EL PLANO: TEMARIO

.
Universidad Tecnológica Nacional - Facultad Regional Rosario
Álgebra y Geometría Analítica
EL PLANO
Autores: Lic. Martha Fascella
Ing. Ricardo F. Sagristá
2012
EL PLANO
Contenido
EL PLANO ................................................................................................................................. 3
1.- Definición del plano como lugar geométrico .................................................................... 3
2.- Ecuaciones del plano referidas a un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales .... 3
2.1. Ecuación general del plano. ......................................................................................... 4
2.2. Significado de los coeficientes de la ecuación general del plano ................................ 5
2.3. Casos particulares de la ecuación cartesiana de un plano ........................................... 6
3.- Trazas de un plano: ......................................................................................................... 10
3.1. Intersecciones del plano con los ejes coordenados .................................................... 11
4.- Forma segmentaria de la ecuación del plano: ................................................................. 12
5.- Angulo que forman entre sí dos planos ........................................................................... 14
5.1. Condición de perpendicularidad entre planos ........................................................... 16
5.2. Condición de paralelismo entre planos ...................................................................... 16
5.3. Planos coincidentes: .................................................................................................. 17
6.- Distancia de un punto a un plano: ................................................................................... 18
6.1. Distancia entre dos planos paralelos .......................................................................... 20
7.- Ecuación del plano que contiene a tres puntos dados: .................................................... 21
8.- Intersección de tres planos .............................................................................................. 24
Ejercicios: ................................................................................................................................. 29
Soluciones de los ejercicios ...................................................................................................... 32
Autoevaluación ......................................................................................................................... 35
Soluciones de la autoevaluación: .............................................................................................. 36
2
EL PLANO
EL PLANO
1.- Definición del plano como lugar geométrico
Dados un vector n  0


  P / P1P  n
(1)
es un plano que contiene al punto P 1 y es normal al vector n . Queda entonces
descripto el plano  como conjunto de puntos P del espacio, tales que son
extremos de los vectores P1P normales al vector n dado.
2.- Ecuaciones del plano referidas a un sistema de coordenadas cartesianas
ortogonales
Consideraremos un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales en el
espacio. Sean n un vector de componentes (a,b,c) y P
x1, y1, z1  .
El lugar geométrico (1) se puede expresar así:


  P( x, y, z ) / P1P  n
3
EL PLANO
Ó bien recordando que P1P  n  P1Pxn  0 , o podemos escribir:


  P( x, y, z) / P1Pxn  0
La ecuación:
P1Pxn  0
(2)
que deben satisfacer todos los puntos del plano y sólo ellos, es la ecuación
vectorial del plano  , que contiene al punto P 1 y es normal al vector n .
2.1. Ecuación general del plano.
Sea P (x , y , z) un punto cualquiera del plano. Entonces P1P  ( x  x1, y  y1, z  z1 )
y la ecuación ( 2 ) puede expresarse:
nx P1P  (a, b, c) x( x  x1, y  y1, z  z1 )  0
Recordando que el producto escalar es igual a la suma de los productos de las
componentes homólogas, tenemos:
a( x  x1 )  b( y  y1 )  c( z  z1 )  0 (3)
esta es la ecuación del plano que contiene al punto P1 ( x1, y1, z1 ) y es normal al
vector n .
Operando algebraicamente en la ecuación (3) resulta:
ax + by + cz – (ax 1 + by 1 + cz 1 ) = 0
Si llamamos con d = - ( ax 1 + by 1 + cz 1 ), se obtiene:
ax + by + cz + d = 0
(4)
llamada ecuación general o cartesiana del plano vemos que es una ecuación
lineal en las variables x , y , z.
Esto permite afirmar que:
Cada plano del espacio puede ser representado mediante una ecuación cartesiana
de la forma (4).
4
EL PLANO
La afirmación recíproca también vale:
Cada ecuación lineal del tipo (4), o sea lineal en las variables x, y , z, es la
ecuación de un plano en el espacio.
Ejemplo nº 1:
Encontrar la ecuación del plano que contiene al punto P 1 ( 0 , 2 , 2) y es
perpendicular al vector n = (3 , 4 , 2).
Solución:
Sustituyendo en la ecuación (3)
a = 3 b = 4 c = 2 x1 = 0 y1 = 2 y z1 = 2
obtenemos:
3 (x – 0) + 4 ( y – 2) + 2 (z – 2) = 0 o sea
3x + 4y + 2z - 12 = 0
(*) Observación:
Otra forma de resolver el problema anterior es la siguiente:
Sustituímos en la ecuación (4)
a=3
b = 4 c = 2 obtenemos:
3x + 4y + 2z + d = 0
Como el punto (0 , 2 , 2) pertenece al plano sus coordenadas van a satisfacer la
ecuación anterior,
3.0 +4.2+2.2+d=0

