A i A i A r

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Mario Vendrell
8.- LA LUZ EN LOS MEDIOS DIELÉCTRICOS
En este capítulo se analizan con cierto detalle la refracción y
la reflexión de la luz en los medios dieléctricos (transparentes), más
allá de la descripción de los fenómenos que se ha hecho en el capítulo
primero. Por simplicidad de las explicaciones, el análisis se efectúa
para medios isótropos, pero los resultados son extrapolables a los
medios anisótropos, considerando el desdoblamiento en dos ondas que
tiene lugar.
8.1. Refracción y reflexión
Un frente de onda llega a
una superficie plana que separa
dos
medios
de
índices
de
refracción n 1 y n 2, con un ángulo de
incidencia i (Figura 1). Aplicando
las construcciones de Huygens se
deduce la existencia de un frente
de onda reflejado en el mismo
medio de procedencia, y otro
refractado en el segundo medio.
De la geometría de la
construcción,
Figura 1.
se
llega
a
la
expresión ya conocida de la ley de
Snell
c
seni d1 v1
n1 n2
=
=
=
=
c
sen r d2 v2
n1
n2
(1)
si el primer medio es el vacio (o aire, en una aproximación suficiente)
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seni
= n2
senr
De acuerdo con el principio de Descartes, el rayo incidente, la
normal, el rayo reflejado y el refractado están en el mismo plano,
llamado de incidencia.
Existe un ángulo especial (ángulo de Brewster i ) para el cual,
el rayo refractado y el reflejado forman un ángulo de 90º (i + r = 90º).
Para estas condiciones se cumple que
sen i
sen i
=
= tag i = n2
sen (90 − i ) cos i
En la experiencia anterior, si el índice de refracción
del primer medio es superior al del segundo (n 1>n 2), el
ángulo de refracción es mayor que el de indicencia (Figura
2), y cuando r llega a 90º, en la expresión de la ley de Snell
(1) no tiene sentido un valor de r superior, y el
correspondiente ángulo de incidencia i c se denomina ángulo
límite, o ángulo crítico. Para ángulos de incidencia
superiores, la totalidad de la luz es reflejada y no existe haz
Figura 2
refractado. En el ángulo límite se cumple que:
senic
n
= 2
sen 90º
n1
⇒
n 
ic = arcsen  2 
 n1 
expresión que se utiliza en algunos equipos experimentales
(refractómetros) para determinar uno de los índices de refracción,
conocido el otro y determinando el ángulo límite.
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8.2. Haz transmitido (refractado)
Consideremos una geometría como en
la Figura 3, en la que un rayo (E) incide desde
el vacío con un ángulo i, sobre una superficie
de un medio dieléctrico de índice de
refracción n. Una parte (R) se refleja con un
ángulo de reflexión igual al de incidencia, y
otra (T) se refracta con un ángulo de
refracción de acuerdo con la ley de Snell.
Si el rayo incidente linealmente está
Figura 3
polarizado, su vibración se puede desglosar en
dos
componentes
ortogonales,
una
longitudinal (p), contenida en el plano de incidencia, y otra
transversal (s), perpendicular a la anterior.
Relaciones de amplitud
A partir de las ecuaciones de Maxwell se puede demostrar que
las relaciones de fase de las componentes s y p del rayo refractado son
OT
s = + 2 senr ⋅ cosi
OE
sen (r + i )
s
y
OT
+ 2 senr ⋅ cosi
p
=
OE
sen (r + i ) ⋅ cos(i − r )
p
el signo es positivo para cualquier ángulo de incidencia, por tanto la
vibración refractada está en fase con la incidente (tienen igual fase).
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Es posible dibujar estas
relaciones de fase desde
incidencia rasante (90º) hasta
normal (0º). Como el ángulo r
es función de i para cada índice
de refracción, la gráfica de la
Figura 4 se ha calculado para
n=1,5.
La pequeña diferencia
entre ambas componentes es
debida al valor de cos(i - r) del
Figura 4
denominador de la expresión
de la componente longitudinal p, que se mantiene mayor que s para
cualquier valor de i, excepto a 0º y 90º, en que se igualan.
