MATEM´ATICAS IV Gu´ıas de trabajo para estudiantes

MATEMÁTICAS IV
Guı́as de trabajo para
estudiantes
Alejandro Martı́nez Acosta
Profesor titular
Texto guı́a:
Mesa Fernando, Martı́nez A. Alejandro, González G. José Rodrigo.
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Una introducción. Ecoe
Ediciones. 2012
Universidad Tecnológica de Pereira
Facultad de Ciencias Básicas
Departamento de Matemáticas
Pereira, 2015 1
Contenido
1. Introducción a las ecuaciones diferenciales
1
2. Ecuaciones diferenciales de primer orden
3
3. Ecuaciones de Orden Superior
8
4. Transformada de L aplace.
15
5. Sistemas de Ecuaciones Diferenciales
20
6. Solución mediante Series de Potencias
24
i
Capı́tulo 1
Introducción a las ED’s
Guı́a No 1. Introducción, definiciones y terminologı́a
En esta guı́a se introducen las ecuaciones diferenciales a través de algunos modelos
matemáticos. De igual manera, se dan los conceptos y terminologı́a que se usará en el
curso.
Ejemplo 1.1. Dos sustancias quı́micas, A y B, reaccionan para formar otra sustancia
quı́mica C. Se encuentra que la tasa a la cual C se forma varı́a con las cantidades
instantáneas de las sustancias A y B presentes. La formación requiere 2lb. de A por
cada libra de B. Si 10lb. de A y 20lb. de B están presentes inicialmente, y si 6lb. de C
se forman en 20 min., encontrar la cantidad de la sustancia C en cualquier tiempo.
Solución. Formulación Matemática: Sea x la cantidad en libras de C formadas en el
tiempo t en horas. Luego dx/dt es la tasa de su formación para formar x lb. de C,
necesitamos (2x/3 lb.) de A y (x/3 lb.) de B, puesto que se necesita que la sustancia A
sea el doble de B. Por tanto, la cantidad de A presente al tiempo t cuando se forman
x lb. de C es 10 − 2x/3, y la cantidad de B en este tiempo es 20 − x/3. Por tanto:
dx
= K[10 − (2x/3)] ∗ [20 − (x/3)];
dt
donde K es la constante de la proporcionalidad. Esta ecuación puede escribirse de la
siguiente manera: dx/dt = k(15−x)(60−x) donde k es otra constante. Necesitamos dos
condiciones, una para determinar k, y la otra para determinar la constante arbitraria
de la solución de la ecuación diferencial. Puesto que la sustancia C inicialmente no
está presente, tenemos x = 0 en t = 0. También x = 6 en t = 1/3. La formulación
completa es:
dx
= k(15 − x)(60 − x); x = 0 en t = 0, x = 6 en t = 1/3.
dt
1
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Acividades
I. Plantear un modelo matemático para los siguientes problemas
1. Un cable flexible homogéneo está suspendido por sus dos extremos. Hallar la
ecuación de la curva cuya forma va a tomar el cable bajo su propio peso.
2. Un depósito semiesférico de radio R se encuentra lleno de agua. En el fondo
hay un agujero de radio r < R. Calcule la altura h en cualquier instante t y
determine el tiempo que tarda en vaciarse.
II. Realice una lectura de estudio sobre los siguientes temas
• Definición de ecuación diferencial
• Clasificación de las ecuaciones diferenciales
• Soluciones de una ecuación diferencial y tipos de soluciones
• Problema de valor inicial
III. Desarrolle los siguientes ejercicios
1. Clasifique las siguientes ecuaciones. En cada caso, identifique la(s) variable(s)
independiente(s) y la variable dependiente.
a)
b)
c)
d)
(xy ′ )2 + 2(k − xy)y ′ + y 2 = 0
xy ′ + 2y = 2x2
(2x + y)dx + xdy = 0
x3 y ′′′ − 3x2 y ′′ + xy ′ + 2y = ln x
e)
∂x ∂y
+
= ekt
∂t
∂t
f)
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u
+
+
=0
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
2. Determine si la función, familia o relación es solución de la ecuación diferencial
respectiva.
wx e−t
a) y(x) =
dt, x > 0; xy ′′ + (x + 2)y ′ = 0
2
t
1
dx
dx
+ 2 + 5x = 0
dt
dt
c) y(x) = e−x ln x; xy ′′ + (1 + 2x)y ′ + (1 + x)y = 0
√
d) y(x) = c1 cos 2x + c2 sen ( 2 x); y ′′ + 2y = 0
3x2 y 2 − 2xy
dy
= 2
e) 3x3 y 2 − 3x2 y + y 3 = c;
dx
x − y 2 − 2x2 y 2
1 + c1 e2x
dy
f) y =
, y = 1, y = −1;
= y2 − 1
2x
1 − c1 e
dx
3. Determine una ecuación diferencial para la familia de curvas
b) x(t) = et sen 2t;
