6. Variables aleatorias

6.
Variables aleatorias
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I
206
1.
Probabilidad
2.
Tablas de contingencia
3.
Distribución binomial
4.
Distribución normal
Variables aleatorias
1. PROBABILIDAD
 DADOS Y CHINCHETAS
a) Al lanzar un dado podemos suponer que cada cara saldrá el mismo número de veces. Cabe
esperar, pues, que el histograma tenga este aspecto:
Es decir, cada número se obtendrá, por término medio, en la sexta parte de los lanzamientos,
1/6=0’167.
Efectúa 60 lanzamientos de un dado cúbico, halla las frecuencias relativas correspondientes y
dibuja el histograma. ¿Coincide con la distribución esperada?.
Une tus resultados a los de tus compañeros hasta obtener 240, 480 y 960 lanzamientos. En cada
caso, halla las frecuencias relativas y dibuja el histograma. ¿Se parece mucho o poco a la
distribución esperada?.
La distribución de frecuencias relativas se parece tanto más a la distribución esperada (o
teórica), cuanto mayor sea el número de lanzamientos y llega a ser casi idéntica, si el
número de lanzamientos es muy grande.
La frecuencia relativa de cada cara se va acercando cada vez más a 1/6=0’167, conforme
aumenta el número de lanzamientos.
En general, al aumentar el número de experiencias, la frecuencia relativa se va acercando
cada vez más a un número que se llama PROBABILIDAD.
207
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I
b) Al lanzar una chincheta puede ocurrir que caiga con la punta hacia arriba (A) o tocando el suelo
(B). ¿Cuál crees que será la probabilidad en cada caso?.
Efectúa 50 lanzamientos de una chincheta y anota los resultados. Halla las frecuencias
correspondientes a tu clase y decide, en cada caso, cuál es la probabilidad.
Hay ocasiones en que la experiencia que se va a realizar tiene unas condiciones de
regularidad o de simetría tales que podemos tener, antes de hacer ninguna experiencia, la
distribución esperada.
Posteriormente, la experimentación nos lleva a resultados que se parecen mucho a los
esperados, tanto más cuánto mayor es el número de repeticiones del experimento.
En este caso, la probabilidad asignada a cada resultado posible se llama PROBABILIDAD
A PRIORI.
Pero otras veces no hay ninguna referencia a priori. Sólo la experimentación nos permitirá
obtener datos que serán tanto mejores (tanto más fiables) cuánto más larga sea la
experimentación.
En este caso, la probabilidad asignada a cada resultado posible es la frecuencia relativa
correspondiente y se llama PROBABILIDAD A POSTERIORI.
 DIAGRAMAS DE ÁRBOL
a) Un equipo de automovilismo dispone, para su participación en un rally de 2 pilotos: A y B y 3
copilotos : x, y, z. Forma todos los posibles equipos de piloto y copiloto que podrían participar en la
carrera. ¿Cuántos hay?.
¿Cuál es la probabilidad de que el piloto A forme equipo con z?. ¿Y de que forme equipo con y o
con z?. ¿Y de que no forme equipo con y?.
Para formar todos los posibles equipos de piloto y copiloto, puedes construir un DIAGRAMA
DE ÁRBOL:
208
Variables aleatorias
Observa que, por cada uno de los 2 posibles pilotos, hay 3 posibles copilotos, lo que
significa que hay, en total, 2 x 3 = 6 equipos posibles.
Así pues, la probabilidad de que el piloto A forme equipo con z es
p=
1
 0167
'
 16'7%
6
Esto también podríamos haberlo deducido del diagrama, colocando en cada ramificación la
probabilidad de ser elegido para cada piloto y copiloto; y multiplicando después las
probabilidades respectivas:
p=
1 1 1
 
2 3 6
Para hallar la probabilidad de que A forme equipo con y o con z, sumaremos las
probabilidades de los caminos correspondientes:
p=
1 1 1 1 1 1 2 1
      
2 3 2 3 6 6 6 3
Lo mismo haremos para determinar la probabilidad de que A no forme equipo con y. (Es
decir, de que A no sea el piloto seleccionado o de que A forme equipo con x o con z ):
p=
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 5
          5  
2 3 2 3 2 3 2 3 2 3
2 3 6
También podrías haber resuelto más rápidamente esta cuestión restando a 1 la probabilidad
de que A forme equipo con y. En efecto:
p = 1-
1 5

6 6
209
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I
b) ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado dos veces consecutivas se obtenga una suma
de puntos igual a 4?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos monedas se obtenga por lo menos una cara?.
d) De una baraja de 40 cartas se realizan tres extracciones de una carta que se devuelve tras cada
extracción. Calcula la probabilidad de obtener dos ases. ¿Y si no se devuelve la carta a la baraja
tras cada extracción?.
b) El siguiente diagrama de árbol refleja los resultados que deben darse para que la suma
de puntos sea igual a 4.
P=
1 1 1 1 1 1
1 1 1
      3  
6 6 6 6 6 6
6 6 12
c) El siguiente diagrama de árbol refleja los resultados que deben darse para que se
obtenga por lo menos una cara.
P=p(CC)+p(CX)+p(XC)=
1 1 1 1 1 1
1 1 3
      3  
2 2 2 2 2 2
2 2 4
d) CON DEVOLUCIÓN. El siguiente diagrama refleja los resultados que deben darse para
que se obtengan dos ases.
P=
4 4 36 4 36 4 36 4 4
4 4 36
27
       
 3  

 0'027  2'7%
40 40 40 40 40 40 40 40 40
40 40 40 1000
SIN DEVOLUCIÓN. El siguiente diagrama de árbol refleja los resultados que deben
darse para obtener dos ases.
P=
4 3 36 4 36 3 36 4 3
4  3  36
54
       
 3

 0'0218623 2’2
40 39 38 40 39 38 40 39 38
40  39  38 2470
Se observa que es ligeramente más ventajosa la extracción con devolución.
210
Variables aleatorias
 LADRÓN DE JOYAS
Un ladrón entra a robar joyas en un piso de una finca con tres patios. El patio A tiene 12 pisos, en 4
de los cuales hay joyas. El patio B tiene 5 pisos con joyas y otros 5 pisos sin joyas. Sólo hay joyas en
5 de los catorce pisos del patio C.
El ladrón eligió al azar un patio y dentro de él un piso. ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentre
en un piso con joyas?.
 URNAS
Una urna contiene 5 bolas rojas y 8 verdes. Se extrae una bola y se reemplaza por 2 del otro color. A
continuación, se extrae una segunda bola. Se pide:
a) Probabilidad de que la segunda bola sea verde.
b) Probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color.
 LAMPARAS
Una caja tiene 5 lámparas eléctricas. Se sabe que dos de ellas están defectuosas. Si probamos una
tras otra hasta localizar las dos defectuosas, ¿cuál es la probabilidad de suspender el proceso en la
tercera prueba?.
 INSTITUTO
Los alumnos de cierto instituto están repartidos de la siguiente manera: 40% en primero de ESO, 25%
en segundo, 15% en tercero y el resto en cuarto. El porcentaje de aprobados de cada uno está en el
30% para 1º, el 40% para segundo, 60% para tercero y 70% en cuarto. Elegido al azar un alumno de
ese centro, se pide:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya aprobado?.
b) ¿Y de que sea de tercero y haya suspendido?.
 OTRO INSTITUTO
En un centro escolar los alumnos de Bachillerato pueden optar por cursar como lengua extranjera
entre inglés y francés. En un determinado curso, el 90% de los alumnos estudia inglés y el resto
francés. El 30% de los que estudian inglés son chicos y de los que estudian francés son chicos el
40%. Elegido un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea chica?.
211
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I
 BARAJAS I
a) Extraemos una carta de una baraja de 40. ¿Cuál es la probabilidad de que sea el caballo de
copas?. ¿Y de que sea un as?. ¿Y de que sea un oro?.
Cada posible resultado de un proceso aleatorio se llama SUCESO ELEMENTAL.
Representaremos por E al conjunto de todos los sucesos elementales. Dicho conjunto se
llama ESPACIO MUESTRAL. Cada subconjunto de E se llama SUCESO.
Así, en el proceso aleatorio consistente en extraer una carta de la baraja, el espacio
muestral E está formado por las 40 cartas de la baraja.
El suceso “obtener as” esta formado por los sucesos elementales :
OBTENER AS={“as de oros”, “as de copas”, “as de espadas”, “as de bastos”}
4
1

La probabilidad de este suceso es
p=
40 10
osea, se obtiene dividiendo el número de sucesos elementales que lo componen entre el
número total de sucesos elementales. Todo ello suponiendo, claro está, que todas las cartas
de la baraja tienen la misma probabilidad de ser extraídas.
Hay ocasiones en que es posible admitir la hipótesis de que “todos los sucesos elementales
tienen la misma probabilidad”(se dice que dichos sucesos elementales son equiprobables).
En ese caso, la probabilidad a priori de cada suceso elemental es el cociente:
p = probabilidad a priori de cada suceso elemental =
p=
1
N
1
nº total de sucesos elementales
siendo N = nº total de sucesos elementales
y la probabilidad a priori de un determinado suceso A es el cociente:
p(A) = probabilidad a priori del suceso A ==
siendo
nº de sucesos elementales que componen A
n
=
nº total de sucesos elementales
N
n=nº de sucesos elementales que componen A
N=nº total de sucesos elementales
o también :
p(A) =
nº de casos favorables
nº de casos posibles
que se llama FÓRMULA DE PROBABILIDAD DE LAPLACE.
Observa que la probabilidad de cualquier suceso A es siempre un número comprendido
entre 0 y 1, es decir :
0  p(A)  1
En efecto, la probabilidad a priori del suceso A está comprendida entre 0 y 1, ya que el
número de sucesos elementales que componen A está comprendido entre 0 y el número
total de sucesos elementales.
0  n  N

dividiendo entre N 
0 n N
 
 0  p(A)  1
N N N
De la misma forma, la probabilidad a posteriori del suceso A está comprendida entre 0 y 1,
ya que dicha probabilidad coincide con la frecuencia relativa de A, que está comprendida
entre 0 y 1, como ya vimos en Estadística.
212
Variables aleatorias
b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener oros o bastos al extraer una carta de una baraja de 40?. ¿Y la
de obtener as o espadas?.
* Sea A= ”obtener oros o bastos”. Este suceso está compuesto por 20 sucesos elementales,
ya que hay 10 oros y 10 bastos en la baraja. Como el número total de sucesos elementales
que componen el espacio muestral es 40, resulta que
p(A)=
20 1

