNGULO
OBTUSÁNGULO
Â=90º
Â, B, C< 90º
 >90º
GP
POLÍGONOS
TRIÁNGULOS. RECTAS Y PUNTOS NOTABLES
ALTURAS (ha, hb, hc): son las perpendiculares bajadas a cada lado desde el vértice opuesto.
ORTOCENTRO (H): punto donde se cortan las tres alturas de un triángulo.
TRIÁNGULO ÓRTICO: triángulo órtico de un triángulo dado es aquel cuyos vértices son los pies de las alturas del triángulo.
DIB I
MEDIANAS (ma, mb, mc): segmento que une el punto medio
de un lado con el vértice opuesto.
BARICENTRO (B): punto donde se cortan las tres medianas
de un triángulo. Está a 2/3 del vértice correspondiente.
BISECTRICES (ba, bb, bc): de los ángulos del triángulo.
INCENTRO (I): punto donde se cortan las tres bisectrices de
los ángulos internos de un triángulo.
POLÍGONOS
MEDIATRICES (Ma, Mb, Mc): trazadas a los lados del triángulo.
CIRCUNCENTRO (C): punto donde se cortan las tres mediatrices de los lados de un triángulo.
TRIÁNGULO COMPLEMENTARIO: triángulo complementario de un triángulo dado es aquel cuyos vértices son los puntos medios
GP
POLÍGONOS
TRIÁNGULOS
DIB I
POLÍGONOS
TRAZAR TODAS LAS RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DEL TRIÁNGULO DADO.
GP
POLÍGONOS
TRIÁNGULOS
1.- Construir un TRIÁNGULO dados: a=100; ha=45; hb=40
DIB I
POLÍGONOS
2.- Construir un TRIÁNGULO dados: Â=112º30'; c=60; r=15 de la circunferencia inscrita
GP
POLÍGONOS
TRIÁNGULOS
1.- Construir un TRIÁNGULO dados: a=104; ma=73; mb=88
1.- Construir un TRIÁNGULO cuyo triángulo órtico es el MNP.
POLÍGONOS
P
DIB I
M
N
GP
POLÍGONOS
TRIÁNGULOS
DIB I
POLÍGONOS
DIBUJAR UN TRIÁNGULO DADOS: Â=37º30’, a=60 mm, ha=50 mm.
a.- Clasificación del triángulo hallado.
b.- Trazar y nombrar todos los puntos notables.
GP
POLÍGONOS
TRIÁNGULOS
DIB I
POLÍGONOS
DIBUJAR UN TRIÁNGULO DADOS: Â=90º, mediana ma=40 mm, radio círculo circunscrito r=50 mm.
a.- Clasificación del triángulo hallado.
b.- Trazar y nombrar todos los puntos notables.
GP
EJERCICIOS
TRIÁNGULOS
1.- Construir un TRIÁNGULO dados: a=100; ha=45; Â=75º
a. Definir y trazar el ORTOCENTRO .
b. Clasificación del triángulo hallado.
POLÍGONOS
2.- Construir un TRIÁNGULO dado su triángulo órtico MNP
a. Definición de Triángulo órtico
P
N
DIB I
M
GP
EJERCICIOS
TRIÁNGULOS
1.- Construir un TRIÁNGULO dados: a=90; mc=75; mb=90
a. Definir y trazar el BARICENTRO
b.Clasificación del triángulo hallado
DIB I
2.- Construir un TRIÁNGULO dados: Â=112º30'; c=60; r=15 de la circunferencia inscrita
a. Definir y trazar el INCENTRO.
b. Clasificación del triángulo hallado.
GP
EJERCICIOS
TRIÁNGULOS
1.- Construir un TRIÁNGULO dados la altura sobre el lado a, la mediana sobre el lado a y el lado b:
ha=45; ma=60; b=90
a. Definir y trazar el BARICENTRO
b.Clasificación del triángulo hallado
DIB I
2.- Construir un TRIÁNGULO dados: B=112º30'; a=75; r=17 de la circunferencia inscrita
a. Definir y trazar el INCENTRO.
b. Clasificación del triángulo hallado.
