Introducción a métodos numéricos en astrofísica

Astrofísca Avanzada
Máster Fisymat
Bloque III: Introducción a
métodos numéricos en
astrofísica
Curso 2009-2010 Isabel Pérez
Introducción a métodos
numéricos en astrofísica
Parte I
–Formalismos Euleriano y Lagrangiano
–Aproximaciones numéricas a las ecuaciones diferenciales
Parte II
–Metodos N-cuerpos, SPH, hidrodinámica Euleriana
–Condiciones iniciales, realizaciones N-cuerpos
–Código Gadget
http://www.mpa-garching.mpg.de/gadget/
–Detalles de la práctica
Parte III
Simulación de la evolucion de una galaxia con halo, bulbo y
disco usando un código de N-cuerpos (Gadget)
Entender los flujos hidrodinámicos, la mecánica
orbital y el transporte de radiación es crucial
para entender como funciona el universo. Son
procesos muy complejos
Los métodos analíticos (también teoría de la perturbación) involucran una
aproximación en las leyes físicas que regulan los diferentes procesos. A
veces estas aproximaciones están justificadas y nos ayudan a comprender
mejor que procesos físicos que dominan.
Ejemplo: para resolver analíticamente las ecuaciones de la estructura
estelar se asume que la densidad y/o la temperatura varian linearmente
con la distancia al centro, se asumen ciertas condiciones de contorno,
que el coeficiente de producción de energia es constante hasta z=R/4 y
cero de ahí a la superficie, etc. asi podemos simplificar las ecuaciones
diferenciales que describen el problema( equilibrio hidrostático +
ecuación de continuidad de masa + ecuación de conservación de la
energía + ecuación del transporte de radiación) en un conjunto de
ecuaciones simples que nos dan cualitativamente resultados válidos
sobre la estructura estelar
Cuando empezamos a explorar regímenes en los que no podemos resolver
Las ecuaciones analíticas utilizamos metodos numéricos. Es muy util obtener
una estimación analítica de los ordenes de magnitud involucrados
para compararlos a nuestros resultados numéricos. Incluso los tratamientos
numéricos mas complejos involucran aproximaciones y también hay numerosos
efectos numéricos no físicos que necesitan ser tratados, pero nos permiten
internarnos en la exploración de regiones en las que los procesos físicos son
desconocidos.
Weiqun Shang, S.E. Woosley,
University of California, Santa
Cruz, and A. Heger, Los Alamos
National Laboratory
• La función de distribución describe en número de
partículas en un tiempo t que están entre x y x+dx y tienen
momento entre p y p+dp
Asumimos que las partículas están sujetas a un campo de
fuerza externo F que no cambia en una distancia comparable
a la distancia entre partícula
• Las ecuaciones hidrodinámicas y las de transporte de
radiación se derivan de los diferentes momentos de la
ecuación de Boltzman que describe la evolución de la
función de distribución en el espacio de fase
Leyes de la hidrodinámica
Ecuación de la
conservacion de la masa
Ecuación de la
conservación del
momento
Momento por unidad de
volumen, densidad de
momento
Momento por unidad de
area y tiempo, flujo de Fuerza que aparece por el gradiente de presión, que
resulta del intercambio de energía de la velocidad del
momento
fluido y las velocidades peculiares de las partículas
del fluido
Ecuación de la energia
Para resolver estas ecuaciones,
necesitamos una relación entre la presión y
la energía interna por unidad de volumen
(ecuación de estado)
Este término describe la
expansión o contracción del
medio
Leyes de la hidrodinámica
En las ecuaciones anteriores se describe la evolución del
estado del medio a una posición fija (formulación Euleriana) la
derivada del tiempo se refiere a los cambios que ocurren como
resultado del flujo del medio por una posición determinada
En una formulación Lagrangiana la derivada d/dt esta en un
sistema que co-mueve con el medio, y se refiere a los cambios
en un elemento/parcela del fluido al cambiar de estado y
posicion.