40 2
20 10 10


 p(oros) + p(bastos). Además no hay ninguna carta que
40 40 40
sea a la vez oros y bastos, es decir no hay sucesos elementales comunes.
Observa que p(A)=
* Sea B= “obtener as o espadas”. Este suceso está compuesto por 13 sucesos elementales
ya que hay 10 cartas que son espadas y 4 ases, pero una carta es a la vez de los dos tipos
(el as de espadas). Como el número total de sucesos elementales es 40 (todas las cartas de
la baraja), resulta que :
p(B)=
ç
13
 0'325
40
13 4 10 1



 p(as) + p(espadas) - p(as y espadas)
40 40 40 40
En este caso hay un suceso elemental común.
Observa que p(B) =
Dados dos sucesos A y B, llamamos INTERSECCIÓN de dichos sucesos y lo
representamos por AB al suceso formado por los sucesos elementales comunes. Es el
suceso que ocurre cuando ocurren A y B simultáneamente.
Dados dos sucesos A y B, llamamos UNIÓN de dichos sucesos y lo representamos por
AB al suceso formado por los sucesos elementales de A, de B y de ambos. Es el suceso
que ocurre cuando ocurre A, ocurre B o ocurren A y B simultáneamente.
El cálculo de la probabilidad a priori, P(A) de un suceso A es complicado cuando es difícil
obtener el número de sucesos elementales que lo componen o el número total de sucesos
elementales. En esos casos se puede simplificar el cálculo de p(A) recurriendo a la siguiente
propiedad :
p(A) = p(A1) + p(A2)
Si el suceso A es la unión de dos sucesos A1 y A2 , incompatibles (es decir, que no tengan
sucesos elementales comunes, A1A2=), entonces p(A)= p(A1) + p(A2), ya que el número
de sucesos elementales que componen A es la suma del número de sucesos elementales
de A1 más el número de sucesos elementales de A2.
Si A y B son incompatibles, AB=  p(AB)=p(A) + p(B)
Esta ley se generaliza cuando se descompone A en unión de n sucesos A 1, A2, ...,An
incompatibles dos a dos :
Si Ai Aj=  p(A1A2...An) = p(A1) + p(A2) + ... + p(An)
Cuando el suceso A es la unión de dos sucesos A1 y A2 que son compatibles (es decir, que
tienen sucesos elementales comunes, A1A2 ), se tiene que :
p(A)=p(A1)+p(A2)-p(A1A2)
ya que al sumar los sucesos elementales de A1 y de A2,
cuentas dos veces los sucesos elementales comunes de A 1 y de A2.
Si A y B son compatibles, AB  p(AB)=p(A)+p(B)-p(AB)
213
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I
c) Al extraer una carta de la baraja, ¿cuál es la probabilidad del suceso “no sale una copa”?. ¿Y la
del suceso “no sale el as de oros”?.
El suceso “no sale el as de oros” es el contrario del suceso “sale el as de oros” y el suceso
“no sale una copa” es el contrario del suceso “sale una copa”. Se cumple que
P(no sale una copa)=
30 3

40 4
y
p(no sale el as de oros)=
39
.
40
Se llama SUCESO CONTRARIO de un suceso A y lo representamos A , al suceso formado
por los sucesos elementales que no forman parte de A.
La suma de las probabilidades de dos sucesos contrarios es igual a la unidad. Es decir :
p(A) + p( A ) = 1
Esta propiedad puede usarse en numerosos casos prácticos. Así cuando sea más sencillo
calcular p( A ) que p(A), se calculará p( A ) y se obtendrá p(A) por la igualdad :
p(A) = 1 p( A )
d) Al extraer sin devolución dos cartas de una baraja de 40, ¿cuál es la probabilidad de no obtener
ningún as?. ¿Y la de obtener al menos un as?. ¿Cuáles serían las probabilidades anteriores, si
eligiésemos tres cartas sin devolución, en vez de dos?.
* Dos cartas sin devolución.
P(ningún As)=
36 35

 0'8076923
40 39
p(al menos un As) = 1  p(ningún As) = 1  0’8076923 = 0’1923077
* Tres cartas sin devolución.
P(ningún As)=
36 35 34
 
 0'722672
40 39 38
p(al menos un As) = 1  p(ningún As) = 1  0’722672 = 0’2773279
El suceso E formado por todos los sucesos elementales se llama SUCESO SEGURO. Su
probabilidad es :
p(E)=
Así que :
nº de sucesos elementales de E nº total de sucesos elementales

1
nº total de sucesos elementales nº total de sucesos elementales
p(E)=1
El suceso contrario del suceso seguro E se llama SUCESO IMPOSIBLE. Se representa por
 y su probabilidad es :
p() = 1p(  ) = 1p(E) = 11 = 0
214
Es decir :
p( )=0
Variables aleatorias
Dados dos sucesos A y B, llamamos DIFERENCIA de dichos sucesos al suceso AB
formado por los sucesos elementales de A que no forman parte de B. Se cumple que
A  B = A B
y también
A  B = A  A B
como puedes comprobar con la ayuda de diagramas como el siguiente (denominados
diagramas de Venn):
Por lo tanto se cumple que
p(AB)=p(A B )=p(A  AB)
LEYES DE DE MORGAN
El suceso contrario de la unión de dos sucesos es igual a la intersección de los sucesos
contrarios.
El suceso contrario de la intersección de dos sucesos es igual a la unión de los sucesos
contrarios. Es decir:
Si A y B son dos sucesos cualesquiera, se cumple:
a) A  B  A  B
b) A  B  A  B
 PRENSA
La probabilidad de que una persona adquiera en una librería un periódico es de 0’4.
La probabilidad de que adquiera una revista es de 0’3.
La probabilidad de que adquiera ambas publicaciones es 0’2.
Calcula las probabilidades de los siguientes sucesos :
a) de que adquiera alguna publicación;
b) de que no adquiera ninguna;
c) de que adquiera sólo una de las dos publicaciones.
215
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I
Sea A=compra un periódico, B=compra una revista. Sabemos que p(A)=0’4, p(B)=0’3,
p(AB)=0’2.
a) p(AB)=p(A)+p(B)p(AB)=0’4+0’30’2=0’5
La probabilidad de que adquiera alguna publicación es p(AB)=0’5
b) p( A  B)  p(A  B)  1  p(A  B) = 1  0'5 = 0'5
La probabilidad de que no adquiera ninguna publicación es p( A  B)  0'5
c) p(A  B)  p(B  A)  p(A  B) + p(B  A) = p(A)  p(A  B) + p(B)  p(A  B) =
=p(A)+p(B)2p(AB)=0’4+0’320’2=0’3
La probabilidad de que compre solamente un periódico es 0’3.
 ERRORES FINANCIEROS
El 70% de empresas tienen errores en sus activos financieros, el 60% tienen errores en sus pasivos
financieros y el 40% tienen errores en sus activos y en sus pasivos financieros. Halla razonadamente
el porcentaje de empresas sin errores en sus activos, en sus pasivos o en ambos. De una muestra de
500 empresas, ¿cuántas se espera que no tengan errores ni en sus activos ni en sus pasivos
financieros?.
Sea A=la empresa tiene errores en sus activos, B=la empresa tiene errores en sus pasivos.
Por los datos del problema, se cumple : p(A)=0’7, p(B)=0’6, p(AB)=0’4.
P(AB)=p(A)+p(B)-p(AB)=0’7+0’6-0’4=0’9
La probabilidad de tener error en los activos, en los pasivos, o en ambos es P(A B)=0’9
La probabilidad de no tener error en los activos, en los pasivos, o en ambos es:
p(sin error)=1-p(AB)=1-0’9=0’1=10%
El porcentaje de empresas sin errores es el 10%.
 TEST
Cada pregunta de un examen tipo test tiene dos respuestas alternativas de las que sólo una es
correcta. Un alumno contesta al azar un examen de este tipo con tres preguntas.
a) Construye el espacio muestral adecuado a esta experiencia.
b) Calcula p(B), p(AB), p(C), p(BC), siendo A, B y C los siguientes sucesos :
A= “El alumno contesta correctamente la primera pregunta”.
B= “El alumno contesta correctamente dos de las tres preguntas”.
C= “El alumno contesta correctamente las tres preguntas”.
a) El espacio muestral es E={CCC, CCI, CIC, CII, ICC, ICI, IIC, III}, siendo C=respuesta
correcta, I=respuesta incorrecta.
b) En el siguiente diagrama de árbol se muestran todos los resultados posibles.
P(A)=
4
8
p(AB)=
216
p(B)=
2
8
3
8
p(BC)=
p(C)=
4
8
1
8
Variables aleatorias
2. TABLAS DE CONTINGENCIA
 BARAJAS II
a) Consideremos el experimento consistente en extraer una carta de la baraja, devolverla y sacar de
nuevo una carta de la baraja completa. ¿Cuál es la probabilidad de obtener, por este
procedimiento, dos ases?. ¿Y si no devolvemos la primera carta extraída?.
Para resolver esta cuestión puedes considerar los siguientes sucesos:
A= “sale as en la primera extracción”.
B= “sale as en la segunda extracción”.
El problema consiste, pues, en hallar p(AB) para lo que habrá que utilizar un diagrama de
árbol.
* Con devolución
p(dos ases)=p(AB)=
Observa, por otra parte que
p(AB)=p(A)p(B)
p(A)=
4
,
40
p(B)=
4 4
1


40 40 100
4
. De manera que se cumple:
40
Se dice que A y B son independientes.
Dos sucesos A y B son independientes si y sólo si p(A B)=p(A)p(B)
* Sin devolución
p(dos ases)=p(AB)=
4 3
1