d = -12
resulta entonces que la ecuación del plano buscado es:
3x + 4y + 2z - 12 = 0
2.2. Significado de los coeficientes de la ecuación general del plano
Los coeficientes de las incógnitas, son las componentes de un vector n = (a , b ,c)
que es normal al plano, pues así fue elegido n . En cuanto al coeficiente d (término
independiente), resulta ser, en valor absoluto, proporcional a la distancia del origen
de coordenadas al plano.
En efecto, en el párrafo 6 demostraremos que la distancia  del origen de
coordenadas al plano es:
5
EL PLANO
 
d
(5)
n
d  n
de donde
es decir que efectivamente d
es proporcional a  .Si n  1 , entonces será:
d 
Ejemplo nº 2:
Encontrar la distancia del origen al plano obtenido en el ejemplo 1.
Solución:
En el mencionado ejemplo habíamos obtenido la ecuación:
3x + 4y + 2x - 12 = 0, donde n = (3,4,2 ). Como n  32  42  22  29
será:  
d
n

12
la distancia buscada.
29
Actividad nº 1:
a) Encontrar la ecuación del plano que contiene al punto ( -1 , 3 , 5) y es
perpendicular al vector ( 2 , -1 , 3)
b) Calcular la distancia del origen al plano encontrado en el item a).
2.3. Casos particulares de la ecuación cartesiana de un plano
Sea  un plano de ecuación ax + by + cz + d = 0.
A continuación estudiaremos situaciones particulares en cuanto a la posición de
 , respecto a los ejes y planos coordenados, analizándose los casos en que sean
nulos algunos de los coeficientes de la ecuación y teniendo presente que no cabe
la posibilidad, a = b = c = 0, puesto que n  0 .-
6
EL PLANO
i )d = 0
el punto (0 , 0 , 0) satisface la ecuación del plano ax +by +cz = 0
O sea que  contiene al origen de coordenadas.
Recíprocamente si el origen de coordenadas pertenece al plano, entonces el
término independiente d , de la ecuación general es nulo. En efecto, sea la
ecuación ax + by + cz = d , si el punto (0 , 0 , 0) pertenece al plano, sus
coordenadas verifican la ecuación, esto es:
a.0+b.0+c.0 = d

