Unidad II: Teoría de Conjuntos

Unidad II: Teoría de Conjuntos
Juan Miguel Olalla
UNIDAD II: TEORÍA DE CONJUNTOS
2.1. INTRODUCCIÓN
Según Georg Cantor un conjunto es la reunión, agrupación o colección de elementos bien
definidos que tienen una propiedad en común, concepto que ha penetrado y transformado
todas las teorías formales, las ramas de la matemática y la lógica, así como la misma
ontología.
En general, diremos que un conjunto es un concepto primario; es decir, el conjunto no
puede definirse; sólo se puede dar una idea intuitiva de él. A pesar de ello, la teoría de
conjuntos es la base de la Matemática, ya que, entre otras cosas, sirve para la construcción
de los números. Sirve además para estudiar las estructuras algebraicas, con las cuales se
organizan ordenadamente todos los conocimientos matemáticos.
Podemos anotar como ejemplos los siguientes: El conjunto de las mujeres, El conjunto de
los números impares, de los meses del año, de los números primos, de las vocales, y más.
2.2. DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS
2.2.1. Lenguaje simbólico
Notación de un conjunto: De forma convencional a los conjuntos se designan con letras
mayúsculas del alfabeto A, B, C,…, X, Y, Z, y los elementos de un conjunto con letras
minúsculas a, b, c,…, x, y, z.
Elemento: Un elemento es cada uno de los objetos por los cuales está conformado un
conjunto. Por ejemplo del conjunto de los números pares mayores que 2 y menores que
10, los elementos son: 4, 6 y 8.
Los elementos de un conjunto se escriben entre llaves separados por comas o por puntos y
comas. Para indicar que un elemento pertenece a un conjunto se utiliza el símbolo ∈.
Mientras que si un elemento no pertenece al conjunto, se escribe el símbolo ∉.
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2.2.2. Lenguaje Gráfico - Diagramas
Para la representación gráfica de conjuntos debemos tomar en cuenta las siguientes
consideraciones:
a) Los conjuntos se representan por una curva simple cerrada.
b) Los elementos que pertenecen al conjunto se representan por puntos interiores a la
curva.
c) Los elementos que no pertenecen al conjunto se representan por puntos exteriores a
la curva.
d) Ningún punto se representa sobre la curva.
Por ejemplo: Consideremos el conjunto

A
= {2, 4, 6, 8}




Los elementos que pertenecen al conjunto son:

= 2,
= 6, = 4,
=8

Y los que no pertenecen al conjunto, pueden ser:
= 3,
= 7,
=5
2.2.3. Determinación por Extensión, tabulación o enumeración
Se dice que un conjunto queda determinado por extensión si y sólo si se enumeran todos y
cada uno de los elementos que lo constituyen.
Ejemplo 1. Representar por enumeración los siguientes conjuntos: (a) El conjunto
formado por las vocales, (b) El conjunto
cuyos elementos son los números impares
mayores que 1 y menores que 9, El conjunto
de los números naturales.
Solución:
(a)
={ , , , , }
(b)
= {3, 5, 7}
(c)
= {0, 1, 2, 3, 4, 5, … }
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NOTAS:
a)
Los elementos del conjunto
= {2, 4, 6, 8, 6} son 2, 4, 6 y 8; es decir el elemento
= {2, 4, 6, 8}.
repetido se escribe una sola vez, entonces
b)
El orden en el cual se escriben los elementos dentro del conjunto es arbitrario. Así,
es lo mismo escribir:
= {1, 2, 3, 4} o
= {2, 4, 3, 1}
2.2.4. Determinación por Comprensión
Un conjunto se define por comprensión, si y sólo si se escribe la propiedad o propiedades
que caracterizan a todos sus elementos y solo a ellos. Se representa así:
= { ∕ ( )}.
Ejemplo 2. Representar por comprensión los siguientes conjuntos: (a) El conjunto
formado por los meses del año, (b) El conjunto
(c) El conjunto
Solución:
cuyos electos son los dedos de la mano,
de los números naturales menores que 4.
(a)
={ /
ñ }
(b)
={ /
(c)
= {  / < 4}
}
NOTAS:
a) Un elemento no puede ser a la vez un conjunto y un elemento de este conjunto; se
excluye la posibilidad de que
∈ .
b) Al definir un conjunto por comprensión puede suceder que ningún
cumpla con las
propiedades dadas, en tal caso, se dice que el conjunto no tiene elementos y se lo
llama conjunto vacío.
2.3. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
2.3.1. Inclusión de Conjuntos. Subconjuntos
Sean
y
dos conjuntos, si cada elemento de
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es elemento de
diremos que
está
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incluido en , o bien que
⊂
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es parte de , o que
sí y solo sí todo elemento de
es un subconjunto de , y lo escribimos
lo es de . Esto es:
⊂
⇔ [ / ∈
⇒
∈ ]
está incluido en
es subconjunto de
⊂
se lee:
es parte de
está contenido en
contiene
= {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} y
Ejemplo 3. Sean
= {6, 2, 12}. En este caso
⊂ .
