MÉTODO SIMPLEX PROFESORA: LILIANA DELGADO HIDALGO [email protected] 3. MÉTODO SIMPLEX Desarrollado por George Dantzig en 1947 Es un método de resolución algebraico, iterativo que busca progresivamente la solución óptima. Está basado en la mejora de la función objetivo, partiendo de un vértice del espacio factible y “saltando” a vértices adyacentes que mejoren la función objetivo. Para aplicarlo se requiere que el modelo este en la forma estándar. 1 3.2 Método Simplex Tabular Punto Factibles Puntos Adyacente s Valor Z en el Punto Valor Z en los Adyacentes P1 P2 y P8 Z=0 P2 (Z = -30) y P8 (Z = -12) P2 P1 y P5 Z = -30 P1 (Z = 0) y P5 (Z = -36) P5 P2 y P6 Z = -36 P2 (Z = -30) y P6 (Z = -27) P6 P5 y P8 Z = - 27 P5 (Z = -36) y P8 (Z = -12) P8 P1 y P6 Z = -12 P1 (Z = 0) y P6 (Z = -27) •P 5 P2 •P 6 •P 8 P1 El Método Simplex inicia explorando uno de los puntos, usualmente el origen (en este caso P1), y saltará a un punto adyacente sólo si éste salto mejora el valor de Z. Si estando en un punto se determina que ninguno de los adyacentes a él mejora el valor de Z, entonces se ha encontrado el óptimo. En este caso el óptimo es el punto P5, y se encuentra en 3 iteraciones (P1 P2 P5). 3.2 Método Simplex Tabular Maximizar Z = 3x1 + 5x2 Sujeto a: x1 + S1 = 4 El Método Simplex inicia en el punto P1, que corresponde a la Tabla 1. Punto que representa una solución básica inicial factible, con una base inicial asociada, la cual, en general, es la matriz idéntica de orden m. 2x2 + S2 = 12 3x1 + 2x2 + S3 = 18 x1 , x2 , S1, S2, S3 ≥ 0 Tabla 1 P1 x1 x2 s1 s2 s3 0 0 4 12 18 Variables No Básicas Variables Básicas Variables Básicas Coeficientes en la Función Objetivo (Cj) x1 x2 S1 S2 S3 S1 0 1 0 1 0 0 4 S2 0 0 2 0 1 0 12 S3 0 3 2 0 0 1 18 -3 -5 0 0 0 0 Zj - Cj Coeficientes de las restricciones Solución (R.H.S.) Valor Objetivo 2 3.2 Método Simplex Tabular Variables Básicas Coeficientes en la Función Objetivo (Cj) x1 x2 S1 S2 S3 S1 0 1 0 1 0 0 4 S2 0 0 2 0 1 0 12 S3 0 3 2 0 0 1 18 -3 -5 0 0 0 0 Zj - Cj Solució n (R.H.S.) CRITERIO DE OPTIMALIDAD Para maximización se observa en el renglón Zj-Cj el valor más negativo de las variables no básicas. Si no es existe entonces la tabla actual es óptima Si es minimización se observa el más positivo de las variables no básicas. Si no es posible entonces la tabla actual es óptima. 