GP
POLÍGONOS
CUADRILÁTEROS
CUADRILÁTERO: superficie plana limitada por cuatro rectas. Polígonos de cuatro lados, cuatro ángulos y dos diagonales.
- La suma de sus ángulos es 360º.
- Un cuadrilátero es inscriptible cuando la sus ángulos opuestos son suplementarios (suman 180º)
PARALELOGRAMO: lados paralelos dos a dos, ángulos opuestos iguales. Las diagonales se cortan en el punto medio.
CUADRADO
ALTURAS:
LADOS:
ÁNGULOS:
DIAGONALES:
INSCRIPTIBLE:
RECTÁNGULO
ALTURAS:
LADOS:
ÁNGULOS:
DIAGONALES:
INSCRIPTIBLE:
ALTURAS:
LADOS:
ÁNGULOS:
DIAGONALES:
INSCRIPTIBLE:
ROMBOIDE
ALTURAS:
LADOS:
ÁNGULOS:
DIB I
DIAGONALES:
INSCRIPTIBLE:
POLÍGONOS
ROMBO
GP
POLÍGONOS
CUADRILÁTEROS
TRAPECIOS: sólo dos de sus lados son paralelos
ISÓSCELES
ALTURAS:
LADOS:
ÁNGULOS:
DIAGONALES:
INSCRIPTIBLE:
RECTÁNGULO
ALTURAS:
LADOS:
ÁNGULOS:
DIAGONALES:
INSCRIPTIBLE:
ESCALENO
ALTURAS:
LADOS:
DIAGONALES:
INSCRIPTIBLE:
TRAPEZOIDE: los lados opuestos no son paralelos
BIISÓSCELES
ALTURAS:
LADOS:
ÁNGULOS:
DIB I
DIAGONALES:
INSCRIPTIBLE:
POLÍGONOS
ÁNGULOS:
DIB I
POLÍGONOS
CUADRILÁTEROS
CUADRADO dado el lado: l=40 mm
CUADRADO conocida la suma de la diagonal y el
lado: d + l = 80 mm.
RECTÁNGULO dada la diagonal y el semiperímetro:
d=50 mm, p=75 mm.
RECTÁNGULO dada la suma y la diferencia de los
lados: S=70 mm, D=20 mm.
ROMBO dada la diagonal y un ángulo: AB=60 mm,
Â=67º30’.
ROMBO dado el lado y el radio del círculo inscrito:
l=35, r=12 mm.
POLÍGONOS
GP
DIB I
POLÍGONOS
CUADRILÁTEROS
ROMBO dado el ángulo entre sus lados y el radio del
círculo inscrito:
Â=60º, r=12 mm.
ROMBOIDE dadas sus dos diagonales y el ángulo
comprendido entre las mismas:
d1=40 mm, d2=60 mm, Ô=60º.
TRAPECIO RECTÁNGULO dada la base mayor, la
altura y una diagonal: AB=60 mm, h=35mm,
TRAPECIO RECTÁNGULO conocidas la base, la
altura y el ángulo opuesto a ambas:
AB=50mm, h=35mm, D=112º30’.
TRAPECIO ISÓSCELES dadas la base mayor, la
altura y la diagonal: AB=50mm, h=35mm,
d=45mm.
TRAPECIO ISÓSCELES dadas la base mayor, la
altura y la paralela media a las bases. AB=50mm,
h=35mm, GH=40mm.
POLÍGONOS
GP
DIB I
POLÍGONOS
CUADRILÁTEROS
TRAPECIO ESCALENO conociendo sus cuatro
lados: AB=60mm, BC=35mm, CD=30mm,
DA=32mm.
TRAPECIO conocido dos lados no básicos y el
radio del círculo inscrito: AD=40mm, CB=30mm,
r=13 mm.
TRAPEZOIDE BIISÓSCELES dado un lado, una
diagonal y uno de los ángulos desiguales:
AD=60mm, AB=40mm, Â=30º.
TRAPEZOIDE conociendo sus cuatro lados y una
diagonal: AB=60mm, BC=35mm, CD=30mm,
DA=32mm, BD=55mm.
