Definiciones Básicas Principales

Dinámica
M 1005
Resumen del curso de Dinámica
Cinemática plana de cuerpos rígidos
La cinemática de cuerpo rígido toma en cuenta los movimientos lineales o angulares, así como las velocidades
y aceleraciones del objeto a estudiar.
La cinemática tiene que ver con la posición, velocidad y aceleración del cuerpo sin importar que fuerzas
causaron dicho movimiento.
Primeramente es importante definir lo que es un cuerpo rígido, el cual podemos decir que es un objeto formado
por partículas en las cuales las distancias entre ellas permanecen sin cambio. Esto por supuesto es una
idealización ya que sabemos que todos los cuerpos se deforman cuando están sujetos a fuerzas, pero por
ahora despreciaremos dichas deformaciones. En cursos posteriores (Mecánica de Materiales I y II) tomaremos
en cuenta la deformación de los cuerpos, los cuales ya no serán rígidos.
Un cuerpo rígido puede tener tres tipos de movimientos cuando se mueve en un plano que son:
a) Traslación (puede ser rectilínea o curvilínea)
b) Rotación
c) Movimiento Plano (Traslación + Rotación al mismo tiempo)
La velocidad y aceleración angular de un cuerpo rígido (ω y α) que se mueve en un plano de rotación se
puede explicar con las siguientes relaciones en términos de primera y segunda derivada con respecto a la
posición angular (θ) de cualquier línea sobre el cuerpo.
ds •
=s
(1)
dt
dv dv ds d 2 s • ••
a=
=
=
=v= s
dt ds dt dt 2
ads = vdv
(3)
dθ •
=θ
(1 − 2)
dt
d ω d 2θ • ••
= 2 = ω = θ (2 − 2)
α=
dt
dt
α dθ = ω d ω
(3 − 2)
ω=
v=
••
•
(2)
•
••
a) Traslación
•
•
θ dθ = θ d θ
s ds = s d s
a = cte
Si consideramos que la aceleración es constante entonces podemos establecer las siguientes relaciones
importantes cuando se cumple esta condición. (aceleración constante)
a=
t
dv
dt
⇒ adt = dv
v
∫ adt = ∫ dv
0
t
vo
at = ( v − vo )
v = vo + at
v = vo + at
(4)
ads = vdv
ds
dt
vdt = ds
v=
∫ (v
o
0
vot +
s
v
so
vo
∫ ads = ∫ vdv
s
v2 v 1 2
a ( s − so ) = |vo = ( v − vo 2 )
2
2
2
2
v = vo + 2a ( s − so )
+ at ) dt = ∫ ds
so
2
at
= ( s − so )
2
s = so + vo t +
v 2 = vo 2 + 2a ( s − so )
(6)
2
at
2
(5)
Otro caso particular sucede cuando la velocidad lineal es constante por lo tanto la aceleración lineal es
cero
Miguel Angel Ríos Sánchez (ITESM-CEM)
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19/06/2012
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v = cte
a=0
ds
dt
vdt = ds
v=
t
s
0
so
s = so + vo t
∫ vdt = ∫ ds
(7)
vot = ( s − so )
Nota: Recuerde que las ecuaciones anteriores son válidas solamente bajo las condiciones descritas
si eso no es así entonces deberá usar las ecuaciones 1, 2, 3 o 1-2, 2-2, 3-2
b) Rotación acelerada uniformemente esto implica que la aceleración angular es constante tenemos lo
siguiente α = constante
dω
α=
dt
⇒ α dt = d ω
t
ω
0
ωo
∫ α dt = ∫ dω
α t = ( ω − ωo )
ω = ωo + α t
ω = ωo + α t
(4 − 2)
dθ
dt
ω dt = dθ
α dθ = ω dω
ω=
θ
ω
ωo
∫ α dθ = ∫ ω dω
t
θ
θo
0
θo
α (θ − θ o ) =
∫ (ωo + α t ) dt = ∫ dθ
ωo t +
αt2
2
1
2
|ωωo =
1 2
ω − ωo 2 )
(
2
2
ω = ωo + 2a (θ − θ o )
= (θ − θ o )
θ = θ o + ωo t + α t 2
ω2
2
(5 − 2)
2
ω 2 = ωo 2 + 2α (θ − θo )
(6 − 2)
Combinando las ecuaciones (4-2) y (5-2) se puede establecer la siguiente relación, se despeja α de la
ecuación 4-2 y se sustituye en la ecuación 5-2
θ = θo +
1
( ω + ωo ) t
2
(8 − 2)
c) Rotación uniforme sucede cuando la velocidad angular es constante por lo tanto la aceleración
angular es cero.
