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CAPÍTULO II
CÓNICAS
Índice del capı́tulo
§ Definición general de las cónicas
§ Cónicas con centro
§ Cónicas sin centro
§ Coordenadas polares
§ Problemas propuestos
§ Bibliografı́a
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8. Cónicas.
Las cónicas son curvas algebraicas de segundo grado que juegan un papel
esencial en astronomı́a de posición. Los movimientos de los cuerpo celestes
siguen trayectorias cónicas, y de ahı́ su importancia a la hora de desarrollar
las matemáticas que permiten predecir las posiciones de tales cuerpos. En
esta sección nos introduciremos en el tema desde un punto de vista métrico.
Esto difiere esencialmente del enfoque proyectivo que se estudia en algunas
facultades.
8.1. Definición general de las cónicas.
Consideremos el espacio afı́n-euclı́deo R2 cuya norma denotaremos por
k · k y cuyo producto escalar escribiremos como (·|·). La distancia euclı́dea
es entonces la aplicación d : R2 × R2 → R tal que d(P, Q) = kQ − P k para
cualesquiera P, Q ∈ R2 . Fijemos un punto F ∈ R2 , una recta d , y una
constante e ∈ R , e ≥ 0 . Podemos definir entonces cónica de foco F y recta
directriz d como el conjunto de todos los puntos de P
de R2 tales que
d(P, F ) = e d(P, d) . La constante e se llama la excentricidad de la cónica.
La definición que acabamos de dar de una cónica permite ya demostrar alguna
propiedad geométrica:
Teorema 1.
Sea C una cónica de foco F y recta directriz d . Sea
r la recta perpendicular a d que pasa por el foco F . Entonces la cónica es
simétrica respecto de r .
Dem. Sea P
un punto de R2 y sea P 0 su simétrico respecto de la
recta r (véase la figura II.1 ). Se tiene entonces que d(P, F ) = d(P 0 , F )
y d(P, d) = d(P 0 , d) . En consecuencia la pertenencia de P a la cónica es
equivalente a la pertenencia de P 0 a la misma cónica. 2
Mencionemos algunos ejemplos más o menos triviales de cónicas.
(i) Sea r una recta y F ∈ r un punto cualquiera fijado. Sea d la recta
perpendicular a r que pasa por F . El lector puede demostrar que para
cada punto P ∈ R2 se tiene que P ∈ r si y sólo si d(P, d) = d(P, F ) .
Esto demuestra que r es la cónica de foco F y recta directriz d , con
excentricidad 1 (véase la (figura II.2a).
(ii) Sean r1 y r2 dos rectas cuya intersección es {F } (como en la figura
II.2b ). Sea d la mediatriz de r1 y r2 . Entonces un punto P está
sobre r1 (o sobre r2 ) si y sólo si d(P, d) = senθ d(P, F ) (donde θ es
la mitad del ángulo que forman r1 y r2 ).
Esto implica que r1 ∪ r2 es la cónica de foco F
(su intersección) y
directriz la recta d (mediatriz de r1 y r2 ).
(iii) Otros ejemplos de cónicas que no se reducen a rectas, tales como elipses,
3
hipérbolas y parábolas, los describiremos más tarde.
