UNIVERSIDAD ANDRÉS BELLO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS ÁLGEBRA FMM 009 COORD. PAOLA BARILE M. GUÍA EJERCICIOS: NÚMEROS NATURALES PROGRESIONES ARITMÉTICA Y GEOMÉTRICA EJERCICIOS CON RESPUESTAS 1.- Verifique si las siguientes progresiones son Aritméticas, y calcule la diferencia en caso de que lo sea. a) 3,5,7,9,11..... Sol.: SI d=2 b) 2,4,8,16.... Sol.: NO c) 1,6,11,16,21..... Sol.: SI d=5 d) 2,4,6,8,10,12..... Sol.: SI d=2 e) 3,6,9,12,15,18.... Sol.: SI d=2 2.- Encontrar la P.A. sabiendo que : a) a1 = 2 d=1/2 b) a1 = -1 d=2 c) a1 = 5 a2 = 10 d) a1 = -2 a3 = 0 3.- 4.- Sol.: P.A. : 2, 5/2,3,7/2,4,.... Sol.: P.A. : -1,1,3,5,... Sol.: P.A. : 5,10,15,20,25,… Sol.: P.A. : -2,-1,0,1,2,3,... Hallar el a) 11º término de la P.A. 6, 9, 12, ... b) 9º término de la P.A. 2, 9 , 16 ,... c) 7º término de la P.A. 18,12,6,.... d) 8º término de la P.A. 7,1,-5,.... Determine la suma de los : a) Primeros 6 términos de la P.A. 4,6,8,... b) Primeros 8 términos de la P.A. –7,-5,-3,... c) Primeros 7 términos de la P.A. –8,-4,0, ..... d) Primeros 4 términos de la P.A. 2,5,8,... Sol.: 54 Sol.: 58 Sol.: -18 Sol.: -35 Sol.: 54 Sol.: 0 Sol.: 28 Sol.: 26 5.- Los tres ángulos de un triangulo están en P.A. de diferencia 30º. Encuéntrelos. Sol.: 30º,60º,90º 6.- Hallar los cuatro lados de un cuadrilátero, sabiendo que están en P.A. de diferencia 12mt y que su perímetro es 168mt. Sol.: 24,36,48,60 7.- La suma de tres términos consecutivos de una P.A. es 18 y la suma de sus cuadrados es 116. Determine cuáles son los números. Sol.: 4,6,8, 8.La suma de cuatro términos consecutivos de una P.A. es 28 y la suma de sus cuadrados es 276. ¿Cuáles son los números? Sol.: 1,5,9,13 9.- El quinto término de una P.A. es 10 y el noveno es 18. Hallar el octavo término. Sol.: 16 10.Una persona viaja 40 km el primer día y en cada día posterior 5 km menos de lo que recorrió el día anterior. ¿Cuánto habrá recorrido al cabo de 5 días? Sol.: 150km. 11.Carlos compró 8 libros. Por el primero pagó $ 8 y por cada uno de los demás $ 2 más que el anterior Hallar el importe de la compra. Sol.: $ 120 12.- Verifique si las siguientes progresiones son Geométricas, y calcule la razón en caso de que lo sea. a) 3,6,12,24..... Sol.: SI r = 2 b) 1,5,25,125,... Sol.: SI r= 5 c) 2,6,18,25,.... Sol.: NO d) 1,2,4,8,.... Sol.: SI r = 2 e) 1,2,3,4,5,-7,-8,... Sol.: NO 13.