d=0
Resumiendo entonces:
Un plano  tendrá por ecuación ax + by + cz = 0  el origen de coordenadas
pertenece a dicho plano.
ii) a = 0 ; b  0 ; c  0 ; d  0.
el vector normal n = (0 , b , c) es perpendicular al eje X, pues n  i , al ser
nxi  (0, b, c) x(1,0,0)  0 por lo tanto n es paralelo al plano coordenado YZ
Esto implica que:
Un plano de ecuación: by + cz + d = 0 , v x
es perpendicular al plano coordenado YZ (paralelo al eje X) y recibe el nombre
de plano proyectante sobre el YZ.
Si ocurre además que d = 0
Tenemos que la ecuación resulta:
7
EL PLANO
by + cz = 0 , v
x
En este caso el plano proyectante sobre el plano coordenado YZ contiene al
origen de coordenadas y por lo tanto (recordemos que era paralelo al eje x)
contiene al eje X.
Actividad nº 2:
En forma análoga analizar los siguientes casos
 b = 0 ; a 0 ; c 0 ; d 0
 b=0 y d=0 ; a  0 ; c  0
 c=0 , a  0 ; b  0 ;d  0
 c=0 y d= 0 , a  0 ;b  0
Escribir en cada uno de ellos las ecuaciones de los planos proyectantes
obtenidos, indicando sus respectivas posiciones.
iii) a = b = 0 ; c  0 ; d  0
8
EL PLANO
el vector normal n = (0 , 0 , c) es paralelo al eje Z, pues n  ck  c(0,0,1) ,por
lo que:
Un plano  de ecuación :
cz + d = 0 , v x ; v y ó bien z  
d
;vx; v y
c
resulta ser perpendicular al eje Z ó lo que es lo mismo paralelo al plano
coordenado XY.
Si además es d = 0 , la ecuación del plano  es:
z=0;vx v y
La cual caracteriza al plano coordenado XY como es fácil deducir.
Actividad nº 3:
En forma análoga analizar los siguientes casos:
 a=c=0 ; b  0
 a=c=d=0 ; b  0
 b=c=0 ; a  0
 b=c=d=0 ;a  0
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EL PLANO
Escribir en cada uno de ellos, las ecuaciones de los planos obtenidos, indicando
sus respectivas posiciones.
3.- Trazas de un plano:
Llamamos trazas de un plano  de ecuación ax + by +cz + d = 0 a las rectas de
intersección de él con cada uno de los planos coordenados.
La traza t 1 se obtiene como intersección del plano  con el plano coordenado
XY y se indica
t1 )
ax + by + cz + d = 0
z = 0; v x , v y
ó en forma equivalente
t1 )
ax + by + d = 0
z = 0;vx, vy
ecuaciones de la traza t 1
Observación: En el espacio las rectas se indican por intersección de dos planos.
Actividad nº 4:
Expresar las ecuaciones de las trazas t 2
y t3
10
EL PLANO
3.1. Intersecciones del plano con los ejes coordenados
Para representar un plano conviene determinar los puntos K, H y L que son los
puntos de intersección del mismo con los ejes coordenados.
El punto K tendrá coordenadas (k,0,0). El valor de k se obtiene reemplazando las
coordenadas del punto K, en la ecuación del plano es decir:
ak + b0 + c0 + d = 0
k= 
de donde
d
; a 0
a
En forma análoga se obtienen:
H (0,h,0) en donde
h=-
d
; b 0
b
L (0,0,l) en donde
l= 
d
; c 0
c
Ejemplo nº 3:
Representar el plano 3x + 2y + z - 6 = 0
Solución :
Los puntos de intersección con los ejes son:
Con el eje X
Con el eje Y
Con el eje Z
K(2,0,0)
H(0,3,0)
L(0,0,6)
Uniendo esos puntos se determinan las trazas.
11
EL PLANO
4.- Forma segmentaria de la ecuación del plano:
Sea  un plano de ecuación ax + by + cz + d = 0 con d ≠ 0. Dividiendo
ambos miembros por –d resulta
a
b
c
x
y
z 1
d
d
d
Teniendo en cuenta los valores de k, h y l obtenidos en el párrafo anterior
resulta:
x y z
  1
k h l
(6)
Llamada forma segmentaria de la ecuación del plano.
Ejemplo nº 4
Representar el plano de ecuación
6x + 4y - 3z - 12 = 0
,
o sea:
x y
z
 
1
2 3 4
12
EL PLANO
Solución:
Ejemplo nº 5
Representar el plano de ecuación:
2x + 3y - 6 = 0 ; v z
,
es decir
x y
  1; v z
3 2
Solución:
Recordemos que se trata de un plano proyectante sobre el XY, o sea
perpendicular al plano XY.
13
EL PLANO
Actividad nº 5:
a) Escribir las ecuaciones de las trazas del ejemplo nº 5.
b) Representar el plano obtenido en el ejemplo nº 1.
5.- Angulo que forman entre sí dos planos
Sean
1)
2)
a1x  b1 y  c1z  d1  0
a2 x  b2 y  c2 z  d2  0 , dos planos que se intersecan.
De la geometría elemental, sabemos que se llama ángulo entre los mismos, al
ángulo de la sección normal del diedro determinado por ambos planos. Dicha
sección normal se la obtiene interceptando ambos planos con otro  normal a
ellos.
Llamamos con r1 y r2 a las intersecciones de  con  1 y  2 respectivamente.
Las rectas r1 y r2 determinan los ángulos 1 y  2 . Estos ángulos son los que
forman entre sí  1 y  2 y son suplementarios, por lo tanto 1 +  2 = 180º
Consideremos la situación sobre el plano  y llamemos con α al ángulo que
determinan n1 y n2 ( los vectores normales a  1 y  2 respectivamente).
14
EL PLANO
Puede verificarse sin dificultad que dicho ángulo α es igual a uno de los ángulos
que forman entre sí los planos.
En efecto, observando la figura y recordando que la suma de los ángulos
interiores de un cuadrilátero es 360º. Tenemos.
 + 1 + 90º + 90º = 360º es decir
 + 1 = 180º , pero como
será
1 +  2 = 180º ,
α = 2
Si uno de los vectores normales estuviera orientado en distinto sentido que el
indicado en el dibujo, resultaría α = 1 como es fácil comprobar.
Resumiendo entonces, el ángulo formado por los planos  1 y  2 viene dado el
ángulo α de sus vectores normales.
Recordando que el ángulo α puede calcularse con:
cos  
n1 x n2

