El diferencial exterior

Capı́tulo 8
El diferencial exterior
1.
El diferencial exterior
En esta sección estudiaremos el operador diferencial entre formas.
Definición 8.1. Sea ω una k-forma en R n ,
X
ω=
ωI dxI .
I
El diferencial dω es la k + 1-forma dada por
X
(8.1)
dω =
dωI ∧ dxI .
I
Cada dωI es la 1-forma descrita en el ejemplo 7.3, dada por
dωI (vp ) = DωI (p)(v),
por lo que la definición (8.1) generaliza el diferencial de una función. Veamos
primero un ejemplo explı́cito.
Ejemplo 8.2. Sea ω la 1-forma en R3 dada por ω = xydx − y 2 dy + 3zdz.
Entonces, dω es la 2-forma
dω = d(xy) ∧ dx − d(y 2 ) ∧ dy + d(3z) ∧ dz
= (ydx + xdy) ∧ dx − (2ydy) ∧ dy + (3dz) ∧ dz
= xdy ∧ dx = −xdx ∧ dy.
El siguiente ejemplo ya sea discutido anteriormente.
Ejemplo 8.3 (Divergencia). Sea ω la 2-forma en R 3 dada por
ω = P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy.
125
126
8. El diferencial exterior
Entonces dω es la 3-forma
dω = dP ∧ dy ∧ dz + dQ ∧ dz ∧ dx + dR ∧ dx ∧ dy
∂P
∂Q
∂R
dx ∧ dy ∧ dz +
dy ∧ dz ∧ dx +
dz ∧ dx ∧ dy
∂x
∂y
∂z
∂P
∂Q ∂R dx ∧ dy ∧ dz.
=
+
+
∂x
∂y
∂z
=
Nótese que la función componente de dω es precisamente la divergencia del
campo vectorial (P, Q, R) en R3 .
La siguiente proposición enumera las propiedades básicas del diferencial.
Proposición 8.4. Sean ω y η formas diferenciales en R n .
1. Si ωy η son k-formas, d(ω + η) = dω + dη.
2. Si ω es una k-forma y η una l-forma, entonces
d(ω ∧ η) = dω ∧ dη + (−1)k ω ∧ dη.
3. d2 ω = d(dω) = 0.
4. Si f : Rn → Rm es diferenciable, d(f ∗ ω) = f ∗ dω.
Notamos que la parte (2) de esta proposición sólo depende del orden de
ω y no del de η. Las partes (3) y (4) son de importancia fundamental en la
teorı́a de integración, la cual estudiaremos en el siguiente capı́tulo.
Demostración. La primera parte de la proposición se sigue directamente
de la definición.
Para la segunda parte, calcularemos d(ω ∧ η) explı́citamente.
X
X
ωI ηJ dxI ∧ dxJ =
d(ωI ηJ ) ∧ dxI ∧ dxJ
d(ω ∧ η) = d
I,J
I,J
=
X
(ηJ dωI + ωI dηJ ) ∧ dxI ∧ dxJ
=
X
ηJ dωI ∧ dxI ∧ dxJ +
I,J
I,J
= dω ∧ η +
X
ωI dηJ ∧ dxI ∧ dxJ
I,J
X
ωI (−1)k dxI ∧ dηJ ∧ dxJ = dω ∧ η + (−1)k ω ∧ dη,
I,J
donde hemos usado la proposicion 7.23 para cambiar el orden del producto
dηJ ∧ dxI .
La tercera parte también la verificaremos explı́citamente. Sea
X
ω=
ωI dxI
I
127
2. Campos vectoriales y formas
una k-forma en Rn . Entonces
n
XX
X
I
Di ωI dxi ∧ dxI
d(dω) = d
dωI ∧ dx = d
=
I
=
i
I
d(Di ωI ) ∧ dx ∧ dx =
i=1
XX
I
i=1
I
I
n
XX
n
n X
XX
I
Dji ωI dxj ∧ dxi ∧ dxI
i=1 j=1
(Dij ωI − Dji ωI )dxi ∧ dxj ∧ dxI = 0.
i<j
Para la cuarta parte, sea f : Rn → Rm diferenciable y ω una k-forma en
Entonces
X
X
d(ωI ◦ f ) ∧ df I
d(f ∗ ω) = d
(ωI ◦ f )df I =
Rm .
I
I
y
f ∗ dω =
X
(f ∗ dωI ) ∧ df I ,
I
por lo que entonces es suficiente con demostrar que
d(ωI ◦ f ) = f ∗ dωI .
En la primera identidad hemos usado las partes (2) y (3) de la proposición,
ya que
d((ωI ◦ f )df I ) = d(ωI ◦ f ) ∧ df I + (ωI ◦ f ) ∧ d2 f I = d(ωI ◦ f ) ∧ df I ,
ya que d2 f I = 0.
