Unidad Didáctica de Investigación Operativa 1

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS
MODALIDAD A DISTANCIA
INVESTIGACIÓN OPERATIVA I
AUTORES:
Ing. Edwin Roberto Gómez Bastidas, MBA.
Dra. Mayra Alexandra Córdova Alarcón, Mgst.
Ing. Víctor Marcelo Merino Castillo, Mgst.
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS
MODALIDAD A DISTANCIA
Investigación Operativa I
ÍNDICE DE CONTENIDOS
ÍNDICE DE CONTENIDOS ...................................................................................................ii
CAPITULO Nº 1 ...................................................................................................................... 1
INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN OPERATIVA .......................................... 1
COMPETENCIA ESPECÍFICA ........................................................................................ 1
OBJETIVO DE COMPETENCIA DEL CAPÍTULO ...................................................... 1
CONTENIDO ....................................................................................................................... 1
EXPLICACIÓN ................................................................................................................... 2
CARACTERIZACIÓN DE LA INVESTIGACIÓN OPERATIVA ........................... 2
IMPORTANCIA PARA LA FORMACIÓN PROFESIONAL. .................................. 3
RELACIÓN CON OTRAS MATERIAS ....................................................................... 4
FASES DE LA INVESTIGACIÓN OPERATIVA ....................................................... 4
CLASIFICACIÓN DE MODELOS MATEMÁTICOS ............................................... 5
CAPÍTULO 2............................................................................................................................ 6
MODELOS DE OPTIMIZACIÓN..................................................................................... 6
COMPETENCIA ESPECÍFICA ........................................................................................ 6
OBJETIVO DE COMPETENCIA DEL CAPÍTULO ...................................................... 6
CONTENIDO ....................................................................................................................... 6
EXPLICACIÓN ................................................................................................................... 7
Ejercicios: ......................................................................................................................... 8
CAPÍTULO 3.......................................................................................................................... 15
CONCEPTOS GENERALES ........................................................................................... 15
COMPETENCIA ESPECÍFICA ...................................................................................... 15
OBJETIVO DE COMPETENCIA DEL CAPÍTULO .................................................... 15
CONTENIDO ..................................................................................................................... 16
EXPLICACIÓN ................................................................................................................. 16
CRITERIOS DE DECISIÓN BAJO CONDICIONES DE CERTIDUMBRE......... 16
CRITERIOS DE DECISIÓN BAJO CONDICIONES DE RIESGO ....................... 17
CRITERIOS DE DECISIÓN BAJO CONDICIONES DE INCERTIDUMBRE .... 22
Problemas Resueltos ...................................................................................................... 22
AUTOEVALUACIÓN ....................................................................................................... 26
ii
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Investigación Operativa I
CAPITULO 4.......................................................................................................................... 30
COMPETENCIA ESPECÍFICA ...................................................................................... 30
OBJETIVO DE LA UNIDAD DE COMPETENCIA ..................................................... 30
CONTENIDO ..................................................................................................................... 30
EXPLICACIÓN ................................................................................................................. 30
CONCEPTOS GENERALES ....................................................................................... 31
MODELO GENERALIZADO DE CONTROL DE INVENTARIOS ...................... 31
FORMULACIÓN MATEMÁTICA DE CONTROL DE INVENTARIOS SIN
FALTANTES.................................................................................................................. 32
COSTOS DE UN MODELO DE CONTROL DE INVENTARIOS ......................... 33
DESCUENTOS POR VOLUMEN O CANTIDAD DE COMPRAS. ........................ 36
MODELO CON FALTANTES O DEFICIT ................................................................... 36
Problemas Resueltos ...................................................................................................... 38
CAPÍTULO 5.......................................................................................................................... 47
CONCEPTOS GENERALES ........................................................................................... 47
OBJETIVO DE LA UNIDAD DE COMPETENCIA ..................................................... 47
CONTENIDO ..................................................................................................................... 47
EXPLICACIÓN ................................................................................................................. 48
Problemas Resueltos ...................................................................................................... 48
AUTOEVALUACIÓN ....................................................................................................... 54
BIBLIOGRAFÍA BÁSICA.................................................................................................... 57
BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA ....................................................................... 57
ANEXOS ................................................................................................................................. 58
TABLA DE DISTRIBUCIONES NORMALES.............................................................. 58
FORMULARIO ................................................................................................................. 59
TABLA DE ILUSTRACIONES ....................................................................................... 60
TABLAS .............................................................................................................................. 60
iii
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CAPITULO Nº 1
INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN OPERATIVA
Figura 1 Esquema de resolución
COMPETENCIA ESPECÍFICA
Definir la base conceptual y el alcance de la Investigación Operativa y sus diferentes
modelos.
OBJETIVO DE COMPETENCIA DEL CAPÍTULO
Conceptualizar aspectos relacionados con la Investigación Operativa, para integrarlos al
desarrollo de las actividades académicas y profesionales.
CONTENIDO
• CARACTERIZACIÓN
•
IMPORTANCIA PARA LA FORMACIÓN PROFESIONAL
•
RELACIÓN CON OTRAS MATERIAS
•
FASES DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
•
CLASIFICACIÓN DE MODELOS MATEMÁTICOS
1
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EXPLICACIÓN
CARACTERIZACIÓN DE LA INVESTIGACIÓN OPERATIVA
Figura 2
Una de las características de un Administrador y/o de un Auditor es saber tomar las
decisiones más adecuadas, optimizando sus recursos, la asignatura denominada
“Investigación Operativa” le enseñará esto, mediante la utilización de modelos matemáticos.
La Investigación de Operaciones se desarrolló con fuerza al comienzo de la Segunda
Guerra Mundial con el fin de lograr una administración eficiente de los recursos que
poseían cada una de las potencias industriales y manufactureras.
La Investigación de operaciones, son técnicas o métodos cuantitativos que nos ayudan a
implantar modelos de procesos de la empresa para tomar la mejor decisión, este es un
trabajo que regularmente se lo debe realizar por un grupo multidisciplinario, que se puede
plantear los modelos más cercanos a la realidad y analizar los resultados.
Es una ciencia, porque se basa en técnicas y modelos matemáticos para tomar una decisión
y un arte porque nos incentiva a desarrollar modelos de manera creativa.
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IMPORTANCIA PARA LA FORMACIÓN PROFESIONAL.
Figura 3
En la actualidad con el despunte de la nueva tecnología y de técnicas modernas, la
Investigación Operativa es automatizada, es decir, la misma se ha vuelto computarizada,
para poder optimizar el tiempo de resolución de los modelos matemáticos cuantitativos,
para lo cual se dispone de un sinnúmero de software con este objetivo, pero que no le
servirán si Ud. no tiene claros los conceptos, su aplicación y su interpretación.
Toda empresa grande o mediana, aplica muchísimo y con excelentes resultados los métodos
de la Investigación Operativa, puesto que ha contribuido eficazmente a optimizar una gran
parte de sus objetivos.
La Investigación Operativa no toma decisiones por sí misma, su función es la de asesorar y
apoyar a quien o quienes deciden, determinando las diversas situaciones que se presentan en
la marcha de las organizaciones.
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RELACIÓN CON OTRAS MATERIAS
Figura 4
Es una ciencia interdisciplinaria: reconoce que la mayor parte de los problemas de negocios
tienen aspectos contables, biológicos, económicos, matemáticos, físicos, psicológicos,
sociológicos, estadísticos y de ingeniería.
FASES DE LA INVESTIGACIÓN OPERATIVA
Según el Ing. Segundo Rodríguez Acosta, en su libro Enseñanza Aprendizaje de la
Investigación Operativa Volumen 1, las fases de la Investigación Operativa que deben
considerarse son:
1. Formulación del problema.- en esta parte debemos definir el problema, para esto se
deben identificar las variables, las alternativas de decisión, las restricciones del
sistema y las limitaciones de los recursos.
2. Construcción del modelo.- a partir de la formulación del problema se procede a la
construcción del modelo matemático que más se aproxime a los datos que tenemos.
3. Deducción de una solución del modelo.- en esta parte se buscara la solución del
modelo escogido, utilizando los recursos que tenemos, sean estos paquetes
informáticos o con procesos matemáticos, luego de lo cual para mayor precisión
debemos realizar un análisis de sensibilidad para ver si realizando los ajustes
necesarios se logra mejorar y optimizar el modelo.
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4. Validación del modelo y su solución.- en este paso procedemos a probar el modelo
con varios datos, el modelo será válido si independientemente de sus exactitudes
puede dar una predicción confiable del funcionamiento del sistema.
5. Establecimiento de controles.- es necesario incluir algunos controles con el fin de
detectar cabios significativos del modelo para su optimización.
6. Implementación de resultados.- es la verificación y comprobación de los resultados.
CLASIFICACIÓN DE MODELOS MATEMÁTICOS
Los Modelos matemáticos son verdaderas representaciones de la realidad toman la forma de
cifras o símbolos matemáticos. Una ecuación es un ejemplo de un modelo matemático usado
en Investigación Operativa.
Los Modelos pueden ser:
a) Cuantitativos:
Programación lineal
Teoría de probabilidades
Teoría de decisiones
Teoría de juegos, etc.
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Cualitativos:
Estándar y Hechos a la medida
Probabilístico y determinístico
Descriptivos y de optimización
Estáticos y dinámicos
Simulación y no simulación
(Rodríguez Acosta, 2011, pág. 15)
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CAPÍTULO 2
MODELOS DE OPTIMIZACIÓN
Figura 5
COMPETENCIA ESPECÍFICA
El estudiante estará en capacidad de resolver problemas de aplicación de optimización de
precios en empresas productivas
OBJETIVO DE COMPETENCIA DEL CAPÍTULO
Resolver problemas de aplicación de optimización de precios en empresas productivas
CONTENIDO
•
BASE TEÓRICA CONCEPTUAL Y APLICACIONES
•
PROBLEMAS DE GANANCIAS, COSTOS Y PRECIOS ÓPTIMOS
•
PUNTOS DE EQUILIBRIO
•
RESOLUCIÓN DE CASOS
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EXPLICACIÓN
En esta introducción le ayudará a entender que es una análisis cuantitativo o modelo
matemático, las fases metodológicas para un estudio de esta materia y luego se centra en el
modelo matemático para encontrar el punto de equilibrio de la compañía de productos
especiales y se presenta su solución, tanto algebraica, gráficamente y termina con la
formulación en hoja de cálculo del mismo modelo.
