Aplicaciones. 12. En cada caso hallar la familia de trayectorias

Aplicaciones.
12. En cada caso hallar la familia de trayectorias ortogonales de la familia de
curvas dadas.
a)
b)
c)
d)
y = cx3
R/x2 + 3y 2 = k 2
cx2 + y 2 = 1
R/x2 + y 2 − ln y 2 = k
y = x − 1 + ce−x
R/x = y − 1 + ke−y
x2 + y 2 = cx3
R/x2y + y 3 = k
e) x =
y2
4
+
c
y2
R/y 2 = 2x − 1 + ke−2x
f ) La familia de circunferencias que son tangentes al eje y en el origen. R/
x2 + y 2 = ky
13. Demostrar que la familia de cónicas
togonal.
x2
c
2
y
+ c−λ
= 1, c una constante es autoor-
14. Hallar la familia de trayectorias oblicuas que interceptan a la familia dada en
el ángulo dado.
a) y = cx,
α = 45◦ R/ ln c2 (x2 + y 2 ) − 2 tan−1 xy = 0.
b) y = cx,
α = 60◦
c) x2 + y 2 = c,
α = 45◦ R/γeθ = c
15. En cada caso hallar la ecuación de la curva que cumple la condición dada.
a) La normal en un punto cualquiera pasa por el origen R/ x2 + y 2 = c.
b) La pendiente de la tangente en un punto cualquiera es la mitad de la
pendiente de la recta que va del origen al punto: R/ y 2 = cx.
c) La normal en un punto cualquiera y la recta que une el origen con ese
punto forma un triángulo isósceles que tiene el eje x como base R/ y 2 −
x2 = c.
d) El segmento de la normal trazada en un punto, cuyos extremos son este
punto y el de intersección con el eje x es cortado en dos partes iguales
por el eje y. R/ y 2 + 2x2 = c.
e) El segmento de perpendicularidad desde el origen a una recta tangente
de la curva es igual a la abscisa del punto de contacto R/ x2 + y 2 = cx.
f ) La longitud del arco desde el origen a un punto variable es igual
√ al
doble de la raiz cuadrada de la obscisa del punto. R/ y = ±(arcsin x +
√
x − x2 ) + c.
g) Por un punto cualquiera de una curva que pasa por el origen se trazan
dos rectas paralelas a los ejes coordenados, hallar la curva de modo que
divida al rectángulo formado por las dos rectas y los ejes coordenados en
dos superficies, una de las cuales sea triple de la otra. R/ y = cx3; y 3 =
cx.
h) La proyección sobre el eje x de una parte de la normal entre (x, y); y el
eje tiene longitud 1. R/ y 2 = ±2x + c.
16. Hallar la forma de un reflector para que los rayos de luz emitidos por una
fuente puntual se reflejen paralelos a una linea fija. R/ y 2 = ±2cx + c2 .
17. Un cilindro circular recto con eje vertical se llena con agua, y se hace rotar
alrededor de su eje con una velocidad angular constante, ¨qué forma toma
2 2
el agua? R/ y = w2qx .
18. Hallar la forma asumida por una cadena flexible suspendida entre dos pun0
tos, y que cuelga con su propio peso. R/ y = cosahax a = W
T0 .
19. Un conejo parte del origen y corre por el eje y con una velocidad a, al mismo
tiempo un perro que corre con velocidad b parte del punto (c, 0), y sigue al
dy
= 12 [( xc )k − ( xc )k ]
conejo, ¨cuál es la trayectoria del perro? R/ dx
20. Un cuerpo de masa constante m es lanzado desde la superficie terrestre hacia arriba con velocidad inicial V0 , si no hay resitencia del aire, pero tomando
en cuenta la variación del campo gravitacional
de la tierra con la altura, de√
terminar la velocidad de escape. R/ Ve = 2gR
21. Un cuerpo de masa mu. t. m., partiendo del reposo cae en un medio para el
que la resistencia es proporcional al cuadrado de la velocidad, si la velocidad
terminal es 150 pies/seg hallar:
a) La velocidad al cabo de 2 segundos.
b) El tiempo necesario para que la velocidad sea 100 pies /seg. R/ 61
pies/seg; 3.7 seg.
22. La corriente sanguinea lleva un medicamento hacia el interior de un órgano
cm3
a razón de 3
, y sale de él a la misma velocidad. El órgano tiene un volseg.
umen liquido de 125 cm3 si la concentración del medicamento en la sangre
gra
que entra en el órgano es de 0, 2
3. ¿Cuál es la concentración del medicacm
mento en el órgano en el instante t, si inicialmente no habı́a vestigio de él.
gr.
Cuando la concentración del medicamento será de 0, 1 3 .
cm
23. El eje y, la recta x = c son las orillas de un rı́o cuya corriente tiene una
velocidad uniforme a en la dirección −y, una barca entra al rı́o en (c, 0) y va
directamente hacia el origen con velocidad
b en relación al agua, ¨ cuál es la
p
trayectoria de la barca? R/ C k (y + x2 + y 2 ) = X k+1 , K = ab .