De nuevo, esto se sigue por la regla de la cadena. Tenemos
d(ωI ◦ f ) =
=
n
X
i=1
m
X
k=1
Di (ω ◦ f )dxi =
(Dk ωI ) ◦
m
n X
X
(Dk ωI ) ◦ f (Di f k )dxi
i=1 k=1
n
X
f
Di f k dxi
i=1
=
m
X
k=1
(Dk ωI ) ◦ f df k = f ∗ dωI .
2.
Campos vectoriales y formas
Haremos un paréntesis en nuestro estudio de formas diferenciales para
estudiar la relación entre éstas y los campos vectoriales en R n , y de tal forma
unificar, como habı́amos prometido anteriormente, los operadores grad, curl
y div en campos vectoriales en R3 . Primero, una breve discusión sobre productos internos y el espacio dual.
Sea V un espacio vectorial real de dimension finita, dim V = n < ∞, y
V ∗ su espacio dual.
128
8. El diferencial exterior
Si V tiene producto interno (·, ·), éste induce un isomorfismo natural
entre V y V ∗ dado por
u 7→ ϕu,
donde
ϕu(v) = (u, v).
n
En R , con el producto punto como producto interno, este isomorfismo
está dado por
ej 7→ dxj ,
como lo habı́amos discutido antes. Entonces, esto induce un isomorfismo
natural entre campos vectoriales y 1-formas, definido de la siguiente forma.
Si
F : Rn → T Rn ,
es un campo vectorial, entonces definimos
F 7→ ωF
donde ωF es la 1-forma dada por
ωF (vp ) = F (p) · v.
Explı́citamente, si F está dado por
F (p) = F 1 (p)e1 + F 2 (p)e2 + · · · + F n (p)en ,
entonces
ωF (p) = F 1 (p)dx1 + F 2 (p)dx2 + · · · + F n (p)dxn .
Ejemplo 8.5 (Gradiente). Si f : Rn → R es diferenciable, su gradiente es
el campo vectorial grad(f ) tal que
ωgrad(f ) = df.
Entonces, el gradiente es el campo vectorial en R n cuyas componentes son
las derivadas parciales de f .
Para definir el rotacional y la divergencia de un campo, definimos primero la siguiente transoformación.
P
Definición 8.6. Si ω = I ωI dxI es una k-forma en Rn , definimos la (n−k)forma ∗ω dada por
X
∗ω =
sgn(I, J)ωI dxJ ,
I
donde, para cada k-multiı́ndice I, J es el (n − k)-multiı́ndice tal que
1 2 ··· k k + 1 ···
n
(I, J) =
i1 i2 . . . i k
j1
. . . jn−k
es la permutación tal que
i1 < i 2 < . . . < i k ,
y
j 1 < j2 < . . . < j k .
129
2. Campos vectoriales y formas
La trasformación ω 7→ ∗ω es llamada la transformación estrella de Hodge.
Para cada permutación σ, sgn σ es el signo de de σ. Por ejemplo, como
el signo de
1 2 3 4
σ=
1 3 2 4
es −1, tenemos que
∗(dx1 ∧ dx3 ) = sgn σdx2 ∧ dx4 = −dx2 ∧ dx4 .
Ejemplo 8.7 (Divergencia). Sea F un campo. Entonces, la sucesión de
aplicaciones
F 7→ ωF 7→ ∗ωF 7→ d(∗ωF )
resulta en una n-forma
d(∗ωF ) = λdx1 ∧ dx2 ∧ · · · ∧ dxn ,
donde el escalar λ es llamado la divergencia de F , denotada por div(F ).
Explı́citamente, en R3 , dado F = (F 1 , F 2 , F 3 ), tenemos
ωF = F 1 dx + F 2 dy + F 3 dz,
y entonces
∗ωF = F 1 dy ∧ dz − F 2 dx ∧ dz + F 3 dx ∧ dy.
Por lo tanto
d(∗ωF ) =
∂F 1
∂x
+
∂F 2 ∂F 3 +
dx ∧ dy ∧ dz.
∂y
∂z
Ası́ que
∂F 1 ∂F 2 ∂F 3
+
+
,
∂x
∂y
∂z
por lo que esto generaliza la divergencia definida en la primera sección de
este capı́tulo. En general,
n
X
Di F i ,
div(F ) =
div(F ) =
i=1
para un campo F definido en
Rn
(ejercicio 2).
Ejemplo 8.8 (Rotacional). Si F es un campo en R n , el rotacional de F se
obtiene de la suceción de aplicaciones
F 7→ ωF 7→ dωF 7→ ∗(dωF ),
y se denota por curl F . Entonces curl F es una (n − 2)-forma.