Observe que en el gráfico presentado para encontrar el punto de equilibrio se deben incluir la
línea del Ingreso y la del Costo y que su intersección es el punto de equilibrio.
El punto de equilibrio es aquel en el que la función Utilidad es Cero, que es lo mismo que el
Costo sea igual al Ingreso.
Un Modelo Matemático es un conjunto de ecuaciones o de inecuaciones de las cuales
queremos encontrar valores óptimos en las variables.
Usted encontrará la utilidad que tienen las hojas de cálculo en los métodos cuantitativos y la
información de varios software que ayudan a resolver los problemas de Investigación
Operativa, pero debe quedar claro que tiene que aprender la mecánica de la resolución de los
problemas, caso contrario se volverá más difícil ingresar los datos e interpretar los resultados.
Considerando que p es el precio de un artículo y q es el número de artículos, ya estamos
familiarizados con algunos términos como:
Ingreso es igual al precio unitario por el número de productos es decir I = p . q
Costos fijos son los costos que no dependen del número de artículos que se producen.
Ejemplos: arriendo, guardianía, etc.
Costos variables son los costos que dependen del número de artículos que se producen.
Ejemplo: materia prima, mano de obra, etc.
Costos totales son igual a los costos fijos más los costos variables
CT = CF + CV
Ganancias que se calculan como los ingresos menos los costos
G=I–C
G = p.q – (CF+ CV)
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Costo promedio es el cociente entre el costo total y el número de artículos producidos
𝑐̅ =
𝐶𝑇
𝑞
Los problemas que se encuentran en administración es buscar el número de unidades que
maximicen las ganancias, es decir la maximización de las ganancias y el número de unidades
que minimizan los costos, hablamos de minimización de costos. Esto se realiza utilizando el
cálculo diferencial, dada la función a maximizar o minimizar aplicamos la derivada e
igualamos a cero. Al hacer esto encontramos los puntos críticos, para ver si estos son
máximos o mínimos aplicamos el criterio de la segunda derivada.
Otra de las definiciones que se deben considerar es el ingreso marginal y el costo marginal
El ingreso marginal es el cambio en el ingreso total por cada unidad adicional que se venda,
de este modo el ingreso marginal es igual al precio en competencia perfecta y es constante
porque se pueden vender unidades adicionales a un precio constante.
Matemáticamente el ingreso marginal se define como la derivada del ingreso con respecto al
número de unidades es decir:
𝑑𝐼
IM = 𝑑𝑞
El costo marginal es la variación en el costo total, ante el aumento de una unidad en la
cantidad producida, es decir, es el costo de producir una unidad adicional. Es decir:
𝑑𝐶
CM = 𝑑𝑞
Ejercicios:
1. El costo fijo de iniciar la producción limitada de relojes de pared se estima en $50.000
pero la nueva estimación del costo marginal es $500. El precio de venta de cada reloj de
pared se estima ahora en $700.
Use un procedimiento algebraico para encontrar el nuevo punto de equilibrio.
Use un procedimiento gráfico para encontrar el nuevo punto de equilibrio.
Incorpore este modelo matemático en la hoja de cálculo, use este modelo de hoja de
cálculo para encontrar el nuevo punto de equilibrio y luego determine la cantidad de
producción y la ganancia total estimada indicada por el modelo.
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a)
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Planteamiento de ecuaciones:
Sea q el número de relojes producidos
Ingresos = I(q)
Ingresos = 700q
Costos = Costos Fijos + Costos Variables = C(q)
Costos = 50 000 + 500q
Utilidades = Ingreso – Costo
= 700q – (50,000 + 500q)
= 200q – 50,000
Punto de Equilibrio: si Utilidades = 0
Utilidades = 200q – 50,000 = 0
q= 250
Por consiguiente, el punto de equilibrio se dará cuando la producción de relojes sea de 250
unidades.
b)
DATOS PARA EL GRAFICO
Tabla 1: Datos del gráfico
X
Ingreso
X
Costo
0
0
0
50000
250
175000
250
175000
400
280000
400
250000
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Figura 6 Ingreso vs. Costo
c)
Hoja de Cálculo
Datos
Tabla 2: Datos del Problema
Relojes
Costo Fijo
50000
Costo Variable
500
Precio
700
Resultados
Tabla 3: Resultados del problema
Punto de Equilibrio
Unidades
250
Dólares
175000
2. Una empresa puede producir 150 unidades de cierto artículo al año. La ecuación del
precio (p) en función de la demanda (q) para este producto es:
p = 𝑞 2 − 120𝑞 + 4420
La función del costo promedio (𝑐̅) del fabricante es 𝑐̅ = 𝑞 2 − 35𝑞 +
10
8000
𝑞
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a) Determine la producción “q” y el precio que maximizan la ganancia y la
correspondiente ganancia máxima
I=p.q
I = (𝑞 2 − 120𝑞 + 4420) q = 𝑞 3 − 120𝑞 2 + 4420𝑞
C = 𝑐̅ . 𝑞
C = (𝑞 2 − 35𝑞 +
8000
𝑞
) 𝑞 = 𝑞 3 − 35𝑞 2 + 8000
G=I–C
G = 𝑞 3 − 120𝑞 2 + 4420𝑞−𝑞 3 + 35𝑞 2 − 8000
G = −85𝑞 2 + 4420𝑞 − 8000
Para encontrar la ganancia máxima derivada de la ganancia con respecto al número de
unidades producidas y luego igualamos a cero
dG
= −170𝑞 + 4420
dq
−170𝑞 + 4420 = 0
Encontramos el número de unidades producidas:
𝑞=
4420
170
q = 26
Es decir que debemos producir 26 unidades para que la ganancia sea máxima.
Para encontrar cual es esta ganancia reemplazaos el número de unidades en la función
ganancia:
G = −85(26)2 + 4420(26) − 8000 = $49460
La ganancia máxima ha sido de $49460
b) A este nivel, demuestre que el ingreso marginal es igual al costo marginal.
El ingreso marginal es:
∂I
= 3𝑞 2 − 240𝑞 + 4420
∂q
∂I
|
= 3(26)2 − 240(26) + 4420 = 208
∂q 𝑞=26
∂C
= 3𝑞 2 − 70𝑞
∂q
∂C
|
= 3𝑞 2 − 70𝑞 = 208
∂q 𝑞=26
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c) Determinar y analizar los niveles de producción y precios de equilibrio.
−85𝑞 2 + 4420𝑞 − 8000 = 0
−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐
−4420 ± √(4420)2 − 4(−85)(−8000)
q=
=
2𝑎
2(−85)
𝑞1 = 1,88
𝑞2 = 50,12
p = 𝑞 2 − 120𝑞 + 4420
𝑝1 = 4197,93
𝑝2 = 917,61
3. Un fabricante determina que la función de demanda es q = 300 000-400p, en donde “q”
es igual al número de unidades de demanda y “p” es el precio en dólares. El costo fijo es
de 500 000 dólares y el costo variable de mano de obra y materia prima es de 150
dólares por unidad.
a) Determínese cuántas unidades “q” se deben producir y el precio óptimo para
maximizar las ganancias anuales.
q = 300 000-400p, despejamos p
𝑝 = 750 −
𝑞
400
G= IT - CT
G= p*q- (Cf-Cv)
𝑞
G=(750 − 400)q-(500 000+150q)
𝐺=−
𝑞2
+ 600𝑞 − 500 000
400
Derivamos e igualamos a cero
𝐺′ = −
𝑞
+ 600 = 0
200
q=120 000 que maximiza
Remplazamos en p
𝑝 = 750 −
120 000
400
p= 450
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b) ¿Cuál se esperaría que fuese la ganancia anual?
120 0002
𝐺=−
+ 600 ∗ 120 000 − 500 000
400
G=35 500 000
c) A ese nivel, demuestre que el ingreso marginal es igual al costo marginal.
IT=CT
𝑞
(750 − 400)q=(500 000+150q)
(750 −
120 000
400
)120 000=(500 000+150*120 000)
150=150
d) Determinar y analizar los niveles de producción y precios de equilibrio.
𝑞2
𝐺 = − 400 + 600𝑞 − 500 000=0
q1= 836,25
q2= 239163,75
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Ejercicios Propuestos
1. Un vendedor de autos debe correr con sus propios gastos, y tiene unos fijos de $200
mensuales más otros gastos que se estima en $8 por cada carro que vende. Recibe un
ingreso fijo de $700 más una comisión que depende de los autos que venda (q) según
la expresión 100 q – 0,25q3.
Se pide:
a. La función de los ingresos mensuales del vendedor
b. La función de gastos del vendedor
c. La función de beneficios (ingresos menos gastos) del vendedor
d. Cuántos carros debe vender para obtener el máximo beneficio mensual?
e. Cuál es el beneficio máximo?.
2. Una fábrica textil fabrica pantalones jeans. Sus costos fijos son de $1000 para la
preparación de la producción. El costo variable es de $30 por pantalón y cada uno se
vende a $40.
a. Sea x la cantidad de pantalones fabricados, encuentre el modelo matemático para
el costo total de producir x pantalones.
b. Elabore un modelo matemático para la utilidad total realizada por un pedido de x
pantalones.
c. ¿Cuál es el punto de equilibrio?
3. Un fabricante determina que el costo total de producir un producto está dado por: C =
0,04q2 +4 + 400. ¿Para qué nivel de producción será mínimo el costo promedio por
unidad? y ¿cuál es el valor del costo?.
4. Para el producto de un monopolista, la función del precio (p) en función de la
demanda de producto (q) es:
p = 18 -0,01q y la función del costo total es: C = 125 + 7q
a. ¿A qué nivel de producción se maximiza la ganancia?
b. ¿A qué precio ocurre esto y cuál es la ganancia?
c. A ese nivel, demuestre que el ingreso marginal es igual al costo marginal.
d. Determinar y analizar los niveles de producción y precios de equilibrio
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CAPÍTULO 3
CONCEPTOS GENERALES
Figura 7: Árbol de probabilidades
COMPETENCIA ESPECÍFICA
El estudiante estará en capacidad de resolver problemas de decisiones en diferentes
situaciones de certeza, riesgo e incertidumbre en el mundo de los negocios.
OBJETIVO DE COMPETENCIA DEL CAPÍTULO
Resolver problemas de decisiones en diferentes situaciones de certeza, riesgo e incertidumbre
en el mundo de los negocios
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CONTENIDO
•
BASES TEÓRICAS GENERALES
•
CRITERIOS DE DECISIÓN BAJO CONDICIONES DE CERTEZA, RIESGO,
INCERTIDUMBRE.