24. Comenzo a nevar una mañana y la nieve siguio cayendo continuamente durante todo un dı́a. Al medio dı́a un quitanieves comenzo a limpiar una carretera a un ritmo constante en términos del volumén de nieve retirado cada
hora, el quitanieves limpió 2 millas para las 2 de la
√ tarde, y 1 milla más para
las 4 de la tarde. ¨Cuándo comenzó a nevar?. R/ ( 5−1) antes del mediodı́a.
25. Un material radioactivo tiene una vida media de 2 horas, determinar el tiempo
requerido para que una cantidad dada de este material decaiga a un décimo
ln 10
de su cantidad original. R/ 2 ln
horas.
2
26. Un isótopo radioactivo del carbono 14, tiene una vida media de 5568 años,
ln 2
hallar la constante de proporcionalidad k de la ecuación diferencial R/ − 5568
.
27. Supóngase que la temperatura de una taza de café es 200◦F , un minuto
después es 190◦F, T a = 70◦F, ¨en qué tiempo esta a 150◦F ? R/ 6,07 mtos.
28. Un cuerpo se calienta a 110◦C y se expone al aire libre a una temperatura
de 10◦C, al cabo de 1 hora su temperatura es 60◦C, ¨cuánto tiempo adicional
5
debe transcurrir para que este a 30◦C?. R/ ln
ln 2 − 1, horas.
29. Un estudiante portador de un virus ingresa a un campo universitario aislado
que tiene 1000 estudiantes, si la rapidez con que se propaga el virus es proporcional al número de estudiantes contagiados y al número de estudiantes
no contagiados, hallar el número de estudiantes contagiados al cabo de 6
dı́as, si a los 4 dı́as hay 50 estudiantes contagiados. R/ 276.
30. Supóngase que una gota de lluvia esferica se evapora a una rapidez proporcional a su área; si γ0 = 3 mm, y una después es 2 mm. ¨En qué tiempo se
evapora? R/ 3 horas.
31. Un depósito contiene 100 galones de agua pura, a partir del tiempo t = 0, se
introduce salmuera que contiene 1 libra de sal por galón, a razón de 1 galon
por minuto, y sale a la misma velocidad, la mezcla se mantiene uniforme,
¨cuándo habrá 50 libras de sal en el depósito? R/ 100 ln 2 mtos.
32. Un depósito contiene 100 galones de salmuera en la que están disueltas
200 libras de sal. En t = 0, se introduce agua pura a razón de 3 galones por
minuto, y la mezcla que se mantiene uniforme sale del depósito a razón de
2 galones por minuto, ¨ cuánto tiempo √
se necesitará para reducir la cantidad
de sal que hay, a 100 libras? R/ (100)( 2 − 1) mtos.
33. Cierto producto quı́mico se disuelve en el agua a una velocidad proporcional
al producto de la cantidad aún no disuelta y la diferencia entre la concentración en una solución saturada y la concentración en la solución real.
Se sabe que en 100 galones de una solución saturada están disueltos 50
gramos de la sustancia, si se agitan 30 gramos del producto con 100 galones de agua, en 2 horas se disuelven 10 gramos, ¨ cuántos se disolverán
en 5 horas? R/ 18 gramos.
34. Hallar el tiempo necesario para vaciar un tanque cilindrico de γ = 8dm y
1
h = 10dm, a través de un orificio redondo de γ = 12
dm situado en el fondo
√ dms
del tanque sabiendo que el agua sale a V = 4, 8 h seg. . R/ 3h 22mtos.
35. Un cuenco hemisférico de radio R esta lleno de agua y se perfora un orificio
circular de radio r en el fondo, en t = 0. ¨En cuanto tiempo el cuenco queda
5/2
14R√
vacı́o? R/ 15r
2 2q segundos.
36. Un circuito esta compuesto por una bateria E(τ ); una inductancia L, una
resistencia R, calcular la corriente i(t). Si:
a) E(t) = E0
R/ i(t) = ER0 (1 − e L )
b) E(t) es onda senoidal de amplitud 110 voltios, f = 60 ciclo/seg., i0 =
22 sen
176πe−5τ
0; L = 3h, R = 15Ω. R/ i(t) = 3(1+576π
2 )1/2 (120πτ − φ) + 1+576π 2
−Rτ
37. Un circuito eléctrico contiene una resistencia, un condensador y una bateria
E, si R = 10Ω, c = 10−3f, E(t) = E0, hallar i(t), también hallar Q(t), i(t),
cos(120πτ −φ)
si E(t) = 100 sen 120πτ ; Q(0) = 0, i(0) = 5amp. R/ i(t) = ( 60π(25+36π
)−
2 )1/2
300π
−1001
( 25+36π
2 − 5)e
38. En un circuito R, c, E(t) = E sen wτ, hallar i(t). R/ i(t) =
τ
Rcw sen wt) + ce− Re .
Ecw
(cos wτ
1+R2 c2 w2
+