a) (x − h)2 + y 2 = h2 + 1
b) cx2 + y 2 = 4, c > 0
Dibuje algunas curvas.
2
Capı́tulo 2
ED’s de primer orden
Guı́a No 2. Ecuaciones separables y ecuaciones lineales.
Se estudiarán las ecuaciones de variables separables y las ecuaciones lineales,ası́ como
sus métodos de solución.
Actividades
I. Realice una lectura de estudio sobbre los siguientes temas
• Ecuación de variables separables. Métodos de solución
• Ecuación lineal de primer orden y su solución.
II. Realice los siguientes ejercicios
1. Identifique y resuelva
dy
= x + xy 2
dx
b) xy ′ + (x2 + 1)y = 0
c) x3 y ′ = e1/x − x2 y
a)
d) x3 y ′ = e1/x − xy
2. Un estudiante olvidó la regla del producto para derivadas y creyó que
(f g)′ = f ′ g ′ . Sin embargo contó con suerte y obtuvo la respuesta correcta.
2
Si una de las funciones es g(x) = ex , halle la otra función.
3. El aire de una pequeña habitación de 12 por 8 por 8 pies3 tiene 3 % de monóxido
de carbono. A partir de t = 0, se introduce aire fresco (sin CO) en la habitación,
a razón de 100 pie3 /min. Si el aire sale de la habitación a la misma razón, ¿en
qué momento tendrá el aire de la habitación 0,001 % de monóxido de carbono?
4. Un tanque está parcialmente lleno con 100 galones de salmuera con 10 lb de
sal disueltas. Le entra salmuera con 0.5 libras de sal por galón a un flujo de
6 gal/min. El contenido del tanque está bien mezclado y de él sale a un flujo
de 4 gal/min.
a) Halle la cantidad de libras de sal A(t) a los 30 minutos.
3
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
b) Si el tanque tiene una capacidad de 300 galones, ¿cuántas libras de sal
habrá cuando empieza a desbordarse?
Guı́a No 3. Ecuaciones exactas
Se estudiarán las ecuaciones diferenciales exactas y su método de solución.
Actividades
I. Haga una lectura de estudio acerca de
• Ecuaciones exactas
• Criterio de compatibildad para ecuaciones exactas
• Método de solucı́on
II. Determine si la ecuación es exacta. Si lo es, resuélvala.
1. (x2 + xy 2 + 2y)dx + (2x + x2 y + y 2 )dy = 0
2. [2x + y cos xy]dx + [x cos xy − 2y]dy = 0
3. (yexy − 1/y)dx + (xexy + y/x2 )dy = 0
4. (cos x cos y + 2x)dx + (sen x sen y + 2y)dy = 0
Guı́a No 4. Factores integrantes especiales
Se buscarán algunos factores integrantes especiales para transformar una ecuación
diferencial no exacta en una exacta.
Actividades
I. Estudie los siguientes temas
1. Factores integrantes. Definición
2. Factores inttegrantes especiales
II. Realice los siguientes ejercicios
1. Para la ecuación (y 2 − 2xy − 2x − x2 )dx + (x2 − 2xy − y 2 − 2y)dy = 0, determine
cuál de las siguientes funciones es un factor integrante y cuál no.
a) µ(x, y) = (x + y + 1)−1
c) µ(x, y) = (x + y + 1)−2
b) µ(x, y) = (x − y + 1)−1
d) µ(x, y) = (x − y + 1)−2
2. Muestre que la ecuación no es exacta. Resuelva la ecuación mediante un factor
integrante µ indicado.
4
a)
b)
c)
d)
(5x2 y + 6x3 y 2 + 4xy 2 )dx + (2x3 + 3x4 y + 3x2 y)dy = 0; µ(x, y) = xn y m
(x2 sen x + 4y)dx + xdy = 0; µ = µ(z), z = x
(y 2 + 2xy)dx − x2 dy = 0; µ = µ(z), z = y
(x2 + 2xy + 2x + y 2 )dx − (x2 + 2xy + 2y + y 2 )dy = 0; µ(z), z = x2 − y 2
Guı́a No 5. Sustituciones y transformaciones.
Se continúa con la búsqueda sustituciones adecuadas para transformar una ecuación
diferencial en una en la cual se pueda aplicar algunos de los métodos estudiados en
clases anteriores.
Actividades
I. Realice una lectura de estudio de los siguientes temas
• Funciones homogéneas
• Ecuaciones diferenciales con coeficientes homogéneos y cómo se resuelve
• Ecuación diferencial de Bernoulli y método de solución
dy
• Ecuaciones diferenciales de la forma
= G(ax + by)
dx
• Ecuaciones diferenciales con coeficientes lineales:
(a1 x + b1 y + c1 )dx + (a2 x + b2 y + c2 )dy = 0.
II. Realice los siguientes ejercicios
1. Use una sustitución para resolver
dy
= 2y + x2 cos (y/x2 )
a) x
dx
r
dy √
y
b)
= xy −
. Sustitución: y = u2 x
dx
x
p
x2 + y 2 − x
dy
=
. Sustitución: u = x2 + y 2
c)
dx
y
2. Identifique y resuelva
a)
b)
c)
d)
e)
(2xy + 3y 2 )dx − (2xy + x2 )dy = 0
y ′ = x2 y(1 − xy 2 )
y ′ + x2 y = x2 y 4
cos(x + y)dy = sen(x + y)dx
(2x − y)dx + (4x + y − 3)dy = 0
5
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Guı́a No 6. Familias ortogonales, ecuaciones diferenciales en
coordenadas polares. Taller
Actividades
Encuentre las trayectorias ortogonales a la familia de curvas
1. y 2 = c1 x
2. (x − h)2 + y 2 = h2 + 1
Encuentre una familia de soluciones para la ecuación diferencial rdr/dθ = tan ψ para
cada uno de los siguientes casos.
1. ψ = θ
2. ψ = θ/2
Con el siguiente taller se pondrá en práctica lo aprendido en los capı́tulo 1 y 2.
Taller
1. Mediante derivación, determine si la familia de curvas dada, es solución implı́cita
de la ecuación diferencial dada
a) c1 (x + y)2 = xey/x ;
(x2 + y 2 )dx + (xy − x2 )dy = 0
p
b) y 2 = 4c1 (x + c1 ), c1 > 0; dy/dx = ( x2 + y 2 − x)/y.
2. Clasifique y resuelva cada una de las siguientes ecuaciones
a) xy ′ = y ln(xy). Sust. u = xy
b) (1 + x2 )y ′ = 2xy(y 2 + 1)
c) y(x2 + ln y)dx − xdy = 0. Sust. z = ln y
d ) ydx − [x + (y + 1)2 ] dy = 0
√
e) (x2 + 1)y ′ + xy = (1 − 2x) x2 + 1
dy
y 2 sen x − y cos2 x
f)
=
dx
sen x cos x
2
g) (1 + x ln y)y ln ydx − xdy = 0. z = ln y
h) y ′ = y(xy 3 − 1)
i ) (2x2 y + 1)dx − 2x2 ydy = 0,
y(1) = −2
j ) (2x + y + 4)dx + (x − 2y − 2)dy = 0
3. Resuelva la ecuación 5x2 y + 6x3 y 2 + 4xy 2 )dx + (2x3 + 3x4 y + 3x2 y)dy = 0, buscando
un factor integrante de la forma µ(x, y) = xn y m .
4. Resuelva la ecuación (2x3 y 2 + 2x + y) dx + (x − 2x2 y 3 − 2y) dy = 0 buscando un
factor integrante de la forma µ = µ (z) con z = xy.
6
5. Un gran tanque de capacidad 400 galones está parcialmente lleno con 200 galones
de una solución salina. Le entra salmuera con 1/2 lb de sal por galón a un flujo de
8 galones por minuto. El contenido del tanque está bien mezclado y de él sale a un
flujo de 6 galones por minuto. Si la cantidad mı́nima de sal ocurre a los 10 minutos,
halle (i) la cantidad inicial de sal en el tanque y (ii) la cantidad de sal al momento
de desbordarse. Rtas (i) 148,8 lb, (ii) 206.1 lb.
6. Era el medio dı́a de diciembre en Tampa: 16◦ C. El detective Taylor llegó a la escena
del crimen para hallar al sargento sobre el cadáver. El sargento dijo que habı́a varios
sospechosos. Si supieran el momento exacto de la muerte, podrı́an reducir la lista
de sospechosos. El detective Taylor sacó un termómetro y midió la temperatura
del cuerpo: 34.5◦ C. Luego salió a comer. Al regresar, a la 1:00 P.M. halló que
la temperatura del cuerpo era de 33.7◦ C. ¿En qué momento ocurrió el asesinato?
Asuma que la temperatura normal del cuerpo en vida es de 37◦ C.
Ley de enfriamiento de Newton:
dU
= k(U − M ),
dt
donde U es la temperatura del cuerpo y M es la temperatura del medio que lo rodea.
Rta. A las 10 am aprox.
7
Capı́tulo 3
Ecuaciones de Orden Superior
Guı́a No 7. Ecuaciones de segundo orden y operadores lineales
Se empieza con el estudio de las ecuaciones diferenciales de segundo orden y se
introducen los operadores diferenciales
Actividades
I. Realice una lectura de estudio sobre los siguientes temas
• Operadores lineales. Dar ejemplos.
• Propiedades los operadores lineales.
• Núcleo o Kernel de un operador lineal.
• Operadores que conmutan y no conmutan. Dé ejemplos.
• Independencia y dependencia lineal de dos funciones y1 (x) y y2 (x) en un
intervalo I.
• Conjunto fundamental de soluciones de una ecuación de segundo orden.
II. Realice los siguientes ejercicios
1. Determine si el operador L es lineal o no
a) L[y] = y ′′ + 2y ′ − 3y
c) L[y] = y ′′ − 3y ′ + y 2
b) L[y) = x2 y ′′ − 3xy ′ + y
d) L[y] = y ′′ + (y ′ y 2 )1/3
a) L[x−1 ]
c) L[xr ]
2. Sea L := x2 D2 − 3xD − 5. Calcule
b) L[cos x]
d) L[ln x]
3. Dado que y1 (x) = e2x cos x y y2 (x) = e2x sen x son soluciones de la ecuación
diferencial y ′′ −4y ′ +5y = 0, determine soluciones que satisfagan las condiciones
iniciales
a) y(0) = 2,
b) y(π) = 4e2π ,
y ′ (0) = 1.
4. Depermine si el par de operadores conmutan o no
8
y ′ (π) = 5e2π .
a) D − 2 y D + 3
c) xD + 2 y D + 1