NOTAS:
a) Admitiremos que el conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto.
b) Todo conjunto es subconjunto de sí mismo
2.3.2. Doble Inclusión - Igualdad de conjuntos
Diremos que dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos.
Por ejemplo, consideremos que los conjuntos son:
={ /
ú
={ /
ú
} entonces, se tiene que
} y
⊂ , pero a su vez
⊂ , llegamos por tanto a la conclusión de que ambos conjuntos son iguales. En
símbolos:
=
⇔
⊂
∧
⊂
2.3.3. Propiedades de la inclusión
a) Propiedad reflexiva: Todo conjunto está incluido en sí mismo:
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⊂
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b) Propiedad antisimétrica: Si un conjunto está incluido en otro y éste, a su vez, está
incluido en el primero, entonces dichos conjuntos son iguales:
⊂
∧
⊂
⇒
⊂
c) Propiedad transitiva: Si un conjunto A está incluido en otro conjunto B y éste, a su vez,
está incluido en otro conjunto C, entonces el conjunto A está incluido en el conjunto C.
⊂
∧
⊂
⇒
⊂
2.4. TIPOS DE CONJUNTOS
Conjunto Finito: El conjunto en el cual se puede nombrar su último elemento. Por
ejemplo:
={ /
í
}
Conjunto unitario: Es el conjunto que tiene un único elemento.
Conjunto Infinito: El conjunto que tiene un número ilimitado de elementos Por ejemplo:
={ /
ú
}
Conjunto Universo: El conjunto formado por todos los elementos del tema de referencia.
Por ejemplo:
={ /
}
Conjunto vacío: Se llama así al conjunto que no tiene ningún elemento. A pesar de no
tener elementos se le considera como conjunto y se representa de la siguiente forma: { } o
. Por ejemplo, el conjunto de los números pares múltiplos de 3. El conjunto vacío está
incluido en todo conjunto y es único. Por ejemplo
={ /
= 4,
}.
es
entonces un conjunto vacío.
Conjuntos disjuntos: Se llaman disjuntos cuando no tienen ningún elemento en común.
Por
ejemplo:
={ /
ú
los
conjuntos:
={ /
í
}
y
} y son disjuntos, ya que no tienen ningún elemento común.
Conjunto de las partes de un conjunto: Se llama así al conjunto formado por todos los
subconjuntos posibles de un conjunto dado. Observamos que en él los elementos son, a su
vez, conjuntos. Se representan por ( ).
Conjuntos equivalentes: Son aquellos que tienen igual cardinalidad; es decir, igual número
de elementos.
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= {1, 2, 3, 4}, Los subconjuntos formados serán:
Ejemplo 4.- Dado el conjunto:
= {1},
= {2, 4},
= {2},
= {3},
= {3,4},
Esto es: ( ) = {{ },
= {4},
= {1, 2, 3},
= {1, 2},
= {1, 3},
= {1, 3, 4},
, , , , , , , , ,
= {1, 4},
= {2, 3, 4},
= {2, 3},
= {1, 2, 4}
, , , , , }
Se incluye el conjunto vacío ya que admitiremos que es subconjunto de cualquier conjunto.
NOTA: En general se puede demostrar que de un conjunto de
elementos se pueden
obtener 2 subconjuntos.
2.5. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Unión de conjuntos. Sean
y
dos conjuntos, la unión de
y , que se denota
el conjunto formado por los elementos que pertenecen a , o a
∪
={ ∈ / ∈
∨
∈
∪ , es
o a ambos: Es decir:
}
Por tanto, en la unión de dos conjuntos se forma un nuevo conjunto cuyos elementos son
los elementos de los conjuntos originales. Gráficamente, mediante un diagrama de Venn,
la unión de
y , se representa por:
A
B
h
d
b
f
g
c
d
NOTAS:
a)
∈( ∪ )⇔
∈
∨
∈
b)
∉( ∪ )⇔
∉
∧
∉
c) Al unir muchos conjuntos, se escribe: ⋃
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={ ∈ ⁄ ∈
ú
}
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= {1, 3, 5, 8, 11}
Ejemplo 5.- Sea
∪
≤ 11}, la unión es
Ejemplo 7.- Sean:
= { , , },
( ∪ )∪
≤ 11}
= { ∈ ℕ⁄ = 2 + 1, 0 ≤
∪
siguiente igualdad ( ∪ ) ∪
Solución:
= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11}
= { ∈ ℕ⁄ = 2 + 1, 3 ≤
Ejemplo 6.- Sean:
1≤
= {0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. La unión será:
= { , , },
=
= { ∈ ℕ⁄ = 2 − 1,
≤ 11}
= { , , }. Demostrar que se cumple la
∪( ∪ )
={ , , , , , , , }
∪( ∪ )= { , , , , , , , }
Los conjuntos ( ∪ ) ∪
∪ ( ∪ ) son iguales pues tienen los mismos elementos.