dθ
dt
ω dt = dθ
ω=
t
θ
0
o
ω = cte
α =0
∫ ω dt = θ∫ dθ
θ = θ o + ωt
(7 − 2)
ωt = (θ − θ o )
Nota: Recuerde que las ecuaciones anteriores son válidas solamente en las condiciones descritas si
eso no es así, entonces deberá usar las ecuaciones 1-2, 2-2 y 3-2 e integrar las funciones
correspondientes, de acuerdo a la relación entre las variables
Miguel Angel Ríos Sánchez (ITESM-CEM)
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Rotación alrededor de un eje fijo.
dθ
dθ
⇒ dt =
dt
ω
2
dω d θ
dω
= 2 ⇒ dt =
α=
α
dt
dt
dθ d ω
=
⇒ α dθ = ω d ω
ω=
v =ω×r
v2
an = ω r =
= vω
r
at = α r
2
a = α × r + ω × ⎡⎣ω × r ⎤⎦
ω
α
dω
α =ω
dθ
Puntos importantes a considerar en la solución de este tipo de problemas:
a) En poleas se puede determinar la velocidad y aceleración de la banda usando las expresiones de
velocidad y aceleración tangencial, por lo que con esta información se puede determinar la velocidad y
aceleración angular de la otra polea, ya que la velocidad y aceleración de la banda es la misma en ambas
poleas. ( considerando que la banda no desliza sobre las poleas ).
v = ω A rA = ωB rB
a = α A rA = α B rB
b) También se puede establecer la relación entre los giros de ambas poleas S = θ1 r1 = θ2 r2 otra vez
considerando que no hay delizamiento entre la banda y las poleas.
c) Algo similar podemos establecer en el punto de contacto entre dos engranes trabajando juntos, ya que no
hay deslizamiento en el punto de contacto.
d) Cuando los objetos se mueven con velocidad constante, su aceleración es cero.
e) Cuando se conoce que un objeto parte del reposo entonces se sabe que So = 0, Vo = 0 y Ao = 0 y si el
objeto está girando, entonces θo = 0, ωo = 0 y α o = 0 que serian las condiciones iniciales del sistema, a
menos que se establezca otra cosa pero tienen que dar las condiciones iniciales del problema
f) También es importante recordar que la variable de posición, velocidad y aceleración no son siempre cero o
constantes por lo que pudieran estar definidas por funciones en términos del tiempo o de alguna otra variable.
Ejemplos:
ω (t ) = A t
θ (t ) = At + Bt
θ (t ) = A sin( Bt )
2
ω ( t ) = At + B
α ( t ) = Ae − Bt
α ( t ) = At 2 + B
α ( t ) = At 3
α (θ ) = A θ
α ( t ) = At + B
α (ω ) = Aω B / C
α (t ) = A t
Nota: Estos son algunos ejemplos de funciones que pueden ser usadas, pero existen muchas mas, y lo que
tienes que entender, es que la función puede expresarse de diversas formas y la solución se obtiene con las
siguientes ecuaciones:
α=
dω
dθ
; ω=
; o α dθ = ω d ω
dt
dt
Velocidades relativas.
Miguel Angel Ríos Sánchez (ITESM-CEM)
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Cuando un objeto se mueve en un plano se puede evaluar la posición velocidad y aceleración de cualquier punto
colocado sobre el objeto y eso se puede hacer usando el concepto de posición relativa, velocidad relativa y
aceleración relativa.
rB/ A = rB − r A
vB/ A = vB − v A
aB/ A = aB − a A
Utilizando este concepto podemos muy facilmente encontrar la posición, velocidad o aceleración de cualquier
punto sobre un objeto que se este moviendo a pesar de que el punto de interés también se puede moviendo en
forma independiente sobre el objeto donde esta montado.
