J a C J a J

JUAN FERNANDO BRAVO PAREDES
PEDRO JOSÉ MUÑOZ REYES
ÁNGEL HIERRO GARDETA
Problema 19-Tema 2:
Hallar los coeficientes del desarrollo enserie de J0(kmx) de la función f(x) = 1 definida en el intervalo
0 ≤ x ≤ a y f(x) = 0 para x = a.
Según el desarrollo en serie de Bessel-Fourier: dado que f(x) es una función bien comportada (suave ó de
cuadrado sumable) en el intervalo [0,a], se verifica que:
∞
f ( x ) = ∑ Cm J 0 ( K m x )
Para nuestro problema tendremos:
(1)
m =1
a
∫ dxJ
Cm =
donde:
0
( K m x) f ( x) x
0
(2)
1 a 2 [ J1 (α 0 m )]2
2
La norma se obtiene de la relación de ortogonalidad:
ψm
2
2
1
= Km−2 (Km2 x2 −n2)ψm2(x) + x2 ψm` (x)
2
{
b
}
a
El valor de la norma depende de las condiciones de contorno, en nuestro caso son las de Dirichlet: y(0)=0 , y(a)=0, con
lo que:
=
Luego:
2
= 1 a 2 [ J1 (α 0 m )]
2
Los α nm representan el m-esimo cero de la función de Bessel de primera especie Jn(x), es decir: Jn( α nm )=0.
La verificación de las condiciones de contorno (y(a)=0, y(0)=0) restringen los valores posibles de K, que será los
autovalores Km. Por lo tanto, (como nuestro intervalo es: 0 ≤ x ≤ a), las autofunciones serán de la forma:
esto es:
Jn(Km a)=0 , Km a = ࢻ0m
=>
Km =
α 0m
a
a
Evaluamos:
∫ dxJ
o
( K m x)x
haciendo uso del cambio de variable y = α 0m x
0
a
∫ dxJ
o
(α 0 m
0
x )x =
a
α0 m
∫
0
2
a
 a 
 a 
dy 
 yJ 0 ( y ) = 

 α0m 
 α0m 
;
dx=
a
α 0m
dy
2α
0m
∫ dyJ
0
( y) y
0
A partir de la relación de recurrencia:
m
1 d  n
n−m

 x Jn (x) = x Jn−m (x)
 x dx 
Tenemos que:
=>
1d n
d
d
x Jn (x) = xn−1Jn−1(x) => xnJn (x) = xn Jn−1(x) => xJ1(x) = xJ0 (x)
x dx
dx
dx
2α
 a 


 α0m 
0m
∫
0
2
2
 a 
 a 
d
α0 m
dy yJ1 ( y) = 
yJ
(
y
)
=
[
]


 α0m J1(α0m )
1
0
dy
α
α
 0m 
 0m 
Así pues de la ecuación (2) se tiene:
2
 a  α0mJ1(α0m )
2
Cm = 
=
 1 2
2
 α0m  2 a [ J1(α0m )] α0mJ1(α0m )
Hasta aquí lo que nos pide el problema. El profesor nos pidió que calculásemos además lo siguiente:
* Obtenemos de forma explícita los valores de Cm para m= 1, 2, 3:
m
ࢻ0m
1
2
3
2.40483
5.52008
8.65373
J1( α 0 m )
0.520
-0.345
0.273
Cm
1.632
-1.054
0.848
Los valores de α 0 m y de J1( α 0 m ) los hemos obtenidos de tablas.
* Hacemos una estimación de f(x) con los tres primeros términos de la serie dada por la expresión (1) para el intervalo
0 ≤ x ≤ a, (hemos tomado a = 1), con x = 0.2, 0.5, 0.8 :
f(x) = C1J0(K1 x)+ C2J0(K2 x) + C3J0(K3 x)
(NOTA: Los valores de J0(Kmx) los hemos obtenido de tablas)
x
m
Km = ࢻ0m/a
Kmx
J0(Kmx)
Cm
f(x)
0.2
1
2
3
2.405
5.520
8.654
0.481
1.104
1.731
0.196
0.440
0.582
1.632
-1.054
0.848
0.350
0.5
1
2
3
2.405
5.520
8.654
1.203
2.760
4.327
0.498
0.410
-0.139
1.632
-1.054
0.848
0.263
0.8
1
2
3
2.405
5.520
8.654
1.924
4.476
6.923
0.582
-0.203
0.182
1.632
-1.054
0.848
1.318
Por lo tanto, tomando sólo los 3 primeros términos de la serie, la estimación obtenida de f(x) no es buena (recordemos
que: f(x)=1).