ω ω ω =

10. Análisis en el dominio de la frecuencia
Tenemos una señal de entrada senoidal r(t) con amplitud R y
frecuencia ω0 y nos interesa la salida y(t) en régimen senoidal permanente.
r( t )
=
R sen ω 0 t
(1)
y( t )
=
Y sen(ω 0 t + φ )
(2)
en el dominio de la frecuencia compleja la salida es
Y(s)
=
T(s) R(s)
(3)
para el análisis en régimen senoidal permanente hacemos sÆjω en la
ecuación (3)
lim Y(s) = lim T(s)R(s) = Y(jω) = T(j ω)R(jω)
s → jω
s → jω
Y(jω ) = T(jω )R(jω )
(4)
escribiendo Y(jω) como número complejo en magnitud y fase
Y( jω )
Y( jω ) ∠Y( jω )
=
(5)
donde
Y(jω ) = T(jω ) R(jω )
(6)
∠Y( jω )
(7)
∠T( jω ) + ∠R( jω )
=
de (1), (2) y (6) tenemos que la amplitud Y de la salida senoidal es:
Y = R T(jω )
0
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(8)
104
y de (1), (2) y (7) escribimos la fase de salida como:
φ = ∠T(j ω 0 )
φ
=
(9)
∠Y( jω ) − ∠R( jω )
=
∠T( jω )
(10)
Las características de magnitud y de fase de un sistema de lazo
cerrado se pueden emplear para predecir el desempeño en estado estable
cuando la entrada es senoidal; asi como el transitorio en el dominio del
tiempo.
Respuesta de frecuencia de sistemas de lazo cerrado
R(s)
+
G(s)
Y(s)
-
H(s)
Figura 10.1: Sistema de control de lazo cerrado
T(s) =
Y(s)
G(s)
=
R(s) 1 + G(s)H(s)
(11)
Si sÆjω para régimen senoidal permanente
T( jω )
=
Y( jω )
R( jω )
=
G( jω )
1+ G( jω )H( jω )
(12)
donde la función de transferencia en régimen senoidal permanente es
T( jω )
=
T( jω ) ∠T( jω )
(13)
o equivalentemente como número complejo
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105
T( jω )
Re{T( jω )} + j Im{T( jω )}
=
(14)
donde
T(j ω) =
∠T( jω )
G(jω)
(15)
1 + G(jω)H(j ω)
=
[
]
∠G( jω ) − ∠ 1+ G( jω ) H( jω )
(16)
T(s) se interpreta como la función de transferencia de entrada-salida
de un filtro eléctrico.
Especificaciones en el dominio de la frecuencia
T(jω)
Tr
pendiente de
caída
1
0,707
0
ωr
ωc= BW (en este caso)
0
φ T(jω)
Figura 10.2: Características típicas de ganancia y fase de un sistema de
control realimentado
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106
Definiciones:
Tr:
Pico de resonancia, es el valor máximo de T(jω ) a la frecuencia de
resonancia ωr
• Valores deseados: 1,1…1,5
• Indica la estabilidad relativa y está directamente relacionado con el
sobrepaso en el tiempo
ωr: Frecuencia de resonancia, frecuencia a la cual ocurre el pico de
resonancia Tr
ωc: Ancho de banda (BW) o frecuencia a la cual la magnitud T( jω ) cae al
70,7% ( −3dB) de su valor a ω=0. (BW = ωc pues el sistema no tiene
frecuencia de corte inferior)
Tr, ωr y BW para un sistema prototipo de 2° orden
T(s)
Y(s)
R(s)
=
ωn
2
s2 + 2 ξ ω n s + ω n
2
=
(17)
Pico de resonancia y frecuencia de resonancia
En régimen senoidal permanente (s Æ ω)
lim T ( s ) = T ( jω ) =
s → jω
1
⎛ω ⎞ ⎛ω ⎞
1 + j 2ξ ⎜⎜ ⎟⎟ − ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ ωn ⎠ ⎝ ωn ⎠
2
(18)
para simplificar hacemos
Ω
=
T( jΩ )
ω
ωn
=
Frecuencia normalizada
1
1+ j 2 Ω ξ − Ω 2
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(19)
(20)
107
Figura 10.3: Magnitud en función de la frecuencia normalizada Ω de un
sistema de control de lazo cerrado de 2º orden.
La magnitud y fase son:
T( jΩ )
∠T( jΩ )
1
=
=
(1− Ω ) + (2 ξ Ω)
2 2
⎡ 2ξ Ω ⎤
− tan−1 ⎢
2
⎣1− Ω ⎥⎦
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2
(21)
(22)
108
para encontrar el máximo derivamos respecto a Ω e igualamos a cero
[
]
d T( jΩ )
=
dΩ
⇒
0
(23)
Ω r : frecuencia de resonancia
Ωr
=
⎪⎧0
⎨
⎪⎩ 1− 2 ξ 2
Ωr
=
1− 2 ξ 2
(24)
ξ < 0,707
;
(25)
Ωr = 0 no es un máximo verdadero si ξ<0.707
desnormalizando, de (19) y (25)
ωr
=
ωn Ω r
ωr
=
ω n 1− 2 ξ 2
;
ξ < 0,707
(26)
;
ξ < 0.707
(27)
Sustituyendo
Tr =
T( jΩ )
1
2ξ 1 − ξ 2
=
1
1+ j 2 Ω ξ − Ω 2
(20)
Figura 10.4: Fase normalizada de un sistema prototipo de segundo orden
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