•
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD GRAFICA
•
MATRIZ DE PERDIDAS Y GANANCIAS DE OPORTUNIDAD
•
VALOR ESPERADO DE LA INFORMACIÓN PERFECTA.
EXPLICACIÓN
El estudio de la toma de decisiones bajo condiciones de incertidumbre, se presentarán
conceptos de tabla o matriz de pagos y de árbol de decisión y mediante estos poder ilustrar
los fundamentos del análisis de decisiones a combinar con la información adicional
experimental y la información preliminar y así desarrollar una estrategia óptima de decisión.
Regularmente una decisión está afectada por varios factores conocidos como “Estados de la
Naturaleza” que son situaciones que pueden o no ocurrir y quien toma las decisiones debe
saber plantear aspectos no cuantitativos y seleccionar la alternativa más conveniente según la
contribución esperada (ganancia o costo).
En muchas situaciones reales se debe plantear la matriz de rendimientos (ganancias) en
función de los datos disponibles y de los conceptos elementales y en ella aplicar los
diferentes criterios de decisión, motivo del estudio en este capítulo.
CRITERIOS DE DECISIÓN BAJO CONDICIONES DE CERTIDUMBRE
En los procesos de decisión bajo certidumbre se supone que el estado de la naturaleza
ocurrirá con certeza absoluta, el administrador puede predecir con certeza total las
consecuencias de escoger la alternativa.
En la resolución de un problema de este tipo es inmediata la toma de decisión, se elige la
alternativa que proporcione un mejor resultado.
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CRITERIOS DE DECISIÓN BAJO CONDICIONES DE RIESGO
En estas situaciones de decisión se consideran varios estados de la naturaleza y sus
probabilidades a priori de ocurrencia que pueden ser explícitamente establecidas, por
estimación utilizando información obtenida.
En estos casos se construye la matriz de rendimientos que nos servirá para la toma de
decisiones, se añade la información de las probabilidades respectivas a cada estado de la
naturaleza y además una columna para los rendimientos ponderados calculados para cada
estrategia. (Rodríguez, 2011).
Ejemplo: consideremos la siguiente matriz de rendimientos
Tabla 4: Matriz de Rendimientos
Alternativas
Estados de la Naturaleza
S1
S2
S3
A1
6
5
7
A2
10
4
6
A3
8
7
7
Pi
0,25
0,45
0,30
Para encontrar los rendimientos ponderados se realiza la suma de los productos del
rendimiento de cada fila por la respectiva probabilidad a priori, así se tiene:
RP1 = 6(0,25) + 5(0,45) + 7(0,30) = 5,85
RP2 = 10(0,25) + 4(0,45) + 6(0,30) = 6,1
RP3 = 8(0,25) + 7(0,45) + 7(0,30) = 7,25
Veamos algunos criterios que se suelen aplicar en estos casos
Criterio de máxima probabilidad
La regla de decisión que se sigue es: primero identificar el estado de la naturaleza de mayor
probabilidad, segundo se elige la alternativa de mayor rendimiento.
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Ejemplo:
Tabla 5: Matriz de Estados de la Naturaleza y Alternativas
Alternativas
Estados de la Naturaleza
S1
S2
S3
A1
6
5
7
A2
10
4
6
A3
8
7
7
Pi
0,25
0,45
0,30
El estado de la naturaleza de mayor probabilidad es S2, ahora observamos en esa columna
cual es de mayor rendimiento, corresponde a la Alternativa 3, por lo tanto la decisión que se
toma es elegir la alternativa 3.
Criterio de igual probabilidad
También llamado criterio de Laplace, la regla de decisión que se sigue es: Se considera que
todos los estados tienen la misma probabilidad, luego se calcula los rendimientos ponderados
y se escoge la alternativa de mayor rendimiento ponderado.
Ejemplo: como son 3 estados de la naturaleza se divide 1/3 = 0,33 que es el valor de cada una
de las probabilidades a priori
Tabla 6: Matriz de Estados de la Naturaleza y Alternativas
Alternativas
Estados de la Naturaleza
RPi
S1
S2
S3
A1
6
5
7
6
A2
10
4
6
6,67
A3
8
7
7
7,33
Pi
0,33
0,33
0,33
RP1 = 6(0,33) + 5(0,33) + 7(0,33) = 6
RP2 = 10(0,33) + 4(0,33) + 6(0,33) = 6,67
RP3 = 8(0,33) + 7(0,33) + 7(0,33) = 7,33
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El mayor rendimiento ponderado corresponde a la alternativa 3, por lo tanto según este
criterio se elige la alternativa 3.
Regla de decisión de Bayes
Para la toma de decisiones según la regla de Bayes se encuentran los rendimientos
ponderados considerando las probabilidades a priori dadas, luego se escoge la alternativa de
mayor rendimiento ponderado.
Ejemplo:
Tabla 7: Matriz de Estados de la Naturaleza y Alternativas
Alternativas
Estados de la Naturaleza
RPi
S1
S2
S3
A1
6
5
7
5,85
A2
10
4
6
6,1
A3
8
7
7
7,25
Pi
0,25
0,45
0,30
RP1 = 6(0,25) + 5(0,45) + 7(0,30) = 5,85
RP2 = 10(0,25) + 4(0,45) + 6(0,30) = 6,1
RP3 = 8(0,25) + 7(0,45) + 7(0,30) = 7,25
La alternativa de mayor rendimiento es A3 por lo tanto esta es la que se elige.
Análisis de sensibilidad gráfica
El análisis de sensibilidad gráfica de Bayes se realiza para observar como varia la toma de
decisiones al cambiar las probabilidades a priori.
Para el análisis de sensibilidad gráfica se procede a encontrar los valores de las
probabilidades considerando una como fija y considerando que la suma de probabilidades es
uno. Se toman los valores 0 y 1 para graficar las diferentes altenativa. Luego se determina la
región factible y se ve cual alternativa tomar basados en la probabilidad.
Ejemplo:
Consideremos la siguiente tabla suponiendo fijo el estado de la naturaleza S2, realice un
análisis de sensibilidad gráfica.
19
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MODALIDAD A DISTANCIA
Investigación Operativa I
Tabla 8: Matriz de Estados de la Naturaleza y Alternativas
Alternativas
Estados de la Naturaleza
S1
S2
S3
A1
6
5
7
A2
10
4
6
A3
8
7
7
Pi
0,25
0,45
0,30
p
fijo
1-p-0,45
Si consideramos S2 fijo asumimos que este estado puede suceder con la misma probabilidad,
luego consideremos que la probabilidad de S1 es p y la de S3 es 1-p-0,45.
Se tiene que:
A1 = 6p +5(0,45) + 7 (1-p-0,45) = -p + 6,1
A2 = 10p +4(0,45) + 6 (1-p-0,45) = 4p + 5,1
A3 = 8p +7(0,45) + 7 (1-p-0,45) = p + 7
Para graficar se da a p el valor mayor y menor que puede tomar así:
Tabla 9: Datos para graficar
Pi
A1
A2
A3
1
5,1
9,1
8
0
6,1
5,1
7
20
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MODALIDAD A DISTANCIA
Investigación Operativa I
Figura 8: Análisis de sensibilidad
Matriz de pérdidas esperadas y ganancias condicionadas
Matriz de ganancias condicionadas, es aquella en la que se puede anticipar las ganancias
mediante todas las posibles combinaciones de cantidad demandada con inventario existente y
se calculan utilizando:
Ganancias = ingresos totales – costos totales
Matriz de pérdidas esperadas, se calcula a partir de la matriz de ganancias condicionadas,
considerando el mayor rendimiento de cada columna, luego se resta de cada rendimiento.
Según el orden de la tabla, las cifras que están a la derecha de la diagonal principal
representan pérdidas por exceso de inventario y las que están a la izquierda son pérdidas de
oportunidad por falta del producto.
Cabe anotar que estas no son pérdidas contables, sino que representan oportunidades que se
han escapado.
El valor de la información perfecta se calcula restando la ganancia máxima posible con
información perfecta menos la ganancia esperada en condiciones de incertidumbre.
21
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MODALIDAD A DISTANCIA
Investigación Operativa I
CRITERIOS DE DECISIÓN BAJO CONDICIONES DE INCERTIDUMBRE
En este caso la persona que toma la decisión no tiene ningún conocimiento de las
probabilidades de cualquier estado de la naturaleza, es decir tiene que tomar la decisión bajo
total incertidumbre.
Entre los criterios bajo condiciones que tenemos se encuentran:
1. Criterio Maximin, Pesimista o de Wald.- este criterio supone maximizar el mínimo
rendimiento, es decir el que toma la decisión, debe asegurarse que toma el mejor en
caso de un situación desfavorable.
2. Criterio Máximax, Optimista o de Hurwicz.- este criterio consiste en maximizar el
máximo, es decir escoger el máximo de todos los mejores rendimientos de cada
alternativa.
3. Criterio de Laplace o de igual probabilidad.- en este criterio se supone que todos los
estados de la naturaleza tiene la misma probabilidad, se calcula los rendimientos
ponderados y se escoge el mayor.
4. Criterio Minimax, de Arrepentimiento o de Savage.- este criterio parte de la matriz de
arrepentimiento, se calcula el máximo de cada uno de los arrepentimientos de cada
alternativa y se escoge el mínimo de estos.
Problemas Resueltos
1. Una tienda de ropa de invierno vende abrigos a $50 y le cuesta $40 confeccionarlos.
Todos los abrigos que no se venden al término del invierno se vende en las tiendas en
$35. La demanda estimada de abrigos y sus probabilidades para este invierno, se dan en la
siguiente tabla:
Dem (abrigos)
100
90
80
70
60
Prob(%)
20
15
25
15
25
a)
b)
c)
d)
e)
Determinar la cantidad óptima que debería fabricar la compañía para este invierno.
Cuáles son las ganancias máximas esperadas sin más información?.
Cuáles son las ganancias esperadas con información perfecta?.
Cuál es el valor esperados de la información perfecta?.
Mediante la tabla de pérdidas de oportunidad determinar el valor esperado de la
información perfecta.