n1 n2
a1a2  b1b2  c1c2
a  b12  c12 a22  b22  c22
2
1
15
EL PLANO
5.1. Condición de perpendicularidad entre planos
Al ser perpendiculares ambos planos  1 y 2 , será 1   2 

2
por lo tanto  

2
lo que implica cos α = 0, y de la expresión anterior se tiene:
n1 xn2  0 ó bien
a1 a 2 + b1 b 2 + c1 c 2 = 0
(7)
Siendo esta la condición de perpendicularidad entre los planos  1 y  2 .
Ejemplo nº 6
Dados los planos de ecuaciones
2x + 3y - z = -2
-x + 2y + k z = 1
Calcular k de modo que resulten perpendiculares
Solución:
Aplicamos la condición (7)
2 (-1) + 3 . 2 - k = 0 de donde k = 4
5.2. Condición de paralelismo entre planos
Si lo planos:
1 ) a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0
 2 ) a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0 son paralelos, sus vectores normales
= ( a1 , b1 , c1 )
n1
n
2
= (a 2 , b 2 , c 2 ) serán paralelos
Recordando que los vectores n1 y n2 ,son paralelos, sí y solo sí existe un número
real k  0, tal que n2 = k n1 , o sea:
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EL PLANO
a 2 = ka 1
;
b 2 = kb 1
;
c 2 = kc 1
En el caso en que los coeficientes a 1 ,b 1 y c 1 son no nulos, estas condiciones son
equivalentes a:
a2 b2 c2


a1 b1 c1
(8)
Las expresiones recuadradas son las condiciones de paralelismo buscadas.
5.3. Planos coincidentes:
Si para los planos  1 y  2 del párrafo 5.2. se cumple que:
a1 b1 c1 d1



a2 b2 c2 d 2
Los planos son coincidentes.
Esto es, ambas ecuaciones representan el mismo plano, pues toda solución de la
primer ecuación es también solución de la segunda y recíprocamente.
Ejemplo nº 7:
Encontrar la ecuación del plano  que contiene al punto ( 1 , -2 , 0 ) y es
paralelo al plano 3x – y + 2z – 4 = 0
Solución:
El plano buscado tiene un vector normal n paralelo al vector ( 3 , -1 , 2 ). En
particular su ecuación será 3x – y + 2z + d = 0 Debemos determinar el valor de
d de modo que el punto ( 1 , -2 , 0 ) pertenezca al plano  . Resulta entonces

3 . 1 – (-2) + d = 0
d = -5
Por lo tanto la ecuación de  será:
3x – y + 2z –5 = 0
17
EL PLANO
Actividad nº 6:
i)
Determinar para qué valores de α y β, si existen, los siguientes planos
son paralelos.
 1 ) 2x + α y + 3z –5 = 0
 2 ) β x + 6y – 6z + 2 = 0
ii)
Determinar para qué valor de k los siguientes planos son
perpendiculares
 1 ) 3x – y + 2z – 4 = 0
 2 ) x + ky – 2z + 3 = 0
6.- Distancia de un punto a un plano:
Dados un punto P 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) y un plano  por su ecuación
 ) ax + by + cz + d = 0
Se desea deducir una fórmula sencilla que proporcione la distancia entre P 1 y 
en términos de los coeficientes a , b , c y d y las coordenadas de P 1 .
Recordemos que la distancia del punto P 1 al plano  , es la longitud  ; del
segmento determinado por P 1 y el pie de la perpendicular trazada desde el punto
al plano.
Evidentemente si P 1   es   0
P1


