ondas mecánicas

ONDAS MECÁNICAS
Profesor
BRUNO MAGALHAES
I. ONDAS MECÁNICAS
En Física se estudian dos tipos de ondas: Las Ondas Mecánicas y las
Ondas Electromagnéticas.
Una Onda Mecánica es la propagación de una perturbación a
través de un medio físico.
Al lanzar una piedra al agua, a partir del punto de entrada de la piedra
elementos de agua se mueven horizontal y verticalmente (con un
desplazamiento neto nulo, vuelven a su posición original) transfiriendo
energía de unos a otros elementos y se propaga una onda a través del
agua que viaja en su superficie en forma de circunferencia.
Al sacudir verticalmente hacia arriba y hacia abajo el extremo de una
cuerda, los elementos de la cuerda se mueven hacia arriba y hacia abajo
(con un desplazamiento neto nulo, vuelven a su posición original) y se
propaga una onda a través de la cuerda que viaja horizontalmente.
Al perturbar el aire mediante algún mecanismo, elementos de aire oscilan
en la misma dirección de la perturbación, empujándose unos a otros (con
un desplazamiento neto nulo, vuelven a su posición original) y se propaga
una onda en la misma dirección de la perturbación, denominada onda de
sonido.
Mientras las ondas mecánicas necesitan un medio físico de para poder
viajar, las ondas electromagnéticas se propagan en vacío a la velocidad de
la luz. Se generan acelerando partículas, donde se radia una onda debido
a campos eléctricos y magnéticos que oscilan. Ejemplos de estas últimas
son las ondas de radio y televisión, luz visible, rayos X, etc.
En resumen las ondas mecánicas requieren de:
Un mecanismo de perturbación, el cual es la fuente de la onda.
Un medio físico que se perturba y puede propagar la onda.
Es importante diferenciar el movimiento de las partículas físicas del medio
perturbado al movimiento de la onda, la onda viaja a través del medio, las
partículas del medio no viajan.
Esta es la característica fundamental del movimiento de las ondas,
transfieren energía a distancia, mas no materia.
Como ejemplo, consideremos una cuerda larga bajo una tensión, y con
una sola sacudida se forma un pulso (onda) que se desplaza con una
rapidez determinada a lo largo de la cuerda, dicha rapidez y la altura del
pulso dependen de las propiedades físicas del medio, como la tensión de
la cuerda y su masa por unidad de longitud, lo cual demostraremos mas
adelante.
Pulso
v
La cuerda es el medio a través del cual viaja el pulso hacia la derecha con
una velocidad definida, la forma del pulso no sufre modificación en su
viaje a través de la cuerda. (En la realidad el pulso cambia de forma y
gradualmente se extiende durante el movimiento y se dispersa, no consideraremos
el fenómeno de dispersión del pulso)
Si movemos repetidamente el extremo de la cuerda, se forman varios
pulsos que conforma una onda viajera, la cual es una perturbación
periódica que se desplaza en el medio, con rasgos distintos a un solo pulso
de onda.
I.1 ONDAS TRANSVERSALES
Considerando el movimiento de los elementos del medio físico través del
cual se propagan, las ondas se clasifican en transversales y longitudinales.
Analizando el movimiento de un elemento P de la cuerda:
Los elementos de la cuerda se mueven perpendicularmente (hacia arriba y
abajo) a la dirección de la onda que viaja hacia la derecha.
Las ondas viajeras o pulsos en los cuales los elementos del medio
perturbado se mueven perpendicularmente (transversalmente) a la
dirección de propagación de la onda se denominan ondas transversales.
Si sacudimos un resorte largo longitudinalmente (hacia la derecha e
izquierda) se comprimen unas espiras y se estiran (estrechan) otras en
regiones del resorte, dichas regiones se desplazan a lo largo del resorte
formando una onda viajera, donde los elementos del medio se mueven
paralelamente a la dirección de propagación de la onda.
Las ondas viajeras o pulsos en los cuales los elementos del medio
perturbado se mueven paralelamente a la dirección de propagación de la
onda se denominan ondas longitudinales.
En la naturaleza, existen ondas mixtas, en las cuales los elementos del
medio perturbado de propagación experimentan desplazamientos
transversales y longitudinales a la dirección de la onda, como las ondas en
la superficie del agua.
