Guía de probabilidad y estadística segundo parcial

Guía de probabilidad y estadística segundo parcial
Probabilidad condicional
Se presenta cuando la ocurrencia de un evento A se ve afectada por la
probabilidad de que el evento B suceda. Es decir, se presenta con eventos
dependientes:
𝐴
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃( ) =
𝐵
𝑃(𝐵)
Teorema de Bayes
La interpretación más aceptada del teorema de Bayes, es que su estructura
permite el cálculo de probabilidades después de haber sido realizado un
experimento (probabilidades a posteriori), basándose en el conocimiento de la
ocurrencia de ciertos eventos que dependan del evento estudiado, o sea, se parte
de probabilidades conocidas antes de efectuar el experimento (probabilidades a
priori), las cuales son afectadas por las probabilidades propias del experimento
(las que aparecen durante la ocurrencia del evento).
Continuando nuestro análisis sobre el teorema de Bayes, la probabilidad
condicional de Ai dado B, para cualquier i, es:
Aplicando en el numerador la Regla de Multiplicación P(AiÇB) = P(Ai) P(B|Ai) y en
el denominador el Teorema de Probabilidad Total P(B) = P(A1) P(B | A1) + P(A2)
P(B | A2) + . . . + P(An) P(B | An), obtenemos la ecuación que representa al:
Teorema de Bayes
Ejemplo 3. 11. Referente al problema de la fábrica que produce dos tipos de
reguladores A y B visto anteriormente en la aparte corresponde al Teorema de
Probabilidad Total, cabe hacer el siguiente análisis: si se selecciona un regulador
al azar de la producción de la fábrica y se ve que funciona bien ¿Cuál es la
probabilidad de que sea del tipo B?
Solución:
En este caso el estudio se restringe a los reguladores que funcionan bien, por lo
que ese evento actúa como espacio muestral reducido, o sea como evento
condición. Por lo tanto, el planteamiento de la pregunta es P(B | F).
Los datos que se tienen son :
P(A) = 0.75
P(F | A) = 0.95
P(B) = 0.25
P(F | B) = 0.98
De acuerdo al Teorema de Bayes:
Podemos observar que el denominador corresponde al resultado obtenido al
aplicar el Teorema de Probabilidad Total, lo cual debe ser así, ya que la
probabilidad condicional establece que
. De esta forma
podemos ver que la Probabilidad total es el denominador de la fórmula del
Teorema de Bayes. También podemos observar que aplicando los conceptos de la
Regla de Multiplicación y del Teorema de Probabilidad Total llegamos al
planteamiento del teorema de Bayes, Veamos: