un planteamiento alternativo

ESTADISTICA ESPAÑOLA
Núm. 97, 1982, págs. 9T a 118
La estacional idad y el an á li si s econom étrico : un
planteamiento alternativo
por DULCE CONTRERp^S BAYARRI
Universidad Literaria de Valencia
RESUMEN
Este artículo estudia el tratamiento de la estacionalidad, relacionado con
su aplicación al campo econométrico. EI an^ilisis efectuado sobre el tema
conduce a la conclusión de que, a menudo, el enfoque que se le da al
prablema es inadecuado.
Pur ello, se hace una revisión crítica de lus prucedimientos más usuales,
utilizados para eliminar la estacionalidad en Ic^s mudelus ec^nc^métric^s.
Planteándose asimismo métcxios alternativus para resulver dichu prublema,
que proporcionan una solución para el análisis de la estaciunalidad en la
regresión .
Pclluhrus c^^u^^Y: Estacionalidad, desestacionaiización, regresión, varidbles
fic t i^ ias.
1.
INTRUDUCCION
La mayor parte de las series temporales económicas presentan tluctuac.iones más o
menos regulares; y así, cuando se trab^ja con datos mensuales o trimestrales, surge el
problema de la «variación estacional». ^Y qué es la variación estacional? Wallis (1924)
nus da una buena definición de la misma: «Pc^r variación estacic^nal entendemc^s aque-
^^ ^+
^ STADISTIC,+^ ESF'AÑ(}t_A
ftu^ mc^^^imientc^s intraanuale^ ^istem^^ticu^, ^aunyue nc^ necesariarr^ente regulares, yue se
cian t^n Ir^^ ^trie4 tempe^rale^, cau^acie^^ ^^ menudu pefr ttndmenc^^; nc^ ecc^ncírnicus, tales
cc^mc^ c^mbiu^ clim^^ticos c^ festividade^ religic^sas».
Subyacente al estudic^ de la estacianalidad se encuentra el estudio de la descampowici^^n cldsica de la^ series tempurales, hien cun cumpunentes aditivus, u multiplicativ^a^, que implican que Id serie e^tá t^rmada pur und cumpunente de tendencia-ciclo, una
componente estaciunal y una companente residual.
H^titas tluctuacic^ne^; e^taciunales que presentan las serie^ tempurales, cuando su
pericadicidad es interic^r al añc^, crean prablemas en su tratamiento y surge la necesidad
de la desetitacionalización de lu:^ datc^s. ^std neeesidad puede decirse que ^urge en tres
^untextc^s:
i)
ii )
iii)
E n los e^tudio^, histúricos sohre el ciclu ecunómico.
^n la necesidad de cdptar las condicic^ne^ ecunómicas reales.
N^n la e^timación de lu^; parametrus e^tructurale^ en la^ relacic^nes entre series
tempurales.
E n un ^entidc^ amplic^, el objeto de la desestacionalilación se ha estud iado dentro
del cr^ntextu del análi^i^ de ^erie^ tempc^rales; d efectus de puder distinguir y aislar Ic^s
cc^mpunentes de 1a ^erie tempural. Perc^ hay utru a^pectc^ en su estudiu, yue es el que
vamv^ a tratar en este trahaju, y yue se refiere a! pruhlema que se presenta en la
modelización ecunométrica, cudndc^ se trabaja con datos mensuales y trimestrales.
?.
PLANTN AM IF NTO C^t^NF RAL DE LA DE:SH STACIE)NAC,t7._AC'lON
C'uandu se trata el prublema de la dese^taciundlización en el estudio de las ^eries
tempc^rales, es evidente la utilidad que tiene este tratamientu; según Shiskin ( t^SK) «lu^
datu^ deSestaClundll7ddc^^, nc^ ^ulamente evitan algunu^; de 1(^s sesgos a las que están
sujetas I^^s comparaciunes entre las mismas muestras de distint^^s años, ^inu que generalmente revelan Ic^s cambic^s cíclicus cun vdrius períudos de anticipacicín. En esta
misma línea se encuentra Ddly (1 ^3GU) cuando dice que «en una serie desestacional izada
se puede deteetar muc hu más t;^c ilmente ia exi^tencia de «turning-pc^ints» .
E^:n general, esta upinic^n e^ ^ cumpartid^^ pur Ic^s autui^es yue tratan este tema, y se
puede deducir, p(^r tantc^, una unanimidud de criteriu, ante I^i ventaja de desestaciunalirar lus datc^s de series tempurales de periudic:idad inferiur al añc^, pero surge una
diticultad, y es precisamente la tialta de un criterio preciso que permita decidir en cada
casu cuncretu cuál es el mejor métudo de desestacionalización a aplicar d unos datos
dados.
l_A ESTACIUNAL(DAD Y EL ANAUSIS ECONOMETRICO: UN pLANTEAMIENTU ALTh.RNATIVD
99
Lus distintus autures que estudian el tema nus dan criterius a cumplir por lus
métudus de desestacionalización, exigiéndc^les determinadas prupiedades, que caso de
cumplirlas permiten considerartos como métodos con «buen comportarniento», entenciiendu por buen comportamiento el hecho de que en la serie desestacionalizada, no
aparelca ninguna estacionalidad, y que canserve las caracter^sticas de la serie.
