SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS Si trazamos dos

SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS
Si trazamos dos rectas perpendiculares denominadas ejes
de coordenados, una horizontal y otra vertical,
intersecándose en un punto . La línea horizontal se
denomina eje x, la vertical, eje y i es el origen. Un plano
con tales ejes de coordenadas se denomina plano
cartesiano o simplemente plano xy.
Seleccionamos una unidad de longitud a lo largo de los dos
ejes. (Por lo regular, las unidades de longitud sobre ambos
ejes son las mismas). Partiendo del origen
que hace las
veces de cero, marcamos escalas numéricas como se
muestra en la FIGURA 1. Los números positivos se disponen
a la derecha de , sobre el eje x y por encima de a lo largo
del eje y.
Consideremos cualquier punto sobre el plano. Desde , trazamos la perpendicular
al eje x y la
perpendicular
al eje y, como se observa en la FIGURA 1. Si el punto
representa al número
sobre el eje x y el punto
representa al punto y sobre el eje y, entonces i se denominan las
coordenadas cartesianas del punto . Escribimos estas dos coordenadas encerradas entre paréntesis,
en el orden
.
En esta forma, correspondiendo a cada punto del plano, existe una única pareja de números reales
que son las coordenadas del punto. Y recíprocamente, observemos que a cada pareja de
números reales
le corresponde un único punto en el plano. Esta representación de puntos en el
plano por parejas de números reales se llama sistema de coordenadas cartesianas.
Si la pareja
representa al punto en el plano, entonces
(el primer elemento) se llama la abscisa o coordenada del
punto i (el segundo elemento) se denomina la ordenada o
coordenada de . La abscisa y la ordenada de se conocen
como las coordenadas cartesianas o rectangulares del punto
. La notación
se utiliza para denotar al punto con
coordenadas
.
Las coordenadas del origen son
Para cada punto del eje
x, la coordenada y es cero; cada punto del eje y tiene
coordenada cero. En la FIGURA 2 aparecen varias parejas de
números reales y los puntos correspondientes.
Los ejes de coordenadas dividen al plano xy en cuatro
porciones, llamados cuadrantes. Los cuadrantes se conocen
como el primero, segundo, tercero y cuarto, como se observa
en la FIGURA 3.
está en el primer cuadrante si
está en el segundo cuadrante si
está en el tercer cuadrante si
está en el cuarto cuadrante si
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FORMULA DE LA DISTANCIA
La distancia entre dos puntos
en el plano es
y
√
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Ejemplo 1 Usando la fórmula de distancia.
¿Cuál de los puntos
o
está más cerca del punto
Solución
FÓRMULA DEL PUNTO MEDIO
El punto medio de un segmento de
es
(
a
)
Ejemplo 2 Usando la fórmula del punto medio.
Hallar el punto medio del segmento:
a)
b)
Solución
y
y
?
EJERCICIOS
1. Usar la fórmula de distancia para calcular la distancia entre los puntos dados:
a)
y
b)
y
c)
y
d)
y
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Solución a)
√
y
√
√
√
2. Usar la fórmula del punto medio para calcular el puto medio entre los puntos dados:
a)
y
b)
y
c)
y
d)
y
Solución a)
y
(
)
(
)
3. Un jugador de fútbol pasa el balón a un punto que se encuentra a 12
metros de la línea lateral y 18 metros de la línea de fondo y. El pase es
recibido por un compañero de equipo que se encuentra a 50 metros de
la línea lateral y 42 metros de la línea de fondo, como se muestra en la
figura. ¿Calcular la longitud del pase?
4. Barnes & Noble tuvo ventas anuales de aproximadamente $ 5,1 millones en 2005 y $ 5,4 mil millones
en 2007. Sin conocer cualquier información adicional, cuál sería su
estimación sobre las ventas en el año 2006?
5. Hallar la distancia entre los puntos
entre ellos.
a)
,
.
b)
,
.
c)
,
.
d)
,
.
y , y determinar el punto medio
DEFINICIÓN El gráfico de una ecuación con dos incógnitas, tales como
aquellos puntos cuyas coordenadas
satisfacen la ecuación.
e , es el conjunto de todos
Ejemplo 3
a) Represente el gráfico de la ecuación lineal:
Solución
b) Represente el gráfico de la ecuación lineal:
Solución
c) Represente el gráfico de las ecuaciones lineales:
Solución
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