Capítulo VII- Triángulos - 2006 PVJ

Preuniversitario Popular Víctor Jara
MATEMÁTICA
2.
7.2. TRIÁNGULOS
7.2.1.
ELEMENTOS PRIMARIOS DEL TRIÁNGULO
VÉRTICES: son los puntos donde se intersectan dos de los Lados del
triángulo. Se designan con letras mayúsculas, A, B, C...
LADOS: son los trazos que forman el triángulo. Se designan con la
misma letra que el Vértice opuesto, pero en minúscula, a, b, c...
ÁNGULOS INTERNOS: generalmente se designan con letras griegas,
α,β,γ...
ÁNGULOS EXTERNOS: generalmente se designan con la misma letra
griega que su ángulo adyacente, más el símbolo ’ (prima), α’,β’,γ’...
Fig. 1
7.2.2.
1.
PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS
LOS ÁNGULOS INTERNOS SUMAN 180º.
Fig. 2
α + β + γ = 180º
Se demuestra trazando una recta
paralela a AB que pase por C . Los
ángulos α , β y γ se pueden
transponer sobre la recta,
formando un ángulo extendido, es
decir, de 180º.
CADA ÁNGULO EXTERNO ES IGUAL A LA SUMA DE LOS DOS
ÁNGULOS INTERNOS OPUESTOS A ÉL.
Por ejemplo, en la Fig. 1, β + γ es el suplemento de α , pues es lo
que le falta a α para ser 180º y α ' también es el suplemento de α , por lo
tanto,.
α' = β + γ
β' = α + γ
γ' = α +β
3. LOS ÁNGULOS EXTERNOS SUMAN 360º. α '+ β '+ γ ' = 360º
Demostración.
En la figura 1 se aprecia que cada ángulo interno es
suplementario a l ángulo externo adyacente, por lo tanto,
α = 180º −α ' (1), β = 180º −β ' (2) y γ = 180º −γ ' (3)
Se sabe que α + β + γ = 180º (4). Entonces, reemplazando (1), (2)
y (3) en (4) se obtiene
180º −α '+180º −β '+180º −γ ' = 180º
Agrupando términos semejantes, se obtiene
540º −(α '+ β'+ γ ') = 180º
Despejando
α '+ β '+ γ ' = 360º
7.2.3.
ELEMENTOS SECUNDARIOS DEL TRIÁNGULO
Los siguentes cinco elementos se encuentan de a 3 en cada
triángulo.
1. ALTURA:
Trazo que sale de un vértice y llega en forma perpendicular (⊥) al
lado opuesto.
ORTOCENTRO
Es el punto donde se
intersectan las tres alturas
(Fig. 3).
Fig. 3
144
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2.
TRANSVERSAL DE GRAVEDAD
Trazo que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.
3.
SIMETRAL
Trazo que sale perpendicularmente de un punto medio. No interesa
el punto de llegada.
CENTRO DE GRAVEDAD
Es el punto donde se
intersectan las tres
Transversales de Gravedad
(Fig. 4).
CIRCUNCENTRO
Es el punto donde se
intersectan las simetrales.
Coincide con el centro de
la circunferencia
circunscrita al triángulo
(Fig. 7).
Fig. 4
PROPIEDADES
En todo Triángulo Rectángulo, la Al trazar las tres Transversales de
Transversal de Gravedad
Gravedad se forman seis
correspondiente a la Hipotenusa triángulos de igual área.
mide la mitad de esta.
AD = DB = CD
Fig. 7
4.
MEDIANA
Trazo que une dos puntos
medios. Es paralela al lado opuesto
y además, el lado opuesto mide el
doble que esa mediana.
AM = MC ; BN = NC y AB = 2MN
Fig. 8
Fig. 5
Además divide al triángulo ABC
en dos triángulos de igual área,
porque tienen igual base y
altura.
Fig. 6
5. BISECTRIZ
Trazo que dimidia un ángulo interior.
INCENTRO
Es el punto donde
se intersectan las
bisectrices. Coincide con el
centro de la circunferencia
inscrita en el triángulo
(Fig. 9).
Fig. 9
145
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7.2.4.
CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS
SEGÚN ÁNGULOS:
- Acutángulo (3 ángulos agudos).
- Rectángulo (1 ángulo recto).
- Obtusángulo (1 ángulo obtuso).
7.2.5.
SEGÚN LADOS:
- Escaleno (3 lados distintos).
- Isósceles (2 lados iguales).
- Equilátero (3 lados iguales).
TEOREMAS DE TRIÁNGULOS
Tanto el punto 1 como el 2
representan el área del cuadrado
grande, por lo tanto:
(b + c )2 = a2 + 2bc
b2 + 2bc + c2 = a2 + 2bc
Eliminando términos comunes…
b2 + 2bc + c2 = a2 + 2bc /-2bc
b2 + 2bc − 2bc + c2 = a2 + 2bc − 2bc
b2 + 0 + c2 = a2 + 0
I. TEOREMA DE PITÁGORAS:
En un triángulo rectángulo
(Cat1)2 + (Cat2)2 = (Hip)2
Por lo tanto, a2 = b 2 + c2
En la figura 12 sería:
a2 + b2 = c2
Fig. 10
DEMOSTRACIÓN
En la figura 11 se muestra un cuadrado de lado (b+c) y dentro de
él, otro cuadrado, de lado “a” (si no crees que sea posible que la figura
más oscura es un cuadrado, intenta demostrarlo, para lo cual solo debes
mostrar que los ángulos de la figura son rectos, basándote en que la
figura externa si es un cuadrado).
En base a que el área de cualquier cuadrado es el lado del
cuadrado es el lado a dos (“el lado al cuadrado”) y que el área de un
triangulo es la base por la altura dividido 2 , podemos plantear el área
del cuadrado grande de dos maneras:
1.- ( b + c ) , en otras palabras, el lado del cuadrado elevado a dos
2
 bc 
2.- a2 + 4 ⋅   = a2 + 2bc , que es sumar el área del cuadrado
 2 
pequeño con la de los 4 triángulos rectángulos.
Fig. 11
Lo que puede expresarse como el famoso teorema de Pitágoras:
”En un triangulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es
igual a la medida de la hipotenusa al cuadrado”
FAMILIA DE TRIÁNGULOS PITAGÓRICOS
Representa valores comunes
de encontrar en los lados de
triángulos rectángulos.
Fig. 12
II. TEOREMA DE EUCLIDES
•
h2 = p ⋅ q
•
a2 = (p + q) ⋅ q = c ⋅ q
•
b2 = (p + q) ⋅ p = c ⋅ p
a•b a•b
h=
=
c
p+q
•
Fig. 13
146
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III. TEOREMA DE THALES
Es un teorema de proporcionalidad entre rectas y entre triángulos
Sea AB // CD
III. TRIÁNGULO ISÓSCELES
AB = CB
BD es altura, bisectriz y transversal de
gravedad
OA OC OA OB OA OB
=
;
=
;
=
AB CD OC OD AC BD
α es el ángulo basal
2β es el ángulo del vértice.
Fig. 14
7.2.6.
Fig. 17
IV. TRIÁNGULO EQUILÁTERO
CÁLCULO DE ÁREAS Y PERÍMETROS
I. TRIÁNGULOS EN GENERAL
Perímetro = 3a
Perímetro = Suma de los lados = a + b + c
Área =
Área =
base • altura c ⋅ h
=
2
2
Fig. 15
a ⋅ h a2
3
=
2
4
Altura = h =
a
3
2
Fig. 18
II. TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Perímetro = a + b + c
Área =
7.2.7. CONGRUENCIA
Dos triángulos son congruentes ( ≅ ) si al superponerlos, sus lados
coinciden exactamente. Podemos decir que se trata de triángulos
iguales, pero ubicados de manera distinta en el espacio.
Cat1• Cat2 a ⋅ b
=
2
2
Fig. 16
Fig. 19
∆ABC ≅ ∆DEF
147
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EJERCICIOS DE TRIÁNGULOS 1
1.
2.
5.
Si L 1 // L 2, entonces ¿cuánto mide el ángulo x en función de α y β?
a) α + β
b) 180º − β
c) 180º − α + β
d) 180º − α
e) α + β − 180º
6.