TRAPEZOIDE conociendo sus cuatro lados y la
altura sobre uno de ellos: AB=60mm, BC=35mm,
CD=30mm, DA=32mm, BD=55mm,
hAB=30 mm
TRAPEZOIDE BIISÓSCELES conociendo un
ángulo, y los lados: Â=60º, AB=30mm,
BC=45mm,
POLÍGONOS
GP
POLÍGONOS
CUADRILÁTEROS
CUADRADO conociendo una diagonal d=60 mm
RECTÁNGULO conociendo un lado y una diagonal
L=65 mm., D=79 mm.
ROMBO dada la altura y la diagonal: h=40mm y
d1=80mm.
TRAPEZOIDE BIISÓSCELES conociendo un los
lados y la diagonal:
AB=30mm, BC=65mm, AC= 85 mm.
DIB I
POLÍGONOS
GP
NOMBRE
CUADRILÁTEROS
CUADRADO conocida la suma de la diagonal y el
lado: d + l = 80 mm.
RECTÁNGULO dada la diagonal y el semiperímetro:
d=50 mm, p=75 mm.
ROMBO dada la altura y el ángulo Â:
h=40 mm, Â=105º.
TRAPECIO ISÓSCELES dadas las dos bases y la
altura: a=65mm, b=40mm y h=40 mm.
DIB I
POLÍGONOS
GP
¿Cuando es un cuadrilátero inscriptible?
Explicar y dibujar ejemplos
(Detrás)
GP
POLÍGONOS
POLÍGONOS REGULARES
POLÍGONO: figura plana limitada por una línea quebrada cerrada.
Si el polígono tiene todos los lados iguales se llama equilátero, si son iguales todos sus ángulos equiángulo y si son iguales lados
y ángulos los polígonos son regulares. Polígono irregular es el que no cumple ambas condiciones.
CONSTRUCCIONES DE POLÍGONOS REGULARES DADO EL RADIO DE LA CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA
TRIÁNGULO EQUILATERO / HEXÁGONO(l=r)
CUADRADO / OCTÓGONO
C
C
PENTÁGONO / DECÁGONO
HEPTÁGONO
C
POLÍGONOS
C
MÉTODO GENERAL
DIB I
C
GP
POLÍGONOS
POLÍGONOS REGULARES
CONSTRUCCIONES DE POLÍGONOS REGULARES DADO EL LADO
PENTÁGONO
A
HEXÁGONO (l=r)
B
A
B
MÉTODO GENERAL
B
POLÍGONO ESTRELLADOS: el número de polígonos estrellados que tiene un polígono regular es igual a los números primos con el
menores que su mitad.
PENTÁGONO ESTRELLADO
DIB I
C
HEPTÁGONO ESTRELLADO
C
POLÍGONOS
A
NOMBRE:
POLÍGONOS REGULARES
PENTÁGONO DADO EL LADO. MÉTODO PARTICUALR. LADO=25 mm
HEPTÁGONO DADO EL LADO. MÉTODO GENERAL. LADO AB= 20 mm.
ENEÁGONO DADO EL RADIO. MÉTODO GENERAL. R= 25 mm
DECÁGONO ESTRELLADO
DIB I
POLÍGONOS
GP
GP
RECTIFICACIÓN DE CIRCUNFERENCIA
RECTIFICACIÓN DE UNA CIRCUNFERENCIA: determinar sobre una línea recta la longitud de una circunferencia.
ARCO DE 90º
O
ARCO MENOR DE 180º
O
RECTIFICACIÓN DE UNA CIRCUNFERENCIA. 360º
DIB I
O
O
ARCO MAYOR DE 180º
O
POLÍGONOS
ARCO MENOR DE 90º
GP
TANGENCIAS Y ENLACES
TANGENCIAS
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE TANGENCIA
• ENTRE RECTA Y CIRCUNFERENCIA: la recta es perpendicular al radio de la circunferencia en el punto de tangencia.
• DE CIRCUNFERENCIAS ENTRE SI: los centros están alineados con el punto de tangencia.
- TANGENTES EXTERIORES: la distancia entre los centros es igual a la suma de los radios, d(O1, O2)=r1+r2
- TANGENTES INTERIORES: la distancia entre los centros es igual a la diferencia de los radios, d(O1, O2)=r1-r2
RECTAS TANGENTES A CIRCUNFERENCIAS
TANGENTES EN UN PUNTO
TANGENTES DESDE UN PUNTO EXTERIOR
T
C
A
C
TANGENTES COMUNES EXTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS
C2
TANGENTES COMUNES INTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS
DIB I
C1
C2
POLÍGONOS
C1
GP
TANGENCIAS Y ENLACES
TANGENCIAS
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE TANGENCIA
• ENTRE RECTA Y CIRCUNFERENCIA: la recta es perpendicular al radio de la circunferencia en el punto de tangencia.
• DE CIRCUNFERENCIAS ENTRE SI: los centros están alineados con el punto de tangencia.
- TANGENTES EXTERIORES: la distancia entre los centros es igual a la suma de los radios, d(O1, O2)=r1+r2
- TANGENTES INTERIORES: la distancia entre los centros es igual a la diferencia de los radios, d(O1, O2)=r1-r2
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES ENTRE SI Y A RECTAS DADAS
CIRCUNFERENCIAS DE RADIO DADO QUE PASE POR
UN PUNTO P Y SEA TANGENTE A OTRA DADA
r
CIRCUNFERENCIA DE RADIO DADO TANGENTE A
OTRAS DOS DADAS
r
P
C
C1
CIRCUNFERENCIAS DE RADIO DADO QUE PASE POR
UN PUNTO P Y SEA TANGENTE A OTRA DADA
CIRCUNFERENCIA DE RADIO DADO TANGENTE A OTRA
CIRCUNFERENCIA Y A UNA RECTA
r
C
C
T
s
CIRCUNFERENCIA QUE PASE POR UN PUNTO P Y SEA
TANGENTE A OTRA DADA EN UN PUNTO T
CIRCUNFERENCIA TANGENTE A OTRA DADA Y A UNA
RECTA EN UN PUNTO T
P
DIB I
C
T
C
T
POLÍGONOS
r
C2
GP
TANGENCIAS Y ENLACES
ENLACES
La determinación de enlaces entre curvas y rectas o de rectas entre sí es fundamental para el dibujo técnico.
Todos los casos de tangencias pueden transformarse en enlaces.
ENLACE DE DOS RECTAS PERPENDICULARES
ENLACE BAJO UN ÁNGULO CUALQUIERA
r
ENLACE DE DOS RECTAS PARALELAS MEDIANTE DOS
CUADRANTES DE DISTINTO RADIO
ENLACE DE DOS RECTAS PARALELAS MEDIANTE DOS
ARCOS FORMANDO GOLA
ENLACE DE UNA CIRCUNFERENCIA Y UNA RECTA
CONOCIENDO EL PUNTO P DE UNIÓN CON ESTA
ÚLTIMA.
CIRCUNFERENCIA TANGENTE A OTRA DADA Y A UNA
RECTA EN UN PUNTO T
r
C
C
DIB I
S
P
S
POLÍGONOS
r
GP
TANGENCIAS Y ENLACES
ENLACES
La determinación de enlaces entre curvas y rectas o de rectas entre sí es fundamental para el dibujo técnico.
Todos los casos de tangencias pueden transformarse en enlaces.
ENLACE DE DOS CIRCUNFERENCIAS MEDIANTE UN
ARCO DE FORMA CÓNCAVA
ENLACE DE FORMA CONVEXA
r
r
C1
C1
C2
ENLACE INTERCALADO
C2
ENLACE INTERIOR A UNA CIRCUNFERENCIA Y
EXTERIOR A OTRA
r
r
C2
C1
C2
POLÍGONOS
C1
CURVAS SOBRE UNA POLIGONAL
A
F
C
D
G
DIB I
B
E
GP
TANGENCIAS Y ENLACES
ÓVALOS, OVOIDES Y CARPANELES
ÓVALO DE TRES PARTES
ÓVALO DE CUATRO PARTES
A
B
OVOIDE RECTO
A
B
OVOIDE CASO GENERAL
C
A
B
A
O1
B
POLÍGONOS
O2
D
CARPANEL REBAJADO
CARPANEL PERALTADO
C
C
A
B
DIB I
A
B
GP
TANGENCIAS Y ENLACES
ESPIRAL DE DOS CENTROS
PASO = 10 mm
P/2
ESPIRAL DE TRES CENTROS
PASO = 15 mm
P/3
ESPIRAL DE SEIS CENTROS
PASO = 30 mm.