8.2. Cónicas con centro.
Veamos que es posible clasificar las cónicas en varias clases disjuntas de
modo tal que cada cónica pertenezca a sólo una de dichas clases. En definitiva
lo que vamos a hacer es determinar representantes canónicos de cada una de
las órbitas en la acción del grupo de los movimientos directos del plano afı́neuclı́deo R2 sobre el conjunto de todas las cónicas. Si C es una cónica de
recta directriz d , foco F y excentricidad e , llamaremos r como antes a la
recta que pasa por F y es perpendicular a d . Podemos hacer una traslación
de R2 hasta situar el origen en el punto F y después una rotación alrededor
del origen hasta situar la recta r como eje X . Esto implica que podemos
tomar F = (0, 0) y r la recta y = 0 . La recta directriz tendrı́a la ecuación
x = k . Con estos valores, la cónica C es el lugar geométrico de los puntos
(x, y) que satisfacen:
(II-1)
x2 + y 2 = e2 (x − k)2
Como se ha demostrado (y ahora resulta obvio por la forma de la ecuación
(II-1) , el eje X es un eje de simetrı́a de la cónica. Denotemos por τ la
simetrı́a respecto al eje X . Estudiemos el problema general de determinar
la existencia de un segundo eje de simetrı́a perpendicular al eje X . Si dicho
eje existiera denotemos por P0 := (c, 0) su punto de corte con el eje X ,
y por σ la simetrı́a respecto a dicho nuevo eje. Entonces P0 es punto fijo
de la composición de las simetrı́as σ ◦ τ . Evidentemente dicha composición
ρ = σ ◦ τ es un giro de π radianes en torno al punto P0 . Mediante la
traslación de ecuaciones
x0 = x − c
y0 = y
el centro del giro ρ queda situado en el origen de coordenadas y el foco en
el punto F = (−c, 0) . En consecuencia si P := (x0 , y 0 ) es un punto de
la cónica, su transformado por ρ , que es (−x0 , −y 0 ) , lo es también. Esto
implica que después de efectuar el cambio de variables, la ecuación en x0 ,
4
y 0 resultante debe carecer de términos de primer grado. Haciendo pues dicho
cambio tenemos:
(x0 + c)2 + y 02 =e2 (x0 + c − k)2 ,
x02 + y 02 + 2cx0 + c2 =e2 (x02 + 2(c − k)x0 + (c − k)2 ),
2
(1 − e2 )x02 + y 02 + (2c − 2e2 (c − k))x0 + c2 − e2 (c − k) = 0
de donde se deduce que c − e2 (c − k) = 0 o lo que es lo mismo (e2 − 1)c = e2 k
. Si e = 1 entonces k = 0 y sustituyendo en la ecuación tenemos que la
ecuación de la cónica es y 2 = 0 , es decir la cónica se reduce a una recta. Si
e 6= 1 tenemos c = e2 k/(e2 − 1) y la ecuación anterior queda en la forma:
(1 − e2 )x02 + y 02 =
k 2 e2
1 − e2
lo que pone de manifiesto la existencia del segundo eje de simetrı́a (en este
caso el eje Y ). Podemos pues enunciar el siguiente resultado:
Teorema 2. Sea C una cónica de foco F , directriz d y excentricidad
e . Denotemos por r la perpendicular a d que pasa por F . Supongamos
que C no se reduce a una recta. Entonces son equivalentes:
(1) C tiene un eje de simetrı́a perpendicular a la recta r .
(2) e 6= 1 .
En caso de cumplirse alguna de las condiciones anteriores diremos que C
es una cónica con centro y llamaremos centro al punto de intersección de los
dos ejes de simetrı́a.
5
(Experiméntese este enunciado con la figura II.3.)
Dem. La implicación 1)⇒ 2) ha sido demostrada en el párrafo anterior
al enunciado de este teorema. Supongamos que e 6= 1 y que la cónica no es
una recta. Sea k la distancia de F a la recta directriz (véase la figura II.3
, y supongamos la ecuación de la cónica referida a un sistema ortonormal de
referencia adecuado, de tal forma que dicha ecuación sea x2 + y 2 = e2 (x − k)2
. La recta r
queda identificada en este caso con el eje X . Definamos
c := e2 k/(e2 − 1) , entonces la traslación x0 = x − c , y 0 = y , transforma la
ecuación anterior en
(1 − e2 )x02 + y 02 = k 2 e2 /(1 − e2 )
y se aprecia la existencia de un segundo eje de simetrı́a (identificado con el
eje Y ). Vamos a continuación a detallar más las cónicas con centro. Ya sabemos
que si C es una tal cónica que no se reduce a una recta, tiene la ecuación
(1 − e2 )x02 + y 02 = k 2 e2 /(1 − e2 ) respecto a determinado sistema de referencia
ortonormal. Si k = 0 la ecuación anterior queda en la forma (1−e2 )x02 +y 02 =
0 y en este caso puede ocurrir:
(1) e > 1 , en cuyo caso y 02 = (e2 − 1)x02 y por lo tanto y 0 = ±ax0 donde
√
a = e2 − 1 . La cónica se reduce a un par de rectas secantes.