Para el caso especial de incidencia normal i=0º, de especial
importancia en microscopía, ambas componentes son iguales, y
considerando que para ángulos muy pequeños el valor del ángulo en
radianes, y sus tangente y seno son iguales, se puede escribir
OTs OTp
2r
=
=
OEs OE p (i + r )
, y como
seni i
= = n,
senr r
substituyendo y dividiendo por r queda
OTs OTp
2
=
=
OEs OE p n + 1
Relaciones de fase y estado de polarización
Las expresiones de las relaciones de amplitud tienen signo
positivo para cualquier ángulo i, lo que significa que las componentes
del rayo refractado están en fase con la radiación incidente. Teniendo
en cuenta que sólo hay diferencia de amplitud entre las componentes
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s y p del rayo T transmitido (refractado), la composición de ambas
dará como resultado una radiación linealmente polarizada. La
Figura 5 representa una proyección a lo largo de la dirección de
propagación de la composición de las componentes s y p del rayo
transmitido.
Se ha dado por supuesto que las componentes s y p del
rayo incidente son iguales, aunque se podría complicar
Figura 5
ligeramente el problema si éstas no tienen el mismo valor, pero
las relaciones de amplitud siguen siendo válidas.
8.3. Haz reflejado (reflexión externa)
Si consideramos el rayo reflejado en el dispositivo de la Figura
3, denominaremos reflexión externa a la que tiene lugar cuando el
rayo incidente E pasa de un medio de el índice de un determinado
refracción a otro de índice mayor (n 1<n 2), por ejemplo del vacío a un
medio de índice n. Evidentemente, el rayo reflejado y el incidente
están en el mismo medio. A partir de la construcción de Huygens
mostrada en la Figura 1 de este capítulo, los ángulos de incidencia (i)
y de reflexión son iguales.
Relaciones de amplitud
Como en el caso anterior, se consideran las componentes
longitudinal (p) y transversal (s) del rayo incidente E. De las
ecuaciones de Maxwell se pueden deducir las relaciones de fase del
rayo reflejado e incidente para ambas componentes
ORs − sen (i − r )
=
OEs
sen (i + r )
;
ORp
OE p
=
+ tag (i − r )
tag (i + r )
Si se dibujan los valores de estas relaciones en función del ángulo de
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incidencia, para n=1,5 se observa
que R s permanece negativo para
cualquier ángulo de incidencia, y
adquiere el valor absoluto máximo
para i=90º, en que
ORs − sen (90 − r )
=
= −1
OEs
sen (90 + r )
Por otra parte, R p es positiva
hasta el ángulo principal (ángulo de
Brewster,
denominador
Figura 6
i ),
se
en
que
el
convierte
en
infinito ( tag90º = ∞ ), por tanto
(i + r ) = 90º ;
seni
= tagi = n
senr
para este ángulo de incidencia, la relación de amplitud de la
componente longitudinal p se anula
ORp + tag (i − r )
=
=0
OE p
tag ( 90º )
es decir que, para i , la componente longitudinal vale cero y sólo tiene
valor significativo la componente transversal, lo que equivale a decir
que la luz está polarizada según la componente transversal. Este es
uno de los métodos de polarización expuestos en el capítulo
correspondiente, que queda justificado ahora.
Para ángulos cercanos al de Brewster, la componente
longitudinal p es pequeña, o lo que es lo mismo, la luz con incidencia
alrededor del ángulo i está preferentemente polarizada según la
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dirección de la componente transversal s, aunque sólo lo esté
completamente para un ángulo concreto, cuyo valor depende de los
índices de refracción de los dos medios en que viaja la luz.
Para ángulos de incidencia superiores al de Brewster, la
componente longitudinal R p es negativa porque lo es su denominador
( tag (90 + α ) < 0 ) y alcanzaría su valor absoluto máximo, como la
componente transversal, para i=90º
ORp
OE p
=
+ tag (90 − r )
= −1
tag (90 + r )
Reflectancia
La reflectancia se define como la relación entre la intensidad
reflejada IR por una superficie pulida y la intensidad incidente I0, para
incidencia normal. A partir de las relaciones de amplitud consideradas
es posible deducir una expresión para evaluar la reflectancia.
Para incidencia normal (i=0º) ambas componentes tienen igual
valor absoluto. Como en el caso anterior, para ángulos pequeños el
seno, la tangente y el valor del ángulo expresado en radianes son
iguales, con lo que las relaciones de amplitud se pueden escribir como
OR (i − r ) i r − r r n − 1
=
=
=
OE (i + r ) i + r
n+ 1
r
r
(2)
En la práctica lo que se mide son intensidades, no amplitudes,
y como aquellas son proporcionales al cuadrado de éstas ( I ≡ A2 ), la
reflexión para incidencia normal, conocida como reflectancia, vale
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I R (n − 1)2
=
R=
I0 (n + 1) 2
Esta fórmula, que se conoce como ecuación de Fresnel, expresa
el valor de la reflectancia de un medio transparente de índice de
refracción n, es decir, que la reflectancia depende del índice de
refracción. Por ejemplo, alcanza valores del 17% para el diamante
(n=2.42), valores que resultan relativamente altos si se comparan con
los del vidrio de n=1.5 (~4%).
