Cálculo vectorial y analítica II - Mosaicos

Cálculo vectorial y geometría analítica.
1. CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO.
A es un punto del plano P y r es un real no negativo.
Se llama circunferencia C de centro
A y radio r al conjunto de los puntos
r
A•
M del plano cuya distancia a A es r.
Simbólicamente:
CA; r = {M ∈ P/ AM = r}
A•
r
Si r = 0; CA; r se reduce a un punto:
CA; 0 = {A}.
El círculo o disco D de centro A y radio r es el conjunto de los puntos M
del plano cuya distancia a A es menor o igual a r.
Simbólicamente:
DA; r = {M ∈ P/ AM ≤ r}
2. ECUACIÓN CARTESIANA DE LA CIRCUNFERENCIA.
Teorema
En un referencial ortonormado (O; i , j ) sean: A(x0; y0) y r un número real no negativo, una ecuación
2
2
2
de la circunferencia C de centro A y radio r es ( x – x 0 ) + ( y – y 0 ) = r .
Demostración:
Sea M un punto del plano de coordenadas (x; y). M ∈ C ⇔ AM = r. (o también AM2 = r2 ya que en este caso la elevación al cuadrado no introduce raíces extrañas).
2
2
La distancia AM viene dada por la siguiente relación: AM = ( x – x 0 ) + ( y – y 0 )
2
2
2
Se tiene entonces que: M ∈ C ⇔ ( x – x 0 ) + ( y – y 0 ) = r
Teorema
En un referencial ortonormado toda circunferencia tiene una ecuación de la forma:
x2 + y2 + ax + by + c = 0, donde a, b y c son números reales.
Demostración:
2
2
2
La igualdad ( x – x 0 ) + ( y – y 0 ) = r es una relación entre las coordenadas (x; y) de un punto M que se verifica si
y solamente si ese punto M pertenece a la circunferencia C, desarrollando el primer miembro, se obtiene:
x2 − 2xx0 + x02 + y2 − 2yy0 + y02 = r2 o lo que es equivalente: x2 + y2 − 2xx0 − 2yy0 + x02 + y02 − r2 = 0.
x02 + y02 − r2 = c obtenemos x2 + y2 + ax + by + c = 0
Si llamamos a −2x0 = a; − 2y0 = b y
Observaciones:
• La ecuación de una circunferencia es una ecuación de segundo grado en las variables x y y. • No tiene término xy.
• Los coeficientes de x2 y de y2 son iguales. Si dichos coeficientes son iguales a 1 se dice que la ecuación está normalizada.
3. ESTUDIO DE LA ECUACIÓN x2 + y2 + ax + by + c = 0.
En un sistema ortonormado el conjunto de los puntos del plano cuyas coordenadas satisfacen una ecua2
2
b - – c ≥ 0 es la circunferencia
----- + ---ción del tipo: x2 + y2 + ax + by + c = 0, con a, b y c reales tales que a
4
4
2
2
b
b- – c
--- ;– --⎞ y radio r = a----- + ---de centro A ⎛ – a
.
⎝ 2 2⎠
4
4
Matemática 2ºBD Núcleo Común- Colección Mosaicos 2007
1
Cálculo vectorial y geometría analítica.
Demostración:
Consideremos el conjunto A de los puntos M(x; y) cuyas coordenadas satisfacen la ecuación: x2 + y2 + ax + by + c = 0. ¿A es una circunferencia?
La ecuación x2 + y2 + ax + by + c = 0 puede reescribirse de la manera siguiente:
2
2
2
2
2
b
b 2
a
⎛x + a
---⎞ + ⎛ y + ---⎞ = ----- + ----- – c (1)
⎝
⎝
4
4
2⎠
2⎠
Verifica que:
2
2
a 2 a
x + ax = ⎛ x + --⎞ – ----⎝
2⎠
4
2
2
b 2 b
y + by = ⎛ y + --⎞ – ---⎝
2⎠
4
b - – c ≥ 0 entonces la ecuación (1) traduce algebraicamente el hecho de que AM2 = r2, donde A es el punto
a - + ---Como ---4
4
2
2
a
de coordenadas ⎛ – --- ;– b---⎞ y r = a
----- + b----- – c . Por lo que A es la circunferencia de centro A y radio r.
⎝ 2 2⎠
4
4
• Da una definición de círculo.
4. ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA DE DIÁMETRO [AB].
Teorema:
En un sistema ortonormado un punto M de coordenadas (x; y) pertenece a la circunferencia C de diámetro
[AB] con A(xA; yA) y B(xB; yB) si y sólo si: (x − xA)(x − xB) + (y − yA)(y − yB) = 0.
Demostración:
Un punto M de coordenadas (x; y) pertenece a la circunferencia C si y sólo si: M coincide con A o B o si (AM) ⊥ (BM).