b) 2D + 3 y D − 2
d) xD − 2 y xD + 1
5. Determine si las funciones son linealmente independientes o linealmente
dependientes y calcule el wronskiano
a) y1 (x) = e−x cos 2x, y2 (x) = e−x sen 2x
b) y1 (x) = x2 cos (ln x), y2 (x) = x2 sen (ln x)
6. Considere la ecuación diferencial y ′′ + 5y ′ − 6y = 0
a) Muestre que S1 = {ex , ex − e−6x } y S2 = {ex , 3ex + e−6x } son conjuntos
fundamentales de soluciones de la ecuación dada.
b) Muestre que φ(x) = e−6x es una solución de la ecuación dada y exprese a φ
como una combinación lineal de los elementos de S1 y de S2 respectivamente.
Guı́a No 8. Ecuaciones de orden n y operadores diferenciales.
Actividades
Se empieza con el método de reducción de orden y se generaliza lo estudiado para
ecuaciones de orden 2 a orden n.
I. Realice una lectura de estudio sobre los siguientes temas
• Reducción de orden
• Operadores lineales de orden n Dar ejemplos.
• Propiedades de los operadores lineales de orden n
• Dependencia e independencia
{y1 (x), y2 (x), . . . , yn (x)}
lineal
de
un
conjunto
de
funciones
• Conjunto de soluciones fundamentales de una ecuación de orden n
II. Realice los siguientes ejercicios
1. Mediante reducción de orden encuentre una segunda solución LI, dada y1 (x)
a) 4y ′′ + 4y ′ + y = 0, y1 (x) = e−x/2
b) x2 y ′′ + 3xy ′ + y = 0, y1 (x) = x−1
2. Determine si el operador L es lineal o no
a) L[y] = y ′′′ + 2y ′′ − 3y ′ + 2y
c) L[y] = y ′′′ + 2y ′′ − 3y ′ + y 2
b) L[y) = x3 y ′′′ − 3x2 y ′′ + xy ′ + 2y
d) L[y] = y iv + (y ′′ y 2 )1/3
a) L[x−1 ]
c) L[xr ]
3. Sea L := x3 D3 + x2 D2 − 3xD − 5. Calcule
b) L[cos x]
9
d) L[ln x]
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR
4. Dado que y1 (x) = 1, y2 (x) = e2x cos x y y3 (x) = e2x sen x son soluciones de la
ecuación y ′′′ −4y ′′ +5y ′ = 0, determine soluciones que satisfagan las condiciones
iniciales
a) y(0) = 2, y ′ (0) = 1, y ′′ (0) = 0.
b) y(π) = 4e2π , y ′ (π) = 5e2π , y ′′ (π) = 0.
5. Determine si las funciones son linealmente independientes o linealmente
dependientes y calcule el wronskiano
a) y1 (x) = cos 2x, y2 (x) = sen 2x, y3 (x) = 1 + cos2 x − 3 sen2 x − 3 sen 2x
b) y1 (x) = x, y2 (x) = x2 cos (ln x), y3 (x) = x2 sen (ln x), x > 0
Guı́a No 9. Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes
constantes.
Se empieza el estudio de las ecuaciones dfierenciales lineales con coeficientes constantes
ası́ como el método para encontrar un conjunto fundamental de soluciones para la
EDOL homogénea.
Actividades
I. Efectúe un lectura de estudio sobre
1. Propiedades de los operadores lineales de orden n con coeficientes constantes
2. Ecuación caracterı́stica de una EDO lineal con coeficientes constantes
3. Analice los casos de las raı́ces de la ecuación caracterı́stica
II. Realice los siguientes ejercicios
1. Use el teorema e−ax (D − a)k [u] = Dk [e−ax u] para resolver
a) y ′′ + 2y ′ + y = 0
b) z ′′′ + 6z ′′ + 12z ′ + 8z = 0
2. Determine una solución general para la ecuación diferencial dada
a) 4y ′′ − 4y ′ + y = 0
c) y ′′′ + y ′′ − 6y ′ + 4y = 0
e) y iv + 13y ′′ + 36y = 0
3. Resuelva el PVI
b) y ′′′ − 2y ′′ − y ′ + 2y = 0
d) w′′′ + w′′ − 4w′ + 2w = 0
f) wiv − 16w = 0
a) y ′′ − 2y ′ + 2y = 0; y(π) = eπ , y ′ (π) = 0
b) y ′′′ − 4y ′′ + 7y ′ − 6y = 0; y(0) = 1, y ′ (0) = 0, y(0)′′ = 0
√
4. Dado que y1 = e−2x cos ( 2 x) es solución de y iv + 4y ′′′ + 3y ′′ − 12y ′ − 18 = 0,
determine la solución general.
10
Guı́a No 10. Coeficientes indeterminados
Se empezará a buscar soluciones particulares de las ecuaciones diferenciales lineales de
orden n con coeficientes constantes no homogénea: L[y] = g(x).
Actividades
I. Realice una lectura de estudio acerca de
1. Ecuacion diferencial no homogénea y solución particular
2. coeficientes indeterminados
3. Forma de una solución particular si la función g(x) es (i) polinómica, (ii)
exponencial, (iii) seno o coseno y (vi) combinaciones de las anteriores mediantes
sumas y productos.
II. Realice los siguientes ejercicios
1. Resuelva mediante coeficientes indeterminados.
