Tabla de Integrales

Tabla de Integrales
FORMAS BÁSICAS
Z
1.
Z
2.
Z
3.
Z
4.
Z
5.
Z
6.
Z
7.
u dv = u v −
u n du =
Z
Z
v du
u n +1
+C
n +1
8.
(n 6= 1)
Z
9.
Z
du
= ln |u| + C
u
10.
Z
e u du = e u + C
11.
Z
u
a u du =
a
+C
ln a
sin u du = − cos u + C
cos u du = sin u + C
12.
Z
13.
Z
14.
21.
Z
22.
Z
23.
Z
24.
Z
25.
Z
26.
Z
30.
Z
31.
Z
32.
Z
33.
Z
38.
39.
u du
+C
= sin−1
p
a
a2 − u2
Z
u du
1
= tan−1
+C
a2 + u2 a
a
17.
csc u cot u du = − csc u + C
csc u du = ln | csc u − cot u | + C
Z
16.
sec u tan u du = sec u + C
Z
18.
p
Z
cot u du = ln | sin u| + C
19.
sec u du = ln | sec u + tan u | + C
20.
du
u u2 − a2
tan u du = ln | sec u | + C
=
u 1
sec−1
+C
a
a
du
1
u +a =
ln +C
2
−u
2a
u −a
a2
Z
du
1
u −a =
ln +C
u 2 − a 2 2a
u +a
p
a2 + u2
p
up
a2 a2 + u2 +
ln u + a 2 + u 2 + C
2
2
p
p
p
u 2
a4 u 2 a 2 + u 2 du =
a + 2u 2
a2 + u2 −
ln u + a 2 + u 2 + C
8
8
p
Z
p
p
p
a + a2 + u2 1 a 2 + u 2 + a a2 + u2
du
2
2
= − ln du = a + u − a ln 27.
p
+C
+C
u
u
a
u
u a2 + u2
p
p
p
a2 + u2
a2 + u2
Z
du = −
+ ln u + a 2 + u 2 + C
p
2
u
u
du
a2 + u2
+C
28.
=−
p
p
2 a2 + u2
a 2u
du
u
= ln u + a 2 + u 2 + C
p
a2 + u2
Z
p
u 2 du
du
u
up
a2 2
2
2
2
29.
ln u + a + u + C
= p
=
a +u −
+C
p
2
2
a2 + u2
(a 2 + u 2 )3/2 a 2 a 2 + u 2
p
a 2 + u 2 du =
p
FORMAS QUE CONTIENEN a 2 − u 2
Z
u p
up
a2
u 2 du
up
a2
−1 u
2
2
2
2
a − u du =
a −u +
sin
+C
34.
a2 − u2 +
sin−1
+C
=−
p
2
2
a
2
2
a
a2 − u2
Z
p
u p
p
u
a4
du
1 a + a 2 − u 2 u 2 a 2 − u 2 du =
2u 2 − a 2 a 2 − u 2 +
+C
sin−1
35.
du = − ln p
+C
2
2
8
8
a
a
u
u a −u
Z
p
p
a + a2 − u2 p
a2 − u2
du
1 p
+C
du = a 2 − u 2 − a ln 36.
=−
a2 − u2 + C
p
2u
2
2
2
u
u
a
u a −u
Z
p
a2 − u2
du
1p
u
−1 u
2
2
du = −
a − u − sin
+C
37.
= p
+C
3/2
2
2
2
u2
u
a
a a2 − u2
(a − u )
a2 − u2
3/2
=−
u p
u
3a 4
2u 2 − 5a 2 a 2 − u 2 +
+C
sin−1
8
8
a
FORMAS QUE CONTIENEN
Z
15.
csc2 u du = − cot u + C
FORMAS QUE CONTIENEN
Z
Z
sec2 u du = tan u + C
p
u2 − a2
p
p
p
u
a 4 u 2 u 2 − a 2 du =
2u 2 − a 2 u 2 − a 2 −
ln u + u 2 − a 2 + C
8
8
www.aprendematematicas.org.mx
1/4
Z
p
up
a 2 u2 − a2 −
ln u + u 2 − a 2 + C
2
2
Z p
a p
u2 − a2
41.
du = u 2 − a 2 − a cos−1
+C
u
u
Z p
p
p
u2 − a2
u2 − a2
du = −
+ ln u + u 2 − a 2 + C
42.
2
u
u
Z
p
du
43.
= ln u + u 2 − a 2 + C
p
2
2
u −a
40.
p
u 2 − a 2 du =
Z
44.
p
u 2 du
up
a 2 =
u2 − a2 +
ln u + u 2 − a 2 + C
p
2
2
2
2
u −a
Z
45.
u2
p
Z
46.
p
du
u2
−a2
du
(u 2
− a 2 )3/2
=
=−
u2 − a2
+C
a 2u
a2
p
u
u2 − a2
+C
FORMAS QUE CONTIENEN a + b u
Z
47.
1
u du
(a + b u − a ln |a + b u|) + C
=
a +bu b2
Z
u 2 du
1
=
+ (a + b u)2 − 4a (a + b u) + 2a 2 ln |a + b u| + C
3
a + b u 2b
Z
du
1 u 49.
= ln +C
u(a + b u) a
a +bu
Z
a +bu du
1
b
+C
50.
ln =−
+
u 2 (a + b u)
au a2
u Z
u du
a
1
51.
=
ln |a + b u| + C
+
(a + b u)2 b 2 (a + b u) b 2
Z
a +bu du
1
1
+C
52.
=
ln −
u(a + b u)2 a (a + b u ) a 2
u Z
1
a2
u 2 du
=
a +bu −
53.
− 2a ln |a + b u| + C
(a + b u)2 b 3
a +bu
Z
p
2
54.
u a + b u du =
(3b u − 2a )(a + b u)3/2 + C
15b 2
Z
p
u du
2
(b u − 2a ) a + b u + C
55.
=
p
2
a + b u 3b
Z
p
u 2 du
2
8a 2 + 3b 2 u 2 − 4a b u
56.
=
a +bu +C
p
a + b u 15b 3
48.