Este hecho se traduce en que los vectores AM ( x – x A ;y – y A ) y BM ( x – x B ;y – y B ) sean ortogonales, o sea que:
(x − xA)(x − xB) + (y − yA)(y − yB) = 0.
5. INTERSECCIÓN DE UNA RECTA CON UNA CIRCUNFERENCIA.
En un sistema ortonormado, M(x0; y0) pertenece a la intersección de la circunferencia (C ): x2 + y2 + ax + by + c = 0
2
2
⎧
y la recta (r): y=mx+n si y sólo si (x0; y0) es solución del sistema ⎨ x + y + ax + by + c = 0
⎩
y = mx + n
Observaciones:
• Al sustituir la y de la segunda ecuación en la primera ecuación, se obtiene una nueva ecuación de segundo grado en
x por lo que habrá dos, una o ninguna solución. En consecuencia la recta será secante (dos soluciones); tangente (una
solución) o exterior (ninguna solución).
• Si la recta (r) tiene ecuación x= k ¿puedes enunciar un método para determinar su intesección con la circunferencia
(C ).
Ejemplo:
Hallar la intersección de la recta de ecuación x + y − 9 = 0
con la circunferencia de ecuación x2 + y2 − 4x − 2y − 13 = 0.
Para ello se debe resolver el sistema:
⎧ x2 + y2 – 4x – 2y – 13 = 0
⎨
y = –x+9
⎩
Despejando y de la ecuación de la recta y la sustituyéndola en la ecuación de la circunferencia, se obtiene:
x2 + (−x + 9)2 − 4x −2(−x + 9) −13 = 0, que es equivalente a: x2 − 10x + 25 = 0
y cuyo discriminante es: Δ = 100 − 4×25 = 0 y por lo tanto la ecuación tiene una sola solución x = 5.
y
T(5; 4)
(C)
x
O
En consecuencia la recta es tangente a la circunferencia y la abscisa del punto de intersección es 5. La ordenada
del punto de intersección se obtiene sustituyendo el valor de x por 5 en la ecuación de la recta y despejando el
valor de y. El punto de contacto tiene entonces coordenadas (5; 4).
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Cálculo vectorial y geometría analítica.
EJERCICIOS
10. Halla una ecuación de la circunferencia que pasa por
los puntos A, B y C en los casos siguientes:
En los ejercicios del 1 al 8, halla una ecuación de la circunferencia en cada uno de los casos siguientes:
1 . el centro de la circunferencia coincide con el origen de
a) A (l; l), B (1; −1) y C (2; 0);
b) A (−1; 5), B(−2; −2) y C(5; 5).
coordenadas y su radio r = 3;
11. ¿Qué ecuaciones de las dadas a continuación determi-
2 . el centro de la circunferencia es el punto C (2; −3) y su
nan una circunferencia?
Halla, en los casos que sea posible, el centro C y el radio r de
cada una de ellas:
1) (x − 5)2 + (y + 2)2 = 25;
2) (x + 2)2 + y2 = 64;
2
2
3) (x − 5) + (y + 2) = 0;
4) x2 + (y − 5)2 = 5;
2
2
5) x + y − 2x + 4y−20 = 0;
6) x2 + y2 − 2x + 4y+ 4 = 0;
2
2
7)2 x + 2y + 8x − 4y + 10 = 0;
8) x2 + y2 + x = 0;
2
2
9) x + y + 6x − 4y + 14 = 0;
10) x2 + y2 + y = 0
radio r = 7;
3 . la circunferencia pasa por el origen de coordenadas y su
centro es el punto C (6; −8);
4 . la circunferencia pasa por el punto A (2; 6) y su centro
es C (−1; 2);
5 . los puntos A (3; 2) y B (−1; 6) son extremos de uno de
12. TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA
los diámetros de la circunferencia;
6 . el centro de la circunferencia coincide con el origen de
Se propone determinar la ecuación de la tangente (t) a la circunferencia C de ecuación: x2 + y2 + 4x − 6y + 11 = 0 en el
punto T(−1; 2) de la misma.
a) Verifica que T∈C.
b) Determina las coordenadas del centro C de C.
7 . el centro de la circunferencia es el punto C (l; −1) y la
c) Determina las coordenadas del vector CT .
coordenadas y la recta 3x − 4y + 20 = 0 es tangente a la circunferencia.
recta de ecuación 5x −l2y + 9 = 0 es tangente a la circunferencia;
8 . la circunferencia pasa por los puntos A (3; 1) y
B (−1; 3) y su centro está situado en la recta 3x − y −2 = 0;
9 . CIRCUNFERENCIA POR TRES PUNTOS.
Se consideran los puntos A (1; 6), B (3; 2) y C (2; 3).
Se propone determinar una ecuación de la circunferencia C
circunscrita al triángulo ABC.
“Yo sé, dice Diego, que el centro de la circunferencia C circunscrita es el punto de interceción de las mediatrices del
triángulo; entonces yo las encuentro y … y … y … finalmente obtengo una ecuación.