Si L 1 // L 2 // L 3, entonces ¿cuánto mide el ángulo α si β = 70º?
a) 100º
b) 70º
c) 90º
d) 55º
e) 20º
En la figura: L 1 // L 2 y L 3 ⊥ L 1. ¿Cuánto miden α y β?
a) α = 50º, β = 130º
b) α = 100º, β = 80º
c) α = 130º, β = 50º
d) α = 95º, β = 85º
e) α = 110º, β = 70º
Si L 1 // L 2, entonces ¿cuánto mide el ángulo x?
a) 80º
b) 120º
c) 140º
d) 150º
e) 160º
7.
3.
ëEn la figura L
1 // L 2 ; RP bisectriz del ∠ ARS y SP bisectriz del ∠
BSR. ¿Cuánto mide x?
a)
b)
c)
d)
e)
4.
100º
40º
50º
75º
90º
Si L 1 // L 2 y L 3 // L 4. ¿Cuánto mide x en función α?
a)
b)
c)
d)
e)
60º − α
α − 40º
α + 40º
α − 60º
α + 30º
ëEn la figura, ¿cuánto vale x + y − z? L
a)
b)
c)
d)
e)
8.
1
// L 2
105º
180º
60º
120º
45º
Los ángulos AEB y CED son opuestos por el vértice. Si AB // CD,
entonces ∠ BAC + ∠ BDC =
a)
b)
c)
d)
e)
65º
100º
115º
130º
150º
El complemento de α, es : 90º - α
148
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9.
10.
En la figura ∠ QPS = ∠ SPR; β = 30º y α = 60º. ¿Cuánto mide el ∠
QPR?
a) 10º
b) 20º
c) 30º
d) 40º
e) 60º
ëAC ⊥ BC, α = 2β, AE y BD son bisectrices. ¿Cuánto mide el
ángulo β?
a)
b)
c)
d)
e)
14.
10º
15º
20º
22,5º
30º
a)
b)
c)
d)
e)
ëEn el ∆ MNP, RQ ⊥ MP, MQ = QR y ∠ MPN = 70º, ∠ MNP =
a)
b)
c)
d)
e)
65º
60º
55º
45º
35º
ëCD es la altura del triángulo ABC. ∠ ACB = ∠ BCD y ∠ DBC = 2
∠ ACB. Con estos datos se puede afirmar que el ∆ ABC es:
11. L 1 ⊥ L 2 y L 3 ⊥ L 4. Si el ángulo β mide 40º, ¿cuánto mide el ángulo
α?
a) 110º
b) 120º
c) 130º
d) 140º
e) 150º
12.
13. En un triángulo la suma las medidas de dos de sus ángulos
exteriores es igual a 270º, entonces este triángulo no puede ser:
I. Rectángulo
II. Equilátero
III. Obtusángulo
a) Sólo I
b) Sólo II
c) Sólo III
d) Sólo II y III
e) Ninguna de las anteriores
15.
Escaleno
Isósceles
Rectángulo
Acutángulo
Equilátero
ëEl ∠ BAD es ángulo exterior del ∆ ABC. Si AE es bisectriz del ∠
BAC, entonces ∠ AEC + ∠ ACE =
a)
b)
c)
d)
e)
30º
50º
60º
120º
150º
16. ¿Cuánto mide el ángulo x de la figura?
a)
b)
c)
d)
e)
20º
30º
45º
60º
No se puede determinar
El suplemento de α, es : 180º - α
149
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17. El ∆ MNP es rectángulo en P. QR // MP y ∠ MNP = 35º. ¿Cuánto
mide el ángulo x?
a)
b)
c)
d)
e)
35º
45º
55º
65º
125º
18. ABC es un triángulo donde BD es bisectriz del ∠ ABC, DE ⊥ AB y
∠ ACB = 2 ∠ BAC. ¿Cuánto mide el ángulo BDE?
a)
b)
c)
d)
e)
19.
