MCM, MCD, OPERACIONES CON FRACCIONES

MATEMÁTICA I
MCM, MCD, OPERACIONES
CON FRACCIONES
ING. SANTIAGO FIGUEROA LORENZO
¿QUÉ ES UNA FRACCIÓN?

La fracción está formada por una parte que es el
numerador y por otra que se llama denominador.

El denominador nos indica las partes en que vamos a
dividir una cantidad

El numerador nos indica las partes que tomamos

La fracción es una manera de representar la división,
dónde el numerador es el dividendo y el denominador el
divisor.
Ejemplo: 2/6
2
6
FRACCIONES EQUIVALENTES

Dos fracciones son equivalentes cuando tienen el
mismo valor decimal.
1/2 = 0,5 Y
2/4 = 0,5
Las fracciones equivalentes representan la misma
parte de una cantidad.
 Si las representamos en la recta numérica,
corresponden al mismo punto.
1/2
1/2

0_________________._________________1
2/4


Representemos las fracciones equivalentes
Vemos que ambas fracciones representan la
misma parte.
2/4
FRACCIONES EQUIVALENTES:
AMPLIFICAR



Para obtener fracciones equivalentes se debe
amplificar o simplificar la fracción.
Por amplificar se entiende multiplicar el numerador
y el denominador de una fracción por el mismo
número.
Ejemplo: Amplifiquemos la fracción 2/3 por 6 para
obtener una fracción equivalente.
2 x 6 12
3 x 6 18
=
Luego las fracciones 2/3 y 12/18 son equivalentes.
FRACCIONES EQUIVALENTES:
AMPLIFICAR

¿Cómo conseguir fracciones por ampliación?

Ejemplo: 2/3

2x2 , 2x3 ,2x4 , 2x5 , ......
......
3x2
3x3 3x4
3x5
4 , 6 , 8 , 10 ,
6 9 12 15
NOTA: Todas estas fracciones son equivalentes a 2/3.
Puedes conseguir infinitas fracciones equivalentes al
multiplicar numerador y denominador por los infinitos
números Naturales
FRACCIONES EQUIVALENTES:
SIMPLIFICAR




Para obtener fracciones equivalentes se debe
amplificar o simplificar la fracción.
Por simplificar, se entiende dividir el numerador y
el denominador de una fracción por el mismo
número.
Ejemplo: Simplifiquemos la fracción 9/12 por 3
para obtener una fracción equivalente.
9:3
3
12 : 3
4
=
Luego las fracciones 9/12 y 3/4 son equivalentes.
Es decir
9 3
12 4
FRACCIONES EQUIVALENTES:
SIMPLIFICAR




¿Cómo conseguir todas las fracciones equivalentes a una
por la simplificación?
Vamos a realizar simplificaciones sucesivas hasta encontrar
aquella que no se puede simplificar más.
Ejemplo: 18/24 (aplicamos los criterios de divisibilidad por
los números primos)
18:2
9 9:3
3 ya no podemos seguir simplificando
24:2
12 12:3
4
Cuando una fracción no se puede reducir más, es decir,
que no encontramos ningún número que pueda dividir a
numerador y denominador, esta fracción se llama
irreducible
Fracciones equivalentes: ¿Cómo
saber si dos fracciones son
equivalentes?
1- La
fracción es una manera de representar la división de dos números. Así 4/5
es lo mismo que 4:5
Por tanto dos fracciones serán equivalentes si tienen el mismo valor al hacer la
división:
Ejemplo: 1
1:2= 0,5 y 5
5:10= 0,5
1
5
2
10
2
10
2- Dos fracciones son equivalentes si al multiplicar el numerador de una por el
denominador de la otra se obtiene la misma cantidad. Ejemplo
2 y 6
2 x 15 = 30
luego 2
6 son equivalentes
5
15
6 x 5 = 30
5 15
3
8
y
4
9
3 x 9 = 27
4 x 8 = 32
luego 3
4 no son equivalentes
=
8
9
COMPARAR FRACCIONES
Para comparar fracciones con igual denominador, basta con comparar los
numeradores para definir cuál es mayor o menor.
Resulta mayor la que tiene mayor numerador. Resulta menor la que tiene
menor numerador. Ejemplo
5/8
3 y
5 5> 3
5 > 3
8
8
8
8
3/8
Para comparar fracciones con igual numerador, basta con comparar los
denominadores para definir cuál es mayor o menor.
Resulta mayor la que tiene menor denominador. Resulta menor la que tiene
mayor denominador.
7 y 7
9 >8
7 >7
8
9
8
9
7/9
7/8
COMPARAR FRACCIONES
Para comparar fracciones con diferente denominador, se deben buscar
fracciones equivalentes con denominador común.
Ejemplo: Comparemos las fracciones 2/3 y 3/4
Para compararlas debemos reducir estas fracciones a un denominador
común, a través de la amplificación.
La fracción 2/3
la amplificaremos por 4 y la fracción 3/4
amplificaremos por 3, obteniéndose respectivamente, 8/12 y 9/12 .
2x4
3x4
8
12
y
3x3
4x3
9
12
la
como tienen el mismo denominador
Como 9 > 8, la fracción mayor es 9/12 o sea 3/4 > 2/3
Como ves para hallar las fracciones equivalentes, con el mismo
denominador, hemos ampliado la fracción por el denominador de la otra
fracción.
Cuando son muchas fracciones diferentes hay que aplicar el mínimo
común múltiplo.
SUMA DE FRACCIONES

