IV: Medida de magnitudes para maestros. Capitulo 1: Magnitudes y

IV: Medida de magnitudes para maestros.
Capitulo 1: Magnitudes y medida
SELECCIÓN DE EJERCICIOS RESUELTOS
ACTIVIDAD INTRODUCTORIA (Ejercicios 12 y 13):
1. Virginia avanza un metro, aproximadamente, cada dos pasos. En un paseo ha
recorrido 1 hm, 8dam, 9m y 50 dm.
a) ¿Cuántos pasos ha dado, aproximadamente?
b) Expresa la medida compleja dada en este enunciado para la distancia recorrida
por Virginia usando como única unidad el metro.
1) Resuelve las cuestiones a) y b) de esta tarea escolar.
2) Indica las magnitudes, las cantidades y las unidades de medida que se
ponen en juego en este problema.
3) Describe otros dos ejemplos de atributos o rasgos de los objetos que
consideres son magnitudes.
4) Para cada uno de los dos ejemplos de magnitudes que has dado en la
pregunta 3, indica ejemplos de cantidades de dichas magnitudes, así
como de las unidades de medida que se usan habitualmente.
5) Describe la diferencia entre “magnitud”, “cantidad”, “medir”, “unidad de
medida” y “medida de una cantidad”.
1) 1 hm, 8 dam, 9 m y 50 dm es igual a (100+80+9+5) = 194 m. Como cada metro
equivale a 2 pasos, la distancia será de 194 x 2 = 388 pasos.
2) Magnitudes: longitud (magnitud continua) y “número de pasos” (magnitud discreta)
Cantidades: Distancia recorrida por Virginia; cada una de las cantidades de las distintas
unidades de medida (un paso, hm, dam, m, dm), las cantidades expresadas en cada
unidad de medida (1 hm, 8dam, 9m y 50 dm). La misma cantidad de distancia recorrida
es expresada con dos unidades diferentes, 194 metros y 388 pasos. Este hecho muestra
la necesidad de distinguir entre las cantidades y los números mediante los cuales se
expresan las cantidades al elegir una unidad de medida. La misma cantidad se expresa
con números diferentes. Los 50 dm de la medida compleja equivalen a 5 m; en un caso
se expresa con el número 50 y en el otro con 5.
Unidades de medida: paso (unidad de medida no estándar), hm, dam, m, dm (unidades
legales del Sistema Métrico Decimal).
3) Otras magnitudes que se estudian en educación primara: peso, área, volumen,
capacidad, valor monetario (dinero), ... Son rasgos o atributos de los objetos que son
cuantificables de manera objetiva. La belleza es un rasgo de las personas, paisajes, ...,
pero no es cuantificable de manera objetiva, luego no se considera una magnitud.
4) Peso: Cantidades (peso de una persona, peso de una manzana, ...); unidades legales:
kg, (sus múltiplos y submúltiplos); unidades no estándares: el peso de cualquier objeto
1
que se tome como cantidad de comparación.
Área: Cantidades (área de la superficie la clase, de una mesa, ...); unidades legales:
metro cuadrado (sus múltiplos y submúltiplos); unidades no estándares: el área de la
superficie de cualquier objeto (una baldosa, un folio, ...) que tome como cantidad de
comparación)
5) Magnitud: Se suele usar el término ‘magnitud’ para indicar los atributos o rasgos de
los objetos que varían de manera cuantitativa y continua (longitud, peso, densidad, etc),
o también de manera discreta (p. e., “el número de personas”, ...)
Cantidad: Con el término ‘cantidad’ nos referimos habitualmente al valor que toma una
magnitud en un objeto particular (p. e., el largo de esta mesa es 1‘3 m; en la clase hay
60 personas, etc.). Distintos objetos pueden tener la misma cantidad de una magnitud,
de modo que la cantidad hace referencia a la clase de todos los objetos que tienen dicho
valor de la magnitud.
Medir: Medir una cantidad de magnitud consiste en determinar el número de veces que
esa cantidad contiene a otra cantidad (o cantidades) que se toman como referencia o
patrón de comparación (unidades de medida). Por ejemplo, decimos que el largo de la
mesa es 1 metro y 40 centímetros.