6
(2) e < 1 en este caso la cónica se reduce al punto (0, 0) .
Estudiemos ahora el caso k 6= 0 . En este caso la ecuación de la cónica
puede escribirse en la forma
(e2 − 1)2 02 (e2 − 1) 02
x −
y =1
k 2 e2
k 2 e2
Si e < 1 y definimos a2 :=
adopta la forma:
k 2 e2
e2 k 2
2
y
b
:=
, entonces la ecuación
(1 − e2 )2
1 − e2
x02
y 02
+
= 1,
a2
b2
en este caso a las constantes a y b se les llama semiejes. Si e > 1 , definimos
k 2 e2
e2 k 2
2
2
a :=
y b := 2
, entonces la ecuación se transforma en:
(1 − e2 )2
e −1
x02
y 02
−
= 1.
a2
b2
En el primer caso la cónica se dice que es una elipse y en el segundo una
hipérbola. La excentricidad de la cónica y la directriz de la misma, pueden
obtenerse también en función de estas nuevas constantes que aparecen, de
hecho es de fácil comprobación que en el caso e < 1 tenemos:
(1) a2 = b2 + c2 .
|c|
(2) e =
.
a
(3) La directriz una vez efectuada la traslación es la recta de ecuación x0 =
−a2
.
c
La elipse es bien conocida por la siguiente propiedad (véase la figura II.4
).
Teorema 3. Sea C la elipse que en un sistema de referencia ortonormal
tiene por ecuación x2 /a2 + y 2 /b2 = 1 (con a ≥ b > 0 ). Definamos c =
√
a2 − b2 . Entonces C coindice con el conjunto de puntos cuyas sumas de
distancias a los puntos F = (c, 0) y F 0 = (−c, 0) es constante y vale 2a .
Dem. Sea P = (x, y) tal que d(P, F ) + d(P, F 0 ) = 2a . Entonces
d(P, F )2 = 4a2 + d(P, F 0 )2 − 4a d(P, F 0 ) . Por lo tanto
(x − c)2 + y 2 = 4a2 + (x + c)2 + y 2 − 4a d(P, F 0 )
7
simplificando tenemos: −2cx = 4a2 + 2cx − 4a d(P, F 0 ) o lo que es lo mismo
a d(P, F 0 ) = a2 + cx . Elevando al cuadrado
a2 (x + c)2 + a2 y 2 = a4 + c2 x2 + 2a2 cx
a2 x2 + a2 c2 + 2a2 cx + a2 y 2 = a4 + c2 x2 + 2a2 cx
(a2 − c2 )x2 + a2 y 2 = a4 − a2 c2 = a2 (a2 − c2 ) = a2 b2
es decir b2 x2 + a2 y 2 = a2 b2 o lo que es lo mismo x2 /a2 + y 2 /b2 = 1 .
Supongamos ahora que P = (x, y) es un punto que satisface la ecuación
de la elipse. Entonces existe θ ∈ R tal que x/a = cos θ , y/b = senθ .
Consecuentemente
d(P, F ) =
=
p
(a cos θ − c)2 + b2 sen 2 θ =
p
a2 cos2 θ − 2ac cos θ + c2 + b2 sen 2 θ =
p
b2 cos2 θ + c2 cos2 θ − 2ac cos θ + c2 + b2 sen 2 θ =
p
p
= b2 + c2 cos2 θ − 2ac cos θ + c2 = a2 − 2ac cos θ + c2 cos2 θ =
p
= (a − c cos θ)2 = a − c cos θ.
