4.0Clase12ComportamientodelosSistemasLin... 104KB Apr 12 2012

4. El comportamiento de los sistemas lineales
Análisis:
El comportamiento de un sistema lineal está dado por el modelo de espacio de estado.
Estudiaremos cómo a partir de un estado inicial conocido y una magnitud de entrada
dada, podemos resolver la ecuación de estado y cómo con ayuda de la ecuación de
salida podemos calcular la magnitud de la salida.
x  Ax  Bu
sistema
y  Cx  Du
Partimos de la solución de una ecuación diferencial de 1er orden.
x

a x( t )  bu( t )
Análisis de Sistemas Lineales
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x(0)

x0
(1 y 1a)
pag. 1
Tratamos la ecuación homogénea
x

a x( t )
(2)
suponemos la solución:

x( t )

cet
x ( t )

 cet
sustituimos en (2)

 cet


a
x( t )
Para t=0



acet
y
ceat
x(0) = x0
x(0) = c
y
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x0 = c
pag. 2
Solución homogénea o respuesta Natural = x(t) = x0eat
(3)
La solución particular la obtenemos por el método de variación de constante
x( t )

k( t ) eat
derivando respecto a t
x ( t )

k( t ) aeat 
Sustituyendo en
k( t ) aeat 
 k ( t )

x ( t )
dk( t ) at
e
dt
dk( t ) at
e
dt


a x( t )  bu
(1 de nuevo)
ak( t ) eat  bu( t )
e at bu( t )
Análisis de Sistemas Lineales
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pag. 3
Integrando de 0 a t:
t
t
0
0
( τ )d  e -aτ bu ( τ )dτ
k


t
k (t )  k (0) =  e -aτ bu ( τ )dτ
0
t
k (t )   e -aτ bu ( τ )d  k (0)
0
t
x(t) =  e -a b  u( )d  e at + k 0  e at
0

x( t )

k 0 eat 
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e
t
0
a( t   )
bu(  ) d
(4)
pag. 4
Utilizando la condición inicial para t=0 se obtiene
x(0)

 x0
k0
Definimos :
( t )

eat
(5)
 escribimos la solución completa llamada también ecuación de movimiento:
x( t )

 ( t ) x0    ( t   ) bu( t ) dt
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t
0
(6)
pag. 5
Solución a un sistema de ecuaciones diferenciales de 1er. Orden
x  Ax(t )  Bu(t ) ;
x ( 0)  x 0
(7)
x  Ax(t )
Ecuación Homogénea
(8)
 la
x(t )  e At k
(9)
solución es:
donde la matriz función exponencial está definida por:

Ait i
At A 2t 2 A 3t 3
φ(t )  e  
I



!
1
!
2
!
3
!
i
i 0
At
(10)
se puede demostrar que la serie converge para todas las matrices A cuadradas por lo
que se puede intercambiar la sumatoria por derivada:
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pag. 6


Ait i
d
de At
A 3t 2
2
i 0 i!

AA t

2!
dt
dt


de At
A 2t 2 A 3t 3
 A I  At 

 
2!
3!
dt


de At
 Ae At
dt
(10a)
At
Sustituyendo x (t )  Ae k en la ecuación (8) vemos que cumple:
Ae At k  Ae At k
entonces la solución homogénea es:
x h (t )  e At x 0
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Solución homogénea
(11)
pag. 7
La respuesta forzada será calculada usando el método de variación de parámetros.
x ( t )  e At k ( t )
Solución propuesta:
(11a)
derivamos y sustituimos en x (t )  Ax(t )  Bu(t )
x (t )  Ae At k (t )  e At k (t )
Ae At k (t )  e At k (t )  Ae At k (t )  Bu(t )
eliminamos el término igual a ambos lados y obtenemos
e At k (t )  Bu(t )
e At es no singular y se puede invertir usando la definición en forma de serie
e 
At 1


e At

eA (  t )
k (t )  e  At Bu(t )
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pag. 8
integramos :

t
0
t
k ( )d  k (t )  k (0)   e  A Bu( )d
0
tomando en cuenta la condición inicial
t
k (t )   e  A Bu( )d  k (0)
0
sustituyendo en la ecuación (11a)
t
x (t )   e A t  Bu( )d  e At k (0)
0
x(0)


x0
k(0)
t
x(t )  e At x 0   e A t  Bu( )d
0
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pag. 9
Definimos la matriz de transición de estados o matriz fundamental como:
φ(t )  e At ;