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EL PLANO
Observando la figura se deduce que si P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) es un punto arbitrario
del plano  , la distancia δ entre P 1 y el plano  resulta igual al módulo de la
proyección de P0 P1 sobre n , es decir
δ = Pr oyn P0 P1  P0 P1xn0 

P0 P1 xn
n

a( x1  x0 )  b( y1  y0 )  c( z1  z0 )
( x1  x0 , y1  y0 , z1  z0 ) x(a, b, c, )
n

=
n

ax1  by1  cz1  (ax0  by0  cz0 )
n
Como P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) es un punto perteneciente al plano  sus coordenadas
satisfacen su ecuación, por lo que se verifica
19
EL PLANO
ax 0 + by 0 + cz 0 = -d
reemplazando esta expresión en la ecuación anterior, resulta finalmente
δ =
ax1  by1  cz1  d

ax1  by1  cz1  d
n
(9)
a 2  b2  c 2
Si se desea obtener la distancia del origen de coordenadas al plano  ,entonces P 1
 0 por lo que:
x 1 = 0 ; y 1 = 0 ; z 1 = 0 ; quedando
δ=
d
a 2  b2  c 2

d
a 2  b2  c2

d
n
que coincide con el valor anticipado en (5) en el párrafo 2.2.
Ejemplo nº 8:
Dado el plano  ) 2x - y + z = 3, hallar la distancia del punto P 1 (-1 , 2 , 3) al
mismo.
Solución:
n = (2,-1,1) ; n =
 =
4 11 =
6
2
(1)
1
3
4
4
(1) 
2
3


6
6
6
6
6
6
6.1. Distancia entre dos planos paralelos
Con el resultado obtenido en el punto anterior queda resuelto el problema de
hallar la distancia entre dos planos paralelos. Bastará calcular la distancia de un
punto, perteneciente a uno de ellos, al otro plano.
Ejemplo nº 9:
Sean dos planos
 1 ) 2x - y + 3z = -1
20
EL PLANO
2
) 4x - 2y + 6z = 5 Si son paralelos, calcular la distancia 
entre ellos.
Solución:
Se verifica que  1 //  2 pues
2 1 3


4 2 6
Consideremos ahora un punto arbitrario de  1 , para ello, fijamos arbitrariamente
dos coordenadas y calculamos la tercera de modo que satisfaga la ecuación de  1
: P 1 ( 0 , 0 , z 1 ). Reemplazando en la ecuación de  1 resulta 3z 1 = -1 de
1
3
donde z 1 =  .
Calculamos ahora la distancia de P 1 ( 0 , 0 , - ⅓ ) al plano  2 y obtenemos:
 
25
16  4  36

7
2 14
Actividad nº 7:
 Determinar la distancia del punto P 1 ( -1 , 2 , 3) al plano
 ) x – y + 3z + 2 = 0
 Encontrar la distancia entre los planos paralelos
 1 ) x – 2y + 3z – 2 = 0
 2 ) –2x + 4y – 6z – 1 = 0
7.- Ecuación del plano que contiene a tres puntos dados:
Sean P 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) , P 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) y P 3 ( x 3 , y 3 , z 3 ) tres puntos no
alineados. Se quiere encontrar la ecuación del plano  que los contiene. La
misma será de la forma:
 ) ax + by + cz + d = 0
Necesitamos determinar un vector normal al plano: n = ( a , b , c ). Por ello
pensemos que n será perpendicular a todo vector contenido en el plano, en
particular será por ejemplo, n  P1P2 y n  P1P3 .
21
EL PLANO
El problema planteado, puede resolverse con el auxilio del producto escalar
entre vectores.
Teniendo en cuenta las dos condiciones anteriores se puede plantear:
n x P1P2 = 0
n x P1P3 = 0 ; es decir:
(10)
a ( x 2 - x1 ) + b ( y 2 - y1 ) + c ( z 2 - z1 ) = 0
a ( x 3 - x1 ) + b ( y 3 - y1 ) + c ( z 3 - z1 ) = 0
sistema en donde las incógnitas son a , b y c
Dando un valor cualquiera a una de ellas, no nulo, se obtienen las otras dos.
El cálculo de d, es fácil pues conocemos tres puntos que pertenecen al plano.
Ejemplo nº 10:
Determinar la ecuación del plano que contiene a los puntos.
P 1 ( 2 , -2 , 1 ) ; P 2 (-1 , 3 , 2 ) ; P 3 (3 , 1 , -1)
Solución:
La ecuación será del tipo ax + by + cz + d = 0
Las componentes de P1P2 y P1P3 son:
P1P2 = (-3,5,1) ; P1P3 = (1,3,-2)
22
EL PLANO
Se obtiene el siguiente sistema reemplazando en (10).
-3a + 5b + c = 0
a + 3b - 2c = 0
Dando un valora c ( no nulo), por ejemplo c = 1, tenemos:
-3a + 5b = -1
a + 3b = 2
Resolviendo el sistema resulta:
a=
13
14
;
b=
5
14
13 5
Luego un vector normal a nuestro plano es , n =  , ,1
 14 14 
o cualquier otro
paralelo a él. Elegimos:
n = ( 13 , 5 , 14)
El plano buscado entonces es:
13 x + 5 y + 14 z + d = 0
Para calcular d, como P 1 (2 , -2 , 1), pertenece al plano sus coordenadas deben
satisfacer su ecuación. Luego debe ser
13 . 2 + 5 (-2) + 14 . 1 + d = 0