II. BD ⊥ AC
III. γ = 2α
Sólo I
Sólo I y II
Sólo I y III
Sólo II y III
I, II y III
ë
En el ∆ ABC, CD es bisectriz del ∠ ACB. Si AC = AB y ∠ DCB = ∠
BAC, ¿cuál(es) de las proposiciones siguientes es(son) verdadera(s)?
I. AD = DC
II. ∆ DBC es escaleno
III. ∠ ADC = 3 ∠ ACD
a) Sólo I
b) Sólo I y II
c) Sólo I y III
d) Sólo II y III
e) I, II y III
23. En el ∆ ABC, AC ⊥ BC y CD ⊥ AB, ∠ x =
180º − (δ + ε)
90º − γ
180º − (γ + ε)
δ+γ
δ+ε
a)
b)
c)
d)
e)
20. En la figura α = 30º. Si β = 2α, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es(son) siempre verdadera(s)?
I. AF = FC
a)
b)
c)
d)
e)
22.
40º
50º
60º
65º
80º
ëEn la figura P, Q y R son puntos colineales. α + β =
a)
b)
c)
d)
e)
21. ABC es un triángulo equilátero. Si ∠ BCD = 2 ∠ ACD, ¿cuánto mide
el ∠ BDC?
a) 20º
b) 40º
c) 60º
d) 80º
e) 100º
24.
16º
32º
45º
58º
64º
ëEl ∆ ABC de la figura es escaleno y rectángulo en C. Si CD es
altura, ¿cuál(es) de las siguientes relaciones es(son) falsas?
I. ∠ BAC = ∠ BCD
II. ∠ ABC = ∠ ACD
III. ∠ BAC + ∠ ACD = ∠ ACB
a) Sólo I
b) Sólo II
c) Sólo III
d) I, II y III
e) Ninguna
El suplemento de α, es : 180º - α
150
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25. Si en un triángulo uno de sus ángulos interiores mide el triple de lo
que mide el ángulo exterior adyacente a él, entonces ¿a cuánto es
igual la suma de las medidas de los otros dos ángulos interiores?
a) 45º
b) 125º
c) 135º
d) 145º
e) 225º
26. En el ∆ ABC, AD = BD. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es(son) siempre verdadera(s)?
I. AC = BC
II. CD ⊥ AB
III. ∠ ACD = ∠ DCB
a) Sólo I
b) Sólo II
c) Sólo III
d) I, II y III
e) Ninguna
27.
ëEl ∆ ABC es escaleno. Si DF // AB, DE // BC, AC ⊥ BC y ∠ EDF
= α, entonces ∠ BAC =
a) 90º − α
b) 2α
c) α
d) 180º − α
e) 180º − 2α
28. En la figura MR ⊥ QR, MQ ⊥ RP y PQ = QR. Si ∠ 1 = 50º, entonces
∠2+∠3=
a) 70º
b) 80º
c) 90º
d) 100º
e) 130º
29. ¿Cuál de las siguientes relaciones es verdadera con respecto al ∆
PQR si se sabe que PS = RS = QS y α = 45º?
a)
b)
c)
d)
e)
30.
α=γ−β
α>γ−β
γ>α+β
γ<α+β
Ninguna de las anteriores
ëEn el ∆ ABC, AC = BC, ∠ ACB = 2x y ∠ ABC = 3x + 10º. ¿Cuál es
la medida de x?
a)
b)
c)
d)
e)
80º
70º
60º
40º
20º
31. El ∆ ABC es equilátero. El ∆ ABD es rectángulo si:
(1) AD es bisectriz
(2) AD es altura
a) (1) por sí sola
b) (2) por sí sola
c) Ambas juntas, (1) y (2)
d) Cada una por sí sola, (1) o (2)
e) Se requiere información adicional
32. El ∆ ABC es equilátero si:
(1) AC = BC
(2) ∠ BAC = ∠ BCA
a) (1) por sí sola
b) (2) por sí sola
c) Ambas juntas, (1) y (2)
d) Cada una por sí sola, (1) o (2)
e) Se requiere información adicional
La suma de los ángulos internos cualquier triangulo es 180º
151
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33. Cierto triángulo ABC es rectángulo. ¿Es isósceles este triángulo?
