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MATEMÁTICA 2
Cristina Ochoviet / Fabián Vitabar
MATEMÁTICA 2
Cristina Ochoviet / Fabián Vitabar
© 2014 Cristina Ochoviet y Fabián Vitabar
Diseño y diagramación
Juan Manuel Díaz
Ilustración
Jorge Faruelo
© 2014 Losa Libros Ltda.
Colonia 1551/53
CP 11200 Montevideo, Uruguay
Tel.: 2 401 2905 - 2 401 8587
[email protected]
www.losa.com.uy
ISBN 978-9974-98-908-5
Presentación
Este libro fue pensando para ayudarte en tu proceso de
estudio de la Matemática. Los contenidos se presentan
organizados en los distintos capítulos y responden a los
temas presentes en el programa vigente para segundo
año de Ciclo Básico.
Cada capítulo se inicia planteando actividades, preguntas, desafíos o juegos que
pretenden, por un lado, recuperar lo que ya sabes de cursos anteriores y, por otro,
presentarte reflexiones relevantes para el desarrollo del tema que se inicia.
Las actividades presentes en el texto te permiten trabajar en forma individual, en
pequeños equipos o también con todo el grupo guiado por el docente. Algunas se realizan
en el cuaderno, otras con la ayuda de la computadora y a veces te será necesario construir
material concreto ya sea para jugar o para elaborar modelos matemáticos. En estos
últimos casos todo lo necesario está en el libro, pronto para recortar y armar aunque
seguramente deberás tener a mano los útiles necesarios.
Sobre el final de cada capítulo encontrarás una sección de desafíos o acertijos no
necesariamente relacionados con el tema abordado en él. Deberás desplegar toda tu
creatividad para afrontar los retos planteados.
Finalmente, cierra cada capítulo una sección de actividades en la que se te presentan
situaciones problemáticas a resolver, aprovechando todo lo estudiado. Las actividades
seleccionadas jerarquizan la comprensión de los conceptos evitando su aplicación
desprovista de sentido.
Notarás que al intentar resolver algunas de las situaciones que se te plantean la
información dada es insuficiente. En estos casos tendrás que investigar por tu cuenta y
complementar los elementos dados. Es posible que tus compañeros lleguen a respuestas
diferentes a la tuya. Lo importante no es arribar a una respuesta única sino que cada uno
ofrezca una afirmación bien fundamentada. Esto, sin dudas, dará lugar a debates entre los
integrantes del grupo que resultarán muy valiosos para todos.
En este camino de aprender matemática será muy importante el acompañamiento de tu
docente. Él será quien te oriente y ayude.
Esperamos que este libro te guste mucho y, sobre todo, que a través de él desarrolles el
gusto por la Matemática.
Cristina y Fabián
Iconografía
En este libro encontrarás diversos íconos que te indicarán la forma en que
están organizados los contenidos.
Este ícono indica una actividad que te será útil como punto de partida
para comprender conceptos, para ampliar tu mirada sobre ellos, para
establecer relaciones con otros temas o para plantear nuevas preguntas
que te permitirán profundizar en lo ya estudiado.
Este ícono indica una actividad para realizar con computadora.
En el libro encontrarás la consigna de trabajo e ingresando en
www.losa.com.uy/ediciones/matematica2
podrás interactuar con distintos applets que te ayudarán a explorar
diversos problemas y extraer conclusiones que contribuirán a la
construcción de los conceptos que estás aprendiendo.
Este ícono indica que se plantea una actividad, se presenta luego un
posible abordaje de ella y se arriba a una conclusión.
Este ícono indica que se presenta una síntesis de los conceptos o
procedimientos trabajados previamente. Se trata de información
importante para recordar o tener en cuenta más adelante.
Este ícono indica que se
presenta información
ampliatoria o complementaria
al contenido que se está
desarrollando.
8
capítulo 1
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Observa las siguientes igualdades y
completa la última usando el mismo
criterio.
En este caso, cada tramo está formado por cinco listones
de madera colocados horizontalmente y dos en forma
vertical.
Completa la tabla:
Número de
tramos
Número de
listones de
madera
1
7
4
4
5
5
a. ¿Cuántos listones de madera tendrá una cerca de doce
tramos?
b. ¿Y una de 20?
c. Explica con tus palabras cómo averiguas la cantidad de
listones conociendo el número de tramos de cerca.
d. Diseña una expresión que te permita obtener la cantidad
de listones de maderas conociendo la cantidad x de tramos.