Shiskin (195H) expresa que para que un rnétodo de desestacionalizacián pueda
cunsiderarse comu un m^todo con «buen comportamiento^ debe cumplir los siguientes
criterios:
1.
Debe eliminar cuatquier esquema iniraanual que sea repetitivo.
2. Debe medir las tluctuaciunes sistemáticas superiures al año cc^n factures de
tendencia-ciclu, y las tluctuaciones en los residuos superiores al año deben cornportarse comu los cambius de una serie aleatoria.
3.
Los muvimientos ciclicos subyacentes no deben ser dist^rsionados.
^1 planteamiento de Nerlove (19b4), desde un ángulu dif'erente, se basa en ana.lizar
lus etectus de varios prucedimientos de desestacionalización; y estabiece una comparación entre el espectru esiimada de la serie original y el de la desestacianalizada,
examinando además el especiro cruzado de las dvs series, sobre tadu la «cuherencia» y
el cambio de fase en varias frecuencias, y en base a ellas plantea los siguientes
criterius:
1. La coherenc ia de la serie original debe ser mayor en todas las frec uencias,
exceptu quizá en las estacionales.
2. Deben minim izarse los cambios de fase ( aunque éstus en general son imposibles
de evitar), subre tudu en las #recuencias bajas.
3.
F^inalmente, el ajuste estacional debe eliminar los picos en la serie original que
aparecen tipicamente en las denominadas frecuencias estacionales. Pero, en particular, el
proceso de desestacionalización no debe eliminar en exceso la potencia del espectro.
Para Lovell ( 1963), un método de desestacionalización debe cumplir una serie de
propiedades, tales como:
l,
SUMA
Un métuda de desestacianalización cumple esta prapiedad, si sumando dus series
desestacionalizadas se ubtiene el mismo resultado que desestaciondlizando la serie
suma:
ESTADISTIC^ ESpAT^IOLA
Xt, Y^ = ^erie^ tempUrale^ ^in desestacionalizar
Xa, Y,° = serie^ ternpc^r•dle^ detie^tacit^nalizada^
X; + Y^ -= { }^^ + y^ t^
2.
PR()©U^T()
F sta prupiedad ^e c um ple si
^ ^Xt . Y^ }a
3.
ID^MI'UTNNT^
l^n métudc^ de desesiacionalización es idernputente si
(X,°)^ = X° ^,
Ic^ que impli^:a esta prvpiedad es que un métodc^ debe eliminar toda la estaciunalidad de
la serie.
4.
(JRTt)G(..)NAL[DAD
^:^ta prupiedad implica que ^^{Xr - X°.fX; = ^, y si nc^ se cumple, quiere decir que
dlguna eytaciunalidad permanece en lus datus.
5.
SlM^TRtA
Su cumplimientu implicd que
t X, / ^ X, , = ^ ,X; , / i X,
Dentro, pues, del contexto del estudio de las series temporales, el problema se
centra en Id elección del métodu de de^estaciunalilación m^is adecuadu; peru cuandu tie
trahaj^i cun mucielo^; ecc^nt^rnétricu^ s^^rge utru pl^inte^imientu distinto del prublema. ya
que el usc^ de datus de^estaciunalizadus, afecta a la^ estima^:iunes de lus parámetros
obtenidas en el análisis de la regresión, Fn general, el que un determinado pr^cedimientu de ajuste mejure las propiedades de lus estimad^res de lus parámetros depende
de la naturalera de Ic^^ mc^delc^s a estimar y del métudc^ de estimaeión.
LA ESTACIUNAL.IDAD Y EL ANALISIS ECONOMETRtCU: t1N PLANTEAMIENTO ALTERNAT[Vt)
IU1
Y es precisamente el prublema que se plantea en lv^; mudelos econvmétricos,
cuandu se trdbajd cun datus estaciundle^, el que t ^ rma el euerpu t^undamental del
presente trabajo.
3.
MODELOS ECONOMETRfCOS Y DESE^STACIC)NALIlAC.'[(JN DE ^.US
DAT^3S
Cuandu se aplica el análisis de regresión a series temp^rales mensuales c^ trimestra-
les, surge el problema de elirninar la variación estaciunal. Peru es precisc^ tener en
cuenta, que el usu de datos de^estaciondlizados, afecta a lus estimadures de lus parúmetrus.
En este sentidu, Wallis (1y71) realiza un estudiu sobre lus distintus prublemds que
puede produ ^ ir el tratamiento de la estaciunalidad en lus mudel^^s ecunumétricus, y
cumpara lus resultadus ubtenidus al aplicar datos desestaciunalizadus al mudelu de
regresión, con los que se ubtienen al desestaciunalizar lus datus de regresión, e igualmente estudia los efectus yue se pruducen, cuandu estando la estaciunalidad presente
en lus datos del mcxielu, ^sta :^e ignura.
E1 caminu habitua[ que se sigue cuando se trabaja c^^n datus estacionales tiene dos
upciunes:
i)
ii )
Trabajar cun lus datus desestac iunalizados.
O utilizar datus sin desestacionalizar y aplicar variables ficticiati para su tratamiento.
Pero estcas dus caminus no son demasiadu aprupiados, y generalmente tudc^s lus
planteamientos que se establecen para el tratamiento de la estaciunalidad en Ic^s rnodelos de regresión, descansan en hipótesis paco verosímiles y, por tantu, dificiles de
cumplirse en la realidad.