40 39 130
En este caso, el suceso B (sale as en la segunda extracción) está condicionado por la salida
de un as en la primera extracción (suceso A).
217
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I
El suceso “sale un as en la segunda extracción habiendo salido un as en la primera
extracción” se simboliza por B/A. También decimos que el suceso B/A es el suceso B
condicionado por A. ¿Cuál es la probabilidad de este suceso?.
Como una vez ocurrido A, sólo quedan 39 cartas, de las que 3 son ases, resulta que:
p(B/A)=
3
39
De manera que ahora se verifica:
p(AB)=p(A)p(B/A)
En esta expresión p(B/A) es la probabilidad del suceso B/A, que se llama probabilidad de
B condicionada por A, o simplemente, PROBABILIDAD CONDICIONADA. Se dice que
los sucesos A y B son DEPENDIENTES.
En general, se cumple que :
p(B/A)=
p(A  B)
p(A)
Observa que, en general, dos sucesos A y B son INDEPENDIENTES cuando
p(B/A)=p(B)
En caso contrario, es decir, si p(B/A)p(B), los sucesos son DEPENDIENTES.
b) Al extraer sin devolución dos cartas de una baraja de 40, ¿cuál es la probabilidad de obtener “as” y
“rey” por ese orden?. ¿Qué probabilidad hay de obtener “copas” y “rey” en ese orden?. ¿Son
independientes los sucesos considerados en ambos casos?.
* AS Y REY
Sean A= “sale As en la 1ª extracción”,
B= ”sale Rey en la 2ª extracción”.
4
4
Se cumple p(A)=
, p(B)=
. Usando el diagrama de árbol, obtenemos:
40
40
p(AB)=
4 4
4
 =
40 39 390
Como p(AB)p(A)p(B), los sucesos no son independientes.
* COPAS Y REY
Sean C= “sale copas en la 1ª extracción”,
B= “sale Rey en la 2ª extracción”.
10
4
Se cumple p(C)=
, p(B)=
. Usando el diagrama de árbol, obtenemos:
40
40
p(CB)=
9 4
1 3
1  36 3  1
  

   
40 39 40 39 40  39 39  40
En este caso, p(CB)=p(C)p(B). Los sucesos C y B son independientes.
218
Variables aleatorias
 AFICIONES
Se ha comprobado que el 48% de los alumnos de COU de cierta zona son aficionados a la música
clásica y a la pintura, y que el 60% de los aficionados a la pintura también son aficionados a la música
clásica. Si elegimos al azar a un alumno de COU de esa región, ¿qué probabilidad hay de que no sea
aficionado a la pintura ?. Justifica la respuesta.
Sean A= “aficionado a la música clásica”, B= “aficionado a la pintura”
Por los datos del problema sabemos que p(AB)=0’48, p(A/B)=0’60. Entonces:
0’60=p(A/B)=
p(A  B) 0'48

p(B)
p(B)
De donde p(B)=
0'48
 0'8
0'60
La probabilidad de que no sea aficionado a la pintura es
p( B )=1-p(B) =1-0’8=0’2=20%
La probabilidad pedida es del 20%.
 CURACIONES
Se han observado 50 enfermos de la piel tratados con un determinado antibiótico, nuevo en el
mercado, y otros 70 enfermos no tratados. Anotadas las curaciones al cabo de dos semanas, los
resultados han sido los siguientes :
CURADOS
NO CURADOS
TRATADOS
40
10
NO TRATADOS
20
50
¿Qué probabilidad existe de que un enfermo curado haya sido tratado?. ¿Qué probabilidad existe de
que un enfermo curado no haya sido tratado?.
Podemos completar la tabla anterior añadiendo una columna y una fila de totales:
CURADOS
NO CURADOS
TOTAL
TRATADOS
40
10
50
NO TRATADOS
20
50
70
TOTAL
60
60
120
En esta tabla observamos que de un total de 60 curados hay 40 tratados, luego la
probabilidad de que un enfermo curado haya sido tratado es
p(tratado/curado)=
40 2

60 3
También vemos que de un total de 60 curados no han sido tratados 20, luego la
probabilidad de que un enfermo curado no haya sido tratado es
p(no tratado/curado)=
20 1

60 3
Una tabla como la anterior se llama TABLA DE CONTINGENCIAS, ya que en ella figuran
todas las posibilidades, o contingencias, de los sucesos : AB, A B, A  B, A  B . El
esquema de dicha tabla es:
219
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I
A
A
TOTALES
B
p(AB)
p(B)
B
TOTALES
p(A B )
P(A)
p( A B)
p( A  B )
p( A )
p( B )
1
Dada la tabla de contingencias, puedes construir el diagrama de árbol:
sin más que calcular cada probabilidad condicionada, teniendo en cuenta la expresión:
p(Y/X)=
p(X  Y)
p(X)
Recíprocamente, dado el diagrama de árbol, obtenemos, multiplicando los números de una
misma rama, las probabilidades:
p(AB),
p(A B ),
p( A B),
p( A  B )
es decir, la tabla de contingencias.
a) Dada la tabla de contingencias, construye el diagrama de árbol.
A
B
B
TOTALES
A
0’35
0’20
0’55
0’30
0’15
0’45
TOTALES
0’65
0’35
1
b) Dado el diagrama de árbol, construye la tabla de contingencias.
A
A
B
B
TOTALES
a) Se cumple p(A)=0’45, p( A )=0’55,
p(B/A)=
p(A  B) 0'30 2


p(A)
0'45 3
p(B/ A )=
p(A  B)
p(A)

0'35 7

0'55 11
Por tanto, el diagrama de árbol es:
220
p( B /A)=1p(B/A)=1
2 1

3 3
p( B / A )=1p(B/ A )=1
7
4

11 11
TOTALES
Variables aleatorias
b) Usando el diagrama de árbol tenemos:
p(AB)=0’16
6
 0'06
16
p( A B)=0’84
p(A B )=0’16
44
 0'77
48
10
 01
'
16
p( A  B )=0’84
4
 0'07
48
Por tanto, la tabla de contingencias es:
A
B
B
TOTALES
0’06
0’10
0’16
A
0’77
0’07
0’84
TOTALES
0’83
0’17
1
 DOS URNAS
Disponemos de dos urnas M y N. La primera contiene 7 bolas negras y 3 blancas, y la segunda 5
negras y 3 blancas. Se saca una bola al azar de una de las urnas, elegida también al azar, y resulta
ser blanca. ¿Cuál es la probabilidad de que proceda de la urna M?. ¿Y de que proceda de la urna N?.
Si la bola extraída hubiese sido negra, ¿qué probabilidad hay de que proceda de la urna M ?. ¿Y de
que proceda de la urna N?.
Sean M= “urna M”, N= “urna N”, b= “bola blanca”, n= “bola negra”.
Utilizando el diagrama de árbol y la probabilidad condicionada, tenemos:
1 3

p(M)  p(b / M)
4
2
10
p(M/b)=


p(M)  p(b / M) + p(N)  p(b / N) 1 3 1 3 9
  
2 10 2 8
p(N/b)=1p(M/b)=1
4 5

9 9
1 7

p(M)  p(n / M)
28
2 10


p(M/n)=
1
7
1
3
p(M)  p(n / M) + p(N)  p(n / N)
53
  
2 10 2 8
p(N/n)=1p(M/n)=1
28 25

53 53
221
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I
 SONDEO DE OPINIÓN
Los resultados de una encuesta sociológica realizada sobre 540 universitarios de ambos sexos,
revelan que hay 145 chicos de actitud progresista y 51 de actitud conservadora, mientras que hay 42
chicas de actitud progresista y 96 de actitud conservadora.
a) Elegida una persona al azar resulta ser progresista. ¿Qué probabilidad hay de que sea chico?. ¿Y
de que sea chica?.
b) Si la persona elegida es conservadora, ¿cuál es la probabilidad de que sea chico?. ¿Y de que
sea chica?.
Con los datos del problema podemos construir la tabla de contingencias y el diagrama de
árbol correspondiente.
P
C
TOTAL
H
145
51
196
M
42
96
138
TOTAL
187
147
334
Siendo H= “chico”, M= “mujer”, P= “progresita”, C= “conservador”.
Aplicando la definición de probabilidad condicionada:
145
p(H  P)
145
334
p(H/P)=


145
42
p(P)
187

334 334
p(M/P)=1-p(H/P)=1-
145 42

187 187
51
p(H  C)
51
334
p(H/C)=


51
96
p(C)
147

334 334
p(M/C)=1-p(H/C)=1-
51
96

147 147
Estos resultados también se pueden obtener directamente de la tabla de contingencias.
 DALTONISMO
Se sabe que en cierta población, la probabilidad de ser hombre daltónico es 1 / 12 y la probabilidad
de ser mujer y daltónica es 1 / 25. La proporción de personas de ambos sexos es la misma. Se elige
una persona al azar.
a) Si la persona elegida es hombre, halla la probabilidad de que sea daltónico.
b) Si la persona elegida es mujer, halla la probabilidad de que se daltónica.
c) ¿Cuál es la probabilidad de que la persona elegida padezca daltonismo?.
222
Variables aleatorias
Sean H= “hombre”, M= “mujer”, D= “daltónico”. Con los datos del problema, sabemos que
1
1
p(HD)=
, p(MD)=
12
25
Con el diagrama de árbol obtenemos:
1
p(D  H) 12 1
a) p(D/H)=


1
p(H)
6
2
1
p(D  M) 25
2
b) p(D/M)=


1
p(M)
25
2
c) p(D)=p(H)p(D/H)+p(M)p(D/M)=
1 1 1 2 25  12 37
  


2 6 2 25
300
300
 FLORES
En cierta floristería recibieron cantidades iguales de rosas y gladiolos, cuyo color es blanco o amarillo.
El 60% de los gladiolos son de color amarillo, mientras que el 70% de las rosas son de color blanco.
a) Si elegimos una rosa, ¿qué probabilidad tenemos de que sea de color amarillo?.
b) Si cogemos dos gladiolos, ¿cuál es la probabilidad de que sean de distinto color?.
c) ¿Que proporción de flores son de color blanco?.
Sean R= “rosa”, G= “gladiolo”, B= “blanco”, A= “amarillo”.
Usando el diagrama de árbol, obtenemos:
a) p(A/R)=0’3
b) p(2 gladiolos de distinto color)=0’40’6 + 0’60’4 = 0’24 + 0’24 = 0’48.
1
1
0'7  0'4 11
'