Medida de una cantidad: Al hacer una medición asignamos un número y una unidad de
medida, o varias, dependiendo de si la cantidad a medir es múltiplo de la cantidad
tomada como referencia o no, y de la precisión deseada. El número, junto con la unidad
o unidades de medida constituye la “medida de una cantidad”.
EJERCICIOS:
14. En una prueba escrita un alumno escribe:
625/5 = 125 = 125 cm
a) ¿Es correcta esta expresión?
b) ¿Qué explicaciones y comentarios darías a este alumno?
a) Esta expresión no es correcta ya que se presentan como “iguales” dos entidades
matemáticas bien diferentes. 125 cm es una cantidad de longitud usando el cm como
unidad de medida. 125 es el resultado de dividir 625/5, o sea, un número natural.
b) Para no confundir un número con la medida de una cantidad es necesario escribir por
una parte el resultado de la operación de dividir 625/5, que sí es igual a 125, y por otra
expresar que dicho número, en el contexto del problema es la medida en cm de la
longitud correspondiente.
17. Un depósito contiene 8 kilolitros de agua. Se han sacado 489 litros. ¿Cuántos litros
de agua quedan en el depósito? ¿Cuántos metros y centímetros cúbicos?
8 kilolitros = 8 x1000 litros = 8.000 litros.
8.000 l – 489 l = 7.511 l = 7.511 dm3 = 7’511 m3 = 7.511.000 cm3
Generalización:
Si el depósito es de forma cilíndrica, ¿Cuánto mide el radio de la base de dicho depósito
2
si la altura es igual a 4/7’511 metros?
Solución: r = 2 metros.
TALLER DE MATEMÁTICAS
1. La equivalencia entre la longitud de un palillo y una cerilla es 2 palillos es igual a 3
cerillas (2p = 3c). Después de efectuar mediciones de dos longitudes l y l', realizadas,
respectivamente, con cerillas y palillos se ha obtenido que:
3p < l < 4p
4c < l' < 5c
¿Qué se puede decir de l y l'? ¿Cuál es mayor?
Cerillas
C
0
0
l´
2
1
P
4
3
1
2p = 3c
6
5
3
2
4
l
Palillos
3p < l < 4p
En las condiciones del enunciado, como se muestra en el dibujo, no se puede saber cuál
es mayor l o l’. El intervalo [3,4] en el que está l medida con p, y el [4,5] en el que está
l’ medido con c no son disjuntos, por lo que l podría ser mayor o menor que l’.
2. Una misma longitud h ha sido medida con palillos y, a continuación con capuchones
de bolígrafos Bic, obteniéndose que:
5p < h < 6p
11c <h < 12c
¿Qué se puede decir de las medidas efectuadas?
Capuc hones
C
0
1
2
0
P
1
h
11c < h < 12c
3
4
5
6
7
3
2
8
4
9
10
5
11
12
6
5p < h < 6p
Palillos
Como se muestra en el dibujo, 11c > 5p, y 12c< 6p; o sea,
c 6
c 5

 0.5 , y además,   0.45 .
p 12
p 11
Por, tanto se puede decir que la medida de un capuchón es mayor que 0.45p y menor
que 0.5p. Además se puede decir que la medida usando c es más precisa que usando p.
3. Suponga que {l, s, t, u, v} es un sistema de medida de longitudes regular, en el que
los cambios se hacen de cuatro en cuatro.
