formulario de ecuaciones diferenciales

FORMULARIO DE ECUACIONES DIFERENCIALES
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ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y PRIMER GRADO
Ecuación diferencial separable
Ecuación diferencial homogénea
( )
( )
( ) cambio
Ecuación diferencial lineal:
( )
∫ ( )
(
Ecuación diferencial tipo Bernoulli:
( )
( )
∫ ( )
∫ ( )
Ecuaciones diferenciales casi homogéneas
Ecuación diferencial exacta:
( )
( )
Es exacta si se cumple:
Si:
,
,
Si son paralelas:
cambio es:
( )
Factores de integración:
.
/
( )
∫ ( )
.
/
( )
∫ ( )
)
donde (
se cortan el cambio es:
) es el punto de corte
,
el
Ecuación diferencial de Riccati
( )
( )
( )
⁄
Cambio:
( )
Donde ( ) es un solución de la ecuación diferencial
Manipulaciones diferenciales
(
)
( )
( )
( )
. /
( )
APLICACIONES DE ECUACIONES DE PRIMER ORDEN
APLICACIONES GEOMETRICAS
La pendiente y la pendiente normal
La ecuación de una recta tangente en (
,
(
.
(
) es:
/
(
))
La ecuación de una recta normal en (
)
(
) es:
)
Longitudes de la subtangente y la
Los segmentos interceptados por la recta tangente
Los segmentos interceptados por la recta normal
subnormal
en los ejes “ ” y “ ”
en los ejes “ ” y “ ”
,
Longitud de curva
√
(
)
√
(
,
Las longitudes de la recta tangente entre el punto
( ), con los segmentos interceptados por la recta
tangente en los ejes “ ” y “ ”
)
( )
√
Área
MODELOS DE CRECIMIENTO
,
√
Las longitudes de la recta normal entre el punto
( ), con los segmentos interceptados por la
recta normal en los ejes “ ” y “ ”
√
( )
PROBLEMAS DE MEZCLAS
Temperatura
EL tiempo
Temperatura del ambiente
,proporción
( )
de:
∫
Con
1) Si:
son reales distintos
Ecuación diferencial Cauchy - Euler
2) Si:
son reales iguales
Cambio:
3) Si:
cos
son complejos
sen
...
()
()
()
,
( )
()
(
)
()
( )
(
√
( )
Fórmulas para reducir el orden
∫ ( )
(Para trasformar a coeficientes constantes)
()
,
( ),
()
, La corriente (amperios)
, La carga (culombios)
EL tiempo
, La inductancia (henrios)
, Capacidad del condensador (faradios)
, La resistencia (ohmios)
, Fuerza electromotriz (voltios)
(
)
Cantidad de un sustancia
EL tiempo
Volumen inicial
, Velocidad de flujo entrante
, Velocidad de flujo saliente
( ) , Concentración entrante
ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN Y DE ORDEN SUPERIOR
Ecuación diferencial a coeficientes
Otra solución L.I. a
constantes homogénea
( )
APLICACIÓN A LOS CIRCUITOS ELECTRICOS
()
, Cantidad presente
, Constante de proporción
LEY DE ENFRIAMIENTO 0 CALENTAMIENTO
DE NEWTON
(
)
,
)(
)
ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL NO HOMOGÉNEA
MÉTODOS PARA HALLAR LA SOLUCIÓN PARTICULAR DE
Variación de parámetros (Variación de constantes)
.
/(
)
(
( )
( )
( )
Teoremas (Métodos Abreviados)
( )
)
( )
O
P
E
R
A
D
O
R
E
S
Coeficientes indeterminados (tanteo)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(
( )
)
(
)
(
)
(
(
)
(
)
,
*
+
* +
,
*
+
*+
,
* ( )+
()
*
(
* +
* +
*
,
+
*
,
* +
{
,
*
+
,
*
+
,
( )+
( )+
()
}
(
{∫ ( )
}
,
*
{
( )
{ }
{
{ }
{
(
)
,
}
Caso 1 Si
∑
∑
( )(
( )
{
{
}
{ . /}
}
(
)
( )
( )
, ( )-
LEY DE HOOKE
, masa
, alargamiento
, constante de proporción
FRECUENCIA DE OSCILACION
√ ⁄
PERIODO DE OSCILACION
⁄
*
)}
(
* (
(
)+
* (
) (
)
( )
( )
( )
()
(
+
)
) (
)
* ( )+
)+
* (
*(
( )
(
)
∑
(
( )
* ( )+
( )
( )
)+
)+
* ( )+
* ( ) ( )+
∫ ( ) (
*
( )+
*
*
+
(
(
()
)
Traslación
convolución
(
)
) (
)
∑
y ( ) son analíticas en (Punto regular)
(
) ( ) y (
) ( ) son analíticas en (Punto singular regular)
∑
)
}= ( ) ( ) convolución
)+
()
(
( )
)
(
) ( )
(
) ( )
Segunda solución y términos logarítmicos para (
)
no es un entero
Caso 2 Si
Caso 3 Si
∑
∑
( ) ∑
( )
(
)
( )
( )
(
)
( )
) ( )
∫ ( )
}
(
( )
)}
* () (
{∫ ( )}
}
{
MÉTODO DE SERIES
( )
( )
Si de :
( )
( )
Si de :
Ecuación indicial
{
), (
)
( )
( )+
( )(
()
( )
}
(
( )
( )
( )
{∫ (
) Traslación
()
∫
TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE (ANTITRANSFORMADA)
{
)
, ecu. de movimiento
, La masa
EL tiempo
, rigidez
, constante de
amortiguamiento
* ( )+
* ( )+
{ }
)
→ Definición
( )
∫
)
(
EL SISTEMA MASA
RESORTE
,
)
), (
(
, altura
, masa
tiempo
, gravedad
, constante de proporción
( )
)
(
( )
CAIDA LIBRE
()
(
( )
( )
CAIDA RETARDADA
Resistencia proporcional a
∫
(
)
( )
)
()
* ( )+
TRANSFORMADA DE LAPLACE
(
( )
( )
()
, La corriente (amperios)
, La carga (culombios)
EL tiempo
, La inductancia (henrios)
, Capacidad del condensador (faradios)
, La resistencia (ohmios)
, Fuerza electromotriz (voltios)
)
( )
)
( )
)
( )
APLICACIONES DE ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN
CIRCUITOS ELÉCTRICOS SENCILLOS
(
(
)
(
( )
( )
( )
(
( )
( )
)
∑
)
)