´Algebra Lineal I: Conjuntos, Relaciones y Funciones

Álgebra Lineal I: Conjuntos, Relaciones y Funciones
José Marı́a Rico Martı́nez
Departamento de Ingenierı́a Mecánica
Facultad de Ingenierı́a Mecánica Eléctrica y Electrónica
Universidad de Guanajuato
email: [email protected]
1.
Conjuntos
Un conjunto es una colección de objetos llamados elementos. Un conjunto S se denota por
S = {x | x satisface la propiedad P }
y está formado por todos los objetos x que satisfacen la propiedad P . Si x pertenece al conjunto S, se
denota x ∈ S. En caso contrario, x no pertenece a S y se denota como x ∈
/ S.
La unión de dos conjuntos S1 y S2 , denotado como S1 ∪ S2 , se define como el conjunto de todos los
elementos x que pertenecen a S1 o que pertenecen a S2 , es decir
S1 ∪ S2 = {x | x ∈ S1
o x ∈ S2 }.
La intersección de dos conjuntos S1 y S2 , denotado como S1 ∩ S2 , se define como el conjunto de
todos los elementos x que pertenecen a S1 y que pertenecen a S2 , es decir
S1 ∩ S2 = {x | x ∈ S1
y x ∈ S2 }.
El conjunto vacı́o, denotado por ∅, es el conjunto que no contiene elemento alguno. Un conjunto S1
es un subconjunto de S2 , denotado por S1 ⊆ S2 , si x ∈ S1 implica que x ∈ S2 , o alternativamente
S1 ∪ S2 = S2 .
Dos conjuntos S1 y S2 son iguales, denotado S1 = S2 si ambos conjuntos tienen los mismos elementos;
es decir si
S1 ⊆ S2 y S2 ⊆ S1 .
Debe notarse que si S1 ⊆ S2 , es posible que S1 = S2 . Si S1 ⊆ S2 , pero se sabe que S1 6= S2 , entonces
se denota S1 ⊂ S2 y se dice que S1 es un subconjunto propio de S2 . Todo conjunto S2 tiene como
subconjuntos impropios a si mismo y al conjunto vacı́o ∅. Finalmente, dos conjuntos S1 y S2 son
disjuntos o excluyentes si
S1 ∩ S2 = ∅.
Ejemplos: Considere los siguientes tres conjuntos
S1
S2
= {Salamanca, Valle de Santiago, Irapuato, Villagrán, Cortazar}
= {León, Romita, Silao, Penjamo, Irapuato}
S3
= {Miguel, Rosa, Jesús, Carmen}
1
Entonces, es posible realizar, las siguientes operaciones
S1 ∪ S2
= {Salamanca, Valle de Santiago, Irapuato, Villagrán, Cortazar, León, Romita, Silao, Penjamo}
S1 ∩ S2
S2 ∪ S3
S1 ∩ S3
= {Irapuato}
= {León, Romita, Silao, Penjamo, Irapuato, Miguel, Rosa, Jesús, Carmen}
= ∅
2.
Relaciones
El producto Cartesiano de dos conjuntos S1 y S2 , denotado por S1 × S2 , es el conjunto de parejas
ordenadas (a, b), donde a ∈ S1 y b ∈ S2 ; es decir
S1 × S2 = {(a, b) | a ∈ S1
y
b ∈ S2 }.
Considere el producto cartesiano S1 ×S2 de dos conjuntos S1 y S2 y sea B ⊆ S1 ×S2 , entonces B define
una relación en S1 × S2 de la siguiente manera, si (a, b) ∈ B, entonces se dice que a está relacionado con
b.
Ejemplos: Empleando, los conjuntos S1 , S2 y S3 definidos en estas notas, calcule los productos
cartesianos S1 × S2 y S3 × S2 .