a) 4y ′′ + 4y ′ + y = 2x2 − 3x + 2
c) y ′′′ − 2y ′′ + y ′ = 2x + 3 + sen x
b) y ′′ − 2y ′ + 2y = 2e2x
d) y ′′ + 4y = 2 sen 2x + xex
2. Determine la forma de una solución particular
a) y ′′ + 4y ′ + 4y = 2x3 + 4x − 3 + e2x
b) y ′′ − 4y ′ + 13y = sen x − e2x cos 2x + x2
Guı́a No 11. operadores anuladores
Se estudian los operadores anuladors y un método alternativo para determinar la forma
de una solución particular para L[y] = g(x).
Actividades
I. Haga una lectura de estudio
1. Operadores anuladores. Dé ejemplos
2. Operador anuladora para g(x) si es (i) polinómica, (ii) exponencial, (iii) seno
o coseno y (vi) combinaciones de las anteriores mediantes sumas y productos.
II. Realice los siguientes ejercicios
1. Determine si el operador dado anula o no a la función g(x).
a) L := D2 (D + 1); g(x) = 2x + xe−x
b) L := xD2 + 2D + x; g(x) = ex /x
11
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR
2. Encuentre el operador de orden mı́nimo que anula a la función g(x).
a) g(x) = 2x2 + 3 + xe−2x
b) g(x) = x2 ex + 2xex cos 2x
3. Resuelva mediante operadores anuladores
a) 4y ′′ − 4y ′ + y = 2x2 − x + 3
b) y ′′ + 2y ′ + 2y = 2e2x + x sen x
c) y ′′′ + 3y ′ + 2y = 2x + 3 + sen x d) y ′′ + y = 2 sen x + xex
4. Determine la forma de una solución particular
a) y ′′ + 4y ′ + 4y = 2x3 + 4x − 3 + e2x
b) y ′′ − 4y ′ + 13y = sen x − e2x cos 2x + x2
Guı́a No 12. Variación de los parámetros
Se estudia el método de variación de los parámetros para determinar una solución
particular para L[y] = g(x).
Actividades
I. Realice una lectura de estudio sobre los temas
1. Variación de los parámetros y método de solución
2. Tipo de ecuaciones a las que se le puede aplicar este método.
II. Realice los siguientes ejercicios
1. Mediante variación de los parametros resuelva la EDOLNH
a) 4y ′′ + 4y ′ + y = 2 senh x
b) x2 y ′′ + 3xy ′ + y = x; y1 (x) = x−1 es solución de la homogénea.
c) xy ′ − (x + 1)y ′ + y = x2 ; y1 (x) = ex es solución de la homogénea
2. Combine dos métodos para resolver
1 −x/2
′′
′
e
.
a) 4y + 4y + y = 1 −
x
1
.
b) y ′′ − 2y ′ + y = sen x + ex 2 +
1 + x2
c) y ′′ + 4y = tan 2x + 2x − 3
12
Guı́a No 13. Ecuaciones de Cauchy-Euler.
Se estudiará un tipo especial de ecuaciones difernciales lineales de orden n, denominadas
ecuaciones de Cauchy- Euler, ası́ como su método de solución.
Actividades
I. Estudie los siguientes temas
1. Ecuación de Cauchy-Euler homogénea y cómo se resuelve
2. Ecuación de Cauchy-Euler no homogénea.
II. Realice los siguientes ejercicios
1. Resuelva las siguientes ecuaciones de Cauchy-Euler
a)
b)
c)
d)
e)
x2 y ′′ + 3xy ′ − 3y = 0
x2 y ′′ − 3xy ′ + 4y = 0
x2 y ′′ − 3y ′ + 5y = 0
x3 y ′′′ + 4x2 y ′′ − 2xy ′ − 4y = 0
x2 y ′′ − 3xy ′ + 4y = ln x
2. Resuelva el PVI
a) x2 y ′′ + 4xy ′ + 2y = 0; y(1) = 1, y ′ (1) = −2
b) x3 y ′′ + 2x2 y ′′ − 5xy ′ − 3y = 0; y(1) = 1, y ′ (1) = −1, y ′′ (1) = 2
Guı́a No 14. Modelado.
1. Un contrapeso de 4 lb se fija a un resorte cuya constante es 2 lb/pie. El
medio presenta una resistencia al movimiento numéricamente igual a la velocidad
instantánea. Si el contrapeso se suelta de un punto a 1 pie arriba de la posición
de equilibrio con una velocidad de 8 pie/s hacia abajo, calcule en que pasa por
la posición de equilibrio. encuentre el momento en que el contrapeso llega a su
despalzamientoe extremo respecto a la posición de equilibrio ¿Cuál es su posición
en ese instante?
2. En el estudio de un circuito eléctrico que está formado por un resistor, un
capacitor y un inductor se aplica cierta fuerza electromotriz (fem) E (Figura
3.1) y se obtiene el problema con valores iniciales
L
di
q
+ Ri + = E(t); q(0) = q0 , i(0) = i0 ,
dt
C
donde L es la inductancia en henrys, R es la resistencia en ohms y C es
capacitancia en faradays, E(t) es la fem en volts, q(t) es la carga en coulombs en
13
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR
el capacitor en el instante t e i = dq/dt es la corriente en amperes. Determine
la corriente en el instante t si la carga en el capacitor es cero en un principio, la