Ciertamente, responde Paula, pero, yo tengo otro método:
una ecuación de la circunferencia C es de la forma
x2 + y2 + ax + by + c = 0,
y utilizando las coordenadas de los tres puntos A, B y C, yo
puedo encontrar los tres números a, b y c.
Compara los dos métodos para determinar una ecuación de
C y los tiempos necesarios para aplicarlos. Elije el más conveniente y encuentra una ecuación de C.
¿Paula puede determinar el circuncentro del triángulo ABC?
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d) Si un punto M(x;y) pertenece a la tangente (t), ¿cómo deben ser los vectores CT y MT ? Da las coordenadas de MT
y plantea mediante una ecuación la condición que deben
cumplir las coordenadas de M para que (t) sea tangente a C .
13. Determina la ecuación de la circunferencia tangente a
los ejes y que pasa por el punto A(6, −3)
14. Determina la intersección de:
- la recta (r) de ecuación 2x +y −3 =0 .
- y la circunferencia C de ecuación: x2 + y2 − y − 6 = 0
15. Representa gráficamente los siguientes lugares geométricos:
a) x2 + y2 = 0
c) x2 +2x −3 = 0
b) x2 − y2 = 0
d) y3 − y = 0
16. Representa gráficamente los puntos M(x;y) del plano
cuyas coordenadas verifican:
a) x2 + y2 ≥ 9
b) x2 + y2 < 9
2
2
c) x + y − 2x > 0
d) x2 + y2 − 2x − 2y − 14 ≤ 0.
3
Cálculo vectorial y geometría analítica.
6. INECUACIÓN DEL SEMIPLANO.
La recta (r) de ecuación ax + by + c = 0 divide al plano P en dos semiplanos abiertos (sin borde):
• un semiplano P1 conjunto de los puntos M(x; y) tales que ax + by + c > 0,
• un semiplano P2 conjunto de los puntos M(x; y) tales que ax + by + c < 0.
• se representa en un referencial (O; i , j ) el borde (r)
de ecuación 2y + x − 2 = 0.
y
(r)
Los puntos del plano
que verfican la inecuación:
2y + x − 2 < 0
corresponden a la parte rayada de la figura.
O
1
•
•
2
x
EJERCICIO RESUELTO:
Resuelve gráficamente el sistema de inecuaciones:
⎧ x + 4y – 6 ≥ 0
⎨
⎩ 2x – y + 3 > 0
• para saber cuál de las dos regiones determinadas por
(r) corresponden a la inecuación: 2y + x − 2 < 0, es suficiente verificar, en este caso, que las coordenadas del
origen O(0; 0) cumplen la relación de desigualdad:
2× 0 + 0 − 2 = − 2, y como − 2 < 0 deduces que:
O está en el semiplano buscado.
3 . Representa gráficamente el conjunto de las soluciones
de cada uno de los sistemas de inecuaciones siguientes:
⎧ x 2 + y 2 < 16
a) ⎨
Se representan las rectas (r) y (s) de ecuaciones respectivas:
x + 4y − 6 = 0
y
2x − y + 3 = 0.
y
EJERCICIOS:
de cada uno de los sistemas de inecuaciones siguientes:
de cada uno de los sistemas de inecuaciones siguientes:
⎧
x>0
⎪
a) ⎨ x – 3y + 5 < 0
⎪ x+y–3>0
⎩
⎧ 2x – 5 > 0
⎪
b) ⎨ – 1 < y < 3
⎪ y – x < –1
⎩
5 . Escribe un sistema de inecuaciones cuya solución sea la
figura pintada:
y
y
1
O
1
1
x
b) 2x + y − 5 < 0
de cada uno de los sistemas de inecuaciones siguientes:
⎧
x–y>0
⎩ x – 3y + 5 < 0
O
1
x
figura pintada:
y
y
1
2 . Representa gráficamente el conjunto de las soluciones
a) ⎨
c)(2x + y − 5)(x + y − 3) < 0
6 . Escribe un sistema de inecuaciones cuya solución sea la
1 . Representa gráficamente el conjunto de las soluciones
a) x + y − 1 < 0
⎩ 2x + y < 3
4 . Representa gráficamente el conjunto de las soluciones
2x−
y+
3=
0
Las soluciones de
la primera inecua- x+4y−6=0
ción corresponden (r)
1
(r)
al semiplano de
borde (r) que no
O 1
x
contiene al origen
O; las soluciones
de la segunda ine- (s)
cuación, al semiplano abierto (sin
su borde (s)) que contiene al origen O.
La solución del sistema propuesto es la intersección de
las regiones anteriores.
⎩ 1<x<4
⎧ x2 + y2 ≤ 4
b) ⎨
1
O
1
x
O
1
x
⎧ 2x – 5 > 0
b) ⎨
⎩ y – x < –1
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