I.1.1 ONDAS TRANSVERSALES VIAJERAS
Considerando un pulso que se desplaza hacia la derecha en una cuerda
larga, tomamos una instantánea del pulso (una foto) en t=0, podemos
representar la forma y posición del pulso por medio de una función
matemática que depende del tiempo “t” y la coordenada “x”. Esta
función describe la posición transversal “y” de un elemento de la cuerda:
t=0
y(x ,0) = f (x)
t>0
Como la rapidez del pulso es v, el pulso ha viajado una distancia vt en “x”
transcurrido un tiempo t, suponiendo que la forma del pulso no cambia
con el tiempo, la forma del pulso en t es la misma que en t=0.
Con lo cual podemos decir que un elemento de la cuerda en x para t tiene
la misma posición y que un elemento situado en x-vt en t=0:
y (x ,t) = y (x – vt , 0)
De forma general, tomando como sistema de referencia de origen en O
(marco estacionario en O) podemos representar la posición transversal
“y” para todas las posiciones “x” y tiempos “t”, como:
y ( x , t ) = f ( x – vt )
Función de Onda Viajera que
se desplaza a la derecha
De forma análoga, si el pulso se desplaza hacia la izquierda, las posiciones
“y” de los elementos de la cuerda están descritos por:
y ( x , t ) = f ( x + vt )
Función de Onda Viajera que
se desplaza a la izquierda
I.1.2 ONDAS TRANSVERSALES SENOIDALES
Si al extremo de una cuerda en tensión conectamos un mecanismo de
oscilación vertical periódica y constante (generando un movimiento
armónico simple), dicho extremo también oscila verticalmente y se
transfiere energía a los demás elementos de la cuerda, creando pulsos
idénticos que conforman una onda viajera senoidal (función de onda
resultante igual a la función senØ), la cual es una de las más importantes
y fundamentales en el estudio del movimiento de ondas.
Todos los elementos de la cuerda (por ejemplo el punto P) oscilan
verticalmente con una frecuencia igual a la frecuencia de oscilación del
mecanismo vibratorio conectado.
Si tomamos una fotografía de la onda en algún tiempo, por ejemplo:
Crestas
Valles
Los puntos más altos de desplazamiento de los elementos de la cuerda se
denominan Crestas de la onda. Así mismo, Los puntos más bajos se
denominan Valles.
La distancia desde la posición original de un elemento de la cuerda (y=0)
hasta la cresta se llama Amplitud “A” de la onda.
La distancia de una cresta a la siguiente se llama Longitud “λ” de la
onda, la cual es la mínima distancia entre dos puntos idénticos.
Si graficamos la posición “y” de un elemento de la cuerda en el tiempo, se
tiene:
El intervalo de tiempo en el cual ocurren dos crestas sucesivas (o dos
puntos idénticos cualesquiera) se llama Período “T”, el cual es el tiempo
en el cual un elemento completa un ciclo (igual en toda la cuerda y
constante)
El número de crestas (o valles, u otro punto cualquiera) que ocurren en un
punto por unidad de tiempo se denomina Frecuencia “f”, donde la
frecuencia es el inverso del período (f=1/T).
Para t=0, la función de onda debe ser del tipo y(x,0) = Asen(ax), donde
A es la amplitud y a es una constante a determinar.