y
Intersección de conjuntos. Sean
denota por
y
dos conjuntos, se llama intersección de
y
y se
∩ , al conjunto formado por aquellos elementos que pertenecen a
y
pertenecen a . Es decir:
∩
={ ∈ / ∈
∧
∈
}
El diagrama de Venn es:
AB
El nuevo conjunto tiene por elementos todos los elementos comunes de
y . Si se tiene
dos conjuntos disjuntos la intersección es el conjunto vacío (no tiene elementos).
NOTAS:
a)
∈( ∩ )⇔
∈
∧
∈
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∉( ∩ )⇔
b)
∉
∨
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∉
={ ∈ ⁄ ∈
c) Al intersecar muchos conjuntos, se escribe: ⋂
= {1, 2, 3, 4, 5, 9, 10} y
Ejemplo 8.- Sean los conjuntos
∩
intersección será:
= {4, 5, 6, 9, 11, 12}, su
= {5, 9}
={ ,
Ejemplo 9.- Sean los conjuntos
∩
}
, ℎ} y
= { , , , }, su intersección será:
={ , }
A
B
g
d
f
b
h
c
AB
={ ∕
Ejemplo 10.- Sean los conjuntos
su intersección será:
∩
−
={ ⁄
+ 3 − 3 = 0},
= {}
Diferencia de conjuntos. Sean
representa por
+ 3 + 2 = 0} y
y
dos conjuntos, se llama diferencia de
al conjunto de todos los elementos de
para , y se
que no son elementos de .
Es decir:
−
={ / ∈
∧
∉ }
La diferencia no cumple con la propiedad conmutativa, esto es:
−
≠
−
Su diagrama de Venn es:
A
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B
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NOTAS:
a)
∈( − )⇔
∈
∧
∉
b)
∉( − )⇔
∉
∨
∈
Ejemplo 11.- Si
={ , ,
Ejemplo 12.- Si
= {3, 5, 6, 7, 9, 10} y
−
y
, , }y
={ , ,
, , }, entones
−
= { , , }.
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, entones
−
= {9, 10},
= {1, 2, 4, 8}.
Complemento de un conjunto.
conjunto
Supongamos tener un conjunto referencial
y un
cualquiera, se determina entonces otro conjunto formado por todos los
elementos del conjunto referencial que no pertenecen al conjunto
y se designa ′ o
conjunto se llama complemento de
.
A este nuevo
.
Su diagrama de Venn es:
E
A
A'
NOTAS:
a)
∈ ′⇔
∉
= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} y
Ejemplo 13.- Si
complemento de
es:
= {1, 3, 5, 7, 9}, entones el
′ = {0, 2, 4, 6, 8, 10}
Diferencia Simétrica. Sean
y
dos conjuntos, Se llama diferencia simétrica entre
al conjunto formado por los elementos que pertenecen a
Δ ={ ∈ / ∈
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∈
oa
y
pero no ambos. Es decir:
∉
∩
}
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Su diagrama de Venn es:
A
B
AΔB
Ejemplo 14.- Dados los conjuntos:
= { ∈ ℤ ∕ −2 ≤
≤ 6},
={ ∈ℤ∕
< 16}
entonces Δ = {−3, 4, 5, 6}
Ejemplo 15.- Dados los conjuntos:
= {1, 2, 3, 4, 5, 6},
Hallar: a) ( ∪ )
= {1, 2, 3, 4, 5},
b) ( ∩ )
c) ( ’)
= {1, 2, 4, 5}
= {3, 4, 5}
d) ( − )’
Solución:
a) ( ∪ ) = { / ∈
∈ } = { , 2, 4, 5} ∪ {3, 4, 5} = { , 2, 3, 4, 5} =
b) ( ∩ ) = { / ∈
∈ } = { , 2, 3, 4, 5} ∩ { , 2, 4, 5} = {1, 2, 4, 5} =
c) El conjunto universo es:
tanto el complemento de
d)
−
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}, mientras que
es:
= {1, 2, 4, 5}, por
es: ’ = {3, 6}
= {1, 2, 3, 4, 5} − {1, 2, 4, 5} = {3}; entonces ( − )’ = {1, 2, 4, 5, 6}
2.6. PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Propiedad asociativa
Una operación es asociativa cuando el resultado no depende de la forma de asociación.
a) Unión:
( ∪ )∪
b) Intersección:
(A  B)  C = A  (B  C)
c) Diferencia:
(A - B) - C  A - (B - C)
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=
∪( ∪ ) =
∪
∪
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Propiedad conmutativa
Una operación es conmutativa cuando el resultado no depende de la ubicación de los
elementos que intervienen.