3
a) Traduzca a escritura compleja correcta la siguiente medida:
2l 4s 6t 5u 8v
b) Reduzca esa escritura a unidades s.
c) Reduzca esa escritura a unidades l.
d) Reduzca esa escritura a unidades v.
e) Reduzca esa escritura a unidades u.
a) Como los cambios se hacen de cuatro en cuatro, y considerando que la menor es v, se
tiene: u =4v, t =4u, s =4t, l =4s. Se supone que en la expresión de una medida compleja
se deben usar el menor número posible de unidades de cada orden; en este caso esos
números deben ser menores que 4, ya que en caso contrario podemos usar una unidad de
orden superior. Por ejemplo, 8v =2u, con lo cual no se necesita la unidad v. Esta tabla
resume los cálculos:
Llevadas
Acumulado
Resto
2l
1l
3l
3l
4s
1s
5s
1s
6t
1t
7t
3t
5u
2u
7u
3u
8v
0v
b) Se puede expresar con una notación decimal, en base 4: 3l 1s 3t 3u = 31’33 s. Se
entiende que esta es una forma abreviada de escribir la expresión polinómica siguiente:
3x41 +1 + 3x4-1 +3x4-2
c) Con el mismo convenio anterior se escribirá: 3l 1s 3t 3u = 3’133 l
d) En unidades v, la expresión, en escritura decimal (base 4), será: 31330 v (sin parte
decimal). Esta misma cantidad expresa en base 10 será:
x4 + 3x42 + 1x43 + 3x44 =892 (o sea 892 s)
e) En unidades u, la escritura será: 3133 u (base 4)
4
IV: Medida de magnitudes para maestros.
Capitulo 2: Magnitudes geométricas
SELECCIÓN DE EJERCICIOS RESUELTOS
ACTIVIDAD INTRODUCTORIA:
1. a) Calcula el perímetro y área de un pentágono regular que tiene 5'7 m de lado y 4 m
de apotema.
b) Generalización 1: Encuentra dos fórmulas que permitan calcular el perímetro y el
área (respectivamente) de un polígono regular de n lados suponiendo que la longitud de
lado es l y la longitud de la apotema a.
c) Generalización 2: Calcula el perímetro y el área de un pentágono regular que tiene
como lado l y como radio de la circunferencia circunscrita r.
a) Perímetro, P = 5 . 5’7 = 28’5 (m);
Área = (1/2). 5’7 . 4 . 5 =57 (m2)
b) Perímetro, P = n.l ;
1
n
Área, A = l.a.n  .a (Semiperímetro multiplicado por la apotema)
2
2
c) Si se conoce r podemos calcular la apotema a aplicando el teorema
r
a
l
2
l
de Pitágonas: a  r    Ahora podemos aplicar las fórmulas del
2
apartado b)
2
EJERCICIOS
4. Encontrar el área de cada uno
de los paralelogramos siguientes y
calcular las longitudes x e y.
a) El área del paralelogramo se calcula multiplicando la “base” por la altura.
Tomando como base el lado que mide 10 cm su altura correspondiente mide 4
cm (perpendicular a la base por uno de los vértices opuestos). Así pues, el área
A = 10 . 40 = 40 (cm2).
Pero también se puede tomar como “base” el lado que mide 5 cm, en cuyo caso la
altura es la distancia marcada con la letra x. Por tanto, A = 5 . x. Igualando ambos
valores de A, y despejando x se obtiene, x = 40/5 = 8 (cm)
5
b) Razonando de igual modo se obtiene, A = 3 . 12 = y . 2 = 36; despejando, y =
36/2 = 18 (cm).
6. Demostrar que el área de un trapezoide cuyas bases son b1 y b2, y su altura es a se
1
puede calcular con la siguiente fórmula: A  (b1  b2 ).a
2
D
B1
E
C
Descomponemos el trapezoide en dos triángulos
trazando la diagonal AC. Ambos triángulos tienen la
misma altura a (distancia de uno de los vértices al lado
a
opuesto) al ser AB y DC lados paralelos.
Área del trapecio,
1
1
1
A  b 1.a  b 2 .a  (b 1 b 2 ).a
2
2
2
A
B
b2
8. Encuentra una fórmula que permita calcular el área de un sector circular de radio r y
cuyo ángulo central sea de n grados.
El área del sector circular es directamente proporcional a la
amplitud de su ángulo central. Por tanto, la razón del área del
círculo a su amplitud (360º) es la misma que la del área del sector
circular (A) y su amplitud n:
 r2 A
n. r 2
 ;A
360 n
360
r
9. Una pizza de 30 cm de diámetro tiene el mismo espesor que otra de 50 cm. Suponiendo que
la cantidad de ingredientes de las pizzas es proporcional a sus áreas, ¿cuántos ingredientes de
más tiene la pizza grande respecto de la pequeña?
