Tabla de Integrales

Tabla de Integrales
FORMAS BÁSICAS
Z
Z
u dv = u v −
1.
Z
u n du =
2.
Z
3.
Z
v du
u n +1
+C
n +1
8.
du
= ln u + C
u
9.
a u du =
16.
au
ln a
Z
14.
sec u du = ln | sec u + tan u | + C
Z
24.
Z
25.
Z
26.
a2
+ u 2 du
=
u
Zp
a2
Z
− u 2 du
Z p
33.
Z
38.
+C
 ‹
du
1
u
= tan−1
+C
2
+u
a
a
p
u2 −a2
=
 ‹
1
u
sec−1
+C
a
a
u +a 1
du
+C
=
ln
a 2 − u 2 2a u − a Z
u −a 1
du
+C
=
ln
u 2 − a 2 2a u + a a2 +u2
p
p
a2 −u2
Z
 ‹
up 2
a2
u
sin−1
+C
=
a −u2 +
2
2
a
 ‹
u 2 du
up 2
a2
u
sin−1
+C
=−
a −u2 +
p
2
2
a
2
2
a −u
p
Z
du
1 a + a2 −u2 35.
du = − ln p
+C
a u
u a2 −u2
Z
1 p 2
du
36.
=− 2
a −u2 +C
p
a u
u2 a2 −u2
Z
du
u
37.
+C
3/2 = p
a2 −u2
a2 a2 −u2
34.
 ‹
Šp
u € 2
a4
u
2u − a 2
a2 −u2 +
sin−1
+C
8
8
a
p
Z p
p
a2 −u2
a + a2 −u2 2
2
32.
du = a − u − a ln +C
u
u
u2
31.
‹
p
FORMAS QUE CONTIENEN
30.
u
a
p
a2 +u2 a2 +
ln u + a 2 + u 2 + C
2
2
p
p
Šp
u € 2
a4 a + 2u 2
a2 +u2 −
ln u + a 2 + u 2 + C
u 2 a 2 + u 2 du =
8
8
p
p
p
Z
p
a2 +u2
1 a2 +u2 +a du
a + a2 +u2 2
2
= − ln du = a + u − a ln 27.
p
+C
+C
u
u
a u
u a2 +u2
p
p
p
a2 +u2
a2 +u2
p
Z
du = −
+ ln u + a 2 + u 2 + C
2
u
u
a2 +u2
du
=
−
+C
28.
p
p
a 2u
du
u2 a2 +u2
= ln u + a 2 + u 2 + C
p
a2 +u2
Z
p
up 2
u
a2 du
u 2 du
=
ln u + a 2 + u 2 + C
+C
a +u2 −
29.
p
3/2 = p
2
2
a2 +u2
a2 +u2
a2 a2 +u2
Zp
23.
p
20.

Z
19.
cot u du = ln | sin u | + C
13.
FORMAS QUE CONTIENEN
Z
u
Z
= sin−1
du
18.
tan u du = ln | sec u | + C
12.
cos u du = sin u + C
22.
a2
Z
Z
+C
a2 −u2
Z
csc u cot u du = − csc u + C
11.
sin u du = − cos u + C
Z
du
p
17.
Z
21.
Z
sec u tan u du = sec u + C
10.
Z
7.
csc2 u du = − cot u + C
csc u du = ln | csc u − cot u | + C
Z
Z
6.
15.
Z
e u du = e u + C
5.
sec u du = tan u + C
Z
Z
4.
Z
2
a 2 − u 2 du =
 ‹
a2 −u2
1p 2
u
2 − sin−1
du
=
−
a
−
u
+C
u2
u
a
 ‹
€
Š3/2
Šp
u € 2
3a 4
u
a2 −u2
=−
2u − 5a 2
a2 −u2 +
sin−1
+C
8
8
a
www.aprendematematicas.org.mx
1/4
FORMAS QUE CONTIENEN
Z
Z
40.
Z
41.
Z
42.
Z
43.
u2 −a2
p
Šp
u € 2
a4 2a − a 2
u2 −a2 −
ln u + u 2 − a 2 + C
8
8
Z
p
p
p
u a2 up 2
a2 u 2 du
2
2
2
2
u − a du = −
=
u −a2 +
ln u + u − a + C
44.
ln u + u 2 − a 2 + C
p
2
2
2
2
2
2
u −a
p
 ‹
p
u2 −a2
a
p
du = u 2 − a 2 − a cos−1
+C
Z
u
u
u2 −a2
du
p
p
45.
=
+C
p
p
a 2u
u2 −a2
u2 −a2
u2 u2 −a2
2
2
du = −
+ ln u + u − a + C
u2
u
Z
p
u
du
du
2 − a 2 + C
=
ln
+
u
46.
+C
p
u
=− p
2 − a 2 3/2
2
2
2
u
u −a
a
u2 −a2
u2
39.
p
p
u 2 − a 2 du =
FORMAS QUE CONTIENEN a + b u
Z
47.
u du
1
= 2 (a + b u − a ln |a + b u |) + C
a +bu
b
Z
”
—
u 2 du
1
+ (a + b u )2 − 4a (a + b u ) + 2a 2 ln |a + b u | + C
=
2
a +bu
2b
Z
du
1 u 49.
= ln +C
u (a + b u ) a
a +bu Z
a +bu 1
b
du
+C
=
−
+
ln
50.
u 2 (a + b u )
au a2 u Z
a
u du
=
ln |a + b u | + C
51.
(a + b u )2 b 2
Z
a +bu a
1
du
+C
=
−
ln
52.
u (a + b u )2 a (a + b u ) a 2 u Z
1
a2
u 2 du
=
a
+
b
u
−
−
2a
ln
|a
+
b
u
|
+C
53.
(a + b u )2 b 3
a +bu
Z
p
2
54.
u a + b u du =
(3b u − 2a )(a + b u )3/2 + C
15b 2
Z
p
2
u du
(b u − 2a ) a + b u + C
=
55.
p
2
3b
a +bu
Z
2
Šp
u du
2 € 2
8a + 3b 2 u 2 − 4a b u
56.
=
a +bu +C
p
3
15b
a +bu
48.
p
p 1
a +bu − a 

 pa ln pa + b u + pa + C
du
=
57.
p
r

u a +bu 
a +bu
2

−1
tan
+C
p
−a
−a
Z p
Z
p
a +bu
du
58.
du = 2 a + b u + a
+C
p
u
u a +bu
Z p
Z
p
a +bu
a +bu b
du
59.
du
=
−
+C
+
p
u2
u
2 u a +bu

(a > 0)
Z
Z
un
60.
p
a + b u du =
2u n (a + b u )3/2
2n a
−
b (2n + 3)
b (2n + 3)
Z
(a < 0)
u n du
du + C
p
a +bu
Z
p
u n du
2n a
2u n a + b u
u n−1 du
−
=
+C
p
p
b (2n + 1)
b (2n + 1)
a +bu
a +bu
Z
Z
p
b (2n − 3)
du
a +bu
du
62.
=−
−
+C
p
p
a (n − 1)u n −1 2a (n − 1) u n−1 a + b u
u n a +bu
Z
61.
FORMAS TRIGONOMÉTRICAS
Z
63.
68.
1
1
u + sin(2u ) + C
2
4
69.
Z
cos2 u du =
64.
Z
1
1
sin u du = u − sin(2u ) + C
2
4
2
65.
Z
tan u du = tan u − u + C
70.
cot2 u du = cot u − u + C
71.
Z
66.
tan3 u du =
1
tan2 u + ln | cos u | + C
2
1
cot3 u du = − cot2 u − ln | sin u | + C
2
Z
Z
67.
Š
1€
2 + cos2 u sin u + C
3
Z
Z
2
cos2 u du =
sin3 u du = −
Š
1€
2 + sin2 u cos u + C
3
sec3 u du =
Z
72.
1
1
sec u tan u + ln |sec u + tan u | + C
2
2
1
1
csc3 u du = − csc u cot u + ln |csc u − cot u | + C
2
2
www.aprendematematicas.org.mx
2/4
Z
Z
1
n −1
sinn −1 u cos u +
sinn −2 u du
n
n
Z
1
n −1
n
n−1
cos u du = cos
u sin u +
cosn−2 u du + C
n
n
Z
1
tann−1 u − tann−2 u du
tann u du =
n −1
Z
1
cotn u du = −
cotn−1 u + cotn −2 u du + C
n −1
Z
1
n −2
secn u du =
tan u secn−2 u +
secn −2 u du
n −1
n −1
Z
n −2
1
n −2
n
cot u csc
u+
csc u du = −
cscn −2 u du
n −1
n −1
sinn u du = −
73.
Z
74.
Z
75.
Z
76.
Z
77.
Z
78.
Z
sin(a u ) sin(b u ) du =
79.
Z
cos(a u ) cos(b u ) du =
80.
sin[(a − b )u ] sin[(a + b )u ]
−
+C
2(a − b )
2(a + b )
sin[(a − b )u ] sin[(a + b )u ]
+
+C
2(a − b )
2(a + b )
Z
sin(a u ) cos(b u ) du = −
81.
cos[(a − b )u ] cos[(a + b )u ]
−
+C
2(a − b )
2(a + b )
Z
u sin u du = sin u − u cos u + C
82.
Z
u cos u du = cos u + u sin u + C
83.
Z
Z
u n sin u du = −u n cos u + n
84.
Z
Z
u n cos u du = u n sin u − n
85.
u n−1 cos u du
u n−1 sin u du
Z
sinn −1 u cosm +1 u
n −1
 −
+
sinn−2 u cosm u du