=
De forma análoga d(P, F 0 ) = a + c cos θ y tenemos d(P, F ) + d(P, F 0 ) = 2a
como querı́amos demostrar. 8
Otra propiedad importante de la elipse hace alusión a su recta tangente
en cada punto de la misma. El lector puede comprobar sin ninguna dificultad
que la tangente a la elipse x2 /a2 + y 2 /b2 = 1 en un punto (x0 , y0 ) de la
misma es precisamente la recta xx0 /a2 + yy0 /b2 = 1 . La propiedad a la que
hacı́amos alusión antes constituye el enunciado del siguiente:
Teorema 4. Sea P = (x0 , y0 ) un punto de la cónica x2 /a2 +y 2 /b2 = 1 y
denotemos como es habitual por F y F 0 los focos de dicha elipse. Denotemos
por r la recta que pasa por F y por P , y por r0 la recta que pasa por F 0
y por P . Sea t la recta tangente en P , entonces t es perpendicular a la
mediatriz de r y r0 (experiméntese con la figura II.5 ).
Escribamos de antemano x0 = a cos θ0 , y0 = b senθ0 para algún θ0 ∈ R
. Sea v el vector unitario en la dirección de F P y v 0 el correspondiente
vector unitario en la dirección de F 0 P . Basta demostrar que v + v 0 es
perpendicular al vector de dirección de t que no es otro que (−y0 /b2 , x0 /a2 )
. Como F P = (x0 − c, y0 ) el lector puede comprobar que kF P k = a − c cos θ0
9
. Esto permite escribir
x0 − c
y0
v=
,
a − c cos θ0 a − c cos θ0
y mediante cálculos similares
y0
x0 + c
0
,
v =
.
a + c cos θ0 a + c cos θ0
Una vez más invitamos a nuestros estimados lectores a efectuar el cálculo de
demuestra que
2b2 cos θ0
2ab senθ0
v+v =
,
b2 + c2 sen 2 θ0 b2 + c2 sen 2 θ0
y se comprueba de inmediato que v + v 0 es perpendicular a t . 0
La mayorı́a de la propiedades que hemos demostrado para la elipse admiten
sus correspondientes versiones para la hipérbola. Haremos un listado de
las principales propiedades con la esperanza puesta en que, nuestros nunca
suficientemente valorados lectores, se dediquen a la tarea de demostrarlas:
(1) c2 = a2 + b2 .
(2) e = |c|/a .
(3) La directriz de la hipérbola x2 /a2 − y 2 /b2 = 1 es la recta x = −a2 /c .
(4) Sea H la hipérbola que en un sistema de referencia ortonormal tiene
por ecuación x2 /a2 − y 2 /b2 = 1 y sea c como en el aparatado primero.
Definamos F := (c, 0) y F 0 := (−c, 0) , entonces H coindice con el
conjunto de puntos P tales que d(P, F ) − d(P, F 0 ) = 2a (figura II.6). .
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(5) Sea P = (x0 , y0 ) un punto de la hipérbola x2 /a2 −y 2 /b2 = 1 y denotemos
como es habitual por F y F 0 los focos de dicha hipérbola. Denotemos
por r la recta que pasa por F y por P , y por r0 la recta que pasa por
F 0 y por P . Sea t la recta tangente en P , entonces t es perpendicular
a la mediatriz de r y r0 .
8.3. Cónicas sin centro.
Para el caso en que e = 1 la ecuación (II-1)
queda en la forma
x2 + y 2 = (x − k)2 . Si k 6= 0 podemos escribir
x=−
1 2 k
y + .