- Encontrar la P.G. sabiendo que : a) a1 = 4 r=1/2 b) a1 = -2 r=2 c) a2 = 9 r=3 r=1/3 d) a1 = 7 14.- 15.- Sol.: P.G. : 4,2,1,1/2 Sol.: P.G. : 3,9,27,81 Sol.: P.G. : 7,7/3,7/9,7/27 Hallar el a) 4º término de la P.G. 2,4,8,… b) 5º término de la P.G. –3 ,9 –27,... c) 6º término de la P.G. –4 ,-16, -64,... d) 8º término de la P.G 5,-15,45,... Sol.: 16 Sol.: -243 Sol.: -4096 Sol.: -10395 Hallar la suma de a) los 5 primeros términos de la P.G. 2,4,8,... b) Los 6 primeros términos de la P.G. –3,9,-27,... c) Los 4 primeros términos de la P.G. 5,20,80,.. d) Los 7 primero términos de la P.G. –4,20,-100,.... Sol.: 62 Sol.: 546 Sol.: 425 Sol.: -52084 16.- Hallar el producto de los 4 primeros términos de la P.G. 2, 4 ,8,... Sol.: 1024 17.- La razón de una P.G. es 3 y el quinto término es 324. Hallar el primer término. Sol.: 4 18.- El sexto término de una P.G. es 96 y la razón es 2 . Hallar el primer término. 19.- El quinto término de una P.G. es 512 y el primer término es 2 . Hallar la razón. Sol.: 3 Sol.: 4 20.La suma de tres términos consecutivos de una progresión geométrica es 52 y su producto es 1728. Hallar los números. Sol.: 4,12,36 PROBLEMAS PROPUESTOS: 1.- Determine: a) a11 y S11 en la P.A. 2, 6, 10, ... b) a9 y S7 en la P.A. –3, -1, 1, .... c) a24 y S15 en la P.A. 3, 8 7 , , ...... 3 3 2.- El cuarto término de un P.A. es 21 y el décimo es 48. Calcule la diferencia y el tercer término. 3.- La suma de tres números de una P.A. es 21 y el producto del primero por el tercero es 33 ¿Cuáles son los números? 4.- ¿Cuántos términos de P.A. 6, 10, 14, .... deben considerarse para que sumen 1920? 5.- Determine tres números de una P.A. tales que su suma sea 27 y su producto 288 6.- Determine k de modo que 8k + 4, 6k – 2, 2k – 7 estén en P.A. 7.- Determine: a) a6 y S7 en la P.G. 1 1 2 , , , ...... 2 3 9 b) a10 y S10 en la P.G. 2, 4, 6,.... c) a5 y S6 en la P.G. 2, −2 2 , , .... 3 9 8.- En una P.G. dados r = 2 y S7 = 635, Calcule a1 y a7 9.- El tercer término de una P.G. es 3 y el séptimo término es 3 , calcule la razón y el primer término de 16 dicha P.G. 10.- Calcule la suma de los 2n primeros términos de la P.G. 3, − 4, 16 ..... 3 11.