POLÍGONOS
ESPIRAL DE CUATRO CENTROS
PASO = 20 mm
ESPIRALES
DIB I
P/4
P/6
GP
TANGENCIAS Y ENLACES
TANGENCIAS
CIRCUNFERENCIA QUE PASE POR UN PUNTO P Y SEA
TANGENTE A OTRA DADA EN UN PUNTO T
ESPIRAL DE TRES CENTROS
PASO = 15 mm
P
C
T
ENLACE INTERIOR A C1 Y EXTERIOR A C2
OVOIDE CASO GENERAL
C
r
A
C1
O1
B
C2
D
DIB I
ADAPTAR UNA POLIGONAL A LA CURVA Y RESOLVER POR ENLACES
POLÍGONOS
O2
TANGENCIAS Y ENLACES
APLICACIONES
DIB I
POLÍGONOS
GP
TANGENCIAS Y ENLACES
APLICACIONES
DIB I
POLÍGONOS
GP
TANGENCIAS Y ENLACES
APLICACIONES
DIB I
POLÍGONOS
GP
GP
TANGENCIAS
NOMBRE
CIRCUNFERENCIA DE RADIO DADO TANGENTE A UNA
RECTA Y QUE PE POR UN PUNTO P
RECTAS TANGENTES COMUNES INTERIORES A DOS
CIRCUNFERENCIAS
r
C2
P
C1
s
CIRCUNFERENCIA QUE PASE POR UN PUNTO P Y SEA
TANGENTE A OTRA DADA EN UN PUNTO T
CIRCUNFERENCIA TANGENTE A OTRA DADA Y A UNA
RECTA EN UN PUNTO T
r
T
C
C
S
P
DIB I
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE TANGENCIA. DEFINICIONES Y DIBUJOS.
POLÍGONOS
T
GP
TANGENCIAS
NOMBRE
CIRCUNFERENCIA DE RADIO DADO TANGENTE A UNA
RECTA Y QUE PE POR UN PUNTO P
RECTAS TANGENTES COMUNES INTERIORES A DOS
CIRCUNFERENCIAS
r
C2
P
C1
s
CIRCUNFERENCIA QUE PASE POR UN PUNTO P Y SEA
TANGENTE A OTRA DADA EN UN PUNTO T
CIRCUNFERENCIA TANGENTE A OTRA DADA Y A UNA
RECTA EN UN PUNTO T
r
T
C
C
S
P
DIB I
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE TANGENCIA. DEFINICIONES Y DIBUJOS.
POLÍGONOS
T
GP
ELIPSE, HIPÉRBOLA, PARÁBOLA
CURVAS CÓNICAS
ELIPSE. CONSTRUCCIÓN POR PUNTOS
ELIPSE. CONSTRUCCIÓN POR AFINIDAD
C
C
A
B
A
B
O
O
D
D
ELIPSE . MÉTODO DE LOS 8 PUNTOS
TANGENTE A UNA ELIPSE EN UN PUNTO
C
C
A
B
A
B
O
O
D
D
CONSTRUCCIÓN POR DIÁMETROS CONJUGADOS
OBTENCIÓN DE LOS EJES REALES A PARTIR DE
DIÁMETROS CONJUGADOS
G
G
E
F
E
F
O
O
H
H
HIPÉRBOLA. CONSTRUCCIÓN POR PUNTOS
PARÁBOLA. CONSTRUCCIÓN POR PUNTOS
C
A
B
O
DIB I
V
D
O
GP
Nombre
1. (2.5 p).ELIPSE. CONSTRUCCIÓN POR PUNTOS.
Trazar una tangente por un punto
2. (2.5 p)PARÁBOLA. CONSTRUCCIÓN POR PUNTOS.
Trazar una tangente por un punto
C
B
O
A
O
F
D
3. (2.5 p)HIPÉRBOLA EQUILÁTERA. CONSTRUCCIÓN POR PUNTOS.