p
p a +bu − a 1


(a > 0)
 p ln p
p +C
du
a
a+
bu + a v
57.
=
p
ta +bu
2
u a +bu 

 p
+C
(a < 0)
tan−1
−a
−a
Z p
Z
p
du
a +bu
58.
du = 2 a + b u + a
p
u
u a +bu
Z
Z p
p
du
a +bu
a +bu b
du = −
+
59.
p
u2
u
2
u a +bu
Z
Z
p
2n a
u n−1
2u n (a + b u)3/2
n
60.
u
−
du
a + b u du =
p
b (2n + 3)
b (2n + 3)
a +bu
Z
Z n −1
p
u n du
2n a
u
du
2u n a + b u
61.
−
=
p
p
b (2n + 1)
b (2n + 1)
a +bu
a +bu
Z
Z
p
b (2n − 3)
du
a +bu
du
−
62.
=−
p
p
a (n − 1)u n−1 2a (n − 1) u n −1 a + b u
un a + b u
Z
FORMAS TRIGONOMÉTRICAS
Z
63.
Z
64.
Z
65.
Z
66.
Z
sin2 u du =
1
1
u − sin(2u ) + C
2
4
cos2 u du =
1
1
u + sin(2u ) + C
2
4
tan2 u du = tan u − u + C
Z
72.
Z
73.
cot2 u du = − cot u − u + C
1
2 + sin2 u cos u + C
3
Z
1
68.
cos3 u du = 2 + cos2 u sin u + C
3
Z
1
69.
tan3 u du = tan2 u + ln | cos u | + C
2
Z
1
70.
cot3 u du = − cot2 u − ln | sin u| + C
2
67.
Z
71.
Z
74.
sin3 u du = −
Z
75.
Z
76.
Z
77.
sec3 u du =
1
1
sec u tan u + ln |sec u + tan u | + C
2
2
1
1
csc3 u du = − csc u cot u + ln |csc u − cot u | + C
2
2
Z
1
n −1
sinn u du = − sinn −1 u cos u +
sinn −2 u du
n
n
Z
1
n −1
n
n−1
cos u du = cos u sin u +
cosn−2 u du
n
n
Z
1
tann u du =
tann−1 u − tann −2 u du
n −1
Z
1
cotn u du = −
cotn −1 u + cotn−2 u du
n −1
Z
1
n −2
secn u du =
tan u secn −2 u +
secn−2 u du
n −1
n −1
www.aprendematematicas.org.mx
2/4
Z
78.
Z
79.
cscn u du = −
1
n −2
cot u cscn −2 u +
n −1
n −1
sin(a u) sin(b u) du =
Z
Z
cscn−2 u du
83.
sin[(a − b )u ] sin[(a + b )u ]
−
+C
2(a − b )
2(a + b )
84.
Z
Z
Z
sin[(a − b )u] sin[(a + b )u ]
cos(a u) cos(b u) du =
+
+C
2(a − b )
2(a + b )
Z
cos[(a − b )u ] cos[(a + b )u ]
sin(a u) cos(b u) du = −
−
+C
2(a − b )
2(a + b )
80.
81.
Z
82.
85.
Z
86.
u cos u du = cos u + u sin u + C
u n sin u du = −u n cos u + n
u n cos u du = u n sin u − n
sinn u cosm u du =
u sin u du = sin u − u cos u + C
Z
Z
u n−1 cos u du
u n −1 sin u du
Z

