Cálculo Integral

UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID
Departamento de Matemáticas
MATEMÁTICAS
CAPÍTULO 4
CURSO PREPARATORIO
DE LA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
CURSO 2010–2011
Elaborado por
Elena Romera
Índice general
4. Cálculo Integral
4.1. Cálculo de primitivas . . . . . . . . . . .
4.2. Integrales racionales y descomposición en
4.3. Integrales por partes . . . . . . . . . . .
4.4. Cambio de variable . . . . . . . . . . . .
4.5. Integrales trigonométricas . . . . . . . .
4.6. El Teorema Fundamental del Cálculo . .
4.7. Cálculo de áreas . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
fracciones simples
. . . . . . . . . . .
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33
33
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39
40
42
32
Capı́tulo 4
Cálculo Integral
4.1.
Cálculo de primitivas
El cálculo de primitivas es la operación inversa del cálculo de derivadas.
Decimos que la función F es una PRIMITIVA o INTEGRAL INDEFINIDA de la función
f , y lo denotamos por
Z
f (x) dx = F (x)
(se lee: La integral de f (x) diferencial de x es igual a F (x)), si se verifica F 0 = f . La función
f (x) se denomina INTEGRANDO.
Al hablar de F decimos que es “una”primitiva de f , porque en realidad hay infinitas primitivas: si F es una primitiva de f , entonces F + c también es una primitiva de f , para cualquier
constante c, Por tanto, habitualmente se escribe
Z
f (x) dx = F (x) + c ,
La constante c se denomina CONSTANTE DE INTEGRACIÓN.
TEOREMA
Si f (x) y g(x) son funciones y k es una constante, entonces:
Z
Z
Z
1.
f (x) + g(x) dx = f (x) dx + g(x) dx.
Z
2.
Z
k f (x) dx = k
f (x) dx.
Para el producto y el cociente no tenemos resultados similares.
Las integrales de las funciones elementales se obtienen directamente de la tabla de derivadas:
34
CAPÍTULO 4. CÁLCULO INTEGRAL
INTEGRALES INMEDIATAS
Z
1.
a dx = a x + c ,
Z
2.
Z
3.
Z
4.
Z
5.
xa dx =
xa+1
+ c , con a 6= −1.
a+1
1
dx = log |x| + c ,
x
ex dx = ex + c ,
ax dx =
ax
+ c , para a 6= 0.
log a
Z
sen x dx = − cos x + c ,
6.
Z
7.
cos x dx = sen x + c ,
Z
8.
Z
9.
Z
10.
dx
= tg x + c ,
cos2 x
√
dx
= arc sen x + c ,
1 − x2
dx
= arctan x + c ,
+1
x2
Z
dx
= log x+c, lo cual es correcto si x > 0; pero si x es negativo
x
Z
dx
esta fórmula no sirve. Por ello es preferible usar la fórmula
= log |x| + c, que es cierta
x
para todo x 6= 0.
A menudo suele escribirse
También tenemos algunos procedimientos habituales para integrar funciones más complicadas:
4.2. INTEGRALES RACIONALES Y DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES SIMPLES35
4.2.
Integrales racionales y descomposición en fracciones simples
En primer lugar, dividimos si es necesario para obtener grado menor en el numerador que
en el denominador. Después comprobamos si la función es una integral inmediata, pues
sabemos que:
Z 0
u
dx = log |u| + c,
u
Z
ua+1
+ c,
u0 ua dx =
(a + 1)
Z
u0
dx = arctan(u) + c.
(u2 + 1)
Si tenemos algo más complicado que esto utilizamos el método siguiente:
DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES SIMPLES
La función se escribe como suma de fracciones más sencillas a las que se aplicamos alguna
de las tres fórmulas anteriores (si se puede).
Este método es, en cierta medida, el inverso de la suma de fracciones. Los diversos casos
que pueden presentarse son:
1. El denominador es una potencia de un polinomio de primer grado.
Z
2x2 − 5x + 6
Ejemplo:
dx. Podemos escribir
(x − 1)3
2x2 − 5x + 6
A
B
C
=
+
+
,
3
2
(x − 1)
x − 1 (x − 1)
(x − 1)3
para ciertos valores A, B, C ∈ R que calculamos sumando las fracciones e igualando
los numeradores de cada lado. Sustituyendo tres valores de x obtenemos tres ecuaciones con las que calcular A, B, C. Elegimos valores sencillos; usamos las raı́ces del
denominador: x = 1, en este caso, y otros dos valores, por ejemplo, x = 0 y x = 2.
La única solución es A = 2, B = −1 y C = 3. Por tanto,
Z
2x2 − 5x + 6
dx = 2
(x − 1)3
Z
dx
−
x−1
Z
−2
(x − 1)
= 2 log |x − 1| + (x − 1)−1 −
Z
dx + 3
(x − 1)−3 dx
3
(x − 1)−2 + c .
2
36
CAPÍTULO 4. CÁLCULO INTEGRAL
2. El denominador es producto de polinomios de primer grado distintos.
Z
−x − 2
Ejemplo:
dx. Podemos descomponer:
x(x − 1)(x − 2)
−x − 2
A
B
C
= +
+
,
x(x − 1)(x − 2)
x x−1 x−2
para ciertos valores A, B, C ∈ R que calculamos como antes.
Obtenemos que A = −1, B = 3 y C = −2 es la única solución. Por tanto,
Z
Z
Z
Z
−x − 2
dx
dx
dx
dx = −
+3
−2
x(x − 1)(x − 2)
x
x−1
x−2
= − log |x| + 3 log |x − 1| − 2 log |x − 2| + c .
3. El denominador es producto de potencias de polinomios de primer grado.
Z
x2 + 1
Ejemplo:
dx. Descomponemos:
x2 (x − 1)(x + 1)
x2 + 1
A B
C
D
= + 2+
+
,
2
x (x − 1)(x + 1)
x x
x−1 x+1
para ciertos valores A, B, C, D ∈ R . Resolvemos como antes, sustituimos las raı́ces del
denominador: x = 0, x = 1 y x = −1; como falta un valor más tomamos, por ejemplo,
x = 2. Llegamos a que B = −1, C = 1 y D = −1, A = 0. Por tanto,
Z
Z
Z
Z
x2 + 1
dx
dx
−2
dx = − x dx +
−
2
x (x − 1)(x + 1)
x−1
x+1
1
= + log |x − 1| − log |x + 1| + c .
x
4. El denominador es producto de polinomios de segundo grado (sin raı́ces
reales) y potencias de polinomios de primer grado.
Z
5x2 − x + 3
Ejemplo:
dx. Escribimos:
x(x2 + 1)
5x2 − x + 3
A Bx + C
= + 2
,
2
x(x + 1)
x
x +1
para ciertos valores A, B, C ∈ R . Hemos escrito (Bx + C)/(x2 + 1) porque el grado
del numerador debe ser menor que el del denominador, como el grado de x2 + 1 es
dos, debemos poner en el numerador un polinomio de grado uno. Calculamos ahora
las constantes: A = 3, B = 2 y C = −1, por tanto,
4.3. INTEGRALES POR PARTES
Z
37
Z
Z
Z
dx
2x dx
dx
5x2 − x + 3
dx = 3
−
= 3 log |x|+log(x2 +1)−arctan x+c .
+
2
2
2
x(x + 1)
x
x +1
x +1
En general, un polinomio de segundo grado en el denominador sin raı́ces se trata
completando en el numerador su derivada (si el numerador es de grado 1) y si queda
una constante en el numerador se completan cuadrados en el denominador
Z
Z
Z
2x + 2
2
2x + 4
dx =
dx +
dx
2
2
x + 2x + 2
x + 2x + 2
(x + 1)2 + 1
= log x2 + 2x + 2 + 2 arctan(x + 1) + c ,
porque:
x2 + 2x + 2 = x2 + 2x + 1 + 1 = (x + 1)2 + 1.
El número total de incógnitas en la descomposición en fracciones simples de un cociente de
polinomios es siempre igual al grado de su denominador. El número de valores de x que hay
que sustituir también es igual de incógnitas.
Las únicas funciones racionales que no hemos visto cómo descomponer en fracciones simples son las que tienen un denominador con polinomios de segundo grado sin raı́ces reales,
elevados a potencias mayores que uno, como 1/(x2 + 1)2 .
4.3.
Integrales por partes
TEOREMA
Si f (x) y g(x) son funciones derivables, entonces
Z
Z
0
f (x)g (x) dx = f (x)g(x) − f 0 (x)g(x) dx .
La fórmula de integración por partes es la versión integral de la regla de la derivada de un
producto.
Si u(x) es una función derivable llamamos DIFERENCIAL de u a du = u0 (x) dx.
Usando la notación de las diferenciales, con u = f (x) y v = g(x), la regla de integración por
partes se escribe de la siguiente manera, que resulta más fácil de recordar:
Z
Z
u dv = u v − v du .