Imaginate que estas sobre un tren que se mueve a una velocidad de 5 km/hr y tu dentro del tren estas sobre
el pasillo y te desplazas en sentido contrario al del tren también a 5 km/hr. tus familiares que te fueron a
despedir están en los andenes saludandote. Para tus familiares te observan que estas parado y que no te has
movido a pesar de que tanto tu como el tren están moviendose en sentidos contrarios. Este simple
experimento demuestra el concepto de posiciones, velocidades y aceleraciones relativas.
Centro instantáneo de rotación (CIR)
En algunos problemas es mucho más fácil determinar las velocidades angulares si determinamos
primeramente los punto de cero velocidad (CIR) en un instánte de tiempo específico, ya que muy rapidamente
se puede obtener la velocidad angular de esa pieza en particular.
Si se conoce la velocidad de dos puntos diferentes de un cuerpo rígido, es fácil determinar la posición del
centro instantáneo de rotación (CIR) recuerda que dicho punto tiene velocidad cero en ese instánte de tiempo.
Aceleraciones relativas
De manera similar la que usamos para determinar la velocidad relativa se puede también calcular la
aceleración de un punto sobre un cuerpo rígido. Recuerde que tenemos que aplicar el método cuantas veces
sean necesarios para llegar hasta un punto que tenga velocidad y aceleración definida o conocida, inclusive
puede ser diferente a cero.
a D / C = a D − aC
De esta ecuación se puede obtener hasta dos incógnitas, despejando lo que no se conozca, en caso de que
haya más incógnitas entonces se debe de plantear otra ecuación más hasta tener el mismo número de
ecuaciones que de incógnitas para poder resolver el sistema.
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Aceleración de Coriolis
Introducción:
Existen muchos mecanismos en donde las longitudes de los eslabones y mecanismos que poseen elementos
llamados collarines, los cuales tienen la característica que tanto la magnitud, así como el ángulo del vector de
su posición cambian con respecto al tiempo. En este tipo de mecanismos es más fácil de resolver si
aplicamos el concepto de aceleración de Coriolis que tiene que ver con la utilización de dos sistemas de
referencias (uno fijo y el otro móvil) para resolver la posición, velocidad y aceleración de cualquier punto del
sistema.
Determinar la velocidad y aceleración del punto P, que tiene dos sistemas de referencia; uno fijo y otro móvil.
Análisis de posición
y
Y
r1 = R + r = R + ( xi + y j )
j
Análisis de velocidad
•
•
o
•
r1 = R + r
•
i
•
•
j
•
dR
R=
= v o = ω oo´ × R
dt
•
r=
dr d
= ( xi + y j )
dt dt
•
•
•
•
′
x
o´
i
′
X
•
i = ω ×i
•
r = x i + y j + x i + y j = v p xy + ω × ( xi + y j )
•
r1
R
d r1
= vp = R+ r
dt
r1 =
P
r
•
j =ω × j
•
x i + y j = v p xy
•
r = v p xy + ω × r
•
r1 = v o + v p xy + ω × r
Finalmente obtenemos la velocidad del punto P
v p = vo + v p
xy
+ω ×r
Ecuación de la velocidad del punto P
Volviendo a derivar para obtener la aceleración del punto P
Análisis de aceleración
••
••
••
r1 = R+ r
••
r1 = a p
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••
R = ao
••
•
dr d
= (v p
r=
dt dt
xy
+ ω × r)
La derivada de la expresión anterior la podemos dividir en dos partes que son:
•
•
•
••
••
•
•
d
d •
(v p xy ) = ( x i + y j ) = x i + y j + x i + y j
dt
dt
•
•
d
(v p xy ) = a p xy + ω × ( x i + y j ) = a p xy + ω × v p xy
dt
La otra parte la podemos obtener así para finalmente sumarlas
•
•
d
(ω × r ) = ω× r + ω × r
dt
d
(ω × r ) = α × r + ω × (v p xy + ω × r )
dt
d
(ω × r ) = α × r + ω × v p xy + ω × (ω × r )
dt
Finalmente obtenemos la aceleración del punto P
a p = a0 + a p
xy
+ α × r + ω × (ω × r ) + 2ω × v p
xy
Ecuación de aceleración del punto P
Esta ecuación es general y sirve para resolver cualquier mecanismo plano, ya que cuando ninguno
de los vectores cambia en magnitud y dirección al mismo tiempo, varios de los términos de la
ecuación anterior son cero.