22
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MODALIDAD A DISTANCIA
Investigación Operativa I
Precio de venta = $ 50
Costo o precio de compra= $40
Precio de reventa o sobrantes = $35
G = IT – CT
Tabla 10: Matriz de ganancias esperadas
Pj
Q pedir
60
70
80
90
100
60
25%
DEMANDA
70
80
15%
25%
90
15%
100
20%
600
550
500
450
400
600
700
650
600
550
600
700
800
900
850
600
700
800
900
1000
600
700
800
750
700
MRE (con información perfecta)
a)
b)
c)
d)
e)
150
MVE
105
200
135
600
662,5
702,5
705
685
200
$790
Como el MVE = $705, la cantidad óptima es de 90 abrigos
MVE = $705
Las ganancias máximas esperadas con información perfecta es $790
VEIP = 790 – 705 = $ 85
La matriz de pérdidas esperadas de oportunidad es:
Tabla 11: Matriz de pérdidas esperadas de oportunidad
Pj
Q- pedir
60
70
80
90
100
Demanda
60
25%
70
15%
80
25%
90
15%
100
20%
PEO
0
50
100
150
200
100
0
50
100
150
200
100
0
50
100
300
200
100
0
50
400
300
200
10
0
190
127,5
87,5
85
105
23
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MODALIDAD A DISTANCIA
Investigación Operativa I
VEIP = $85
2. Un ejemplo muy común es el de un procesador de alimentos que cultiva sus propios
productos. Basada en la experiencia pasada de la empresa con la siembra de tres tipos
de cosecha en cierta zona del país: sembrar maíz, sembrar papas o sembrar pasto, se ha
obtenido la siguiente matriz de ganancias (miles de dólares) en los últimos años para los
tres estados de la naturaleza:
s1 = buen tiempo,
s2 = tiempo variable,
s3 = mal tiempo
Tabla 12: Tabla de datos
s1
s2
s3
Pj =
0.25
0.50
0.25
d1
40
60
10
d2
50
40
15
d3
60
20
12
Este problema lleva a la pregunta: ¿Cuál estrategia es mejor?
SOLUCIÓN:
a.- Según el primer enfoque Optimista o Maximax, la decisión sería seleccionar la estrategia
“d1” o “d3”, puesto que le corresponde el mayor rendimiento ($60,000), entre los mayores.
b.- De acuerdo con el enfoque Valor Esperado o de Bayes, la decisión se toma luego de
calcular los rendimientos ponderados (también resultan en miles de dólares), como sigue:
RP1 = 40*0.25 + 60*0.50 + 10*0.25 = 42.50
RP2 = 50*0.25 + 40*0.50 + 15*0.25 = 36.25
RP3 = 60*0.25 + 20*0.50 + 12*0.25 = 28.00
En este caso el mayor rendimiento ponderado o máximo valor esperado de ganancias es
$42.50 ($42,500.00), que nos indica que la mejor decisión en este caso será la estrategia “E 1”
(también sembrar maíz).
24
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MODALIDAD A DISTANCIA
Investigación Operativa I
c.- De acuerdo con el criterio de Igual Probabilidad (Laplace) o promedio, la decisión
también se toma luego de calcular los rendimientos ponderados, asumiendo igual
probabilidad (1/3) a cada estado de la naturaleza, como sigue:
RP1 = 40*(1/3) + 60*(1/3) + 10*(1/3) = 36.67
RP2 = 50*(1/3) + 40*(1/3) + 15*(1/3) = 35.00
RP3 = 60*(1/3) + 20*(1/3) + 12*(1/3) = 30.67
En este caso el mayor rendimiento ponderado o máximo valor esperado de ganancias es
$36.67 ($36,670.00), que nos indica que la mejor decisión en este caso será la estrategia “d 1”
(que también es sembrar maíz, por coincidencia).
25
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Investigación Operativa I
AUTOEVALUACIÓN
Un fabricante determina que el costo total, de producir un producto
BASE DE LA
está dado por la función de costo: C = 0,05q2 +5q+500, el nivel de
PREGUNTA 1
producción (q) para que el costo promedio sea mínimo es:
a 50 productos
b 100 productos
OPCIONES DE c -50 productos
RESPUESTA
d 200 productos
e -100 productos
f 400 productos
En la toma de decisiones tenemos algunos criterios de decisión, para la
BASE DE LA
regla de decisión de Bayes se sigue el siguiente procedimiento:
PREGUNTA 2
a
b
c
OPCIONES DE
RESPUESTA
d
e
f
Identificar el estado de naturaleza con mayor probabilidad y elegir
la alternativa que tiene mayor rendimiento
Considerando la misma probabilidad para todos los estados de la
naturaleza, calcular los rendimientos ponderados para cada
estrategia, la estrategia a decidir está dada por el mejor
rendimiento ponderado.
Calcular los rendimientos ponderados para cada estrategia, la
estrategia a decidir, está dada por el mejor rendimiento
ponderado
Se selecciona el máximo de cada estrategia y de todos ellos
también decidir por la estrategia con el máximo valor.
Se escoge el máximo de los mínimos rendimientos de cada
decisión o estrategia.
Se escoge el mayor valor de arrepentimiento de cada estrategia
posible basándose en la matriz resultante y de esos valores tomar
el mínimo arrepentimiento, con el fin de no sentir
arrepentimientos extremados.
BASE DE LA La Investigación operativa se originó durante la Revolución Industrial en
PREGUNTA 3 el año
OPCIONES
DE
RESPUESTA
a
b
c
d
e
f
1845
1855
1835
1945
1955
1955
26
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Investigación Operativa I
BASE DE LA La fase principal de cualquier proyecto de Investigación Operativa es el
PREGUNTA 4 enfoque planeado. Las fases que deben considerarse en orden son:
PUNTOS
CLAVE
1
2
3
4
5
6
Construcción del modelo
Validación (prueba) del modelo y su solución
Formulación del problema
Establecimiento de controles
Deducción de una solución del modelo
Implementación de resultados
OPCIONES
DE
RESPUESTA
a
b
c
d
1, 2, 3, 4, 5, 6
2, 6, 3, 5, 1, 4
4, 5, 6, 3, 2, 1
3, 1, 5, 2, 4, 6
PROBLEMA 1
Para el producto de un monopolista la ecuación del precio (p) en función de la demanda
de dichos productos (q) es:
p = 42 - 4q
y la función de costo promedio (𝑐̅) = 2 +
80
𝑞
BASE DE LA ¿Cuáles son los ingresos totales?
PREGUNTA 5
a 2q + 80
OPCIONES DE b 42q – 4q2
RESPUESTA
c 40q – 4q2- 80
d 40 – 8q
BASE DE LA ¿Cuáles son los costos totales?
PREGUNTA 6
a 2q + 80
OPCIONES DE b 42q – 4q2
RESPUESTA
c 40q – 4q2- 80
d 40 – 8q
27
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Investigación Operativa I
BASE DE LA ¿Cuál es la ganancia?
PREGUNTA 7
a 2q + 80
OPCIONES DE b 42q – 4q2
RESPUESTA
c 40q – 4q2- 80
d 40 – 8q
BASE DE LA ¿A qué nivel de producción se maximiza la ganancia?
PREGUNTA 8
a 40 productos
OPCIONES DE b 5 productos
RESPUESTA
c 4 productos
d 50 productos
BASE DE LA ¿Cuál es la ganancia máxima?
PREGUNTA 9
a 90 unidades monetarias
OPCIONES DE b 40 unidades monetarias
RESPUESTA
c 20 unidades monetarias
d 22 unidades monetarias
PROBLEMA 2
Dada la matriz de ganancias o rendimientos esperados
Pj
Q pedir
10
20
30
40
10
35%
2
-4
-10
-16
DEMANDA
20
30
10%
30%
2
4
-2
-8
2
4
6
0
40
25%
2
4
6
8
BASE DE LA ¿De acuerdo al máximo valor esperado cuál es la cantidad óptima a
PREGUNTA 10 pedir?
a
OPCIONES DE b
RESPUESTA
c
d
10
20
30
40
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Investigación Operativa I
29
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Investigación Operativa I
CAPITULO 4
COMPETENCIA ESPECÍFICA
El estudiante estará en capacidad de resolver modelos de control de inventarios aplicados a
empresas productoras y comercializadoras, tanto públicas como privadas
OBJETIVO DE LA UNIDAD DE COMPETENCIA
Resolver modelos de control de inventarios aplicados a empresas productoras y
comercializadoras, tanto públicas como privadas
CONTENIDO
•
BASES TEÓRICAS GENERALES
•
FORMULACIÓN MATEMÁTICA DE CONTROL DE INVENTARIO
•
ANÁLISIS DE COSTOS EN FUNCIÓN DE LA CANTIDAD ECONÓMICA DE
PEDIDO EN MODELOS DE COMPRAS CON Y SIN DESCUENTOS.
•
ANÁLISIS DE COSTOS EN FUNCIÓN DE LA CANTIDAD ECONÓMICA DE
PEDIDO EN MODELOS DE COMPRAS CON FALTANTES.
EXPLICACIÓN
En este capítulo del texto guía se aprenderán Administración de Inventario con Demanda
Determinística (promedio de demandas o ventas históricas). El objetivo es minimizar el costo
de mantenimiento del inventario, iniciando con el modelo de control generalizado, para
continuar en el análisis del modelo del lote económico y su variación dependiente de un
descuento en el precio por la cantidad o si se tiene un límite de almacenamiento.
Mediante este estudio podremos encontrar las respuestas a las preguntas: Cuándo debo
pedir?, Cuánto debo pedir?, Cada qué tiempo debo pedir? y Cuánto me cuesta mantener este
inventario?
30
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MODALIDAD A DISTANCIA
Investigación Operativa I
Regresar
CONCEPTOS GENERALES
Figura 9 Comportamiento de los inventarios en el tiempo
“Los inventarios se definen como los artículos ociosos o inactivos que esperan ser utilizados
en algún momento, por ejemplo: mano de obra, repuestos, materia prima, productos
terminados, productos en proceso, maquinaria, muebles, capital..etc y deben ser controlados
para minimizar costos.” (Rodríguez Acosta, 2011, pág. 117)
MODELO GENERALIZADO DE CONTROL DE INVENTARIOS
Se busca responder a dos preguntas, que ayudaran a encontrar una solución a un modelo de
inventarios.
¿Cuánto pedir?
En una empresa o en un negocio, estamos enfrentados a saber cuánto debemos adquirir de
materia prima para la producción, o artículos para la venta según sea la necesidad.
¿Cuándo pedir?
Para ello debemos saber exactamente cuándo debemos realizar el pedido o cual es el,
Punto de re orden, que es la posición del inventario en la que se debe colocar un nuevo
pedido.