2
2
=
3+2
2
2
=
4+3
2
2
= 5+ 4
= _____
3 −2
4 −3
5 −4
_____
Si ☺ representa un número natural
cualquiera entonces ☺+1 representa
su siguiente. Por ejemplo, si ☺
representa el cinco entonces ☺+1
representa el seis. El uso de un
símbolo para representar un número
natural cualquiera y su siguiente
resulta útil para expresar en forma
genérica lo que está escrito en el
primer miembro de cada igualdad,
porque como habrás observado las
bases de las potencias son números
naturales consecutivos:
(☺ + 1)2 - ☺2
Completa ahora con la expresión que
corresponde al segundo miembro de
la igualdad.
(☺ + 1)2 - ☺2 = ___________
Derechos registrados © Losa Ediciones
Es habitual que se utilicen cercas para delimitar una
parcela de campo.
9
Ya conoces bien la fórmula para calcular el Completa la siguiente tabla:
área de un triángulo porque la has utilizado
en muchas oportunidades. El área de un
b
5 0,5 3
triángulo es igual a la mitad del producto
de la medida de uno de sus lados por la
h 7,8 6,2
4
medida de su altura respectiva.
En símbolos:
b×h
Á=
2
A´
27
36 10,2
Cada imagen representa un número. Averígualo de forma que sean correctas todas las
operaciones planteadas.
+
:
=
=
+
=
:
=
( - )·( -
=
)=
10
Capítulo 1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Expresiones algebraicas
María José va a festejar su cumpleaños y desea decorar la mesa de
tortas.
Se decide por un arreglo de magdalenas por una razón muy particular: si
suma la cantidad de magdalenas de todas las bandejas
del arreglo obtiene exactamente la edad que cumplirá.
En cada bandeja siempre hay un número impar de magdalenas.
En la superior se coloca una, en la siguiente tres, luego cinco y así
sucesivamente.
a. ¿Cuántos años crees que cumple María José?
b. Completa la siguiente tabla:
Número de
bandejas
Número total de
magdalenas
1
1
2
1+3=4
3
1+3+5=9
4
1+3+5+7=
5
6
7
c. ¿Podría María José estar cumpliendo 60 años? ¿Por qué?
d. Expresa con tus palabras cuáles son las edades que podría cumplir
María José de acuerdo al criterio utilizado.
e. Si un arreglo tuviera nueve bandejas, ¿cuántas magdalenas habría en
total?
g. Si a representa el número de bandejas, ¿cómo expresas el número de
magdalenas que tiene el arreglo?
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f. ¿Cómo puedes calcular el número total de magdalenas conociendo el
número de bandejas y sin hacer una suma?
11
Los siguientes mosaicos decorativos están hechos con pequeños
azulejos cuadrados de color rojo y turquesa.
Figura 1
Figura 2
Figura 3
a. Describe con tus palabras cómo está construida cada figura.
b. Explica cómo sería la cuarta figura.
c. Completa la siguiente tabla.
Figura
Número de
azulejos rojos
Número de
azulejos turquesas
Número de
azulejos totales
1
6
2
8
d. ¿Cómo puedes expresar la cantidad total de azulejos que contendrá la
figura que ocupa el lugar t en la fila de mosaicos?
Abre el applet 1.1. La clase se dividirá en grupos. Cada grupo mirará y
analizará una sola de las animaciones según se la asigne su profesor.
Cada animación muestra cómo obtener la siguiente figura formada por
cuadrados a partir de fósforos:
a. Luego de analizar la animación que les tocó mirar, expliquen con sus
palabras cómo se generó la figura.
b. A continuación elaboren una fórmula que permita obtener la cantidad de
fósforos necesarios para armar una figura de n cantidad de cuadrados.
Capítulo 1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
En las actividades anteriores utilizaste expresiones algebraicas con diferentes
objetivos: para expresar regularidades, para modelizar la relación entre dos
cantidades que varían, para establecer diferentes relaciones numéricas.
En esta sección nos abocaremos al estudio de las expresiones algebraicas
denominadas polinomios, como por ejemplo:
2 × t2 + 6
2
a
3 × n +1
6 × x +1
El polinomio 6 × x + 1 tiene variable x. Esta variable representa un número. En
el caso del problema que generó esta expresión, que es el referido al número
de listones de madera para construir una cerca, x representa un número
natural. Si x = 1 entonces la expresión algebraica 6 × x + 1 toma valor numérico 7
ya que 6 × 1+ 1= 7, esto es, la cantidad de listones de la siguiente valla:
Si x = 3, el polinomio 6 × x + 1 toma valor numérico 19 pues 6 × 3 + 1 =19.