38
CAPÍTULO 4. CÁLCULO INTEGRAL
En principio, la regla de integración por partes, como el cambio de variable, puede utilizarse
siempre, aunque no se tenga ninguna garantı́a de obtener una integral inmediata. Sin embargo, existen unos cuantos casos en los que su uso es recomendable, pues transforma la
integral en otra más simple.
Si p(x) es un polinomio y α, a, b ∈ R , conviene integrar por partes en las siguientes integrales
Z
Z
ax+b
p(x) e
dx ,
p(x) (ax + b)α dx ,
Z
Z
p(x) sen(ax + b) dx ,
p(x) cos(ax + b) dx ,
haciendo u = p(x), al integrar por partes tantas veces como el grado de p(x), llegaremos a
una integral elemental.
También conviene integrar por partes en las integrales
Z
p(x) log(ax + b) dx ,
haciendo dv = p(x) dx, porque la derivada del logaritmo es mucho más fácil de manejar.
4.4.
Cambio de variable
TEOREMA
Si f y g son funciones y g es derivable, entonces
Z
Z
f (x) dx = f (g(t))g 0 (t) dt .
Lo que se hace en la práctica para aplicar la fórmula del cambio de variable es escribir
x = g(t) (x como función de la variable t); entonces dx = g 0 (t) dt. Por supuesto, el cambio
también se puede escribir como t = F (x), en este caso, habitualmente hay que despejar x
como función de t para hallar dx.
Con un cambio de variable se transforma la integral en otra que, al resolverla, depende de
una variable que no es la original, por lo que hay que deshacer el cambio tras haber
resuelto la integral.
El cambio de variable también se denomina MÉTODO DE SUSTITUCIÓN.
En lugar de usar t como nueva variable en el cambio, puede usarse cualquier otra, como s
ó z. Las variables u y v también pueden usarse, pero NO ES RECOMENDABLE.
4.5. INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS
39
La fórmula del cambio de variable es la versión integral de la regla de la cadena.
CAMBIOS DE VARIABLE FRECUENTES
1. Si aparece ex y no es inmediata la integral, se puede hacer el cambio t = ex , ya que
entonces x = log t y dx = dt/t.
√
√
√
2. Si aparecen varias raı́ces de la misma expresión, por ejemplo, 1 + x, 3 1 + x, 4 1 + x,
se cambia 1 + x = t12 para que todas las raı́ces se transformen en potencias enteras
positivas.
√
3. Si aparece 1 − x2 hacemos el cambio sen t = x, pues ası́:
√
1 − x2 = cos t
y
dx = cos t dt.
p
Si la expresión es a − b(x − α)2 , la transformamos en la anterior y luego hacemos el
cambio.
√
4. Si aparece 1 + x2 podemos hacer tg t = x y entonces:
√
1 + x2 =
1
cos t
y
dx =
dt
.
cos2 t
p
Si la expresión es a + b(x − α)2 , la transformamos primero en la anterior y luego
hacemos el cambio.
4.5.
Integrales trigonométricas
Para las integrales que con funciones trigonométricas, si no son inmediatas utilizamos las
fórmulas habituales para estas funciones para transformarlas en otras que sı́ sean inmediatas.
1. Fórmulas básicas:
sen2(x) + cos2(x) = 1 ,
tg2(x) + 1 =
2. Fórmulas del ángulo doble
sen(2x) = 2 sen(x) cos(x),
cos(2x) = cos2 (x) − sen2 (x).
1
.
cos2(x)
40
CAPÍTULO 4. CÁLCULO INTEGRAL
3. Fórmulas del cuadrado: Se obtienen de las fórmulas anteriores obtenemos:
1 + cos(2x)
,
2
cos2(x) =
sen2(x) =
1 − cos(2x)
.
2
4. Fórmulas del seno y coseno de la suma:
sen(x + y) = sen(x) cos(y) + cos(x) sen(y),
cos(x + y) = cos(x) cos(y) − sen(x) sen(y).
R
Para las integrales racionales en seno y coseno: R(sen(x), cos(x)) dx, si no se pueden
resolver por métodos sencillos, existe el cambio universal que funciona siempre: t =
tg(x/2). Con este cambio resulta
sen(x) =
2t
,
1 + t2
cos(x) =
1 − t2
,
1 + t2
dx =
2 dt
.
1 + t2
La integral se transforma en una integral racional normal y se resuelve por descomposición
en fracciones simples. Este cambio puede usarse en cualquier caso, pero debe considerarse
como un último recurso, ya que suele involucrar una cantidad de cálculos muy superior a
cualquier otro cambio. Por tanto, sólo debe usarse cuando no exista ninguna otra posibilidad.