Cuadro 1: Producto Cartesiano S1 × S2
León
Romi
Silao
Penja
Ira
Sal
(Sal,León)
(Sal,Romi)
(Sal,Silao)
(Sal,Penja)
(Sal,Ira)
Valle
(Valle,León)
(Valle,Romi)
(Valle,Silao)
(Valle,Penja)
(Valle,Ira)
Ira
(Ira,León)
(Ira,Romi)
(Ira,Silao)
(Ira,Penja)
(Ira,Ira)
Villa
(Villa,León)
(Villa,Romi)
(Villa,Silao)
(Villa,Penja)
(Villa,Ira)
Corta
(Corta,León)
(Corta,Romi)
(Corta,Silao)
(Corta,Penja)
(Corta,Ira)
Cuadro 2: Producto Cartesiano S3 × S2
León
Romi
Silao
Penja
Ira
Miguel
(Miguel,León)
(Miguel,Romi)
(Miguel,Silao)
(Miguel,Penja)
(Miguel,Ira)
Rosa
(Rosa,León)
(Rosa,Romi)
(Rosa,Silao)
(Rosa,Penja)
(Rosa,Ira)
Jesús
(Jesús,León)
(Jesús,Romi)
(Jesús,Silao)
(Jesús,Penja)
(Jesús,Ira)
Carmen
(Carmen,León)
(Carmen,Romi)
(Carmen,Silao)
(Carmen,Penja)
(Carmen,Ira)
Ejemplo: Empleando el producto cartesiano S1 × S2 , defina la siguiente relación. El municipio a ∈ S1
es limı́trofe con el municipio b ∈ S2 , con la provisión de que todo municipio es limı́trofe consigo mismo.
Para determinar esta relación necesitamos el conocimiento geográfico, mostrado en la figura 1
La relación se muestra en una copia del producto cartesiano S1 ×S2 , vea 3, los miembros de la relación
se indican en negritas.
Note que esta relación constituye un subconjunto de S1 × S2 .
2
Figura 1: Mapa de los Municipios de Guanajuato.
Cuadro 3: Producto Cartesiano S1 × S2
León
Romi
Silao
Penja
Ira
3.
Sal
(Sal,León)
(Sal,Romi)
(Sal,Silao)
(Sal,Penja)
(Sal,Ira)
Valle
(Valle,León)
(Valle,Romi)
(Valle,Silao)
(Valle,Penja)
(Valle,Ira)
Ira
(Ira,León)
(Ira,Romi)
(Ira,Silao)
(Ira,Penja)
(Ira,Ira)
Villa
(Villa,León)
(Villa,Romi)
(Villa,Silao)
(Villa,Penja)
(Villa,Ira)
Corta
(Corta,León)
(Corta,Romi)
(Corta,Silao)
(Corta,Penja)
(Corta,Ira)
Funciones y operaciones
Una función del conjunto S1 al conjunto S2 , denotada f : S1 → S2 , es una relación B ⊆ S1 ×S2 tal que
para todo elemento a ∈ S1 existe un único elemento (a, b) ∈ B. Es decir, todo a ∈ S1 está relacionado
con un único b ∈ S2 . Entonces, se dice que b ∈ S2 es la única imagen de a ∈ S1 bajo la función f y se
denota como b = f (a). Además, se dice que S2 contiene las imágenes de S1 bajo la función f .
Ejemplo: Suponga que se sabe que Miguel vive en Silao, Rosa y Jesús viven en León y Carmén vive
en Irapuato. Indique con negritas en el producto cartesiano S3 × S2 , la relación el estudiante a vive
en la ciudad b. Verifique que esta relación constituye una función f : S3 → S2 .
Una operación entre los conjuntos S1 y S2 con resultados en otro conjunto S3 es una función, f , del
producto cartesiano S1 × S2 tal que S3 contiene las imágenes de la función f . Es decir, una operación
viene dada por
f : S1 × S2 → S3 f (a, b) = c donde c ∈ S3 .
Como una operación es una función, para cada pareja ordenada, (a, b) ∈ S1 × S2 , debe existir una
única imagen c ∈ S3 .
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Cuadro 4: Producto Cartesiano S3 × S2
León
Romi
Silao
Penja
Ira
Miguel
(Miguel,León)
(Miguel,Romi)
(Miguel,Silao)
(Miguel,Penja)
(Miguel,Ira)
Rosa
(Rosa,León)
(Rosa,Romi)
(Rosa,Silao)
(Rosa,Penja)
(Rosa,Ira)
Jesús
(Jesús,León)
(Jesús,Romi)
(Jesús,Silao)
(Jesús,Penja)
(Jesús,Ira)
Carmen
(Carmen,León)
(Carmen,Romi)
(Carmen,Silao)
(Carmen,Penja)
(Carmen,Ira)
Como las operaciones son funciones muy comunes, se denotan por +, · o algún otro sı́mbolo como ⊕
o ⊙. De manera que se escriben como
+ : S1 × S2 → S3
a+b=c o
· : S1 × S2 → S3
a·b=c
Frecuentemente, los conjuntos S2 y S3 son iguales y mucho mas frecuentemente todos los conjuntos
S1 , S2 y S3 son iguales.
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