En este caso la valla correspondiente es la siguiente:
¿Para qué valor de x se obtiene una valla fabricada con 103 listones?
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12
13
Monomios semejantes
El volumen V de un cubo de arista a está dado, como ya sabes, por la
expresión a 3. ¿Cómo expresas el volumen de las siguientes pilas de
cubos?
a
a
V = a3
a
Pila A
Pila B
Pila C
La pila A de cubos tiene volumen 2 × a 3, la pila B tiene volumen 3 × a 3 y la
pila C, 5 × a 3. Estas expresiones algebraicas se denominan, particularmente,
monomios. En un monomio distinguimos coeficiente y parte literal:
5 × a3
COEFICIENTE
PARTE LITERAL
En este problema, todos los monomios que expresan el volumen de estas
pilas de cubos son monomios semejantes pues todos tienen la misma parte
literal. Esto es, la misma variable con el mismo exponente.
2 × a3
a3
3 × a3
MONOMIOS SEMEJANTES
5 × a3
Capítulo 1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Cuando escribimos un monomio, se suele utilizar otro símbolo para expresar
la multiplicación: un punto, y es muy habitual no explicitar siquiera este punto
y escribir simplemente:
2a 3
a3
3a 3
5a 3
El monomio a 3 tiene coeficiente 1. Habitualmente, el coeficiente 1 se omite,
esto es:
1⋅ a 3 = a 3
4
Un profesor preguntó a sus estudiantes si los monomios −7 × m y
1,2 × a 4 son semejantes.
Mateo contestó que lo son pues la variable tiene, en ambas expresiones,
el mismo exponente.
Candelaria opinó que no son semejantes pues tienen distinta variable si
bien el exponente es el mismo.
¿Quién tiene razón?
En ambos monomios la variable aparece con exponente 4 pero para que los
monomios sean semejantes eso no es suficiente. Deben tener además, la
misma variable. Las partes literales no son iguales y en consecuencia, estos
monomios no son semejantes. Candelaria tiene razón.
Manuel perdió su llave. Ayúdalo a encontrar el camino de monomios
semejantes que le permitirá llegar a ella. Se entra por una casilla de la
primera fila y se sale por una casilla de la última fila.
3x
3x 2
-7x
-3x
5x
2
0,1 x
2
-10z 2 6,3 z
2
14 x
2
-x
2
14 y 2 7,3 x 2
-y 2
-z
2
-y
0,1 z
2
0,1 z
2
4z
z
2
-9z
x
2
23 x
-7,3x -5z 2
9x
4
2
2
4z
2
9,4 z
8z
2
8y
2
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14
15
Abre el applet 1.2. En cada caja solamente pueden guardarse
monomios semejantes entre sí. Arrastra cada monomio a la caja que le
corresponde. Deja afuera solamente a los que no sea posible ubicar en
alguna caja.
Reducción de monomios semejantes
En la siguiente figura puedes observar dos pilas formadas por cubos
iguales: la pila A y la pila B.
a. Si formamos una nueva pila colocando una sobre otra, ¿cómo
expresas el volumen de la nueva pila de cubos?
b. ¿Cómo puedes expresar el área de la superficie de un cubito? ¿Y el
área de la superficie de la nueva pila?
c. ¿Es cierto que el área de la superficie de la nueva pila es la suma de
las áreas de las pilas A y B?
x
x
x
Pila B
Pila A
El volumen de la pila A puede expresarse como 3 x 3 y el volumen de la pila B
como 4 x 3 o sea que la nueva pila tiene volumen 7 x 3. Para obtener una fórmula
para el volumen de la nueva pila planteamos:
3x 3 + 4 x 3
Ahora bien, en esta expresión podemos extraer factor común x 3 y llegar a que:
3 x 3 + 4 x 3 = (3 + 4) x 3 = 7 x 3
En síntesis:
3x 3 + 4 x 3 = 7 x 3
Esto puede visualizarse en la ilustración.
Recuerda que:
3x 3 = 3 ⋅ x 3 = 3 × x 3
Capítulo 1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Observa que hemos sumado dos monomios semejantes y hemos obtenido
otro monomio semejante a ellos. A este proceso lo denominamos
habitualmente reducir monomios semejantes.