31
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MODALIDAD A DISTANCIA
Investigación Operativa I
FORMULACIÓN MATEMÁTICA DE CONTROL DE
FALTANTES
INVENTARIOS SIN
Se debe partir de las siguientes suposiciones
La demanda anual se efectuará a una taza constante.
El remplazo es instantáneo, es decir la cantidad de orden para reabastecer el inventario llega
toda junta, justo cuando se desea.
Todos los valores de costos son constantes durante el año.
Se conoce el tiempo de demora del pedido
El periodo del modelo de inventarios es anual mientras no se especifique lo contrario.
Datos principales de un modelo de inventarios
Número de pedidos: N pedidos/año
Cantidad de pedidos: Q unidades por pedido
Inventario Inicial= Inventario Máximo
Inventario Final= Inventario Mínimo
Inventario Promedio: IP
Duración del Ciclo
Figura 10: Modelo de inventarios
Inventario promedio.- Equivale a la mitad del Inventario Máximo.
IP=
𝑰𝑵𝑽.𝑴𝑨𝑿
𝟐
=
𝑸
𝟐
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Investigación Operativa I
COSTOS DE UN MODELO DE CONTROL DE INVENTARIOS
Costo de ordenar (Co).- ($/pedido) Definido como el costo de adquisición o costo de
pedido, es básicamente es el costo que se incurre cada vez que se realiza una orden o pedido.
Pueden ser.
Cotizaciones
Expedición de la orden de compra
Recibo e inspección de los artículos
Transporte
Colocación en inventarios
Gastos administrativos, etc
Costo de mantenimiento (Cm).- ($/unidad) Es el costo de tener, guardar, mantener una
unidad durante un año una unidad.
Cm= ($/unidad)
Cm= i*c
i= es el porcentaje de dinero comprometido del valor del artículo para mantenimiento.
c= Es el precio de adquisición del producto o artículo por unidad.
Costo unitario.- (c) Es el costo de cada unidad ( $/unidad)
Cantidad que se realiza el pedido (Q).
𝑄=
𝐷
𝑁
Donde D es la demanda anual.
N número de pedidos/año
Tiempo de duración del ciclo durante pedido.
1
𝑡 = 𝑁. Años.
33
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Investigación Operativa I
COSTOS TOTALES (CT)
Es igual a:
Tabla 13: Costo Total
Costo anual de compras.- (CC) Es el costo de realizar las adquisiciones de inventario
durante el año.
CC= c*D
Donde D es la demanda anual.
Costo anual de ordenar.- (CO) Es el costo en que se incurre al realizar los pedidos
durante el año.
𝐶𝑂 = 𝐶𝑜𝑁 = 𝑖. 𝑐.
𝑄
2
Donde N es el número de pedidos que se realiza durante el año.
Cantidad Óptima.- (Qop) Es la cantidad a pedir con la que obtenemos el menor Costo
Total.
En el siguiente gráfico podemos ver que el Costo Total es mínimo cuando el Costo de
Ordenar es igual al Costo de Mantener.
34
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MODALIDAD A DISTANCIA
Investigación Operativa I
Figura 11: Costo Total de inventarios
Igualando estas ecuaciones tenemos.
CM=CO
𝑖. 𝑐.
𝑄
𝐷
= 𝐶𝑜.
2
𝑄
Despejando Q
Qop = √
2. Co. D
i. c
𝐷
𝑁 = 𝑄 , Si remplazamos Qop
𝑁=
𝐷
, obtenemos
2.Co.D
√
i.c
𝑖.𝑐.𝐷
𝑁 = √2.𝐶𝑜 ,
Remplazando CC=c.D en la ecuación anterior.
𝑖.𝐶𝐶
𝑁 = √2.𝐶𝑜.
35
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MODALIDAD A DISTANCIA
Investigación Operativa I
DESCUENTOS POR VOLUMEN O CANTIDAD DE COMPRAS.
El volumen de compras suele ser muchas de las veces un condicionante para obtener un
descuento, incluso la frecuencia de pedido, u otros factores. En este caso la ecuación del
costo total requiere que se realice el siguiente cambio.
Tabla 14: Costo Total con descuentos
*Si Cm está en función del costo Cm= i. c, entonces debemos multiplicar por (1-d).
MODELO CON FALTANTES O DEFICIT
Figura 12: Modelo de inventarios con faltantes
Para el Modelo con faltantes, es necesario incluir algunas suposiciones ya expuestas en el
modelo generalizado.
La demanda es constante durante todo el año.
Durante ciertos periodos es posible tener faltantes, los cliente esperan hasta que lleue su
pedido.
La sustitución es instantánea, es decir la cantidad de re orden llega toda junta el momento en
que se espera.
El periodo es por lo general anual si no se especifica otra condición.
36
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MODALIDAD A DISTANCIA
Investigación Operativa I
MODELO MATEMÁTICO
Inventario máximo.- Tomando en cuenta que cada vez que realizamos un pedido llega una
cantidad Q, en ese mismo instante tenemos un faltante F que inmediatamente es entregado a
los cliente, que realizaron su pedido con anticipación , por ello el inventario máximo que
vamos a tener es.
𝐼 𝑚á𝑥. = 𝑄 − 𝐹
Inventario promedio.- Con el realiza los cálculos, considerando que el varía durante el
ciclo desde el máximo a cero y nuevamente el ciclo se repite, para ello dividimos para 2 el
inventario máximo.
𝐼𝑚á𝑥 𝑄 − 𝐹
=
2
2
𝐼𝑃 =
Faltante promedio.- Es el promedio del faltante.
𝐹𝑃 =
𝐹
2
Tiempo.- El tiempo to es lapso en el cual los clientes compran y deben esperar hasta que
llegue su pedido, t1 es el tiempo en que los clientes que compran llevan su producto. El
tiempo t es la suma de to y t1.
𝒕 = 𝒕𝒐 + 𝒕𝟏
Relacionando con N tenemos.
𝑡𝑜 =
𝐹
𝐷
𝑡1 =
𝑄−𝐹
𝐷
Costo unitario por faltantes.- Él es costo en que se incurre por no dispones de Stock.
El costo total se debe incluir el costo anual por faltantes CCF.
𝐶𝑇 = 𝐶𝐶 + 𝐶𝑂 + 𝐶𝑀 + 𝐶𝐶𝐹
𝐶𝐶 = 𝑐𝐷
(𝑄 − 𝐹)2
𝐶𝑀 = 𝐶𝑚
2𝑄
𝐶𝑂 = 𝐶𝑜𝑁
37
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MODALIDAD A DISTANCIA
𝐶𝐶𝐹 = 𝐶𝑐𝑓
Investigación Operativa I
𝐹2
2𝑄
(𝑄 − 𝐹)2
𝐷
𝐹2
𝐶𝑇 = 𝑐𝐷 + 𝐶𝑜 + 𝐶𝑚
+ 𝐶𝑐𝑓
𝑄
2𝑄
2𝑄
Aplicando derivadas parciales a las dos variables Q y F.
La cantidad económica a pedir con faltantes es:
2𝐶𝑜𝐷 𝐶𝑚 + 𝐶𝑐𝑓
√
𝑄=√
𝐶𝑚
𝐶𝑐𝑓
𝐹=√
2𝐶𝑜𝐷
𝐶𝑚
√
𝐶𝑐𝑓 𝐶𝑚 + 𝐶𝑐𝑓
𝐼 𝑚à𝑥 = 𝑄 − 𝐹
𝐼𝑚á𝑥 = √
2𝐶𝑜𝐷
𝐶𝑐𝑓
√
𝐶𝑚 𝐶𝑚 + 𝐶𝑐𝑓
Problemas Resueltos
Problema 1.
Un local comercial de colchones ortopédicos realiza pedidos mensuales de 100 unidades. El
local comercial ha determinado que cada vez que realiza una orden de compra sin importar
la cantidad, incurre en un costo de $30 y así mismo estima que el costo anual de mantener el
inventario por unidad es de $0,2. Si cada colchón cuesta $60.
a) ¿Cuál es el costo total?
DATOS
Q= 100 unidades mensuales
IP =
Q
2
=
100
2
=50
N= 12 pedidos por año.
Co= 30 $/ pedido
Cm=0,2 $/unidad/año
38
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MODALIDAD A DISTANCIA
Investigación Operativa I
D=Q.N=100*12=1200 unidades /año.
c= 60$
En la siguiente Tabla se calcula el costo total.
Tabla 15: Calculo Costo Total
Luego de haber calculado el costo total, en la tabla siguiente en la primera fila tenemos el
cálculo del costo requerido por el problema CT=72370. Sin embargo en una hoja de Excel si
variamos la cantidad a pedir, podemos iterar hasta encontrar la cantidad óptima a pedir, la
misma que nos dará el mínimo costo
b)¿Cuál es la cantidad óptima a pedir
Tabla 16: Cálculo del costo mínimo
39
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Investigación Operativa I
Si revisamos los conceptos anteriores, la cantidad óptima a pedir la tenemos cuando
CO=CM, y por ende el Costo Mínimo.
De ésta tabla podemos concluir que.
La cantidad óptima o la cantidad con la que obtenemos el menor costo es igual a 600
unidades.
Se debe pedir dos veces en el año.
El costo de compras es constante para todas las opciones de pedido.
El Costo de Ordenar es igual al Costo de Mantener.
En el grafico a continuación se muestra el comportamiento de las variables.
Figura 13: Costo Total Mínimo
Ahora resolvamos aplicando las fórmulas.
Cantidad óptima
2∗𝐶𝑜∗𝐷
Qop.= √
𝐶𝑚
2∗30∗1200
Q𝑜𝑝 = √
0,2
Qop= 600 unidades
40
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MODALIDAD A DISTANCIA
Investigación Operativa I
Demanda
Si D= 1200
Número de pedidos en el año
𝐷
N=
𝑄
N=
1200
600
N= 2 pedidos
Además Inventario promedio
IP=
IP=
𝑄
2
600
2
IP= 300
c) Si el proveedor realiza un descuento del 5%. ¿Cuál es mi nuevo costo?
Tabla 17: Costo total con descuento
Para realizar algún descuento por lo general en contraparte exigen alguna condición que
puede ser, realizar compras con mayor volumen o realizar más pedidos por condiciones de
producción.
d)¿Cuál es el descuento mínimo que se debe aceptar si la condición es que hagamos pedidos
trimestrales?