d = -30
y obtenemos la ecuación buscada
13 x + 5y + 14 z – 30 = 0
Actividad nº 8:
Determinar la ecuación del plano  que contiene a los puntos
P 1 ( 2 , -1 , 2)
P 2 (0 , -1 , 2)
P 3 (1 , 0 , 3)
23
EL PLANO
8.- Intersección de tres planos
Dados los planos de ecuaciones:
1 ) a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0
2 ) a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0
3 ) a 3 x + b 3 y + c 3 z + d3 = 0
Encontrar la intersección de los mismos es, encontrar ( si existe ), el conjunto de
valores ( x, y, z ) que satisfacen simultáneamente las tres ecuaciones del
siguiente sistema:
a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0
a2 x + b2 y + c2 z + d2 = 0
(11)
a3 x + b3 y + c3 z + d3 = 0
Si el sistema (11) tiene al menos una solución se dice compatible y si no tiene
ninguna se dice incompatible.
Si el sistema (11) es compatible pueden presentarse dos casos:
I) El sistema tiene solución única vale decir que los tres planos tiene un único
punto de intersección.
P 0 es el punto de intersección de 1, 2 y 3 .
24
EL PLANO
Actividad nº 9:
Verificar que el punto de intersección de los siguientes planos es P 0 (-1,1,-1 ).
1 ) x + y – z – 1 = 0
+2=0
2) x – y
y+z
=0
3 )
Ejemplo Nº11:
Hallar, si existe, el punto de intersección de los planos de ecuaciones:
7x - y + z = 3
y+z=0
z=5
Solución:
De la última ecuación del sistema, se tiene z = 5. Reemplazamos en la segunda
ecuación, obtenemos y = -5. Reemplazamos finalmente esos valores de y, z , en
la primer ecuación, tenemos 7x – (-5) + 5 = 3, es decir x =-1. Luego el punto de
intersección de los tres planos dados es el punto P 0 ( -1,-5, 5 ).
En la Actividad Nº 9, el sistema planteado no está en la forma simple ( forma
triángular ) que tiene el sistema del ejemplo Nº11. En la unidad correspondiente
a Sistemas de Ecuaciones Lineales, veremos como se transforma un sistema en
otro equivalente ( con las mismas soluciones ) de forma triangular.
II) El sistema tiene infinitas soluciones
a) La intersección de los tres planos es una recta.
25
EL PLANO
b)
Similar al caso anterior pero en este hay dos planos coincidentes, que podemos
individualizar en el sistema, recordando la condición de coincidencias entre los
planos  1 y  2 .
c) La intersección de los tres planos es un plano
1   2   3
Esto ocurre si los tres planos son coincidentes, situación que también podemos
detectar directamente en el sistema, recordando la condición de coincidencias
entre planos.
Si el sistema (11) es incompatible pueden presentarse los siguientes casos:
26
EL PLANO
a) Los tres planos son paralelos:
1
2
3
b) Dos planos coincidentes y el tercero paralelo a ambos:
1   2
3
c) Los planos se intersecan dos a dos
27
EL PLANO
d) Dos planos son paralelos y el tercero los intercepta a ambos:
Los casos a), b), d) se individualizan observando los coeficientes de las
incógnitas, en las ecuaciones del sistema y teniendo en cuenta la condición de
paralelismo entre planos.
Las soluciones analíticas de todos estos casos se formalizarán al estudiar la
Unidad correspondiente a Sistemas de Ecuaciones Lineales.
28
EL PLANO
EL PLANO
Ejercicios:
1.- Decir si los siguientes puntos: A (2 , 1 , 0 ) ; B (2 , -1 , 0 ) ; C (1 , 5 , 1),
pertenecen o no al plano de ecuación.
2x – y + 3z = 0. Explicar el resultado.
2.- Escribir la ecuación del plano que contiene al punto P (2 , -1 , 4) y es normal