 0'55  55%
c) p(B)=p(R)p(B/R)+p(G)p(B/G)=  0'7   0'4 
2
2
2
2
223
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I
 GAFAS
En un centro hay 1000 alumnos repartidos así :
Chicos Chicas
Usan gafas
187
113
No usan gafas
413
287
Se elige al azar uno de ellos. ¿Cuál es la probabilidad de que sea : a) chico ; b) chica ; c) use gafas ;
d) no use gafas ; e) sea una chica con gafas.
f) Se elige alguien al azar y me dicen que es una chica. ¿Cuál es la probabilidad de que use gafas ?.
 DOS URNAS
Una urna A contiene 6 bolas blancas y 4 negras. Otra urna B tiene 5 blancas y 9 negras. Elegimos
una urna al azar y extraemos dos bolas que resultan ser las dos blancas. Halla la probabilidad de que
la urna elegida haya sido la A.
 PRUEBA MÉDICA
En cierto país, donde la enfermedad X es endémica, se sabe que un 12% de la población padece
dicha enfermedad. Se dispone de una prueba para detectar la enfermedad, pero no es totalmente
fiable, ya que da positiva en el 90% de los casos de personas realmente enfermas y también da
positiva en el 5% de personas sanas. ¿ Cuál es la probabilidad de que esté sana una persona a la
que la prueba la ha dado positiva ?. Calcula previamente la probabilidad de que en una persona
elegida al azar la prueba de positiva.
 TALLER
Un taller sabe que por término medio acuden : por la mañana 3 automóviles con problemas eléctricos,
8 con problemas mecánicos y 3 con problemas de chapa, y por la tarde 2 con problemas eléctricos, 3
con problemas mecánicos y 1 con problemas de chapa.
a) Haz una tabla ordenando los datos anteriores.
b) Calcula el porcentaje de los que acuden por la tarde.
c) Calcula el porcentaje de los que acuden con problemas mecánicos.
d) Calcula la probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos, acuda por la mañana.
 DOS MÁQUINAS
Dos máquinas, A y B producen un mismo tipo de pieza en la proporción 2 a 3. El 4 % de las
fabricadas por A tiene algún defecto, así como el 2 % de las fabricadas por B. Si se elige una pieza al
azar, ¿cuál es la probabilidad de que no sea defectuosa ?. Supuesto que la pieza elegida no es
defectuosa, calcula la probabilidad de que haya sido fabricada por B.
224
Variables aleatorias
3. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
 VARIABLES ALEATORIAS
Una variable aleatoria es una función X : E  R, que a cada suceso elemental del espacio
muestral E le asocia un número real. Las variables aleatorias pueden ser discretas y
continuas.
Una variable aleatoria X es discreta si solamente toma una cantidad finita (o infinita
numerable) de valores.
Una variable aleatoria X es continua si puede tomar todos los valores de un intervalo de
números reales.
Ejemplos : 1) Lanzamiento de dos dados. Sea X=número de seises obtenidos en
cada lanzamiento. X es una variable discreta.
2) Sea X=peso (o talla) de los jugadores de un equipo de baloncesto.
X es una variable contínua.
Llamamos distribución de una variable aleatoria X a una tabla del tipo
X
P
Valores
Probabilidades
x1
p(X=x1)
x2
p(X=x2)
...
...
xn
p(X=xn)
También se le llama función de probabilidad o función de cuantía.
La función de probabilidad es la función que a cada valor de la variable le asocia su
correspondiente probabilidad.
La gráfica de una función de probabilidad viene dada por un diagrama de barras o por un
diagrama de rectángulos.
Hemos lanzado 25 veces un dado trucado y hemos obtenido las siguientes puntuaciones:
6
4
1
4
3
1
5
3
3
2
5
5
2
5
5
1
1
3
3
5
4
4
4
5
3
a) Calcula la frecuencia de cada puntuación y determina la función de probabilidad de la variable
aleatoria X = puntuación obtenida.
b) Si con el mismo dado tuvieras que apostar, ¿a qué número o números lo harías?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que, al lanzar de nuevo el dado, obtengamos una puntuación
menor o igual que 3? ¿Y una puntuación mayor que 4?
d) Calcula las siguientes probabilidades: p(2  X  4), p(X  3), p(X  4).
e) Calcula la probabilidad de obtener puntuación par y la de obtener puntuación impar.
225
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I

DISTRIBUCIÓN
La distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta viene dada por la siguiente tabla:
x
p(x)
1
0,15
2
0,25
3
0,2
4
m
5
0,15
a) Halla m para que se trate de una función de probabilidad y represéntala gráficamente.
b) Halla p(x  4) y p(2  x  4) .

EDADES
La distribución de edades de los trabajadores de una empresa es la siguiente:
EDADES
Nº TRABAJADORES
[16, 20)
20
[20, 30)
40
[30, 50)
25
[50, 65)
15
Si seleccionamos al azar a un trabajador de dicha empresa, ¿cuál es la probabilidad de que tenga
edad comprendida entre 20 y 50 años? ¿Y la de que tenga edad inferior a 30 años?

MEDIA, VARIANZA Y DESVIACIÓN TÍPICA
La media, esperanza (o valor esperado) de una variable aleatoria X es igual a la suma de
los productos de los valores de la variable por las probabilidades respectivas.
=
n
 xi  pi
i=1
Así mismo, la varianza de una variable aleatoria X es:
n
V=
n
  x i   2  p i
V=
i=1
 xi2  pi   2
i=1
y la desviación típica se calcula mediante:

n
  x i   2 p i

i=1
n
 xi2  pi   2
i=1
Calcula la esperanza, la varianza y la desviación típica de la variable aleatoria X cuya función de
probabilidad es la siguiente:
X
P(X)

1
0,25
2
0,14
3
0, 28
4
0,18
DISTRIBUCIÓN
El histograma muestra el tiempo que han permanecido
en un hospital cierto número de enfermos:
a) ¿Qué porcentaje de enfermos pasó entre 2 y 5 días
en el hospital?
b) Halla la media, la varianza y la desviación típica,
explicando su significado.
226
5
0,12
6
0,03
Variables aleatorias

LANZAMIENTO DE MONEDAS
Lanzamos cuatro monedas. Por cada cara que salga ganaremos 5 euros y pagaremos 4 euros por
jugar. ¿Cuánto esperas ganar en una jugada? ¿Y en 20? ¿Y en 100?
 EL RATÓN Y EL LABERINTO
Un ratón está situado en la entrada A de un laberinto como el de la figura y desea llegar hasta el
punto B donde hay un suculento queso esperándole. Para ir a B decide recorrer al azar cada uno de
los tramos siguiendo siempre las direcciones norte (N) y este (E).
a) ¿Cuantos caminos puede recorrer hasta alcanzar el queso?.
Puedes empezar con un problema más fácil, contando el número de caminos de A a B en
tramas más sencillas o de otras formas:
227
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I
También puedes usar un método de coordenadas:
 n
Si representamos por   el número de caminos que unen A con el punto de coordenadas
 k
(n, k), comprueba que se verifican las siguientes propiedades:
 n  n -1  n -1
  
 

 k  k   k -1
 k  k
     1
 0  k 
para k=0, 1, 2, 3, ..., n
 n
Los números   que verifican estas propiedades se llaman números combinatorios.
 k
 12
Para resolver el problema, hay que hallar   . Esto lo puedes hacer teniendo en cuenta
 6
las propiedades anteriores. Por ejemplo:
 3  2  2  1 1  2
                 ...
 2  1  2  0 1  2
Escribiendo las diagonales de la trama anterior en filas tenemos:
 1
 
 0
 2
 
 0
 3
 
 0
 4
 
 0
 1
 
 1
 2
 
 1
 3
 
 1
 4
 
 1
 2
 
 2
 3
 
 2
 4
 
 2
 4
 
 3
1
1
o bien
 3
 
 3
1
1
1
2
3
4
1
3
6
1
4
1
 4
 
 4
en donde cada número combinatorio es la suma de los dos inmediatamente superiores.
Esta colección de filas se conoce como triángulo de Pascal.
228
Variables aleatorias
2
2
Como ya sabes, (a+b) =a +2ab+b
2
3
4
De la misma forma, puedes hallar (a+b) , (a+b) , ...
3
2
2
2
(a+b) = (a+b)  (a+b)=(a +2ab+b )(a+b)
Compara los coeficientes de las expresiones obtenidas con los números que aparecen en el
triángulo de Pascal.
n
¿Cuál será la expresión correspondiente a (a+b) ?.
A la expresión:
 a + b n
 n
 n
 n
 n 
n-1  n
n
    a n     a n-1  b +    a n-2  b 2 ...
 ab    b
 0
 1
 2
 n -1
 n
se le conoce con el nombre de Binomio de Newton. Sus coeficientes son precisamente los
elementos de la fila que ocupa el lugar n en el triángulo de Pascal. También se puede
expresar así, usando el símbolo sumatorio:
 a + b n
n

 n
  k  a
n-k
bk
k=0
 8
Para hallar   procedemos de la siguiente forma: Este número combinatorio representa el
 4
número de caminos de A a B en la trama de la figura adjunta.
Cualquier camino que une A y B consta de ocho tramos, cuatro verticales y cuatro
horizontales.
229
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I
Si enderazamos un camino, poniéndolo en línea recta, dicha línea consta de ocho tramos.
Eligiendo de ellos cuatro al azar para tramos verticales, el resto serán los tramos
horizontales del camino.
Por ejemplo, ésta es una colección de 8 tramos, un camino rectificado en el que hemos
elegido 4 tramos verticales:
Esta colección de 4 tramos verticales representa el siguiente camino que une A con B :
Por tanto, hay tantos caminos de A a B como maneras distintas de elegir 4 tramos entre 8.
¿De cuántas maneras podemos elegir 4 tramos entre 8?.
Para el primer tramo tenemos 8 posibilidades; para el segundo 7; para el tercero 6 y para el
cuarto 5. Tenemos pues, 8765 posibilidades. Pero como no importa el orden en que se
coloquen los cuatro tramos, hay que dividir por el número de ordenaciones posibles de
estos tramos que es 4321. Así, pues, hay
8  7  6  5 1680

 70 caminos de A a B.
4  3 2 1
24
 8 8  7  6  5
 70
Es decir :   
 4 4  3  2  1
o bien, haciendo uso de la notación factorial:
 8 8  7  6  5 8  7  6  5  4  3  2  1
8!