(1) Uno de sus ángulos duplica a otro
(2) Uno de sus ángulos exteriores mide 135º
a) (1) por sí sola
b) (2) por sí sola
c) Ambas juntas, (1) y (2)
d) Cada una por sí sola, (1) o (2)
e) Se requiere información adicional
34. El ∆ ABC es isósceles de base AC. AD es bisectriz del ∠BAC si:
(1) AD = BD y ∠ ACB = 2 ∠ ABC
(2) ∠ BCA = 2 ∠ DAC
a) (1) por sí sola
b) (2) por sí sola
c) Ambas juntas, (1) y (2)
d) Cada una por sí sola, (1) o (2)
e) Se requiere información adicional
35. ¿Cuánto mide el ∠ DFE en la figura?
(1) CD es altura y BE es bisectriz
(2) AC ⊥ BC y ∠ BAC = 2 ∠ ABC
a) (1) por sí sola
b) (2) por sí sola
c) Ambas juntas, (1) y (2)
d) Cada una por sí sola, (1) o (2)
e) Se requiere información adicional
EJERCICIOS DE TRIÁNGULOS 1I. PROPORCIONALIDAD
1.
Si L 1 // L 2; OB = BD = 5cm y ED = 6cm , determinar el área del ∆
OBC.
2
A) 6 cm
2
B) 8 cm
2
C) 12 cm
2
D) 4, 5 cm
2
E) 9 cm
2.
En la figura L 1 ⊥ L 2. Si ∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 3 y L 1 // L 3 // L 4 // L 5,
entonces x + y + z =
ë
A)
B)
C)
D)
E)
3.
170°
125°
130°
120°
115°
El ∆ ABC es rectángulo en C. AC // DE y BF es bisectriz del ∠ ABC.
¿Cuánto mide el ∠ α?
A)
B)
C)
D)
E)
60°
75°
30°
105°
90°
PAUTA TRIÁNGULOS 1
1__
2__
3__
4__
5__
6__
7__
8__
9__
10__
11__
12__
13__
14__
15__
16__
17__
18__
19__
20__
21__
22__
23__
24__
25__
26__
27__
28__
29__
30__
31__
32__
33__
34__
35__
4.
En la figura AB = 3cm , EF = 2cm , DE = 8cm . ¿Cuánto mide BC si
L 1 // L 2 // L 3?
A) 6 cm
B) 7 cm
C) 9 cm
D) 12 cm
E) 15 cm
En 2 triangulos semejantes, correspondientes a un mismo ángulo son proporcionales. REPASA PROPORCIONALIDAD DE TRIANGULOS
152
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5.
ëEn la figura, ∆ ABC es equilátero de lado x; BD es bisectriz,
entonces el perímetro del ∆BCD es:
5
A)
2x
x 3
B)
2
x
C)
• ( 3 + 2)
2
x
D)
• (3 + 3)
2
E) Ninguna de las anteriores
6.
En la figura, AC // BD , OA = 5cm , CA = 2cm y BD = 6cm y
BD = 6 cm. Determinar AB.
A) 2 cm.
B) 5 cm.
C) 10 cm.
D) 15 cm.
E) 20 cm.
9.
10.
A)
B)
C)
D)
E)
Si en la figura AC ⊥ AD ; AC //DE ; ∠ CAE = ∠ EAB; ∠ ABC = 40° y
AB = BC , entonces ∠ AED =
A)
B)
C)
D)
E)
7.
8.
45°
35°
40°
55°
65°
11.
entonces el valor de AC es:
A)
B)
C)
D)
E)
3 10
1
10
7
9
6
9
3
12
Ninguna de las anteriores.
ëSi en el ∆ ABC de la figura, CD ⊥ AB ; AC = BC ; AB = 8 cm
y
CD = 3cm , entonces, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s)?
I) ∠ ACD = 45°
II) AC = 5cm
El área de un triángulo equilátero es 16 3 cm2 . ¿Cuánto mide su
perímetro?
A) 96 cm
B) 12 2 cm
C) 64 cm
D) 32 cm
E) 24 cm
ëEn la figura, ∆ ABC es rectángulo en C; h = 3 y BC =
ë¿Cuánto debe medir x para que DE sea paralela a AB ?