Las siguientes ecuaciones las podemos usar para cualquier mecanismo plano y si el mecanismo no presenta
Coriolis, entonces varios de los términos serán cero y quedaran las ecuaciones que vimos anteriormente.
v p = vo + v p
a p = a0 + a p
xy
xy
+ω×r
Ecuación para calcular la velocidad de un punto cualquiera
+ α × r + ω × (ω × r ) + 2ω × v p
Ecuación para calcular la aceleración de un
punto cualquiera
xy
Momentos de inercia de masa.
Cuando un objeto se somete a fuerzas y a momentos externos, la rotación que les produce depende no solo
de su masa, sino de la forma en que ésta se encuentra distribuida.
Para calcular el momento de inercia del objeto con frecuencia es muy conveniente modelarlo como una
distribución de masa contínua y se puede expresar como:
I O = ∫ r 2 dm
m
Radio de giro
El radio de giro es una distancia ficticia, es simplemente un concepto que significa que la inercia de ese objeto
es la misma si concentramos toda su masa y lo separamos una distancia k.
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Io = k 2m
Io
m
k=
En los problemas que me proporcionen el radio de giro, de ese valor puedo obtener la inercia del objeto
utilizando la ecuación anteriormente mostrada.
Teorema de ejes paralelos
Este teorema se usa cuando se desea obtener la inercia de un objeto pero medida con respecto a un eje que
no pasa por su centro de gravedad.
I o = I cg + md 2
En la tabla D4 (Pag 711 a 714 del Meriam y Kraige 6a edición) se tienen las figuras más comunes y las
ecuaciones necesarias para el cálculo de la inercia con respecto a su centro de masa.
Localiza la tabla en el libro de texto que tienes a la mano para que obtengas dichas ecuaciones y te
recomiendo que saques una copia fotostática y la tengas a la mano para poder resolver los problemas del
tema de análisis dinámico (cinético) de sistemas mecánicos.
Sección A: Fuerza, Masa y Aceleración
Introducción:
La cinética tiene que ver con las relaciones que existen entre las fuerzas externas y los movimientos de
traslación, rotación o movimiento plano del cuerpo rígido.
Ecuación general de movimiento
∑ F = ma
∑M
CG
= I CG α
Hay que considerar todas las fuerzas externas que actuan sobre el cuerpo rígido (las cuales normalmente
son el peso del objeto, las reacciones en los apoyos, las fuerzas de fricción y las cargas externas que
pueden ser fuerzas, pares o momentos)
Si no deseamos realizar la sumatoria de momentos con respecto a su centro de gravedad, lo podemos hacer
en cualquier otro punto siempre y cuando tomemos en cuenta la fuerza inercial (ma) que actúa en su centro
de masa. (aplicar el teorema de ejes paralelos).
∑M
P
= I CG α + mad
donde d es la distancia perpendicular del punto P a la fuerza inercial ma (también se puede hacer en forma
vectorial si se desea.
El procedimiento que se usa para resolver este tipo de problema es:
a) Identificar el tipo de movimiento para poder calcular la cinemática de cuerpo rígido.
b) Elaborar un diagrama de cuerpo libre donde identifiquemos todas las fuerzas que interactuan con el cuerpo
rígido.
c) Finalmente establecer las ecuaciones de movimiento donde se pueden establecer la sumatoria de fuerzas y
la suma de momentos donde se consideren las cargas externas y pares.
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Ecuaciones de movimiento. Rotación a un eje
Cuando un cuerpo tiene un movimiento de rotación es más fácil realizar las ecuaciones de acuerdo a un
sistema normal y tangencial, ya que es muy fácil determinar las aceleraciones normal y tangencial.