Para x=0, se tiene que y(0,0) = Asen(0) = 0, El siguiente valor de x
para el cual y=0 es en x=λ/2:
y ( λ , 0 ) = A sen( a λ ) = 0
2
2
Lo cual ocurre si a(λ/2) = л, entonces a=2л/λ
y ( x , 0 ) = A sen( 2л x )
λ
Conocido el valor de la constante a, si la onda se mueve a la derecha con
rapidez v constante (cuyo valor determinará en el próximo punto), la
función de onda para un tiempo posterior será:
y ( x , t ) = A sen 2л (x – vt)
λ
La onda viaja una distancia λ en un período T (v= λ /T):
y ( x , t ) = A sen 2л ( x – t )
λ T
Se definen dos nuevas cantidades, k=2л/λ como número de onda
angular y w=2л/T como frecuencia angular:
y ( x , t ) = A sen (kx – wt)
Función de Onda Senoidal
Podemos expresar la rapidez v de una onda senoidal utilizando v=λ/T,
f=1/T y w=2л/T:
v= λf = w/k
Rapidez de Onda Senoidal
La ecuación anterior de función de onda senoidal considera que y=0 para
t=0 y x=0, lo cual no necesariamente siempre ocurre, si agregamos un
término Ø a la ecuación llamado constante de fase, nos indica la
posición inicial “y” para x=0 y t=0:
y ( x , t ) = A sen (kx – wt + Ø )
Expresión general para
Onda Senoidal viajera a
la derecha
Analizando el movimiento de los elementos de la cuerda:
y ( x , t ) = A sen (kx – wt + Ø )
La rapidez transversal (en “y”) por definición es:
vy= dy / dt
La aceleración transversal (en “y”) por definición es:
ay= dvy / dt
vy= dy/dt (x=constante) = ∂y/∂t = – w A cos(kx – wt+Ø)
Vy máx= w A
ay= dvy/dt (x=constante) = ∂vy/∂t = – w2 A sen(kx – wt+Ø)
ay máx= w2 A
Rapidez
transversal
de los
elementos de
la cuerda
Aceleración
transversal
de los
elementos de
la cuerda
I.2 RAPIDEZ DE ONDAS EN CUERDAS
Considerando un pulso que se mueve a la derecha con una rapidez
constante v (no consideramos el fenómeno de dispersión) en una cuerda
que esta sometida a una tensión T determinada (si no existe ninguna
tensión en la cuerda no se puede propagar una onda a través de ella)
Analizando el movimiento un elemento de la cuerda ∆s como muestra la
figura, forma un arco aproximado de radio R:
Dicho elemento solo tiene aceleración vertical, la cual es radial o
centrípeta debido a que es un movimiento de forma curvilínea (arco de
radio R). Amplificando el elemento y elaborando su diagrama de fuerzas:
v
Efectuando sumatoria de fuerzas en los ejes coordenados, en un marco
inercial de referencia junto con la onda (marco con velocidad constante,
viajamos con la onda) considerando una velocidad v tangencial en ese
elemento ∆s:
ΣFx = TcosØ – TcosØ = 0
(El elemento solo oscila verticalmente)
ΣFy = –2TsenØ = –maR
Si la altura del pulso es pequeña comparada con la longitud de la cuerda,
el ángulo Ø es pequeño y senØ~Ø. Si suponemos además que la tensión
no es afectada por el pulso (T es la misma en todos los puntos de la
cuerda:
ΣFy = 2TØ = maR
aR=v2/R y m=µ∆s
Donde µ es la densidad lineal de masa de la cuerda (masa por unidad de
longitud), la cual al multiplicar por la longitud del elemento ∆s (arco de
circunferencia, L=R2Ø) arroja el valor de la masa m de dicho elemento.
ΣFy = 2TØ = maR
2TØ = µ(R2Ø) v2
R
v=
T
µ
2TØ = µ∆s v2
R
T = µ v2
Velocidad (rapidez) de una onda en una cuerda
Es importante señalar que el análisis anterior no considera una forma
particular para el pulso (forma general), cualquier pulso generado en una
cuerda bajo las condiciones supuestas viaja con dicha velocidad sin que
cambie su forma en el tiempo.
Empíricamente se puede demostrar lo anterior, la velocidad de cualquier
onda que se propaga en un medio físico sigue la expresión:
v=
Propiedades elásticas del medio
Propiedades inerciales del medio
I.3 ENERGÍA EN ONDAS
Una de las características fundamentales de las ondas es que transfieren
energía, si colgamos una masa en una cuerda estirada (bajo tensión) y
viaja un pulso por la cuerda:
Al pasar la onda por el punto donde está la masa, le transfiere en energía
cinética que se transforma en energía potencial (sube y baja) y viceversa.
Si consideramos una onda senoidal en una cuerda, la fuente de energía es
algún mecanismo que genera la onda, el cual realiza trabajo sobre el
extremo de la cuerda, y la energía se propaga a través de toda su
longitud.