sinn −1 u cosm +1 u
n −1

−
+
sinn−2 u cosm u du


n +m
n +m

Z


sinn +1 u cosm −1 u m − 1


sinn u cosm−2 u du
+
n +m
n +m
FORMAS TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
Z
87.
Z
88.
Z
Z
p
sin−1 u du = u sin−1 u + 1 − u 2 + C
92.
p
cos−1 u du = u cos−1 u − 1 − u 2 + C
Z
n
u sin
93.
1
89.
tan u du = u tan u − ln 1 + u 2 + C
2
Z
p
2
2u
−
1
u 1 − u2
−1
−1
90.
u sin u du =
sin u +
+C
4
4
Z
p
2u 2 − 1
u 1 − u2
91.
u cos−1 u du =
cos−1 u −
+C
4
4
−1
u tan−1 u du =
−1
−1
Z
94.
Z
95.
u
u2 + 1
tan−1 u − + C
2
2
Z n +1
1
u
du
n+1
−1
u du =
u
sin u − p
,
n +1
1 − u2
n 6= 1
u n cos−1 u du =
Z n+1
1
u
du
,
u n +1 cos−1 u + p
n +1
1 − u2
n 6= 1
u n tan−1 u du =
Z n +1
1
u
du
,
u n+1 tan−1 u −
n +1
1 + u2
n 6= 1
FORMAS EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
Z
1
(a u − 1)e a u + C
96.
u e du =
a2
Z
Z
1
n
97.
u n e a u du = u n e a u −
u n−1 e a u du
a
a
Z
e au
(a sin(b u) − b cos(b u)) + C
98.
e a u sin(b u) du =
ab +b2
Z
e au
(a cos(b u) + b sin(b u)) + C
99.
e a u cos(b u) du =
2
a +b2
au
Z
100.
Z
101.
Z
102.
ln u du = u ln u − u + C
u n ln u du =
u n +1
[(n + 1) ln u − 1] + C
(n + 1)2
du
= ln |ln u | + C
u ln u
FORMAS HIPERBÓLICAS
Z
103.
Z
104.
Z
105.
Z
106.
Z
107.
sinh u du = cosh u + C
cosh u du = sinh u + C
tanh u du = ln (cosh u ) + C
coth u du = ln |sinh u| + C
sech u du = tan−1 |sinh u| + C
Z
108.
Z
109.
Z
110.
Z
111.
Z
112.
u csch u du = ln tanh
+C
2
sech 2 u du = tanh u + C
csch 2 u du = − coth u + C
sech u tanh u du = −sech u + C
csch u coth u du = −csch u + C
www.aprendematematicas.org.mx
3/4
FORMAS QUE CONTIENEN
Z
113.
Z
114.
Z
115.
Z
116.
Z
117.
p
2a u − u 2
a −u p
u −a p
a2
2a u − u 2 du =
2a u − u 2 +
cos−1
+C
2
2
a
a −u p
2u 2 − a u − 3a 2 p
a3
u 2a u − u 2 du =
2a u − u 2 +
cos−1
+C
6
2
a
Z
p
a −u a −u p
p
u du
2a u − u 2
118.
= − 2a u − u 2 + a cos−1
+C
p
du = 2a u − u 2 + a cos−1
+C
2
a
u
a
2a u − u
Z
p
p
a −u a −u (u + 3a ) p
3a 2
u 2 du
2a u − u 2
2 2a u − u 2
=−
119.
2a u − u 2 +
cos−1
+C
p
du = −
− cos−1
+C
2
2
2
2
a
u
u
a
2a u − u
Z
p
a −u du
2a u − u 2
du
= cos−1
=−
+C
+C
120.
p
p
a
au
2a u − u 2
u 2a u − u 2
Fuente: Earl W. Swokowski. Calculus with Analytic Geometry. Segunda edición. Ed. Prindle, Weber & Schmidt. EE.UU. 1979.
www.aprendematematicas.org.mx
4/4