corriente inicial es cero, L = 10 henrys, R = 20 ohms, C = 6250−1 faradays y
E(t) = 100 volts.
L
E
C
R
Figura 3.1: Circuito RLC
3. La suspensión de un automóvil se puede modelar como un resorte vibrante
con amoriguamiento debido a los amortiguadores. Esto conduce a la ecuación
mx′′ (t) + b′ (t) + kx(t) = 0, donde m es la masa del automóvil, b es la constante
de amortiguamiento del amortiguador, k es la constante del resorte y x(t) es el
desplazamiento vertical del automóvil en el instante t. Si la masa del automóvil
es de 1000 kg y la constante del resorte es 3000 kg/s2 , determine el valor mı́nimo
para la constante b de amortiguamiento (en kg/s) que proporciona un viaje suave,
libre de oscilaciones (¡teóricamente!). Si se reemplazan los resortes por otros
para trabajo pesado, con una constante de resorte igual al doble de la constante
anterior, ¿cómo cambia este valor mı́nimo para b?
14
Capı́tulo 4
Transformada de L aplace.
Se define la transformada de Laplace, se dan sus propieddes fundamentales, la
trnsformada inversa y se hace notar la importancia de esta herramienta para resolver
varios problemas.
Guı́a No 15. Definición y propiedades.
Actividades
I. Realice una lectura de estudio sobre
1. Transformada de L aplace de una función y = f (t)
2. Lista básica de transformadas
3. Continuidad seccional y funciones de orden exponencial
4. Teorema de existencia de transformadas de Laplace.
5. Propiedades de la transformada de L aplace.
II. Realice los siguientes ejercicios
1. Calcule L {f (t)} mediante la definición de transformada
(
2t;
0≤t<2
t
b. f (t) = te2t
c. f (t) =
a. f (t) =
2
4 − t; t ≥ 2
2. Sin calcular L {f (t)}, determine si f (t) tiene transformada de L aplace
1
1
a. f (t) = t5 et
b. f (t) =
c. f (t) = 2
t+1
t +1
√
d. f (t) = e t
3. Use propiedades para calcular L {f (t)} si
a. f (t) Z
= cos2 t
t
c. t2 +
b. f ′′ (t) + 4f ′ (t) + 4f (t) = e−2t ; f (0) = 0, f ′ (0) = −2
f (τ )dτ = f (t)
d. f (t) = t sen 3t
0
15
CAPÍTULO 4. TRANSFORMADA DE L APLACE.
4. Determine si la función F (s) puede ser la transformda de L aplace de alguna
función f (t) seccionalmente continua y de orden exponencial.
a. F (s) = se−s
2
b. F (s) = s ln (1 − 1/s) + 1
Guı́a No. 16. Propiedades (Continuación). Convolución
Actividades
I. Realice una lectura de estudio de
1. Función Gamma
2. Convolución
II. Realice los siguientes ejercicios
1. Halle
et − 1
a. L
t
b. Γ(1), Γ(2), . . .
c. Γ(1/2), Γ(3/2), . . .
d. L t1/2 , L t−1/2
2. Calcule la convolución (f ∗ g)(t) entre las funciones f y g dadas
a. f (t) = 1, g(t) = t2
b. f (t) = t2 , g(t) = et
c. f (t) = t, g(t) = sen t
d. f (t) = sen t, g(t) = cos t
Guı́a No 17. Transformada inversa de
L aplace.
Actividades
I. Realice una lectura de estudio acerca de lso siguientes temas.
1. Definición de transformada inversa y la lista básica
2. Descomposición en fracciones parciales. Ilustre con algunos ejemplos.
n
n
nd F
para calcular L −1 {G(s)}.
3. Uso de la propiedad L {t f (t)} = (−1)
dsn
II. Realice los siguientes ejercicios
1. Calcule L −1 {F (s)}, usando descomposición en fracciones parciales
s−2
s2 − s
2s2 + 8s − 2
b. F (s) = 3
s − 7s + 6
a. F (s) =
s2 + 7s + 8
c. F (s) = 3
s + 4s2 + 4s
2
d. F (s) = 3
s + s2 + s + 1
16
2. Mediante propiedades, halle L −1 {F (s)}
4
+ 1)
1
b. F (s) = 2
(s + 1)2
a. F (s) =
1
−9
s2 + 1
d. F (s) = ln 2
s +4
c. F (s) =
s(s2
s4
3. Mediante convolución halle L −1 {F (s)}
a. F (s) =
1
− 1)
b. F (s) =
s2 (s
(s2
2
+ 4)2
4. Mediante transformada de L aplace resuelva el PVI
a. y ′′ − 4y ′ = 6e3t − 3e−t ; y(0) = 1, y ′ (0) = −1
b. 2y ′′ + 3y ′′ − 3y ′ − 2y = e−t ; y(0) = 0, y ′ (0) = 0, y ′′ (0) = 1
Guı́a No 18. Los teoremas de traslación
Actividades
I. Realice una lectura de estudio sobre
1. Función escalón unitario y su transformada de Laplace
2. Expresión de una función a trazos en términos de funciones escalón unitario.
3. Primer teorema de traslación.
4. Segundo teorema de traslación.
II. Realice los siguientes ejercicios
1. Exprese usando
(
2t,
a. f (t) =
2,