- Una persona arrienda una pieza en una pensión durante el año 1989. Acuerda con la dueña reajustar la renta mes a mes en una cantidad fija. El arrendatario calcula que deberá pagar $105.840 anuales y que en el mes de diciembre deberá cancelar $13.440. a) ¿Cuál fue la renta de Enero? b) ¿Cuál es el monto del reajuste acordado? 12.-Un individuo conviene en pagar una deuda de $36.000 en 40 pagos parciales anuales que forman una P.A. Cuando 30 de los pagos están cubiertos, el duedor fallece dejando una tercera parte de la deuda sin cancelar. Calcule el valor del primer pago. 13.-A un empleado una empresa A le ofrece una renta de $120.000 anuales con un aumento de $3.000 anuales, por un periodo de 15 años. Otra empresa B, por el mismo periodo de tiempo, le ofrece $140.000 y anuales un aumento de $2.000 por año ¿Cuál ofrecimiento es más conveniente para el empleado? 14.- Un cuerpo al caer recorre 4 metros en el primer segundo. Si en cada segundo la distancia recorrida aumenta en 1,6 veces, de que altura cae este cuerpo se demoró 10 segundos en tocar el suelo 15.-Una pelota de hule cae de una altura de 20 metros y rebota ascendiendo cada vez hasta una cuarta parte del ascenso anterior. Calcular la distancia total recorrida por la pelota cuando pega en el suelo por sexta vez. SUMATORIA EJERCICIOS RESUELTOS 50 1.- Calcular: ¦ (3k 2 + 2k − 5) k =1 Sol.: 50 50 50 50 k =1 k =1 k =1 k =1 ¦ (3k 2 + 2k − 5) = 3¦ k 2 + 2 ¦ k − ¦ 5 = 3 ⋅ 50 ⋅ 51 ⋅ 101 50 ⋅ 51 + 2⋅ − 5 ⋅ 50 = 131.075 6 2 ¦ [(k + 1)3 + 3(k − 5)2 − 35− k ] 40 2.- Calcular k =10 Sol.: ¦ [(k + 1) 40 3 ] ¦ (k + 1) + ¦ (k − 5) − ¦ 3 + 3(k − 5) 2 − 35 − k = k =10 = 40 40 k =10 k =10 40 35 k =11 k =5 ¦ k 3 + 3¦ k 2 − §1· ¦ 35 ⋅ ¨© 3 ¸¹ k =10 40 2 40 5− k k =10 k k k 9 § 35 2 4 2 · 5 §¨ 40 § 1 · 1 · ·¸ § = ¦ k − ¦ k + 3¨¨ ¦ k − ¦ k ¸¸ + 3 ¦ ¨ ¸ − ¦ ¨ ¸ ¨ k =1 © 3 ¹ k =1 © 3 ¹ ¸ k =1 k =1 k =1 © k =1 ¹ © ¹ 41 3 10 3 9 § § 1 · 40 · ¨ ¨ ¸ − 1 §¨ 1 ·¸ − 1 ¸ 2 2 2 2 ¸ 41 ⋅ 42 10 ⋅ 11 3 § 35 ⋅ 36 ⋅ 71 4 ⋅ 5 ⋅ 9 · 5 ¨ © 3 ¹ = − + 3⋅¨ − −© ¹ ¸+3 ¨ ¸ 1 1 4 4 6 6 ¹ © ¨ 3§¨ − 1·¸ 3§¨ − 1·¸ ¸ ¨ ©3 ¹ © 3 ¹ ¸¹ © § 10 2 · ¦ ¨¨ ¦ (i ⋅ j + 2i ⋅ 23 j ) ¸¸ i =1 © j =1 ¹ 15 3.- Calcular Sol.: 10 § 10 2 · 15 § 2 10 · · 15 § 10 2 3j ¸ i+3 j ¸ i i j¸ ¨ ¨ ¨ ( i j 2 ) = ( i j 2 2 ) i j 2 8 = + ⋅ + ⋅ + ⋅ ¦¨¦ ¦ ¸ ¸ ¦ ¨ ¦ ¸ ¦ ¨¦ i =1 © j =1 j =1 ¹ ¹ i =1 © j =1 ¹ i =1 © j =1 15 § 2 10 ⋅ 11 i 810 − 1 · 10 ⋅ 11 15 ⋅ 16 ⋅ 31 810 − 1 215 − 1 ¨ ¸ + 2 ⋅8⋅ = ⋅ + 8⋅ ⋅2⋅ = ¦¨i ⋅ 2 8 − 1 ¸¹ 2 6 8 −1 2 −1 i =1 © 15 n ¦ k 3 si se sabe que 4.