En R2 , si F = (F 1 , F 2 ), tenemos que ∗d(ωF ) es el escalar (0-forma)
curl F =
∂F 2 ∂F 1
−
,
∂x
∂y
130
8. El diferencial exterior
expresión conocida en el cálculo vectorial en R 2 . Para el caso R3 , también
obtenemos la fórmula conocida (ejercicio 3), por lo que esta definición generaliza entonces el rotacional a campos vectoriales en R n .
3.
El lema de Poincaré
Sea ω una forma diferencial definida en un conjunto abierto A ⊂ R n .
Definición 8.9. Decimos que ω es cerrada si dω = 0. Decimos que es exacta
si existe una forma diferencial η definida en A tal que ω = dη.
Por la proposición 8.4, todas las formas exactas son cerradas, ya que, si
ω = dη, entonces
dω = d2 η = 0.
Sin embargo, no está claro si, a la inversa, todas las formas cerradas definidas
en un conjunto abierto abierto A son exactas.
Si A = Rn , por ejemplo, esto es cierto.
Ejemplo 8.10. Todas las 1-formas cerradas en R n son exactas. Sea
ω=
n
X
ωi dxi
i=1
una 1-forma definida en
dω =
Rn
n
X
tal que dω = 0. Como
i
dωi ∧ dx =
=
Dj ωi dxj ∧ dxi
i=1 j=1
i=1
X
n
n X
X
(Di ωj − Dj ωi )dxi ∧ dxj = 0,
i<j
tenemos que Di ωj = Dj ωi para todo i, j, ya que las distintas 2-formas
dxi ∧ dxj son linealmente independientes.
Ahora definimos la función f : Rn → R como
Z 1X
n
f (x) =
ωi (tx)xi dt.
0
i=1
Demostraremos que Dj f (x) = ωj (x) para cada j. Tenemos que
Z 1 X
Z 1X
n
n
i
Dj f (x) =
Dj
ωi (tx)x dt =
Dj ωi (tx)txi + ωj (tx) dt
0
=
Z
0
0
i=1
1
ωj (tx)dt +
Z
0
n
1X
i=1
i=1
Di ωj (tx)txi dt,
131
3. El lema de Poincaré
donde ya hemos usado el hecho que Di ωj = Dj ωi . Como
n
X
d
ωj (tx) =
Di ωj (tx)xi ,
dt
i=1
entonces, integrando por partes,
Z 1
Z 1
d
t ωj (tx)dt
ωj (tx)dt +
Dj f (x) =
dt
0
0
Z 1
Z 1
=
ωj (tx)dt + ωj (x) −
ωj (tx)dt = ωj (x).
0
0
Ahora tenemos el ejemplo de una forma cerrada que no es exacta.
Ejemplo 8.11. Consideremos la 1-forma ω, definida en A = R 2 \ {0},
−y
x
ω= 2
dx + 2
dy.
x + y2
x + y2
Recordemos que, en coordenadas polares, esta forma es igual a dθ. Es decir,
si la función f es el cambio de coordenadas definido por el ejemplo 7.27,
entonces f ∗ ω = dθ. Entonces, como d y f ∗ conmutan por la proposición 8.4,
la forma es cerrada, lo cual también puede verificarse directamente.
Sin embargo, ω no es exacta. Supongamos, por ejemplo, que ω = dF
para una función F : A → R. Entonces como f ∗ ω = dθ,
d(F ◦ f ) = d(f ∗ F ) = f ∗ dF = dθ,
por lo que
F ◦f =θ+k
para algún k ∈ R. Por lo tanto, si x > 0,
lı́m F (x, y) − lı́m F (x, y) = 2π.
y→0−
y→0+
De aquı́ podemos concluı́r que F no puede estar definida en todo R 2 \ {0},
y además ser continua en el eje real positivo.
Podemos observar que el problema de este último ejemplo es el “agujero”
en el origen. Aunque más adelante haremos preciso este concepto, podemos
demostrar el siguiente teorema, que nos da un ejemplo de conjuntos donde
toda forma cerrada es exacta.
Recordemos que un conjunto A ⊂ Rn es estrella si existe x0 ∈ A tal que,
para cada x ∈ A, la recta de x0 a x está contenida en A. Para hacer explı́cito
el punto “central” x0 , diremos que A es estrella con respecto a x 0 .
Teorema 8.12 (Lema de Poincaré). Sea A ⊂ R n un conjunto abierto estrella con respecto a 0. Entonces toda forma cerrada en A es exacta.