∑ F = ma = mω r
∑ F = ma = mα r
∑M = I α
2
n
n
t
t
G
G
G
G
En muchas ocasiones es mejor tomar momentos con respecto a otro punto (No en el centro de gravedad del
objeto) sobre todo hacerlo en su punto de giro para eliminar las reacciones del pasador por lo que las
ecuaciones anteriores se muestran como:
∑ F = ma = mω r
∑ F = ma = mα r
∑ M = I α + m(a ) r
∑M = I α
2
n
n
t
t
O
G
O
O
G
G
G t G
= I Gα + m (α rG ) rG = I Gα + mrG 2α = ( I G + mrG 2 ) α
Ecuaciones de movimiento. Movimiento Plano
Cuando un cuerpo tiene un movimiento plano es más fácil realizar las ecuaciones de acuerdo a un sistema
coordenado inercial x, y. Las ecuaciones de movimiento pueden ser escritas como:
∑ F = ma
∑ F = ma
∑M = I α
x
Gx
y
Gy
G
G
Si se desea en muchas ocasiones es mejor tomar momentos con respecto a otro punto sobre todo hacerlo en
su punto de giro para eliminar las reacciones del pasador por lo que las ecuaciones anteriores tenemos:
∑ F = ma
∑ F = ma
∑ M = I α + m(a ) r
x
Gx
y
Gy
O
G
Gx
Gy
+ m ( aGy ) rGx
Cinética plana de un cuerpo rígido. Trabajo y Energía
Energía Cinética
Energía cinética de traslación de un cuerpo rígido
T=
1
mvG 2
2
Energía cinética de rotación con respecto a un eje fijo de un cuerpo rígido, dicho eje de rotación no es el
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centro de gravedad del cuerpo
1
1
1
1
2
mvG 2 + I Gω 2 = m (ω r ) + I Gω 2
2
2
2
2
1
1
T = ⎡⎣ I G + mr 2 ⎤⎦ ω 2 = I Oω 2
2
2
T=
Energía cinética de movimiento plano general
T=
1
1
mvG 2 + I Gω 2
2
2
Trabajo de una fuerza
El peso de un objeto realiza un trabajo cuando se desplaza en dirección vertical y puede calcularse como:
UW = −W ΔY
Trabajo realizado por una fuerza
UF = F • d
Trabajo realizado por un resorte
1
⎡1
⎤
U r = − ⎢ kx2 2 − kx12 ⎥
2
⎣2
⎦
Trabajo realizado por un par constante
U P = M (θ 2 − θ1 )
Trabajo realizado por un par
θ2
U p = ∫ M (θ )dθ
θ1
Principio del trabajo y energía
T1 + ∑U1−2 = T2
Cinética plana de un cuerpo rígido. Conservación de energía
Conservación de la energía
Cuando un sistema de fuerzas actúa sobre un cuerpo rígido que está constituido por fuerzas conservativas, el
teorema de conservación de energía se puede aplicar para resolver este tipo de problemas.
Energía Potencial Gravitatoria
Vg = Who
donde ho es la distancia por arriba del sistema de referencia, si la posición 2 está por debajo, entonces la
distancia es negativa.
Energía Potencial Elástica
Ve =
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1 2
ks
2
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Esta es la energía que se puede acumular en un resorte, donde S es lo que deformó el resorte de su posición
de equilibrio (no deformado).
Conservación de la energía
La energía potencial total se puede expresar como:
V = Vg + Ve
Observando que el trabajo de fuerzas conservativas puede ser escrito como una diferencia en sus energías
potenciales, esto es:
(∑U )
1− 2 noconserv
= V1 − V2
por lo que podemos reescribir el principio del trabajo y la energía para un cuerpo rígido como:
T1 + V1 + ( ∑ U1− 2 )noconserv = T2 + V2
Aquí
( ∑U )
1− 2 no conserv
representa el trabajo de las fuerzas no conservativas como la fricción
Si este término es cero entonces el principio de conservación de energía se establece como:
T1 + V1 = T2 + V2
La energía V es la suma de las energías gravitatorias y elásticas.