3.2 Método Simplex Tabular Maximización - Si todos los valores del renglón Zj-Cj > 0 la tabla es óptima. CRITERIO DE OPTIMALIDAD De lo contrario, es decir, si en el renglón Zj-Cj existe al menos un coeficiente < 0, entonces existe una variable no básica que aporta al crecimiento de la función objetivo. CRITERIO DE ENTRADA Variables Básicas Coeficientes en la Función Objetivo (Cj) x1 x2 S1 S2 S3 S1 0 1 0 1 0 0 4 S2 0 0 2 0 1 0 12 S3 0 3 2 0 0 1 18 -3 -5 0 0 0 0 Zj - Cj Solució n (R.H.S.) 3 3.2 Método Simplex Tabular Para maximización (Zj – Cj) <0 la inclusión mejora la función objetivo. (Zj – Cj) >0 la inclusión empeora la función objetivo. (Zj – Cj)=0 la inclusión no genera cambio en la función objetivo. Para minimización (Zj – Cj) >0 la inclusión mejora la función objetivo. (Zj – Cj) <0 la inclusión empeora la función objetivo. (Zj – Cj)=0 la inclusión no genera cambio en la función objetivo. Si existe una variable no básica que puede mejorar la función objetivo, esta debe reemplazar una variable básica. Método Simplex Tabular El CRITERIO DE SALIDA corresponde a la razón mínima del lado derecho y el elemento de la columna entrante correspondiente. Se tienen en cuenta solo las razones positivas, y la variable básica que sale es la que tiene la menor razón. Variables Básicas Coeficientes en la Función Objetivo (Cj) x1 x2 S1 S2 S3 S1 0 1 0 1 0 0 4 - S2 0 0 2 0 1 0 12 12/2 = 6 3 2 0 0 1 18 18/2 = 9 -3 -5 0 0 0 0 S3 0 Zj - Cj Solución (R.H.S.) Razón Mínima (θ) Sale de la base la variable S2 y entra X2 4 Método Simplex Tabular Variables Básicas Coeficientes en la Función Objetivo (Cj) x1 x2 S1 S2 S3 S1 0 1 0 1 0 0 4 - S2 0 0 2 0 1 0 12 12/2 = 6 S3 0 3 2 0 0 1 18 18/2 = 9 -3 -5 0 0 0 0 Zj - Cj 0 1 0 2 3 2 − 3 − 5 0 1 0 1 3 2 − 3 − 5 1 0 0 4 r = r2 / 2 0 1 0 12 2 0 0 1 18 0 0 0 0 1 0 3 − 3 4 6 6 0 0 5 / 2 0 30 0 1 0 Solución (R.H.S.) 1 0 0 4 0 1 / 2 0 6 0 0 1 18 0 0 0 0 r3 = r3 - 2*r2 0 1 0 1 3 0 − 3 − 5 0 1 0 1/ 2 0 0 0 −1 1 r4 = r4 + 5*r2 Razón Mínima (θ) 0 0 4 0 1 / 2 0 6 0 − 1 1 6 0 0 0 0 1 Método Simplex Tabular 0 1 0 2 3 2 − 3 − 5 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 3 2 − 3 − 5 0 4 r = r2 / 2 0 12 2 1 18 0 0 1 0 3 − 3 4 1 0 1 / 2 0 6 0 0 −1 1 6 0 0 5 / 2 0 30 0 1 0 1 0 0 0 0 0 r4 = r4 + 5*r2 Coeficientes en la Función Objetivo (Cj) x1 x2 S1 S1 0 1 0 X2 0 0 1 S3 0 3 -3 Zj - Cj r3 = r3 - 2*r2 0 1 0 1 3 0 − 3 − 5 0 Variables Básicas P2 4 6 1 18 0 0 0 0 1/ 2 0 0 4 0 1 / 2 0 6 0 − 1 1 6 0 0 0 0 1 0 S2 S3 Solución (R.H.S.) 1 0 0 4 0 1/2 0 6 0 0 -1 1 6 0 0 5/2 0 30 x1 x2 s1 s2 s3 0 6 4 0 6 Fact 5 3.2 Método Simplex Tabular Hacer eliminación Gauss Jordán. Variables Básicas Coeficientes en la Función Objetivo (Cj) X1 X2 S1 S1 0 1 0 1 x2 5 0 1 0 3 0 0 -1 1 6 -3 0 0 5/2 0 30 S3 0 Zj – Cj S2 S3 Solución (R.H.S.) 0 0 4 1/2 0 6 Es la tabla óptima? Volver a empezar el procedimiento. 