al vector n = (-1 , 3 , 2).
3.a) Dado el plano de ecuación –x + 2y + 3z = 6, hallar sus intersecciones con los
ejes coordenados. Escribir su ecuación en forma segmentaria. Explicar por que
en este caso existe dicha forma segmentaria.
b)Repetir, si es posible, el ejercicio para el plano de ecuación 2x + 3y – z = 0
4.- Dado el plano del ejercicio 2 calcular la distancia del origen de coordenadas
al mismo.
5.- Dados los siguientes planos por sus ecuaciones, representar gráficamente
indicando previamente si ocupan alguna posición particular con respecto al
sistema de coordenadas.
a)
x y z
  1
2 3 1
; b) 2x + 3z = 1 y
,
c) x = 2y z ;
d) y = 0 y z
6.- Dados los siguientes pares de planos, decir si son mutuamente paralelos o
perpendiculares. En caso de que no lo sean, calcular el ángulo que forman entre
si.
a)
c)
-x+y+z=0
-3x + 3y + 3z = 4
b)
x+y+z=1
-x + y + z = -2
d)
2x + 3y – z = 3
x–y–z=0
y+z=2
-x + z = 1
29
EL PLANO
7.- Dado el plano de ecuación x – y + z = 2, hallar:
a) la distancia del punto P 1 (2 , -1 , 3) al mismo.
b) la distancia al siguiente plano paralelo al dado,
2x – 2y + 2z = 1.
c) la ecuación de un plano perpendicular a él que contenga al punto
A(1 , 2 , -2) ¿hay única solución?
8.- Hallar la ecuación del plano que contiene a los puntos A (1 , -2 , 2) ;
B (-3 , 1 , -2) y que sea perpendicular al plano de ecuación 2x + y – z + 6 = 0.
9.- Hallar la ecuación del plano que contiene a los tres puntos siguientes:
P 1 (2 , -1 , 1) ; P 2 (4 , 1 , 5)
;
P 3 ( 1 , -2 , 3)
10.-Hallar el punto de intersección, si es posible, de las siguientes ternas de
planos:
a) 2x - 3y - 6z = 4 ; y +2z = -1 ; 2z = 4
b) x + y - z = 0 ; 2x + 2 y -2z = 3 ; x +y = 5
c) x + y – z = 2 ; 2x +2y - 2z = 4 ; 4x + 4y - 4z = 8
Si no existe un único punto de intersección, explicar por qué.
11.-Hallar la ecuación del plano que es perpendicular a cada uno de los planos:
7x – 3y + z – 5 = 0 ; 4x – y – z + 9 = 0, y que contiene además al punto A
(3 , -2 , -4).
12.- Hallar la ecuación de un plano sabiendo que el pié de la normal trazada
desde el origen al mismo, es el punto: P 1 (2 , 3 , 1)
13.- Escribir la ecuación de un plano paralelo al eje Y que además contiene a los
puntos:
P 1 (1 , 2 , -3)
; P 2 (-2 , 1 , 4)
14.- Escribir la ecuación del plano que contenga el eje X y al punto
A(4 , -3 , -1).
30
EL PLANO
15.- Escribir la ecuación del plano paralelo al plano coordenado xz y que
contiene además al punto: P 1 (3 , -2 , 1)
16.- Dados los puntos P 1 (2 , -1 , 3) ; P 2 (1 , 4 , 2) hallar el plano que contiene
al punto medio de P1 P2 y que sea normal a esa dirección.
17.- Dado el plano de la ecuación 5x – y + z = -3 y el punto A (-2 , 5 , 1)
obtener la ecuación del plano que contiene al punto A y sea paralelo al dado.
31
EL PLANO
Soluciones de los ejercicios
1) A y B no, C si pues sus coordenadas satisfacen la ecuación del plano.
2) -x + 3y + 2z – 3 = 0
3) Intersecciones con los ejes K (-6 , 0 ,0 ) H ( 0 , 3 , 0) L (0 , 0 ,2)
a) Ecuación segmentaria
x
y z
  1
6 3 2
se puede escribir de esta forma
pues d ≠ 0
b) El plano contiene al origen ( d = 0 ). No existe la ecuación segmentaria.
4) δ =
3
14
5)
Plano proyectante sobre el
XZ.
32
EL PLANO
d) Plano XZ
Plano proyectante sobre el XY,
Que contiene al eje Z
33
EL PLANO
6) a) paralelos
b) perpendiculares
1
3
1
d) cos φ =
2
c) cos φ =
;   7003114311
;   600
4
4