Para abordar la parte b, recordemos que el área de la superficie de un cubo de
arista x es igual a la suma de las áreas de cada cara. Como la superficie de un
cubo está formada por seis cuadrados de área x 2, tenemos que el área de la
superficie de cada cubito es 6 x 2 .
x2
x
x
x2
x2
x2
x2
x
x2
Á = 6x2
La superficie de la nueva pila está formada por treinta cuadrados, cada uno de
ellos de área x 2, de forma que el área de la superficie de la nueva pila es 30x 2.
Para abordar la pregunta c, expresemos en primer lugar el área de la
superficie de las pilas A y B:
Á (Pila A) = 14 x 2
Á (Pila B) = 18 x 2
Ahora sumamos ambas expresiones y como los monomios son semejantes
podemos reducir:
14 x 2 + 18 x 2 = 32 x 2
Concluimos que el área de la superficie de la nueva pila no es igual a la suma
de las áreas de las pilas A y B.
¿Cómo puedes explicar esta última conclusión sin recurrir a las
expresiones algebraicas?
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16
17
Adición de polinomios
Completa con un monomio en cada recuadro para que los polinomios
sean iguales en cada caso:
a. 4 x 2 +
− 7x + 2 = 9x2 − 7x + 2
b. − 8 x 3 +
+ 4x2 +
− 16 x + 0,1 = x 3 + 5 x 2 − 16 x + 0,1
c. − 7 x 2 − 18 x − 12 +
= 0 x 2 − 18 x − 12
d. − 5 x 2 + 7 x − 1 +
+
+
= 0x2 + 0x + 0
La suma de dos polinomios es otro polinomio. A continuación te explicaremos
2
2
cómo hallar el polinomio suma de 4 x − x + 3 y 9 x − 7 x − 1.
Planteamos la adición con sus dos sumandos; luego suprimimos paréntesis e
identificamos monomios semejantes con un mismo color para luego reducir:
( 4x
2
) (
)
− x + 3 + 9 x 2 − 7 x − 1 = 4 x 2 − x + 3 + 9 x 2 − 7 x − 1 = 13 x 2 − 8 x + 2
POLINOMIOS
SUMANDOS
POLINOMIO
SUMA
En el caso d de la actividad anterior, seguramente analizaste que para obtener
el polinomio 0 x 2 + 0 x + 0 debías completar los recuadros con monomios
opuestos a los dados. Por ejemplo:
−5 x 2 + 7 x − 1 + 5 x 2 + − 7 x + 1 = 0 x 2 + 0 x + 0
Los polinomios −5 x 2 + 7 x − 1 y 5 x 2 − 7 x + 1 son polinomios opuestos porque
su suma es un polinomio que tiene todos sus coeficientes cero. Este último
polinomio recibe el nombre de polinomio nulo. Usualmente lo planteamos así:
( −5 x 2 + 7 x − 1) + (5 x 2 − 7 x + 1) = 0
18
Capítulo 1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
a. Los polinomios 7m3 − 5m y −7 x 3 + 5 x , ¿son polinomios opuestos?
¿Por qué?
2
b. −a − 0,1a + 3 y
respuesta.
, ¿son polinomios opuestos? Explica tu
Sopa de monomios
En la siguiente sopa de monomios Bruno circuló con un mismo color dos
polinomios y su suma.
−2 x
+ 9x 2
−5 x 2
+ 3x
− 11
+2x
+x
+ x2
+1
+5 x 2
+ x4
−7 x 2
+8
+ 10 x
− 21 x 2
+ x3
+ 5x2
+3 x 3
−3 x
+4x
+x
−6x
+ 10 x 2
−x
−8 x
−7x2
−7 x
+ 11
+ x2
+9 x
+
0
+ 19
+7x2
+6 x
−2x2
−1
− 12 x
+8
+9
+6 x
− x4
−5
+ 17
+1 x
+5
+ 5x
3
0,3 x
2,1 x
−x
3
+4 x
1
4
+ 0,25
− 35
+6x
− x2
+7 x
−
1
2
3
−x
3
+8x
+8
a. ¿Es correcto el trabajo que
hizo?
b. Completa las casillas en
blanco con los monomios que
correspondan de acuerdo al
criterio de colores utilizado por
Bruno.
c. Compara con tus
compañeros la forma en que
completaste las casillas en
blanco. ¿Todos lo hicieron de la
misma manera?
Trabajaremos con un rectángulo de lados variables como se muestra en
la siguiente figura:
a. Dibuja los tres rectángulos que se obtienen asignando a la variable x
tres valores distintos.
m
b. ¿Cuál de los siguientes enunciados describe a este rectángulo de
lados variables?
• El ancho es igual a la mitad del largo.
• El largo es igual al doble del ancho más uno.
• El ancho es igual a la mitad del largo menos uno.
c. Indica cuáles de las siguientes expresiones algebraicas representan el
perímetro del rectángulo.
i. s
ii. 8m + 2
iii. 10m
iv. m + m + 3m + 1+ 3m + 1
v. 4m + 1+ 4m + 1
vi. m + 3m + 1
d. ¿Para qué valor de m el perímetro es 86?
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3m + 1
19
Sustracción de polinomios
Para restar dos polinomios, le sumamos al minuendo el opuesto del polinomio
sustraendo tal como lo podemos ver en el siguiente ejemplo.
MINUENDO
(3 x
2
MINUENDO
) (
+ x − 4 − x3 + 3x2
)
(3 x
=
2
DIFERENCIA
) (
+ x − 4 + − x 3 − 3 x2
SUSTRAENDO
)
= − x3 + x − 4
OPUESTO DEL
SUSTRAENDO
Inventa dos polinomios cuya diferencia sea 3x 2 − 9x + 10.
Asocia cada resta con el polinomio que falta.
⎞
⎟
⎠
⎛
1. ⎜
⎝
2.
( 4x
3
)
− 2x + 1
( − x + 18)
−
4.
(7x
−
)
−4
⎞
⎟
⎠
⎛
− ⎜
⎝
3.
2
( 5 x − 1)
−
(x
⎛
⎜
⎝
2
)
− 12 x + 1
=
−x+4
a.
5x2 + 2 x − 1
=
− x2 − 4x + 2
b.
7x2 − 4
c. − x 2 + 11 x + 17
=
⎞
⎟
⎠
=
0
d.
4x + 3
Capítulo 1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Multiplicación de polinomios
Este juego requiere la participación de dos jugadores. En primer lugar
deberás recortar todas las fichas hexagonales de la página de al lado.
Se seleccionan seis fichas verdes al azar y se colocan sobre el tablero
en la franja de partida. Se reparten a cada jugador cinco fichas celestes.
El juego consiste en ir completando por turnos la red de forma que
cada monomio rojo sea el producto de los dos monomios en negro que
quedan debajo de él. Si no se puede colocar ninguna ficha celeste, se
toma una del mazo y pasa el turno al compañero. Gana quien se queda
sin ninguna ficha o el que se queda con menor cantidad de fichas luego
de completar el tablero de juego.
Desafío: Armar un puzzle
¿Pueden completar un tablero cuya franja de partida tenga nueve fichas
verdes? Recuerda que cada monomio rojo debe ser el producto de los
dos monomios en negro que estén debajo de él.
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21
x2
-3x2
x2
x
4x4
-2x
3x2
2x2
x
-x4
-2x4
-x4
-4x2
3x5
-4x
6x3
-x7
-2x3
-2x5
-2x3
-3x2
3x2
x
-x4
-2x
2x2
2x
3x2
6x3
-x4
2x
-2x8
-2x
2x4
3x2
2x4
-4x3
-x4
x3
-4x
2x
-4x
-2x3
-12x3
2x
2x4
-2x6
-x5
x3
2x4
6x4
3x3
3x6
-2x3
-4x5
2x4
2x
-9x4
-4x
2x4
-2x2
x3
-x4
x2
x3
x3
3x2
6x6
x
-3x2 -2x3
2x2
-2x
-3x4
-4x5
x
-3x2 -4x
2x2
2x
-2x4
x3
-2x
2x6
2x3
-3x2
-2x3
2x2
x2
6x5
-4x7
x
x5
-4x
-2x
-4x4
-3x2 3x2
x3
x2
8x5
x
-2x6
-x4
2x2
8x2
-3x2 -2x
3x2
x2
-2x3
2x4
8x3
4x2
x
-2x
x3
-4x
x3
-x4
2x
-3x2
-2x3
x
-x4
x3
-4x
2x4
Capítulo 1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
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22
23
Veamos ahora cómo hallar el producto de un monomio por un polinomio.
Aplicamos la propiedad distributiva y obtenemos el polinomio producto.
(
)
2 x 3 x2 − 5x − 9
FACTORES
= 6 x 3 − 10x 2 − 18x
PRODUCTO
Como habrás observado, para obtener el producto aplicamos la propiedad
distributiva.
Multipliquemos ahora dos polinomios. Para ello multiplicamos cada término
del primer polinomio por cada uno del segundo. Luego identificamos términos
semejantes y reducimos. Finalmente escribimos el polinomio ordenado según
potencias decrecientes de base x.
( − x + x 2 )( 2x + 3 ) = − x( 2x + 3 ) + x 2 ( 2x + 3 ) = −2x 2 − 3x + 2x 3 + 3x 2 = 2x 3 + x 2 − 3x
Se desea instalar una piscina de fibra de vidrio de 2,2 m de profundidad
pero aún no se han definido largo y ancho. Sí se sabe que el largo será de
2 m más que el ancho tal como se modela en la siguiente figura.
x
x+2
2,2 m
a. Indica cuáles dimensiones (largo, ancho, profundidad), expresadas en
metros, se adecuan al modelo proyectado.
i. 8; 6; 2,2
ii. 5,3; 3,3; 2,2
iii. 6,4; 6,2; 2,2
iv. 4,2; 2,2; 2,2
b. Deduce una fórmula que exprese el volumen de esta piscina en
función de x.
c. Después de instalada la piscina se decide pintar todas las paredes
laterales con color verde agua. La pintura para fibra de vidrio tiene un
rendimiento de 5 m2/l. Si se utilizaron 44 litros de pintura para cubrir
con una mano los cuatro laterales, ¿cuál fue el valor de x que se decidió
utilizar finalmente para construir la piscina?
24
Capítulo 1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Ecuaciones
En este capítulo te enfrentaste a la resolución de ecuaciones para dar
respuesta a algunos problemas que se plantearon.
En el caso del problema de las vallas, seguramente planteaste que si el
número de listones era 103, debías averiguar para qué valor de la variable x
se cumplía que 6 x + 1= 103 . Esta expresión recibe el nombre de ecuación. En
ella la variable x representa un número real y recibe también el nombre de
incógnita.
En una ecuación identificamos dos miembros vinculados a través de un signo
de igualdad como puedes ver a continuación:
INCÓGNITA
6 x + 1 = 103
PRIMER
MIEMBRO
SEGUNDO
MIEMBRO
Habrás llegado a que con 103 listones es posible construir 17 tramos. 17 se
llama solución o raíz de la ecuación porque 6 ⋅17 + 1= 103 . Por ejemplo, el
número 25 no es solución porque 6 ⋅ 25 + 1≠ 103
Ahora bien, si tenemos una ecuación, ¿cómo podemos averiguar su solución?
Te enseñaremos un método muy antiguo empleado por los hindúes. Estos
lo llamaban método de inversión para resolver ecuaciones y consiste en
“desandar lo andado”, o sea realizar todas las operaciones en orden inverso.
Aryabhata (476 d. C.) lo explicaba así:
La multiplicación se convierte en división; la división en multiplicación; lo
que era beneficio se convierte en pérdida; lo que era pérdida se convierte
en ganancia.
Extraído de Historia de las matemáticas de Vicente Meavilla Seguí
Te mostraremos a continuación cómo aplicarlo para resolver la ecuación:
6 x + 1= 103
La ecuación nos dice que un número llamado x se multiplica por 6, al resultado
se le suma 1 y se obtiene 103.
El camino inverso a realizar consiste en partir de 103, restar 1 y dividir entre 6.
Te lo mostramos en el siguiente esquema:
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Solución significa
`el acto de desatar´,
`deshacer´, `desenredar´,
`desembarazar´. Es el acto
de eliminar el problema.
Proviene del sustantivo latino
solutio, derivado del verbo
sólvere que significa `soltar´,
`deshacer´, `desatar´,
`librar´, `desenvolver´.
CAM
INO
25
CTO
RE
I
D
6x + 1 =
103
sumar 1
restar 1
= 102
dividir entre 6
x
=
17
CAMINO
I
N
VE
RS
O
6x
multiplicar por 6
Si nos preguntan para qué valor de x se obtiene una valla fabricada con 74
listones planteamos la ecuación:
6 x + 1= 74
Para resolverla usamos el método de inversión:
6 x = 73
x=
73
6
La solución de la ecuación no es número natural y por lo tanto, podemos
afirmar que no existe un número de vallas que requiera exactamente 74
listones de madera.
Como ves, cuando utilizas una ecuación como medio para resolver un
problema es muy importante que analices si la solución de la ecuación brinda
una respuesta al problema acorde al contexto donde está planteado. En el caso
anterior, el número de listones debe ser necesariamente un número natural.
En el problema del rectángulo se pedía averiguar para qué valor de m el
perímetro es 86. Esto puede traducirse mediante la ecuación 8m + 2 = 86 .