a) Unión:
AB =BA
b) Intersección:
AB=BA
c) Diferencia:
A–B B–A
(No cumple)
2.7. LEYES DEL ÁLGEBRA DE CONJUNTOS
Leyes de Idempotencia:
∪
=
Leyes Conmutativas:
∪
=
Leyes Asociativas:
( ∪ )∪
=
∪( ∪ )
( ∩ )∩
=
∩( ∩ )
( Δ )Δ
=
Δ( Δ )
Leyes Distributivas:
∪
∩
=
∩
=
∩
∪( ∩ )= ( ∪ )∩( ∩ )
∩( ∪ ) =( ∩ )∪( ∩ )
∩( Δ ) =( ∩ )Δ( ∩ )
Leyes de Complemento:
( ) =
Leyes de Morgan:
( ∪ ) =
∩
( ∩ ) =
∪ ′
Leyes de Identidad:
∩
=
∪
=
∩
=
∩
=
Δ
=
∪
=
Δ U = A′
Leyes de Absorción:
∪( ∩ )=
Otras Leyes:
−
=
−
=
∩ ′
∩( ∪ )=
=
=( ∩ )∪( − )
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−( ∩ ) =( − )∪( − )
Ejemplo 16.- Demostrar que:
−( ∩ ) =( − )∪( − )
Solución:
∩ ( ∩ )′ = ( − ) ∪ ( − )
∩ ( ′ ∪ ′) = ( − ) ∪ ( − )
( ∩
)∪( ∩
) =( − )∪( − )
( − ) ∪ ( − ) = ( − ) ∪ ( − ) lqqd
Ejemplo 17.- Simplifique: ( − ) ∪ [( ∩ ) ∪ ′]′
Solución:
( − ) ∪ [( ∩ ) ∪ ′]′
( ∩ ′) ∪ [ (
∪
∪ [(
∪
∪(
∪ ′) ∩ ]
∩ )∪(
∩ )∪(
∩ )]
∩ )
[ ∪(
∩ )] ∪ [ ′ ∪ (
∩ )]
[( ∪
) ∩ ( ∪ )] ∪ [(
∪
[ ∩ ( ∪ )] ∪ [(
( ∪ )∪(
∪( ∪
∪
∪
∪
)∩(
∪ )]
)∩ ]
)
)∪
∪
Ejemplo 18.- Demuestre: ( − ) ∩   
Solución:
(
∩
´) ∩
=
∩( ´∩ ) =
∩
 =
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Ejercicios Resueltos de aplicación de conjuntos
A continuación presentaremos algunos ejemplos que se resuelven utilizando
las
operaciones conjuntistas.
Ejemplo 1. De 40 estudiantes entrevistados, 15 leen las revistas "A" y revista "B"; 3
leen únicamente la revista "A". Con esta información determinar:
a) ¿Cuántos estudiantes no leen ninguna de las dos revistas?
b) ¿Cuántos estudiantes leen la revista "A"?
c) ¿Cuántos estudiantes leen únicamente la revista "B"?
d) ¿Cuántos estudiantes leen únicamente una sola de estas revistas?
Solución: Resolveremos este problema de la manera siguiente: El conjunto universo
consta de 40 elementos y sean A y B los subconjuntos formados por los estudiantes que] A
y B respectivamente.
A
B
40
A continuación consideraremos cada uno de los datos:
A
A
B
15
B
15
25
12
13
A
B
3
15
12
10
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Una vez que hemos considerado todos los datos, la solución al problema dado es:
a) 10
b) 18
c) 12
d) 15
Ejemplo 2. En un colegio de 100 estudiantes al realizar una encuesta se obtuvo los
siguientes datos: 24 alumnos seguían el idioma ingles, 32 francés, 29 alemán, 11 inglés
y francés, 4 inglés y alemán, 5 francés y alemán, 3 inglés, francés y alemán.
a) ¿Cuántos estudiantes no recibían ningún idioma?, y
b) ¿Cuántos estudiantes recibían inglés como único idioma?
Solución: E = conjunto de 100 alumnos. Sean A, F e los subconjuntos de E formados por
los estudiantes que siguen alemán, francés e inglés respectivamente:
I
F
I
F
I
3
A
3
3 Inglés, francés y alemán
1
8
3
F
1
2
23
A
86
11 Inglés y francés
2
A
94
4 Inglés y alemán
I
I
12
F
8
3
1
2
23
A
63
3
5 francés y alemán
8
3
2
1
95
I
F
A
97
F
I
2
A
100
I
F
45
29 alemán
18
F
8
3
1
2
23
A
18
A
33
31 francés
24 inglés
Por lo tanto la solución al problema es: a) 33 y b) 12.
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