0,
b. f (t) = 2,


0,
funciones escalón unitario


0≤t<1
2t,
c. f (t) = 2 − t, 1 ≤ t < 2


0,
t≥2
(
sen t,
0≤t<
d. f (t) =
sen t + cos t, t ≥ π2
0≤t<1
t≥1
0≤t<1
1≤t<3
t≥3
2. Mediante propiedades, halle L {f (t)} o L −1 {F (s)}
a. f (t) = (1 − et + 3e−4t ) cos 5t
b. f (t) = t2 U (t − 2)
e−s
c. F (s) = 2
s +s
17
π
2
CAPÍTULO 4. TRANSFORMADA DE L APLACE.
3. Mediante transformada de L aplace resuelva el PVI
a. y ′′ − y ′ = et cos t; y(0) = 0, y ′ (0) = 0
b. ty ′′ + (3t − 1)y ′ − (4t − 9)y = 0; y(0) = 0
Guı́a No 19. Funciones periódicas y función delta de
Dirac
Actividades
I. Realice una lectura de estudio sobre los temas siguientes
1. Función periódica y su transformada de L aplace.
2. Función impulso unitario, función delta de Dirac y sus transformadas
II. Realice los siguientes ejercicios
1. Halle L {f (t)} para la función periódica dada
(
2t,
0≤t<1
; f (t + 2) = f (t)
a. f (t) =
2 − t, 1 ≤ t < 2
(
2, 0 ≤ t < 1
b. f (t) =
; f (t + 2) = f (t)
0, 1 ≤ t < 2
c. f (t) = |sen t|
(
sen 2t, 0 ≤ t < π/2
; f (t + π) = f (t)
d. f (t) =
0,
π/2 < t ≤ π
2. Mediante transformada de L aplace resuelva el PVI
a. y ′′ − y ′ = f (t); y(0) = 0, y ′ (0) = 0, donde f (t) es la función del punto II. 1
b).
b. y ′′ + 4y = δ(t − π); y(0) = 1, y ′ (0) = 0
18
Función
Transformada
1.
tα
Γ(α + 1)
, α > −1
sα+1
2.
tn eat ; n = 0, 1, 2, . . .
n!
(s − a)n+1
3.
sen bt
4.
cos bt
5.
senh bt
6.
cosh bt
7.
Z
t
0
···
Z
b
+ b2
s
2
s + b2
s2
b
s 2 − b2
s
s 2 − b2
t
F (s)
; n = 1, 2, . . .
sn
f (τ ) dτ n
0
(n)
sn F (s) − sn−1 f ′ (0) − · · · − f (n−1) (0)
8.
f
9.
eat f (t)
F (s − a)
10.
U (t − a)
e−as
s
11.
f (t − a)U (t − a)
e−as F (s)
12.
tn f (t)
(−1)n F (n) (s)
13.
f (t)
tn
14.
(t)
Z
∞
s
···
(f ∗ g)(t)
15.
Periódica f (t)
16.
δ(t − t0 )
Z
∞
F (u) dun
s
F (s)G(s)
RT
0
e−st f (t) dt
1 − e−T s
e−t0 s
Tabla 4.1: Lista ampliada de transformadas
19
Capı́tulo 5
Sistemas de Ecuaciones
Diferenciales
Se estudian los sistemas de ecuaciones diferenciales, sus formas básicas y sus métodos
de solución.
Guı́a No 20. Definiciones y terminologı́a.
Actividades
I. Realice una lectura de estudio sobre los temas.
1. Sistema de ecuaciones diferenciales. Definición.
2. Representación matricial de un sistema de ecuaciones diferenciales.
3. Solución de un sistema de ecuaciones diferenciales.
4. Problema de valor inicial.
5. Cconjunto fundamental de soluciones (CFS).
II. Realice los siguientes ejercicios
1. Escriba en forma matricial A(D)x = b y x′ (t) = A x(t) + F (t)
x′′ + y ′ − x = 1
x′ (t) = 2x − y + 1
b.
x′ + y ′′
= −2t
y ′ (t) = x + y − et
′′
′′
c. y (x) − 2y (x) − 8y(x) = x + sen x
a.
2. Determine si la función vectorial x(t), es solución del sistema dado.
−t
1 2
−e + e3t
′
x(t)
; x (t) =
a. x(t) =
2 1
e−t + e3t
0 −2
sen 2t
′
x(t)
; x (t) =
b. x(t) =
2
1
cos 2t
20
3. Determine si el conjunto de funciones es LI o LD
3t −t e
2e
, x2 = 3t
a. x1 =
e
e−t

 −2t 
 2t 
 −t 
e
e
2e


b. x1 =  e−t  , x2 = −e2t  , x3 =  e−2t 


−e−2t
e2t
e−t
Guı́a No 21. Eliminación
Actividades
I. Realice una lectura de estudio sobre lo siguiente.
1. Eliminación sistemática
II. Resuelva mediante eliminación el sistema dado
1.
2.
x′ (t) = 4x + 7y + 1
y ′ (t) = x − 2y − t
3.
(D + 1)x + (D − 1)y = 2
3x + (D + 2)y = −1
4.
x′′ + 3x − 2y = 0
−2x + y ′′ + 2y = 0
Dx +
D2 y = e3t
(D + 1)x + (D − 1)y = 4e3t
Guı́a No. 22. Transformada de Laplace
Resuelva mediante transformada de Laplace el sistema dado.
1.
2x′ − 2x + y ′
= 1; x(0) = 0
x′ − 3x + y ′ − 3y = 2; y(0) = 0
2.
x′′ + y ′′ = t2 ; x(0) = 8, x′ (0) = 0
x′′ − y ′′ = 4t; y(0) = 0, y ′ (0) = 0
dx
= 4x − 2y + 2U (t − 1)
dt
;
3.
dx
= 3x − y + U (t − 1)
dt
x(0) = 0, y(0) =
1
2
Guı́a No 23. Sistemas lineales homogéneos con coeficientes
constantes.
Actividades
I. Realice una lectura de estudio sobre
21
CAPÍTULO 5. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
1. Valores y vectores propio de una matriz cuadrada con entradas reales.
2. Cálculo de valores y vectores propios de una matriz A de n × n.
3. Solución de un sistema mediante valores y vectores propios.
II. Realice los siguientes ejercicios
1. Halle los valores y vectores propios de la matriz dada
2 3
1 2
b. A =
a. A =
−3 2
2 3