- Calcular el valor de k =1 1 20 ⋅ ¦ (n ⋅ k ) = 500 . 3 k =1 Sol.: 20 1 20 1 1 20 ⋅ 21 ⋅ ¦ (n ⋅ k ) = 500 ⇔ ⋅ n¦ k ⇔ ⋅n⋅ = 500 n = 50 3 k =1 21 i =1 21 2 n 50 k =1 k =1 50 2 ⋅ 512 4 ∴ ¦ k3 = ¦ k3 = n 5.- Calcular ¦ k ⋅ k! en función de n. k =1 Sol.: n n n n k =1 k =1 k =1 k =1 ¦ k ⋅ k! = ¦ (k + 1 − 1) ⋅ k! = ¦ [(k + 1) ⋅ k!−k!] = ¦ [(k + 1)!−k!] = (n + 1)!−1 (TELESCÓPICA) 1 · ¸ k +1 + k ¹ § 80 ¦ ¨© 6.- Calcular k =1 Sol: 1 1 k +1 − k · § · 80 §¨ ¨ ¦ © k + 1 + k ¸¹ = ¦ ¨ k + 1 + k ⋅ k + 1 − k ¸¸ k =1 k =1 © ¹ 80 ª ¦« K =1« ¬ 80 = ( º »= 2 K »¼ K +1 − K § K +1 − K K +1− K K =1© 80 ¦ ¨¨ ) ( ) = ¦ ( K + 1 − K ) = 80 + 1 − 2 K +1 − 80 1=8 · ¸ ¸ ¹ (TELESCOPICA) K =1 ¦ [(k 2 + 1)k!] n 7.- Calcular en función de k =1 Sol : ¦ [(k n 2 k =1 )] n [( )] n [( ) ] n + 1 k! = ¦ k 2 − 1 + 2 k! = ¦ k 2 − 1 k!+2k! = ¦ [(k − 1)(k + 1)!+2k!] = % k =1 k =1 k =1 n n n k =1 k =1 k =1 % = ¦ [k (k + 1)!− (k + 1)!+2k!] = ¦ [k (k + 1)!− k!(k + 1) + 2k!] = ¦ [k (k + 1)!− k!(k + 1 − 2)] n n k =1 k =1 = ¦ [k (k + 1)!− k!(k − 1)] = ¦ [k (k + 1)!− (k − 1)k!] = n(n + 1)!− (1 − 1)1!= n(n + 1)! PROBLEMAS PROPUESTOS: ¦ [(k − 14)3 + 3 ⋅ 25− k + 2(k − 5)2 ] 40 1. Calcular k =15 n 2. ¦ [2− 2i + (i + 2)3 − n] en función de n Calcular i =1 n 3. Calcular 4. Calcular ª k iº ¦ «k ¦ 2 » en función de n k =0 ¬ i=0 ¼ n ¦k en función de n ( indicación : considerar la identidad (k + 1) 2 − k 2 = 2k + 1 k =1 y aplicar telescópica). n 5. ¦ (ka k ) Calcular en función de n y a (a ≠ 1) k =1 20 § · 1 6. Calcular ¦ ¨¨ k (k + 1) ¸¸ 7. Calcular § k + 1· ¸¸ en función de n k =1 © 2 ¹ ¹ k =1 © n ¦ ¨¨ INDUCCIÓN MATEMÁTICA PROBLEMAS RESUELTOS. n 2 (n + 1) 2 ,..., ∀n ∈ IN 1.- Demostrar que ¦ k = 4 k =1 n 3 1 Sol : Si n=1 pd : ¦k3 = k =1 n Pd ¦k3 = k =1 12 (1 + 1) 2 13 = 1 4 n +1 (n + 1) 2 (n + 2) 2 n 2 (n + 1) 2 ¦k3 = 4 4 k =1 En efecto : n +1 n k =1 k =1 ¦ k 3 = ¦ k 3 + (n + 1) 3 = n 2 (n + 1) 2 n 2 (n + 1) 2 + 4(n + 1) 3 + (n + 1) 3 = 4 4 9. un = [ ] 1 na − 1 + (1 − a ) n ,....∀n ∈ IN a a. entonces n+ 2 + 4 ⋅ 10 n + 4 es divisible por 9 ∀n ∈ IN i) 10 TEOREMA DEL BINOMIO DE NEWTON. PROBLEMAS RESUELTOS 20 2 · § 2 1.- En el desarrollo de ¨ 3 x + ¸ , determinar: x¹ © i) El cuarto término. 