Trazar una tangente por un punto
C
B
A
O
D
4. (2.5 p)OBTENCIÓN DE LOS EJES REALES A PARTIR DE DIÁMETROS CONJUGADOS. Dibujar la elipse por afinidad
G
E
F
DIB I
O
H
GP
IGUALDAD, SEMEJANZA, EQUIVALENCIA
IGUALDAD: dos figuras son iguales cuando superpuestas coinciden en todos sus elementos: misma forma,
igual disposición relativa e idéntica magnitud.
CONSTRUIR UN POLÍGONO IGUAL A OTRO
D
E
F
C
A
B
A
B
a. Por copia de ángulos
A
B
b. Por triangulación
SEMEJANZA: dos figuras son semejantes cuando teniendo igual forma sus dimensiones son distintas.
Los diversos elementos que en las figuras semejantes se corresponden se denominan elementos homólogos y
son proporcionales entre si.
HOMOTECIA: Dado un punto fijo O tomado como centro, se dice que dos puntos A y A’ son homotéticos
respecto a O, cuando la razón de sus distancias es constante, es decir: OA’
=K
D
OA
O
E
E
F
D
F
C
C
A
B
A
B
EQUIVALENCIA: dos figuras son equivalentes cuando con distinta forma, tienen iguales su superficie
CONSTRUIR UN POLÍGONO EQUIVALENTE A OTRO
E
C
C
DBT I
D
A
B
A
B
GP
GP/ TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS / HOMOLOGÍA Y AFINIDAD
# HOMOLOGÍA.
Se dice que los puntos A, B, y C de una figura F son homólogos de los puntos A’, B’ y C’ de una figura F’cuando
se cumplen las siguientes condiciones:
1º. Estar en línea recta con el punto fijo O , llamado centro de homología.
(O-A- A’), (O-B- B’) y (O-C-C’) están en línea recta.
2º. Que las rectas homólogas se cortan en puntos de una recta fija llamada eje de homología.
(AB)-(A’B’) se cortan en el punto 1, (BC)-(B’C’) se cortan en el punto 2, (AC)-(A’C’) se cortan en el punto 3.
PUNTOS DOBLES, aquellos que son homólogos de sí mismos. El centro de homología es un punto doble (o=o’) y todos
los puntos del eje son dobles (1=1’, 2=2’, 3=3’).
RECTAS DOBLES, aquellas que unen dos puntos homólogos con el centro de simetría(OA- O’A’), (OB- O’B’) y (OC-O’C’)
8
S
RL
d
RECTAS LÍMITES, cada una de las rectas (RL y R’L’) lugar geométrico de los puntos homólogos del infinito de cada figura
homóloga
0=0’ CENTRO DE HOMOLOGÍA
M
8
M’
B
A
C
R’L’
r
t
s
8
S
1=1’
d
S’
F
3=3’
2=2’
s’
EJE DE HOMOLOGÍA
C’
r’
A’
t’
F’
B’
M’
o
d
d
RL
o
RL
EJE
EJE
d
d
R’L’
R’L’
# DETERMINACIÓN DE UNA HOMOLOGÍA.
DBT
Para que una homología quede determinada, es necesario conocer además de una de las figuras dadas los
siguientes elementos:
1º
2º
3º
4º
5º
El eje, el centro y un punto homólogo cualquiera de la figura dada.
El eje, el centro y la recta límite de la figura dada.
El eje, la recta límite y el punto homólogo de uno cualquiera de la figura dada
Las dos rectas límites y el centro de homología.
Dos puntos homólogos de la figura dada y la dirección del eje.
GP
GP/ TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS / HOMOLOGÍA Y AFINIDAD
0=0’ CENTRO DE HOMOLOGÍA
B
A
F
C
A’
0=0’ CENTRO DE HOMOLOGÍA
RL
EJE DE HOMOLOGÍA
C’
DBT
A’
F’
B’
GP
GP/ TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS / HOMOLOGÍA Y AFINIDAD
# AFINIDAD
La afinidad es un caso particular de la homología, cuando el centro de ésta se considera situado en el infinito, por
lo que todas las rectas que antes concurrían en el centro de homología son ahora paralelas entre si, pudiendo ser
oblicuas, perpendiculares o paralelas al eje de afinidad.