Cinética plana de un cuerpo rígido. Impulso y momentum
Momentum lineal
L = mvG
momentum angular
H G = I Gω
Movimiento de traslación
L = mvG
HG = 0
Movimiento de rotación
L = mvG
H G = I Gω
H O = I Oω
Movimiento plano general
L = mvG
H G = I Gω
Si desea calcular el momentum angular con respecto a otro punto cualquiera entonces
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H A = I Gω + ( mvG ) d
Principio del impulso y del momentum lineal
t2
∑ ∫ Fdt = m ( v )
G 2
− m ( vG )1
t1
Principio del impulso y del momentum angular
∑M
G
= I Gα = I G
t2
∑∫M
G
dω d
= ( I Gω )
dt dt
dt = I Gω2 − I Gω1
t1
De manera similar para la rotación de alrededor de un eje cualquiera
t2
∑∫M
O
dt = I Oω2 − I Oω1
t1
Principio de Impulso y momentum angular se puede establecer como:
t2
m ( vGx )1 + ∑ ∫ Fx dt = m ( vGx )2
t1
t2
m ( vGy ) + ∑ ∫ Fy dt = m ( vGy )
1
2
t1
t2
I Gω1 + ∑ ∫ M G dt = I Gω2
t1
Cinética plana de un cuerpo rígido. Conservación del momentum
Conservación del momentum lineal
⎛ momento lineal ⎞ ⎛ momento lineal ⎞
⎜∑
⎟ = ⎜∑
⎟
⎝ del sistema
⎠1 ⎝ del sistema
⎠2
Conservación del momentum angular
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⎛ momento angular ⎞
⎛ momento angular ⎞
⎜∑
⎟ = ⎜∑
⎟
⎝ del sistema
⎠O1 ⎝ del sistema
⎠O2
Vibraciones mecánicas
Existe dos tipos de vibraciones a saber, la que se conoce como vibración libre y vibración forzada, la libre es la
que se genera sin que exista una fuerza de excitación externa al sistema, solamente existe fuerzas generadas
por los resortes o por la gravedad.
La vibración forzada es aquella que se genera por la existencia de una fuerza externa que puede ser
intermitente o periódica.
En estos dos tipos de sistemas puede haber o no amortiguamiento del sistema. Si no existe amortiguamiento
entonces la vibración continúa indefinidamente, de otra forma el amortiguamiento hace que el sistema se
extinga poco a poco.
En realidad todos los sistemas están amortiguados, sólo que muchas veces se desprecia el amortiguamiento
interno o externo para facilidad del cálculo.
Los sistemas pueden estar definidos con una o varias variables por lo que si las ecuaciones de movimiento
dependen de una sola variable se dice que el sistema es de un grado de libertad, si no es así puede ser de
varios grados de libertad.
En este tema estaremos usando algunos términos que valdría la pena definir primeramente para poder utilizarlos
adecuadamente.
Ciclo: Es el movimiento de un cuerpo que se mueve y regresa a su posición original, se dice que realizó un
ciclo.
Amplitud: Es el desplazamiento máximo realizado que puede medirse con un ángulo o una posición.
Periodo: Es el tiempo que tarda en realizar un ciclo completo
τ =T =
2π
ω
Frecuencia: Es el número de ciclos por unidad de tiempo, es el inverso del periodo.
La frecuencia angular se define como:
ω=
2π ⎡ rad ⎤
T ⎢⎣ s ⎥⎦
Una forma más familiar es la antigua frecuencia denotada por el simbolo griego ν (también se identifica con
f)
υ= f =
1
T
ciclos
rad ⎤
⎡
⎢⎣ hertz = 1 s = 2π s ⎥⎦
Por lo que podemos relacionar ambos como:
υ= f =
ω
2π
Frecuencia natural: Es la frecuencia con la que vibra un sistema cuando no hay fuerzas externas. Las
vibraciones que ocurren en este caso se llama vibración libre.
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Vibración forzada: Son las vibraciones causadas por las fuerzas externas
Vibración transitoria: son vibraciones que en poco tiempo desaparecen rápidamente
Vibración en estado estable: Son las vibraciones que continuan durante un largo periodo de tiempo después
que las vibraciones transitorias desaparecieron.
