Algunos problemas de EDP

Algunos problemas de EDP
(I) 1.- Clasificar
(a) (x2 - 1)u xx + 2yuxy - uyy = 0
(b) 2uxy + uxx + 5uyy = 0
(c)2uxy + (y – x)uyy = 0
2.- Resolver
uxx - 2uxz - 18uz + 9ux = 0 ,
u(0, z) = 1 , ux(0, z) = 0.
3.- Probar que la transformación z = y - (x2/2) , s = x
uxx + 2xuxy + x2uyy = 0 , a la ecuación de calor
4.- Determine todas las soluciones del problema :
reduce la ecuación
uz = uss
y 2 u yy + 2 xyu xy + x 2 u xx = 0
talque u y ( x ,1) = x , u( x ,1) = 0.
5.-Resolver en una vecindad de (x,y ) = ( 0,0 )
2xuyy + 2uxx - 8uxy = (|4 - x| )-1/2 uy
u(0,y) = 0
, ux(0,y ) = 1
¿ Discuta como se pueden obtener las soluciones en la vecindad
de (5,5)? No la obtenga , solo explique con claridad.
6.- Considere la ecuación:
u tt = 9 u xx
,∀x ∈ ( − ∞ ,∞ ), ∀t ∈ ( − ∞ ,∞ ).
(i) Suponga que u ( x,0) = u t ( x,0) = 0 , ∀x tal que x − 2 ≥ 1. ¿Qué puede decir
de los valores de x tal que u ( x,2) ≠ 0 ?
0 si x − 2 ≥ 1
. Hallar u(x, 2).
1 si x − 2 ≤ 1
(ii) Sean u ( x,0) = 0, ∀x ∈ (−∞, ∞) y u t ( x,0 = 
(II)
1.- Considere el problema de valores propios
y´´ -λy = 0 , y(0) + y(1) = 0 , y´(0) = 0
(a) ¿Es un problema de Sturn – Liouville?
(b) ¿Existen valores y funciones propias?
(c) Si existen funciones propias ¿Son ortogonales?
(III)
1.- Considere la E.D.P bidimensional
∆u + ( x + y)2 u = 0
(*)
(a) ¿ Admite (*) soluciones de la forma u(x, y) = X(x) Y(y) ?
(b) Escriba (*) en coordenadas polares. ¿ Admite ahora (*)
soluciones de la forma u(r,ϑ ) = R(r) T(ϑ ) ?
(Justifique su respuesta)
2.- Si se sabe que la ecuación de Laplace
u rr +
1
1
u r + 2 uϑ ϑ = 0
r
r
Tiene una solución de la forma u(r,θ) = f(r)sen nθ, para algún número
natural n. Determine f(r) si se sabe : u(a, θ) =sen3θ, a > 0. u(0+,θ) = 0.
(IV)
1.-Resolver la ecuación de onda
utt = u xx
ux(0, t) = ux(π ,t) = 0 , u(x,0) = cos2x, ut(x,0) = cosx
2.-Resolver
uxx = ut + 6x + 4 , 0 < x < 1 , t > 0
ux(0, t) = 0 , ux(1, t ) = 7 ,
u(x, 0) = 2x2 + x3 +1
3.- (i) Sea u = u(x, t) solución del problema
ut = u xx + g (t ) + d , 0 ≤ x ≤ L , t ≥ 0.
u x (o, t ) = a
u( x,0) = f ( x)
, u x ( L, t ) = b
, 0≤ x≤ L
t
Probar que la función v(x, t) dada por:
v ( x, t ) = u ( x , t ) −
∫ g (s)ds
0
es solución de un problema de calor
vt = v xx + d , 0 ≤ x ≤ L , t ≥ 0.
con las mismas condiciones de borde e inicial
(ii) Resolver el problema
ut = u xx + e −t + t −1 , 0 ≤ x ≤ 1 , t ≥ 0.
u x (o, t ) = 0
x2
, u x (1, t ) =1 , u( x,0) = + cosπx
2
4.- Resolver
uxx + z2uzz + zuz = x , 0 < x < π /2 , ½ < z < 1.
ux(0, z) = 0 , ux(π /2, z)= π 2/8
u(x, ½) = cos4x + x3/6 , u(x, 1) = (x3 + 2x)/6
5.- Determine la temperatura, en estado estacionario, en cada punto de un
sector circular de radio “ a” y de ángulo
π
4
. Si en un lado del sector, la
variación de temperatura respecto del ángulo es cero y en el oto lado del
sector, la variación de temperatura respecto del ángulo disminuye
proporcionalmente a la temperatura en dicho lado y la temperatura a lo
largo del arco del sector, es conocida, es una función de cada punto del arco.
6.-Una vara ocupa la porción 0 < x < 2 del eje ox . La conductividad
térmica depende de cada punto de la vara , de modo que la
temperatura u(x, t) satisface la ecuación :
ut = k2((1 + x)2 ux)x ,
k = constante
Si los extremos de la vara se mantienen a cero grados e inicialmente
la temperatura es una función f(x) de la posición. Determine u(x,t) es
decir la temperatura en todo instante de tiempo y en cada punto de la
vara.
7.- Determine la distribución de temperatura en estado estacionario
de un cuerpo semi cilíndrico de radio b y altura H = 1 . Si se sabe
que la temperatura en el manto se mantiene a cero grado y en las
caras ( superior e inferior ) es función de cada punto sobre dicha cara.
¿ Que condiciones deben satisfacer las temperaturas descritas sobre las
caras, para que el problema este bien planteado?
8.-- Problema de la bomba atómica
La ecuación para la densidad N de neutrones en un recipiente
está dada por N t = D∆ N + γN donde se asume que D y γ
son
constantes que dependen de factores físicos ( D se llama la difusividad
de neutrones). Suponiendo que el recipiente es cilíndrico, de radio a y
altura h y que N es independiente del ángulo basal ϑ .Encontrar
N = N(r, z, t )
bajo las condiciones Nz(r, 0, t) = Nz(r, h, t) = 0 ;
N(a, z, t ) = 1 y la distribución inicial de neutrones es conocida
9.- Hallar la solución del problema de contorno
utt + 2ut − 2u xx = ( x − x 2 ) 2t − x 2 ,
x ∈ [0,1], t > 0.
u (0, t ) = u (1, t ) , u x (0, t ) = u x (1, t ) + t 2 , t > 0
u ( x,0)= cos(πx), ut ( x,0) = 2 cos(6πx) , x ∈ [0,1]
Hint. w(t , x) = u (t , x) + t 2 p( x), para a lg ún polinomio p( x) de segundo grado .