10 ii) El coeficiente de x . iii) El término independiente de x. Solución: 20 k 20 20 § 20 · 2 20− k § 2 · § · 20 − k k 40− 52 k = ¦ ¨¨ ¸¸(3 x ) ⋅2 ⋅x ¸ = ¦ ¨¨ ¸¸3 ¨ © x¹ k =0© k ¹ k =0© k ¹ § 20 · 20 − k k 40 − 52 k Se tiene, Tk +1 = ¨¨ ¸¸3 ⋅2 ⋅x representa un término cualquiera del desarrollo. Luego, ©k¹ § 20 · 17 3 65 el cuarto término, T4 se obtiene para k = 3. Luego T4 = ¨¨ ¸¸3 ⋅ 2 ⋅ x 2 . ©3¹ § 20 · 20 − k k 10 ⋅ 2 para un valor de k, tal que 40 − 52 k = 10 k = 12 . ii) El coeficiente de x es ¨¨ ¸¸3 k © ¹ § 20 · ∴ El coeficiente de x10 es ¨¨ ¸¸38 ⋅ 212 . © 12 ¹ § 20 · 20 − k k ⋅ 2 para un valor de k tal que iii) El término independiente de x es ¨¨ ¸¸3 ©k¹ § 20 · 40 − 52 k = 0 k = 16 . ∴ El término independiente de x es ¨¨ ¸¸34 ⋅ 216 . © 16 ¹ 2 · § 2 i) ¨ 3 x + ¸ x¹ © 20 n 1 · § a) En el desarrollo de ¨ x x + 4 ¸ , encontrar el término independiente de x, si se sabe que el x ¹ © coeficiente del tercer término es mayor que el coeficiente del segundo término en 44 unidades. Solución: n n n n n § · 3 n− k § · 3 n − 11 k 1 · § −4 k ¨ x x + 4 ¸ = ¦ ¨¨ ¸¸( x 2 ) ⋅ ( x ) = ¦ ¨¨ ¸¸ ⋅ x 2 2 x ¹ © k =0© k ¹ k =0© k ¹ Coeficiente tercer término: §n· ¨¨ ¸¸ ; Coeficiente seg.término: © 2¹ §n· ¨¨ ¸¸ ©1¹ § n· § n· n2 − n ¨¨ ¸¸ = ¨¨ ¸¸ + 44 ⇔ = n + 44 ⇔ n 2 − 3n − 88 = 0 n = 11 ∨ n = −8 2 © 2¹ © 1¹ 11 n 11 11 § · 33 − 11 k 1 · § 1 · § Como n ∈ IN n = 11 . Luego ¨ x x + 4 ¸ = ¨ x x + 4 ¸ = ¦ ¨¨ ¸¸ ⋅ x 2 2 x ¹ x ¹ © © k =o© k ¹ §11· 33 11 ¸¸ donde k es tal que − k = 0 ⇔ k = 3. 2 2 ©k¹ El término independiente de x es ¨¨ Finalmente el término independiente de x es 11! 8!⋅9 ⋅ 10 ⋅ 11 = = 165 . 3!⋅8! 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 8! 1 · § 2.- Determinar el valor de n para que los quintos términos de ¨ a + 3 ¸ a ¹ © 4n 1 · § y ¨ a2 + 4 ¸ a ¹ © Solución: 1 · § ¨a + 3 ¸ a ¹ © 4n = § 2 1 · ¨a + 4 ¸ a ¹ © ( ) = ¦ §¨¨ 4kn ·¸¸ ⋅ a © ¹ § 4n · ¦ ¨¨ k ¸¸ ⋅ a 4n − k ⋅ a −3 ¹ k =0© 4n 4n = ( ) § 4n · ¦ ¨¨ k ¸¸ ⋅ a 2 ¹ k =0 © 4n § © El quinto término de ¨ a + § © 1 · ¸ a3 ¹ El quinto término de ¨ a + 2 4n − k 4n − 4k k =0 ( ) = ¦ §¨¨ 4kn ·¸¸ ⋅ a © ¹ ⋅ a−4 4n k 8n − 6 k k =0 4n 1 · ¸ a4 ¹ 4n k § 4n · 4 n −16 ¸¸ ⋅ a © 4¹ es ¨¨ 4n § 4n · 8n − 24 ¸¸ ⋅ a © 4¹ es ¨¨ § 4n · 4 n −16 § 4n · 8n − 24 ¸¸ ⋅ a ¸¸ ⋅ a = ¨¨ ⇔ a 4 n −16 = a8n − 24 n = 2 . © 4¹ © 4¹ Luego ¨¨ n 3.- Demostrar que § n· ¦ ¨¨ k ¸¸ = 2n k =0© n ∈ IN ¹ Solución: (a + b )n = ¦ §¨¨ n · n− k k ¸¸ ⋅ a ⋅ a . Si a = b = 1: k =0© k ¹ n Teorema de Binomio: (1 + 1) n = § n· ¦ ¨¨ k ¸¸ k =0© ¹ n ∴ 2n = n §n· ¦ ¨¨ k ¸¸ . QED. k =0© ¹ 4n sean iguales. n 1 · § 4.