2k
2
Esta cónica llamada parábola ofrece el aspecto que se muestra en la
figura II.7 . En caso de ser k = 0 tenemos x2 + y 2 = x2 lo que implica
y 2 = 0 y la cónica se reduce a una recta. En el caso de una parábola
denotemos como siempre por F el foco, por d la recta directriz y por r la
perpendicular a d que pasa por F . (Véase la figura II.7). Vamos a obtener
la ecuación de la parábola respecto a un sistema de referencia ortonormal con
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origen en el punto medio O := (F + Q)/2 donde {Q} = r ∩ d y con ejes
X 0 e Y 0 tales que X 0 es la recta que pasa por O y es paralela a r e Y 0
es la recta que pasa por O y es paralela a d . Definamos el sentido positivo
del eje X 0 como el inducido por el vector OF
(es indiferente indicar un
sentido positivo para el eje Y 0 dada la simetrı́a de la parábola respecto a X 0
). En este sistema de referencia positivo, el foco F tiene por coordenadas
F = (k/2, 0) y la directriz d la forman los puntos que verifican la ecuación
x = −k/2 . La parábola está formada por todos aquellos puntos P = (x, y)
tales que (x − k/2)2 + y 2 = (x + k/2)2 . Elevando al cuadrado y simplificando
tenemos −kx + y 2 = kx lo que implica que
y 2 = 2kx.
Vamos a demostrar una de la propiedades más interesantes de la parábola
desde el punto de vista de las aplicaciones fı́sicas:
Teorema 5. Sea la parábola que respecto de un sistema de referencia
ortonormal positivo tiene por ecuación y 2 = 2kx . Sea P un punto cualquiera
de la parábola, r1 la recta paralela al eje X que pasa por P y r2 la recta
que pasa por P y F . Entonces la recta normal en P es bisectriz de r1 y r2
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(ver figura II.8 ).
Dem. Sea P = (x0 , y0 ) un punto de la parábola, v1 = (0, 1) el vector
de dirección de r1 y v2 = (p/2 − x0 , −y0 ) el vector de dirección de r2 . Se
puede comprobar que el vector de dirección de la recta tangente a la parábola
en P es (y0 , p) . Para demostrar el teorema, basta demostrar que (y0 , p) es
perpendicular a v1 + v2 /kv2 k . Es fácil comprobar que kv2 k = x0 + p/2 .
Entonces
−y0 =
x0 + p/2 x0 + p/2
p
−y0 =
,
x0 + p/2 x0 + p/2
v1 + v2 /kv2 k = (1, 0) +
p/2 − x
0
,
y resulta evidente que el producto escalar de este vector por (y0 , p) es nulo.
Figura 1. Rayo incidente y rayo reflejado
Dediquemos unas lı́neas a las aplicaciones fı́sica de esta ’ultima propiedad.
Si suponemos una curva cualquiera c(t) y un rayo de luz que viaja en la
dirección de la recta r incidiendo en la la curva en el punto P , entonces el
rayo reflejado r0 es tal que la recta normal n en el punto P , es mediatriz de r
y r0 (véase la figura anterior). Este resultado de fı́sica que parece provenir
de la óptica, es en realidad aplicable a la reflexión de otros objetos fı́sicos de
naturaleza corpuscular (no sólo luz y sonido, sino ondas electromagnéticas
también). Se entiende pues que cualquier rayo de luz cuya dirección sea
paralela el eje de una parábola sera reflejado en una lı́nea que pasa por el
foco (véase la figura II.10 ). De este modo, la señal electromagnética de un
haz de rayos paralelos al eje de la parábola, queda concentrada en el foco,
donde la amplitud de tal señal se ve ampliada de modo tal que la posterior
sintonización y ampliación se hace más fácil. Esto explica además el carácter
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altamente direccional de las antenas parabólicas. Las centrales por reflexión
de la luz solar en un foco, en que se alcanzan altas temperaturas, constituyen
otro ejemplo de aplicación de esta propiedad de las parábolas
8.4. Coordenadas polares.
En esta sección queremos encontrar las expresiones de determinadas
cónicas en coordenadas polares. Empecemos por el caso de la parábola.
Supongamos en el afı́n-euclı́deo R2
la parábola de ecuación y 2 = 2px .