Se puede considerar la reflectancia de una susbtancia para la
luz que procede de otro medio de índice n 1>1 (por ejemplo, la
reflectancia de un mineral de índice n 2 en inmersión en aceite de
índice n 1). De acuerdo con la ley de Snell,
seni n2
i n2
, y para ángulos pequeños =
=
senr n1
r n1
aplicando esta relación a la expresión (2)
 n2

OR  n1 − 1
, que multiplicada por n 1 queda
=
OE  n2


 n1 + 1
OR (n2 − n1 )
=
OE (n2 + n1 )
Por lo tanto, la expresión genérica de la reflectancia entre dos
medios dieléctricos (no absorbentes) es
(n2 − n1 ) 2
R=
(n2 + n1 ) 2
Esta es la expresión general de la ecuación de Fresnel para
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medios dieléctricos, y permite evaluar la reflectancia en cualquier
circunstancia. El valor de la reflectancia es tanto mayor cuanto más
grande es la diferencia entre los índices de refracción de los dos
medios, y es independiente de que el haz de luz pase del medio de
índice n 1 al n 2, o al revés, puesto que al elevar al cuadrado la
diferencia, el valor de numerador es el mismo sea cual sea el camino
de la luz.
Por otra parte, nótese que si los valores de ambos índices son
iguales (n 1=n 2) el valor de la reflectancia es cero, es decir que la luz
atraviesa los dos medios sin reflexión en la interfase. Esto ocurre, por
ejemplo, entre el vidrio (n=1.5) y la resina utilizada para montar las
preparaciones microscópicas de rocas y minerales (n=1.5). El
conjunto forma un bloque ópticamente homogéneo, y la luz no sufre
reflexiones intermedias, ni desviaciones debidas a refracción
(aplíquese la ley de Snell para preveer la geometría del proceso).
Es de señalar que, en base a las ecuaciones desarrolladas hasta
aquí, la suma de las amplitudes transmitida y reflejada para incidencia
normal, vale la unidad
OT
2
OR (n − 1)
=
;
=
OE n + 1 OE (n + 1)
y la suma de ambas
OT + OR 2 + n − 1
=
=1
OE
n+ 1
Sin embargo, la suma de las respectivas intensidades no vale
la unidad. Más adelante se tratará esta aparente paradoja.
Relaciones de fase y estado de polarización
En la Figura 6 se ha visto que la componente longitudinal R p
-151-
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está en fase con E p para ángulos de incidencia inferiores al de
Brewster; para i esta componente vale cero, y para valores superiores
está en oposición de fase respecto de la componente E p del rayo
incidente. Por el contrario, la fase de la componente transversal Rs
está a 180º de la incidente para cualquier ángulo de incidencia.
Por lo que respecta al estado de polarización, la radiación
reflejada estará linealmente polarizada para cualquier incidencia,
puesto que las componentes R s y R p, o están en fase o están en
oposición de fase (δ=0º o δ=180º), y la composición de ambas es un
caso particular de polarización elítpica, que se convierte en lineal.
Analicemos el azimut
del plano de polarización en
las dos zonas de indicencia
(inferior y superior al ángulo
de Brewster) y los casos
especiales
de
incidencia
rasante, normal y para el
ángulo i .
a)
Para
i=0º
(incidencia
normal): el valor positivo de
R s se toma hacia la derecha
porque está en oposición de
fase respecto de E s, mientras
que el valor positivo de R p se
toma en el mismo sentido que
E p porque están en fase. Los
módulos de los vectores de
las amplitudes reflejadas son
menores
que
los
de
la
Figura 7
-152-
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incidente, de acuerdo con las expresiones antes deducidas. Como los
valores absolutos de las amplitudes reflejadas son iguales, su
composición nos dará un rayo linealmente polarizado con el plano a
un azimut ϕ=-45º.
b) En la zona entre el supuesto anterior y el ángulo i la posición de las
componentes transversal y longitudinal del rayo reflejado son como
en el caso anterior, pero el valor absoluto de Rs es mayor, mientras
que el de R p es menor (va disminuyendo hacia el ángulo de incidencia
i ). Ello da como resultante un rayo linealmente polarizado, pero con
un azimut disminuye a medida que el ángulo de incidencia se acerca
a i.