Analizando el movimiento de una elemento de cuerda de masa ∆m y una
longitud ∆x, su energía cinética es:
Ec = 1 ∆m vy2
2
Ec = 1 (µ∆x) vy2
2
dEc = 1 (µdx) vy2
2
Si ∆x tiende a cero:
Donde vy es la velocidad transversal del elemento, vy = –wAcos(kx–wt+Ø)
dEc = 1 µw2A2cos2(kx–wt+Ø)dx
2
Si integramos esta expresión en una longitud de onda λ, se obtiene la
energía cinética total de todos los elementos diferenciales de la cuerda en
una longitud de onda:
Para simplificar la solución, podemos realizar la integración para t=0 y Ø=0,
el resultado final es una constante y no es afectado por dichos valores, como
se demostrará a continuación:
λ
0
λ
λ
dEc = 1 µw2A2cos2(kx)dx = 1 µw2A2 cos2(kx)dx
2
2
0
0
Por métodos de integración:
Ecλ = 1
2
µw2A2
x + sen2kx
2
4k
λ/2
λ
0
= 1 µw2A2λ
4
Además de energía cinética, en una longitud de onda existe energía
potencial de todos los elementos del medio (por los desplazamientos y
fuerzas verticales desde la posición de equilibrio), si efectuamos el mismo
análisis se obtiene que la energía potencial total es el mismo valor que la
energía cinética total:
Epλ = 1 µw2A2λ
4
Como energía mecánica es igual a cinética más potencial, la energía total de
los elementos de la cuerda en una longitud de onda es:
Emλ= 1 µw2A2λ + 1 µw2A2λ = 1 µw2A2λ
4
4
2
Si esta es energía total en una longitud de onda (que corresponde a un
período de oscilación), como la onda viaja a través de la cuerda la tasa de
transferencia de energía o potencia de la onda es:
P =E =1
2
t
µw2A2
λ
T
v
P = 1 µw2A2 v
2
Potencia
de una
Onda
I.4 ECUACIÓN DE ONDA
Las funciones y(x,t) que representan las ondas que viajan en una cuerda,
son soluciones particulares de una ecuación general que describe el
movimiento de todas las ondas viajeras en una cuerda, llamada ecuación
de onda.
Consideremos una cuerda bajo una tensión T a través de la cual pasa
cualquier tipo de onda viajera, y analicemos un pequeño segmento de la
cuerda de longitud ∆x:
ΣFy = TsenØB – TsenØA = may
Al ser Ø pequeño, senØ ~ tanØ, la tangente de un ángulo se mide como
∆y/∆x, para elementos infinitesimales tanØ=dy/dx, como “y” depende de
dos variables (tiempo y coordenada en “x”), analizamos la tangente
parcialmente respecto a “x”:
ΣFy = T(senØB – TsenØA) = T [(∂y/∂x)B – [(∂y/∂x)A] = may
Tomamos la masa del elemento como µ∆x y ay=(∂2y/∂t2)
µ∆x ∂2y = T [(∂y/∂x)B – [(∂y/∂x)A]
∂t2
µ ∂2y = [(∂y/∂x)B – [(∂y/∂x)A]
T ∂t2
∆x
Recordando la definición de la derivada, de cualquier función:
∂f = lim f(x+∆x) – f(x)
∆x
∂x
0
∆x
Asociando esta última expresión con la anterior:
µ ∂ 2y = ∂ 2 y
T ∂t2
∂x2
Ecuación de onda para
una cuerda
Utilizando v= T/µ
∂2 y = 1 ∂2 y
∂x2
v2
∂t2
Ecuación de onda general
A pesar de obtener esta ecuación a partir de una onda transversal en una
cuerda, esta expresión se aplica a varios tipos de ondas viajeras, como
ondas longitudinales de sonido y ondas electromagnéticas.
I.5 REFLEXIÓN Y TRANSMISIÓN DE ONDAS
Cuando existe un cambio en el medio físico a través del cual se propaga
una onda, como cambio en la densidad del medio, un borde o una frontera
con características que modifican el viaje de la onda a través del medio,
ocurre reflexión y/o transmisión de la onda.
Si consideramos un pulso que viaja a través de una cuerda que está
rígidamente unida a un soporte fijo en un extremo , el pulso experimenta
reflexión:
Si consideramos un pulso que viaja a través de una cuerda que está libre
de moverse verticalmente en un extremo mediante de un anillo sin fricción
(como muestra la figura), el pulso experimenta reflexión:
En los dos casos anteriores la frontera es totalmente fija o totalmente
libre, si tenemos un caso intermedio, por ejemplo, una cambio de menor a
mayor densidad en la cuerda, parte del pulso se transmite y parte se
refleja:
O un cambio de mayor a menor densidad en la cuerda: