GEOMETRIA ANALÍTICA PRIMER AÑO 1K2

República de Panamá
Ministerio de Educación
DIRECCIÓN NACIONAL DE EDUCACIÓN MEDIA PROFESIONAL Y TÉCNICA
Instituto Profesional y Técnico de Veraguas
Nombre del Alumno o la Alumna: _____________________________Grupo:10º ______
Sección: Bachiller Industrial  Segundo Ciclo Industrial
Especialidad: _____________________
Tel.: 958-5804
UNIDAD DE APRENDIZAJE Nº 10
El Teorema de Thales
10.0 ÁREA: Geometría
10.1 OBJETIVOS
 Utilizar las nociones geométricas de congruencia y proporcionalidad y sistemas de
representación espacial para interpretar, comprender, elaborar y comunicar informaciones
relativas al espacio físico.
 Realizar demostraciones geométricas sencillas mediante el Teorema de Thales
argumentando las hipótesis y la tesis.
 Resolver problemas sobre triángulos semejantes.
10.2 INTRODUCCIÓN
Thales de Mileto (c. 625 a. C. 546 a.C.). Fue un comerciante y legislador griego nacido en Mileto
(en la Costa Oeste del Asia Menor) o, tal vez, como dice el historiador griego Herodoto, en alguna
ciudad fenicia, hacia el 625 antes de Cristo.
Según Herodoto, Thales fue un estadista práctico que estuvo a favor de la federación de ciudades
jónicas de Grecia. Después de su éxito en el mundo de los negocios, Thales lo abandonó para
dedicarse a la filosofía y a las Matemáticas.
Thales fue el fundador de la filosofía griega, y está considerado como uno de los Siete Sabios de
Grecia. Se le conoce como el Padre de las Matemáticas y la filosofía griegas.
También fue un gran astrónomo capaz de predecir el eclipse solar del año 585 antes de Cristo,
además de determinar el número exacto de días que tiene el año. Se dice también que introdujo la
Geometría en Grecia.
Material de Geometría. Elaborado por la Profesora: Xenia Batista ([email protected]) I. P. T. Veraguas
1
Cuando le preguntaron a Thales qué recompensa quería por sus descubrimientos, contestó: "me
consideraría bien recompensado si los demás no se atribuyeran mis hallazgos, sino que
reconocieran que son míos".
Thales es considerado el primero de los siete sabios griegos por
Diógenes Laercio. También se le considera un discípulo de los
egipcios y caldeos, suposición de muy buen fundamento por los
viajes de Thales a Egipto y Mesopotamia.
No sólo fue el primer filósofo, es decir, el primero que, históricamente,
intentó explicar el mundo por causas naturales con los medios de un
pensar Thales independiente y adecuado a la razón, sino que
también
destacó
como
astrónomo,
como
ingeniero
y
como
matemático “formuló el teorema que todavía hoy lleva su
nombre”.
De no se conserva ningún escrito. Su pensamiento nos es conocido a través de otros tratadistas y
filósofos griegos, como Aristóteles y Diógenes Laercio.
Fue el fundador de la escuela jónica de filosofía, según el testimonio de Aristóteles. Fue discípulo
y protegido de Pitágoras, y además uno de los más grandes matemáticos de su época, centrándose
sus principales aportaciones en los fundamentos de la Geometría.
10.3 APORTES DE THALES COMO MATEMÁTICO
Se le atribuye a Thales el haber transportado desde Egipto a Grecia múltiples conocimientos y
herramientas elementales de Geometría.
Aunque no es históricamente seguro, se acepta
generalmente como su principal aporte el haber expresado que un triángulo que tiene por lado el
diámetro de la circunferencia que lo circunscribe es un triángulo rectángulo.
Asimismo es muy conocida la leyenda acerca de un método de comparación de sombras que
Thales habría utilizado para medir la altura de las pirámides egipcias, aplicándolo luego a otros fines
prácticos de la navegación. Se supone además que Thales conocía ya muchas de las bases de la
Geometría, como el hecho de que cualquier diámetro de un círculo lo dividiría en partes idénticas,
que un triángulo isósceles tiene por fuerza dos ángulos iguales en su base o las propiedades
relacionales entre los ángulos que se forman al cortar dos paralelas por una línea recta
perpendicular.
Los egipcios habían aplicado algunos de estos conocimientos para la división y parcelación de sus
terrenos. Más, según los pocos datos con los que se cuenta, Thales se habría dedicado en Grecia
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2
mucho menos al espacio (a las superficies) y mucho más a las líneas y a las curvas, alcanzando así