φ(t ) : matriz de transición
t
x(t )  φ(t )x 0   φ(t   )Bu( )d
0
ecuación de movimiento
(11b)
(12)
x0 : las condiciones iniciales describen completamente la influencia del movimiento del
sistema para t<0 en el tiempo t>0.
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pag. 10
Comportamiento de entrada-salida de los sistemas lineales
 El comportamiento E/S describe cómo el sistema convierte la magnitud de entrada en
la magnitud de salida.
 Describe las características dinámicas de transmisión del sistema; por ello se habla
de comportamiento dinámico de transmisión.
Conociendo x(t) podemos calcular y(t):
y (t )  Cx(t )  Du(t )
(13)
Sustituimos (12) en (13)
t
y (t )  Cφ(t )x 0   Cφ(t   )Bu( )d  Du(t )
0
(14)
hacemos x0 = 0 para que la salida responda únicamente a las entradas
t
y (t )   Cφ(t   )Bu( )d  Du(t )
0
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(15)
pag. 11
Con ayuda de la ecuación (15) podemos comprobar la linealidad del sistema:

Si u( t )
 y( t )

au1( t )  bu2 ( t )
y1( t )  y 2 ( t )
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pag. 12
Solución a la ecuación de movimiento en representación canónica diagonal
Colocamos „techitos“ a la ecuación (12)
t
ˆ  u( )d
xˆ (t )  φˆ (t )xˆ 0   φˆ (t   )B
(16)
0
donde :
φˆ (t )  e diagλ it
 ( t )

 e1t

 0
 0

 0
(17)
0
e 2 t
0
0
0 

0
0 
 0 

 nt
0 e 
0
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
diage it
(18)
pag. 13
Para la solución natural (movimiento propio)

e it x i (0)
x nat ( t )
 e1t
  2t
e
 
  nt
 e
x i

x 1(0) 

x 2 (0)
 

x n (0)
Si se transforman las variables canónicas en las variables originales tenemos:
x(t )  Vxˆ (t )
xnat ( t )

y
V x nat ( t )
x 0  Vxˆ (0)

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 e1t
  2t
e
V
 
  nt
 e
x 1(0) 

x 2 (0)
 

x n (0)
pag. 14
xnat (t)  V1e1t x 1(0)  V2e 2t x 2 (0)    Vne nt x n (0)
xnat ( t )

n
Ve
i1
i
 it
x i (0)
(19)
Cada respuesta natural se calcula independientemente.
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pag. 15
Las respuestas forzadas se pueden calcular también independientemente unas de las
otras.
Si hacemos para t = 0, x(0) = 0, entonces la componente i del estado se calcula:
x i ( t )
x forz ( t )
e
t

0

i (t )
bi u(  ) d
 t e1( t   ) b u(  ) d 
1
 0

 t e 2 ( t   ) b u( ) d 
2
 0




 t n (t )



e
b
u
(
)
d
n
 0

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 xforz ( t )  V x forz ( t )
pag. 16
Propiedades y fórmula de cálculo de la matriz de transición de estados φ(t )

Ait i
At A 2t 2 A 3t 3
I



φ(t )  e  
1!
2!
3!
i  0 i!
At
φ(t ) es la solución de:
φ (t )  Aφ(t )
(10 de nuevo)
(20)
 φ(0)  I
demostración:
A(0) A 2 (0) 2


φ(0)  e  I 
1!
2!
0
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pag. 17