3.2 Método Simplex Tabular Variables Básicas x1 Coeficientes en la Función Objetivo (Cj) X2 S1 S2 S3 Solución (R.H.S.) Razón θ 4/1 =4 S1 0 1 0 1 0 0 4 x2 5 0 1 0 1/2 0 6 - S3 0 3 0 0 -1 1 6 6/3 =2 -3 0 0 5/2 0 30 Zj - Cj Variables Básicas Coeficientes en la Función Objetivo (Cj) x1 X2 S1 S2 S3 Solución (R.H.S.) S1 0 0 0 1 1/3 -1/3 2 x2 5 0 1 0 1/2 0 6 x1 3 1 0 0 -1/3 1/3 2 0 0 0 3/2 1 36 Zj - Cj Es la tabla óptima? P5 x1 x2 s1 s2 s3 2 6 2 0 0 Fact 6 3.2 Método Simplex Tabular Variables Básicas Coeficientes en la Función Objetivo (Cj) x1 x2 S1 S2 S3 S1 0 1 0 1 0 0 4 - S2 0 0 2 0 1 0 12 12/2 = 6 S3 0 3 2 0 0 1 18 18/2 = 9 -5 0 0 0 0 Zj - Cj -3 Solución (R.H.S.) Razón Mínima (θ) LA VARIABLE A INGRESAR TOMA EL VALOR DE LA RAZÓN MÍNIMA Variables Básicas Coeficientes en la Función Objetivo (Cj) x1 x2 S1 S1 0 1 0 X2 0 0 1 S3 0 3 -3 Zj - Cj S2 S3 Solución (R.H.S.) 1 0 0 4 0 1/2 0 6 0 0 -1 1 6 0 0 5/2 0 30 3.2 Método Simplex Tabular Variables Básicas Coeficientes en la Función Objetivo (Cj) x1 X2 S1 S2 S3 Solución (R.H.S.) Razón θ 4/1 =4 S1 0 1 0 1 0 0 4 x2 5 0 1 0 1/2 0 6 - S3 0 3 0 0 -1 1 6 6/3 =2 -3 0 0 5/2 0 30 Zj - Cj Mejoramiento en el valor objetivo por cada unidad de la variable. Ejemplo 3*2 = 6 luego la FO mejora de 30 a 30 + 6 Variables Básicas Coeficientes en la Función Objetivo (Cj) x1 X2 S1 S2 S3 Solución (R.H.S.) S1 0 0 0 1 1/3 -1/3 2 x2 5 0 1 0 1/2 0 6 x1 3 1 0 0 -1/3 1/3 2 0 0 0 3/2 1 36 Zj - Cj 7 3.2 Método Simplex Tabular Variables Básicas Coeficientes en la Función Objetivo (Cj) x1 X2 S1 S2 S3 Solución (R.H.S.) S1 0 0 0 1 1/3 -1/3 2 x2 5 0 1 0 1/2 0 6 x1 3 1 0 0 -1/3 1/3 2 0 0 0 3/2 1 36 Zj - Cj Costo Reducido: incremento necesario en el coeficiente de la variable en la función objetivo para que la variable sea básica Valor de la Función Objetivo Precio Sombra: es el cambio en el valor óptimo de la función objetivo por unidad incrementada en el valor del lado derecho de una restricción, con todo lo demás constante. 3.2 Método Simplex Tabular Ejercicio en Clase Solucionar el siguiente modelo mediante el método simplex tabular Maximizar Z = 5X1 + 4,5X 2 + 6X 3 Maximizar Z = 5X1 + 4,5X 2 + 6X 3 sujeto a : 6X1 + 5X 2 + 8X 3 ≤ 60 sujeto a : 6X1 + 5X 2 + 8X 3 + S1 = 60 10X1 + 20X 2 + 10X 3 ≤ 150 10X1 + 20X 2 + 10X 3 + S 2 = 150 X1 ≤ 8 X1 + S 3 = 8 (X1 , X 2 , X 3 ) ≥ 0 (X1 , X 2 , X 3 ) ≥ 0 8 3.2 Método Simplex