- En el desarrollo de ¨ ax + ¸ , determinar la condición que debe cumplir n para que exista el término bx 2 ¹ © independiente de x. Solución: n k n n n n § · n − k − k n − 3k 1 · § · § n−k § 1 · ¨ ax + 2 ¸ = ¦ ¨¨ ¸¸ ⋅ (ax ) ⋅ ¨ 2 ¸ = ¦ ¨¨ ¸¸ ⋅ a ⋅ b ⋅ x bx ¹ © bx ¹ © k =0© k ¹ k =0© k ¹ El término independiente de x se obtiene para aquel valor de k tal que Como n − 3k = 0 ⇔ k = k = 1,2,3,.........., la condición sobre n es que n debe ser múltiplo de 3. ( x19 en el desarrollo de (1 + 2 x ) ⋅ 1 − x 3 5.- Determinar el coeficiente de ) 9 Solución: ( 1 + 2 x )(1 − x 3 ) 9 = 9 ¦ (9k )(− 1) k k =0 ( ) 9 = (1 + 2 x ) ¦ (9 k ) ⋅ 19 − k − x3 x 3k + k =0 9 §9· k =0 © ¹ ¦ 2¨¨ k ¸¸(− 1) -------------------------- 9 = (1 + 2 x ) ¦ (9 k )(− 1) x3k k =0 x3k +1 -------------------------- 19 3k = 19 ⇔ k = ∉ IN 3 Luego, el coeficiente de k k 3k + 1 = 19 ⇔ k = 6 § 9· x19 es 2¨¨ ¸¸(−1) 6 = 168 © 6¹ PROBLEMAS PROPUESTOS. 1.- 2.- Verifique si se cumplen las siguientes igualdades: § n · § n · § n + 2· ¸¸ + ¨¨ ¸¸ = ¨¨ ¸¸ 2 ¨¨ © k − 1¹ © k − 2 ¹ © k ¹ a) §n· ¨¨ ¸¸ + ©k ¹ b) § n + 3· §n + ¨¨ ¸¸ − 3 ¨¨ © k ¹ © k 2· § n + 1· § n · § n · ¸¸ + 3 ¨¨ ¸¸ − ¨¨ ¸¸ = ¨¨ ¸¸ ¹ © k ¹ © k ¹ © k − 3¹ En cada caso, encuentre el valor de n que satisface la condición dada. a) §n· ¨¨ ¸¸ = 55 © 2¹ § n + 1· ¸¸ = ¨¨ © ¹ © 3 ¹ §n· b) ¨¨ ¸¸ 2 k n . 3 c) 3.- §n· §n· §n· 2 ¨¨ ¸¸ = ¨¨ ¸¸ + ¨¨ ¸¸ ©5¹ © 4¹ ©6¹ d) Desarrolle: a) ( a − b )7 c) §¨ 5 x − y 12 ·¸ © ¹ a) El cuarto término de: ( x− y § 3 · b) El término central de: ¨ + a ¸ © a ¹ c) d) 5.- ( 2x + y ) d) (x Los términos centrales de: ) 2 + 2 y −1 ) 6 6 6 1 · § 2 ¨ 6x − ¸ 3x3 ¹ © 1 · § ¨ x+ ¸ x ¹ © El término central en: −1 3 15 2n Determine el término independiente de x en el desarrollo de: a) 6.- b) 5 4.- Determine: §n· §n· ¨¨ ¸¸ − ¨¨ ¸¸ © 5¹ © 4¹ = 1 2 §n· §n· ¨¨ ¸¸ + ¨¨ ¸¸ ©5¹ © 4¹ § 2 1· ¨ x − ¸ x¹ © 9 b) 1 · § ¨ x− 2 ¸ x ¹ © 3n c) 1· § ¨ x + ¸ x¹ © 2n Determine: § 2 3a · ¨ x + ¸ x ¹ © 15 1 · § 4 b) El coeficiente de x en el desarrollo de ¨ x − 3 ¸ x ¹ © 18 a) El coeficiente de x18 en el desarrollo de 30 1 · § 2 c) El coeficiente de x en el desarrollo de ¨ x − ¸ 2x ¹ © 25 38 1 · § 2 ¨ 5x + ¸ 3x ¹ © 34 d) El coeficiente de x17 en el desarrollo de e) El coeficiente del término que está en la posición 28 en el desarrollo de : § 3 1· ¨ x + ¸ x¹ © 52