A la posición ocupada por un elemento del fluido en un tiempo
t, la velocidad Lagrangiana tiene que ser igual a la velocidad
Euleriana con la que el elemento de fluido pasa la posición
Leyes de la hidrodinámica
Ecuaciones Lagrangianas del
movimiento de fluidos:
La velocidad Lagrangiana representa la velocidad en una parcela de fluido,
mientras que la velocidad Euleriana representa la velocidad de un fluido a
un tiempo y espacio determinado. Las leyes de la hidrodinámica son
inherentemente lagrangianas puesto que se aplican a un fluido en
movimiento en vez de a un fluido que esta en en un lugar del espacio en n
tiempo determinado.
• Podemos generalizar las ecuaciones anteriores suponiendo
que el intercambio de partículas entre las diversas parcelas
de fluido no es despreciable(fricción interna o viscosidad)
Ecuación de Navier-Stokes
• Transferencia de radiación (la energía interna no es
transportada por el flujo del medio, es transportada por
fotones) momentos de la ecuación de Boltzman para
fotones
• Medio conductor y magnetizado (ecuaciones de la
magnetohidrodinámica)
Aproximaciones numéricas a las
ecuaciones diferenciales parciales
(EDPs)
modelar EDPs implica resolver los valores iniciales
(la evolución de un sistema descrito por una EDP es
seguido en el tiempo) o resolver los valores de
contorno (una o mas funciones describiendo el
sistema se encuentran a cada momento dado)
• Ecuaciones elípticas, parabólicas e hiperbólicas
Para resolver una EDP en un ordenador tenemos que
discretizar, es decir transformar la ecuación en un
sistema algebraico de ecuaciones.
Aproximaciones numéricas a las
ecuaciones diferenciales parciales
(EDPs)
Discretización (cont.)
Para ayudarnos en esta transformación usamos puntos de
cuadricula o ‘mesh points’ elegidos en el interior y borde del
dominio de interés (dominio computacional) todos los puntos
constituyen la red-cuadricula grid (mesh) si tenemos
derivadas en tiempo también podemos contruir un grid. Las
derivadas son remplazadas por incrementos finitos
Aproximaciones numéricas a las
ecuaciones diferenciales parciales
(EDPs)
Discretizacion (cont.)
Que le pedimos a un esquema
para resolver nuestras EDPs
•
•
•
•
Estabilidad
Precisión
Consistencia
Eficiencia en CPU
Estabilidad
• Incondicionalmente estable si el error decrece con el
tiempo
• condicionalmente estable si decrece (y el intervalo de
tiempo esta por debajo de un valor crítico.
•
El error crece y termina enmascarando las solucion fisica
real
Varios esquemas para probar la estabilidad (analisis von
Neumann , esquem de DuFort-Frankel…)
Soluciones numericas de du/dt=-u(t)
Con la condicion inicial u(0)=1
Difusión, dispersión y resolución del ‘grid’
En muchos esquemas de discretización se introducen términos
en las ecuaciones diferenciales que no estaban en las originales
• Si los errores están dominados por el termino compuesto de
las derivadas espaciales de segundo orden, habrá perdida de
precisión através de la difusión numérica (resolver con
intervalos espaciales y temporales menores..esquemas de
ordenes más altos mejoran el problema)
• Si los errores están dominados por la tercera derivada
espacial se introduce dispersión numérica (la velocidad de
propagación de la onda en el grid depende la longitud de
onda (problemática al alcanzar la resolución de la red)
http://www.lifelong-learners.com/pde/SYL/s1node13.php
• Un esquema también tiene que ser consistente..la ecuación
original se tiene que poder recuperar en el limite ∆t, ∆x → 0
Hundimiento de la plataforma
petrolifera Sleipner A en 1991
La plataforma de arriba pesa 57000
toneladas con un equipo de 40000
toneladas, cuando se hundió se
produjo un seismo de 3.0 en la escala
de Richter involucro una perdida de
700 millones de dólares.
El fallo se produjo por una imprecisión en la aproximación del
modelo elástico de uno de los componentes, el cizallamiento
de subestimó por un 47%. Un análisis de elementos finitos
más detallado después del desastre predijo que se produciría
un fallo a 62 metros, se produjo a 65 metros