10. Una diana para lanzar dardos está formada por cuatro anillos
concéntricos como se muestra en la figura. Los radios de los círculos son 10,
20, 30, 40, y 50 cm. Supongamos que al lanzar un dardo existe la misma
probabilidad de que caiga en cualquier punto de la diana. ¿Es más probable
que el dardo caiga en el anillo exterior o dentro de la región formada por el
círculo central y los dos anillos concéntricos más próximos que le rodean?
11. Encuentra una fórmula que permita calcular el área total de una pirámide regular recta de
base hexagonal de lado l y de altura a.
6
12. Encuentra una fórmula que permita calcular el área total de un cilindro recto de
altura a y cuyas bases tienen de radio r.
El desarrollo del cilindro se compone de un rectángulo de
base 2r y altura a, y dos círculos de radio r.
Luego el área total será:
AT= 2r.a + 2r2 = 2r(a+r)
a
r
13. Encuentra una fórmula que permita calcular el área de la superficie total de un cono
circular recto de radio r y altura a.
El desarrollo del cono se compone de un círculo, cuya
área será, AC = r2 y un sector circular cuyo radio es la
generatriz del cono y la longitud del arco del sector se
corresponde con la longitud de la circunferencia de la
base (2r).
La generatriz del cono se calcula en función de h y r
g
h
r
aplicando el teorema de Pitágoras: g  h 2  r 2
El área del sector circular se puede calcular teniendo en
cuenta que existe una proporcionalidad directa entre la
longitud del arco del sector y su área.
Como el área de la circunferencia de longitud 2g es
g2, se puede establecer la siguiente proporciolidad:
 g2
A
 S . De aquí se deduce, AS = gr
2 g 2 r
Por tanto, el área de la superficie total del cono circular
recto será:
AT = AC + AS = r2 + gr = r (r + g)
g
r
15. El diámetro de Júpiter es 11 veces mayor que el diámetro de la Tierra. a) ¿Cuántas
veces es mayor el área de la superficie de Júpiter?; b) ¿Cuántas veces es mayor el
volumen?
Sean Rj y Rt los radios de Júpiter y de la Tierra,
respectivamente. Como el diámetro de Júpiter es
11 veces el de la Tierra la misma relación habrá
entre los radios, Rj = 11 Rt.
7
a) La razón entre el área de la superficie de Júpiter
y la de la Tierra será:
4 R j
4 (11Rt ) 2

 112
2
2
4 Rt
4 R t
2
Rt
Rj
b) Para el caso de los volúmenes, la razón será,
113
TALLER MATEMÁTICO
3.
a) Trazar un cuadrado de 10 cm de lado. En el interior de este cuadrado trazar los
cuatro semicírculos centrados sobre las mitades de los lados y que pasan por el
centro del cuadrado (que será el punto de intersección de las diagonales el
cuadrado). El interior del cuadrado queda dividido en 8 superficies disjuntas. Rayar
las que sean convexas.
b) Trazar los ejes de simetría de la figura obtenida y calcular el área total de la figura
rayada.
a) Figura adjunta
b) Para calcular el área de cada “pétalo” A necesitamos
calcular el área de una de las regiones L. El área de L es la
diferencia entre el área de un cuadrado de lado 5, menos el
área de la cuarta parte del círculo de radio 5.
1
 
L  52   .52  25 1  
4
 4
El área de cada región A será 52 – 2L
4. Un trapecio ABCD es rectángulo en A y D. Elegida una unidad de longitud se supone
que AB = 30 y DC = 55. ¿En qué posición se debe tomar un punto E del segmento CD
para que la recta BE divida al trapecio en dos polígonos de igual área?
Al unir B con E se obtiene un triángulo de base
55-x, y altura a, y un trapecio de bases 30 y x, y
la misma altura a.