Sabemos que su foco se encuentra en (p/2, 0)
y su directriz es la recta
x = −p/2 .
Figura 2. La parábola
y 2 = 2px
Consideremos coordenadas polares con centro en el foco y eje el de abcisas
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(orientado positivamente):
(II-2)
x=
p
+ r cos θ,
2
y = r senθ,
donde r denota la distancia de un punto genérico de la parabola hasta su
foco. Se tiene entonces que x + p/2 = r . Eliminando x entre esta ecuación
y la primera de ( (II-2) ), encontramos que p/2 + r cos θ = r − p/2 , es decir,
r(cos θ − 1) = −p , y finalmente
(II-3)
r=
p
1 − cos θ
que es la ecuación en coordenadas polares de la parábola y 2 = 2px . En
realidad sólo se ha demostrado que si un punto (x, y) pertenece a la parábola
de ecuación y 2 = 2px , entonces sus correspondientes coordenadas polares
satisfacen la igualdad (II-3) . Dejamos al lector el comprobar que si las
coordenadas polares satisfacen (II-3) , entonces el punto de coordenadas
cartesianas (x, y) dadas por (II-2) , pertenece a la parábola en cuestión.
Veamos ahora como obtener la expresión en polares de la elipse de
ecuación
x2
y2
+
= 1,
a2
b2
(a ≥ b)
Figura 3. Coordenadas polares en la elipse.
Sus focos son los puntos (±c, 0) donde c =
√
a2 − b2 . Consideremos
coordenadas polares con centro en (−c, 0) de modo que
x + c = r cos θ,
15
y = r senθ.
donde r es la distancia del punto genérico (x, y) de la elipse al foco (−c, 0) .
La distancia r del punto genérico P = (x, y) de la elipse al foco F 0 =
(−c, 0) es e multiplicado por la distacia de P a la directriz x = −a2 /c de
la elipse. Teniendo en cuenta que e = c/a , podemos escribir:
r = e(x +
a2
a2
c a2
) = ex + e = ex +
= ex + a.
c
c
a c
y como x = −c + r cos θ , tendremos r = a + e(−c + r cos θ) = p + er cos θ
donde p := a − ec . Por lo tanto (1 − e cos θ)r = p y deducimos que
(II-4)
r=
p
1 − e cos θ
Para acabar de comprobar que esta es la ecuación de la elipse, sólo falta
ver que si r y θ están relacionados por la ecuación de arriba, y (x, y) es
el punto dado por x + c = r cos θ , y = r senθ , entonces (x, y) satisface
x2 /a2 + y 2 /b2 = 1 . Esto lo dejamos como ejercicio para el lector.
Finalmente siguiendo estas técnicas, dejamos al lector la comprobación
de que la ecuación de la hipérbola
y2
x2
−
=1
a2
b2
en coordenadas polares, es también del tipo (II-4) .
8.5. Problemas propuestos
Problema 1.
En el plano afı́n R2 demuéstrese que dada cualquier
elipse, y cualquier circunferencia, existe una afinidad que transforma la elipse
en la circunferencia.
Problema 2. Si e = 0 en la definición de cónica dada al principio de
este capı́tulo, entonces la cónica se reduce al punto F . Demuéstrese que para
e > 0 la cónica tiene infinitos puntos.
Problema 3. Átense los cabos sueltos de la sección dedicada a la
expresión en coordenadas polares de la elipse, parábola e hipérbola.
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Problema 4. Determı́nese la ecuación de la cónica que es tangente al
eje Y en (0, 1), al eje X en (2, 0), y pasa por (2, −1). Estúdiese la cónica
hallada.
Problema 5. Encuéntrese la mı́nima distancia del centro de la cónica
2 + 2 x + x2 − 4 y + 2 y 2 , a ella misma.
Problema 6. Dadas las parábolas de ecuaciones y = x2 − x + 1 ,
y = −x2 + 2x − 1 , compruébese que no se cortan y determı́nese la mı́nima
distancia entre ellas.
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