𝐶𝑇 = 𝑐𝐷(1 − 𝑑) + 𝐶𝑜𝑁 + 𝐶𝑚
𝑄
2
41
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MODALIDAD A DISTANCIA
72120 = 60 ∗ 1200(1 − 𝑑) + 30 ∗ 4 + 0,2
𝑑=
Investigación Operativa I
300
2
72000 + 120 + 30 − 72120
72000
d>=0,004
Con un descuento mayor al 0,4% se puede aceptar la nueva condición.
Problema 2.
Westside Auto adquiere directamente de su proveedor un componente que se utiliza en la
manufactura de generadores para automóvil. Las operaciones de producción de generadores
de Westside, que funciona a tasa constante, requerirá de 1000 componentes mensuales
durante todo el año (12000 unidades anualmente). Suponga que los costos de pedir son 25
dólares por pedido, el costo unitario es de $2.50 por componente y los costos anuales de
posesión son 20% del valor del inventario.
Westside tiene 250 días laborables por año y el plazo de entrega es de 5 días. Responda a las
siguientes preguntas de políticas de inventarios.
¿Cuál es el EOQ (cantidad económica de pedido = Q) de este componente?
D = 12000
Co = 25
Cm = 0.20*2.50
2𝐶0 ⋅𝐷
𝑄∗ = √
𝑄∗ = √
𝐶𝑚
2. 25 . 1200
= 1095,45
0,20 . 2,50
¿Cuál es el punto de reorden?
Demanda Diaria 𝑑 =
1200
250
= 48 unidades por día; pues se trabaja 250 días en el libro divide
para 365 asumiendo que trabaja 365 días
42
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS
MODALIDAD A DISTANCIA
Investigación Operativa I
PdeR = d Td
Td = tiempo de entrega para un pedido nuevo en días
PdeR = 48*5 = 240 Unidades
¿Cuál es el tiempo del ciclo?
1
𝑄
𝜏 = 𝑁 = 𝐷 Periodo por ciclo
𝑡=
1095⋅45
12000
𝑎ñ𝑜𝑠 *
250 𝑑í𝑎𝑠
1 𝑎ñ𝑜
= 22,82 𝑑í𝑎𝑠
¿Cuáles son los costos totales anuales de posición y de pedir asociados con su EOQ
recomendado?
𝑄
Costo de mantener anual = 𝑐𝑚 2
Costo de mantener anual = (0,20 . 2,50)
Costo inicial anual = Co.N = 𝐶𝑜
1095,45
2
= $273.86
𝐷
𝑄
12000
Costo inicial anual = 25*1095,45 = $273.86
Costo Total = Costo de mantener anual + Costo inicial anual
Costo Total = TC = 273.86 + 273.86 = $547.72
Problema 3
Suponga que es apropiado el programa siguiente de descuentos por cantidad. Si la demanda
anual es de 120 unidades, los costos de pedir son 20 dólares por pedido y la tasa de costo de
posesión anual es de 25%, ¿qué cantidad a pedir recomendaría usted?
Tabla 18: Datos del ejercicio
Tamaño
pedido
0 a 49
50 a 99
100 0 más
del Descuento
(%)
0
5
10
43
Costo
Unitario
($/unid)
$30.00
$28.50
$27.00
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS
MODALIDAD A DISTANCIA
𝑄1∗ = √
Investigación Operativa I
2 ∙ 120 ∙ 20
= 25,3
0,25 ∙ 30
2 ∙ 120 ∙ 20
𝑄2∗ = √
= 26
0,25 ∙ 28,5
2 ∙ 120 ∙ 20
𝑄3∗ = √
= 27
0,25 ∙ 27
𝐷
𝑄
CVT = CD + 𝑄 𝐶𝑜 + 2 𝐶𝑚
En la columna Cantidad a Pedir se coloca Q* si está dentro del intervalo de análisis sino toca
escoger el límite más cercano a éste en cada intervalo.
Tabla 19: Resultados
Tipo de
Costo anual
Costo
Cantidad
Unitario a pedir
Descuento
de mantener
inicial
De Adquisición
Total
1
30
25.3
94.88
94.86
3600
3789.77
2
28.50
50
178.13
48
3420
3646.13
3
27
100
337.5
24
3240
3601.50
Se puede observar que Q = 100 da el menor costo total = 3601.50.
Problema 4.
21. Atu Speed es un distribuidor mayorista de bicicletas. Su gerente revisa su política de
inventarios para un tipo especial de bicicletas para niñas que se vende a una tasa de 250
por mes. Los costos administrativos de colocar una orden de ese tipo de bicicleta es de
$200 y el precio de compra es de $70 por unidad. El costo anual del capital
comprometido es 20% el capital de las bicicletas y el costo adicional de almacenarlas, que
incluye arrendamiento de espacio de bodega, seguros impuestos, etc es de $6 por unidad
y por año. (Rodríguez Acosta, 2011, págs. 177-178)
a) Determinar la cantidad óptima a ordenar, con qué frecuencia y el costo total mínimo
2∗Co∗D
Q=√
Cm
;
2∗200∗3.000
Q=√
20
; Q= 244.95
44
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS
MODALIDAD A DISTANCIA
𝐷
𝑁=
𝑄
𝑁=
Investigación Operativa I
;
3.000
; N= 12.25
244.95
CO = 𝐶𝑜 ∗ 𝑁
CO = 200 ∗ 12.25
CO = 2.450
𝑄
2
CM = 𝐶𝑚 ∗
CM = 20 ∗
244.95
2
CM = 2.450
CC = 𝐶𝑐 ∗ 𝐷
CC = 70 ∗ 3.000
CC = 210.000
CT = 𝐶𝑂 + 𝐶𝑀 + 𝐶𝐶
CT = 2.450 + 2.450 + 210.000
CT = 214.900
b) Resuelva el problema el problema considerando que la empresa acepta una política de
pequeños faltantes ocasionales, considerando que el costo anual por faltantes ( incluida la
pérdida de negocios futuros) sería de $30 multiplicados por el número promedio de
bicicletas faltantes a lo largo del año.
2∗Co∗D
Q=√
Cm
Cm+Ccf
∗√
2∗200∗3.000
Q=√
20
Ccf
;
20+30
∗√
30
;
Q= 316.23
2∗Co∗D
F=√
Ccf
2∗200∗3.000
F√
30
Cm
∗ √Cm+Ccf ;
20
∗ √20+30 ;
F= 126.49
45
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MODALIDAD A DISTANCIA
Investigación Operativa I
lim máx = Q-F
lim máx = 316.23 – 126.49 = 189.74
𝑁=
𝑁=
𝐷
𝑄
;
3.000
316,23
;
N= 9.49
CO = 𝐶𝑜 ∗ 𝑁
CO = 200 ∗ 9.49
CO = 1.898
CM = 𝐶𝑚 ∗
(𝑄 − 𝐹)2
2𝑄
(316.23 − 126.49)2
CM = 20 ∗
2 ∗ 316.23
CM = 1.138,45
(𝐹)2
CCF = 𝐶𝑐𝑓 ∗
2𝑄
(126.49)2
CCF = 30 ∗
2 ∗ 316.23
CCF = 798.93
CT = 𝐶𝑂 + 𝐶𝑀 + 𝐶𝐶𝐹 + 𝐶𝐶
CT = 1.898 + 1.138,45 + 798,93 + 210.000
CT = 213.835,38
46
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS
MODALIDAD A DISTANCIA
Investigación Operativa I
CAPÍTULO 5
Regresar
CONCEPTOS GENERALES
Figura 14: redes Pert – Cpm
COMPETENCIA ESPECÍFICA
El estudiante estará en capacidad de resolver modelos de redes PERT – CPM de diferentes
tipos de proyectos y en sus diferentes etapas.
OBJETIVO DE LA UNIDAD DE COMPETENCIA
Resolver modelos de redes PERT – CPM de diferentes tipos de proyectos y en sus diferentes
etapas.
CONTENIDO
•
•
PLANIFICACIÓN DE UN PROYECTO: REDES O DIAGRAMAS DE FLECHAS.
PROGRAMACIÓN DE UN PROYECTO: CALCULO DE TIEMPOS MÁS
TEMPRANOS Y MÁS TARDÍOS.
•
CONTROL DE UN PROYECTO: DIAGRAMAS DE GANTT
•
PROGRAMACIÓN DE COSTOS DE UN PROYECTO
•
REALIZACIÓN DE TRABAJOS PRÁCTICOS: USO DE M. S. PROJECT
47
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS
MODALIDAD A DISTANCIA
Investigación Operativa I
EXPLICACIÓN
En este capítulo se analizarán la Técnica de Revisión y Evaluación de Programas (PERT) y
el método de la Ruta Crítica (CPM) con el estudio de estas técnicas tendremos la destreza de
plantear, programar y controlar proyectos con numerosas actividades, definir la ruta crítica
del mismo y el tiempo de duración mínimo del proceso o proyecto, las holguras en las
actividades que no pertenezcan a la ruta crítica.
Adicionalmente se analizarán procesos con los tiempos inciertos de las actividades. En la
cual se analizará la probabilidad de terminar un proyecto en un tiempo esperado.
Puntos de Intercambio de tiempo – costo para mejorar el tiempo de finalización de un
proyecto sacrificando el costo del mismo. Existen innumerables aplicaciones de este tipo de
problemas.
Es indispensable que usted pueda plantear este tipo de redes pues en sus evaluaciones no
podrá utilizar MS Project.
Problemas Resueltos
Problema 1.
Para la terminación de una cocina queremos saber en qué tiempo vamos a terminar esta labor
en la siguiente tabla veremos las actividades que vamos a realizar con su respectivo tiempo
de acabados.
Tabla 20 Tabla de datos del problema
ACTIVIDAD
DESCRIPCION
Actividad
Precedente
-
TIEMPO
(Días)
3
A
Enlucido
B
Instalación energía
-
5
C
Instalación cerámica
B
3
D
Instalación grifería
A, C
4
E
Ventanas
D
8
F
Inst. extractor de olor
C
2
G
Inst. muebles de cocina
E
4
H
Pintura
F
2
I
Iluminación
B
5
J
Instalación calefón
H, E, G
3
48
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MODALIDAD A DISTANCIA
Investigación Operativa I
RED O DIAGRAMA DE FLECHAS:
Figura 15: Red o diagrama de flechas
TABLA DE TIEMPOS Y HOLGURAS:
Tabla 21: Tiempos y Holguras
ACTIV.