 
 4 4  3  2  1 4  3  2  1  4  3  2  1 4 ! 4 !
siendo 8 ! = 87654321
y
4 ! = 4321.
 12
Usa este mismo procedimiento para hallar   .
 6
En general, el número de caminos que une A con el punto (n, k) es:
 n n  n -1  n - 2 ... (n - k +1)
n!

 
k (k -1) (k - 2) ... 4  3  2  1 k! (n - k)!
 k
230
Variables aleatorias
b) ¿Cuántos caminos puede recorrer el ratón hasta alcanzar el queso, si hay un gato esperándole en
el punto M = ( 8, 4 )?. ¿Y si el gato se sitúa en el punto P = ( 7, 3 )?.
Para resolver estas cuestiones puedes hacer uso de la siguiente propiedad de los números
combinatorios:
 n  n 
  

 k  n - k
Esta propiedad es consecuencia inmediata de la simetría de la trama considerada, y del
correspondiente triángulo de Pascal.
 1
 
 0
 2
 
 0
 3
 
 0
 4
 
 0
 1 1
Así se verifica que :      ;
 0 1
 1
 
 1
 2
 
 1
 3
 
 1
 4
 
 1
 2
 
 2
 3
 
 2
 4
 
 2
 2  2
    ;
 0  2
 3
 
 3
 4
 
 3
 4
 
 4
 3  3
     etc.
 1  2
 MONEDAS
Disponemos de monedas insesgadas, es decir, monedas en las que ambas caras tienen las mismas
posibilidades de salir en cada lanzamiento. Llamamos “éxito” a la obtención de “cara”.
a) Al efectuar el lanzamiento de una moneda, las apuestas entre dos contrincantes deben ser
iguales, ya que las posibilidades de éxito son las mismas que las de fracaso.
¿Cómo deberían ser las apuestas en el lanzamiento de dos monedas en cada uno de los siguientes
casos ?
 Se apuesta por la obtención de exactamente un éxito.
 Se apuesta por la obtención de dos éxitos.
 Se apuesta por la obtención de, al menos, un éxito.
b) ¿Cómo tendrían que ser las apuestas en el lanzamiento de tres monedas, en cada uno de los
siguientes casos ? :
 Se apuesta por la obtención de exactamente un éxito.
 Se apuesta por la obtención de exactamente dos éxitos.
 Se apuesta por la obtención de tres éxitos.
 Se apuesta por la obtención de, al menos, un éxito.
c) Procede de manera análoga para el lanzamiento de cuatro monedas.
231
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I
Puedes responder a todas las cuestiones planteadas haciendo uso de un diagrama de árbol
como el siguiente:
Así, por ejemplo, en el lanzamiento de dos monedas, los sucesos CARA-CRUZ y CRUZCARA dan ambos un éxito exactamente, luego la probabilidad de obtener exactamente un
éxito en el lanzamiento de dos monedas es:
2
2
p(1)=(1/2) + (1/2) = 2 (1/2)
2
De esta manera, puedes construir las siguientes tablas de probabilidad:
UNA MONEDA
nº de éxitos
0
probabilidad
1/2
1
1/2
DOS MONEDAS
nº de éxitos
0
1
2
2
probabilidad
(1/2) 2 (1/2)
nº de éxitos
probabilidad
2
2
(1/2)
TRES MONEDAS
0
1
2
3
3
3
(1/2) 3 (1/2) 3 (1/2)
3
3
(1/2)
Estas tablas se conocen con el nombre de DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD.
En consecuencia, la probabilidad de obtener al menos un éxito en el lanzamiento de dos
monedas es:
2
2
p=p(1)+p(2)=2(1/2) +(1/2) = 3 / 4
mientras que nuestro continente tiene como probabilidad 1 / 4. Las apuestas deben, pues,
realizarse en la proporción 3 / 1.
232
Variables aleatorias
Si observas las tres tablas anteriores y dispones en filas los coeficientes que multiplican a
las potencias de 1 / 2, tendrás:
1
1
1
1
para una moneda,
2
1
para dos monedas,
3
3
1
para tres monedas,
Obtienes así el triángulo de Pascal, cuyos elementos son los números combinatorios:
 1
 
 0
 2
 
 0
 3
 
 0
 1
 
 1
 2
 
 1
 3
 
 1
 2
 
 2
 3
 
 2
 3
 
 3
Por lo tanto, la probabilidad de obtener k éxitos en el lanzamiento de n monedas es
 n
n
p(k)=   1 2
 k
siendo
 n n  n -1  n - 2 ... (n - k +1)
n!

 
k (k -1) (k - 2) ... 4  3  2  1 k! (n - k)!
 k
 DADOS
Disponemos de dados insesgados (todas las caras, en cada dado, tienen las mismas posibilidades de
salir en cada lanzamiento). Llamaremos “éxito” a la aparición de “seis”.
Con un dado, la posibilidad de ganar, cuando apostamos por el “éxito”, es menor que la de perder,
por lo que las apuestas entre dos contrincantes, uno apostando por el éxito y el otro por el fracaso, no
pueden ser iguales, si el juego ha de ser equitativo. ¿Cómo han de efectuarse, pues, las apuestas?.
Intenta responder a las mismas cuestiones planteadas en el problema “MONEDAS”, teniendo en
cuenta que ahora lanzas dados y no monedas.
233
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I
Comprueba que, en este caso, la probabilidad de obtener k éxitos en n lanzamientos es la
siguiente:
 n
k
n-k
p(k) =   1 6  5 6
 k
En los dos problemas anteriores se dice que la variable número de éxitos sigue una
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL DE PROBABILIDAD caracterizada por el hecho de que puede
interpretarse como la repetición de una prueba en la que sólo pueden representarse dos
sucesos contrarios A y A .
Si p es la probabilidad de “éxito” en una prueba, y q la de no tenerlo, la probabilidad de
tener k éxitos en n pruebas es:
 n
p(k)=   p k q n-k , con p + q = 1
 k
Se expresa así : B(n, p) y se lee “distribución binomial de parámetros n y p”.
El nombre de DISTRIBUCIÓN BINOMIAL procede del hecho de que la probabilidad p(k) de
obtener k éxitos en n pruebas es el término que ocupa el lugar k en el desarrollo del
n
binomio de Newton (p+q) .
En consecuencia, dada una distribución binomial de probabilidad, como la siguiente:
nº de éxitos
probabilidad
0
p(0)
1
p(1)
2
p(2)
...
...
k
p(k)
...
...
se verifica que:
p(0)+p(1)+p(2)+ ... +p(k)+ ... +p(n-1)+p(n) = 1
es decir:
 p(k)    k p
 n
k
n-1
p(n-1)
n
p(n)
q n-k  1
ya que dicha suma es, según el desarrollo del binomio de Newton:
 n
 p(k) =   k p
k
q n-k  ( p + q) n  1
puesto que es p + q = 1
 NACIMIENTOS
Repetidas estadísticas realizadas en una clínica maternal han dado origen a la siguiente distribución
de probabilidad del sexo de un recién nacido:
SEXO
PROBABILIDAD
0
0’48
1
0’52
en la que 0 indica que el recién nacido es chica y 1 que es chico. Calcula la distribución de
probabilidad, según el sexo, de los próximos 6 nacimientos en dicha clínica. Dibuja el histograma
correspondiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de niñas esté comprendido entre 2 y 4?.
¿Cuántos niñas esperan que nazcan?.
234
Variables aleatorias
Consideramos “éxito” el nacimiento de una niña. Entonces, en cada nacimiento, la
probabilidad de éxito es p=0’48 y la probabilidad de fracaso es q=1-p=0’52.
Sea X= número de niñas en 6 nacimientos. Se cumple que X B(6, p). Teniendo en cuenta
que la probabilidad de obtener k éxitos en 6 pruebas viene dada por la fórmula:
 6
p(X = k) =   0'48 k  0'52 6-k , la distribución de probabilidad de los próximos 6 nacimientos
 k
es:
X
p(X=k)
0
0’0198
1
0’1095
2
0’2527
3
0’3110
4
0’2153
5
0’0795
6
0’0122
La probabilidad de que nazcan entre 2 y 4 niñas es
p( 2  X  4 ) = p( X = 2 ) + p( X = 3 ) + p( X = 4 ) = 0’2527 + 0’3110 + 0’2153 = 0’7790
El número medio de niñas que esperamos que nazcan es :
X  0  p(0) +1 p(1) + 2  p(2)+...+5  p(5) + 6  p(6) = 0’1095 + 0’5054 + 0’9330 +
0’8612 + 0’3975 + 0’0734 = 2’88  3
Por término medio esperamos que nazcan 3 niñas.
 DETERGENTES
El porcentaje de hogares que utilizan una determinada marca de detergente se ha estimado en un
26%.
a) En una muestra de 10 hogares, ¿cuál es la probabilidad de que encontramos un número de
usuarios de la marca en cuestión comprendido entre 5 y 7?.
b) Calcula la probabilidad de que encontremos más de 8 usuarios.
c) ¿Cuál es la probabilidad de que encontremos al menos un usuario?.
235
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I
Consideramos éxito encontrar un hogar que use esa marca de detergente. La probabilidad
de éxito es p=0’26 y la de fracaso q=1-p=0’74.
Sea X=número de hogares que usan el detergente. Se cumple que XB(10, 0’26).
La probabilidad de encontrar entre 5 y 7 usuarios del detergente es:
10
10
10
p(5  X  7) = p(5) + p(6) + p(7) =   0'265  0'745    0'266  0'744    0'267  0'743
 5
 6
 7
=0’0664394 + 0’0194529 + 0’0039056187 = 0’0897979  0’09
La probabilidad de obtener más de 8 hogares usuarios es:
10
10
p(X>8) = p(9) + p(10) =   0'26 9  0'74    0'2610  0'74 0 
 9
10
=0’000040178327 + 0’000001411671 = 0’00004158
La probabilidad de encontrar al menos un usuarios es:
10
p(X1)=1-p(0)=1-   0'26 0  0'74 10  1  0'74 10  0'9507601
 0
 PARÁMETROS DE UNA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
a) Calcula el número medio de éxitos y la desviación típica en el lanzamiento de dos dados y en el
lanzamiento de tres monedas.
b) Calcula el número medio de niñas y la desviación típica en el problema “NACIMIENTOS”.
Habrás obtenido los siguientes resultados:
DADOS
MONEDAS
NACIMIENTOS
n
2
3
10
p
1/6
1/2
0’48
q
5/6
1/2
0’52
X (media)
2/6
3/2
4’8
V (varianza)
10/36
3/4
2’496
Si observas detenidamente la tabla, verás que entre n, p, q, X y V existen las siguientes
relaciones:
X= n  p
V=npq
De la misma forma se puede mostrar su validez para cualquier valor de n.
Por lo tanto, para una distribución binomial, la media y la varianza vienen dadas por:
X= n  p
V=npq
 PIEZAS DEFECTUOSAS
El 30% de las piezas fabricadas por una cierta máquina son defectuosas. Calcula la probabilidad de
que al elegir al azar 10 piezas resulten al menos dos defectuosas. Halla la media y la desviación
típica.
236
Variables aleatorias
Consideramos éxito la obtención de una pieza defectuosa. La probabilidad de éxito es
p=0’30 y la probabilidad de fracaso es q=1-p=1-0’30=0’70.
Sea X=número de piezas defectuosas entre las 10 elegidas. Se cumple X B(10, 0’3)
La probabilidad de obtener al menos dos piezas defectuosas es:
10
10
p(X2)= 1-p(0)-p(1)=1-   0'30  0'7 10    0'31  0'7 9 
 0
 1
= 1 - 0’0282475 - 0’1210608 = 0’8506916
Media : X  n p = 10  0'3 = 3
Varianza : V= n p q = 10  0’3  0’7 =2’1
Desviación típica:   V  21
'  14491377
'