Si aplicamos el método de inversión para resolver esta ecuación tendremos
que restar 2 a 86 y el resultado obtenido dividirlo entre 8. Esto es:
8m = 86 − 2
8m = 84
m=
84
8
m = 10,5
10,5 es la solución o raíz de la ecuación pues en efecto se verifica que
8 × 10,5 + 2 = 86 .
En épocas pasadas, cuando
el álgebra que utilizamos hoy
en día no existía como tal o
estaba dando sus primeros
y balbuceantes pasos, la
resolución de problemas
elementales de primer grado
(problemas de móviles, grifos,
relojes,…) fue atacada por
los matemáticos mediante
métodos aritméticos y
geométricos en los que no era
preciso utilizar ningún tipo de
simbolismo algebraico.
Extraído de Historia de las matemáticas
de Vicente Meavilla Seguí
Capítulo 1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Halla la solución de cada una de las siguientes ecuaciones por el método
de inversión. En cada caso la incógnita representa un número real.
a. x + 15 = 32
b. 14 = 5 x − 4
c. 4a + 7 = 107
d. 17c − 10 = 330
e. 26 = t − 56
f. 9v + 34 = 214
g. 20 x − 33 = 66
h. 349 = 29 + z
Te proponemos la resolución de algunos problemas expresados en
álgebra retórica. Esto es, en lenguaje verbal. En primer lugar traduce
cada enunciado mediante una ecuación (álgebra simbólica) y luego halla
su solución.
a. Encontrar un número tal que si se lo multiplica por ocho y se le suma
cuarenta y uno, se obtiene noventa y seis.
b. ¿Cuál es el número tal que si se lo divide entre cuatro y al resultado
obtenido se le suma cinco, da treinta y dos?
c. ¿Puedes decir cuál es el número tal que si se lo multiplica por cinco y
se le resta ciento nueve da como resultado cuarenta y uno?
El profesor mandó como tarea domiciliaria investigar si existe un número
entero x que cumpla que 4 x − 1= 10 .
Al otro día los alumnos presentaron sus respuestas. Una parte de la
clase afirmó que x es 2,75 y otro grupo dijo que el número buscado no
existe.
¿Qué grupo tiene razón?
Como ves, para decidir si un número es solución de una ecuación, es
fundamental tener en cuenta a qué conjunto númerico debe pertenecer.
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26
27
DESAFÍOS
Cinco de las figuras coloreadas completan el siguiente damero. ¿Cuáles son?
Averigua el área de la cruz sabiendo que cada número corresponde al área de la parte coloreada de azul.
10
10
4
Unidad de
superficie:
28
Capítulo 1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
ACTIVIDADES
Utilizando escarbadientes diseñamos la
siguiente secuencia de figuras. Cada pieza
tiene forma de “L” y se forma con ocho
escarbadientes.
Figura 1
Figura 2
Figura 3
a. ¿Cuántos escarbadientes se necesitan para formar la figura que está compuesta por cuatro piezas?
b. Completa la tabla.
Figura
Número de
piezas
Número de
escarbadientes
1
2
3
4
5
c. Deduce una expresión que permita obtener el número de escarbadientes a partir del número n de
piezas.
d. ¿Qué número de piezas se construye con 150 escarbadientes?
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1
29
2
Abre el applet 1.3. Visualizarás una cuadrícula y un cuadrilátero cuyos vértices son puntos de la trama.
Hay puntos rojos y puntos azules.
Mueve el cuadrilátero por uno de sus vértices y
observarás que algunos puntos cambian de color.
a. Ahora no muevas el cuadrilátero, déjalo en una
posición fija. ¿Qué puntos quedan pintados de
azul? ¿Y de rojo?
b. Completa la siguiente tabla cambiando el
cuadrilátero las veces que sea necesario.
Número de puntos azules
Número de puntos
interiores al cuadrilátero
Área del cuadrilátero
c. Deduce una fórmula que permita expresar el área de un
cuadrilátero en función del número de puntos rojos y azules.
d. Calcula el área del polígono de la figura.
3
Con la letra d se indica el precio en pesos de un pendrive de 8Gb y con la letra m el precio en pesos de uno
de 32Gb. Asocia cada enunciado con su traducción al lenguaje simbólico.
1. El precio de cuatro pendrives de 8Gb cada uno.
2. El precio de tres pendrives de 8Gb y dos de 32 Gb.
3. El dinero que te devuelven cuando compras dos
pendrive de 8Gb y pagas con un billete de 1000 pesos.