Establecemus un breve esquema, subre las técnicas de desestacionalización propuestas, a efectu5 de puder captar los problemas que plantean, y en últimu puntu, sugerir
qué caminu cunsiderarnus más adecuadu para el tratamiento de la estaciunalidad en los
mudelus de regresión: entre i as técnicas prupuestas destacan la^ expresadas pur L^^vell
(1963), Jurgensun ( 1964), Shi^;kin (1y67), Sims (1974), Thomas y VWallis (1971), Grether y
Nervule (1970).
Lc^^^^ll ( 1963) trata el tema de la desestaciunalización partiendo de cincu propiedades lógicas (enumeradas en el puntu anteriur), estableciendu cuáles sun más desea-
ESTADiST1CA ESPATVOI_A
ble^^ a tenor de !a utilizacirin yue se haga de 1os datc^s desestacic^naiizados; así. pc^r
ejemplo, cunsidera que la urtogonalidad es una pr^piedad deseable, siempre y cuandc^
se utili^e en l04 mudelus de regresión, pera nc^ cuando se aplican los métodos de
de^^estac.•iunalización ', basadeas en el análisis ^naif» de series tempurales y lo mismu
^ucede cc^^n #a simetría.
Ta^rt^bién demuestr`<d l.Qvel1 (1463) que la regresión can variables ficticias sobre los
datos desestacionalizadas es equivalente a la utiliZación de una técnica estándar de
desestacic^nalización.
Así, baju la hipótesis de un esquema de estacionalidad que se
mantenga invariable en el tiempu (estable), es deeir, que no cambie de un año para
c^tro. el tratamiento de la estacic^nalidad mediante la inetusión de variables ficticias en la
regresión implica {bajo el supuesto adieional de que no existe componente tendencial)
que
1
ñ^ r^
_., f^l S ^
+ t' i.i
dunde Xr^ = ubservación para la estación j en el añc^ t
^. = númerc^ de estaciones en el aña
^l si, i = j
S'^' ^ ^`'U en otro caso.
La medi,^ de la serie original X se suma a !os residuos obtenidos en !a regresión
mínimu-cuadrática, a efectus de ubtener la serie desestacionalizada
d
xr;=^l^+x
de^nde Xd = serie desestacíc^nalizada
y puede c^mprubarse que esta serie desestaciunalizada, es idéntiea a la que se obtendría mediante un pruc:edimiento de desestaciunalización, tal como
xd = x^ + ^ ^ ^ Xv^T^ - 12
r
j
^ xl^
r
dunde Xr^ = serie c^riginal (sin desestacionalizar)
T = númeru de ubservaciunes
' Estos métodos de desestacionalización obtienen las series desestacionalizadas aplicand© un
tiltro lineal a la serie original.
LA ESTACIONALIDAD Y EL ANALlSIS ECONOMETRICO: UN PL.ANTEAI^tlENTO ALTERNATIVO
Baju estati rni^mas hipótesis, establece en yue casus !a aplicación de MC'O ' u datus
desestacionalizddus pruducir^ estimadc^res insesgadu^.
H stableciendc^ el siguiente mc^ielo.
Y= X^^ + Dx +^i
dunde E(!^ ^= 0
vector c©lumna de la variable endógena
matriz t x k de variables explicativas
vector k x l de par^metros
vectur culumna de las perturbaciones aleatorias
matriz t x d de mc^vimientos estacic^nales
^
x
S
vector descunocido t x 1
Dx, vectur t x 1 de perturbaciunes estaci^naies, perteneciente a la matriz de
pusibles muvimientus estacionales D de urden t x cl
--,
^ _ vector descunucidu r^ x 1
la estimación del vectur de parámetrus ^i, implica minimizar e'^, clonde
.___..
_
_..
.
^~ = Y^ ^ X^^
dunde
Yu -- serie desestaciunalizada
Xa = serie desestaciunalizada
pc^r tantu
-^ _ ( xá xQ ^ ^' xQ ^a = ^ + ( xp ' ^tJ ) - ^ XQ ( Y p - xa Y !
Si (XáXQ)-'XQ(Ya' - Xaa) na desaparece, la aplicación de los MCO a los datos
desestacionalizados produce estimadores sesgados. Ahora bien, si la técnica de c^esestacionalizaciún utilizada es suma, esto implica la existencia de una matriz A(t x t), tdl
yue
YQ = AY = AXR + A©x + A^
[i^
-.-,-.^
Si el procedimientU de ajuste puede eliminar S, en el sentido de que AD = 0,
._.^
__,
_^
tenemas entunces que YQ - X^^i = AE .
Y baju estas cc^ndiciones, la ecuacitín [ l^ se reduce a
^ ^ [i + ( XQ XQ ^ - ^ XQ AÉ
' MCO es la expresicín abreviada que se utiliza para denominar los mínimc^s cuadrado5 ordinarios.
104
ESTAD15TtCA E:SPAl^tULA
-
y
y^i es el estimadc^r inst:sgadc^ de R, bajo las hipótesis de yue las X sean fijas para
clistintas muestras.