La afinidad queda definida por su eje, la dirección y la relación de afinidad. Sean los puntos A y B y sus afines
A’ y B’. Las rectas AB y A’B’ se han de cortar en un punto doble (1=1’) del eje de afinidad. La dirección de afinidad
tomada sobre el eje es el ángulo formado por las rectas paralelas AA’ y BB’ con el eje de afinidad.
Se denomina razón de afinidad a la relación:
BN
AM
=
= -r
B’N’
A’M’
O
8
O
8
O
8
Se considera el eje como origen de distancias y por tanto, cuando las figuras se encuentran situadas en un
mismo lado del eje la razón de afinidad es positiva; si se encuentran a distinto lado la razón es negativa.
B
F
A
C
r
1=1’
M
EJE DE AFINIDAD
N
r’
A’
F’
C’
B’
# SIMETRÍA RESPECTO DE UN EJE . Caso particular de la afinidad en donde la dirección de afinidad es normal (90º)
y la razón de afinidad es (r =-1)
# HOMOTECIA. Cuando el eje de homología se aleja al infinito, las rectas homólogas han de cortarse en el infinito,
luego resultan paralelas. Los ángulos resultan iguales y los segmentos proporcionales. A la razón de proporcionalidad
se le denomina razón de homotecia (k)..
O
0
8
O
8
O
8
# TRASLACIÓN. El centro de homología y el eje se encuentran en el infinito, resultando las figuras iguales y los
segmentos homólogos paralelos.
A
C
C’
DBT
A’
C
8
O
F’
C’
A’
F’
B
F’
A
B’
BN
AM
=
=-1
B’N’
A’M’
O
B’
F
B’
A’
O
B
F
8
A
8
B
C’
BC
AC
AB
=
=
=k
B’C’
A’C’
A’B’
F
C
GD
SD/ SECCIONES
1. Dadas las proyecciones diédricas de la pirámide oblícua de base ABCD y vértice V:
a. Sección que produce el plano P por homología
b. Verdadera magnitud de la sección por afinidad.
P’
a’
0
v’
b’
d’
c’
b
c
d
a
P
DBT
v
GP
IGUALDAD, SEMEJANZA, EQUIVALENCIA
IGUALDAD: dos figuras son iguales cuando superpuestas coinciden en todos sus elementos: misma forma,
igual disposición relativa e idéntica magnitud.
CONSTRUIR UN POLÍGONO IGUAL A OTRO
D
E
F
C
A
B
A
B
a. Por copia de ángulos
A
B
b. Por triangulación
SEMEJANZA: dos figuras son semejantes cuando teniendo igual forma sus dimensiones son distintas.
Los diversos elementos que en las figuras semejantes se corresponden se denominan elementos homólogos y
son proporcionales entre si.
HOMOTECIA: Dado un punto fijo O tomado como centro, se dice que dos puntos A y A’ son homotéticos
respecto a O, cuando la razón de sus distancias es constante, es decir: OA’
=K
D
OA
O
E
E
F
D
F
C
C
A
B
A
B
EQUIVALENCIA: dos figuras son equivalentes cuando con distinta forma, tienen iguales su superficie
CONSTRUIR UN POLÍGONO EQUIVALENTE A OTRO
E
C
C
DBT
D
A
B
A
B
GP
SIMETRÍA, GIRO, TRASLACIÓN
# SIMETRÍA RESPECTO DE UN EJE .
# SIMETRÍA RESPECTO DE UN CENTRO.
C
C
A
A
B
B
# GIRO. Ángulo de giro= 60º
O
C
A
B
# TRASLACIÓN. Vector de traslación V
C
A
B
V
DBT
O
GP
TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS
# DADA LA FIGURA ( F ), realizar las siguientes transformaciones consecutivas:
1º. Dibujar la figura semejante de razón K=- 3/2 y centro (O1 ): (F1 )
2º. Trasladar (F1 ) según el vector dado: (F2)
3º. Girar (F2) un ángulo de 30º respecto al centro dado P: (F3)
4º. Dibujar una simetría de (F3) respecto al eje E: (F4)
E
A
F
C
O
B
V
P
E
DBT
D