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FACULTAD CS. FÍSICAS Y MATEMÁTICAS
UNIVERSIDAD DE CHILE
MA57B Optimización No Lineal. Semestre 2007-1
Profesor: Héctor Ramı́rez C. Auxiliares: Oscar Peredo.
Tarea 1
Fecha de Entrega: 28 de Abril de 2007 (durante el control 1)
P1. Una pesquera maneja dos variables en su proceso de extracción mensual, la cantidad de horas-hombre utilizada (x) y
la superficie que se abarca (y), la cuales (debido a las unidades en que se miden) satisfacen que x > 0 e y > 1. Ası́,
dados dos valores x e y para estas variables, la cosecha mensual (en kilos) está dada por:
cosecha = xα (log y)β ,
donde α y β son dos parámetros dados. Si el precio del kilo de pescado es p = 1, y los costos unitarios asociados a x e
y son los valores estrictamente positivos cx y cy , respectivamente, entonces:
(i) Modele el problema de maximizar el beneficio de la pesquera como uno de programación “irrestricta” en x > 0 e
y > 1, y encuentre las relaciones de la forma h(y) = 0 e x = g(y) que satisfacen los puntos crı́ticos del problema.
¿Puede concluir que estos son efectivamente máximos?
(ii) Desde ahora sabemos que los parámetros satisfacen α ∈ [0, 1[ y β ≥ 0, y reducimos nuestra estrategia al conjunto
½
¾
β
C := (x, y) ∈ R2 : x > 0, y > 1, log y >
−1 .
1−α
Demuestre que si los puntos crı́ticos de la parte (i) están en C, entonces estos son máximos (globales) del problema.
Indicación: Estudie la convexidad del negativo de la función de beneficios.
Pn
P2. La función de entropı́a H(x) = − i=1 xi ln xi (definida para xi > 0) tiene diversas aplicaciones en ingenierı́a, que
van desde la codificación de mensajes hasta la compresión de datos. Es por esto que en esta pregunta se estudiará el
comportamiento de esta función, desde el punto de vista de la optimización.
(a) Estudie el máximo de la función de entropı́a H en su dominio. Justifique que efectivamente se obtiene un máximo.
Si ahora se redefine H para xi ≥ 0 considerando su comportamiento lı́mite en 0 dado por 0 ln 0 = 0. Verifique que
el máximo sigue siendo el mismo.
(b) En la teorı́a de la información la función de entropı́a H representa una medida de incertidumbre asociada a una
distribución de probabilidad x = (xi )ni=1 de un mensaje emitido, es decir, la probabilidad de que un mensaje m sea
igual a i ∈ {1, ..., n} es xi (i.e. P(m = i) = xi ). Ası́, entre mayor sea el valor de H(x) mayor será la incertidumbre
asociada a la distribución x = (xi )ni=1 . Muestre que la distribución de probabilidad que tiene máxima incertidumbre
viene dada por xi = 1/n para todo i = 1, ..., n. ¿Es lógica esta respuesta?
Pn
Indicación: Recuerde que toda distribución de probabilidad x = (xi )ni=1 satisface que i=1 xi = 1 y xi > 0 (pues
gracias a la parte (i) esta última condición reemplaza a xi ≥ 0).
Pn
(c) Considere ahora distribuciones ponderadas, es decir, que satisfacen que i=1 ixi = 1 y xi > 0. Encuentre ahora la
distribución de probabilidad x = (xi )ni=1 que tiene máxima incertidumbre.
(d) Para otras aplicaciones en la teorı́a de la información, la variable x debe satisfacer las condiciones:
0 < xi ≤ 1, para todo i ∈ {1, ..., n}
y
xj = 1/n, para un y sólo un ı́ndice j ∈ {1, ..., n}.
Calcule el cono tangente asociado a estas restricciones en un x̄ (arbitrario) que las satisfaga. Encuentre el punto
crı́tico correspondiente a maximizar H sobre estas restricciones. ¿Podemos concluir que el punto obtenido es un
máximo del problema? Comente.
Indicación: Dibuje el conjunto factible y resuelva la pregunta para el caso n = 2. El caso general donde n puede
ser cualquier natural es análogo y sólo es necesario justificarlo correctamente.
1
P3. Se asume que la función de producción P de una empresa viene dada por:
γσ
³
´ σ−1
σ−1
σ−1
P (K, T ) = αK σ + βT σ
,
donde α, β y γ son parámetros (estrictamente positivos) que permiten medir la contribución del capital K y del trabajo
T a los rendimientos productivos de la empresa. La elasticidad de sustitución σ ∈ (0, 1) es considerada constante.