A)
B)
C)
D)
E)
10 ;
III) AB = BC + CD
Sólo II
Sólo III
Sólo I y II
Sólo II y III
I, II y III
12. En el ∆ ABC, 3AD = BC = 15 cm ; AB = 14 cm y AC = 13cm . ¿Cuánto
mide el perímetro del ∆ DBC?
A)
B)
C)
D)
E)
El área de un triángulo es:
30 cm
36 cm
38 cm
40 cm
43 cm
(Base) ⋅ (Altura)
2
153
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13. El ∆ ABC de la figura es rectángulo en C. Si x = 4 cm y AB mide
1 cm más que BC , entonces AC =
A)
B)
C)
D)
E)
17. En el ∆ ABC de la figura, CD = 8 cm, es altura; AD = 15 cm y
BC = 10 . ¿Cuál es el perímetro del triángulo ABC?
A)
B)
C)
D)
E)
1 cm
5 cm
5 5 cm
25 cm
313 cm
18.
14. En la figura, si PR = 2a y RQ = a , entonces PQ =
A) 3a
2
B) 9a
C) 5ª
2
D) 5a
E) a 5
15.
ëEl ∆ ABC de la figura es rectángulo en C. Si AC = 8cm
ëEn el ∆ ABC de la figura, AC ⊥ BC ; CD ⊥ AB . Si ∠ BAC = ∠ABC
y AC = x , entonces CD se expresa:
x
A)
2
x
B)
4
C) x 2
y
BC = 15cm , entonces AB =
A)
B)
C)
D)
E)
48 cm
56 cm
64 cm
76 cm
Otro valor
D)
E)
23 cm
17 cm
261 cm
15 cm
8 cm
x 2
2
x 2
4
19. El triángulo rectángulo de la figura es isósceles. Si CD es altura,
entonces ¿Cuál(es) de las siguientes relaciones es(son) verdadera(s)?
I) AB = 2CD
II)
ë
AB BC
AG BF
16.
En la figura
=
= CD = 4cm y
=
= CE = 3cm ¿Cuál
3
2
3
2
es el perímetro total de la figura?
A)
B)
C)
D)
E)
42 cm
44 cm
51 cm
57 cm
72 cm
A)
B)
C)
D)
E)
BC + CD = AD + AC
III) AC > BD
Sólo I
Sólo I y II
Sólo I y III
Sólo II y III
I, II y III
No debes olvidas que, en un triangulo rectángulo: ( Hipotenusa )2 = ( Cateto 1)2 + ( Cateto 2 )2
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MATEMÁTICA
20. Si los catetos de un triángulo rectángulo isósceles aumentan al
doble, entonces su hipotenusa:
A) Queda igual
B) Se cuadruplica
C) Se duplica
D) Disminuye a la mitad
E) Ninguna de las anteriores
21. En la figura, L 2 // L 3, AE = 6 cm, AB = 4 cm y AC = CB. ¿Cuánto
mide el perímetro del ∆ BDE?
A) 2 cm
B) 4 cm
C)
2 cm
D) 2 2 cm
E)
(2 + 2 2 ) cm
22. En el ∆ ABC de la figura AC = 0,75 ⋅ BC y BC = 0,8 ⋅ AB . Si el
perímetro del triángulo mide 24 cm, entonces AC =
A)
B)
C)
D)
E)
4 cm
6 cm
8 cm
10 cm
12 cm
24.
ë
En la figura, ∆ ABC es equilátero de lado 2a y ∆ EBD es
rectángulo. Si AC // ED y EA = EB, entonces el perímetro del ∆ EBD
es:
A) a 3
B) 2a
C) a + a 3
D) 2a + a 3
E) 3a + a 3
25. En un triángulo rectángulo de catetos a = 6 y b = 8, el cuadrado de
la hipotenusa está representado por:
2
I. (a + b)
2
2
II. a + b
III. 2a + 11b
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
26. En la figura los triángulos ABC y CDE son rectángulos en C y E
respectivamente, ∠ CDE =45°; EA = EF = 2 cm y BG = 4 cm. ¿Cuál
es la suma de los perímetros de los triángulos BCG y FDG?