EXAMEN TIPO TEST
Un estudiante hace un examen tipo test de elección múltiple compuesto por 10 preguntas con 5
respuestas cada una. Si no ha estudiado para el examen y señala aleatoriamente la respuesta, ¿qué
resultado puede obtener?. ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante consiga exactamente 6
respuestas correctas?. ¿Cuál es la probabilidad de que consiga al menos 6 respuestas correctas?.
Si X es el número de aciertos, X sigue una distribución binomial de parámetros n=10 y
p= 1 5  0.2 Es decir, XB(10, 0.2). Para ver los posibles resultados, simulamos una binomial
de parámetros n=10 y p=0.2. Para ello utilizamos la función randBin( de la calculadora
gráfica TI83, cuya sintaxis es:
randBin( número de pruebas, probabilidad de éxito, número de simulaciones )
Suponiendo 50 simulaciones, introducimos la función randBin(10, 0.2, 50) en la lista L 1
pulsando MATH  [7] 10 , 0.2 , 50 ) ENTER  L1
A continuación dibujamos el histograma correspondiente a la lista L 1 obteniendo dos
aciertos como resultado más frecuente.
Para hallar la probabilidad de que el estudiante acierte 6 respuestas, utilizamos el menú
nd
DISTR de la TI83. Este menú se visualiza en pantalla pulsando [2 ] [VARS] La función de
cuantía binomial es binompdf(, cuya sintaxis es la siguiente:
binompdf( número de pruebas, probabilidad de éxito, número de éxitos ).
En caso de que no se indique el tercer parámetro, esta función nos dará una lista con todas
las probabilidades posibles. Así, la probabilidad de tener 6 aciertos es:
binompdf(10, 0.2, 6) = 0.00550524
Para hallar la probabilidad de obtener al menos 6 aciertos, utilizamos la función de
distribución binomial, binomcdf(, cuya sintaxis es la siguiente:
binomcdf( número de pruebas, probabilidad de éxito, número de éxitos ).
Si el tercer parámetro no se indica esta función nos da una lista con todas las
probabilidades acumuladas posibles.
El suceso contrario de tener al menos 6 aciertos es tener, como máximo, 5 aciertos. La
probabilidad de este suceso se obtiene con la función binomcdf(10, 0.2, 5). Así, la
probabilidad de tener al menos 6 aciertos es:
1binomcdf(10, 0.2, 5), que da como
resultado 0.0063693824.
237
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I

NÚMEROS COMBINATORIOS
a) Calcula :
 7
 ;
 3
 9
 ;
 2
b) Calcula :
 7
 ;
 2
11
 ;
 3

100
 ;
 99 
 55
 ;
 0
1000

;
 1 
 55
 ;
 1
 55
 ;
 2
 9
 
 2
1280

;
 1 
 400

;
 3 
 400


 397
LANZAMIENTOS
¿Cuál es la probabilidad de que salga 3 veces cara en 7 lanzamientos de una moneda ?. ¿Y 4 veces
cara en 9 lanzamientos ?.

BINOMIAL
En una distribución B(10 ; 0’2) calcula :
a) P(x=3) ;

b) P(x>2) ;
c) P(x2) ;
d) x y 
ACCIDENTES
La probabilidad de que la causa de un accidente automovilístico sea el exceso de alcohol es de 0’6.
Estudia la distribución binomial de probabilidad asociada a este hecho, respondiendo a las siguientes
preguntas :
a) Si en un fin de semana se producen 12 accidentes, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 3 de
ellos sean debidos al alcohol ?.
b) ¿En cuánto hubieran disminuido los accidentes si todos los conductores se mantienen sobrios ?.

PIEZAS DEFECTUOSAS
El 3 por 100 de las piezas elaboradas por una máquina es defectuoso. Las piezas se venden en cajas
de 25 unidades. ¿Cuál es la probabilidad de que una caja contenga a lo sumo una pieza
defectuosa ?.

SERIE TELEVISIVA
El 35 por 100 de la población adulta sigue habitualmente una serie televisiva. Se reúnen cinco amigos
para cenar y uno de ellos hace referencia a la mencionada serie. ¿Cuál es la probabilidad de que los
cinco puedan intervenir en la conversación ?. ¿Cuál la de que la conversación no se llegue a
plantear ?.

ENFERMEDAD
Cierta enfermedad tiene un índice de mortalidad del 60 por 100. Si en un hospital hay seis personas
afectadas, ¿cuál es la probabilidad de que al menos la mitad de ellas sobreviva ?.
238
Variables aleatorias

TEST
En un test hay 100 preguntas con cuatro opciones de respuesta, de las que hay que seleccionar una.
Si se responde totalmente al azar, ¿cuál es el número medio esperado de respuestas correctas ?.
¿Cuál es la desviación típica ?.

SELECTIVIDAD
De los alumnos que cierto centro de enseñanza presenta al examen de selectividad cada año, suele
aprobar el 95%. Si este curso van a presentarse 240 alumnos de ese centro, ¿cuántos aprobarán por
término medio aproximadamente ?. ¿Cuál es la desviación típica ?.

HONGO VENENOSO
Se estima que cierto hongo pernicioso acaba con la vida del 80% de las plantas en las que se
asienta. Calcula el valor medio esperado de mortalidad en una población de un millón de plantas
infectadas por dicho hongo.

MOTORES
En un proceso de fabricación de motores para coches, y antes de la revisión previa a la venta, la
probabilidad de que un motor tenga algún defecto es de 0’05. Entre cuatro motores sin revisar,
calcula la probabilidad de que:
a) no haya ninguno defectuoso;
b) haya alguno defectuoso;
c) haya más de uno defectuoso.

SOLDADURAS
Un tipo de piezas requiere de 4 soldaduras. Se hace un control de calidad a mil de esas piezas y se
obtienen los siguientes resultados :
Soldaduras defectuosas 0
1
2
3 4
Piezas
603 212 105 52 28
¿Se ajustan estos datos a una binomial ? Si la probabilidad de que una soldadura fuese defectuosa
es de 0’1, ¿cuál es el número esperado de piezas con una soldadura defectuosa ?.
239
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I
4. DISTRIBUCIÓN NORMAL
 MONEDAS
a) Efectuamos 3 lanzamientos de una moneda insesgada. Llamamos “éxito” a la obtención de cara.
Halla la distribución de probabilidad y dibuja el histograma correspondiente.
b) Resuelve el mismo problema suponiendo que hacemos 4, 5 y 6 lanzamientos.
c) Dibuja, lo más aproximadamente que puedas, una curva que se ajuste a cada uno de los
histogramas anteriores. Comenta las características de estas curvas.
1
. Si X=nº de caras, X sigue
2
una distribución B(3, 1 / 2). Entonces, la distribución de probabilidad es
a) Las probabilidades de éxito y de fracaso son iguales: p=q=
k
p(X=k)
0
0’125
1
0’375
2
0’375
3
0’125
b) Para n=4, X sigue una distribución B(4, 1 / 2). La distribución de probabilidad es la
siguiente :
k
p(X=k)
0
0’0625
1
0’25
2
0’375
3
0’25
4
0’0625
Para n=5, X sigue una distribución B(5, 1 / 2). La distribución de probabilidad es
k
p(X=k)
240
0
0’03125
1
0’15625
2
0’3125
3
0’3125
4
0’15625
5
0’03125
Variables aleatorias
Para n=6, X sigue una distribución B(6, 1 / 2). La distribución de probabilidad es
k
p(X=k)
0
0’015625
1
0’09375
2
0’234375
3
0’3125
4
0’234375
5
0’09375
6
0’015625
 LA CURVA NORMAL
Muchos histogramas pueden ajustarse por una curva que tiene la forma de una campana
invertida:
Esta curva es conocida como CURVA NORMAL o CURVA DE GAUSS. Es simétrica
respecto de la vertical que pasa por la media y presenta un máximo para dicho valor medio,
x.
Además, la desviación típica  es la distancia del eje de simetría a cualquiera de los dos
puntos de inflexión de la curva normal. En el punto de inflexión, la campana cambia de
mirar hacia abajo a mirar hacia arriba (o viceversa).
Existen multitud de fenómenos de azar o procesos aleatorios que pueden representarse por
la curva normal (por eso, precisamente, se llama normal). De manera que, para esos
fenómenos, la campana de Gauss cumple el mismo papel que el histograma.
Para calcular probabilidades a partir de un histograma, entre dos valores dados, basta
sumar áreas de rectángulos. Para calcular probabilidades a partir de la curva normal, hay
que recurrir al cálculo de primitivas.
241
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I
La función que representa a la curva normal, llamada función de densidad normal viene
dada por la fórmula:
F(x) =
1
 2
1  x  x 
 
2   
e 
2
La dificultad reside en que esta función no tiene primitivas expresables mediante funciones
elementales. Por esta razón, se han construido tablas como la que tienes al final del tema.
Se han confeccionado utilizando métodos de aproximación de áreas (rectángulos, trapecios,
etc).
En dichas tablas se recogen los valores que puede tomar el área bajo la curva normal, de
media x  0 y desviación típica  = 1, cuya fórmula es:
F(z) =
1
2
z2
e 2