Tabular Coeficientes en la Variables Básicas Función Objetivo (Cj) X1 X2 X3 S1 S2 S3 Solución (R.H.S.) o Xb Razón θ S1 0 6 5 8 1 0 0 60 60/8 = 7,5 S2 0 10 20 10 0 1 0 150 150/10 = 15 - S3 0 Zj - Cj 1 0 0 0 0 1 8 -5 -4,5 -6 0 0 0 0 LA VARIABLE A INGRESAR TOMA EL VALOR DE LA RAZÓN MÍNIMA GAUSS… Coeficientes en la Variables Básicas Función Objetivo (Cj) X1 X2 X3 S1 S2 S3 Solución (R.H.S.) o Xb Razón θ X3 6 0,75 0,63 1 0,13 0 0 7,5 12 S2 0 2,5 13,8 0 -1,25 1 0 75 5,45455 - S3 0 Zj - Cj 1 0 0 0 0 1 8 -0,5 -0,75 0 0,75 0 0 45 3.2 Método Simplex Tabular Coeficientes en la Variables Básicas Función Objetivo (Cj) X1 X2 X3 S1 S2 S3 Solución (R.H.S.) o Xb Razón θ 1 0 0 60 60/8 = 7,5 S1 0 6 5 8 S2 0 10 20 10 0 1 0 150 150/10 = 15 S3 0 1 0 0 0 0 1 8 - -5 -4,5 -6 0 0 0 0 Zj - Cj Mejoramiento en el valor objetivo por cada unidad de la variable. Ejemplo 6*7,5 = 45 luego la FO mejora de 0 a 0 + 45 GAUSS… Coeficientes en la Variables Básicas Función Objetivo (Cj) X1 X2 X3 S1 S2 S3 Solución (R.H.S.) o Xb Razón θ X3 6 0,75 0,63 1 0,13 0 0 7,5 12 S2 0 2,5 13,8 0 -1,25 1 0 75 5,45455 S3 0 1 0 0 0 0 1 8 - -0,5 -0,75 0 0,75 0 0 45 Zj - Cj 9 3.2 Método Simplex Tabular Coeficientes en la Variables Básicas Función Objetivo (Cj) X1 X2 X3 S1 S2 S3 Solución (R.H.S.) Razón θ X3 6 0,64 0 1 0,18 -0,05 0 4,0909091 6,42857 X2 4,5 0,18 1 0 -0,09 0,07 0 5,4545455 30 S3 0 1 0 0 0 0 1 8 8 -0,36 0 0 0,68 0,05 0 49,090909 Zj - Cj GAUSS… Coeficientes en la Variables Básicas Función Objetivo (Cj) X1 X2 X3 S1 S2 S3 Solución (R.H.S.) 6,43 X1 5 1 0 1,57 0,29 -0,07 0 X2 4,5 0 1 -0,29 -0,14 0,09 0 4,29 S3 0 0 0 -1,57 -0,29 0,07 1 1,57 0 0 0,57 0,79 0,03 0 51,43 Zj - Cj 3.2 Método Simplex Tabular Coeficientes Variables en la Función X1 Básicas Objetivo (Cj) X1 5 1 X2 4,5 0 S3 0 0 Zj - Cj 0 Costo Reducido: incremento necesario en el coeficiente de la variable en la función objetivo para que la variable sea básica X2 X3 S1 S2 0 1,57 0,29 -0,07 1 -0,29 -0,14 0,09 0 -1,57 -0,29 0,07 0 0,57 0,79 0,03 S3 Solución (R.H.S.) 0 0 1 0 6,43 4,29 1,57 51,43 Valor de la Función Objetivo Precio Sombra: es el cambio en el valor óptimo de la función objetivo por unidad incrementada en el valor del lado derecho de una restricción, con todo lo demás constante. 10 FUENTES: 1. Vidal, Carlos Julio (2005). Introducción A La Modelación Matemática Y Optimización. 2. Bravo, Juan José. Notas de Clase: Método Simplex. 3. Ramírez, Luis Felipe (2009). Notas de Clase: Método Simplex. 4. Toro, Héctor Hernán. Notas de Clase. Método Simplex 11