c) Para incidencia en el ángulo de Brewster, la componente R p se
anula, por lo tanto sólo existe la componente transversal R s en
oposicón de fase con E s. La luz está linealmente polarizada según R s,
y su plano está a azimut 0º.
d) Si el ángulo de incidencia es superior a i , las dos componentes R s
y R p están en oposición de fase respecto de las componentes del rayo
incidente. El valor absoluto de R p es menor, aunque va creciendo con
el ángulo de incidencia. Como las dos componentes están en fase, su
composición da como resultante una luz linealmente polarizada, y el
ángulo de azimut será positivo, y creciente con el ángulo de
incidencia.
e) Para el caso de incidencia rasante (i=90º), los valores absolutos de
R p y R s valen la unidad, aunque ambos están en oposición de fase con
las respectivas componentes del rayo incidente. Su composición es
una onda linelamente polarizada, con un azimut de 45º.
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8.4. Haz reflejado (reflexión interna)
A continuación se considera el caso de la reflexión
interna, es decir cuando el rayo pasa de un medio de
índice de refracción n 2 a otro de índice n 1, de modo que
n 2>n 1 (Figura 8). Se considera la reflexión interna
separadamente de la externa porque, a diferencia de éste,
existen dos ángulos especiales, el ángulo de Brewster ( i )
Figura 8
y el ángulo límite ic .
Relaciones de amplitud
Son las mismas relaciones que para la reflexión externa,
aunque hay que tener presente que el ángulo de refracción es mayor
que el de incidencia, de acuerdo con lo previsto por la ley de Snell.
Por tanto, como antes,
ORs − sen (i − r )
=
OEs
sen (i + r )
;
ORp
OE p
=
+ tag (i − r )
tag (i + r )
aunque en este caso, siendo (ir)<0, el numerador [-sen(i-r)] de
la expresión de la componente
transversal s es positivo; y como
tag(i-r)<0 el numerador de la
expresión de la componente
longitudinal es negativo.
El
componente
valor
de
la
longitudinal
Rp
crece hasta alcanzar el valor
cero para el ángulo de Brewster,
Figura 9
en que ( i + r = 90º ) y la
-154-
ÓPTICA CRISTALINA
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tangente de 90º adquiere valor infinito en el denominador. Por tanto,
la radiación reflejada está linealmente polarizada siguiendo la
componente transversal, puesto que la longitudinal se anula.
Para ángulos superiores a i sigue creciendo (ahora con valores
positivos) hasta la unidad para el ángulo límite o valores superiores,
en el que r=90º, entonces,
ORp
OE p
=
+ tag (i − 90)
=1
tag (i + 90)
Los valores de la componente transversal R s se mantienen
positivos para ángulos superiores a cero, y crece hasta la unidad para
el ángulo límite o valores superiores del ángulo de incidencia,
ORs − sen (i − 90)
=
=1
OEs
sen (i + 90)
Relaciones de fase y estado de polarización
Como r>i, las relaciones de fase son inversas a las que se
hallaron para la reflexión externa: para ángulos de incidencia
pequeños, la fase de la componente
longitudinal R p es de signo opuesto a la de
E p, hasta llegar al ángulo i , donde se anula.
A partir de aquí, y hasta el ángulo límite,
está en fase con la componente incidente.
Por su parte, la componente transversal
reflejada Rs está en fase con Es para todos
los ángulos de incidencia menores que ic .
Para
Figure 10
ángulos
de
incidencia
superiores al límite, la diferencia de fase
-155-
ÓPTICA CRISTALINA
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entre las componentes reflejadas y las respectivas incidentes adopta
valores intermedios entre 0º y 180º, de modo que va creciendo desde
0º para i=i c hasta 180º para i=90º. En la Figura 10 se ha representado
el estado de fase de las dos componentes para todos los ángulos de
incidencia, y en gris la diferencia de fase entre las componentes p y s.
Por lo tanto, el estado de polarización de la luz internamente
reflejada para ángulos de incidencia superiores al límite, es
elípticamente polarizada, puesto que la diferencia de fase entre las dos
ondas es un valor variable entre 0º y 180º.
Para la zona de ángulos de incidencia inferiores al límite, se
pueden considerar los siguientes casos:
a) Para i < i , entre la incidencia normal y el ángulo de Brewster, R s
está en fase con Es, mientras que R p está en oposición de fase con R s.