4. El dinero que te devuelven cuando compras una
unidad de cada tipo de pendrive y pagas con un billete
de 1000 pesos.
5. La diferencia entre el precio de ambos tipos de
pendrive.
a. 1000 − ( m + d )
b. ( m + d ) − 1000
c. 4d
d. m − d
e. 3d + 2m
f. 1000 − 2d
g. 1000 − d
h. 3m + 2d
Capítulo 1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
4
Sustituye 0 en 2x - 1 y anota el resultado en el casillero de su derecha. Sustituye este resultado en la
expresión siguiente y así sucesivamente. Si no te equivocas llegarás al tesoro de 5000 monedas de oro.
2x − 1
6x + 4
3( x + 3)
−
1
x +3
3
x
9
−( − x )
5 x 2 + 20
30 x − 1000
6 − x2
6,5 − x
4x − 5
5
Completa sumando monomios semejantes de adentro hacia fuera de acuerdo a la información que
se presenta en cada red. En la primera red hay un caso ya resuelto:
a
2
a
2
19 x
-a
x
2
-x -2x -3x
-37x
2
2,5 a
7a
2
2
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30
31
6
Completa la red partiendo del número que está dentro del triángulo y llega a la cima.
7x
3
1− x
x −5
2
7( x − 1)
−3 x
3x + 5
1−
1 − 2x
x −2
2( x + 1)
x
3
x −6
4
2x
3
Las actividades 4 y 6 fueron inspiradas en materiales desarrollados por el Departamento de Enseñanza de las Ciencias del Instituto
Científico Weizmann de Israel.
Capítulo 1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
7
Calcula de todas las formas posibles el área del rectángulo más grande.
x
a
a
a
a
a
a
x
8
Conecta aquellas expresiones algebraicas tales que luego de operar y reducir generan el mismo
polinomio.
2(3 x − 5) − (2 x 3 + 3 x − 1)
( x 2 + 2 x ) + ( −3 x 2 + 5 x + 7)
( x − 1)( x + 1) − ( x 3 + 7) + x 2
−(7 x 2 + 6 x + 10) − ( −6 x + 1)
−10 − 7 x 2 − 1
− x 3 − x 3 +2 x − 9 + x
− x 3 + 2x 2 − 7 −1
3x 2 − x 3 − 8 − x 2
x2 −1
( x − 3)( −5 x − 7)
−5 x 2 − 7 x + 15 x + 21
− x 2 + 9x − 2x + 7
−3( −5 x − 7) − 5 x 2 − 7 x
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32
33
9
Completa el crucigrama.
1
2
4
7
3
5
8
9
11
13
14
6
15
10
12
16
Horizontales
1. Una docena
3.
x = ....
5. x + 6 = 4 , x = ....
7. 40 + 5 = x + 2 , x = ....
9. El siguiente de 58.
11. Si le sumamos cuatro y dividimos el resultado entre 10, obtenemos el 3.
13. Es un cuadrado perfecto.
16. 7 x − 4 = 0 , x = ....
Verticales
1. Sus cifras suman 5.
11. x − 18 = 3 , x = ....
Capítulo 1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
MATEMÁTICA 2
Este libro constituye una ayuda en el proceso de estudio de la Matemática.
Los contenidos se presentan organizados en los distintos capítulos y
responden a los temas presentes en el programa vigente para segundo año de
Ciclo Básico.
Cada capítulo se inicia planteando actividades, preguntas, desafíos o juegos
que pretenden, por un lado, recuperar lo que el estudiante ya sabe de cursos
anteriores y, por otro, presentarle reflexiones relevantes para el desarrollo del
tema que se inicia.
Las actividades presentes en el texto permiten trabajar en forma individual,
en pequeños equipos o también con todo el grupo guiado por el docente.
Algunas se realizan en el cuaderno, otras con la ayuda de la computadora y
a veces será necesario construir material concreto ya sea para jugar o para
elaborar modelos matemáticos. En estos últimos casos todo lo necesario
está en el libro, pronto para recortar y armar.
Sobre el final de cada capítulo se presenta una sección de desafíos o acertijos
no necesariamente relacionados con el tema abordado en él. El estudiante
deberá desplegar toda su creatividad para afrontar los retos planteados.
Cierra cada capítulo una sección de actividades en la que se plantean
situaciones problemáticas a resolver, aprovechando todo lo estudiado.
Las actividades seleccionadas jerarquizan la comprensión de los conceptos
evitando su aplicación desprovista de sentido.
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