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¿Es cierto que el rectángulo dorado se utilizó en el
diseño del Partenón?
Ernesto Vallejo
Centro de Ciencias Matemáticas, UNAM, Campus Morelia
e-mail: [email protected]
La razón áurea, también llamada razón media y extrema, razón dorada, número de
oro, sección áurea o divina proporción, es un concepto matemático que ha interesado
y entusiasmado a personas de áreas tan diversas como la biologı́a, por un lado, y la
arquitectura y la pintura, por otro. Se define como el número que se obtiene de dividir
la longitud de la diagonal de un pentágono regular entre la longitud de uno de sus
lados (ver Figura 1). Este número se denota algunas veces con la letra φ, otras con τ .
Figura 1: Pentágono y razón áurea
Otra definición de este número aparece en el Libro VI de los Elementos de Geometrı́a
de Euclides, escrito hace aproximadamente 2300 años. Una traducción al español de
esta definición (ver [4, p. 188]) es la siguiente:
Decimos que una lı́nea recta está dividida en razón media y extrema cuando
toda la lı́nea es al segmento más grande lo que el segmento más grande es
al más pequeño1 .
Dicho de otra manera (ver Figura 2)2 , la recta de longitud a + b está dividida en razón
media y extrema en dos segmentos de longitudes a y b si
a
a+b
= .
a
b
Se puede demostrar [2, Cap. 11], [5, Cap. 8] y [8] que en este caso
√
1+ 5
φ=
= 1.61803398 . . .
2
1
2
Todas las traducciones del inglés al español son del autor de esta nota.
Las figuras 2 y 4 están tomadas de wikipedia.
1
a
b
= φ y que
Figura 2: Razón media y extrema
La razón áurea es un número muy atractivo que está relacionado con varios objetos
matemáticos, como los números de Fibonacci y algunas construcciones geométricas.
Una de ellas es el rectángulo dorado: aquél cuyos lados están en razón φ a 1 (Figura 3),
es decir, si a y b son las longitudes de los lados del rectángulo y a es mayor que b,
entonces ab = φ. Otra construcción es el icosaedro, un poliedro regular de veinte caras
Figura 3: Rectángulo dorado
triangulares. Éste es uno de los cinco sólidos platónicos estudiados con gran interés en
la Grecia clásica por su simetrı́a y belleza hace unos 2400 años. Los doce vértices del
icosaedro se obtienen acomodando, como se muestra en la Figura 4, tres rectángulos
dorados.
Figura 4: Icosaedro formado a partir de tres rectángulos dorados
El gran entusiasmo por la razón áurea entre no matemáticos surgió, en parte, de
artı́culos, libros y pelı́culas que le adjudican propiedades estéticas y apariciones en la
naturaleza que no siempre están bien documentadas. Algunas de ellas se pueden ver,
por citar dos ejemplos, en la pelı́cula de Disney Donald en el paı́s de las matemágicas
y en el capı́tulo 20 del libro El código Da Vinci, de Dan Brown.
El matemático George Markowsky ha intentado aclarar una serie de mitos sobre
este número. En su artı́culo [7] escribió
La razón áurea . . . ha capturado la imaginación popular y se habla de ella en
numerosos libros y artı́culos. Generalmente, sus propiedades matemáticas
2
Figura 5: Rectángulo dorado ajustado al Partenón
se enuncian correctamente, pero mucho de lo que sobre ella se dice relacionado con el arte, la arquitectura, la literatura y la estética es falso o
francamente engañoso. Desafortunadamente, estas afirmaciones han alcanzado el nivel de verdades establecidas y son repetidas constantemente.