La función de distribución normal es la función cuyo valor en cada punto a es
F(a) = p(x < a) = p(x  a)
y verifica la propiedad :
p(a < x < b) = F(b) - F(a)
Si X es una variable aleatoria continua que sigue una distribución normal de media x y
desviación típica , escribimos: XN( x , )
Si Z es una variable aleatoria continua que sigue una distribución normal de media 0 y
desviación típica 1, decimos que es una normal típica y la representamos así: ZN(0, 1).
Como puedes observar, en la tabla tienes las
probabilidades de que la variable Z tome valores
menores o iguales que uno z p fijado de antemano,
p(Z z p ) desde z p =0.00 hasta z p =3.49.
La primera columna da la parte entera y la primera
cifra decimal, mientras que la segunda cifra decimal la dan las siguientes columnas.
Así :
p(Z0,50)=0,6915
p(Z1,17)=0,8790
¿Cómo calcularías en la tabla p(Z1) ?.
Ten en cuenta que en la tabla sólo aparecen los valores positivos de z p . Para superar esta
dificultad, recuerda que la suma de las áreas de los rectángulos que componen un
histograma es igual a 1. Puesto que la curva normal es una aproximación del histograma,
esta propiedad también la verifica la campana de Gauss, es decir:
EL ÁREA BAJO LA CURVA NORMAL EN LA TOTALIDAD DE SU DOMINIO ES IGUAL A 1.
Utilizando esta propiedad y el hecho de que la curva es simétrica respecto del eje de
ordenadas, tenemos:
p(Z1) = p(Z1) = 1  p(Z1) = 1  0,8413 = 0,1587
Así pues, la probabilidad pedida es p(Z1)=0,1587=15,87 %.
242
Variables aleatorias
a) Utilizando las propiedades de la curva de Gauss, calcula a partir de la tabla de la función de
distribución normal, las siguientes probabilidades:
p(Z2) ;
p(Z>2) ;
p(Z>2) ;
p(Z<2) ;
p(0,5<Z<1,5) ;
p(0,5Z0,5)
¿ Puedes usar este procedimiento para calcular p(Z=1,5)?.
p(Z = a) = p(a  0,5 < Z  a + 0,5)
En general, podemos hacer la aproximación:
La curva que acabamos de estudiar se llama NORMAL TIPIFICADA y se caracteriza por
tener media x  0 y desviación típica  = 1.
Pero obviamente, no todos los fenómenos de azar poseen media 0 y desviación típica 1.
¿Cómo podemos entonces utilizar la tabla de la normal tipificada cuando la media y la
desviación típica son diferentes?.
Si X es la variable de un fenómeno aleatorio representado por una curva normal de media x
y desviación típica , entonces la variable
Z=
X X

es una normal tipificada, es decir, de media 0 y desviación típica 1. Es decir:
Si X N( X ,  ) entonces Z=
X X

 N(0, 1)
b) Una variable X está representada por una curva normal de media X  2 y desviación típica  = 0,5.
¿Qué posibilidades tenemos de que dicha variable X tome valores comprendidos entre 1,8 y 2,2 ?.
¿Y de que la variable X tome valores inferiores a 1,8 o superiores a 2,2 ?.
c) Se considera una población normal de media X = 6 y desviación típica  = 2. ¿Qué porcentaje de
la población dista de la media menos de una desviación típica?. ¿Y menos de dos desviaciones
típicas?. ¿Y menos de tres?.
SOLUCIÓN :
Si XN(6, 2), entonces Z=
X-X X-6

N(0, 1). Entonces:

2
 4  6 X - 6 8  6


1) p( X X X +)=p(4X8)=p 
 =p(1Z1)=
 2
2
2 
=p(Z1)p(Z1)=p(Z1)p(Z1)=p(Z1)[1p(Z1)]=2p(Z1)1=
20’84131=0’6826  68 %
 2  6 X - 6 10  6 


2) p( X 2X X +2)=p(2X10)=p 
  p(2Z2)=
 2
2
2 
=p(Z2)p(Z2)=p(Z2)p(Z2)=p(Z2)[1p(Z2)]=2p(Z2)1=20’97721=
=0’9544  95 %
 0  6 X - 6 12  6 


3) p( X 3X X +3)=p(0X12)=p 
  p(3Z3)=
 2
2
2 
=p(Z3)p(Z3)=p(Z3)p(Z3)=p(Z3)[1p(Z3)]=2p(Z3)1=20’99871=
= 0’9974  100 %
243
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I
Seguramente habrás obtenido los siguientes resultados:
p( X -   X  X + )  0’68
p( X - 2  X  X + 2)  0’95
p( X - 3  X  X + 3)  1
En general, para una distribución normal de media X y desviación típica , se verifica que:
En el intervalo [ X -, X +] está contenido aproximadamente el 68% de la población.
En el intervalo [ X -2, X +2] está contenido aproximadamente el 95% de la población.
En el intervalo [ X -3, X +3] está contenida prácticamente toda la población.
Estos resultados se conocen como TEOREMA DE TCHEBYCHEFF. Podemos expresar
gráficamente estos resultados, a modo de resumen, en el siguiente diagrama:
 LLUVIAS
En una estación metereológica se ha observado que la precipitación de lluvia anual tiene una media
2
2
de 450 mm / m con una desviación típica de 80 mm / m . Suponiendo que la precipitación de lluvia
anual sigue una curva normal :
a) ¿Qué posibilidades existen de que en un año determinado la precipitación no exceda de 530 mm /
2
2
m ? ¿Y de que pase de 530 mm / m ?.
2
b) ¿Hay muchas posibilidades de que la precipitación esté entre 370 y 530 mm /m ?. ¿Y de que esté
2
2
entre 290 y 610 mm /m ?. ¿Y entre 210 y 690 mm /m ?.
244
Variables aleatorias
SOLUCIÓN :
Sea X=precipitación de lluvia anual.
X - X X - 450
Z=
N(0, 1)


80
Se cumple que XN(450, 80). Entonces :
 X - 450 530  450 
a) p(X < 530) = p

  p(Z < 1) = 0'8413
 80
80 
p(Z > 530) = 1  p(X  530) = 1  0’8413 = 0’1587
 370  450 X - 450 530  450 
b) p(370  X  530) = p 


  p(-1  Z  1) =

80
80
80 
=p(Z  1)  p(Z  1) = p(Z  1)  p(Z  1) = p(Z  1)  [1  p(Z  1)] = 2p(Z  1)1=
=20’84131=0’6826
 290  450 X - 450 610  450 
2) p(290  X  610) = p 


  p(-2  Z  2) =

80
80
80 
=p(Z  2)  p(Z  2) = p(Z  2)  p(Z  2) = p(Z  2)  [1  p(Z  2)] = 2p(Z  2)1=
=20’97721=0’9544
 210  450 X - 450 690  450 


3) p(210  X  690) = p 
  p(-3  Z  3) =

80
80
80 
=p(Z  3)  p(Z  3) = p(Z  3)  p(Z  3) = p(Z  3)  [1  p(Z  3)] = 2p(Z  3)1=
=20’99871=0’9974
 RUBIOS
Aproximación de la distribución binomial por la distribución normal.
Toda distribución binomial puede ajustarse por una distribución normal con la misma
media, X  n p y la misma desviación típica  = n p q .
El sentido de la palabra “ajustar” es que las áreas encerradas por la curva normal en cada
intervalo y el área de los rectángulos del histograma que corresponden al mismo intervalo
son “casi” iguales.
En general se demuestra que el ajuste es bueno siempre que se cumplan las condiciones :
n p q  9, n p  5, n q  5 .
Se tiene una población muy numerosa, en la que se admite que la probabilidad de que un individuo
sea rubio es p=0’4. Se efectúan 900 observaciones y se representa por X el número de individuos
rubios entre esos 900. Calcula la probabilidad de que X=k, halla la media X y la desviación típica , y
determina las siguientes probabilidades :
p(360X380), p(X365) y p(X=360).
245
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I
Observa que la distribución de X es binomial con n = 900, p = 0’4 y q = 0’6.
Se verifica entonces que :
 900
k
900 k
p(X=k)= 
 0'4  0'6
k


X  n p = 900  0'4 = 360
  n p q  900  0'4  0'6  14'7
El cálculo exacto de p(360X380) exige hacer la suma:
 900
 900
360
540
380
520
p(X=360)+p(X=361)+...+p(x=380)= 
 0'4  0'6 ...
 0'4  0'6
 360
 380
¡Estas operaciones son inabordables con una calculadora!. ¿Qué hacer, entonces?.
Observa que, en este caso, es n p q 9, n p 5 y n q 5. Podemos, pues, aproximar
esta distribución binomial por una curva normal de la misma media, X  360 y la misma
desviación típica,  =14’7.
Para obtener p(360X380) debes hallar la suma de las áreas de los rectángulos rayados
en el histograma (ver figura).
Al ajustar el histograma por la curva normal, deberás tener en cuenta que cada rectángulo
tiene base 1, y está centrado en cada uno de los valores de la variable X.
Así, por ejemplo, el rectángulo con centro en x=360 empieza en 359’5 y termina en 360’5.
Por lo tanto, se verifica :
p(360  X  380) = p(359’5  Y  380’5)
siendo Y la variable normal de media X  360 y desviación típica  =14’7, que ajusta el
histograma.
De la misma forma, se cumple :
p(X  365) = p(Y  364’5)
p(X = 360) = p(359’5  Y  360’5)
Para resolver el problema tendrás, pues que tipificar la variable normal Y, y hacer uso de la
tabla de la función de distribución normal.
Resumiendo, la resolución del problema pasa por efectuar dos cambios de variable :
XB(900, 0’4)  YN(360, 14’7)  Z=
246
Y - Y Y - 360

N(0, 1)
Y
14'7
Variables aleatorias
SOLUCIONES :
 359'5  360 Y - 360 380'5  360 
1) p(360  X  380) = p(359’5  Y  380’5) = p 