Z

n +m
n +m

86.
sinn u cosm u du =
Z

 sinn +1 u cosm −1 u

m −1

+
sinn u cosm −2 u du
n +m
n +m

FORMAS TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
Z
−1
87.
sin
u du = u sin
−1
u+
p
Z
cos−1 u du = u cos−1 u −
88.
Z
1−u2
p
+C
u tan−1 u du =
92.
1−u2 +C
Z
−1
n
−1


Z
1
u n+1 du
n +1
−1

,
u du =
u
cos u + p
n +1
1−u2
n
−1
™
–
Z
u n+1 du
1
n +1
−1
,
u
tan u −
u du =
n +1
1+u2
u sin
93.
Š
1 €
89.
tan u du = u tan u − ln 1 + u 2 + C
2
p
Z
2
u 1−u2
2u − 1
−1
−1
sin u +
+C
90.
u sin u du =
4
4
p
Z
u 1−u2
2u 2 − 1
91.
u cos−1 u du =
cos−1 u −
+C
4
4
−1
Z
u cos
94.
Z
u tan
95.


Z
1
u n+1 du
−1
n +1

,
u du =
u
sin u − p
n +1
1−u2
n
Z
−1
u
u2 +1
tan−1 u − + C
2
2
n 6= 1
n 6= 1
n 6= 1
FORMAS EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
Z
1
(a u − 1)e a u + C
a2
Z
Z
1
n
97.
u n e a u du = u n e a u −
u n−1 e a u du
a
a
Z
e au
(a sin(b u ) − b cos(b u )) + C
98.
e a u sin(b u ) du = b
a +b2
Z
e au
(a cos(b u ) + b sin(b u )) + C
99.
e a u cos(b u ) du = 2
a +b2
u e a u du =
96.
Z
ln u du = u ln u − u + C
100.
Z
u n ln u du =
101.
Z
102.
u n+1
[(n + 1) ln u − 1] + C
(n + 1)2
du
= ln |ln u | + C
u ln u
FORMAS HIPERBÓLICAS
Z
103.
Z
sinh u du = cosh u + C
105.
cosh u du = sinh u + C
106.
Z
104.
tanh u du = ln (cosh u ) + C
Z
coth u du = ln |sinh u | + C
www.aprendematematicas.org.mx
3/4
Z
107.
Z
108.
Z
sech u du = tan−1 |sinh u | + C
110.
u
csch u du = ln tanh + C
2
111.
sech 2 u du = tanh u + C
112.
Z
Z
109.
csch 2 u du = − coth u + C
sech u tanh u du = −sech u + C
Z
csch u coth u du = −c s c hu + C
FORMAS QUE CONTIENEN
113.
Zp
Z
114.
Z
115.
Z
116.
Z
117.
p
2a u − u 2

‹
u −a p
a2
a −u
2a u − u 2 +
cos−1
+C
2
2
a

‹
p
2u 2 − a u − 3a 2 p
a3
a −u
2a u − u 2 +
cos−1
+C
u 2a u − u 2 du =
6
2
a
Z
p

‹
p

‹
p
u du
a −u
2a u − u 2
−1 a − u
2
118.
= − 2a u − u 2 + a cos−1
+C
p
du = 2a u − u + a cos
+C
a
u
1
2a u − u 2
Z
p
p

‹

‹
(u + 3a ) p
3a 2
u 2 du
a −u
2a u − u 2
2 2a u − u 2
−1 a − u
=−
2a u − u 2 +
119.
cos−1
+C
p
du
=
−
−
cos
+
C
2
2
a
2a u − u 2
u2
u
a
p
Z

‹
2a u − u 2
du
du
−1 a − u
= cos
+C
120.
=−
+C
p
p
a
au
2a u − u 2
u 2a u − u 2
2a u − u 2 du =
Fuente: Earl W. Swokowski. Calculus with Analytic Geometry. Segunda edición. Ed. Prindle, Weber & Schmidt. EE.UU. 1979.
www.aprendematematicas.org.mx
4/4