Dado que el costo de uso de una unidad de capital está dado por CK y que el salario nominal asociado al trabajo
está dado por CT , se le pide resolver el problema de esta empresa que desea minimizar sus costos (que son supuestos
lineales en K y T ) respetando un nivel mı́nimo de producción P0 .
P4. La utilidad dada por una acción en la bolsa depende de un ı́ndice x de volatilidad, que puede ser positivo o negativo, y
del precio y (≥ 0) que uno esta dispuesto a pagar por una garantı́a o seguro. Dicha utilidad viene dada por la función
f (x, y) = x3 − 3x − y.
(a) Maximice la utilidad de la acción respetando la restricción de riesgo:
x + y ≤ 2.
Para esto debe utilizar las condiciones de KKT y las condiciones optimales de segundo orden.
(b) Suponga ahora que el ı́ndice de volatilidad es estrictamente positivo (i.e. x > 0). Si se está dispuesto a aceptar un
riesgo máximo mayor, aumentándolo de 2 a 2,05. Estime directamente la nueva utilidad asociada a la acción.
P5. Una empresa manufacturera necesita determinar su plan de producción. Según los estudios realizados, el beneficio
unitario por producto está dado por:
Producto
P1
P2
Precio por unidad
800 − x1 − x2
2000 − x1 − 3x2
donde x1 y x2 son el número de unidades de los productos P1 y P2 , respectivamente.
Además, para elaborar estos productos se requiere mano de obra, que denominaremos recurso 1 (R1 ), y horas máquina,
que será el recurso 2 (R2 ). La cantidad de recursos necesarios por producto y la disponibilidad de cada recurso, se
detallan en la siguiente tabla:
Producto vs. Recurso (horas/unidad)
P1
P2
Disponibilidad (hora/mes)
R1
8
3
1200
R2
7
6
2100
(a) Plantee el modelo que maximiza el beneficio total de la empresa.
(b) Utilice las condiciones de KKT para encontrar una solución factible del problema. ¿Es esta solución óptima?
(c) Suponga ahora que se tiene una disponibilidad de 1205 horas por mes del recurso 1. Estime el máximo beneficio
que se obtiene de esta acción.
P6. Se desea construir un estanque cilı́ndrico de para almacenar bencina. Para la construcción del estanque debe considerarse
la superficie del cilindro y las dos tapas.
El material para la superficie del estanque se vende a 5 u.t.m. por metro cuadrado y el material para las tapas se vende
a 3 u.t.m. por metro cuadrado.
Sabemos que el estanque se vacı́a cada mes y que para cada recarga mensual, donde debemos llenar completamente
el estanque, sólo contamos con 400 u.t.m. para comprar bencina. El precio de la bencina es 0,6 u.t.m./litro (asuma
densidad=1 y recuerde que 1 litro = 1000 centı́metros cúbicos).
(a) Determine el conjunto de pares (r, h) (radio, altura) que cumplen con la máxima capacidad presupuestarı́a mensual.
(b) Determine el o los pares (r, h) que minimizan el costo de construcción del estanque, cumpliendo con la restricción
de la parte (a).
Considere ahora que mensualmente se debe almacenar al menos 240 litros para cumplir con la demanda mı́nima de la
bencinera.
2
(c) Determine el o los pares obtenidos en la parte (a) que cumplen con este requerimiento.
(d) Maximice la capacidad y minimice el costo simultáneamente, es decir, considere como función objetivo CapacidadCostos. Resuelva considerando las restricciones de la parte (c). Comente.
P7. La utilidad u asociada a la apertura a la bolsa de SONDA depende de manera directa solamente de cierto factor de
riesgo x1 , con valores entre 0 y 1 (0 = riesgo nulo y 1 = riesgo máximo), que se medirá a su entrada al mercado bursátil.
Esta dependencia viene dada por el siguiente polinomio:
u(x1 ) = −x31 + 2x21 − x1 + 3
A su vez, este factor de riesgo depende del porcentaje de acciones x2 que SONDA no ingrese al mercado bursátil al
momento de su apertura, de esta forma x2 es también un valor entre 0 y 1. Esta relación viene dada por la siguiente
igualdad:
x1 = x21 + x22
Para efectos del problema supondremos que los inversionistas de SONDA tienen control sobre ambas variables antes
descritas.
(a) Formule el problema de maximización de utilidades asociada a la apertura bursátil de SONDA usando programación no lineal. Justifique que las restricciones x1 , x2 ∈ [0, 1] pueden ser omitidas de la anterior formulación.
(b) Usando las simplificaciones anteriores y las condiciones de KKT, encuentre las configuraciones (x1 , x2 ) candidatas
a solución del problema. Usando el valor de la función utilidad u en estos puntos, muestre que los candidatos a
ser óptimos globales del problema corresponden a situaciones donde el total de las acciones ingresa al mercado
bursátil.
Indicación: Para aplicar correctamente KKT debe considerar u como función de ambas variables (i.e. u(x1 , x2 ) =
u(x1 )).
(c) Usando condiciones optimales de segundo orden, demuestre que estos candidatos son efectivamente óptimos globales. Interprete en términos del problema real.
(d) Si ahora la relación entre la medida de riesgo x1 y el porcentaje de acciones x2 no ingresadas al mercado viene dada
por: x1 = x21 + x22 + 0,1, estime la nueva utilidad obtenida para todos los casos posibles dados por (c). Interprete.
P8. Sea H : X(⊆ Rm ) × R → R+ , dada por H(x, θ), la función de máxima verosimilitud de una muestra aleatoria i.i.d
x = (x1 , ..., xm ) ∈ X con parámetro θ ∈ R, la cual supondremos de clase C 2 con respecto a θ. Según la distribución que
siga la muestra, se busca el estimador de máxima verosimilitud θ̂ el cual satisface:
H(x, θ̂) = máx H(x, θ).
θ
(a) Mostrar que θ̂ satisface que
∂ log(θ̂)
∂θ
=0y
∂ 2 log(θ̂)
∂θ 2
< 0.
(b) Determinar el estimador de máxima verosimilitud para las siguientes densidades:
1.
Ley binomial: X = {0, 1, ..., n} y L(x, θ) = Cnx θx (1 − θ)n−x , donde Cnx =
2.
Ley de Poisson: X = N y L(x, θ) = e−nθ θΠni=1xi ! .
3.
Ley normal (m, θ2 ): X = R y L(x, θ) =
Pn
n!
x!(n−x)! ?.
xi
i=1
1
(2π)n/2 θ n
e−
Pn
2
i=1 (xi −m)
2θ 2
.
P9. Sea A una matriz simétrica de tamaño n. Determinar el valor en términos de la matriz A de:
máx
x∈Rn , kxk=1
x> Ax
y
mı́n
x∈Rn , kxk=1
x> Ax.
P10. Sea X ∈ Rn×p matriz de rango p (con p ≤ n). Resolver el problema
mı́n Tr(A) ; A simétrica y semidefinida positiva , X > AX = 0, Tr(A) = 1,
A∈Rn×n
donde Tr denota el operador traza de una matriz cuadrada.
P11. Sea α > 0. Consideremos la función f (x) = x31 + x32 + x33 , y dos conjuntos C+ y C− definidos por
C± = {x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 : xi ≥ i ∀i = 1, 2, 3,
±(x1 + x2 + x3 ) ≤ ±6(α + 1)}.
(a) Escribir las condiciones de KKT para los problemas (P± ) mı́n f (x) ; x ∈ C± .
3
(b) Discuta si estas condiciones son necesarias y/o suficientes para verificar optimalidad de (P+ ) y (P− ).
(c) Resolver los problemas (P± ).
P12. En programación geométrica se utiliza el siguiente resultado:
Si x1 , ..., xn ≥ 0 entonces
1
n
Pn
j=1 xj =
³Q
n
j=1
xj
´ n1
Demuestre el resultado usando las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker.
Indicación: Considere uno de los siguientes problemas:
min
n
X
xj s.a
j=1
max
n
Y
j=1
n
Y
xj = 1, xj ≥ 0, ∀j = 1, ..., n
j=1
xj s.a
n
X
xj = 1, xj ≥ 0, ∀j = 1, ..., n
j=1
P13. Considere el siguiente problema no lineal:
mı́n fa (x1 , x2 ) := x21 + ax22 + x1 x2 + x1 sujeto a x1 + x2 ≤ 1
(Pa )
donde a ∈ R es un parámetro del problema.
(a) Muestre que el problema (Pa ) es convexo solamente para valores a ≥ 1/4.
(b) Para este rango de valores de a, resuelva (Pa ) usando las condiciones de KKT. Justifique que estos son efectivamente
mı́nimos de (Pa ). ¿Son mı́nimos globales o locales?
(c) Para 0 < a < 1/4, encuentre el mı́nimo de (Pa ) usando las condiciones optimales de segundo orden. ¿Es este
mı́nimo global o sólo local?
(d) ¿Qué sucede con los mı́nimos globales en el caso a ≤ 0?
P14. Sea f : Rn → R una función p veces continuamente diferenciable en el interior de su dominio (con p ≥ 2), tal que para
a ∈ int dom f se tiene:
Di f (a) = 0, ∀i = 1, ..., p − 1 y Dp f (a) =
6 0.
Demostrar que para que a sea un mı́nimo (local) de f ,
(a) es necesario que: p sea par y
Dp f (a)(h, ..., h) ≥ 0, ∀h ∈ Rn , (el vector h aparece p veces)
(b) es suficiente que: p sea par y
Dp f (a)(h, ..., h) > 0, ∀h ∈ Rn . (el vector h aparece p veces)
P15. Diremos que un elemento x̄ factible para el problema:
(PNL)
mı́n f (x) ; x ∈ Θ ⊆ Rn , gi (x) ≤ 0 ∀i = 1, .., m,
hj (x) = 0 ∀i = 1, .., p
es calificado si TC (x̄) = DC (x̄) (Note que esta definición NO depende la función objetivo f ). Donde C = F(PNL) es el
conjunto factible de (PNL), TC (x̄) denota el cono de direcciones tangentes (o de Bouligand) de C en x̄, y DC (x̄) denota
el cono de direcciones crı́ticas de C en x̄ y es definido por:
©
ª
DC (x̄) = d ∈ Rn : d ∈ TΘ (x̄), ∇gi (x̄)> d ≤ 0 ∀i ∈ I0 (x̄) := {i : gi (x̄) = 0}, ∇hj (x̄)> d = 0 ∀j = 1, ..., p .
(a) Supongamos que el problema (PNL) es convexo y que se satisface la hipótesis de SLATER. Demostrar que todo
punto factible es calificado.
(b) Por simplicidad omitiremos las restricciones de igualdad. Supongamos que las funciones gi ’s son cuasi-convexas
y diferenciables, y que se satisface la hipótesis de SLATER. Demostrar que si x̄ ∈ C (factible) cumple con
∇gi (x̄) 6= 0 ∀i ∈ I0 (x̄), entonces x̄ es calificado. ¿Qué sucede en el caso con igualdades lineales afı́nes?
(c) Calcular el cono tangente TC (x̄) y el cono normal NC (x̄) para todo punto x̄ ∈ C, donde el conjunto C viene dado
por:
C = {x = (x1 , x2 ) ∈ R2 : x2 ≥ x31 y x2 ≥ x21 }.
¿Existen elementos en C que no sean calificados? ¿Bajo que condiciones sobre a1 y a2 la función objetivo f (x1 , x2 ) =
a1 x1 + a2 x2 admite un máximo en C?
4
P16. Demostrar el teorema del Cono Polar (Negativo):
(a) Para cualquier conjunto C ⊆ Rn , se tiene que:
C − = (cl(C))− = (conv(C))− = (cono(C))− ,
donde cl(C), conv(C) and cono(C) denotan la cerradura, la convexificación y la conificación de C, respectivamente,
es decir, el conjunto cerrado, convexo y el cono más pequeño que contiene a C.
(b) Para cualquier cono C ⊆ Rn , se tiene que:
(C − )− = cl(conv(C)).
En particular, si C es además cerrado y convexo, se deduce que (C − )− = C.
P17. Sea C ⊆ Rn un conjunto convexo no vacı́o. Demuestre que:
(a) Si x ∈ ri(C) y x̄ ∈ cl(C), entonces el segmento [x, x̄], excepto tal vez x̄, esta contenido en ri(C).
(b) ri(C) es no vacı́o y convexo, y que su espacio lineal afı́n generado es el mismo que el de C (i.e. aff(C) = aff(ri(C))).
P18. Sean X e Y dos espacios de Hilbert, y h : X → Y una función de clase C 2 . Llamaremos proyección de u ∈ X en h−1 (0)
a toda solución del problema:
(Pu,h )
mı́n f (x) =
1
kx − uk2 ; x ∈ X,
2
h(x) = 0.
Este problema puede tener varias soluciones o incluso ninguna en dimensión infinita (Justifique estas aseveraciones).
Sin embargo, se puede demostrar lo siguiente:
Teorema. Si x̄ ∈ F(Pu,h ) satisface que Dh(x̄) sea sobreyectiva, entonces existe ε > 0 t.q. si ku − x̄k ≤ ε:
(i) El problema (Pu,h ) tiene una única solución x(u), a la cual se le asociada un único multiplicador de Lagrange
λ(u), y la aplicación u → (x(u), λ(u)) es C 1 .
(ii) Además, la derivada direccional de x(u) en la dirección d ∈ X es la única solución del problema cuadrático:
mı́n kz − dk2 + hλ(u), D2 h(x(u))(z, z)i ; z ∈ X,
Dh(x(u))z = 0,
donde h·, ·i denota el producto interno en X.
Para esto, se le pide seguir los siguientes pasos:
(a) Si x0 es solución local de un problema de la forma (PI ) mı́nx∈X f (x) ; h(x) = 0 tal que Dh(x0 ) es sobreyectiva y
satisface la Condición Suficiente de Segundo Orden 1 , entonces el Jacobiano del sistema definido por las condiciones
de optimalidad de (PI ), evaluado en (x0 , λ0 ), es invertible. Aquı́, λ0 denota al multiplicador de Lagrange asociado
a x0 .
(b) Deduzca, usando lo anterior y el teorema de la función implı́cita, que existe ε > 0 y una vecindad V de x̄ tales
que, si ku − x̄k ≤ ε, el sistema de optimalidad asociado a (Pu,h ) tiene una única solución (x(u), λ(u)) en V × Y.
(c) A partir de lo anterior, concluir la parte (i) del teorema, es decir que x(u) es solución global de (Pu,h ).
(d) Finalmente, usando las condiciones que entrega el teorema de la función implı́cita sobre la derivada de u →
(x(u), λ(u)), demostrar la parte (ii) del teorema.
Indicación: Si bien este resultado es válido para Y espacio de Banach, la demostración es idéntica si consideramos
que X e Y son espacios de Hilbert de dimensión finita.
P19. Consideremos el problema de optimización:
(PNL)
mı́n f (x) ; x ∈ Θ ⊆ Rn , gi (x) ≤ 0 ∀i = 1, .., m,
hj (x) = 0 ∀i = 1, .., p,
y sean su Lagrangiano L(x, µ, λ) = f (x) + λT h(x) + µT g(x) y su valor óptimo f ∗ = val(P N L).
Definición. Diremos que (µ∗ , λ∗ ) es un multiplicador geométrico de (PNL) si µ∗ ≥ 0 y f ∗ = inf x∈Θ L(x, µ∗ , λ∗ ).
1 Recuerde
que esta condición es ligeramente distinta en dimensión infinita
5
(a) Calcule los multiplicadores geométricos para los siguientes problemas:
1 2
(x + x22 ) ; x ∈ Θ = R2 , x1 ≤ 1.
2 1
1
mı́n f (x) = −x ; x ∈ Θ = {0, 1} ⊂ R, x ≤ .
2
mı́n f (x) = x ; x ∈ Θ = R, x2 ≤ 0.
(P1 )
mı́n f (x) =
(P2 )
(P3 )
Indicación: Puede usar el Lema de Visualización que aparece en el próximo ejercicio.
(b) Calcule los multiplicadores geométricos y de KKT para los siguientes problemas:
(P4 )
mı́n f (x) = ex ; x ∈ Θ = R, x ≤ 0.
(P5 )
mı́n f (x) = −x2 ; x ∈ Θ = R, x = 0.
Comente los resultados en función de las distintas propiedades que conoce sobre multiplicadores generales, geométricos y de KKT (utilizar las propiedades estudiadas en clases y las que aparecen en esta guı́a).
(c) Sea (µ∗ , λ∗ ) un multiplicador geométrico para el problema no lineal (PNL). Pruebe que x∗ es mı́nimo global del
problema (PNL) sı́ y sólo sı́ x∗ es factible y (µ∗ , λ∗ ) es multiplicador general del problema (PNL) asociado a x∗ .
P20. Demostrar el siguiente Lema de Visualización:
(a) El hiperplano de normal (λ, µ, 1) que contiene al vector (h(x), g(x), f (x)) intersecta al eje {(0, 0, w) : w ∈ R} en
w = L(x, λ, µ).
(b) Entre todos los hiperplanos de normal (λ, µ, 1) que contienen en su semiespacio positivo al conjunto
S = {(h(x), g(x), f (x)) : x ∈ Θ}, el mayor nivel alcanzado en la intersección con el eje {(0, 0, w) : w ∈ R} es
w = inf x∈Θ L(x, λ, µ).
(c) (λ∗ , µ∗ ) es multiplicador geométrico sı́ y sólo sı́ µ∗ ≥ 0 y entre todos los hiperplanos de normal (λ, µ, 1) que
contienen en su semiespacio positivo al conjunto S, el mayor nivel alcanzado en la intersección con el eje {(0, 0, w) :
w ∈ R} es f ∗ = inf x∈Θ,g(x)≤0,h(x)=0 f (x).
(d) Explique a través de un dibujo los resultados obtenidos en (a), (b) y (c).
P21. Probar que
(a) Si no hay salto de dualidad, entonces el conjunto de multiplicadores geométricos coincide con el conjunto de
soluciones del problema dual.
(b) Si hay un salto de dualidad, entonces el conjunto de multiplicadores geométricos es vacı́o.
P22. Consideremos el problema cuadrático:
(PQ )
mı́n f (x) :=
1 >
x Qx + c> x sujeto a Ax ≤ b,
2
donde A ∈ Rm×n , b ∈ Rm , c ∈ Rn , y Q ∈ Rn×n es semidefinida positiva.
(a) Asuma que (PQ ) es factible. Demuestre entonces que S(PQ ) 6= ∅ ssi val (PQ ) es finito.
(b) Supongamos que Q es además nonsingular. Calcule explı́citamente el dual de (PQ ) y establezca la relación existente
entre las soluciones duales y primales (de (PQ )). ¿Qué beneficio práctico para (PQ ) ve Ud. en la resolución de su
problema dual?
(c) Demuestre que si val (PQ ) es finito, entonces existe al menos una solución de (PQ ) y al menos un multiplicador
geométrico µ̄ de (PQ ). Además, µ̄ es multiplicador geométrico ssi es multiplicador de KKT (o Lagrange) asociado
a cada solución de (PQ ) ssi es multiplicador general asociado a cada solución de (PQ ).
P23. Calcule el problema dual, el multiplicador geométrico y verifique si hay o no salto de dualidad en los siguiente problemas:
(P3 )
1 2
(x + x22 ) ; x ∈ Θ = R2 , x1 ≤ 1.
2 1
1
mı́n f (x) = −x ; x ∈ Θ = {0, 1} ⊂ R, x ≤ .
2
mı́n f (x) = x ; x ∈ Θ = R, x2 ≤ 0.
(P4 )
(P5 )
mı́n f (x) = x1 − x2 ; x ∈ Θ = R2+ , x1 + x2 ≤ 1.
mı́n f (x) = |x1 | + x2 ; x ∈ Θ = R × R+ , x1 ≤ 0.
(P1 )
(P2 )
mı́n f (x) =
6
P24. Explique una iteración del método de máximo descenso y realice cinco iteraciones (k = 4) del método de Newton para
resolver el siguiente problema irrestricto:
p
mı́n f (x, y) = x2 + 1 + (y − 1)2
x,y∈R
Para esto considere como punto inicial x0 = 1 e y0 = 0. ¿Qué sucedió con el método de Newton?, ¿por qué sucedió esto?
P25. Realice, usando tabla EXCEL o calculadora, 20 iteraciones de los métodos de máximo descenso y Newton para resolver
el siguiente problema irrestricto:
mı́n f (x, y) = x2 + 4y 2 − x − y
x,y∈R
Para esto considere como punto inicial x0 = 1 e y0 = 0. Compare ambos métodos.
P26. (a) Considere el problema Min x21 + x22 , donde las variables pueden tomar cualquier valor real. Determine una solución
óptima aplicando el método de Newton a partir del punto x01 = 2 y x02 = 1.
(b) Aplique el método de Newton al problema siguiente Min − x21 − x22 , a partir del mismo punto inicial anterior
x01 = 2 y x02 = 1. ¿Es un punto mı́nimo la solución obtenida?
(c) Compare los resultados de (a) y (b) y explique la situación.
P27. Utilice los métodos del gradiente y Newton para determinar un punto mı́nimo de la siguiente función, y compare los
resultados los resultados de ambos métodos:
f (x1 , x2 ) = 3x21 + 6x1 x2 + 6x22 + 2x1 − 5x2 .
7