132
8. El diferencial exterior
Demostración. Construiremos un operador ω 7→ Θω de k-formas definidas
en A a (k − 1)-formas tal que Θ(0) = 0 y
(8.2)
d(Θω) + Θ(dω) = ω.
Entonces, si ω es cerrada, dω
P = 0 yI d(Θω) = ω, por lo que concluiremos
que ω es exacta. Sea ω = I ωI dx . Para simplificar la notación, si I es
un k-multiı́ndice, denotaremos por I α , 1 ≤ α ≤ k, el (k − 1)-multiı́ndice
formado al remover de I la entrada iα , es decir
Iα = (i1 , . . . , iα−1 , iα+1 , . . . , ik ).
Dada la k-forma ω en A, definimos entonces la (k − 1)-forma
Θω(x) =
k
XX
I
(−1)
α−1 iα
x
α=1
Z
1
tk−1 ωI (tx)dt dxIα .
0
La (k −1)-forma Θω está bien definida porque la recta de 0 a x ∈ A está contenida en A, por lo que ω está definida en dicha recta. Es claro que si ω = 0,
entonces Θω = 0. Verificamos entonces (8.2).
Calculamos
d(Θω) =
k
XX
I
(−1)
α−1
α=1
d x
iα
Z
1
0
tk−1 ωI (tx)dt ∧ dxIα .
Ahora bien,
d x
iα
Z
1
t
0
k−1
ωI (tx)dt =
n
X
Dj x
j=1
=
Z
1
+x
iα
0
iα
Z
1
0
tk−1 ωI (tx)dt dxj
tk−1 ωI (tx)dt dxiα
n Z
X
j=1
1
0
tk Dj ωI (tx)dt dxj ,
133
3. El lema de Poincaré
ası́ que
d(Θω) =
k
XX
α=1
I
+
k
XX
(−1)
Z
X Z
=
k
I
1
1
0
tk−1 ωI (tx)dt dxiα ∧ dxIα
n
X
α−1
α=1
I
+
(−1)
α−1
x
tk Dj ωI (tx)dt dxj ∧ dxIα
0
j=1
tk−1 ωI (tx)dt dxI
0
n
k X
XX
(−1)
α−1 iα
x
Z
1
tk Dj ωI (tx)dt dxj ∧ dxIα ,
0
α=1 j=1
I
1
Z
iα
donde hemos usado el hecho que dxiα ∧ dxIα = (−1)α−1 dxI .
Por el otro lado,
dω =
X
I
dωI ∧ dx =
I
n
XX
Dj ωI dxj ∧ dxI .
j=1
I
Entonces
Θ(dω) =
n XX
I
xj
j=1
Z
1
tk Dj ωI (tx)dt dxI
0
+
k
X
(−1)α xiα
Z
0
α=1
1
tk Dj ωI (tx)dt dxi ∧ dxIα .
Ası́ que
d(Θω) + Θ(dω) =
X Z
k
I
1
t
k−1
ωI (tx)dt +
0
n
X
j=1
x
j
Z
0
1
tk Dj ωI (tx)dt dxI .
Por lo tanto,
d(Θω) + Θ(dω) =
XZ
I
=
X
1
0
d k
t ωI (tx) dt dxI
dt
ωI (x) dxI = ω.
I
134
8. El diferencial exterior
Ejercicios
1. Sea f : Rn → R diferenciable. Muestra que grad f (p) es el vector con
la dirección de crecimiento más rápido de f en el punto p. (Sugerencia:
Nota que
(grad f (p)) · vp = Df (p)v,
n
para vp ∈ Rp .)
2. Sea F un campo vectorial en Rn , y div F su divergencia, es decir
(div F )dx1 ∧ . . . ∧ dxn = d(∗ωF ),
donde ω 7→ ∗ω es la operación estrella de Hodge y ω F es la 1-forma
inducida por F vı́a el isomorfismo natural R np → (Rnp )∗ .
Muestra que
n
X
Dj F j .
div F =
j=1
3. Sea F un campo vectorial en Rn , y curl F su rotacional, es decir la
(n − 2)-forma
curl F = ∗(dωF ).
Muestra que curl(grad F ) = 0.
4. En el caso n = 3, el rotacional curl F es una 1-forma que a su vez puede
ser identificada con un campo vectorial, también denotado por curl F .
a) Muestra que
curl F = (D2 F 3 − D3 F 2 )dx + (D3 F 1 − D1 F 3 )dy + (D1 F 2 − D2 F 1 )dz.
b) Muestra que div(curl F ) = 0.
5. Sea ω = f dx una 1-forma en [0, 1] tal que f (0) = f (1). Muestra que
existe un único λ ∈ R tal que ω − λdx = dg, donde g es una función que
satisface g(0) = g(1).