3
3 3
7) a) δ =
3
3

2
12
b) δ =
c) x – z – 3 = 0
no hay única solución
8) x – 12 y – 10z – 5 = 0
9) x – y – 3 = 0
1
2
10) a) P0 ( ,5,2) ; b) el sistema es incompatible ( dos planos paralelos y al tercero
los intercepta); c) Sistema compatible con infinitas soluciones ( los tres planos
son coincidentes ).
11) 4x + 11y + 5z + 30 = 0
12) 2x + 3y + z – 14 = 0
13) 7x + 3z + 2 = 0 ; v y
14) y – 3z = 0 ;
v x
15) y = -2 ; v x ; v z
16) 2x – 10y + 2z + 7 = 0
17) 5x – y + z + 14 = 0
34
EL PLANO
Autoevaluación
1) a) Encontrar la ecuación del plano que contiene al punto (3 , 2 , 2) y su
vector normal es n = (2 , 3 , -1)
b) Calcular la distancia del origen al plano obtenido en a).
2) Dibujar los siguientes planos
a) 2x + 3y – 12 = 0 ; v z
b) 3x + 4y + 2z – 12 = 0
c) 2x + 3z – 6 = 0 ; v y
3) Analizar si los siguientes pares de planos son paralelos o perpendiculares:
a)  1 ) 2x – 6y + 3z – 2 = 0
b)  1 ) 5x + 3y – 2z + 1 = 0
 2 ) –4x + 12y – 6z + 5 = 0
 2 ) –x + 3y + 2z = 0
4) Determinar el valor de α para que el plano x + α y – 2z – 9 = 0
a) contenga al punto P 0 (3 , 1 , -2)
b) sea perpendicular al plano
3x + y + 4z + 1 = 0
5) Calcular la distancia del punto A (1 , 0 , 3) al plano de ecuación
2x + 4y – 3z + 9 = 0
6) Calcular la distancia entre los planos paralelos
3x + 6y – 3z – 4 = 0
-x + 2y + z – 1 = 0
7) Encontrar la ecuación del plano que contiene a:
P 1 ( 1 , 1 , 0) P 2 (0 , -1 , 1) P 3 (2 , 1 , -3)
8) Determinar, si existe, el punto P 0 de intersección de las siguientes ternas
de planos
a) 2x – y + 2z = 2 ; 2y – z = 4 ; 3z = -12
b) 4x + 4y + 4z = 0 ; 4x + 4y + 4z = -2 ; 8x + 8y +8z = -4
35
EL PLANO
Soluciones de la autoevaluación:
1) a) 2x + 3y – z = 10
b)
10
14
3) a) paralelos
b) perpendiculares
4) a) α = 2
b) α = 5
5) δ =
6)
2
29
7 6
=
18
7
54
7) 3x –y + z – 2 = 0
8) a) P 0 ( 5,0,-4 )
b) Incompatible. Los dos primeros planos son paralelos y el segundo y el
tercero son coincidentes.
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