4.6.
El Teorema Fundamental del Cálculo
El área A comprendida entre la gráfica de una función continua positiva f , el eje X y las
rectas x = a y x = b, es la INTEGRAL DEFINIDA de f en [a, b] y se escribe
Z
A=
b
Z
f=
a
b
Z
f (x) dx =
a
b
f (t) dt .
a
Los puntos a y b se llaman EXTREMOS DE INTEGRACIÓN.
La variable de integración que se escribe (ya sea x, t, etc.) es una variable muda: se puede
usar cualquier
letra para designarla, o incluso no escribirla, como aparece en la primera
Rb
notación a f .
Si f tiene distintos signos, la integral será el área por encima del eje menos el área por
debajo del eje.
TEOREMA
4.6. EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
41
Si f es una función continua en [a, b], entonces f es integrable en [a, b], es decir, se puede
calcular la integral de f en ese intervalo.
Si a < b, se define
Z
a
Z
f (x) dx = −
b
b
f (x) dx ,
a
es decir, si los extremos de integración están invertidos la integral cambia de signo.
Esta integral definida se relaciona con el cálculo de primitivas de la forma siguiente:
TEOREMA: REGLA DE BARROW
Sean f y g continuas en [a, b] y g derivable en (a, b), tales que g 0 (x) = f (x) para todo
x ∈ (a, b) (g es una primitiva de f en (a, b)). Entonces
Z b
f = g(b) − g(a) .
a
Notación:
Si g es una función definida en el intervalo [a, b] se define la expresión [g(x)]ba como
b
g(x) a = g(b) − g(a) .
Según esto, la regla de Barrow puede escribirse como
Z b
b
f = g(x) a .
a
Para aplicar la regla de Barrow es suficiente con obtener una primitiva, por lo que no es
necesario escribir la constante de integración. Si usamos la constante, el resultado será el
mismo, ya que al evaluar la primitiva en a y en b con signo contrario, la constante aparece
una vez con signo positivo y otra con negativo, y se cancela.
TEOREMA
Si f 0 y g 0 son funciones continuas en [a, b], entonces
Z b
Z b
b
0
f (x)g (x) dx = f (x)g(x) a −
f 0 (x)g(x) dx .
a
a
TEOREMA
Sea g una función tal que g 0 es continua en [a, b] y sea f integrable en [g(a), g(b)]. Entonces
Z g(b)
Z b
f (x) dx =
f (g(t)) g 0 (t) dt .
g(a)
a
42
CAPÍTULO 4. CÁLCULO INTEGRAL
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
Si f es continua en [a, b] y
Z x
f (t) dt
F (x) =
a
para todo x ∈ [a, b], entonces F es derivable en [a, b] y F 0 (x) = f (x) para todo x ∈ [a, b].
Al hablar de la derivada en a y en b nos estamos refiriendo a derivadas laterales, ya que no
sabemos si F está definida a la izquierda de a o a la derecha de b.
La variable de integración t puede ser sustituida por s, y, ... pero no por x, que es la variable
que aparece en uno de los lı́mites de la integral y que por tanto tiene un significado definido
de antemano.
Como consecuencia del teorema fundamental del Cálculo se obtiene el siguiente resultado
que permite derivar funciones más generales definidas mediante integrales:
TEOREMA
Si f es continua en [a, b] y g y h son derivables en [α, β] y con valores en [a, b], entonces la
función
Z h(x)
A(x) =
f (t) dt
g(x)
es derivable en [α, β] y su derivada es A0 (x) = f (h(x)) · h0 (x) − f (g(x)) · g 0 (x).
4.7.
Cálculo de áreas
El área comprendida entre la gráfica de una función continua positiva f , el eje X y las rectas
x = a y x = b es igual a
Z
b
f (x) dx .
a
Si f no es una función positiva, esa integral es igual al área comprendida entre la gráfica de
f , el eje X y las rectas x = a y x = b en la parte en la que f es positiva, menos el área en
la parte en la que f es negativa.
El área comprendida entre la gráfica de una función continua f no necesariamente positiva,
el eje X y las rectas x = a y x = b es igual a
Z b
|f (x)| dx .
a
4.7. CÁLCULO DE ÁREAS
43
El área comprendida entre las gráficas de dos funciones continuas f y g y las rectas x = a
y x = b es igual a
Z b
|f (x) − g(x)| dx .
a