La diferencia de fase entre ambas es 180º, por tanto se componen
dando lugar a una onda linealmente polarizada, con un azimut como
el que se marca en la Figura 11, que variará con el ángulo de
incidencia porque los valores absolutos de las dos componentes
reflejadas también lo hacen.
b) Para la incidencia en el ángulo de Brewster (i c), la componente R p
se anula, por tanto la luz está linealmente polarizada en la dirección
de R s.
c)
En
la
comprendida
región
entre
el
ángulo de Brewster y el
ángulo límite, i < i < ic ,
Figura 11
las
dos
componentes
-156-
ÓPTICA CRISTALINA
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están en fase con las respectivas componentes incidentes, por tanto su
composición da lugar a una onda linealmente polarizada. Los valores
de R s y R p crecen, aunque como R p parte de cero, la inclinación
(azimut) del ángulo de polarización de la luz reflejada adquiere
valores crecientes desde R s (ϕ=0º) hasta ϕ=45º para el ángulo límite.
8.5. Transmitancia y reflectancia
Como se ha evaluado anteriormente, la suma de las amplitudes
transmitida y reflejada vale la unidad. Como la intensidad es
proporcional al cuadrado de la amplitud, la suma de las intensidades
reflejada y transmitida no es igual a la intensidad incidente, Es decir
que, aparentemente,
I0 ≠ I R + IT
No obstante, la constatación experimental desmiente esta
afirmación. La razón hay que buscarla en que lo que se mide
experimentalmente no es exactamente la intensidad luminosa, sino el
flujo de luz que llega al equipo detector, normalmente un
fotomultiplicador.
Desarrollando un poco esta idea, se
puede imaginar un caso como el que se
expone en la Figura 12, en la que un flujo
luminoso ilumina una superficie circular A
sobre un medio dieléctrico de índice de
refracción n 2.
La energía viaja en la dirección del vector de
Poynting
r
r r
S = c 2ε 0 ( E × H )
Figura 12
y la densidad de luz (el flujo luminoso o
-157-
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irradiancia) en el vacío vale
I=
cε 0 2
E
2 0
(3)
En la disposición que muestra la Figura 12, I 0, IR e IT son las
densidades de flujo de las radiaciones incidente, reflejada y
transmitida, respectivamente. Las secciones de cada haz valen,
A cos i ;
A cos i ;
A cos r
por tanto, la energía por unidad de tiempo (la potencia) que llega a la
superficie A es
I 0 A cosi
y las que abandonan A (los haces reflejado y transmitido -refractado-)
I R A cos i
, I T A cos r
La reflectancia R es la relación entre el flujo incidente y el
reflejado:
I R cos i I R v1ε1 ER2 / 2  E R 
R=
=
=
=

I0 cos i IT v1ε1 E02 / 2  E0 
2
Igualmente, la transmitancia es la relación entre los flujos transmitido
e incidente
I T cos r I R v2ε 2 ET2 / 2  ET 
T=
=
=
= 
I 0 cos i I T v1ε1 E02 / 2  E0 
2
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ε , y v = c n , substituyendo
según la relación de Maxwell n =
queda
n2 cos r  ET 
T=


n1 cos i  E0 
2
hay que recordar que para incidencia normal, i=0º, cos 0º=1.
En la expresión de T se incorpora el término
n2 cos r
por dos
n1 cos i
razones: a) los índices no son iguales y, por tanto, la energía se
propaga a velocidades distintas en ambos medios; y b) las secciones
transversales no son iguales porque el ángulo de incidencia es distinto
del de refracción. En términos de conservación de la energía:
I 0 A cos i = I R A cos i + I T A cos r
y substituyendo I por el valor expresado en (3) y aplicando la relación
de Maxwell
n1 E02 cos i = n1 E R2 cos i + n2 ET2 cos r
2
dividiendo esta expresión por (n1 E0 cos i ) queda
2
2
E 
n cos r  ET 
1=  R  + 2


n1 cos i  E0  , es decir
 E0 
1=
R
+
T
lo que prueba que, realmente, la suma de la transmitancia y la
reflectacia vale la unidad.
Es conveniente utilizar las componentes longitudinal y
transversal, como se ha venido haciendo en todas las deducciones, por
tanto,
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2
n2 cos r  ETs 
n2 cos r
Ts =

 ; Tp =
n1 cos i  E0 s 
n1 cos i
 ETp 


 E0 p 
2
-160-