Reglas de Probabilidad y el Teorema de Bayes

ESTADISTICA I
PROFESOR WALTER LOPEZ
MÓDULO 6 Reglas de Probabilidad y el Teorema de Bayes
AXIOMAS DE PROBABILIDAD
Primer axioma : La probabilidad de un suceso E es un número real entre 0 y 1.
Segundo axioma :Ocurre un suceso de la muestra de todos los sucesos o
espacio de sucesos {e1,e2,...en} con probabilidad 1.
Tercer axioma Si A1, A2 ... son sucesos mutuamente excluyentes
2.3 PROBABILIDAD CONDICIONAL
Probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un evento en
particular, dado que ocurrió otro evento.
Nota: la probabilidad de que ocurra el evento A dado que ya ocurrió B se denota
como
P(A|B).
Reglas básicas de probabilidad
Si los eventos son mutuamente excluyentes, la ocurrencia de cualquier evento
impide que otro eventos ocurra.
Reglas de adición: si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes, la regla
especial de adición indica que la probabilidad de que ocurra A o B es igual a la
suma de sus probabilidades respectivas:
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P(A o B) = P(A) + P(B)
Ejemplo
Llegada
Frecuencia
Antes de tiempo
100
A tiempo
800
Demorado
75
Cancelado
25
Total
1000
American Airlines acaba de proporcionar la siguiente información de sus vuelos
a Puerto Rico:
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Ejemplo
Si A es el evento de que un vuelo llegue antes de tiempo, entonces
P(A) = 100 /1000 = 0.1.
Si B es el evento de que un vuelo llegue demorado, entonces
P(B) = 75 /1000 = 0.075.
La probabilidad de que un vuelo llegue antes de tiempo o demorado es
P(A o B) = P(A) + P(B) = .1 + .075 = 0.175.
Teorema de bayes
El teorema de Bayes, descubierto por Thomas Bayes, en la teoría de la
probabilidad, es el resultado que da la distribución de probabilidad condicional
de una variable aleatoria A dada B en términos de la distribución de probabilidad
condicional de la variable B dada A y la distribución de probabilidad marginal de
sólo A.
Sea A1, A2, ...,An un conjunto de sucesos incompatibles cuya unión es el total y
tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero. Sea B un
suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales P(B/Ai).
entonces la probabilidad P(Ai/B) viene dada por la expresión:
donde:
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P(Ai) son las probabilidades a priori.
P(B | Ai) es la probabilidad de B en la hipótesis Ai.
P(Ai | B) son las probabilidades a posteriori.
Esto se cumple
El teorema de Bayes es válido en todas las aplicaciones de la teoría de la
probabilidad. Sin embargo, hay una controversia sobre el tipo de probabilidades
que emplea. En esencia, los seguidores de la estadística tradicional sólo
admiten probabilidadades basadas en experimentos repetibles y que tengan una
confirmación empírica mientras que los llamados estadisticos bayesianos
permiten probabilidades subjetivas. El teorema puede servir entonces para
indicar como debemos modificar nuestras probabilidades subjetivas cuando
recibimos información adicional de un experimento. La estadística bayesiana
está demostrando su utilidad en ciertas estimaciones basadas en el
conocimiento subjetivo a priori y permitir revisar esas estimaciones en función de
la evidencia es lo que está abriendo nuevas formas de hacer conocimiento.
Como observación, se tiene
y su demostración resulta
evidente.
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