14'7
14'7
14'7 
= p(0’03  Z  1’39) = p(Z  1’39)  p(Z  0’03) = p(Z  1’39)  p(Z  0’03) =
= p(Z  1’39) – 1 + p(Z  0’03) = 0’9177 – 1 + 0’5120 = 0’4297
 Y 360 364'5  360 
2) p(X  365) = p(Y  364’5) = p 

  p(Z  0'31) =
 14'7

14'7
= 1  p(Z  0’31) = 1  0’6217 = 0’3783
 359'5  360 Y - 360 360'5  360 
3) p(X = 360) = p(359’5  Y  360’5) = p 




14'7
14'7
14'7 
= p(0’03  Z  0’03) = p(Z  0’03)  p(Z  0’03) = p(Z  0’03)  p(Z  0’03) =
= p(Z  0’03)  [1  p(Z  0’03)] = 2p(Z  0’03) – 1 = 20’5120 – 1 = 0’024
 EXAMEN
En un examen se formulan 38 preguntas del tipo Verdadero-Falso. El examen se aprueba si se
contestan correctamente, al menos, 20 preguntas. Si se lanza una moneda para decidir la respuesta
de cada pregunta, calcula la probabilidad de aprobar el examen.
SOLUCIÓN :
Sea X = número de preguntas correctamente contestadas. Entonces : XB(38, 1 / 2), ya que
n = 38 y p = 1/2. Calculamos la media y desviación típica de esta binomial :
1
1 1
 19
Varianza : V= n p q = 38    9'5
2
2 2
Desviación típica :   V  9'5  3082207
'
Media : X  n p = 38 
Como se cumple que npq9, np5 y nq5, esta binomial se puede aproximar por una
distribución normal de media X =19 y desviación típica  =3’082207, o sea
XB(38, 1 / 2) se puede aproximar por Y N(19, 3’082207). A su vez, la variable normal Y se
Y-Y
Y -19

puede tipificar mediante la variable Z=
N(0, 1).

3'082207
La probabilidad de aprobar el examen es :
19'5  19 
 Y -19

p(X20)=p(Y19’5)=p 
  p(Z  0'16) = 1- p(Z  0'16) =
 3'082207 3'082207 
=10’5636=0’4364
 ARTÍCULOS DEFECTUOSOS
El 10 % de los artículos fabricados en una empresa de material cerámico tiene algún defecto. Obtén
(utilizando la aproximación de la distribución binomial por la distribución normal) la probabilidad de
que :
a) en un lote de 10 artículos se encuentre al menos uno defectuoso.
b) en un lote de 100 artículos haya al menos 10 defectuosos.
247
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I
SOLUCIÓN :
Sea X=nº de artículos defectuosos
a) XB(10, 0’1), ya que n=10 y p=0’1. Entonces :
10
p(al menos uno defectuoso) = p(X  1)=1p(X=0) = 1   0'10  0'9 10 
 0
= 1  0’3486784 = 0’6513215
b) En este caso, XB(100, 0’1), ya que n=100 y p=0’1. Hallamos la media y desviación
típica:
X  n p = 100  0'1 = 10 ;
  n p q  100  01
'  0'9  9  3
Como npq9, np5 y nq5, podemos aproximar esta binomial por una curva normal de la
misma media y desviación típica : YN(10, 3). A su vez, podemos tipificar esta variable:
Z=
Y - Y Y -10

N(0, 1)

3
La probabilidad de obtener, al menos, 10 artículos defectuosos es :
 Y -10 9'5  10 

p(X  10) = p(Y  9’5) = p 
  p(Z  -0'1666666) = p(Z  -0'17) =
 3
3 
= p(Z  0’17) = 0’5675. (Hemos usado la simetría de la curva normal).

COCIENTE INTELECTUAL
Los cocientes intelectuales de una población de individuos siguen una distribución normal de media
100 y desviación típica 15. a) Utiliza la calculadora gráfica para obtener una muestra aleatoria de
tamaño 100. b) Utiliza la calculadora gráfica para representar diversas curvas de Gauss. c) ¿Cuál es
la probabilidad de que una persona elegida al azar tenga un cociente intelectual comprendido entre
90 y 115 ?.
La función randNorm( de la calculadora TI83 genera un número real aleatorio de una
distribución normal especificada. Su sintaxis es:
randNorm( media, desviación típica, número de pruebas )
Para obtener una lista con una muestra de tamaño 100 utilizaremos esta función, pulsando:
MATH  [6] 100 , 15 , 100 )  L1
Comprueba que la media y la desviación típica de la lista L1 son las esperadas.
La función normalpdf( situada en el menú DISTR de la TI83 permite obtener la función de
densidad de una variable normal. Su sintaxis es la siguiente:
normalpdf( valor, media, desviación típica )
Si no se indican la media y la desviación típica, se sobreentiende 0 y 1, es decir una normal
tipificada.
Podemos dibujar las gráficas de diversas curvas normales, utilizando esta función. Así, en el
menú Y= introducimos las funciones Y1 = normalpdf(X), Y2 = normalpdf(X, 0, 2), Y3 =
normalpdf(X, 2, 0.5). Extrae conclusiones.
248
Variables aleatorias
La función normalcdf( situada en el menú DISTR de la TI83 calcula la distribución de
probabilidad normal acumulada entre la cota inferior y la cota superior. Su sintaxis es la
siguiente:
normalcdf( cota inferior, cota superior, media, desviación típica )
Si no se especifican la media y desviación típica, se sobreentiende 0 y 1, es decir, una
normal tipificada.
Para hallar la probabilidad de que una persona elegida al azar tenga un cociente intelectual
nd
entre 90 y 115 utilizamos la función normalcdf(90, 115, 100, 15), pulsando [2 ] [VARS]
eligiendo la función en la lista de opciones, introduciendo los parámetros y pulsando
ENTER.
También podemos calcular cuantiles correspondientes a la distribución normal estándard, es
decir valores k de la variable para los que la probabilidad p(Z k) toma un determinado valor
fijado de antemano. Esto se puede hacer mediante la función invNorm( de la TI83, cuya
sintaxis es la siguiente:
invNorm( probabilidad)
Por ejemplo, si queremos hallar k con la condición de que p(Z  k)=0.95, utilizamos la
nd
función invNorm(0,95), para lo que hay que pulsar [2 ] DISTR [3] 0.95 ) ENTER. En
pantalla aparece el resultado, k = 1.644853626.
Si queremos hallar el cociente intelectual que supera al 95 % de la población, suponiendo
que la distribución es normal de media 100 y desviación típica 15, basta tener en cuenta la
tipificación. Así:
X  100
 N (0, 1) . Como el valor k=1.644853626 es tal que p(Z k)=0.95, el valor del
15
X  100
cociente intelectual X buscado debe cumplir:
 1.64485 . Por tanto, X = 1.64485  15
15
+ 100 = 124.6728  125.
Z
En general, si XN(, ), el valor del cuantil k, tal que p(X k)=, se obtiene así:
k = invNorm( )   + 

NORMAL 1
En una distribución N(0, 1) calcula las siguientes probabilidades :
a) P(z=2) ;

b) P(z2) ;
c) P(z2) ;
d) P(z-2) ;
e) P(z-2) ;
f) P(-2z2).
NORMAL 2
En una distribución N(0, 1) calcula las siguientes probabilidades :
a) p(0’81Z1’33) ;
b) p(-1’33Z0’81) ;
c) p(-0’81Z1’33) ;
d) p(-1’33Z-0’81)
249
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I

NORMAL 3
En una distribución N(22, 5) calcula las siguientes probabilidades :
a) p(X27) ;

b) p(X27) ;
c) p(X12’5) ;
d) p(15X20) ;
e) p(17X30).
COLESTEROL
El nivel medio de colesterol en sangre de la población adulta entre 50 y 60 años de edad, es de 185
mg por cada 100 ml de sangre. La desviación típica es de 25 mg por 100 ml. Si las medidas se
distribuyen aproximadamente de forma normal, calcula :
a) ¿Qué porcentaje de la población tiene niveles superiores a 200 mg ?.
b) ¿Qué porcentaje tiene niveles inferiores a 130 mg ?.
c) ¿Qué porcentaje está comprendido entre 130 y 200 mg ?.

AZÚCAR
El peso en gramos de los paquetes de azúcar fabricados por una máquina empaquetadora se
distribuye según una N(965, 25). ¿Qué proporción de paquetes pesan 1 kg o más ?. ¿Cuántos pesan
menos de 900 gramos ?.

COEFICIENTE INTELECTUAL
Los coeficientes intelectuales de una muestra de 25000 universitarios se distribuyen normalmente,
con una media de 102 y una desviación típica de 8. ¿Cuántos universitarios tienen un coeficiente
intelectual comprendido entre 98 y 116 ?. ¿Cuántos entre 94 y 110 ?.
250
Variables aleatorias

APROXIMA
Calcula las probabilidades de las siguientes distribuciones binomiales mediante aproximación a la
normal correspondiente (en todas ellas ten en cuenta el ajuste de media unidad que hay que hacer al
pasar de una variable discreta a una continua).
a) XB(100 ; 0’1). Calcula p(X=10), p(X<2) y p(5<X<15).
b) XB(1000 ; 0’02). Calcula p(X>30) y p(X<80).
c) XB(50 ; 0’9). Calcula p(X>45) y p(X30).

MÁS APROXIMACIONES
Para cada una de las siguientes distribuciones binomiales indica, calculando los valores npq, np y
nq, si se pueden aproximar a una normal o no. En caso afirmativo, determina cuál es la distribución
normal correspondiente dando su media y su desviación típica :
a) B(100 ; 0’1)
b) B(200 ; 0’88)
c) B(200 ; 0’03)
d) B(1000 ; 0’02)
e) B(20 ; 0’7)
f) B(50 ; 0’9)

SELECTIVIDAD
Un centro de enseñanza va a presentar, este curso, 240 alumnos al examen de selectividad y se
sabe que, de ese centro, suele aprobar el 95% de los presentados. ¿Cuál es la probabilidad de que
aprueben : a) más de 200 ; b) más de 220 ; c) más de 230 ; d) más de 235 alumnos ?.

OPCIÓN MÚLTIPLE
Un examen de opción múltiple consta de 200 preguntas, todas con la misma puntuación. De cada
pregunta se suministran cinco opciones, una de las cuales es correcta y las otras cuatro, incorrectas.
Suponiendo que se contesta al azar, halla la probabilidad de acertar :
a) al menos 60 preguntas.
b) la mitad de las preguntas, como máximo.
251
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I
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