Resonancia: Ocurre cuando la frecuencia de vibración forzada se iguala a la frecuencia angular natural del
sistema
Para un sistema masa - resorte la frecuencia angular natural del sistema es:
ωn =
Vibración libre sin amortigüamiento
k
m
El caso más simple de vibración sucede cuando un resorte esta unido a una masa m.
Sistema masa - resorte
Diagrama de cuerpo libre
mg
-kx
k
m
N
Realizando la sumatoria de fuerzas en dirección vertical y horizontal tenemos:
∑F
X
= max
∑F
y
••
=0
N = mg
− kx = m x
donde la variable x se mide desde la posición de equilibrio del cuerpo por lo que su segunda derivada
representa la aceleración del objeto.
••
m x + kx = 0
••
x+
k
x=0
m
al término k/m se le conoce como la frecuencia angular natural al cuadrado por lo que:
ωo 2 =
k
m
⇒ ωo =
k
m
Si el sistema esta bajo la acción de la gravedad se tiene lo siguiente:
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••
−k (δ est + x) + W = m x
••
−kδ est − kx + mg = m x
k
En la posición de equilibrio cuando x = 0
−kδ est + W =
W = kδ est
m
Por lo que la ecuación anterior queda como:
x
••
−W − kx + mg = m x
••
m x + kx = 0
••
x+
k
x=0
m
••
x + ωo 2 x = 0
La cual representa la ecuación diferencial para el movimiento oscilatorio más simple, llamado movimiento
armónico simple, a ωο se le conoce como la frecuencia angular natural del sistema
La solución de la ecuación diferencial anterior es:
x = xm sin (ωot + φ )
Donde xm es la amplitud y φ es la constante de fase.
derivando dos veces la solución anterior tenemos
dx
= xmωo co s (ωo t + φ )
dt
d 2x
= − xmωo 2 sin (ωo t + φ )
dt 2
Las constantes xm y φ pueden evaluarse sustituyendo las condiciones iniciales
⎛ v(0) ⎞
xm = x(0) + ⎜
⎟
⎝ ωo ⎠
2
Solución alternativa
⎡ x(0)ωo ⎤
⎥
⎣ v ( 0) ⎦
2
φ = tan −1 ⎢
y
x(t ) = A sin (ωt ) + B cos (ωt )
dx(t )
= Aω cos (ωt ) − Bω sin (ωt )
dt
d 2 x(t )
= − Aω 2 sin (ωt ) − Bω 2 cos (ωt )
2
dt
Para conocer las constantes involucradas (A y B) se parte de las condiciones iniciales que debe tener el
problema, al sustituir las condiciones conocidas y despejar las variables que hagan falta.
Miguel Angel Ríos Sánchez (ITESM-CEM)
14
19/06/2012
Dinámica
M 1005
Las constantes A y B se pueden obtener de la solución alternativa como:
A=
B = x (0)
v(0)
ωo
La velocidad y aceleración máxima se puede obtener con
Vmax = xmω
Amax = xmω 2
Resortes Equivalentes:
Resortes en paralelo:
Los resortes se encuentran en paralelo cuando las deformaciones de los resortes son iguales.
keq = k1 + k2
Resortes en serie:
La deformación de los resortes en serie es la suma de las deformaciones individuales.
K eq =
k1k2
k1 + k2
Considerando el caso de un péndulo simple tenemos:
s = lθ
i
ds
= lθ
dt
ii
d 2s
=
l
θ
dt 2
∑ F = ma
t
θ
t
d 2s
−W ( sin θ ) = m 2
dt
ii
T
−mg sin (θ ) = ml θ
ii
ml θ + mg sin (θ ) = 0
ii
g
l
θ + sin (θ ) = 0
W
ii
g
l
θ+ θ = 0
donde
Miguel Angel Ríos Sánchez (ITESM-CEM)
Considerando que sin(θ) ~ θ
por lo que la expresión anterior
la podemos expresar como:
ωn =
15
g
l
ii
θ + ωn 2θ = 0
19/06/2012