2 1
2
2 −7 0
6
d. A =  3 0
c. A = 5 10 4
−5 0 −3
5 0 2
2. Resuelva el sistema
( ′
x = − 52 x + 2y
a.
y ′ = 34 x − 2y
 ′
x = 2x − 7y


b. y ′ = 5x + 10y + 4z

 ′
z = 5y + 2z
3. Resuelva el PVI.
−1
2 4
′
x, x(0) =
a. x =
6
−1 6
 


1
1 1 4
b. x′ = 0 2 0 x, x(0) = 3
0
1 1 1
 ′
x


c. y ′

 ′
z
 ′
x


d. y ′

 ′
z
=
3x + 2y + 4z
= 2x + 2z
=
4x + 2y + 3z
=
2x + y + 2z
=
3x + 6z
= −5x − 3z
Guı́a No 24. Sistemas Lineales no homogéneos.
Actividades
I. Realice una lectura de estudio acerca de
1. Sistemas de ecuaciones diferenciales linealeas no homogéneo.
2. Solución mediante coeficientes indeterminados.
3. Solución particular xp mediante variación de los parámetros.
II. Realice los siguientes ejercicios
22
1. Encuentre una solución particular xp mediante coeficientes indeterminados
t
2t
−
e
1
1
x+
a. x′ =
1 − t2 + 2et
4 1




2et
1 −2 2
1 2 x +  4et 
b. x′ = −2
−2et
2
2 1
2. Encuentre una solución particular xp mediante variación de los parámetros
−1 t
t
2 −1
2e
2
1
′
′
x+
b. tx =
x+
a. x =
t
1
3
2
4e
−3 −2
23
Capı́tulo 6
Solución mediante Series de
Potencias
Guı́a No 25. Definiciones y terminologı́a.
Se estudiará la solución de eciaciones diferenciales mediante series de potencias. En
particular, la expansión en torno a puntos ordianrios y en torno a puntos singulares
regulares (método de Frobenuis).
Actividades
I. Realice una lectura de estudio sobre los temas
1. Conceptos básicso sobre series de potencias: radio e intervalo de convergencia,
funciones analı́ticas, etc.
2. Punto ordinario, punto singular de una EDOL.
II. Realice los siguientes ejercicios
1. Determine el intervalo de convergencia de la serie dada
∞ xn
∞ nxn
P
P
a)
b)
n
n=0 n!
n=0 2
2. Obtenga una representación mediante series de potencias para la función
ex
f (x) =
1+x
3. Expresar como una sola serie en donde el término genérico sea xk .
∞
∞
∞
∞
P
P
P
P
a)
n(n − 1)cn xn−2 +
c n xn
b)
n(n − 1)cn xn−2 −
cn xn+1
n=2
n=0
n=2
n=1
4. Determine y clasifique los puntos singulares en cada una de las siguientes
ecuaciones diferenciales.
a) (1 − x2 )y ′′ + (1 − x)y ′ + y = 0
24
b) (1 − x)y ′′ + y ′ + (1 − x2 )y = 0
5. Mediante sustitución directa determine que la serie es solución de la ecuación
dada.
∞ x2n
P
a) y =
; y ′ − 2xy = 0
n!
n=0
∞ (−1)n
P
xn ; (x + 1)y ′′ + y ′ = 0
b) y =
n
n=1
Guı́a No 26. Solución en torno a puntos ordinarios y singulares.
Actividades
I. Realice una lectura de estudio sobre los siguientes temas
• Puntos ordinarios y puntos singulares
• Clasificación de los puntos singulares
• Solución en forma de series en torno a puntos oridnarios
• Raı́ces indicativas. Método de Frobenius
• Casos de las raı́ces indicativas
II. Realice los siguientes ejercicios
1. Determine una solución en serie de potencias en torno del punto ordinario
x0 = 0.
b) (x2 − 1)y ′′ − xy ′ + y = 0
a) y ′′ − xy ′ + 4y = 0
2. Use el método de Frobenius para hallar una solución de la forma y =
∞
P
n=0
a) xy ′ − x2 y + y = 0
b) xy ′′ + y ′ + 2y = 0
25
cn xn+r .
Bibliografı́a
[1] Kreider Donald, Kuller Robert, Ostberg Donald. Ecuaciones Diferenciales. Fondo
Educativo Interamericano.
[2] Martı́nez Alejandro. Descomposición en fracciones parciales. Revista Scientia et
Technica No 31. Universidad Tecnológica de Pereira. Pereira 2006.
[3] Nagle, Saff, Snider. Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera.
Tercera edición, Addison Wesley
[4] Spiegel Murray. Transformadas de Laplace. McGraw Hill Serie Schaum
[5] Zill G. Dennis, Cullen Michael. Ecuaciones Diferenciales con problemas de valores
en la frontera. Quinta Edición. Thomson Learning
[6] Zill, Dennis G. Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado. Séptima
Edición. Thomsom
26