su Geometría un mayor grado de complejidad y abstracción.
Según la leyenda (relatada por Plutarco), Thales de Mileto en un viaje a Egipto, visitó las pirámides
de Guiza (las de Keops, Kefrén y Micerino), construidas varios siglos antes. Admirado ante tan
portentosos
monumentos
de
esta
civilización, quiso saber su altura. De
acuerdo
a
la
leyenda,
trató
este
problema con semejanza de triángulos
(y bajo la suposición de que los rayos
solares
pudo
incidentes
establecer
semejanza
Thales)
eran
una
(teorema
entre
dos
paralelos),
relación
de
primero
de
triángulos
rectángulos, por un lado el que tiene por catetos (C y D) a la longitud de la sombra de la pirámide
(conocible) y la longitud de su altura (desconocida), y por otro lado, valiéndose de una vara (clavada
en el suelo de modo perfectamente vertical) cuyos catetos conocibles (A y B) son, la longitud de la
vara y la longitud de su sombra. Realizando las mediciones en una hora del día en que la sombra
de la vara sea perpendicular a la base de la cara desde la cual medía la sombra de la pirámide y
agregando a su sombra la mitad de la longitud de una de las caras, obtenía la longitud total C de la
sombra de la pirámide hasta el centro de la misma.
Como en triángulos semejantes, se cumple que
D
A D
 , por lo tanto la altura de la pirámide es
B C
AC
, con lo cual resolvió el problema.
B
10.4 TEOREMAS DE THALES (O TALES)
Existen dos teoremas relacionados con la Geometría Clásica que reciben el nombre de Teorema
de Thales, ambos atribuidos al matemático griego Thales de Mileto en el siglo VI a.C.
10.4.1 LOS DOS TEOREMAS DE THALES
El primero de ellos explica esencialmente una forma de construir un triángulo semejante a uno
previamente existente ("los triángulos semejantes son los que tienen iguales ángulos y sus lados
homólogos proporcionales"). Mientras que el segundo desentraña una propiedad esencial de los
circuncentros de todos los triángulos rectángulos ("encontrándose éstos en el punto medio de su
hipotenusa"), que a su vez en la construcción geométrica es ampliamente utilizado para imponer
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3
condiciones de construcción de ángulos rectos. Si tres o más rectas
paralelas son intersecadas cada una por dos transversales, los
segmentos de las transversales determinados por las paralelas, son
proporcionales.
10.4.1.1 PRIMER TEOREMA DE THALES
Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario
establecer que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos
correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre sí.
El primer Teorema de Thales recoge uno de los resultados más
básicos de la Geometría, al saber, que:
“Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de
sus lados, se obtiene un triángulo que es semejante al
triángulo dado”.
Según parece, Thales descubrió el teorema mientras investigaba la condición de paralelismo entre
dos rectas. De hecho, el primer Teorema de Thales puede enunciarse como que la igualdad de los
cocientes de los lados de dos triángulos no es condición suficiente de paralelismo. Sin embargo, la
principal aplicación del teorema, y la razón de su fama, se deriva del establecimiento de la condición
de semejanza de triángulos.
10.4.1.2 SEGUNDO TEOREMA DE THALES
El segundo Teorema de Thales de Mileto es un teorema de
Geometría particularmente enfocado a los triángulos rectángulos,
las circunferencias y los ángulos inscritos, consiste en el siguiente
enunciado: “Sea B un punto de la circunferencia de diámetro AC,
distinto de A y de C. Entonces el triángulo ABC, es un triángulo
rectángulo”.
10.4.2 OTROS TEOREMAS GEOMÉTRICOS DE THALES
Thales fue el primero en demostrar sus afirmaciones, por lo que se le considera el primer
Matemático de la Historia. Entre teoremas geométricos que demostró tenemos:
1. Todo diámetro biseca a la circunferencia.
2. Los ángulos en la base de un triángulo isósceles son iguales.
3. Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.
4. Dos triángulos que tienen dos ángulos y un lado respectivamente iguales son iguales.
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4
5. Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.
10.5 ALGUNAS FRASES DE THALES DE MILETO

“La cosa más difícil es conocernos a nosotros mismos; la más fácil es hablar mal de los
demás”.

“La esperanza es el único bien común a todos los hombres; los que todo lo han perdido la
poseen aún”.

“La felicidad del cuerpo se funda en la salud; la del entendimiento, en el saber”.

“El placer supremo es obtener lo que se anhela”.

“El agua es el elemento y principio de las cosas”.
10.6 ALGUNOS CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE PROPORCIONALIDAD
 Razón: se denomina así al cociente de dos cantidades. En forma general, sean
b  0 El cociente de
a y bR ,
a
se llama razón de los números a y b .
b
Ejemplo 1: La razón entre 4 y 2 es
4
2
2
Ejemplo 2: La razón entre 6 y 2 es
6
 3.
2
Observación: la razón de dos segmentos, se trata del cociente indicado de sus medidas, por
ejemplo: la razón de 5cm y 2m es:
5
200
 Proporción: es toda igualdad entre dos razones.
igualdad
En general, sean las razones
a c
y
; la
b d
a c
 será una proporción si se cumple que a  d  b  c El producto de los términos
b d
extremos es igual al producto de los términos medios.
Observación: los términos extremos son:
Ejemplo 3: Sean las razones
puesto que
3
1 3
1
 formará una proporción,
y , la igualdad de estos:
2
6
2 6
1 6  2  3
Observación: la proporción
lo que
a y d , y los términos medios son: c y b.
a c
 se puede expresar así: a : b : : c : d , y se lee: “ a es a be
b d
ce es a de ”. De allí, tenemos como regla que “en una proporción el producto de los
medios es igual al producto de los extremos”, así:
bc  ad
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5
 Proporción Continua: es toda proporción que tiene los medios o los extremos iguales. A cada
uno de los términos iguales de una proporción continua se le denomina medio proporcional.
Ejemplo 4:
4 12
 , el medio proporcional es 12
12 36
Observación: en toda proporción continua, el medio proporcional es igual a la raíz cuadrada
del producto de los extremos; es decir; si
a x

 x  ab
x b
 Tercera Proporcional: se llama tercera proporcional a los términos distintos de una proporción
continua. En el ejemplo anterior las terceras proporcionales son 4 y 36 .
Observación: la tercera proporcional es cada término no repetido de la proporción. Es igual al
x a
a2
 x
cuadrado de los términos iguales, dividido entre el término distinto, si 
a b
b
 Cuarta Proporcional: se llama cuarta proporcional de tres cantidades
que cumple la condición siguiente:
a, b , y c , a un valor x ,
a c
bc

 x
b x
a
Ejemplo 5: Hallar el término que hace falta (la cuarta proporcional), según se indique, si:
a  3,
b  4,c  6 y d  ?
Sol.:
a:b: : c:d
Por definición de proporción
3: 4: : 6: d
Sustituyendo los valores
3 d  4 6
Se aplica la propiedad de proporción
3  d  24
Se resuelve y despeja la ecuación
d 
24
3
d  8
 d=8
Se despeja la cuarta proporcional
Se escribe el valor que se pide
es la cuarta proporcional
Ejemplo 6: Hallar la cuarta proporcional en:
Sol.:
a :b: : c: x
5 : 20 : : 1: x
5 1

20 x
Por definición de proporción
Sustituyendo los valores
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6
5  x  1  20
Se aplica la propiedad de proporción
5x  20
Se resuelve y despeja la ecuación
x
20
5
x 4
Se despeja la cuarta proporcional
Se escribe el valor que se pide
 x=4
es la cuarta proporcional
Ejemplo 7: Hallar el término que hace falta, según se indique, si:
Sol.
:
a:b: : c:d
Por definición de proporción
2:4: : c:6
Sustituyendo los valores
26  4c
Se aplica la propiedad de proporción
4  c  12
Se resuelve y despeja la ecuación
c
12
.
4
c 3
Ejemplo 8: Hallar el valor de
Sol.:
a:b: : c:d
Se despeja la tercera proporcional
Se escribe el valor que se pide
x en
16 x

20 5
Por definición de proporción
16 : 20 : : x : 5
Sustituyendo los valores
16  5  20  x
Se aplica la propiedad de proporción
80  20 x
Se resuelve y despeja la ecuación
x
80
20
x 4

a  2, b  4 , c  ? y d  6
Se despeja la tercera proporcional
Se busca el valor que se nos pide
Segmentos Proporcionales: una colección de segmentos de longitudes
proporcionales a otros segmentos de longitudes
a, b, c  son
a' , b' , c'  si el cociente, o razón, que se
obtiene al dividir cada longitud de un segmento de la primera colección entre la longitud de su
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7
correspondiente
segmento
de
la
segunda,
es
siempre
el
mismo.
Es
decir,
a
b
c

  r
a' b' c'
Observación: el cociente
r
recibe el nombre de razón de proporcionalidad.
Al referirnos a segmentos proporcionales será necesario comparar cuatro segmentos de dos en dos,
de tal suerte que si la razón entre dos de ellos es igual a la razón de los otros dos, entonces los
segmentos serán proporcionales.
Por ejemplo: Dados los siguientes segmentos:
Supongamos que sus longitudes son:
AB  4 ; CD  10 ; EF  12 y GH  30
AB EF
2

 
CD GH
5
 Los segmentos: AB ; CD ; EF y GH son proporcionales.
4 12
2 



10 30
5 

Teorema de Thales: si dos rectas
cualesquiera son cortadas por rectas
paralelas,
los
segmentos
que
determina en una de las rectas son
proporcionales
a
los
segmentos
correspondientes de la otra.
Este teorema nos permite calcular, por
tanto, la longitud de un segmento si conocemos su correspondiente
en la otra recta y la proporción entre ambos

Bisectriz de un ángulo: es la recta que pasa por el vértice del
ángulo y lo divide en dos partes iguales.
Observación: la bisectriz de un ángulo divide al lado opuesto
en segmentos proporcionales a los contiguos.
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8
10.7 PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES

En toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios.

Si se cambian entre si los medios o entre si los extremos de una proporción, se obtiene una
nueva proporción.

Una proporción se puede transformar en otra sumando los términos de cada razón para
obtener una nueva proporción.

Una proporción se puede transformar en otra restando los términos de cada razón para
obtener una nueva proporción.

Una proporción se puede transformar en otra invirtiendo los términos de cada razón.

Si se tiene una sucesión de razones iguales, la suma de los numeradores es a la suma de los
denominadores como cualquiera de los numeradores es a su respectivo denominador.
PRACTICA Nº 1 (RAZONES Y PROPORCIONES)
I.
Hallar las siguientes razones directas:
1) 5 pu lg y 15 pu lg
2) 13cm y 52 cm
4) 50 m a 60 m
II.
5) 12 a
4) a 
III.
1
, b  3, c  4, d  x
2
16 pies
6) 33% a 77%
3
8
Hallar la cuarta proporcional a los números
1) a  2, b  4, c  8, d  x
3) 32 pies y
a, b y c
2) a  5, b  4, c  3, d  x
3) a  2, b  8, c  8, d  x
1
10
3
5) a  , b  , c  , d  x
8
4
2
1
12
3
6) a  , b  , c  , d  x
5
5
2
Hallar x en cada una de las siguientes proporciones:
1)
1 x

2 10
2)
3 9

5) 7 x
2
x

3 27
3)
14 x

8
4
4)
x 6

8) 4 8
x
3

7) 2 x  3 5
34 17

6) 100 x
11 33

4
x
Respuestas:
I
1
3

1
4

1
3

5
6
 32

3
7
II  16
 2, 4
 32
 24
 30
 9
III  5
 18
 7
 12
 21
 50
 9
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 3
9
10.8 PRINCIPIOS RELATIVOS A LOS SEGMENTOS PROPORCIONALES
1. Si una línea es paralela a un lado de un triángulo, entonces ésta
divide a los otros dos lados proporcionalmente.
De este modo, en el ABC; DE
2.
BC 
a c

b d
Si una línea divide proporcionalmente
a dos lados de un triángulo, entonces dicha recta es paralela al tercer
lado. (Contrario del caso 1).
De modo que, en el ABC; si:
a c
  DE
b d
BC
3. Tres o más paralelas dividen proporcionalmente a dos
transversales cualesquiera. (Principio de Thales).
CD 
Si AB
EF
También:
AE BF

;
AC BD
a c

b d
EC FD

AC DB
4.
La bisectriz de uno de los ángulos de un triángulo divide al lado
opuesto en segmentos proporcionales a los lados adyacentes.
En el ABC; CD bisecta al  C , entonces:
a c

b d
Si dos lados de un triángulo se dividen proporcionalmente, entonces:
a) Los segmentos parciales correspondientes, son proporcionales.
b) Los dos segmentos totales y un par cualquiera de segmentos
parciales homólogos son proporcionales.
De acuerdo a la figura obtenemos:
AE EC

BD DC
AC
BC

,
Para la parte b)
AE
DB
Para la parte a)
AC
BC

EC
DC
Por lo tanto: ABC  EDC
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10
10.9
EJEMPLOS
RESUELTOS
DE
PRINCIPIOS
RELATIVOS
A
LOS
SEGMENTOS
PROPORCIONALES
Ejemplos 9: Dado el ABC; dónde DE
BC . Hallar el término que hace falta. Si: AB  12 ;
AE  10 ; EC  5 y DB  x
Solución:
AD AE

DB EC
Por principios de segmentos
12 10

x 5
Sustituyendo los valores
10 x  512
Por propiedad de proporciones
10 x  60
Resolviendo el producto
x
60
10
Se despeja
x6

Se resuelve la ecuación
DB  6
Ejemplos 10: Encuentra el valor que hace falta, aplicando el Teorema de Thales y sabiendo que Si
las longitudes son: AB  5; CD  15; GH  24; EF  x
Solución:
AB EF

CD GH
Por principios de segmentos
AB : EF  CD : GH
Por Teorema de Thales
5 : x  15 : 24
Sustituyendo los valores
15x  524
Por propiedad de proporciones
15 x  120
x
Se resuelve el producto
120
15
Se despeja
x 8

Se resuelve la ecuación
EF  8
Ejemplos 11: Dado el ABC; donde BD biseca al  B .
Hallar
el
valor
que
se
indica,
si:
AB  x ; AD  14 ; DC  x  23 y BC  10
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11
AB AD

BC DC
Solución:
Principios de segmentos
x
14

10 x  23
Sustituyendo los valores
x x  23  10 14
x 2  23x  140
Por propiedad
Resolviendo productos
x 2  23x  140  0
Trasponiendo los términos
x  28x  5  0
Resolviendo el trinomio
x1  28 , x2  5
Se buscan las dos raíces
x  28
Es la solución más lógica
 AB  28 ;
DC  28  23  5
10.10 TEOREMA DE THALES (OTRA FORMA DE VERLO)

Definición: si dos o más rectas paralelas son cortadas cada
una por dos transversales, los segmentos de las transversales
determinadas por las rectas paralelas son proporcionales.
Consideremos la figura siguiente:
De acuerdo a esta figura:
Midamos los segmentos:
AB, BC, A' B' y B'C '
Y comprobemos que: BC  2 AB
(1)
B' C'  2 A' B' (2)
Si dividimos miembro a miembro las igualdades (1) y
(2), y nos quedará:
2 AB
BC

B' C ' 2 A' B'
Por consiguiete
n:
BC
AB

B' C ' A' B'
lo cualpue dee scribirsecomo:
BC
AB
AB A' B'

ó

A' B' B' C '
BC B' C '
10.10.1 EJEMPLOS RESUELTOS DEL TEOREMA DE THALES
1) En la figura que se muestra a continuación, encuentra el lado que
hace falta, aplicando el Teorema de Thales y sabiendo que
AA'
BB '
CC '
Si las longitudes son: AB  5 ;
BC  10 ;
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12
A' B'  x  B' C'  20
AB : BC  A' B' : B' C'
Solución:
Por definición del Teorema de Thales
5 : 10  x : 20
Sustituyendo los valores
520  10 x
Se aplica la propiedad de las proporciones
100  10 x
Se resuelve el producto
x  100
10  10
Se resuelve el cociente
 A' B'  10
2) Encuentra el valor que hace falta en la construcción geométrica,
aplicando
AA'
el
Teorema
2x : 5  x  3 : 7
sabiendo
BC  5
Se resuelve el producto
14 x  5x  15
Se reduce términos semejantes
9x  15
x
Se despeja la variable
15
9
Se resuelve la ecuación
5
3
Se reduce la fracción
x
como

5
3
Por definición del Teorema de Thales
Se aplica la propiedad de las proporciones
14 x  5x  15
x
que
Sustituyendo los valores
2x7  5x  3
A' B'  x  3
y
B' C '  7
AB : BC  A' B' : B' C'
Luego,
Thales
CC ' Si las longitudes son: AB  2x ;
BB '
A' B'  x  3 
Sol.:
de
5
3
,
entonces:
 2 53   103
AB  2x
y
 3  5 3 9  143
3) Encuentra el valor que hace falta en la construcción geométrica,
aplicando
AA'
el
BB '
Teorema
CC '
de
Si
Thales
y
sabiendo
las longitudes son:
que
AB  3 ;
BC  9 ; A' B'  4 ; B' C '  x
Sol.: AB : BC  A' B' : B' C '
Por definición del T. de Thales
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13
3:9  4: x
Sustituyendo los valores
3 x  94
Se aplica la propiedad de las proporciones
3 x  36
x
Se resuelve el producto
36
 12
3
Se despeja la variable
 B' C '  12
4) Encuentra el valor que hace falta en la construcción
geométrica, aplicando el Teorema de Thales y sabiendo que:
AE
BF
CG
DH
Si
las
longitudes
son:
AB  5 ; CD  15 ; EF  x y GH  24
Sol.:
AB : EF  CD : GH
Por
definición
del
Teorema de Thales
5 : x  15 : 24
Sustituyendo los valores
524  15x
Se resuelve el producto
120 15 x
x
Se aplica la propiedad de las proporciones
120
8
15
Se despeja la variable
 EF  8
5) Encuentra el valor que hace falta en la construcción
geométrica, aplicando el Teorema de Thales y sabiendo que
AE
BF
FG  6 ;
Sol.:
CG
DH
Si
las
longitudes
son:
CD  21; BC  x  GH  18
BC : FG  CD : GH
x : 6  21 : 18
Por definición del Teorema de Thales
Sustituyendo los valores
18 x  621
Se aplica la propiedad de las proporciones
18 x  126
Se resuelve el producto
x
126
7
18
Se despeja y se resuelve
 BC  7
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14
6) Encuentra el valor que hace falta en la construcción
geométrica, aplicando el Teorema de Thales y sabiendo
que:
AB
EF '
CD
Si
las longitudes son:
AC  7; CE  x; BD  5  DF  2
AC : BD  CE : DF ' Por def. del T. de Thales
Sol.:
7:5  x:2
Sustituyendo los valores
72  5x
Se aplica la propiedad de las proporciones
14  5x
Se resuelve el producto
5 x  14
Se traspone los términos
x
14
5
Se despeja la variable
x  2,8
Se resuelve la ecuación
 CE  2,8
7) Encuentra el valor que hace falta en la construcción geométrica, aplicando el Teorema de
Thales y sabiendo que MQ
Si las longitudes son:
9 : 7  x : 14
914  7x
7 x  126

OP
QR  7; QP  14; MN  9; NO  x
Sol.: MN : QR  NO : QP
x
NR
Por definición del Teorema de Thales
Sustituyendo los valores
Se aplica la propiedad
Se resuelve el producto
126
 18
7
Se despeja
NO  18
8) Encuentra el valor que hace falta en la construcción
geométrica, aplicando el Teorema de Thales y sabiendo
que IS
JT
KU
Si las longitudes son: IK  80; TU  15; SU  120; JK  x
Sol.: IK : SU  JK : TU
80 : 120  x : 15
Por el Teorema de Thales
Sustituyendo los valores
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15
8015  120 x
Por propiedad
120 x  1200
Resolviendo el producto
x
1200
 10
120
Despejando
 JK  10
9) Calcula la distancia A' C' en la siguiente figura:
Si las longitudes son: AC  3,7cm ; A' C'  x; BC  1,8cm 
BC  1,8cm  B' C'  2,2cm
Sol.: AC : A' C '  BC : B' C '
3,7 : x  1,8 : 2,2
3,72,2  1,8x
1,8 x  8,14
x
Por def. del T. de Thales
Sustituyendo los valores
Se aplica la propiedad de las proporciones
Se resuelve el producto
8,14
1,8
Se despeja
x  4,5 cm
Se resuelve la ecuación
 A' C '  4,5
10) Calcula el valor de la variable que se indica, aplicando el Teorema de Thales y los principios de
segmentos proporcionales:
En el triángulo ABC; BC biseca al  B 
Solución:
x 3
 .
10 15
b c

a d
Principios relativos de segmentos
15x  310
Sustituyendo los valores
15 x  30
Se resuelve el producto
x
30
15
x  2
Se despeja la variable
Se resuelve la ecuación
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16
PRACTICA Nº 2 (SEGMENTOS PROPORCIONALES)
I. Hallar el valor de x en las siguientes figuras aplicando el Teorema de Thales y los principios
sobre segmentos proporcionales:
II. Calcula el valor de la variable que se indica, aplicando el Teorema de Thales y los principios
sobre segmentos proporcionales:
x  25; CD  25  x  60; EA  60  x  12; EF  12  x  7 
x  6, DC  6; AD  14  x  15; AC  15  x  7, BD  14; DC  20  x  15, BC  24; AB  30
35
35
21
, ON  34
; OM  17
II  x  1; BD  1  x  5, ST  10; WX  8  x  17
 x  95 ; OM  10
9
Respuestas: I 
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17
x   16 , TB  72 ; EW  14  x  85 ; AB  85  x  2, RQ  75 ; RT 
45
 x  3, GI  2; IE  24, FJ  12  x  45
7 ; AB  7

7
3

x  8; VS  8
10.11 SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Dos figuras geométricas son semejantes o similares si tienen exactamente la misma forma, pero
no necesariamente el mismo tamaño. Es decir, una es un modelo a escala de la otra, como ocurre
al reducir o ampliar una figura en una fotocopiadora.

Definición: dos triángulos, se dicen semejantes o similares cuando tienen sus ángulos
correspondientes congruentes (o iguales) y sus lados correspondientes son proporcionales.
Para indicar la semejanza se utiliza el símbolo  , que se lee: “es semejante a”; y para indicar la
congruencia se utiliza el símbolo  , que se lee: “es congruente con”.
En general, sean ABC y
RST dos triángulos cuyos lados opuestos son a, b, c; s, t, r
respectivamente:
1)
A=
R
B=
S
C=
T
2)
a c b
 
r t s
Entonces se dice ABC  RST
10.11.1 PROPIEDADES DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
La semejanza de triángulos cumple con las siguientes propiedades:
 Propiedad Reflexiva: todo triángulo es semejante a sí mismo.

Simbólicamente ABC
ABC.
 Propiedad Simétrica: si un triángulo es semejante a otro, éste a su vez es semejante al primero.
Simbólicamente ABC  A’B’C’  A’B’C’  ABC.
 Propiedad Transitiva: si un triángulo es semejante a un segundo triángulo y éste a su vez a un
tercero, entonces el primero es semejante al tercero.
Simbólicamente ABC  MNO  MNO  PQR  ABC  PQR
Una relación de equivalencia cumple con estas tres propiedades, entonces la semejanza de
triángulos es una relación de equivalencia.
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18
10.11.2 LA PROPORCIONALIDAD DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

La Razón de Semejanza: es la razón r de dos lados homólogos (opuestos a ángulos iguales) y
es constante en dos triángulos semejantes.
Para el ABC y el MNP, si se establece una relación del primero al segundo, entonces pueden
presentar los siguientes casos:
a) Que el ABC sea más chico que el MNP. Si esto ocurre, entonces r  1 .
b) Que ambos triángulos sean del mismo tamaño. En este caso se dice que los triángulos son
congruentes y en consecuencia r  1 .
c) Que el ABC sea más grande que el MNP. Si esto ocurre, entonces r  1

Segmentos Proporcionales: si dos lados de un triángulo se dividen proporcionalmente,
entonces:
a) Los
segmentos
parciales
correspondientes
son
AD DB

CE EB
proporcionales. Esto es;
b) Los dos segmentos totales y un par cualquiera de
segmentos parciales homólogos son proporcionales.
Observando la figura adjunta, tenemos:
AB BC

o bien
AD EC
AB CB

DB EB
Lo último nos permite afirmar que: ABC  DBE

Principios de Proporcionalidad
1) “Si una recta es paralela a uno de los lados de un triángulo,
entonces divide a los otros dos en segmentos proporcionales”.
En el ABC; si DE
BC 
AD AE

DB EC
El recíproco de este principio también es válido.
2) “Dos transversales cualesquiera, cortadas por tres o más
paralelas, quedan dividida en segmentos proporcionales”. Este
principio se conoce como Principio de Thales.
Si AB
CD
También:
EF 
AC BD

AE BF
AC BD

o bien
CE DF
CE DF

EA FB
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19
3) La bisectriz de un ángulo de un triángulo divide el lado opuesto en dos segmentos
proporcionales a lados contiguos.
Si CD es bisectriz del
ACB 
AD AC

BD CB
10.11.3 LOS CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
10.11.3.1 PARA TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS: dos triángulos son semejantes si tienen:
1. “Dos ángulos correspondientes iguales” (a a a)
2. “Dos lados proporcionales e igual el ángulo comprendido” (l a l)
3. “Sus tres lados proporcionales” (l l l)
4. “Sus lados homólogos paralelos entre sí”.
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20
5. “Sus lados correspondientes perpendiculares entre sí”.
6. “Las alturas correspondientes proporcionales a sus lados”.
10.11.3.2 PARA TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
1. Si en el criterio 6 “la altura es relativa a la hipotenusa, entonces ésta divide al triángulo
dado (triángulo rectángulo) en otros dos semejantes a él y semejantes entre sí”.
Además, dos triángulos rectángulos son semejantes cuando tienen:
2. “Un ángulo agudo igual”
3. “Los catetos proporcionales”
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21
4. “La hipotenusa y un cateto proporcionales”
10.11.4 EJEMPLOS RESUELTOS SOBRE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS:
1) Los siguientes triángulos son semejantes, halle la razón de semejanza.
Solución:
r
EA
AB

DC
BD
7 12
8 12
r


10 12
11109
15
2
21
2

17
2
119
10
15 2
17 10



2 21
2 119
15
85
r

21
119
5
5
r

7
7
r
Respuesta: La razón de semejanza es r 
5
7
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22
2) Demuestre que los siguientes triángulos son semejantes y
determine el valor de x .
Solución:
aplicando
el
principio
3
de
segmentos
proporcionales, se tiene que: como AC es bisectriz
del
BAD 
AD AB

, esto nos permite afirmar que:
CD BC
ABC  ACD y en consecuencia el valor de x es:
x  1 2x
AD AB



CD BC
3
5
32 x   5x  1
6 x  5x  5
6 x  5x  5
 x 5
Respuesta: El valor es x  5
3) Determine el valor de x .
Solución: como BE
CD , entonces:
2 =
4 por ser
s correspondientes.
5 =
7 por ser
s correspondientes.
Además,
1 =
1 por identidad
Por lo tanto: ABE  ACD, por el criterio a. a. a.
Los lados homólogos son proporcionales, así:
AB BE

AC CD
4
9

x
3x  6
9x   4 3x  6
9 x  12x  24
9 x  12x   24
 3x   24
 24
x
3
x 8

Respuesta: El valor es x  8
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4) Los triángulos indicados son semejantes, determine la razón de semejanza.
Solución: Como: ABC  BAD
r
AD AB

AB BC
32
8
 r 3 
8
6
32 1
8
r
 
3 8
6
8
4
r

6
3
Respuesta: La razón de semejanza es r 
4
3
PRACTICA Nº 3 (TRIÁNGULOS SEMEJANTES)
I. Los triángulos indicados son semejantes. Determine la razón de semejanza:
II. Demuestre que los triángulos dados son semejantes y calcule el valor de las letras desconocidas:
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III. Aplique los principios de proporcionalidad y determine el valor de la incógnita.
Respuestas: I  r  3
 r
5
3
II 
x  16
 x  10
III 
x3
 x3

x6
y  10
 y  15
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