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
ACT. duración
PRECED. (sem)
-3
-5
B
3
A,C
4
D
8
C
2
E
4
F
2
B
5
E,H,G
3
ES
0
0
5
8
12
8
20
10
5
24
EF
LS
LF HOLGURA
3
5
8
12
20
10
24
12
10
27
5
0
5
8
12
20
20
22
22
24
8
5
8
12
20
22
24
24
27
27
Ruta crítica: B-C-D-E-G-J
49
5
0
0
0
0
12
0
12
17
0
RUTA
CRITICA?
-cr
cr
cr
cr
-cr
--cr
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MODALIDAD A DISTANCIA
Investigación Operativa I
Problema 2.
PERT – CPM DE TIEMPO PROBABILISTICO
La construcción de una casa ubicada en un conjunto residencial muestra las siguientes
actividades: A levantamiento de planos, B establecimiento de terrero, C fundición de
cimientos, D columnas, E paredes, F fundición losa, G enlucido, H puesta puertas y ventanas,
I pintura y acabados. Indique la probabilidad de terminar este trabajo en 27 semanas
Tabla 22: Tiempos medios y varianza
ACT.
PREDEC.
𝑡0
𝑡𝑚
𝑡𝑝
𝑡𝑜 + 4𝑡𝑚 + 𝑡
𝑝
𝟔
(
𝑡𝑝 − 𝑡0 2
)
6
A
-
2
3
4
3
0,11
B
A
2
3
6
3,5
0,44
C
B
3
5
7
5
0,44
D
A
2,5
4
7
4,25
0,56
E
C
2
3
4
3
0,11
F
D,E
1
2
11
3,5
2,78
G
F
1
5
6
4,5
0,69
H
F
1
7
7
6
1
I
G,H
1
1
1
1
0
Tiempo medio de terminación de la construcción de la casa en Conjunto residencial: es 24.5
Semanas y la Ruta Crítica: A – B – C – E – F – H – I
Tp = 24.67
σp 2 = 4,89
σp = 2,21
𝑧=
𝑇𝑝 − 𝑇𝑑 27 − 24,67
=
= 1,05
𝜎𝑥
2,21
Según la tabla del a distribución de probabilidad Normal en el anexo, implicaría una
probabilidad de terminar este trabajo en 27 semanas de un 85.3 %.
50
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS
MODALIDAD A DISTANCIA
Investigación Operativa I
INICIO
Figura 16: Diagrama de flechas
Podemos valernos de un software para resolver éste problema, utilizaremos POM para
Windows, en Module seleccionamos Project Management PERT_CPM
Figura 17: Tutorial de Análisis de Redes PERT/CPM
51
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS
MODALIDAD A DISTANCIA
Investigación Operativa I
En nuevo triple time stimate, como tenemos tres tiempos.
Figura 18: Tutorial de Análisis de Redes PERT/CPM
Llenamos el número de tareas, tabla precedente y como desaseamos que se describa cada
tarea, clic en ok.
Figura 19: Tutorial de Análisis de Redes PERT/CPM
52
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MODALIDAD A DISTANCIA
Investigación Operativa I
Llenamos la tabla con los datos de ejercicio y clic en solve.
Figura 20: Tutorial de Análisis de Redes PERT/CPM
Se despliega las diferentes tablas de resultados que coinciden con las calculadas.
Para una mejor aplicación de estos cálculos se adjunta como anexo a esta guía un tabla
de probabilidades de la distribución Normal (comprobar los resultados en dicha tabla).
Y una tabla de fórmulas más utilizadas
53
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MODALIDAD A DISTANCIA
Investigación Operativa I
AUTOEVALUACIÓN
BASE DE LA PREGUNTA 1
Relacione la columna de la izquierda (concepto) con la
columna de la derecha (definición)
CONCEPTOS
DEFINICIÓN
1. IP
a) Inventario promedio es igual al promedio aritmético
entre el inventario máximo y el inventario mínimo.
2. c
b) Costos cargados al inventario, expresados como % del
valor del costo del capital o del valor del inventario
promedio.
3. CC
c) Costo anual de compras
4. i
d) Costo o Precio unitario de compra
OPCIONES
RESPUESTA
A
B
DE C
D
E
F
1a, 2b, 3c, 4d
1c, 2a, 3b, 4d
1a, 2d, 3c, 4b
1c, 2b, 3a, 4d
1b, 2d, 3a, 4c
1c, 2a, 3d, 4c
Relacione la columna de la izquierda (concepto) con la
BASE DE LA PREGUNTA 2 columna de la derecha (definición)
CONCEPTOS
DEFINICIÓN
1. to
a) Tiempo pesimista
2. ESi
b) Tiempo de inicio más temprano
3. EFi
c) Tiempo optimista
4. tp
d) Tiempo de finalización más tardía
OPCIONES
RESPUESTA
A
B
DE C
D
E
F
1a, 2b, 3c, 4d
1c, 2b, 3d, 4a
1b, 2c, 3d, 4a
1c, 2b, 3a, 4d
1b, 2d, 3a, 4c
1a, 2b, 3d, 4c
54
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MODALIDAD A DISTANCIA
Investigación Operativa I
PROBLEMA 1
Una empresa de limpieza ha estimado una demanda de 1000 guantes por semana y compra
guantes a $1,5 con un tiempo de demora de 3 días.
Actualmente se compra minimizando los costos utilizando el modelo óptimo, teniendo
estimado que el costo de mantener el inventario es de 15% de su costo, el costo de ordenar el
pedido es de $55.
BASE DE LA PREGUNTA 3 ¿Qué cantidad debe pedir en cada compra?
OPCIONES
RESPUESTA
A
B
DE
C
D
E
3202 unidades
4210 unidades
2030 unidades
5042 unidades
930 unidades
BASE DE LA PREGUNTA 4 ¿Cuántos pedidos anuales se debe hacer?
OPCIONES
RESPUESTA
A
B
DE
C
D
E
8,12 pedidos
10,31 pedidos
6,3 pedidos
12 pedidos
9 pedidos
BASE DE LA PREGUNTA 5 ¿Cuál es el tiempo entre pedidos?
OPCIONES
RESPUESTA
A
B
DE
C
D
E
44,95 días
53,94 días
30,42 días
35,40 días
40,56 días
BASE DE LA PREGUNTA 6 ¿Cuál es el costo anual de mantener?
OPCIONES
RESPUESTA
A
B
DE
C
D
E
$672,3
$100,14
$423,5
$356,1
$576,05
BASE DE LA PREGUNTA 7 ¿Cuál es el costo total anual?
OPCIONES
RESPUESTA
A
B
DE
C
D
E
$79134,1
$82431,23
$67422,5
$74433,53
$11016,12
55
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MODALIDAD A DISTANCIA
Investigación Operativa I
PROBLEMA 2
Considere el Proyecto con los datos expresados en la siguiente tabla (tiempo en días)
Tarea
A
B
C
D
E
F
Tarea Precedente
------B
A–D
C–E
Tiempo (días)
10
8
9
12
4
6
BASE DE LA PREGUNTA 8 ¿Cuál es el tiempo de terminación del proyecto?
OPCIONES
RESPUESTA
A
B
DE
C
D
E
20 días
42 días
30 días
19 días
12 días
BASE DE LA PREGUNTA 9 La ruta crítica es:
OPCIONES
RESPUESTA
A
B
DE
C
D
E
A, B, F
B, D, E, F
B, D, F
A, B, C, F
B, C, D, E
BASE DE LA PREGUNTA La holgura de la actividad C es:
10
A 0
B 1
OPCIONES
DE
C 9
RESPUESTA
D 15
E 8
56
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS
MODALIDAD A DISTANCIA
Investigación Operativa I
BIBLIOGRAFÍA BÁSICA
Anderson, D. R., Sweeney, D. J., Willams, T. A., Camm, J. D., & Kipp, M. (2011).
MÉTODOS CUANTITATIVOS PARA LOS NEGOCIOS. Mexico: Internacional
Thomson.
Rodríguez Acosta, S. (2011). INVESTIGACIÓN OPERATIVA VOLUMEN I. Quito:
Impresores MYL .
Rodríguez, I. S. (2011). Enseñanza Aprendizaje de la Investigación Operativa. Quito:
ImpresoresMYL.
BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA
1.
RENDER, Barry, STAIR, Ralph M., HANNA Michael E., “Métodos cuantitativos
para los Negocios”. Novena Edición. Pearson, Prentice Hall. 2006.731p.
2.
HILLIER, Frederick. HILLIER, Mark. LIEBERMAN, Gerald. Métodos cuantitativos
para administración. Primera Edición. McGraw-Hill Interamericana. 2002. 855p
3.
BONINI, Charles. HAUSMAN, Warren. BIERMAN, Harold. Análisis Cuantitativo
Para los Negocios. Novena Edición. McGraw-Hill Interamericana. 2001. 530p.
4.
TAHA, Hamdy A. Investigación de Operaciones, una introducción. Sexta Edición.
Prentice – Hall. 1998. 916p.
5.
EPPEN, GOULD, SCHMIDT, MOORE y WEATHERFORD. Investigación de
Operaciones en la Ciencia Administrativa. Quinta Edición. Prentice - Hall
Hispanoamericana S.A. 2000. 702p.