A)
23. En la figura los triángulos ABC y DCE son congruentes. Si BC = a y
AC = 2a, entonces el perímetro de la figura es:
A) 2a
B) 2a + a 5
(
C) 2 2a + a 5
D) 3a + a 5
E)
(
2 3a + a 5
)
B)
C)
D)
E)
)
(12 + 6 2 ) cm
(12 +10 2 ) cm
(12 +12 2 ) cm
(20 +12 2 ) cm
(20 +16 2 ) cm
Repasa las propiedades de los triángulos equilátero e isósceles
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MATEMÁTICA
27. En la figura ∆ ABC es rectángulo en A, ED es una mediana que
mide 6 cm y BC = 20cm . ¿Cuál es la diferencia entre los perímetros
de los triángulos ABC y DBE?
A)
B)
C)
D)
E)
30. MS es la altura del ∆ MNT. Si ∠ MTN = 45°; MN = 10 cm y
MS = 6 cm , entonces ¿cuánto mide NT ?
A)
B)
C)
D)
E)
48 cm
36 cm
24 cm
12 cm
6 cm
16 cm
14 cm
12 cm
10 cm
8 cm
31. En la figura OF ⊥ OC ; OA = AB = BC = 4 cm y OD = DE = EF = 3 cm ,
28. En la figura, los triángulos ABC y CED son congruentes. ¿Cuánto
mide la superficie de la figura?
A)
B)
C)
D)
E)
29.
2
A)
B)
C)
D)
E)
6 cm
2
8 cm
2
12 cm
2
20 cm
2
24 cm
ëEl ∆ PQR de la figura es rectángulo en R. Si TU , TS y SU son
medianas, QR = 9 cm y RP = 12cm , entonces el perímetro del
∆ SUT es:
A)
B)
C)
D)
E)
luego AD + BE + CF =
18 cm
24 cm
30 cm
36 cm
54 cm
32.
15 cm
30 cm
36 cm
42 cm
45 cm
ëEl ∆ ABC de la figura es equilátero. El ∆ ABD es rectángulo si:
A)
B)
C)
D)
E)
(1)
∠ BAD = ∠ DAC
(2)
BD = DC
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) o (2)
Se requiere información adicional
33. En la figura AC = CB y CD ⊥ AB, ¿cuánto mide el perímetro del
∆ ABC?
(1)
AC = 10 cm; AB = 12 cm
(2)
CD = 8 cm; AD = DB = 6 cm
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) o (2)
E) Se requiere información adicional
Es distinto congruencia que semejanza. Figuras semejantes son proporcionales, figuras congruentes son “iguales”
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MATEMÁTICA
34. El ∆ PQR de la figura es rectángulo en R si:
(1)
RS ⊥ PQ y PR = 8 cm
(2)
QS = SP
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) o (2)
E) Se requiere información adicional
DESAFIO
En la figura 20, el triangulo ABC es recto en C.
•
•
Encuentra los ángulos equivalentes a “α“ y a “β“.
Busca el par de lados del triángulo ACD que estén en la misma
proporción que
35. Se puede determinar el perímetro del ∆ MNP si se conoce que:
(1)
MQ = 3 cm, QP = 4 cm
(2)
NP = 5 cm y PQ es altura
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) o (2)
E) Se requiere información adicional
•
•
•
•
AC
AB
Con la proporción directa resultante del punto anterior, obtén el
2
valor de (AC) , ¿te recuerda a alguna fórmula?
Busca los pares de lados del triángulo BCD que estén en la
BC
misma proporción que
AB
Con la proporción directa resultante del punto anterior, obtén el
2
valor de (CB) , ¿te recuerda a alguna “otra” fórmula?
Encuentra la proporción entre lados del triangulo ACD y CBD
2
que te permitan calcular (CD)
PAUTA TRIÁNGULOS 1I. PROPORCIONALIDAD
1__
2__
3__
4__
5__
6__
7__
8__
9__
10__
11__
12__
13__
14__
15__
16__
17__
18__
19__
20__
21__
22__
23__
24__
25__
26__
27__
28__
29__
30__
31__
32__
33__
34__
35__
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