Si lus datus han ^^ idc^ desestacivnalizadc^s por MCO, con la matriz D, como el
cc^njuntu de variables explicativas, la matriz de ajuste:
A= 1- D{D` D)" ^ D', ser-d capaz de eliminar S, camo se requiere para la obtención
de estimadores insesgadc^s, cun datos desestaeionalizados; y los mínimos cuadrados
pueden contemplarse camo un métcxia más, de un conjunto de técnicas, que nos
permiten obtener estimadores insesgados de los pr^rámetros, cuando se utilizan datos
desestacic^nalizadus.
EI prublema de la desestacionalización de los datos es contemplado por Jorgenson
{ 1967) descie una óptica claramente diferenciadora, a tenor de la utilización posterior de
lc^s datos. Establece que la desestacianalización de datos de series temparales tiene
^ un^s prublemas totalmente distintas a la desestacionaiización de datas para el análisis
ecanométrico. En la aplicación econométrica, los datos desestacionalizados deben abtenerse a través de la aplicación de ta regresión por mínin^us cuadrados ordinarios; pero
el tratamienta correctc^ del prublema exige considerarlo inmerso en un contextu más
amplio, cvmo es el de fa estimación de la ecuación, dentro de un sistema de ecuaciones
simultáneas, en el que se estudie también ei cumportamiento de la estacionalidad de las
variables explicativas; Ic^ que canduce a furmular el problema de la desestacionalización
para el análisis econométrico como un problema de ecuaciones simultáneas,
A1 considerar la desestacionalización como el problema de estimar una ecuación en
un sistema de ecuaciones sirnultáneas, da lugar a estimad^res sesgadc^s (camo resultado
del sesga mínimo-cuadrática) cuandu se aplican MCO para estimar las parámetros de
una ecuación, tal y comu prapone Luveli, excep^ión hecha de varios supuestas especia1es que implica que el pracedimientu propuesto por C,ovell es tatalmente válido.
Pero en líneas generales, Jc^rgensc^n situó el tratamiento de la estacianalidad para el
análisis ecunométrica, en el marco de lus modelos de ecuaciones simultáneas, y en este
c^ntexto establece la especificación adecuada para el sistema, así como las condiciones
necesarias y sut^cientes para la identifiicación de lus parámetros, y las técnicas de
estimación, que pr^porcionen estimadares asintóti^amente insesgadas y e#icientes.
EI mcxielc^ planteada es
^
_-,
Y= D^ v+ S^^v+ ^v
X = Dóx + Sc^x + -yx
Y= X^3 + S[c^_y
j3] + É
- áx
[2}
(3]
^4)
LA ESTACIONALIDAD Y EL, ANALISIS ECONOMETRICO: uN PLANTEAMIENTO ALTERNATIVU
lO^
dunde
Y, X= vector de T observaciones
D= matriz T x k de potencias de tiempc^, que representa la cumpunente
tendencia-ciclo
S= matriz de ficticias estaciunales
^y, yx = companente irregular
-^ ..^
--. --^
^w, ay, óx, rsx = vectores que contienen componentes desconocidos
Lds d^^s primera relaciones pruporciunan una descumpusición de las «hservacic^neti
X, Y en compone.nte no estacional, estacional y aleatorio, la tercera relacián se
ubtiene partiendo del rnodo propuesto en que
-_-.
_-.
.^
Y=xR+^,
[s^
Cc^mu una regresión lineal cun lus datos desestacionalizadus, y combinando [2] y[3J
baju la hipótesis de que
^
^
E(^^ ) = E(y^.
= E(vy) = 0,
se obtiene la [4]
Jorgensun plantea que la aplicación de MCO a [4] nos proporcionará la estimación
lineal e insesgada de c^y y sugiere utilizar ésta para obtener una estimación de la
componente estacional y por diferencia la serie desestacionalizada.
E1 procedimiento planteado por Lovell (1963) sería regresar solamente X sobre S y
tomar los residuos como la serie desestaciunalizada. Por esto, el tratamiento, expuesto
por Jorgenson prop©rciona estimadores más eficientes en la componente estacional
yue el de Lovell.
_.^
La aplicación de MCO a[4] producirá estimadares insesgadus de (3, pero esto es
equivalente a aplicar el métod^ de Lovell a cada serie y calcular entonces la regresión
utilizando datos desestacionalizadus.
Lus procedimientos expresados dependen de una determinada especiticación de la
componente estacional; pero Jorgenson insiste en que la aplicación de MCO para
^
estimar los [i no produce estimadores insesgados, ya que el modelo planteado tiene el
carácter de un modelo de ecuaciones simultáneas, y combinando [2] y[3] el modelo se
expresard cumu
"L = (YX) = D(óxs_y) + S(csyax) + (r^yYx) = D^ + óE + ^y
^Qb
ESTADtSTlCA ESPAÑOLA
dr^nde D, S son fija^+, y los errc^res tiatisfacen
E(v) = 0
^/(v) = s2^1
V ` -- ( t' ^^ ,
^' ^` ,
_^ _ (^,^, ^,^,
• • ^^n
v^
s^2 = matriz definida positiva y las relaciones [2] y[31 son las ecuaciones estructurales de un modelo de ec uaciones simuliáneas
[^^X ]
t
-aX
0 ^ + [DSl ^
- Q^^ + csx a-csx
-- j3 l
= [E Y )
Así el problema de ia desestacionalización de los datos, para el análisis econométrico, se reduce a un prablema econométricu habitual; el de estimar los parámeirvs de
una sola ecuación, en un sistema de ecuaci^nes simultdneas, y en el que habrá que
tener en cuenta lus prublemas típicus de identificación y estimación que plantean estus
modelos.