Para sumar fracciones de igual denominador
obtendremos otra fracción, con el mismo
denominador y como numerador la suma de
los numeradores.

Ejemplo 2/8 + 3/8 = 5/8
5/8
2/8
3/8
RESTA DE FRACCIONES

Para restar fracciones de igual denominador se obtendrá
otra fracción, de igual denominador y como numerador la
resta de los numeradores. (siempre que el minuendo sea
mayor que el sustraendo)

Ejemplo: 6/7 – 2/7 = 4/7
6/7 está pintado de amarillo, se le quita 2/7 que son los dos
recuadros con la cruz, nos queda 4/7 que son los pintados que
nos quedan.
4/7
2/7
6/7
SUMA Y RESTA DE FRACCIONES
DIFERENTE DENOMINADOR
CONCEPTOS PREVIOS
MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO
Para obtener múltiplos de un número multiplicamos
este mismo por los números enteros.
Ejemplo:
 2×1=
2
 Múltiplos
2×2=4
2×3=6
2×4=8
2×5= 10
de 2= 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, etc.
LA DIVISIÓN EXACTA

Una división es exacta cuando al dividir dos
números el resto es 0. Si es así decimos que el
dividendo es múltiplo del divisor.

Una división no es exacta cuando al dividir dos
números el resto es mayor que 0. En este caso
decimos que el dividendo no es múltiplo del
divisor.
DIVISORES DE UN NÚMERO
Para obtener los divisores de un número escogemos
los que lo dividan de manera exacta.
Ejemplo:

10: 1= 10 (exacta)

10:2= 5 (exacta)

10:3= 3 resto, 1 (no
exacta)

10:4= 2 resto, 2 (no
exacta)

10:5= 2

(exacta)
….. 10:10= 1 (exacta)
Divisores de 10= 1, 2, 5 y 10.
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD







Un número es divisible entre 2 si es par.
Un número es divisible entre 3 si la suma de sus
cifras es divisible entre tres.
Un número es divisible entre 4 si sus dos últimas
cifras forman un múltiplo de cuatro.
Un número es divisible entre 5 si acaba en cero o
en cinco.
Un número es divisible entre 6 siempre que sea
divisible entre dos y entre tres.
Un número es divisible entre 10 si acaba en cero.
Un número es divisible entre 11 si al sumar las cifras
que ocupan la posición par y restarles las que
ocupan la posición impar resulta cero u once.
EJERCICIOS
1- Escribe cinco múltiplos de 3.
2- Escribe cinco múltiplos de 5.
3- Escribe cinco múltiplos de 12.
4- Calcula cinco divisores de 20.
5- Calcula cinco divisores de 60.
6- Calcula cinco divisores de 36.
7- De los números siguientes: 54, 60, 100, 28. ¿Cuáles son
múltiplos de 2, 3, 4, 5, 10?
8- De los números siguientes: 42, 100, 36, 75. ¿Cuáles son
divisores entre 2, 3, 5, 10?
9- De los números siguientes: 198, 936, 750, 534, 621, 868, 340.
¿Cuáles son divisibles entre 2, 3, 4, 5, 6, 10 y 11?
10- Explica si los siguientes números son divisibles entre 2, entre
5 o entre 3: 26, 15 y 19.
NÚMEROS PRIMOS Y
COMPUESTOS
Los números primos son los que tienen dos divisores, que son el 1 y
el mismo número primo.
Ejemplo:
 El
número 7 es primo porque sólo es divisible
entre 1 y entre sí mismo.
Los números compuestos son los que tienen más de dos divisores.
Ejemplo:
 El
número 4 es compuesto porque es divisible
entre 1, entre 2 y entre 4.
DESCOMPOSICIÓN
FACTORES PRIMOS
Consiste en expresar el número como un producto de factores primos.
1º- Dividimos el número por el primer número primo que podamos.
2º- El cociente que haya resultado lo colocamos bajo el número.
3º- Si podemos seguimos dividiendo sucesivamente
mismo número primo.
ese cociente por el
4º- Cuando no podamos hacer la división por ese número primo lo hacemos
por el siguiente primo que se pueda.
5º- Así sucesivamente hasta que el cociente final sea 1.
6º- Finalmente ponemos ese número como un producto de potencias de
factores primos.
EJERCICIOS
1- Indica si estos números son primos :
76, 51, 23, 60, 72, 47, 36, 64, 21, 30, 53, 49.
2- Realiza la descomposición factorial de los siguientes
números: 18, 45, 128, 294, 550.
M.C.M y M.C.D
Mínimo Común Múltiplo
Máximo Común Divisor
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
El mínimo común múltiplo de dos o más números
es el menor múltiplo común.
Pasos a seguir para hallar el m.c.m.
1. Realizamos la descomposición factorial de cada
uno de los números dados.
2. Multiplicamos los factores primos comunes y no
comunes de mayor exponente.
MÁXIMO COMÚN DIVISOR
El máximo común divisor de dos o más números es el
mayor divisor común a todos.
Pasos a seguir para hallar el m.c.d.
1. Realizamos la descomposición factorial de cada
uno de los números dados.
2. Multiplicamos los factores primos comunes de
menor exponente.
EJERCICIOS
1.
Halla el mínimo común múltiplo de 12 y 49.
2.
Halla el mínimo común múltiplo de 38 y 63
3.
Halla el mínimo común múltiplo de 115 y 30
4.
Halla el mínimo común múltiplo de 24, 18. y 8.
5.
Halla el mínimo común múltiplo de 60, 42 y 75.
6.
Halla el máximo común divisor de 32 y 16.
7.
Halla el máximo común divisor de 15 y 90.
8.
Halla el máximo común divisor de 84 y 490.
9.
Halla el máximo común divisor de 22 y 121.
10.
Halla el máximo común divisor de 125 y 225.
PROBLEMAS: ¿M.C.M o M.C.D?
1.
2.
3.
4.
En una estación salen tres trenes, el primero cada 7 minutos, el
segundo cada 12 minutos y el tercero cada 18 minutos. ¿
Cuándo volverán a coincidir los tres de nuevo en la estación?
Un agricultor quiere plantar árboles en una fina rectangular,
que mide 52 m de largo y 40 m de ancho, de modo que
estén a igual distancia uno de otro. ¿Cuál será la mayor
distancia, en metros, entre los árboles? ¿Cuántos árboles
podrán plantar?
Un padre y sus dos hijos tienen ocupaciones tales que el
padre no puede estar en casa más que cada 15 días, uno de
los hijos cada 10 días y el otro, cada 12 días. El día de Navidad
están juntos los tres. Indica la primera fecha en la que
volverán a coincidir.
Tenemos 20 caramelos de fresa, 30 caramelos de menta y 15
caramelos de nata. Queremos guardarlos en bolsas iguales, lo
más grandes posibles, de manera que los sabores no se
mezclen. ¿Cuántos caramelos contendrá cada bolsa?
¿Cuántas bolsas de cada sabor usaré?