Las áreas de ambos polígonos deben ser
iguales, por tanto:
30  x
55  x
.a 
.a . Simplificando y
2
2
despejando x se obtiene que la posición del
punto E debe distar 12.5 de D.
D
x
E
55
C
a
A
30
B
5. Enrollando una hoja de papel de formato DIN A4 (21 x 29'7 cm) se pueden obtener
dos cilindros: uno de altura 21 cm y el otro de altura 29'7 cm. Comparar los volúmenes
8
de estos cilindros
Al enrollar la hoja manteniendo la altura de 29.7 se
obtiene un cilindro en el que la longitud de la
circunferencia de la base es, 2r1 = 21, de donde se
deduce r1 = 21/2, y por tanto el volumen de este
cilindro es,
29.7
2
 21 
V1   
 .29 '7
 2 
Al enrollar la hoja manteniendo la altura de 21 se
obtiene un cilindro en el que la longitud de la
circunferencia de la base es, 2r2 = 29’7, de donde se
deduce, r2 = 29’7/2, y por tanto el volumen de este
cilindro es,
21
2
 29 '7 
V2   
 .21
 2 
La razón entre V1 y V2, después de simplificar, se
obtiene,
21/29’7
6. Arquímedes demostró que el volumen de una esfera es los dos tercios del volumen
del cilindro circular recto que contiene a la esfera (de manera ajustada). Demostrar que
el área de la esfera es también los dos tercios del área de la superficie total del cilindro.
El área total del cilindro ajustado a la esfera será la suma de las
áreas de las dos bases (2r2) y el área de la superficie lateral. La
superficie lateral es un rectángulo de base la longitud de la
circunferencia de radio r, 2r, y altura 2r:
AT = 2r2 + 4r2 = 6r2 . Los 2/3 de AT coinciden con el área
de la superficie de la esfera, o sea, 4r2
9. Se preguntó a un alumno que encontrara una fórmula para calcular el área de un
círculo. Sugirió poner una cuerda alrededor del círculo y después formar con la cuerda
un cuadrado. Por ejemplo, un círculo con una circunferencia de 8 unidades se puede
transformar en un cuadrado de lado 2 unidades.
a) Si c = la longitud la circunferencia y l = lado del cuadrado, escribe una fórmula
para l en función de c.
b) ¿Cuál sería la formula para calcular el área del círculo que se deduciría si fuera
correcto el método propuesto por el alumno?
c) ¿Es correcta la fórmula? ¿Por qué no?
a) Una fórmula correcta que relaciona la longitud de una circunferencia C (con radio r)
y el lado de un cuadrado de igual área se obtiene del siguiente modo:
Sea AC el área del círculo correspondiente. AC = r2 .
9
C
2 r.r C.r
C2
2
2




 l 2 . De aquí se deduce que el lado de un
Ac   r 
2
2
2
4
cuadrado con igual área que un círculo cuya circunferencia es C viene dado por la
C
expresión: l 
2 
C.
b) Si el método sugerido por el alumno fuera correcto, entonces el lado del cuadrado
C2
.
sería l = C/4. En este caso el área del círculo se calcularía con la fórmula, AC 
16
C) Esta fórmula no es correcta ya que se ha obtenido a partir de una hipótesis incorrecta:
que figuras planas con igual perímetro tienen igual área. Ciertamente que el cuadrado
propuesto por el alumno tiene igual perímetro que la circunferencia dada inicialmente,
pero el círculo es la figura plana de mayor área a igualdad de perímetros. El rectángulo
de base 3 y altura 1, también tiene de perímetro 8, pero su área es 3.
10. Si a un hilo que rodea la Tierra se le da una holgura de 1 metro, ¿cuál es la
separación que habrá entre la superficie de la Tierra y el hilo?
Sea C la longitud de la circunferencia correspondiente y R el radio de la tierra. Al
aumentar la longitud del hilo en 1 metro, el radio R aumentará en una cantidad x. Se
tiene esta relación:
C = 2R; C + 1 = 2 (R +x) = 2R + 2x = C + 2x; despejando x se tiene,
1
, que no depende de R.
x
2
10