57
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS
MODALIDAD A DISTANCIA
Investigación Operativa II
ANEXOS
TABLA DE DISTRIBUCIONES NORMALES
Z
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4,0
0,00
0,5
0,53983
0,57926
0,61791
0,65542
0,69146
0,72575
0,75804
0,78814
0,81594
0,84134
0,86433
0,88493
0,9032
0,91924
0,93319
0,9452
0,95543
0,96407
0,97128
0,97725
0,98214
0,9861
0,98928
0,9918
0,99379
0,99534
0,99653
0,99744
0,99813
0,99865
0,99903
0,99931
0,99952
0,99966
0,99977
0,99984
0,99989
0,99993
0,99995
0,99997
0,01
0,50399
0,5438
0,58317
0,62172
0,6591
0,69497
0,72907
0,76115
0,79103
0,81859
0,84375
0,8665
0,88686
0,9049
0,92073
0,93448
0,9463
0,95637
0,96485
0,97193
0,97778
0,98257
0,98645
0,98956
0,99202
0,99396
0,99547
0,99664
0,99752
0,99819
0,99869
0,99906
0,99934
0,99953
0,99968
0,99978
0,99985
0,9999
0,99993
0,99995
0,99997
0,02
0,50798
0,54776
0,58706
0,62552
0,66276
0,69847
0,73237
0,76424
0,79389
0,82121
0,84614
0,86864
0,88877
0,90658
0,9222
0,93574
0,94738
0,95728
0,96562
0,97257
0,97831
0,983
0,98679
0,98983
0,99224
0,99413
0,9956
0,99674
0,9976
0,99825
0,99874
0,9991
0,99936
0,99955
0,99969
0,99978
0,99985
0,9999
0,99993
0,99996
0,99997
0,03
0,51197
0,55172
0,59095
0,6293
0,6664
0,70194
0,73565
0,7673
0,79673
0,82381
0,84849
0,87076
0,89065
0,90824
0,92364
0,93699
0,94845
0,95818
0,96638
0,9732
0,97882
0,98341
0,98713
0,9901
0,99245
0,9943
0,99573
0,99683
0,99767
0,99831
0,99878
0,99913
0,99938
0,99957
0,9997
0,99979
0,99986
0,9999
0,99994
0,99996
0,99997
0,04
0,51595
0,55567
0,59483
0,63307
0,67003
0,7054
0,73891
0,77035
0,79955
0,82639
0,85083
0,87286
0,89251
0,90988
0,92507
0,93822
0,9495
0,95907
0,96712
0,97381
0,97932
0,98382
0,98745
0,99036
0,99266
0,99446
0,99585
0,99693
0,99774
0,99836
0,99882
0,99916
0,9994
0,99958
0,99971
0,9998
0,99986
0,99991
0,99994
0,99996
0,99997
58
0,05
0,51994
0,55962
0,59871
0,63683
0,67364
0,70884
0,74215
0,77337
0,80234
0,82894
0,85314
0,87493
0,89435
0,91149
0,92647
0,93943
0,95053
0,95994
0,96784
0,97441
0,97982
0,98422
0,98778
0,99061
0,99286
0,99461
0,99598
0,99702
0,99781
0,99841
0,99886
0,99918
0,99942
0,9996
0,99972
0,99981
0,99987
0,99991
0,99994
0,99996
0,99997
0,06
0,52392
0,56356
0,60257
0,64058
0,67724
0,71226
0,74537
0,77637
0,80511
0,83147
0,85543
0,87698
0,89617
0,91309
0,92785
0,94062
0,95154
0,9608
0,96856
0,975
0,9803
0,98461
0,98809
0,99086
0,99305
0,99477
0,99609
0,99711
0,99788
0,99846
0,99889
0,99921
0,99944
0,99961
0,99973
0,99981
0,99987
0,99992
0,99994
0,99996
0,99998
0,07
0,5279
0,56749
0,60642
0,64431
0,68082
0,71566
0,74857
0,77935
0,80785
0,83398
0,85769
0,879
0,89796
0,91466
0,92922
0,94179
0,95254
0,96164
0,96926
0,97558
0,98077
0,985
0,9884
0,99111
0,99324
0,99492
0,99621
0,9972
0,99795
0,99851
0,99893
0,99924
0,99946
0,99962
0,99974
0,99982
0,99988
0,99992
0,99995
0,99996
0,99998
0,08
0,53188
0,57142
0,61026
0,64803
0,68439
0,71904
0,75175
0,7823
0,81057
0,83646
0,85993
0,881
0,89973
0,91621
0,93056
0,94295
0,95352
0,96246
0,96995
0,97615
0,98124
0,98537
0,9887
0,99134
0,99343
0,99506
0,99632
0,99728
0,99801
0,99856
0,99896
0,99926
0,99948
0,99964
0,99975
0,99983
0,99988
0,99992
0,99995
0,99997
0,99998
0,09
0,53586
0,57535
0,61409
0,65173
0,68793
0,7224
0,7549
0,78524
0,81327
0,83891
0,86214
0,88298
0,90147
0,91774
0,93189
0,94408
0,95449
0,96327
0,97062
0,9767
0,98169
0,98574
0,98899
0,99158
0,99361
0,9952
0,99643
0,99736
0,99807
0,99861
0,999
0,99929
0,9995
0,99965
0,99976
0,99983
0,99989
0,99992
0,99995
0,99997
0,99998
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS
MODALIDAD A DISTANCIA
Investigación Operativa II
FORMULARIO
𝜎2 = (
𝑏−𝑎 2
)
6
𝑡𝑒 =
𝑡0 + 4𝑓𝑚 + 𝑡𝑝
6
𝑧=
𝑇𝑝 − 𝑇𝑑
𝜎𝑥
MODELO DE INVENTARIO BÁSICO EQQ – LEO
CT = CC+CO + CM
2𝐶𝑜 𝐷
Q* = √
𝑖 𝐶𝐶
N=√2𝐶𝑜
𝐶𝑚
𝐷
𝐷
CT = C.D + Co (𝑄 ) +
𝑄
N =𝑄
IP= 2
Cm = i*c
T =𝐷
𝑄
𝐶𝑚 ( 2 )
Q.c
𝑐.𝐷
=
𝑁
=
𝐶𝐶
𝑁
=
𝑄
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑄
CT ( con d) CT (sin d)
𝑄
CC = c(1-d)D
CM = i.c. 2 (1-d)
𝑄
c(1-d)D + CoN + ic. 2 (1-d)
= CT (sin d)
MODELO DE INVENTARIO CON ALTANTES
Imax = Q – F
IP =
t = t1 + t0
T =𝐷
𝐼𝑚𝑎𝑥
2
=
𝐹
𝑄−𝐹
FP = 2
2
𝑄
𝐹
t1=
𝐷
to = 𝐷
CT = c.D+Co (𝑄 ) + 𝐶𝑚
(𝑄−𝐹)2
2𝑄
𝑄−𝐹
𝐷
+
𝐹2
𝐶𝐶𝐹 2𝑄
2𝐶𝑜 𝐷
Q =√
𝐶𝑚
2𝐶𝑜 𝐷
𝐶𝑚 +𝐶𝐶𝐹
√
F=√
𝐶𝐶𝐹
𝐶𝐶𝐹
√𝐶
𝐶𝑚
𝑚 +𝐶𝐶𝐹
MODELO DE INVENTRIO DE PRODUCCIÓN
𝐷
𝑉
Imax = 𝑄𝑝 (1 − 𝑃)
N =𝑄
𝑝
CT
𝐶𝑚
𝐷
𝐶𝐹 𝐷 + 𝐶𝑝 𝑄 +
=
𝑄𝑝
2
𝐶𝑃 = 𝐶𝑝
𝑝
𝑉
(1 − 𝑃)
𝑄𝑝 = √
2𝐶𝑝 𝐷
𝑉
𝐶𝑚 (1 − 𝑃 )
59
𝑉
𝑃
𝐷 𝐶𝑚(1− )
N =√
2𝐶𝑝
𝐷
𝑄𝑝
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS
MODALIDAD A DISTANCIA
Investigación Operativa II
TABLA DE ILUSTRACIONES
FIGURA
FIGURA
FIGURA
FIGURA
FIGURA
FIGURA
FIGURA
FIGURA
FIGURA
FIGURA
FIGURA
FIGURA
FIGURA
FIGURA
FIGURA
FIGURA
FIGURA
FIGURA
FIGURA
1 ESQUEMA DE RESOLUCIÓN ..........................................................................................................................1
2 ..............................................................................................................................................................2
3 ..............................................................................................................................................................3
4 ..............................................................................................................................................................4
5 ..............................................................................................................................................................6
6 INGRESO VS. COSTO ................................................................................................................................10
7: ÁRBOL DE PROBABILIDADES ......................................................................................................................15
8 COMPORTAMIENTO DE LOS INVENTARIOS EN EL TIEMPO..................................................................................31
9: MODELO DE INVENTARIOS .......................................................................................................................32
10: COSTO TOTAL DE INVENTARIOS ...............................................................................................................35
11: MODELO DE INVENTARIOS CON FALTANTES ...............................................................................................36
12: COSTO TOTAL MÍNIMO .........................................................................................................................40
13: REDES PERT – CPM...............................................................................................................................47
14: RED O DIAGRAMA DE FLECHAS ...............................................................................................................49
15: DIAGRAMA DE FLECHAS .........................................................................................................................51
16: TUTORIAL DE ANÁLISIS DE REDES PERT/CPM...........................................................................................51
17: TUTORIAL DE ANÁLISIS DE REDES PERT/CPM...........................................................................................52
18: TUTORIAL DE ANÁLISIS DE REDES PERT/CPM...........................................................................................52
19: TUTORIAL DE ANÁLISIS DE REDES PERT/CPM...........................................................................................53
TABLAS
TABLA 1: DATOS DEL GRÁFICO ...................................................................................................................................9
TABLA 2: DATOS DEL PROBLEMA ..............................................................................................................................10
TABLA 3: RESULTADOS DEL PROBLEMA ......................................................................................................................10
TABLA 4: MATRIZ DE RENDIMIENTOS ........................................................................................................................17
TABLA 5: MATRIZ DE ESTADOS DE LA NATURALEZA Y ALTERNATIVAS ...............................................................................18
TABLA 6: MATRIZ DE ESTADOS DE LA NATURALEZA Y ALTERNATIVAS ...............................................................................18
TABLA 7: MATRIZ DE ESTADOS DE LA NATURALEZA Y ALTERNATIVAS ...............................................................................19
TABLA 8: MATRIZ DE ESTADOS DE LA NATURALEZA Y ALTERNATIVAS ...............................................................................20
TABLA 9: DATOS PARA GRAFICAR..............................................................................................................................20
TABLA 10: MATRIZ DE GANANCIAS ESPERADAS............................................................................................................23
TABLA 11: MATRIZ DE PÉRDIDAS ESPERADAS DE OPORTUNIDAD......................................................................................23
TABLA 12: TABLA DE DATOS ....................................................................................................................................24
TABLA 13: COSTO TOTAL ........................................................................................................................................34
TABLA 14: COSTO TOTAL CON DESCUENTOS ...............................................................................................................36
TABLA 15: CALCULO COSTO TOTAL...........................................................................................................................39
TABLA 16: CÁLCULO DEL COSTO MÍNIMO ...................................................................................................................39
TABLA 17: COSTO TOTAL CON DESCUENTO .................................................................................................................41
TABLA 18: DATOS DEL EJERCICIO ..............................................................................................................................43
TABLA 19: RESULTADOS .........................................................................................................................................44
TABLA 20 TABLA DE DATOS DEL PROBLEMA ................................................................................................................48
TABLA 21: TIEMPOS Y HOLGURAS ............................................................................................................................49
TABLA 22: TIEMPOS MEDIOS Y VARIANZA ...................................................................................................................50
60