Sin embargo, Lovell, ba^o la hipótesis de que y.r, E están incorrelacionadas, aplica
MCU a la ecuación [4] y obtiene estimadores EL1U '; pero si en la matriz de
varianzas-cuvarianzas de los errores no hay restricciones j3 no est^ identificadc^, y
entonces, el proc.edimiento de Love11 da estimadores inconsistentes.
Un planteamiento muy distinto es el que hace Sims (74) de la desestacionalización
de los datos para el análisis econométrico; ya que considera la componente estacional
como un problema de errores en variables, y trabaja con un modelo bivariante de
retardos distribuidos.
Estudia el sesgo asintáticca que se produce en la estimaeión por MCO de la distribución de retardos cuando hay ruido estacional, y la desestacionalización, o no se
intenta o es incompleta (una desestacionalización es incompleta cuando en la regresión, ios datos estacionales se tratan con variables ficticias, pero ei ruido estaciunal
evoluciona lentamente en el tiempo, y nu de la forma f^ja que implica la utilización de
la:^ variables fiicticids para !a desestacionalización de los datos).
Considera
y = variable dependiente
_r = variable independiente
' Se denomina con estas siglas a los estimadores lineales, insesgados y óptim^s.
t_A ESTACIONALIDAD Y EL ANALtSiS ^ONUMETRlCO: UN PLANTEAMIENTO AL_TERNATIVO
V
= X b -^- l !
x = H^c• + ti•
[6]
^O7
^, ^+• = ruidos estacic^nales
Hipótesis
cov (i!, x ) = 0
cov (^•, H^ ) = 0
v, x, r^, K', ^, ^• son estac ionarios
x.
_r • b(t) =
^
b{s)x(t - s)
y ademds
cov (^ , x ) -- 0
C4v (1^'. V ) _ ^
Si en vez de observar x, v observamos
x -- x + K ^
_ v + ^
x'
^jdonde
v
obtendremos una relac ión análoga a la [ó]
= x'b + r!
donde cov (r^'x') = U
La relación entre b y h' viene dada por
^
sy,X,
b` _
Sx`
,
^
= b[Sx!(Sx + Sw^) + ^ (SH^/Sx + Sx')]
Thomas y Wallis (1971) estudian diversos problemas clásicos en el tratamiento de la
estacionalidad; pero el punto que reeogemos aquí es aquel en que estudian la variación
estacional como una variación que se presenta en los residuos del modelo.
Lo que plantean estos autores es que la variación estacional no es algo sistemcític^^.
y que debido a ello nunca puede recogerse completamente, por tanto, sean cuales sean
las variables estacionales, sus efectos aparecerán siempre en el término de error,
provocando con ello la aparición de perturbaciones autocorreiacionadas.
EI test utilizado generalmente para detectar la presencia de perturbaciones autocorelacionadas es el de Durbin-Watson. pero cuando se trabaja en datos mensuales o
1(}^
ESTADISTICA ESPAÑOLA
trimestrales, etite test ya nu es aprcypiado, ya que la autc^correlación debidd a lo^ ^
factc^re^ estacic^nales surgirá, nc? entre periodos de tiempo correlativos, sino, por ejemplu, enire Ic^ti retiiciuus en los correspc^ndientes pe^od^^s de añus sucesivos.
Así, no se contrastará Id hipótesis típica de que ^^ = 0 en el esquema
u^ _ ^t^^_1
- l < ^ ^
+ Er
Sino que hdbrá que contrastar autocorrelaciones de mayor orden, tales como
tt^
=^l/t_q
-F-
^t
- 1 G^ C j
Y el camin^ a seguir será el de contrastar la autocorrelación del onden que sea
(mayor al uno; por ejemplo, cuatro) y el de estimar los parámetros de un modelo en
pre5encia de perturbaciones autocorrelacionadas, con esquemas de un orden mayor a
los habituales.
Thomas y Wallis (1971) sugieren un test para contrastar la autocorrelación de orryden
cuatru, y proponen como método de estimación def modelo bajo la presencia de las
perturbaciones autocorrelacionadas el de los mínimos cuadrados generalizados.
En esta misma línea de considerar la estacionalidad como una parte de la perturbación, es decir, inexplicada por el modelo, se encuentra el planteamiento que hacen del
terna Grether y Nerlove (?0) que adoptan un modelo de compo ^nentes de varianza y
plantean los datos como una serie temporal de datos «cross-section», donde la unidad
de tiempo es el ar^o y las estaciones son los «cross-section».