Una de estas afirmaciones, repetida con mucha frecuencia y sin cuestionamiento
alguno, es la que dice que el rectángulo dorado es, desde el punto de vista estético, el
más agradable a la vista y que por esa razón fue usado en la antigüedad en el diseño
del Partenón de la Acrópolis de Atenas y, más recientemente, en el edificio Sede de la
Organización de Naciones Unidas en Nueva York (ver Figura 5)3 . Markowsky demostró
que los argumentos usados en diversas fuentes no son rigurosos y dio argumentos convincentes para pensar lo contrario (ver páginas 8, 9 y 12 de [7]). El matemático Keith
Devlin ha participado también en este debate (ver [3]). Algunos de los argumentos en
contra del uso de la razón áurea en el Partenón los podemos resumir ası́: nadie cita
una fuente de la antigüedad donde explı́citamente se diga que la razón áurea fue usada
en el Partenón de manera consciente (de hecho el nombre de razón áurea surge apenas
en el siglo XIX); algunas fuentes toman una foto o dibujo del Partenón y ajustan un
rectángulo dorado (por ejemplo [6, p. 63]) sin importarles que pedazos del edificio queden fuera del rectángulo; las dimensiones del Partenón varı́an de una fuente a otra, en
parte porque hay distintas maneras de tomar las medidas: con o sin frontispicio, con o
sin escalones; dado que cualquier medición lleva consigo misma un margen de error, al
medir el Partenón y tomar la razón entre los lados del rectángulo medido obtendremos
sólo una aproximación. Sin embargo, los entusiastas de la razón áurea no indican cuál
es una aproximación aceptable de φ.
Por las razones anteriores podemos concluir que no hay ninguna evidencia definitiva
de que la razón aúrea fue usada conscientemente en el diseño del Partenón. Lo que
hay, más bien, es un persistente deseo de encontrar la razón áurea en construcciones
afamadas: la gran pirámide de Guiza, el Partenón, la catedral de Notre Dame de Parı́s,
el edificio Sede de la Organización de las Naciones Unidas. Curiosamente, estimulados
por los mitos sobre la razón áurea, algunos arquitectos sı́ han usado la razón áurea
en sus diseños. Un ejemplo destacado es el arquitecto fraco-suizo Le Corbusier y su
3
La figura está tomada del material pedagógico de la Gray’s School of Art de la Universidad Robert
Gordon de Aberdeen, Reino Unido.
3
sistema Modulor [1].
Para concluir, observemos que φ es un número irracional (no se puede escribir como
una fracción ab , donde a y b son números enteros), y por lo tanto su expansión decimal
es infinita y no es periódica. Entre la infinidad de aproximaciones de φ, como son
1.61803, 1.61813 o simplemente 1.618, sólo φ, con su expansión decimal infinita, se
distingue por sus notables propiedades matemáticas, tales como su relación con los
números de Fibonacci y su aparición en diversas construcciones geométricas.
Referencias
[1] Le Corbusier, Le Modulor. Essai sur une mesure harmonique à l’échelle humaine applicable universellement à l’architecture et à la mécanique, Éditions de l’Architecture
d’Aujourd’hui, coll. Ascoral, 1949.
[2] Harold Scott MacDonald Coxeter, Introduction to Geometry, John Wiley & Sons, Inc.,
Nueva York, 2a. ed. 1969.
[3] Keith Devlin, The mith that will not go away,
http://www.maa.org/external archive/devlin/devlin 05 07.html.
[4] Euclides, The thirteen books of Euclid’s elements, traducida del texto de Heiberg por
Sir Thomas L. Heath, Dover Publications, Nueva York, 2a. edición, 1956.
[5] Martin Gardner, The second Scientific American book of Mathematical Puzzles & Diversions, The University of Chicago Press, Chicago, 1987.
[6] H. E. Huntley, The divine proportion. A study of mathematical beauty, Dover Publications, Nueva York, 1970.
[7] George Markowsky, Misconceptions About the Golden Ratio. College Math. J. 23 (1992)
2–19. http://www.umcs.maine.edu/~markov/GoldenRatio.pdf
[8] Wolfram Math World, http://mathworld.wolfram.com/GoldenRatio.html.
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