Así la perturbación es
Ekt = Sk -+- r^kr
k
= 1, 2, ..., 12
t
= 1, 2, ..., T
dunde
E ^Sk^ ^ ^^r^kr^ i ^
^^
F ts^ s^ ^ _ ^o
cs 2
^ ^r^ kr 1^.i^ ^
Co
^[Sk , ^1^r) = 0
j - k
j ^0
^ _ .i y r = s
k
^,j
y t ^ s
bj, k y t
LA ESTACIUNALIDAD Y EL ANALISIS ECUNOMETRICO: UN PLANTEAMIENTU ALTERNATIVU
lO9
Sean
Wxx
matrices de cuadradc^s y sumas cie productos
Wyy
cruzados ci,^ntrc^ de grupos
Bxx
matrices de cuadrados y sumas de productos
Bvy
cruzados entrc^ grupos
Para este modelo, las estimaciones por MCG de los coefícientes de regresián vienen
dados por
^
^3 = [ Wx_r + t)^3.Kx j ! I [ W.^^^ + ^^^ixti^ 1
donde
tl = c^s I( 6^ + Ta 2)
Según aumenta T, E^ tiende a cer^, y los estimadores c^btenidos por MCG ' se
transforman en los estimadores obtenidos por MCU en la regresión, en la que se incluye
variables ficticias.
2.
ALGUNAS CONSIDERACIONES SOBRE EL TRATAMlENTO DE LA
ESTACIONALIDAD EN EL ANALISIS ECONOMETRICU
Es evidente que bajo la hipótesis de que el esquema estacional es constante, la
desestac ional izac ión puede l levarse a cab^o med iante la apl icaç ión de variabl es fic tic ias;
y en este caso la desestacionalización de la serie Xr implica la estimación mínimo
cuadrática del siguiente modelo
,j = 1, 2, 3. 4
X ft -t = I, 2, ..., m
= 1 en e l t r i mes t re j
donde D^ ^_
f'
0 en los otros casos
a^ = son los coeficientes estimados (y son las medias trimestrales)
u^ _ m - I ^
X^^ + ^ ^ ^ X1
l, 2, 3, 4)
l=I
' MCG es la expresián abreviada que se utiliza para indicar los mínimos cuadrados generalizados.
110
ESTA©ISTICA ESPAI^CiLA
X;, = Serie desestacionalizada; se obtiene añadiendo a la media total de la serie los
residuos de la regresián.
Así la serie desestacionalizada se ha abienido restando de cada una de las
observaciones originales la diferencia entre la media trimestral y la media
total de la serie.
Para discutir 1os efectos de la desestacionaliz,ación en la regresión, planteamos el
siguiente rrtodelo:
Y = X^ + Dx + ú
^
Y
vector col umna de la variable endógena
x
^
matriz t x k de variables explicativas
a
[7]
vector de parámetros de orden k x 1
1
vector de perturbaciones estacionarias n x 1 formado por:
D(n x j) matriz conocida (no estocástica)
á(j x 1^ vector de scanac ido
Et rango de X, D, tiene que ser k+ j.
EI modelo alternativo sería
^
[8]
Ya ^ Xaa + l1
en que las variables X e Y están desestacionalizadas.
L©vell (19ó3) demuestra, que si la desestacionalización en [8] se ha hecho regre^
sando Y, X sobre D, la estimación por MCO de [i en [7j y en [8] es idéntica.
Aplicando MCO al [7]
\al
-( D ' X
X'D ^^
D' D
X'Y
d' Y
°^rando obtenemos:
b=( X' A X),^ I.X' A y
Y = AY
tanto b=( Xó X^ )-1 X^, Yo
Xa = a X por
que es la estimación de á obtenida aplicando MCO a[8l.
Ambos procedimientos producen el mismo conjunto de residuos de regresión y, por
tanto, la misma surna inexplicada de cuadrados.
La desestacionaiización «a priori» de la variable dependiente reduce la suma total
de cuadrados, y asi, la segunda regresión tendrá un R2 más bajo que la primera,
presentando así un aspecto peor.
L_A EST'ACIUNALQ^AD Y EL ANALIStS ECUNOMETRICO: t.1N PLANTEAMIENTO ALTERNATIVO
^^ 1
U n argu mento c larame nte a favor de la dese stac ional i zac ión de los d atos a part i r de
[7] surge al considerar el tema de los grados de libertad, ya que cuando se utilizan
datos desestacionalizados es preciso tener en cuenta la pérdida de grados de libertad
que la utilización de estas datos implica; aunque es habitual que na se cansidere este
aspecto de la desestacionaliZación, y esto produce una sobreestimación de la significatividad de los coefícientes de regresión.
Aunque la aplicación de variables ficticias presenta determinadas ventajas, es precisu mencionar que la inclusión de es^tas variables en la regresión es apenas una
explicación esiructural de las f^uctuaciones estacionales: por ello, a veces se considera
más adecuado tratar la estacionalidad como una parte de la perturbación, es decir,
inexplicada por el modelo.
En este caso, el prucedimientu adecuada para estimar el modelo son los MCG ',
utilizando una especificación adecuada para las errores medianie un análisis de series
temporales {es decir, identificación de la clase de modelu AR1MA, que se suponga
como más susceptible de haber generado dichos residuos).
En el modelo de este tipo, la estimación del mismo por MCO implica ignurar ia
estacionalidad y, en este caso, el error c^metido no pruvacará estimadores sesgados de
los parámetros, pero se producirán los efectos típicas que conlleva la existencia de
perturbaciones autocorrelacionadas.
En líneas generales, estamos considerando la estacionalidad como un fenómena
aislado, pero corrientemente, cuando se trabaja con datos desestacionalizados, los residuos de la regresión están serialmente correlacionados, y además la estacionalidad de
una variable puede estar relacionada con la estacionalidad de otras variables con las
que la variabie en cuestión esté interrelacionada, y asi los componentes estacionales en
sí mismas pueden contener información acerca de las relaciones entre tieries.
5.
5.1.
CRlT1CA Y PLANTEAMlENTO AC.TERNATIV()
CRÍTICA
Ya hemos comentado en el punto 3 que la presencia de variables que cantengan
estacionalidad provoca un comportamiento típico respecto a su trat;amiento en la
modelización econométrica, caracterizado por dos alternatiuas: Intraducción de varia-
` MCG representa 1a expresión abreviada del método de estimación de los minimos cuadr•ados
generalizados, como se ha indicado anteriormente.
ESTADISTlCA ESPAti1Ul..A
j1^
bles ficticias en la regresián, o bien utilizaci©n de datos desestacionalizados por algún
método de desesta+cionalizacián univariante © de series temporales (lo que se denomina
métodos oficiales de des.estacionalizacián, que no es más que la aplicación de un ^ltro
• tineal a la serie origi nal ).
Este planteamiento tiene, sin embargo, graves inconvenientes: en primer lugar, es
habituai que las variables independientes no recojan en forma total la estacionalidad de
la variable dep^endiente, la que provoca que los residuos del m©delo presenten un
esquema estacional que provocará autocorrelación entre éstas.
Además, al estudiar la estacionalidad surge otro prublema que frecuentemente se
ignura y es el de la existencia de la propiedad de la «separatibilidad» en la estacionalidad '. Así, si supunemos que Xr es una serie tempUral estacional
x^ _.^^ [ ^ ct), u ct^, ^l
donde:
;, (t )= vector de otras variables económicas (puede cumprender valores desfasados
de la misma variable )
u(t )= vector de perturbaciones aleatorias
t^ = vector de parámetras
Si 3i(t) se puede descomponer en dos partes, en la que una (S) varía sistemáticamente con la estación y na dependa de z{t), y otra (t ) no muestra ninguna variación
estacional sisternática, entonces ^(t) presenta estacionalidad separable, lo cual implica,
que pudemos escribir X(t) como
X{tl =^^[^(t). t^(t), E^^] + S(t. E^21
EI esyuema expresado también podría ser multiplicativo; pero, en cualquier caso, es
sulamente bajo esta característica de separatibilidad cuando podremos tratar de estaciunalidad desde un puntu de vista práctico, ya que será la única circunstancia que nos
permitirá estimar 1 ^ ,, independientemente de f^,.
En la realidad, el c^nocimiento que se tiene sobre la estacionalidad es bastante
superticiai; hecha que se ve agravado porque la teoría económica no nus proporciona
ninguna infurmación adicional subre la naturaleza de csta caracteristica; pero hay
además otr^ hecho importante a tener en cuenta, y es que en el mundo real, la mayoria
de las series tempc^rales económicas que exhiben estaciunalidad presentan una estacio-
' Seguimos la terminolc^gía utilizada por Gersovitz y MacKinnon (197R).
LA ESTACION^^ LIDAD Y E L ANALlSIS ECC)lYUMETRICO: UN PLANTEAMIENTO ALTERNATI VO
1 1^
nalidad «no separable», y, sin embargo, todas las técnicas de desestacionalización que
se aplican hacen caso omiso de la ausencia de dicha propiedad, y desestacionalizan las
variables bajo la hipótesis implícita de existencia de estaciunalidad separable.
Si la estacionalidad es no separable, debemos plantear un modelo con variables
ticticias para captar la estacionalidad, per^ teniendo en cuenta yue esta variará de año
en año, lo cual implica que los parámetros deben ser cambiantes con la estación.
El modelo adecuado será una generalización del prucedimiento tradicional del
iratamiento de la estacionalidad eon variables ficticias pero de forma que tcxlos los
parámetros varien estacionalmente.
En esta linea, Gersovitz y MacKinnon (1y7^> expresan el siguiente mocielo
^
}^r
`
_
^ D ir ^r Ri + E r
^^
t - año
i = estación
donde: ^f = variable independiente
^
Z, = vector de varíables independientes
D;r = escalar, igual a uno, en la estación r-ésima y ceru en utre^ caso
^
^i; = vector de coef^icientes para la estación r"
^^ = número de estac iones
La estimación de este modelo por mínimos cuadrados ordinarios es equivalente a
estimar una relación separada para cada estación. Esto provocará problemas en la
estimación, a menas que la muestra sea lo suticientemente amplia.
5.2.
SOLUCI©NES
Gersovitz y MacKinnon { 197H) prupunen c^mc^ solución el aplicar un mudelo con
parámetros cambiantes con [a estación, per^ con la limitación de que la variación sea
suave, de forma que los valores de los parámetros pertenecientes a estaciones consecutivas difieran en pequeño grado. Denominando a esta hipótesis cc^mo la hipótesis de la
«estac ionalidad suave» .
La dificultad que surge con este planteamiento es la de la estimación del citado
modelo, ya que al igual que ocurre con los modelc^s de retardos distribuidos, el
prcablema se plantea con el elevado número de parámetros yue putencialmente se
pueden estimar.
I ^4
ESTADISTICA ESPAÑO[_A
Ld técnica bdyesiana propuesta pur Shiller (15t73) de imponer restriccianes sobre los
parámetros de lus mcxlelos c:un retardus, es seguida, en la medida de lc^ posible, por los
autores, adapidndola al caso de la estaciunalidad, y solucionando a5í los problemas
planteados en la estimacibn,
C^^tra alternativa es la seguida por Harrison y Stevens ( t9^b): En su exposicibn
parten de dos hipótesis básicas: 1a primera supone que la estacionalidad está restringida
a tener un determinado esquema y 1a segunda plantea la estacionalidad como un
fenómeno que puede variar en cuatquier forma, asignando un factor estacional para
cada mes. Especificando igualmente una serie de restricciones sobre la estacionalidad,
tales como:
l.
Si la estacionalidad en el momento t es aditiva
S,, r = o
2.
Si es multiplicativa
, t =T
3.
S i S; -- ^ S^i .^ , . . . . S T., }
y s, = s^-^ + bs,
á^ ^Nto, w^
y la matriz W está sujeta a la limitación
^^w1=^^^wl.i=o
Bajo la primera hipótesis planteada se supone que la estacionalidad sigue el siguiente
esquema
2nk ^ ^
`'
S,^ _^ u, cos
.^,
T
+ b, sen
2nk^^
T
2n k 1 ^
2 `-^
Ur = -- ^ Sk CUS
T ^. _ ^
t^
r
T
= ? ^ S sen ^^^
Tk k
T
k= 1... T
LA ESTACtONALlDAD Y EL ANALISIS ECONOMETRICU: UN PLANTEAMtENTO ALTERNATIVO
11S
La segunda hi póte sis nos plantea lo que los autores denom inan un modelo de
estacionalidad libre, y daria lugar a las siguientes expresiones:
Yr = F„^{,^5, + V^
Vr -•. N(0. V^)
Sr = Sr _ t + s Sr
b S, ... N[0, Wr 1
-- 1 para el elemento m( t)' , y
donde F^, ^, ) e s^ ^
= 0 en los restantes caisos
W^ ={ w^ }^
donde
W;;,, = W,
W^,^ - --W,l(t - 1)
i $J
Como se desprende de todo lo expuesto, consideramos que una de las soluciones
más adecuadas para el tratamiento de la estacionalidad en el análisis de regresiá ^ n es la
utilización de modelos con parámetros cambiantes.
*
*
*
Un madelo adecuado en este caso sería el «modelo de regresión» adaptivo de
Cooley y Prescott ( 1973), donde
Yr = ^cr + ^iXr
^Lt
+ u,
= ^t^- t + Vr- 1
u, ^ NI (0, a2)
v^ -^. Nl (o, ^2)
t/t, s
Cov (u,, V,) = 4
También se puede plantear una extensión de este modo, en que no sólo varíe el
término constante, sino que también varía la pendiente, dando lugar al siguiente modelo
Y, = a', X^
R^ = ai ^- u^
a r = Rp^ -'
+ Vt
donde p es la componente permanente del parámetro. Cooley y Prescott (1973) suponen
la siguiente matriz de varianzas-covarianzas para u y V
cov (c^r) _ ( 1 - E^)6^^u
cov (Vr) = E^cs2^^
0 ^ ^^ ^ 1
^ ^b
ESTADISTiCA ESPAÑOL.A
donde E„ y^v se suponen conocidas; por simplicidad y sin pérdida de generalidad
suponemos tarnbién que son matrices identidad.
EI prublema que surge es el de la estimación de c^ ^l y^3P ; teniendu en c uenta,
además, que no se puede estimar ^3; para tado t. Lo que se puede hacer entonces es
tomar un determinado valor de (3° camo valor de referencia.
Otra solución par<a resolver el prablema de la estacionalidad en los modelos econométricos sería la propuesta por Plosser (1979), pero dado el enfoque del trabaja, no nos
parece adecuado incluir aquí su estudio ya que su planteamiento, no es homogéneo con
el que hemos desarroll ado,
Concluímos, por tanto, expresando que en nuestra opinión, el tratamiento más
correcto de la estacionalidad en la modelización econométrica es el que se obtiene
mediante la utiliz^c iún de lus modelus con parámetros cambiantes en cualquiera de las
versiones apuntadas, y solamente en aquellas casos especiales en yue se den determinadas características ya enunciadas (tales corno estacionalidad «estable», «separable»,
etcétera) serd adecuada la utilizacián de variables ficticias según el esquema tradicional,
que implica que la estacionalidad es la misma para las mismas estaciones en los
distintos años. No sienda aconsejable en ningún caso ' la utilizaci^^n de datos desestacionalizados par los procedimientos oficiales de desestacionalización basadas en el
análisis «naif» de ser^es temparales,
BIBLIOGRAFIA
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' Siempre y cuando se esté planteando el problema de la estacionalidad respecto a su tratamiento en el análisis econométrico.
LA ESTACIC)NALLDAD Y E L ANALIS[S ECONOMETRiCC^: [.IN PLANTE^IMiENTU ALTERNAT)VU
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SUMMARY
ln this paper, we deal with seasonality in connection with Econometrics. To my advice, the treatment of seansonality in utten inadecuate.
Having revised the usual procedures for eliminating seasonality in
econometric models, we proceed to critizise most of them, and we propose alternative procedures to solve problems which arise ín econometric
models with seasonally adjusted data.
K^y ^1^c^rds: Seasonality, regression, seasonally adjusted, dummy variables.
AMS 1970, subjet classification; ó2P20.